江苏省南通市如东高级中学2020-2021学年高二10月月考数学试题(含解析)
江苏省南通市如东高级中学2020-2021学年度第一学期10月月考高二数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.数列0，0，0，，0 （）A．既不是等差数列又不是等比数列B．是等比数列不是等差数列C．是等差数列不是等比数列D．是等比数列又是等差数列2. 下列不等式中与不等式同解的是（）A．B．C．D．3.已知等差数列中，则的值为（）A. B. C. D.4. 已知不等式：（1）（2）（3）2，若要同时满足不等式（1）（2）的也满足不等式（3），则有（）A．B．C．D．5. 已知正项数列中，，则的值为（）A．B．4C．8 D．166. 若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.7. 定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列是等积数列且，前41项的和为103，则这个数列的公积为A. 2B. 3C. 6D. 88. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为A. 99B. 131C. 139D. 141二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9. 已知，，则下列不等式中，正确的是A. B.C. D.10.对于数列，若存在数列满足，则称数列是的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是A. 若数列是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B. 若，则其“倒差数列”有最大值；C. 若，则其“倒差数列”有最小值；D. 若，则其“倒差数列”有最大值．11. 已知数列的前n项和为，且满足，，则下列说法错误的是A. 数列的前n项和为B. 数列的通项公式为C. 数列为递增数列D. 数列为递增数列12. 若数列对任意满足，下面选项中关于数列的命题正确的是（）A. 可以是等差数列B. 可以是等比数列C. 可以既是等差又是等比数列D. 可以既不是等差又不是等比数列三、填空题.（本大题共4题，每题5分，共20分.请同学们将答案填到答题卷上对应的位置处.）13.若数列是公差不为0的等差数列，、、成等差数列，则的值为________．14. 等差数列中，，则________．15. 三个同学对问题“已知m，，且，求的最小值”提出各自的解题思路：甲：，可用基本不等式求解；乙：，可用二次函数配方法求解；丙：，可用基本不等式求解；参考上述解题思路，可求得当________时，有最小值16. 定义：关于x的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则________．三、解答题（本大题共有6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 设为数列的前n项和，且．（1）若，判断数列的单调性；（2）若，求数列的前n项和．18. 若数列的前n项和，求数列的通项公式．（2）若数列的前n项和，证明为等比数列．19. 已知数列的前n项和为，，满足．（1）计算，，，猜想的一个表达式（不需要证明）（2）设，数列的前n项和为，求证：．20.已知二次函数，满足，．（1）求函数的解析式；（2）若关于x的不等式在上有解，求实数t的取值范围；（3）若函数的两个零点分别在区间和内，求实数m的取值范围．21. 已知公差大于0的等差数列的前n项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求的表达式；（3）若，存在非零常数c，使得数列是等差数列，存在，不等式成立，求k的取值范围．22. 已知函数b是非零实常数满足，且关于x的方程的解集中恰有一个元素．（1）求a，b的值；（2）在直角坐标系中，求定点到函数图像上任意一点的距离的最小值；（3）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．江苏省南通市如东高级中学2020-2021学年度第一学期10月月考高二数学试题答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.数列0，0，0，，0 （）A．既不是等差数列又不是等比数列B．是等比数列不是等差数列C．是等差数列不是等比数列D．是等比数列又是等差数列【答案】C【解析】数列0，0，0，，0，是无穷数列，从第二项开始起，每一项与它前一项的差都等于常数0，符合等差数列的定义，所以数列0，0，0，，0，是等差数列，根据等比数列的定义可知，等比数列中不含有为0的项，所以数列0，0，0，，0，不是等比数列，故选C．2. 下列不等式中与不等式同解的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不等式等价为，即，故选：D．3.已知等差数列中，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设等差数列的公差为d，由知：又，，可知：，且，，。
故选B．4. 已知不等式：（1）（2）（3）2，若要同时满足不等式（1）（2）的也满足不等式（3），则有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】不等式等价于，解得，则不等式解集为，不等式等价于，解得，则不等式解集为，记不等式和不等式解集的交集为A，则满足不等式的x也满足不等式，当时，恒成立，即恒成立，又当时，，．故选C．5. 已知正项数列中，，则的值为（）A．B．4C．8 D．16【答案】B【解析】正项数列中，，，，，数列为等差数列，首项为1，公差，，，故选B．6. 若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】当n为偶数时，恒成立，转化为恒成立，即；当n为奇数时恒成立，转化为恒成立，即；综上可得a的范围为故选A．7. 定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列是等积数列且，前41项的和为103，则这个数列的公积为A. 2B. 3C. 6D. 8【答案】C【解析】因为数列是等积数列，可设其公积为k，则有，，因为，前41项的和为103，所以，即，所以，解得．故选：C．8. 南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为A. 99B. 131C. 139D. 141【答案】D【解析】所给数列为高阶等差数列，设该数列的第8项为x，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：根据图象可得：，解得，，解得：．故选D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.9. 已知，，则下列不等式中，正确的是A. B.C. D.【答案】AD【解析】且，，A正确；，B错误；当且仅当，即时取等号，又，，C错误；当且仅当时取等号，又，，，D正确．故选AD．10.对于数列，若存在数列满足，则称数列是的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是A. 若数列是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B. 若，则其“倒差数列”有最大值；C. 若，则其“倒差数列”有最小值；D. 若，则其“倒差数列”有最大值．【答案】ACD【解析】若数列是单增数列，则，虽然有，但当时，，因此不一定是单增数列，A正确；B.，则，易知是递增数列，无最大值，B错；C.，则，易知是递增数列，有最小值，最小值为，C正确；D. 若，则，首先函数在上是增函数，当n为偶数时，，，当n为奇数时，，显然是递减的，因此也是递减的，即，的奇数项中有最大值为，是数列中的最大值D正确．故选ACD．11. 已知数列的前n项和为，且满足，，则下列说法错误的是A. 数列的前n项和为B. 数列的通项公式为C. 数列为递增数列D. 数列为递增数列【答案】ABC【解析】由，得，，，，则，，当时，成立，，时，，当时，，不符合当时的通项，综上可知不正确的是A、B、C．故选ABC．12. 若数列对任意满足，下面选项中关于数列的命题正确的是A. 可以是等差数列B. 可以是等比数列C. 可以既是等差又是等比数列D. 可以既不是等差又不是等比数列【答案】ABD【解析】数列对任意满足，或，即或，数列可以是等差数列，可以是等比数列，可以既不是等差又不是等比数列．但不可能既是等差又是等比数列，因为数列不可能是常数1．故选ABD．三、填空题.（本大题共4题，每题5分，共20分.请同学们将答案填到答题卷上对应的位置处.）13.若数列是公差不为0的等差数列，、、成等差数列，则的值为________．【答案】3【解析】依题可得，即，设数列公差为d，可得，解得，所以，，故答案为3．14. 等差数列中，，则________．【答案】24【解析】，，．故答案为24．15. 三个同学对问题“已知m，，且，求的最小值”提出各自的解题思路：甲：，可用基本不等式求解；乙：，可用二次函数配方法求解；丙：，可用基本不等式求解；参考上述解题思路，可求得当________时，有最小值【答案】【解析】因为，，，所以，所以当且仅当时，取等号，即当时，有最小值．故答案为．16. 定义：关于x的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则________．【答案】【解析】：不等式与不等式为对偶不等式，设不等式的对应方程两个根为a、b，则不等式对应方程两个根为：，所以，即：因为，所以．三、解答题（本大题共有6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 设为数列的前n项和，且．若，判断数列的单调性；若，求数列的前n项和．【解析】，，，于是，故数列单调递增．，，，．18. 若数列的前n项和，求数列的通项公式．若数列的前n项和，证明为等比数列．【解析】解：当时，，当时，；显然当时，不满足上式．故数列的通项公式为；证明：由，得当时，，两式相减，得，当时，，又时，，，．即为，公比的等比数列．19. 已知数列的前n项和为，，满足．计算，，，猜想的一个表达式不需要证明设，数列的前n项和为，求证：．【解析】因为，所以，由此整理得，于是有：，，，猜想：，由，于是：又因为，所以．20.已知二次函数，满足，．求函数的解析式；若关于x的不等式在上有解，求实数t的取值范围；若函数的两个零点分别在区间和内，求实数m的取值范围．【解析】解：由，得．由，得，故解得所以．，的图象的对称轴方程为．又，，所以在区间上的最大值为5．又在区间上有解，所以，所以实数t的取值范围为．由题可知．若的两个零点分别在区间和内，则即解得，所以实数m的取值范围为．21. 已知公差大于0的等差数列的前n项和为，且满足，．求数列的通项公式；若，求的表达式；若，存在非零常数c，使得数列是等差数列，存在，不等式成立，求k的取值范围．【解析】解：因为数列是等差数列，故可得，结合，容易得，或，，因为，故可得，，则，解得，，故故．根据中所求，令，解得，故数列的前7项均为负数，从第8项开始都为正数．当时，；当时，．综上所述：．由中所求，可知，故可得，因为存在非零常数，使得其为等差数列，故可得，即，整理得，解得，舍去故．则存在，不等式成立，等价于存在，不等式成立则只需，根据对勾函数的单调性，且当时，；当时，，故的最小值为．则即可．22. 已知函数b是非零实常数满足，且关于x的方程的解集中恰有一个元素．求a，b的值；在直角坐标系中，求定点到函数图像上任意一点的距离的最小值；当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【解析】由条件可知，即，，即恰有一个元素，，b是非零实常数，，解得：代入，解得：，所以，；，设图像上任意一点与定点的距离令，则令，当，即，即，解得：，此时的最小值是．，恒成立恒成立，即，当时，即，恒成立，即，即，当时，即，同理可得，这与矛盾，当时，矛盾，综上可知：．。
江苏省南通市如东中学2021届高三数学10月月考试题含解析
江苏省南通市如东中学2021届高三数学10月月考试题（含解析）一、选择题(本大题共8小题，共40分)1.已知集合0，1，2,,0，，，则A. B. 2，C。
0，D。
0，2，【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的并集与补集的混合运算，是基础题．先计算出，再求补集即可．【解答】解:因为所以，又所以．故选A．2.设，则“”是“”的A。
充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D。
既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了充分条件、必要条件、充要条件的判定，属于基础题．由不等式知选A．【解答】解：不等式，所以能推出,但反过来推不出, 故选A．3.若，则下列结论正确的是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查指数函数和对数函数的单调性,是基础题．由函数单调递增，化简为得即可求解．【解答】解:由得,因为函数在R上单调递增，所以，所以，所以．故选A．4.已知，且，则A。
B. C. D。
【答案】A【解析】【分析】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系,属于基础题．根据题意得到,进而得到即可．【解答】解：因为，所以,即，解得：舍去或,因为，所以，故选A．5.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则A. 2 B。
3 C. 4 D。
8【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了抛物线与椭圆的标准方程及几何性质，属于基础题．根据抛物线的焦点坐标为，列方程即可求得结果．【解答】解：根据抛物线的焦点坐标为，所以根据焦点相同得到，解得．故选D．6.已知，向量， ,若，则实数A. B。
C。
D. 2【答案】D【解析】【分析】本题考查平面向量模、平面向量数量积的坐标运算,属于基础题．由,可得0,结合向量坐标计算可得实数n的值．【解答】解：因为,所以,即0，因为向量，，所以，即．故选D．7.“蒙日圆"涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆:的离心率为，则椭圆的蒙日圆方程为A。
高二数学10月月考试题 试题(共6页)
2021-2021学年(xuénián)高二〔上〕10月考数学试卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.能反映样本数据的离散程度大小的数字特征是 〔 〕A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．HY 差2. 某单位有青年职工人，中年职工人，老年职工 人，为理解该单位职工的安康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，假设样本中青年职工为人，那么样本容量为〔 〕A ． 7B ． 15C ． 25D ．353．不等式的解集为( )A.B. C. D.4．对于任意实数，命题①，，那么；②假设a b >，那么；③假设22ac bc >，那么a b >；④假设a b >，那么；⑤假设，，那么．其中真命题的个数是〔 〕A ． 1B ．2C ． 3D ．4的值，那么在空白框◇中，可以填入 〔 〕A．？ B．？ C．？ D．？6. 为理解某居民(jūmín)用水情况，通过抽样，获得了位居民某年的月均用水量(单位：吨〕，将数据分成组，绘制了如下图的频率分布直方图，由图可知，居民月均用水量的众数、中位数的估计值分别为〔〕A． B． C.D．7．对任意的a∈[-1,1]，函数f〔x〕=x2+〔a﹣4〕x+4﹣2a的值总大于0，那么x的取值范围是〔〕A．x＜1或者x＞3 B．1＜x＜3 C．1＜x＜2 D．x＜2或者x＞38. 为比拟甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据〔单位：℃〕制成如下图的茎叶图.考虑以下结论：①甲地(jiǎ dì)该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的HY 差小于乙地该月14时的气温的HY 差； ④甲地该月14时的平均气温的HY 差大于乙地该月14时的气温的HY 差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为 〔A 〕①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④ 9.假设点不在表示的平面区域内，那么实数的取值范围是A. B.C. D.10．假设关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，那么实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－235 11．假设实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，那么ab 的最小值为 〔 〕A. 2B. 4C.D.12.不等式的解集为,其中，那么的最大值为A. B. C. D.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.把正确答案(dá àn)填在答题纸给定的横线上.13．假设关于x的不等式kx2-kx+1>0的解集为R，那么实数k的取值范围是___________。
如东中学高二数学第一次月考模拟试卷2021
如东中学高二数学第一次月考模拟试卷2021.10.06一、单选题（本大题共8小题，共40分）1. 若复数z 满足 z ⋅(2+i)=z ⋅(1−i)+1，则关于复数z 的说法正确的是( )A. 复数z 的实部为1B. 复数z 的虚部为0C. 复数z 的模长为1D. 复数z 对应的复平面上的点在第一象限【答案】A 【解析】 【分析】本题考查复数的概念，复数的模，复数相等充要条件，共轭复数，复数的几何意义及复数的运算，属基础题．设z =a +bi(a,b ∈R)，根据复数的乘法运算求出z ，由复数的概念及复数的几何意义即可得出结果． 【解答】解：设z =a +bi(a,b ∈R)，则(a +bi)⋅(2+i)=(a −bi)⋅(1−i)+1，化简得(2a −b)+(a +2b)i =(a −b +1)−(a +b)i ， 根据对应相等得：{2a −b =a −b +1a +2b =−(a +b), 解得a =1，b =−23，∴z =1−23i ，|z|=√1+49=√133，复数z 对应的复平面上的点(1,−23)在第四象限， 故选A ．2. “2<m <6”是“方程x 2m−2+y 26−m =1为椭圆”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了充分、必要条件，考查椭圆的方程，是一道基础题． 根据方程x 2m−2+y 26−m=1为椭圆方程，求出m 的取值范围，再根据充分必要条件的定义判断即可． 【解答】 解：若方程x 2m−2+y 26−m=1为椭圆方程，则{m −2>06−m >0m −2≠6−m ，解得：2<m <6，且m ≠4， 故“2<m <6”是“方程x 2m−2+y 26−m=1为椭圆方程”的必要不充分条件，故选B ．3. 若函数f(x)=a x −a −x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y =log a (|x|−1)的图象可以是( )A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的单调性与单调区间，函数的奇偶性和函数图象的应用． 由函数f(x)=a x −a −x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，由此求得a 的范围，y =log a (|x|−1)是偶函数，再根据对数函数的图象特征，得出结论． 【解答】解：因为函数f(x)=a x −a −x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数， 所以0<a <1，而函数y =log a (|x|−1)是偶函数，定义域为{x|x >1或x <−1}，x >1时，函数y =log a (|x|−1)的图象是把函数y =log a x 的图象向右平移1个单位得到的，故选D．4.过点P(1,2)引直线，使A(2,3)，B(4,−5)到它的距离相等，则这条直线的方程是()A. 4x+y−6=0B. x+4y−6=0C. 2x+3y−7=0或x+4y−6=0D. 3x+2y−7=0或4x+y−6=0【答案】D【解析】【分析】本题考查直线方程的求法，考查直线斜率求法和中点坐标公式，考查分类讨论思想，属于中档题．分两种情况讨论： ①过P(1,2)且与直线AB平行的直线； ②过点P(1,2)与线段AB的中点C(3,−1)的直线，分别求解即可．【解答】解：由题意得k AB=−5−34−2=−4，线段AB的中点为C(3,−1)．分两种情况讨论： ①过P(1,2)且与直线AB平行的直线满足题意，其方程为y−2=−4(x−1)，整理得4x+y−6=0; ②过点P(1,2)与线段AB的中点C(3,−1)的直线满足题意，其方程为y−(−1)2−(−1)=x−31−3，整理得3x+2y−7=0．故满足条件的直线方程是4x+y−6=0或3x+2y−7=0，故选D．5.过点P(−2,4)作圆O：(x−2)2+(y−1)2=25的切线l，直线m：ax−3y=0与直线l平行，则直线l与m的距离为()A. 4B. 2C. 85D. 125【答案】A 【解析】【分析】本题考查圆的切线、两直线垂直的判断和两平行直线之间的距离，考查推理能力和计算能力，属于基础题．先求出a和直线l的方程，然后利用两平行直线间的距离公式即可求解．【解答】解：由已知，切线斜率存在且不为0，因为P为圆上一点，则有k OP·k l=−1,而k OP=4−1−2−2=−34，∴k l=43．∴a=4,所以直线m：4x−3y=0,直线l：y−4=43(x+2)即4x−3y+20=0．∴l与m的距离为．故选A．6.已知在圆M:x2+y2−4x+2y−4=0内，过点O(0,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】D【解析】【分析】本题考查直线与圆的方程的应用，考查点与圆的位置关系，考查弦长公式的运用，属于中档题．化圆的方程为M:x2+y2−4x+2y−4=0为标准方程，求出圆心和半径，判断点(0,0)与圆的位置关系，以及线段AC，BD的位置关系，然后解出AC、BD，即可求四边形ABCD的面积．【解答】解：由题意可得：(x−2)2+(y+1)2=9，所以圆心为(2,−1)，半径为3；由于点(0,0)到圆心的距离为√5，小于半径3，则点(0,0)在圆内，则最长弦AC是直径，最短弦BD的中点是O(0,0)，且AC⊥BD.|AC|=2×3=6，|BD|=2√32−(√5)2=4，则S ABCD=12|AC|⋅|BD|=12×6×4=12.故选D．7.已知圆C：(x−1)2+y2=1，直线l过点P(2,−2)，且与圆C交于A，B两点，则当△ABC面积最大时，直线l的方程为()A. x+y=0B. 6x−y−14=0C. x+y=0或7x+y−12=0D. x+y=0或6x−y−14=0【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，考查三角形面积的最值，是中档题．设∠ACB=θ，由三角形面积有最大值得θ=π2时，即点到直线的距离为√22时取最大值，显然易得直线l的斜率存在，设为点斜式，利用点到直线的距离为√22即可求得k值，本题可解．【解答】解：由题意知圆心为(1,0)，半径r=1，设∠ACB=θ，根据面积公式S△ABC=12r2sinθ=12sinθ≤12，所以当θ=π2时，即点到直线的距离为√22时取最大值．显然直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线ι的方程为y+2=k(x−2)，即kx−y−2k−2=0，d=√k2+1=√22，解得k=−1或k=−7，所以直线l的方程为x+y=0或7x+y−12=0．故选C．8. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上存在两点M ，N 关于直线2x −3y −1=0对称，且线段MN 中点的纵坐标为23，则椭圆C 的离心率是( )A. 13B. √33C. 23D. 2√23【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了椭圆性质，离心率的计算，属于中档题．可先分别设两点M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，代入椭圆方程后，两式相减可得到y 1−y 2x1−x 2=−b 2a 2⋅x 1+x 2y 1+y 2，根据线段MN 中点的纵坐标，得到方程2x −3×23−1=0，解出中点横坐标后，再求离心率即可． 【解答】解：设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则x 12a 2+y 12b 2=1，x 22a 2+y 22b 2=1， 两式相减可得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，即y 1−y2x 1−x 2=−b 2a 2⋅x 1+x2y 1+y 2，∵线段MN 中点的纵坐标为23， ∴2x −3×23−1=0，解得x =32，于是−32=−b 2a 2⋅94，解得b 2a 2=23，∴椭圆C 的离心率e =√1−b 2a2=√33，故选B ．二、多选题（本大题共4小题，共20分）9. 已知点P(1,−1)是角α终边上的一点，则( )A. α2一定是第一象限的角 B. 若sin(β+α)=35，则sin2β=725 C. 函数g(x)=cos(3x +α+5π4)是奇函数D. 将函数f(x)=sin(2x +α)的图象向左平移π4个单位可以得到g(x)=cos(2x −π4)的图象【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查角的概念的扩展，任意角的三角函数的定义，象限角，诱导公式，二倍角公式，三角函数的奇偶性以及三角函数的平移变换等知识的综合应用，属于中档题． 立足题设条件结合各选项运用以上相关知识逐一展开论证即可得到正确结论． 【解答】解：对于A ，因为点P(1,−1)是角α终边上的一点， 所以可得α=2kπ−π4，k ∈Z ， 故α2=kπ−π8，k ∈Z ， 所以α2是第二，四象限角． 选项A 错误;对于B ，若sin(β+α)=35，即sin(β+2kπ−π4)=sin(β−π4)=35， 所以sin2β=sin[2(β−π4)+π2]=cos2(β−π4)=1−2sin 2(β−π4)=1−2×925=725． 选项B 正确；对于C ，因为函数g(x)=cos(3x +α+5π4)=cos(3x +5π4+2kπ−π4) =−cos3x ，所以函数g(x)为偶函数． 故选项C 错误;对于D ，因为f(x)=sin(2x +α)=sin(2x −π4)所以将f(x)的图像向左平移π4个单位可以得到y =sin[2(x +π4)−π4]=sin(2x +π4)的图像，又因为sin(2x +π4)=cos[π2−(2x +π4)]=cos(π4−2x)=cos(2x −π4)，即将函数f(x)=sin(2x +α)的图象向左平移π4个单位可以得到g(x)=cos(2x −π4)的图象所以选项D 正确． 故选BD ．10. 以下四个命题表述正确的是( )A. 直线(3+m )x +4y −3+3m =0(m ∈R )恒过定点(−3,−3)B. 圆x 2+y 2=4上有且仅有3个点到直线l:x −y +√2=0的距离都等于1C. 圆C 1:x 2+y 2+2x =0与圆C 2:x 2+y 2−4x −8y +m =0恰有三条公切线，则m =4D. 已知圆C:x 2+y 2=4，点P 为直线x 4+y2=1上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点(1,2) 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，属于中档题.. A .将直线方程进行重新整理，利用参数分离法进行求解即可；B.根据圆心到直线的距离与半径的关系可判断；C.通过题意可得两圆相切，则两圆心的距离为半径和，即可求得m 的值；D.设出点P ，求出以线段PC 为直径的圆Q 的方程，题中的切点A 、B 为圆Q 与圆C 的交点，将两圆作差求出公共弦的方程，即可发现直线AB 经过的定点． 【解答】解：A.直线(3+m )x +4y −3+3m =0(m ∈R )， 得m(x +3)+3x +4y −3=0， 由{x +3=03x +4y −3=0，得{x =−3y =3, 即直线恒过定点(−3,3)， 故A 错误；B . 圆心C(0,0)到直线l:x −y +√2=0的距离为 d =√2|√12+(−1)2=1，圆的半径r =2，故圆C 上有3个点到直线l 的距离为1， 故B 正确；C . 曲线C 1:x 2+y 2+2x =0，即(x +1)2+y 2=1， 曲线C 2:x 2+y 2−4x −8y +m =0， 即(x −2)2+(y −4)2=20−m ，两圆心的距离为√(−1−2)2+(0−4)2=5=1+√20−m ， 解得m =4，故C 正确；D . 因为点P 为直线x 4+y2=1上一动点，设点P(4−2t,t)， 圆C:x 2+y 2=4的圆心为C(0,0)，以线段PC 为直径的圆Q 的方程为(x −4+2t)x +(y −t)y =0， 即x 2+(2t −4)x +y 2−ty =0，故直线AB ，即为圆Q 与圆C 的公共弦方程为：x 2+(2t −4)x +y 2−ty −(x 2+y 2)=0−4，即(2t −4)x −ty +4=0， 即t(2x −y)−4x +4=0， 令{2x −y =0−4x +4=0得{x =1y =2, 所以直线AB 经过定点(1,2)，故D 正确． 故选：BCD ．11. (多选题)设椭圆x 29+y 23=1的右焦点为F ，直线y =m(0<m <√3)与椭圆交于A,B 两点，则( )A. |AF |+|BF |为定值B. ΔABF 的周长的取值范围是[6,12]C. 当m =√32时，ΔABF 为直角三角形 D. 当m =1时，ΔABF 的面积为√6【答案】ACD 【解析】【分析】本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．利用椭圆的性质以及定义，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积以及三角形的面积，分析判断选项的正误即可． 【解答】解：设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|=|BF|， 所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|为定值6，A 正确； △ABF 的周长为|AB|+|AF|+|BF|，因为|AF|+|BF|为定值6，易知|AB|的范围是(0,6)， 所以△ABF 的周长的范围是(6,12)，B 错误； 将y =√32与椭圆方程联立，可解得A (−3√32,√32),B (3√32,√32)，又易知F(√6,0)， ∴AF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√6+3√32)(√6−3√32)+(√32)2=0，所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即∠AFB =90°， 所以△ABF 为直角三角形，C 正确；将y =1与椭圆方程联立，解得A(−√6,1),B(√6,1)， 所以S △ABF =12×2√6×1=√6，D 正确． 故选ACD ．12. 椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P(x 0,y 0)是椭圆第一象限上的一点(不包括轴上的点)，ΔPF 1F 2的重心是G ，∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M(m,0)，下列说法正确的有( )A. G 的轨迹是椭圆的一部分B. OG 的长度范围是(2√33,43) C. |MF 1||MF 2|取值范围是(1,3)D. m =14x 0【答案】ACD 【解析】 【分析】此题主要考查椭圆的定义及方程，椭圆的性质及几何意义，考查学生的推理能力及计算能力，属于难题．解题时利用重心的性质，得到点G ，P 坐标间的关系，求得G 的轨迹方程，得到A 正确，B 错误；结合椭圆的定义及角平分线性质可得|MF 1||MF 2|取值范围，得到C 正确；利用椭圆的性质及角平分线性质得到关于x 0与m 的方程，可判断D 正确． 【解答】 解：由椭圆x 24+y 23=1的方程得：a =2, b =√3,c =√a 2−b 2=1，A .设ΔPF 1F 2的重心G 的坐标为(x,y )，且O 为F 1F 2的中点，∴G 在线段OP 上，且OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又点P 的坐标为P(x 0,y 0)， 故{x =13x 0y =13y 0，即{x 0=3xy 0=3y , 又P(x 0,y 0)在椭圆上，故(3x )24+(3y )23=1，即x 249+y 213=1，又P(x 0,y 0)是椭圆第一象限上的一点(不包括轴上的点)，故G 的轨迹是椭圆的一部分，故A 正确； B .由G 的轨迹是椭圆x 249+y 213=1在第一象限的部分，且a =23, b =√33，故OG 的长度范围是(√33,23)，故B 错；C .由椭圆的定义得：|PF 1|+|PF 2|=2a =4，且P(x 0,y 0)是椭圆第一象限上的一点(不包括轴上的点)， 故1<|PF 2|<2，由角平分线性质得：|MF 1||MF 2|=|PF 1||PF 2|=4−|PF 2||PF 2|=4|PF 2|−1，故|MF 1||MF 2|取值范围是(1,3)，故C 正确；D .椭圆的左准线方程为：x =−4，右准线方程为：x =4， 则P 0到左准线的距离为：x 0+4，P 0到右准线的距离为：4−x 0， 故|PF 1||PF 2|=x 0+44−x 0，又M 的坐标为(m,0)，所以|MF 1||MF 2|=m+11−m ，且由角平分线性质得：|PF 1||PF 2|=|MF 1||MF 2|，故x 0+44−x 0=m+11−m ，解得：m =14x 0，故D 正确；故选ACD ．三、单空题（本大题共4小题，共20分）13. 椭圆x 2k+8+y29=1的离心率为12，则k 的值为______________【答案】4或−54【解析】【分析】本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．对椭圆的焦点位置进行分类讨论，根据e=ca求出k的值．【解答】解：若椭圆的焦点在x轴上，则a2=k+8,b2=9，且k+8>9，即k>1，此时c2=k−1，e=ca =√k−1√k+8=12，解得k=4；若椭圆的焦点在y轴上，则a2=9,b2=k+8，且0<k+8<9，即−8<k<1，此时c2=1−k，e=ca =√1−k3=12，解得k=−54．故答案为4或−54．14.一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽为米.【答案】16【解析】【分析】本题考查了圆的方程的综合应用，以及点在圆上的条件的转化，圆的对称性的体现，属于简单题．先根据题目条件建立适当的直角坐标系，得到各点的坐标，通过设圆的半径，可得圆的方程，然后将点的坐标代入确定圆的方程，设当水面下降2米后可设A′的坐标为A′(x0,−4)根据点在圆上，可求得x0的值，从而得到问题的结果．【解答】解：如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，圆的方程设为x2+(y+r)2=r2,水面所在弦的端点为A，B，则A(6,−2)，将A(6,−2)代入圆的方程，得r=10，∴圆的方程为x2+(y+10)2=100.当水面下降2米后，可设点A′(x0,−4)(x0>0)，将A′(x0,−4)代入圆的方程，得x0=8，∴当水面下降2米后，水面宽为2x0=16米．故答案为16．15.设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，若cos∠AF2B=35，则椭圆E的离心率为________．【答案】√22【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、勾股定理的逆定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设|F1B|=k(k>0)，则|AF1|=3k，|AB|=4k，由cos∠AF2B=35，利用余弦定理，可得a=3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．【解答】解：设|BF1|=k(k>0)，则|AF1|=3k，|AB|=4k，∴|AF2|=2a−3k，|BF2|=2a−k，∵cos∠AF2B=35，在△ABF2中，由余弦定理得：|AB|2=|AF2|2+|BF2|2−2|AF2|⋅|BF2|cos∠AF2B，∴(4k)2=(2a−3k)2+(2a−k)2−65(2a−3k)(2a−k)，化简得(a+k)(a−3k)=0，而a+k>0，故a=3k，∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k，即|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，∴AF1⊥AF2，且AF1=AF2=3k，即△AF1F2是等腰直角三角形，则(2c)2=2a2，∴c=√22a，∴椭圆的离心率e=ca =√22．故答案为√22．16.在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴，y轴分别交于M，N两点，点P在圆(x−a)2+y2=2上运动．若∠MPN恒为锐角，则实数a的取值范围是．【答案】a<−4或a>√7−1【解析】【分析】本题考查与圆有关的最值问题，涉及直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系．设以MN为直径的圆C，圆心为C(−1,1)；点P与M，N构成∠MPN恒为锐角，则点P 恒在圆C之外，同时由于∠MPN不能为0°(当然也肯定不能为180°)，即P不能与M、N 共线，于是已知圆(x−a)2+y2=2与圆C相离，且与直线y=x+2相离，列出不等式组求解即得a的取值范围．【解答】解：直线y=x+2与x，y轴的交点M(−2,0)，N(0,2)，以MN为直径的圆C的圆心为C(−1,1)，∠MPN恒为锐角，则点P恒在圆C之外，∴圆C与圆(x−a)2+y2=2相离；由于∠MPN不能为0°(当然也肯定不能为180°)，∴P不能与M、N共线，∴圆(x−a)2+y2=2与直线y=x+2相离，如图所示．圆C 的圆心(−1,1)，半径为√2，圆(x −a)2+y 2=2的圆心(a,0)，半径为√2． ∵两圆外离，∴(a +1)2+12>(2√2)2， 解得a <−√7−1或a >√7−1①，由直线y =x +2，即x −y +2=0与圆(x −a)2+y 2=2相离， ∴|a−0+2|√2>√2，解得a <−4或a >0②，由①②得a 的取值范围是a <−4或a >√7−1． 故答案为a <−4或a >√7−1．四、解答题（本大题共6小题，共72分）17. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =3，c =√2，B =45°．(1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos∠ADC =−45，求tan∠DAC 的值．【答案】解：(1)因为a =3，c =√2，B =45°，由余弦定理可得： b =√a 2+c 2−2accosB =√9+2−2×3×√2×√22=√5，由正弦定理可得csinC =bsinB ，所以sinC =cb ⋅sin45°=√2√5×√22=√55， 所以sinC =√55；(2)因为cos∠ADC =−45，所以sin∠ADC =√1−cos 2∠ADC =35， 在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由(1)可得cosC =√1−sin 2C =2√55， 所以sin∠DAC =sin(∠ADC +∠C) =sin∠ADCcos∠C +cos∠ADCsin∠C =2√525， 因为∠DAC ∈(0,π2)，所以cos∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525，所以tan∠DAC =sin∠DAC cos∠DAC =211．【解析】本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．(1)由题意及余弦定理求出b ，再由正弦定理求出sin C 的值；(2)根据sin∠DAC =sin(∠ADC +∠C)展开可得sin∠DAC 及cos∠DAC ，进而求出tan∠DAC 的值．18. 在△ABC 中，A(−1,2)，边AC 上的高BE 所在的直线方程为7x +4y −46=0，边AB 上中线CM 所在的直线方程为2x −11y +54=0．(1)求点C 坐标； (2)求直线BC 的方程．【答案】解：(1)边AC 上的高BE 所在的直线方程为7x +4y −46=0， 故边AC 所在的直线的斜率为47，所以边AC 所在的直线的方程为y −2=47(x +1)， 即4x −7y +18=0，因为CM 所在的直线方程为2x −11y +54=0， 由{2x −11y +54=0,4x −7y +18=0, 解得{x =6y =6, 所以C(6,6).(2)设B(x 0,y 0)，M 为AB 中点，则M 的坐标为(x 0−12,y 0+22)，由{2×x 0−12−11×y 0+22+54=07x 0+4y 0−46=0，解得{x 0=2y 0=8, 所以B(2,8)，又因为C(6,6)，所以直线BC的方程为y−6=8−62−6(x−6)，即x+2y−18=0.【解析】本题考查两条直线的交点坐标、直线方程的求法，属于中档题．(1)由题意，求出边AC所在的直线的方程，联立方程即可得点C坐标；(2)设B(x0,y0)，M为AB中点，则M的坐标为(x0−12,y0+22)，进而由题意联立方程可得B(2,8)，进而可以求解．19.如图，地图上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C，与地面的接触点为G.与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点，且PG=50m.在观测点正前方10m处(即PD=10m)有一个高位10m(即ED=10m)的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧．(1)若圆形标志物半径为25m，以PG所在直线为x轴，G为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C和直线PF的方程；(2)若在点P处观测该圆形标志的最大视角(即∠APF)的正切值为3149，求该圆形标志物的半径．【答案】解：(1)由已知可得，圆C：x2+(y−25)2=252．设直线PF方程：y=k(x+50)(k>0)，因为直线PF与圆C相切，所以√1+k2=25，解得k=43，所以直线PF方程：y=43(x+50)，即4x−3y+200=0；(2)设直线PF方程：y=k(x+50)(k>0)，圆C：x2+(y−r)2=r2．因为tan∠APF=tan(∠GPF−∠GPA)=k−11+k =3149，所以k=409所以直线PF方程：y=409(x+50)，即40x−9y+2000=0．因为直线PF与圆C相切，所以√1600+81=r，化简得2r2+45r−5000=0，即(2r+125)(r−40)=0．故r=40．【解析】本题考查直线与圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)利用圆心与半径，可得圆的方程，利用PF与圆C相切，可得直线PF的方程；(2)先求出直线PF方程，再利用直线PF与圆C相切，求出该圆形标志物的半径．20.如图，从椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB//OP，|F1A|=√10+√5(1)求椭圆的方程；(2)设点P关于x轴的对称点为P0，过椭圆上不同于P，P0的任意一点Q，作直线QP，QP0分别交x轴于点M，N.证明：点M，N的横坐标之积为定值．【答案】解：(1)由题意可知，A(a,0)，B(0,b)，F1(−c,0)，P(−c,b2a)，∵AB//OP，∴k AB=k OP，即−ba =−b2ac⇒b=c，∵a2=b2+c2，∴a2=2c2，∴a=√2c，∴a+c=(√2+1)c，又|F1A|=a+c=(√2+1)√5，∴a=√10，c=√5，b=√5，∴椭圆方程为x210+y25=1；(2)由(1)得P(−√5,√102)，则P 0(−√5,−√102)，设Q(x 0,y 0)，则有x 02+2y 02−10=0，直线PQ 的方程为y −√102=y −√102x +√5+√5)，令y =0，整理得x M =−√102x −√5y 0−√102，同理可得点N 的横坐标x N =√102x −√5y 0+√102，所以点M ，N 的横坐标之积x M ·x N =−√102x −√5y 0−√102√102x −√5y 0+√102=−5(12x 02−y 02)y 02−52，因为x 02=10−2y 02，所以x M ·x N =−5[12(10−2y 02)−y 02]y 02−52=10(y 02−52)y 02−52=10．故点M ，N 的横坐标之积为定值10．【解析】本题考查椭圆的标准方程及其性质，直线与椭圆的位置关系及圆锥曲线中的定值问题，属于中档题．(1) 由题意求得A ，B ，F 1，P 点坐标，由k AB =k OP ，根据斜率公式，求得b =c ，根据椭圆的性质可得a =√2c ，从而求得a 和b 的值，求得椭圆方程；(2)求出P 0的坐标，设Q(x 0,y 0)，有x 02+2y 02−10=0，直线PQ 的方程为y −√102=y −√102x +√5+√5)，令y =0，整理得x M ，同理得点N 的横坐标x N ，然后代入化简计算x M ·x N 即可．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为√33b. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若点M(√3,√32)在椭圆C 上，不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求△OAB 面积的最大值． 【答案】解：(1)由题意，得a −c =√33b ，则(a −c)2=13b 2，结合b 2=a 2−c 2，得(a −c)2=13(a 2−c 2)，即2c 2−3ac +a 2=0， 亦即2e 2−3e +1=0，结合0<e <1，解得e =12． 所以椭圆C 的离心率为12． (2)由(1)得a =2c ，则b 2=3c 2．将M(√3,√32)代入椭圆方程x 24c 2+y 23c 2=1，解得c =1．所以椭圆方程为x 24+y 23=1．易得直线OM的方程为y=12x．当直线l的斜率不存在时，AB的中点不可能在直线y=12x上，故直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+m(m≠0)，与x24+y23=1联立，消y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，所以Δ=64k2m2−4(3+4k2)(4m2−12)=48(3+4k2−m2)>0．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=−8km3+4k2，x1x2=4m2−123+4k2．由y1+y2=k(x1+x2)+2m=6m3+4k2，得AB的中点N(−4km3+4k2,3m3+4k2)，因为N在直线y=12x上，所以−4km3+4k2=2×3m3+4k2，解得k=−32．所以Δ=48(12−m2)>0，得−√12<m<√12，且m≠0，|AB|=√1+(32)2|x2−x1|=√132·√(x1+x2)2−4x1x2=√132⋅√m2−4m2−123=√396√12−m2．又原点O到直线l的距离d=√13所以S△OAB=12×√396√12−m2√13=√36√(12−m2)m2≤√36⋅12−m2+m22=√3．当且仅当12−m2=m2，m=±√6时等号成立，符合−√12<m<√12，且m≠0．所以△OAB面积的最大值为：√3．【解析】本题考查椭圆的方程和性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的面积最值问题，属于难题．(1)由题意得a−c=√33b，然后求解离心率即可．(2)由(1)得a=2c，将M(√3,√32)代入椭圆方程解得c=1.求出椭圆方程，直线OM的方程为y=12x.当直线l的斜率不存在时，AB的中点不可能在直线y=12x上，故直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+m(m≠0)，与x24+y23=1联立消y，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用根与系数的关系求出AB的中点N(−4km3+4k2,3m3+4k2)，推出−√12<m<√12，且m≠0，利用弦长公式以及三角形的面积，结合基本不等式即可求出面积的最大值．22.如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，与y轴正半轴交于点P(0,1).过原点O不与x轴垂直的动直线l与C交于A，B两点．(I)求椭圆C的标准方程；(II)设直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，证明：k1⋅k2为定值，并求出该定值；(III)以点E(0,2)为圆心，|EP|为半径的圆与直线PA、PB分别交于异于点P的点M 和点N，求△PMN与△PAB面积之比λ的取值范围．【答案】解：(I)由题意得ca =√22，且b=1，a2=b2+c2，解得a=√2,c=1，∴椭圆C的标准方程为x22+y2=1；(II)由于A，B关于原点O对称，故可设A(x0,y0)，B(−x0,−y0)，且x022+y02=1；k1⋅k2=y0−1x0⋅−y0−1−x0=y 02−1x 02=−x 022x 02=−12，即k 1⋅k 2为定值−12；(III)设直线PA 的方程为y =k 1x +1， 直线PB 的方程为y =k 2x +1， 由(II)知，k 1⋅k 2=−12；由题意，圆E 的方程为x 2+(y −2)2=1； 联立直线PA 与圆E 的方程， 得{y =k 1x +1x 2+(y −2)2=1, 解得M 点横坐标x M =2k11+k 12；联立直线PA 与椭圆C 的方程， 得{y =k 1x +1x 22+y 2=1, 解得A 点横坐标x A =−4k11+2k 12，|PM||PA|=|xM x A|=1+2k 122(1+k 12)；同理，|PN||PB|=|x Nx B|=1+2k 222(1+k 22)，由于∠MPN =∠APB ，所以△PMN 与△PAB 面积之比：，将k 2=−12k 1代入上式，并化简得，λ=(1+2k 12)22(1+k 12)(1+4k 12)，令t =1+2k 12，则由k 1≠0，有t >1，故0<1t <1，λ=t 2(t +1)(2t −1)=194−(1t −12)2∈[49,12),综上，△PMN 与△PAB 面积之比λ的取值范围为[49,12)．【解析】本题主要考查椭圆方程、定值的知识，解答本题的关键是知道相关知识，逐一分析解答即可．(I)用x 22+y 2=1求椭圆C 的标准方程；(II)由于A ，B 关于原点O 对称，故可设A(x 0,y 0)，B(−x 0,−y 0)，其中x 022+y 02=1；证明k 1⋅k 2为定值，并求出该定值；(III)设直线PA 的方程为y =k 1x +1，直线PB 的方程为y =k 2x +1，由(II)知，k 1⋅k 2=−12；由题意，圆E 的方程为−；联立直线PA 与圆E 的方程，得{y =k 1x +1x 2+(y −2)2=1，解得M 点横坐标x M =2k 11+k 12；联立直线PA 与椭圆C 的方程，得{y =k 1x +1x 22+y 2=1，求△PMN 与△PAB 面积之比λ的取值范围．第24页，共1页。
江苏省如皋市2020-2021学年高二上学期10月教学质量调研数学试题(pdf版含答案)
18．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C1 :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的离心率为 1
2
，抛物线 C2
的焦点与椭圆 C1 的右焦点 F
重合，C1 的
中心与 C2 的顶点重合．过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A , B 两点，交 C2 于 C , D 两点．
该圆与双曲线在第一象限的交点为
P
，则
PF1
PF2
（
）
A． 8
B． 8 6
C． 4
D． 4 6
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9． 已知双曲线 x2 y2 2 0 ，则不因 改变而变化的是（
）
63
A．渐近线方程
B．顶点坐标
C．离心率
D．焦距
10．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b 0 的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，P
为右支上一点，若 PF1
3PF2 ，
则双曲线的离心率可能为（ ）
A． 2
B． 3
C． 5
D． 3
11．设
F1
，
F2
为椭圆
C
:
x2 16
y2 7
1的左、右焦点， M
小值为 3，则 p
▲
；若过 F 的直线交抛物线于 A , B 两点，有 AF 2FB ，
学2020-2021学年高二数学10月月考试题(含解析)_1 2)
学2020-2021学年高二数学10月月考试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1. 设全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据全集，集合，利用补集的运算求得，再利用交集运算求解.【详解】因为全集，集合，所以，又因为，所以，故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2. 要从已编号（1～60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（）A. 5，10，15，20，25，30B. 3，13，23，33，43，53C. 1，2，3，4，5，6D. 2，4，8，16，32，48【答案】B【解析】试题分析：系统抽样，要从60个个体中抽取容量为6的样本，确定分段间隔为，第一段1-10号中随机抽取一个个体，然后编号依次加10得到其余个体，构成样本考点：系统抽样点评：系统抽样的特点：被抽取的各个个体间隔相同，都为10 3. 已知一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三视图知几何体是一个正方体和一个放倒的正四棱锥拼接而成的几何体，正方体的棱长为，正四棱锥的底面边长为，高为，再由正方体的体积公式以及锥体的体积公式即可求解.【详解】由三视图知几何体是一个正方体和一个放倒的正四棱锥拼接而成的几何体，正方体的棱长为，正四棱锥的底面边长为，高为，几何体的体积为：.故选：B【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，需熟记体积公式，属于基础题.4. 已知向量，，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量线性的坐标运算以及向量共线的坐标表示即可求解.【详解】因为向量，，所以，又，所以，解得.故选：C【点睛】本题考查了向量线性的坐标运算以及向量共线的坐标的坐标表示，属于基础题.5. 若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如. 下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的值等于（）A. 29B. 30C. 31D. 32【答案】D【解析】【分析】由题中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】由题中的程序框图可知：该程序框图功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被除余，②被除余，所以应该满足是的倍数多，并且是比大的最小的数，故输出的为，故选D.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构的程序框图，读取程序框图的输出数据，属于简单题目.6. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（）A. 为奇函数，在上单调递減B. 最大值为1，图象关于直线对称C. 周期为，图象关于点对称D. 为偶函数，在上单调递增【答案】B函数左移后得到.故为偶函数,且在上递增,最大值为,对称轴为,故B选项正确,选B.7. 若，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题容易看出，，，，便得出的大小关系.【详解】，，，因此.故选：C.【点睛】本题考查指数函数和对数函数的比较大小，常与中间值来比较，再结合函数的单调性即可求解，属于中档题.8. 若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据二倍角公式，以及同角三角函数基本关系，先将原式化简，得到，再由题中条件，即可得出结果.【详解】，由，故.故选：D.【点睛】本题主要考查由三角函数值求三角函数值，考查二倍角公式，以及同角三角函数基本关系，属于基础题型.9. 在等差数列中，已知，，则（）A. 38B. 39C. 41D. 42【答案】D【解析】分析：利用等差数列通项公式布列关于基本量的方程，从而得到所求的结果.详解：由，可得：，解得：,∴.故选D点睛：本题重点考查了等差数列通项公式运用，以及简单的代数运算能力，属于基础题.10. 已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下:且回归方程是，则当时，y的预测值为（）A 8.4 B. 8.3 C. 8.2 D. 8.1【答案】B【解析】【分析】先根据已知数据求出线性回归方程，再代入即可求出.【详解】由已知可得，，∴∴，∴回归方程是，当时，y的预测值.故选：B.【点睛】本题考查线性回归方程的计算和估值，属于基础题.11. 设，若是与的等比中项，则的最小值为（）A. 4B. 5C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】根据是与的等比中项，化简得到.，然后利用“1”的代换，将转化为求解.【详解】因为是与的等比中项，所以，即，所以.又，则.当且仅当，即取等号，所以的最小值为9故选：C【点睛】本题主要考查等比中项，基本不等式求最值，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.12. 函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项．【详解】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足．故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)｡由图中数据可知_____．若要从身高在三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在内的学生中选取的人数应为________｡【答案】0.030 , 3【解析】因为,身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生人数为人，其中身高在[140 ，150]内的学生中人数为,所以从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为人.14. 已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为______________【答案】31.【解析】分析：根据中位数相同求出的值，从而根据平均数公式可求出甲的平均数.详解：因为乙的数据是所以其中位数是，所以，，故答案为.点睛：本题主要考查茎叶图的应用、中位数、平均数的求法，属于中档题.（1）中位数，如果样本容量是奇数，中间的数既是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数；（2）平均数公式为.15. 设满足约束条件则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.【详解】由约束条件作出可行域，化目标函数为，由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，有最大值为：故答案为：【点睛】本题考查了简单的线性规划，解题的关键是作出约束条件的可行域，理解目标函数的几何意义，属于基础题.16. 直线与圆相交于两点，则__________.【答案】【解析】【分析】利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线的距离，即可得出弦长.【详解】由圆，可得圆心，半径，圆心到直线的距离，弦长.故答案为：【点睛】本题考查了直线与圆相交求弦长，在圆中求弦长采用几何法，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由所给两等式列出方程组求解，代入等差数列通项公式化简即可；（2）求出的通项公式并证明其为等比数列，利用等比数列求和公式求解.【详解】（1）设数列的公差为d，因为，解得，所以.（2）记所以，又，所以是首项为16，公比为4的等比数列，其前n项和.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、等比数列及其前n项和，属于基础题.18. 某高校组织自主招生考试，其有2 000名学生报名参加了笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195，205)，第二组[205，215)，……，第八组[265，275).如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）求这2000名学生分数在255～265之间的频率约是多少？（2）求这2000名学生的平均分数；（3）若计划按成绩取1000名学生进入面试环节，试估计应将分数线定为多少？【答案】（1）0.12；（2）；（3）238分.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的小矩形的面积之和为1求解.（2）根据频率分布直方图，利用平均数公式求解.（3）根据频率分布直方图，利用中位数定义求解.【详解】（1）设第组的频率为，则由频率分布图知，∴这个人的分数在255～265之间的概率约是0.12.（2）这2000名学生的平均分数为.（3）从第一组到第四组，频率为，而，将第五组[235，245)，按以下比例分割：，∴中位数为，∴应将分数线定为238分.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.19. 为了解某地区某种产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）和利润的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（1）求关于的线性回归方程；（2）若每吨该农产品成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润取到最大值？（保留两位小数）参考公式：，【答案】(1) (2) ，年利润最大【解析】分析：（1）由表中数据计算平均数与回归系数，即可写出线性回归方程；（2）年利润函数为，利用二次函数的图象与性质，即可得到结论.详解：（1），，，，，，，解得：，，所以：，（2）年利润所以，年利润最大.点睛：本题考查了线性回归方程以及利用回归方程预测生产问题，试题比较基础，对于线性回归分析的问题：（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．20. 在直四棱柱中，，，，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，连接，由题意证出，，利用线面垂直的判定定理即可证出.（2）利用等体法，由图可得：，根据三棱锥的体积公式即可求解.【详解】（1）证明：取中点，连接，∵该几何体为直四棱柱，∴平面，∴∵，，∴∵，，∴四边形为正方形，∴∴，∵，∴∵，，，平面∴平面（2）由图可得：由（1）中证明知：平面，∴，∴又∵∴【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、等体法求点到面的距离以及三棱锥的体积公式，考查了立体几何的基本知识，属于基础题.21. 在中，内角、、的对边分别为、、，已知，且.（1）求；（2）求面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理可知，利用正弦定理边角互化思想求得的值，然后利用同角三角函数的基本关系可求出的值；（2）利用余弦定理求出的值，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.【详解】（1）因，由正弦定理得，又，所以，即又，由余弦定理得，所以；（2）因为，所以，即，所以.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查了三角形面积公式的应用，涉及正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于基础题.22. 已知圆与直线相交于A、B两点.（1）当弦长时求实数m的值.（2）O为原点，当时求实数m的值.【答案】（1）7；（2）3.【解析】【分析】（1）利用垂径定理可求实数m的值.（2）设，，由，得，联立直线方程和圆的方程，消去后利用韦达定理可构建关于的方程，从而可求实数m的值.【详解】（1）圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，根据题意可得，可解得，.（2）设，，由，得.联立，消得，则是方程的两根，，，又因为A、B在直线上，，，得，，即，得，解得，把代入方程得，该方程有两个实根，.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，一般地，位置关系中的弦长问题可用垂径定理，而垂直问题可利用韦达定理来构建关于参数的方程，本题属于中档题.学2020-2021学年高二数学10月月考试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1. 设全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据全集，集合，利用补集的运算求得，再利用交集运算求解.【详解】因为全集，集合，所以，又因为，所以，故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2. 要从已编号（1～60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（）A. 5，10，15，20，25，30B. 3，13，23，33，43，53C. 1，2，3，4，5，6D. 2，4，8，16，32，48【答案】B【解析】试题分析：系统抽样，要从60个个体中抽取容量为6的样本，确定分段间隔为，第一段1-10号中随机抽取一个个体，然后编号依次加10得到其余个体，构成样本考点：系统抽样点评：系统抽样的特点：被抽取的各个个体间隔相同，都为103. 已知一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三视图知几何体是一个正方体和一个放倒的正四棱锥拼接而成的几何体，正方体的棱长为，正四棱锥的底面边长为，高为，再由正方体的体积公式以及锥体的体积公式即可求解.【详解】由三视图知几何体是一个正方体和一个放倒的正四棱锥拼接而成的几何体，正方体的棱长为，正四棱锥的底面边长为，高为，几何体的体积为：.故选：B【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，需熟记体积公式，属于基础题.4. 已知向量，，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量线性的坐标运算以及向量共线的坐标表示即可求解.【详解】因为向量，，所以，又，所以，解得.故选：C【点睛】本题考查了向量线性的坐标运算以及向量共线的坐标的坐标表示，属于基础题.5. 若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如. 下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的值等于（）A. 29B. 30C. 31D. 32【答案】D【解析】【分析】由题中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】由题中的程序框图可知：该程序框图功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被除余，②被除余，所以应该满足是的倍数多，并且是比大的最小的数，故输出的为，故选D.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构的程序框图，读取程序框图的输出数据，属于简单题目.6. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（）A. 为奇函数，在上单调递減B. 最大值为1，图象关于直线对称C. 周期为，图象关于点对称D. 为偶函数，在上单调递增【答案】B【解析】函数左移后得到.故为偶函数,且在上递增,最大值为,对称轴为,故B选项正确,选B.7. 若，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题容易看出，，，，便得出的大小关系.【详解】，，，因此.故选：C.【点睛】本题考查指数函数和对数函数的比较大小，常与中间值来比较，再结合函数的单调性即可求解，属于中档题.8. 若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二倍角公式，以及同角三角函数基本关系，先将原式化简，得到，再由题中条件，即可得出结果.【详解】，由，故.故选：D.【点睛】本题主要考查由三角函数值求三角函数值，考查二倍角公式，以及同角三角函数基本关系，属于基础题型.9. 在等差数列中，已知，，则（）A. 38B. 39C. 41D. 42【答案】D【解析】分析：利用等差数列通项公式布列关于基本量的方程，从而得到所求的结果.详解：由，可得：，解得：,∴.故选D点睛：本题重点考查了等差数列通项公式运用，以及简单的代数运算能力，属于基础题. 10. 已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下:且回归方程是，则当时，y的预测值为（）A 8.4 B. 8.3 C. 8.2 D. 8.1【答案】B【解析】【分析】先根据已知数据求出线性回归方程，再代入即可求出.【详解】由已知可得，，∴∴，∴回归方程是，当时，y的预测值.故选：B.【点睛】本题考查线性回归方程的计算和估值，属于基础题.11. 设，若是与的等比中项，则的最小值为（）A. 4B. 5C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】根据是与的等比中项，化简得到.，然后利用“1”的代换，将转化为求解.【详解】因为是与的等比中项，所以，即，所以.又，则.当且仅当，即取等号，所以的最小值为9故选：C【点睛】本题主要考查等比中项，基本不等式求最值，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.12. 函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项．【详解】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足．故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)｡由图中数据可知_____．若要从身高在三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在内的学生中选取的人数应为________｡【答案】0.030 , 3【解析】因为,身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生人数为人，其中身高在[140 ，150]内的学生中人数为,所以从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为人.14. 已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为______________【答案】31.【解析】分析：根据中位数相同求出的值，从而根据平均数公式可求出甲的平均数.详解：因为乙的数据是所以其中位数是，所以，，故答案为.点睛：本题主要考查茎叶图的应用、中位数、平均数的求法，属于中档题.（1）中位数，如果样本容量是奇数，中间的数既是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数；（2）平均数公式为.15. 设满足约束条件则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.【详解】由约束条件作出可行域，化目标函数为，由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，有最大值为：故答案为：【点睛】本题考查了简单的线性规划，解题的关键是作出约束条件的可行域，理解目标函数的几何意义，属于基础题.16. 直线与圆相交于两点，则__________.【答案】【解析】【分析】利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线的距离，即可得出弦长.【详解】由圆，可得圆心，半径，圆心到直线的距离，弦长.故答案为：【点睛】本题考查了直线与圆相交求弦长，在圆中求弦长采用几何法，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由所给两等式列出方程组求解，代入等差数列通项公式化简即可；（2）求出的通项公式并证明其为等比数列，利用等比数列求和公式求解.【详解】（1）设数列的公差为d，因为，解得，所以.（2）记所以，又，所以是首项为16，公比为4的等比数列，其前n项和.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、等比数列及其前n项和，属于基础题.18. 某高校组织自主招生考试，其有2 000名学生报名参加了笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195，205)，第二组[205，215)，……，第八组[265，275).如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）求这2000名学生分数在255～265之间的频率约是多少？（2）求这2000名学生的平均分数；（3）若计划按成绩取1000名学生进入面试环节，试估计应将分数线定为多少？【答案】（1）0.12；（2）；（3）238分.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的小矩形的面积之和为1求解.（2）根据频率分布直方图，利用平均数公式求解.（3）根据频率分布直方图，利用中位数定义求解.【详解】（1）设第组的频率为，则由频率分布图知，∴这个人的分数在255～265之间的概率约是0.12.（2）这2000名学生的平均分数为.（3）从第一组到第四组，频率为，而，将第五组[235，245)，按以下比例分割：，∴中位数为，∴应将分数线定为238分.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.19. 为了解某地区某种产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）和利润的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（1）求关于的线性回归方程；（2）若每吨该农产品成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润取到最大值？（保留两位小数）参考公式：，【答案】(1) (2) ，年利润最大【解析】分析：（1）由表中数据计算平均数与回归系数，即可写出线性回归方程；（2）年利润函数为，利用二次函数的图象与性质，即可得到结论.详解：（1），，，，，，，解得：，，所以：，（2）年利润所以，年利润最大.点睛：本题考查了线性回归方程以及利用回归方程预测生产问题，试题比较基础，对于线性回归分析的问题：（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．20. 在直四棱柱中，，，，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，连接，由题意证出，，利用线面垂直的判定定理即可证出.（2）利用等体法，由图可得：，根据三棱锥的体积公式即可求解.【详解】（1）证明：取中点，连接，∵该几何体为直四棱柱，∴平面，∴∵，，∴∵，，∴四边形为正方形，∴∴，∵，∴∵，，，平面∴平面（2）由图可得：由（1）中证明知：平面，∴，∴又∵∴【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、等体法求点到面的距离以及三棱锥的体积公式，考查了立体几何的基本知识，属于基础题.21. 在中，内角、、的对边分别为、、，已知，且.（1）求；（2）求面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理可知，利用正弦定理边角互化思想求得的值，然后利用同角三角函数的基本关系可求出的值；（2）利用余弦定理求出的值，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.【详解】（1）因，由正弦定理得，又，所以，即又，由余弦定理得，所以；（2）因为，所以，即，所以.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查了三角形面积公式的应用，涉及正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于基础题.22. 已知圆与直线相交于A、B两点.（1）当弦长时求实数m的值.（2）O为原点，当时求实数m的值.【答案】（1）7；（2）3.【解析】【分析】（1）利用垂径定理可求实数m的值.（2）设，，由，得，联立直线方程和圆的方程，消去后利用韦达定理可构建关于的方程，从而可求实数m的值.【详解】（1）圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，根据题意可得，可解得，.（2）设，，由，得.联立，消得，则是方程的两根，，，。
江苏省如东高级中学2020届高三数学10月调研试题(扫描版)
1如东高级中学2019-2020学年度第一学期高三年级10月调研测试数 学 试 卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1. 设集合{1,2,3,4}P =，{|22,}Q x x x R =-≤≤∈，则P Q = ▲ .2. 函数()2ln(3)=-f x x x 的定义域是 ▲ .3. 命题“20,0x x ∀<>都有”的否定是 ▲ .4. 已知1tan()42πα+=，且02πα-<<，则=αsin ▲ .5. 若直线1l ：30++=x y m (0>m )与直线2l ：2630x y +-=m = ▲ .6. 已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()(0)2y f xπϕϕ=-<<是偶函数，则ϕ= ▲ .7. 设函数()=f x 2-10310.x x x x⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，，，若f (a )>a ，则实数a 的取值范围为 ▲ .8. 定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0>x 时，x x f x2019log 2019)(+=，则在R 上方程()0f x =的实根个数为 ▲ .29. 若{}1,∈-x m 是不等式2230--≤x x 成立的充分不必要条件,则实数m 的范围是 ▲ . 10. 已知直线l 的方程是60x y +-=，,A B 是直线l 上的两点，且∆OAB 是正三角形（O 为坐标原点），则∆OAB 外接圆的方程是 ▲ . 11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2xbax y +=(b a ,为常数)过点)4,1(P ，且该曲线在点P 处的切线与直线03=++y x 垂直，则b a 2+的值是 ▲ .12. 在三角形ABC ∆中，=4AB ，0AC λλ=>（），若2CA CB ⋅≥-对任意的0λ>恒成立，则角A 的取值范围为 ▲ . 13. 已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛≤≤=2211x x x f ，记()m k d ,为函数()x f y =图像上的点到直线m kx y +=的距离的最大值，那么()m k d ,的最小值为 ▲ .14. 若存在[]1,2a ∈，使得关于x 的方程22()()+-=a a tx a x有四个不等的实数根，则实数t 的取值范围是 ▲ .二、解答题: 本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)已知函数22()2sincos cos )4444x x x x f x =-． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若[],x ππ∈-，[]()lg ()1g x f x =-，求函数()g x 的单调递增区间．16. (本小题满分14分)在ABC ∆中，=BC 2=⋅AC AB ．（1）求ABC ∆三边的平方和；（2）当ABC ∆的面积最大时，求cos B 的值．317．(本小题满分14分)已知直线l ：120kx y k -++= (k R ∈). （1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB ∆的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．18. (本小题满分16分)如图,某市有一条东西走向的公路l ，现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m .在施工过程中发现在O 处的正北方向1百米的A 处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市决定以A 为圆心、1百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路l ，m ，欲再新建一条公路PQ ，点,P Q 分别在公路l ，m 上（点,P Q 分别在点O 的正东、正北方向），且要求PQ 与圆A 相切. （1） 当点P 距O 处2百米时，求OQ 的长； （2）当公路PQ 的长最短时, 求OQ 的长419．(本小题满分16分)已知a ∈R ，函数1()e x f x ax -=-的图象与x 轴相切． （1）求实数a 的值； （2）求()f x 的单调区间；（3）当1x >时，恒有()(1)ln f x m x x >-，求实数m 的取值范围．20. (本小题满分16分)已知函数f (x )＝x ln x －x ．（1）设g (x )＝f (x )＋|x －a |，a ∈R ．e 为自然对数的底数． ①当a ＝－2e 3时，判断函数g (x )零点的个数；②当x ∈ [1e ，e]时，求函数g (x )的最小值．（2）设0＜m ＜n ＜1，求证：f (n )＋2mm 2＋1＜0．5如东高级中学2019-2020学年度第一学期高三年级10月调研测试数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1. 设:p 实数x 满足22430x ax a -+<（其中0>a ），:q 实数x 满足302x x -≤-． 若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．2. 已知函数()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若02x π≤≤，求函数()f x 的值域.3. 二次函数2(0)y x bx b =+≠图像与x 轴交于O ，A 两点，交直线:l y x =于O ，B 两点，经过三点O ，A ，B 作圆C ．（1）求证：当b 变化时，圆C 的圆心在一条定直线上； （2）求证：圆C 经过除原点外的一个定点．4. 已知函数x e a x f x +-=2)21()(.（R a ∈） （Ⅰ）若)(x f 在区间)0(∞+，上单调递减，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若在区间),0(+∞上，函数)(x f 的图象恒在曲线xae y 2=下方，求a 的取值范围．6如东高级中学2019-2020学年度第一学期高三年级10月调研测试数学参考答案一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1. {}1,22. (0,3)3. 20,0x x ∃<≤有4. 1010- 5. 172 6. 3π 7. (-∞，-1)8. 3 9. ]23,1(- 10. 8)2()2(22=-+-y x 11. 5 12. [,]4ππ 13.8214. ( 二、解答题: 本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分) 解：（Ⅰ）()fx sin 22x x =π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ……………4分()f x ∴的最小正周期2π4π12T ==． ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知[]()lg ()1lg 2sin()123x g x f x π⎡⎤=-=+-⎢⎥⎣⎦， ……………8分 故1sin()232x π+>，得5226236x k k πππππ+<+<+， 结合[]()lg ()1g x f x =-单调递增得226232x k k πππππ+<+≤+， ……………10分4433k x k k Z ππππ∴-<≤+∈，， ……………12分[],x ππ∈-，∴函数()g x 的单调递增区间为,33ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦． ……………14分716. (本小题满分14分)解：（Ⅰ）（1）因为2=⋅AC AB ，所以cos 2AB AC A ∙∙=． ……………2分 在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos BC AB AC AB AC A =+-∙∙，即2224AB AC =+-，于是2210AB AC +=， ……………4分故22210616AB BC AC ++=+=为定值． ……………6分 （2）由（1）知：2210AB AC +=，所以2252AB AC AB AC +∙≤=，当且仅当AB AC =时取“=”号， ……………8分 因为cos 2AB AC A ∙∙=，所以2cos A AB AC=∙，从而sin A == ……………10分ABC ∆的面积11sin 22S AB AC A AB AC =∙∙=∙2=≤=， ……………12分 当且仅当AB AC =时取“=”号．因为2210AB AC +=，所以当AB AC =时，AB AC ==故2cos BCB AB ===． ……………14分17. 解:(1)证明：∵直线l 的方程可化为(2)(1)0k x y ++-=， ……………2分令2010x y +=⎧⎨-=⎩，解得：21x y =-⎧⎨=⎩， ……………4分∴无论k 取何值，直线总经过定点(2,1)-. ……………6分 (2)解：由题意可知0k ≠，再由l 的方程，得12(,0)kA k+-，(012)B k +，．8依题意得：120120k k k +⎧-<⎪⎨⎪+>⎩，解得0k >． ……………8分 ∵21112(12)11112(44)(224)422222k k S OA OB k k k k k ++=⋅⋅=⋅+==++≥⨯⨯+=，……10分当且仅当 140k k =>，即12k =，取“＝” ……………12分 ∴min 4S =，此时直线l 的方程为240x y -+=． ……………14分 18. 解：以O 为原点，直线l 、m 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系．设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1百米为单位长度，则圆A 的方程为22(1)1x y +-=，……………2分(1)由题意可设直线PQ 的方程为12x yq+=，即220qx y q +-=，(2)q >， PQ与圆A 相切，∴1=，解得83q =， ……………4分故当P 距O 处2百米时，OQ 的长为83百米． ……………6分 （2）设直线PQ 的方程为1x yp q+=，即0qx py pq +-=，(1,2)p q >>， ∵PQ 与圆A1=，化简得22q p q =-，则22222q PQ p q q q =+=+-， ……………9分令2()(2)2q f q q q q =+>-，∴22222(1)(31)()2(2)(2)q q q f q q q q --+'=-=--(2)q >，…11分当322q +<<时，()0f q '<，即()f q在3(2,2+上单调递减；当q >()0f q '>，即()f q在)+∞上单调递增， …………13分9∴()f q在q =PQ 长最短时，OQ14分答：（1)当P 距O 处2百米时，OQ 的长为83百米；（2）当公路PQ 长最短时，OQ的长为32+百米 ……………16分19. 解：（1）()1ex f x a -'=-，设切点为0(,0)x ，依题意，00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩即00101e 0,e 0,x x ax a --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得01,1,x a =⎧⎨=⎩所以()1e 1x f x -'=-． ……………4分 (2)当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞． ……………6分（3）令()()(1)ln g x f x m x x =--，0x >． 则11()e (ln )1x x g x m x x --'=-+-，令()()h x g x '=，则1211()e ()x h x m x x-'=-+， （ⅰ）若21m ≤，因为当1x >时，1e 1x ->，211()1m x x +<，所以()0h x '>，所以()h x 即()g x '在(1,)+∞上单调递增． ……………8分又因为(1)0g '=，所以当1x >时，()0g x '>，从而()g x 在[1,)+∞上单调递增，而(1)0g =，所以()0g x >，即()(1)ln f x m x x >-成立． ……………10分（ⅱ）若12m >，可得1211()e ()x h x m x x -'=-+在(0,)+∞上单调递增．因为(1)120h m '=-<，211(1ln(2))201ln(2)[1ln(2)]h m m m m m ⎡⎤'+=-+>⎢⎥++⎣⎦，……………12分 所以存在1(1,1ln(2))x m ∈+，使得1()0h x '=，且当1(1,)x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 即()g x '在1(1,)x 上单调递减，又因为(1)0g '=，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x '<， 从而()g x 在1(1,)x 上单调递减，而(1)0g =，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x <，即()(1)ln f x m x x >-不成立综上所述，k 的取值范围是1(,]2-∞……………16分1020. 解：（1）①当a ＝－2e 3时，g (x )＝x ln x －x ＋|x ＋2e 3|＝x ln x ＋2e3，g′(x )＝1＋ln x ，当0＜x ＜1e 时，g′(x )＜0；当x ＞1e时，g′(x )＞0；因此g (x )在 (0，1e )上单调递减，在(1e ，＋∞)上单调递增，又g (1e 4)＝2e 3－4e 4＝2e －4e 4＞0，g (1e )＝－1e ＋2e 3＝2－e 2e 3＜0，g (1)＝2e3＞0，所以g (x )有且仅有两个零点． ……………2分 ②（i ）当a ≤1e时，g (x )＝x ln x －x ＋x －a ＝x ln x －a ，因为x ∈[1e，e]，g′(x )＝1＋ln x ≥0恒成立，所以g (x )在[1e ，e]上单调递增，所以此时g (x )的最小值为g (1e )＝－1e －a ．……………4分（ii ）当a ≥e 时，g (x )＝x ln x －x ＋a －x ＝x ln x －2x ＋a ，因为x ∈[1e，e]，g′(x )＝ln x －1≤0恒成立，所以g (x )在[1e ，e]上单调递减，所以此时g (x )的最小值为g (e)＝a －e ．……………6分（iii ）当1e＜a ＜e 时，若1e ≤x ≤a ，则g (x )＝x ln x －x ＋a －x ＝x ln x －2x ＋a ， 若a ≤x ≤e，则g (x )＝x ln x －x ＋x －a ＝x ln x －a ，由（i ），（ii ）知g (x )在[1e，a ]上单调递减，在[a ，e]上单调递增，所以此时g (x )的最小值为g (a )＝a ln a －a ， ……………8分 综上有：当a ≤1e 时，g (x )的最小值为－1e－a ；当1e＜a ＜e 时，g (x )的最小值为a ln a －a ； 当a ≥e 时，g (x )的最小值为a －e ． ……………10分 （2）设h (x )＝2xx 2＋1， 则当x ∈(0，1)时，h′(x )＝2(1－x 2)(1＋x 2)2＞0，于是h (x )在(0，1)单调递增，又0＜m ＜n ＜1，所以h (m )＜h (n )，11 从而有f (n )＋2m m 2＋1＜f (n )＋h (n )＝n (ln n －1＋2n 2＋1) ……………12分 设φ(x )＝ln x －1＋2x 2＋1，x ＞0 则φ′(x )＝1x －4x (1＋x 2)2＝(x 2－1)2x (1＋x 2)2≥0， 因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，因为0＜n ＜1，所以φ(n )＜φ(1)＝0，即ln n －1＋2n 2＋1＜0， 因此f (n )＋2m m 2＋1＜n (ln n －1＋2n 2＋1)＜0， 即原不等式得证． ……………16分如东高级中学2019-2020学年度第一学期高三年级10月调研测试数学（加试）参考答案1.解： 设{}3A x a x a =<<， {}23B x x =<≤，p 是q 的必要不充分条件，则B A Ö； 则02 33a a <≤⎧⎨>⎩，所以实数a 的取值范围是12a <≤. ……………10分 2.解： ()()2sin cos sin cos f x x x x x x x ==+1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ ……………5分 由02x π≤≤得，42333x πππ≤+≤，sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭．∴0sin 21322x π⎛⎫≤++≤+ ⎪⎝⎭，即函数()f x的值域为0,12⎡+⎢⎣⎦． ……………10分 3.解：（I ）在方程bx x y +=2中．令x y y ==,0，易得()()b b B b A ---1,1,0,设圆C 的方程为022=+++Ey Dx y x 则()()()()⎩⎨⎧=-+-+-+-=-011110222E b D b b b bD b ⇒⎩⎨⎧-==2b E b D ， 故经过三点O ，A ，B 的圆C 的方程为x 2+y 2+bx+（b ﹣2）y=0，设圆C 的圆心坐标为（x 0，y 0），12 则x 0=﹣，y 0=﹣，∴y 0=x 0+1，这说明当b 变化时，（I ）中的圆C 的圆心在定直线y=x+1上． ……………5分（II ）设圆C 过定点（m ，n ），则m 2+n 2+bm+（b ﹣2）n=0，整理得（m+n ）b+m 2+n 2﹣2n=0，它对任意b≠0恒成立，∴⇒或故当b 变化时，（I ）中的圆C 经过除原点外的一个定点坐标为（﹣1，1）． ……………10分4.解：（Ⅰ）)(x f 在区间)0(∞+，上单调递减，则01)12()(2≤+-='x e a x f 在区间)0(∞+，上恒成立． …………1分 即x e a 2121≥-，而当)0(∞+∈，x 时，112<x e，故121≥-a ． 所以0≤a ． …………3分 （Ⅱ）令x ae e a ae x f x g x x x +--=-=2)21(2)()(2，定义域为R .在区间),0(+∞上，函数)(x f 的图象恒在曲线x ae y 2=下方等价于0)(<x g 在区间),0(+∞上恒成立. ∵]1)12)[(1(12)12()(2---=+--='x x x xe a e ae e a x g …………4分 ①若21>a ，令0)(='x g ，得极值点01=x ，121ln 2-=a x ， 当012=>x x ，即121<<a 时，在（2x ，+∞)上有0)(>'x g ，此时)(x g 在区间),(2+∞x 上是增函数，并且在该区间上有)),(()(2+∞∈x g x g ，不合题意；当012=≤x x ，即1≥a 时，同理可知，)(x g 在区间),0(+∞上，有)),0(()(+∞∈g x g ，也不合题意； …………6分 ②若21≤a ，则有012≤-a ，此时在区间),0(+∞上恒有0)(<'x g ，从而)(x g 在区间),0(+∞上是减函数；要使0)(<x g 在此区间上恒成立，只须满足021)0(≤--=a g 21-≥⇒a ， 由此求得a 的范围是]21,21[-． …………8分 综合①②可知，当]21,21[-∈a 时，函数)(x f 的图象恒在直线x ae y 2=下方.………10分。
江苏省南通市如东县丰利中学2020-2021学年高二数学理月考试题含解析
江苏省南通市如东县丰利中学2020-2021学年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 己知命题p：存在；命题q：△ABC中，若sinA>sinB，则A>B，则下列命题中为真命题的是( )．(A)p且q (B)p或q(C)p且q (D)p且q参考答案：C2. 下列函数中，最小值为4的是（）A．B．C． D．参考答案：C略3. 已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=( )A． B. C. D.参考答案：C略4. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则函数有下列结论中一定成立的是A．有极大值和极小值B．有极大值和极小值C．有极大值和极小值D．有极大值和极小值参考答案：D略5. 设x∈R，则|x+1|＜1是|x|＜2成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略6. 已知函数是定义在R上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数x，都有恒成立，且，则使成立的实数x的集合为（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】构建新函数，可证它是偶函数且为上的增函数，故可得实数满足的不等式组，从而得到原不等式的解集.【详解】令，则，故当时，有，所以在上的增函数，又，故为上的偶函数.且在上的减函数，又等价于，所以或，综上，实数的集合，故选B.【点睛】如果题设中有关于函数及其导数的不等式，我们应具体该式的形式构建新函数并且新函数的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规则.7. 执行如图所示的程序框图，如果输入a=3，b=2，则输出的a的值为（）A．2 B．7 C．9 D．13参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加a值，并判断满足a＞8时输出a的值．【解答】解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：是否继续循环 a b循环前/3 2第一圈否 5 2第二圈否 7 2第三圈否 9 2第四圈是故最终输出的a值为9．故选：C．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．8. 已知S n为数列{a n}的前n项和，若a2=3且S n+1=2S n，则a4等于（）A．6 B．12 C．16 D．24参考答案：B 【考点】数列递推式．【分析】S n+1=2S n，n≥2时，a n+1=S n+1﹣S n=2S n﹣2S n﹣1=2a n，再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵S n+1=2S n，∴n≥2时，a n+1=S n+1﹣S n=2S n﹣2S n﹣1=2a n，∴数列{a n}从第二项起为等比数列，公比为2．∴=3×4=12．故选：B．9. 向量i=（1，0），j=（0，1），下列向量中与向量垂直的是（）A． B． C． D．参考答案：B10. 已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（）A. B. C. D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线上一点和焦点的距离等于，则点的坐标是.参考答案：，12. 已知函数f（x）是R上的可导函数，且f′（x）=1+cosx，则函数f（x）的解析式可以为．（只须写出一个符合题意的函数解析式即可）参考答案：f（x）=x+sinx【考点】导数的运算．【专题】函数思想；定义法；导数的概念及应用．【分析】根据函数的导数公式进行求解即可．【解答】解：∵x′=1，（sinx′）=cosx，∴当f（x）=x+sinx时，满足f′（x）=1+cosx，故答案为：x+sinx．（答案可有多种形式）【点评】本题主要考查函数的导数的计算，比较基础．13. 若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜}，则a=．参考答案：﹣3【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由题意可得﹣和是|ax﹣2|=3的两个根，故有，由此求得a的值．【解答】解：∵关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜}，∴﹣和是|ax﹣2|=3的两个根，∴，∴a=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．14. 如图所示,二面角α-l-β为60°, A,B是棱l上的点, AC,BD分别在半平面α,β内,AC⊥l,BD⊥l, 且AB=AC=a,BD=2a, 则CD的长为 .参考答案：2a .15.参考答案：略16. 右图程序框图的运行结果是参考答案：12017. 自点A（﹣3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0相交于MN，且|MN|=4，则光线l所在的直线方程为：．参考答案：x+2y﹣3=0或2x+y+3=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】数形结合；分类讨论；直线与圆．【分析】由对称性和直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得．【解答】解：设直线l的斜率为k，则反射光线的斜率为﹣k且经过A关于x轴的对称点（﹣3，﹣3），故反射光线的方程为y+3=﹣k（x+3），即kx+y+3k+3=0，∵圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0的圆心为（2，2），半径为3，|MN|=4，∴圆心（2，2）到直线kx+y+3k+3=0的距离d==，∴=，解得k=﹣2或k=﹣，当k=﹣2时，直线方程为y﹣3=﹣2（x+3），即2x+y+3=0；当k=﹣时，直线方程为y﹣3=﹣（x+3），即x+2y﹣3=0；故答案为：x+2y﹣3=0或2x+y+3=0【点评】本题考查直线的对称性和直线与圆的位置关系，涉及分类讨论的思想，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年江苏省南通中学高二(上)10月月考数学试卷
2019-2020学年江苏省南通中学高二（上）10月月考数学试卷试题数：22.满分：01.（单选题.5分）不等式（x-1）（x-3）＞0的解集为（ ） A.{x|x ＜1} B.{x|x ＞3} C.{x|x ＜1或x ＞3} D.{x|1＜x ＜3}2.（单选题.5分）在等差数列{a n }中.若a 1=4.a 5=12.则公差d=（ ） A.2 B.3 C.1 D.43.（单选题.5分）在数列{a n }中.已知a n = n 2+n−13 .n∈N*.则 193是数列中的第（ ）项.A.3B.4C.5D.64.（单选题.5分）已知等比数{a n }满足a 1a 7=3a 4a 3.则数列{a n }的公比q=（ ） A.2 B. 13C.3D. 125.（单选题.5分）已知数列（a n }中.a 1=2.a 2=5.a n+2=a n+1-a n .n∈N*.则a 2019=（ ） A.2 B.3 C.5 D.-26.（单选题.5分）某公司一年购买某种货物600吨.每次购买x 吨.运费为6万元/次.一年的总存储费用为4x 万元.则一年的总运费与总存储费用和最小为（ ） A.60万元C.200万元D.240万元7.（单选题.5分）已知正数x.y 满足x+ yx =2.且 ax +xy （a ＞0）的最小值为2.则a 的值为（ ） A. √3 B.2 C.1 D.38.（单选题.5分）《算法统宗》是明代程大位编纂的一部以实用为主的数学著作.共17卷.记载了各种生活问题的解法及口诀.很多问题都以诗歌形式呈现其中.行程减等歌：“三百七十八里关.初行健步不为难次日脚痛减一半.六朝才得到其关要见每朝行里数.请公仔细算相还？（意思是：两地相距378里.从一地出发.第一天健步如飞.从第二天起.每天只能走前一天的一半路程.走了六天才到另外地要知道走了多少路稈.请您仔细算算告诉我）则第一天走了（ ）里 A.96 B.192 C.184 D.929.（单选题.5分）平面直角坐标系xOy 中.P 是曲线y=x+ 3x（x≥1）上的一个动点.则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是（ ） A. √3 B.4 C. √5 D.2 √310.（单选题.5分）在正项等比数列{a n }中.a 5= 12 .a 6+a 7=3．则满足a 1+a 2+a 3+…+a n ＞a 1a 2a 3…a n 的最大正整数n 的值为（ ） A.10 B.11 C.12 D.1311.（单选题.5分）已知函数f （x ）= {log 12(−x +1)−1，x ∈[−1，k]−2|x −1|，x ∈[k ，a] .若在在实数k 使得该函数的值域为[-2.0].则实数a 的取值范围是（ ）B.（ 12 .2] C.（ 34 .2） D.（ 34 .2]12.（单选题.5分）设{a n }是等比数列.公比q= √23.S n 为{a n }前n 项的和.记T n = 17S n −S 2na n+1.n∈N .设T n 0 为数列{T n }的最大项.则n 0=（ ） A.3 B.4 C.5 D.613.（填空题.5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n .且a n =19-3n.则当n=___ .S n 有最大值___ ． 14.（填空题.5分）已知关于x 的不等式ax 2+bx+a 2+1＜0的解集是（-∞.-1]∪[2.+∞）.则a-b=___ ．15.（填空题.5分）已知a.b∈R .a+b=2.则 1a 2+1 + 1b 2+1 的最大值为___ ．16.（填空题.5分）已知函数y=f （x ）是定义在R 上恒不为0的单调函数.对任意的x.y∈R .总有f （x ）f （y ）=f （x+y ）成立.若数列{a n }的n 项和为S n .且满足a 1=f （0）. f (a n+1)=1f (3n+1−2a n )（n∈N *）.则S n =___ ．17.（问答题.8分）已知关于x 的不等式x 2-（a+2）x+2a ＜0． （1）当a=1时.解不等式； （2）当a∈R 时.解不等式．18.（问答题.10分）已知函数f （x ）=x 2+mx+n 的图象过点（1.3）.且f （-1+x ）=f （-1-x ）对任意实数都成立.函数y=g （x ）与y=f （x ）的图象关于原点对称． （1）求f （x ）与g （x ）的解析式；（2）若F （x ）=g （x ）-λf （x ）+λx 2在（-1.1]上是单调函数.求实数λ的取值范围．19.（问答题.12分）已知数列{a n}中.a1=1.前n项和S n= n+23a n．（1）求a2.a3；（2）求{a n}的通项公式．20.（问答题.0分）在△ABC中.内角A.B.C所对的边分别为a.b.c．已知bsinA=acos（B- π6）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2.c=3.求b和sin（2A-B）的值．21.（问答题.14分）某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P= x+24（其中0≤x≤a.a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+ 1P）万元（不含促销费用）.产品的销售价格定为（4+ 20p）元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时.该公司的利润最大？22.（问答题.14分）设数列{a n}.对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n）.（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0.b=3.p=-4时.求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1.b=0.p=0时.若a3=3.a9=15.求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项.则称该数列是“封闭数列”．当k=1.b=0.p=0时.设S n是数列{a n}的前n项和.a2-a1=2.试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}.使得对任意n∈N*.都有S n≠0.且112＜1S1+1S2+1S3+⋯+1S n＜1118．若存在.求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在.说明理由．2019-2020学年江苏省南通中学高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：01.（单选题.5分）不等式（x-1）（x-3）＞0的解集为（）A.{x|x＜1}B.{x|x＞3}C.{x|x＜1或x＞3}D.{x|1＜x＜3}【正确答案】：C【解析】：先求出方程（x-1）（x-3）=0的根.再求出对应不等式的解集．【解答】：解：由方程（x-1）（x-3）=0.得x1=1.x2=3.所以不等式（x-1）（x-3）＞0的解集是{x|x＜1或x＞3}．故选：C．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法.属于基础题．2.（单选题.5分）在等差数列{a n}中.若a1=4.a5=12.则公差d=（）A.2B.3C.1D.4【正确答案】：A【解析】：根据题意.由等差数列的通项公式可得d= a5−a15−1.计算即可得答案．【解答】：解：根据题意.在等差数列{a n}中.若a1=4.a5=12.则d= a5−a15−1 = 12−45−1=2；故选：A．【点评】：本题考查等差数列的通项公式.关键是掌握等差数列的通项公式的形式.属于基础题．3.（单选题.5分）在数列{a n }中.已知a n = n 2+n−13 .n∈N*.则 193是数列中的第（ ）项.A.3B.4C.5D.6【正确答案】：B【解析】：根据题意.由数列的通项公式可得 n 2+n−13 = 193 .解可得n 的值.即可得答案．【解答】：解：根据题意.数列{a n }中.已知a n = n 2+n−13. 若n 2+n−13 = 193.即n 2+n-1=19.解可得：n=4或-5（舍）； 故选：B ．【点评】：本题考查数列的表示方法.涉及数列的通项公式的应用.属于基础题． 4.（单选题.5分）已知等比数{a n }满足a 1a 7=3a 4a 3.则数列{a n }的公比q=（ ） A.2 B. 13 C.3 D. 12【正确答案】：C【解析】：由已知得 a 12q 6=3a 12q 5 .由上此能求出q=3．【解答】：解：∵等比数{a n }满足a 1a 7=3a 4a 3. ∴ a 12q 6=3a 12q 5 . 解得q=3． 故选：C ．【点评】：本题考查等比数列的公比的求法.是基础题.解题时要注意等比数列的通项公式的合理运用．5.（单选题.5分）已知数列（a n }中.a 1=2.a 2=5.a n+2=a n+1-a n .n∈N*.则a 2019=（ ） A.2 B.3C.5D.-2【正确答案】：B【解析】：根据递推关系求出数列的前几项.得到其为周期数列即可求解．【解答】：解：因为：数列（a n}中.a1=2.a2=5.a n+2=a n+1-a n.n∈N*.∴a3=a2-a1=3；a4=a3-a2=-2；a5=a4-a3=-5；a6=a5-a4=-3；a7=a6-a5=2；a8=a7-a6=5；所以数列是以6为周期的周期数列；因为2019=6×336+3；∴a2019=a3=3．故选：B．【点评】：本题主要考查有数列的递推关系式求数列的特殊项.解决本题的关键点在于找到其规律．6.（单选题.5分）某公司一年购买某种货物600吨.每次购买x吨.运费为6万元/次.一年的总存储费用为4x万元.则一年的总运费与总存储费用和最小为（）A.60万元B.160万元C.200万元D.240万元【正确答案】：D【解析】：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和：600x×6+4x.利用基本不等式的性质即可得出．【解答】：解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和：600x ×6+4x≥2× √3600x×4x=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故选：D．【点评】：本题考查了基本不等式的性质及其应用.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．7.（单选题.5分）已知正数x.y满足x+ yx =2.且ax+xy（a＞0）的最小值为2.则a的值为（）A. √3B.2C.1D.3【正确答案】：C【解析】：利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】：解：∵正数x.y满足x+ yx=2.∴ a x +xy= 12（ax+xy）（x+ yx）= 12（a+1+ ayx2+x2y）≥12(a+1+2√a) ..即最小值12（a+1+2 √a）=2.∵a＞0.∴a=1．故选：C．【点评】：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质.属于基础题．8.（单选题.5分）《算法统宗》是明代程大位编纂的一部以实用为主的数学著作.共17卷.记载了各种生活问题的解法及口诀.很多问题都以诗歌形式呈现其中.行程减等歌：“三百七十八里关.初行健步不为难次日脚痛减一半.六朝才得到其关要见每朝行里数.请公仔细算相还？（意思是：两地相距378里.从一地出发.第一天健步如飞.从第二天起.每天只能走前一天的一半路程.走了六天才到另外地要知道走了多少路稈.请您仔细算算告诉我）则第一天走了（）里A.96B.192C.184D.92【正确答案】：B【解析】：设第一天走了a 1里.则{a n }是公比为q= 12 的等比数列.利用等比数列的前n 项和公式能求出第一天走了多少里路．【解答】：解：设第一天走了a 1里.则{a n }是公比为q= 12 的等比数列. 由题意得： S 6=a 1[1−(12)6]1−12=378.解得a 1=192． 故选：B ．【点评】：本题考查等比数列的首项的求法.考查等比数列的性质在生产生活中的应用等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．9.（单选题.5分）平面直角坐标系xOy 中.P 是曲线y=x+ 3x（x≥1）上的一个动点.则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是（ ） A. √3 B.4 C. √5 D.2 √3【正确答案】：D【解析】：利用导数求平行于x+y=0的直线与曲线y=x+ 3x（x≥1）的切点. 再由点到直线的距离公式求点P 到直线x+y=0距离的最小值．【解答】：解：由y=x+ 3x （x≥1）.得y′=1- 3x 2 .设斜率为-1的直线与曲线y=x+ 3x （x≥1）切于点P （x 0.x 0+ 3x 0）.由1- 3x 02 =-1.解得x 0= √62 （x 0≥1）；∴曲线y=x+ 3x （x≥1）上.点P （ √62 . 3√62）到直线x+y=0的距离最小.最小值为d= |√62+3√62|√2=2 √3 ．故选：D ．【点评】：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程.也考查了点到直线的距离公式计算问题.是中档题．10.（单选题.5分）在正项等比数列{a n }中.a 5= 12.a 6+a 7=3．则满足a 1+a 2+a 3+…+a n ＞a 1a 2a 3…a n 的最大正整数n 的值为（ ） A.10 B.11 C.12 D.13【正确答案】：C【解析】：由a 5= 12 .a 6+a 7= a 5(q +q 2) =3.结合等比数列的通项公式可求q 及a 1.然后根据已知不等式及等比数列的求和公式可得关于n 的不等式.解不等式可求n ．【解答】：解：∵正项等比数列{a n }中.a 5= 12.a 6+a 7= a 5(q +q 2) =3. ∴q 2+q=6 ∵q ＞0.解可得.q=2或q=-3（舍）. ∴a 1= 132 .∵a 1+a 2+a 3+…+a n =132(1−2n )1−2= 2n −132 .a 1a 2a 3…a n = √(a 1a n )n = (132)n × 2n (n−1)2 .∴ 2n −132＞132n×2n (n−1)2=2n (n−11)2.整理可得.n ＞(n −1)(12n −5) . ∴1＜n≤12.经检验n=12满足题意.故满足题意的最大正整数n 的值为12． 故选：C ．【点评】：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式.等比数列的性质等知识的简单综合应用.属于中档试题．11.（单选题.5分）已知函数f （x ）= {log 12(−x +1)−1，x ∈[−1，k]−2|x −1|，x ∈[k ，a] .若在在实数k 使得该函数的值域为[-2.0].则实数a 的取值范围是（ ）A.（1.2]B.（12.2]C.（34.2）D.（34.2]【正确答案】：B【解析】：当-1≤x≤k时.函数f（x）递增.且在区间左端点处有f（-1）=-2.当k≤x≤a时.f（x）在[k. 12 ]单调递增.[1.a]上单调递减.在[ 12.1]单调递增；从而当x=1时.函数有最大值.即为f（1）=0.函数在右端点的函数值为f（2）=-2.结合图象即可求出a的取值范围．【解答】：解：当-1≤x≤k时.函数f（x）=log 12（1-x）-1为增函数.且在区间左端点处有f（-1）=-2.令f（x）=0.解得x= 12.令f（x）=-2|x-1|=-2.解得x=2.∵f（x）的值域为[-2.0].∴k≤2.当k≤x≤a时.f（x）=-2|x-1|= {−2x+2，1≤x≤a 2x−2，k≤x＜1∴f（x）在[k. 12 ]单调递增.[1.a]上单调递减.在[ 12.1]单调递增从而当x=1时.函数有最大值.即为f（1）=0.函数在右端点的函数值为f（2）=-2.∵f（x）的值域为[-2.0].∴ 12＜a≤2.故选：B．【点评】：本题考查分段函数的问题.根据函数的单调性求出函数的值域是关键.属于中档题．12.（单选题.5分）设{a n }是等比数列.公比q= √23.S n 为{a n }前n 项的和.记T n = 17S n −S 2na n+1.n∈N .设T n 0 为数列{T n }的最大项.则n 0=（ ） A.3 B.4 C.5 D.6【正确答案】：D【解析】：令t=q n ＞1.化简T n .根据基本不等式.求出n 的最大值．【解答】：解：令t=q n ＞1.T n = 17S n −S2n a n+1=17•a 1(1−q n )1−q−a 1(1−q 2n )1−qa 1q n−1=(q n −1)(q n −16)q n (1q−1)= q 1−q •(t−1)(t−16)t= q1−q (t +16t−17) ≤q1−q (8−17)=−9q1−q .当且仅当t=4时.取等号. 此时q n =4.即 2(13n)=22 .n=6. 故选：D ．【点评】：考查等比数列的前n 项和公式及其应用.还用了基本不等式.中档题．13.（填空题.5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n .且a n =19-3n.则当n=___ .S n 有最大值___ ． 【正确答案】：[1]6; [2]51【解析】：根据题意.由数列的通项公式分析可得数列{a n }为等差数列.且首项a 1=16.进而由等差数列的前n 项和公式可得S n 的表达式.结合二次函数的性质分析可得答案．【解答】：解：根据题意.数列{a n }中.其通项公式a n =19-3n.则数列{a n }为等差数列.且首项a 1=16. 则S n =(a 1+a n )×n2=−3n 2+35n2 . 又由n∈N +.则n=6时.S n 有最大值.且其最大值为51； 故答案为：6.51．【点评】：本题考查等差数列的前n 项和的性质.注意等差数列的通项公式.属于基础题．14.（填空题.5分）已知关于x 的不等式ax 2+bx+a 2+1＜0的解集是（-∞.-1]∪[2.+∞）.则a-b=___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：根据一元二次不等式与对应方程的关系.列方程组求得a 、b 的值.再计算a-b ．【解答】：解：关于x 的不等式ax 2+bx+a 2+1＜0的解集是（-∞.-1]∪[2.+∞）. 所以a ＜0.且-1和2是方程ax 2+bx+a 2+1=0的实数根. 则 {−1+2=−ba −1×2=a 2+1a . 解得a=-1.b=1； 所以a-b=-1-1=-2． 故答案为：-2．【点评】：本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题.是基础题． 15.（填空题.5分）已知a.b∈R .a+b=2.则 1a 2+1 + 1b 2+1的最大值为___ ． 【正确答案】：[1]√2+12【解析】：可设a=1-x.b=1+x.代入所求式子进行化简后结合基本不等式可求最大值．【解答】：解：∵a+b=2. 不妨设a=1-x.b=1+x.则 1a 2+1 + 1b 2+1 = 11+(1−x )2+1(1+x )2+1 = 1x 2−2x+2+1x 2+2x+2= 2(x 2+2)(x 2+2)2−4x 2 = 2(x 2+2)(x 2+2)2−4(x 2+2)+8 .令t=2+x 2.则t≥2. 上式可化简为 2t+8t−4 ≤2√8−4 = √2+12. 即最大值√2+12. 故答案为： √2+12．【点评】：本题考查了基本不等式在求最值中的应用.属于中档题．16.（填空题.5分）已知函数y=f （x ）是定义在R 上恒不为0的单调函数.对任意的x.y∈R .总有f （x ）f （y ）=f （x+y ）成立.若数列{a n }的n 项和为S n .且满足a 1=f （0）. f (a n+1)=1f (3n+1−2a n )（n∈N *）.则S n =___ ．【正确答案】：[1]5×2n+1-3n+2+112【解析】：首先求出特殊值f （0）.然后结合f （x ）f （y ）=f （x+y ）把已知条件变形为a n+1与a n 的关系式.进一步整理得数列{a n +3n+1}为等比数列.再运用等比数列通项公式求得a n .最后分别运用等比数列前n 项和公式求得S n ．【解答】：解：因为任意的x.y∈R .总有f （x ）f （y ）=f （x+y ）成立. 所以f （0）f （0）=f （0）.即f （0）•（f （0）-1）=0. 解得f （0）=1.即a 1=1.又f （a n+1）•f （3n+1-2a n ）=1.即f （a n+1+3n+1-2a n ）=f （0）. 所以a n+1+3n+1-2a n =0.则a n+1+3n+1+2×3n+1=2a n +2×3n+1.即a n+1+3n+2a n +3n+1=2. 所以数列{a n +3n+1}是首项为10.公比为2的等比数列. 则a n +3n+1=10×2n-1.即a n =5×2n -3n+1. 所以S n =5×2(1−2n )1−2- 32(1−3n )1−3 = 5×2n+1−3n+2+112． 故答案为 5×2n+1−3n+2+112．【点评】：本题主要考查等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式.同时考查函数的单调性等．17.（问答题.8分）已知关于x 的不等式x 2-（a+2）x+2a ＜0． （1）当a=1时.解不等式； （2）当a∈R 时.解不等式．【正确答案】：【解析】：（1）当a=1时.不等式为x 2-3x+2＜0.可得（2）原不等式可转化为：（x-a ）（x-2）＜0分① a＞2. ② a=2. ③ a＜2三种情况讨论进行求解【解答】：解：（1）当a=1时.不等式为x2-3x+2＜0解可得{x|1＜x＜2}（2）原不等式可转化为：（x-a）（x-2）＜0① 当a＞2时.不等式的解集为{x|2＜x＜a}② a=2时.不等式的解答集为∅③ a＜2时不等式的解集合为{x|a＜x＜2}【点评】：本题主要考查了一元二次不等式的解法.其中（2）中主要考查了分类讨论的思想在解题中的应用．18.（问答题.10分）已知函数f（x）=x2+mx+n的图象过点（1.3）.且f（-1+x）=f（-1-x）对任意实数都成立.函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．（1）求f（x）与g（x）的解析式；（2）若F（x）=g（x）-λf（x）+λx2在（-1.1]上是单调函数.求实数λ的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据函数f（x）=x2+mx+n的图象过点（1.3）.且f（-1+x）=f（-1-x）对任意实数都成立.求f（x）的解析式.利用函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称.求出g （x）的解析式；（2）先写出F（x）解析式.F（x）=g（x）-λf（x）+λx2=-x2+2x-λ（x2+2x）+λx2=-x2+（2-2λ）x.对称轴为x=1-λ.F（x）在（-1.1]上是单调函数.所以1-λ≤-1.或1-λ≥1.进而解出答案．【解答】：解：（1）因为函数f（x）图象过点（1.3）.所以1+m+n=3.即m+n=2.因为f（-1+x）=f（-1-x）.=-1.所以对称轴为x=-1.即−m2解得m=2.n=0.函数f（x）=x2+2x.因为函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．设函数g（x）图象上任意一点（x.y）关于原点对称得（-x.-y）.所以-y=（-x）2+2（-x）.即y=-x2+2x.g（x）=-x2+2x．（2）F（x）=g（x）-λf（x）+λx2=-x2+2x-λ（x2+2x）+λx2=-x2+（2-2λ）x.对称轴为x=1-λ.因为F（x）在（-1.1]上是单调函数.所以1-λ≤-1.或1-λ≥1.解得λ≥2或λ≤0．【点评】：本题考查函数解析式的确定.考查函数的单调性.考查学生分析解决问题的能力.属于中档题．19.（问答题.12分）已知数列{a n}中.a1=1.前n项和S n= n+23a n．（1）求a2.a3；（2）求{a n}的通项公式．【正确答案】：【解析】：（1）由a1=1.前n项和S n= n+23a n．可得：S2= 43a2=1+a2.解得a2．同理可得a3．（2）n≥2时.a n=S n-S n-1= n+23a n - n+13a n−1 .化为：a na n−1= n+1n−1．利用a n= a na n−1•a n−1a n−2•…• a2a1•a1即可得出．【解答】：解：（1）由a1=1.前n项和S n= n+23a n．可得：S2= 43a2=1+a2.解得a2=3．S3= 53a3 =1+3+a3.解得a3=6．（2）n≥2时.a n=S n-S n-1= n+23a n - n+13a n−1 .化为：a na n−1= n+1n−1．∴a n= a na n−1•a n−1a n−2•…• a2a1•a1 = n+1n−1•nn−2• n−1n−3•…•× 53×42×31×1 = n2+n2．n=1时.也满足上式．∴a n= n2+n2．【点评】：本题考查了数列递推关系、累乘求积方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．20.（问答题.0分）在△ABC中.内角A.B.C所对的边分别为a.b.c．已知bsinA=acos（B- π6）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2.c=3.求b和sin（2A-B）的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由正弦定理得bsinA=asinB.与bsinA=acos（B- π6）．由此能求出B．（Ⅱ）由余弦定理得b= √7 .由bsinA=acos（B- π6）.得sinA= √3√7.cosA=√7.由此能求出sin（2A-B）．【解答】：解：（Ⅰ）在△ABC中.由正弦定理得asinA =bsinB.得bsinA=asinB.又bsinA=acos（B- π6）．∴asinB=acos（B- π6）.即sinB=cos（B- π6）=cosBcos π6+sinBsin π6= √32cosB+ 12sinB .∴tanB= √3 .又B∈（0.π）.∴B= π3．（Ⅱ）在△ABC中.a=2.c=3.B= π3.由余弦定理得b= √a2+c2−2accosB = √7 .由bsinA=acos（B- π6）.得sinA= √3√7.∵a＜c.∴cosA=√7.∴sin2A=2sinAcosA= 4√37.cos2A=2cos2A-1= 17.∴sin（2A-B）=sin2AcosB-cos2AsinB= 4√37×12−17×√32= 3√314．【点评】：本题考查角的求法.考查两角差的余弦值的求法.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是中档题．21.（问答题.14分）某公司生产的某批产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足P=x+24（其中0≤x≤a .a 为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+ 1P ）万元（不含促销费用）.产品的销售价格定为（4+ 20p ）元/件． （1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时.该公司的利润最大？【正确答案】：【解析】：（1）根据产品的利润=销售额-产品的成本建立函数关系； （2）利用导数基本不等式可求出该函数的最值.注意等号成立的条件．【解答】：解：（Ⅰ）由题意知.y=（4+ 20p ）p-x-6（p+ 1p ）. 将p=x+24 代入化简得：y=19- 24x+2 - 32x （0≤x≤a ）； （Ⅱ）y=22- 32 （ 16x+2 +x+2）≤22-3 √16x+2×(x +2) =10. 当且仅当 16x+2 =x+2.即x=2时.上式取等号；当a≥2时.促销费用投入2万元时.该公司的利润最大； y=19- 24x+2 - 32 x.y′= 24(x+2)2 - 32 . ∴a ＜2时.函数在[0.a]上单调递增.∴x=a 时.函数有最大值．即促销费用投入a 万元时.该公司的利润最大．【点评】：本题主要考查了函数模型的选择与应用.以及基本不等式在最值问题中的应用.同时考查了计算能力.属于中档题．22.（问答题.14分）设数列{a n }.对任意n∈N *都有（kn+b ）（a 1+a n ）+p=2（a 1+a 2…+a n ）.（其中k 、b 、p 是常数）．（1）当k=0.b=3.p=-4时.求a 1+a 2+a 3+…+a n ；（2）当k=1.b=0.p=0时.若a 3=3.a 9=15.求数列{a n }的通项公式；（3）若数列{a n }中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项.则称该数列是“封闭数列”．当k=1.b=0.p=0时.设S n 是数列{a n }的前n 项和.a 2-a 1=2.试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n }.使得对任意n∈N*.都有S n≠0.且112＜1S1+1S2+1S3+⋯+1S n＜1118．若存在.求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）当k=0.b=3.p=-4时.3（a1+a n）-4=2（a1+a2…+a n）.再写一式.两式相减.可得数列{a n}是以首项为1.公比为3的等比数列.从而可求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1.b=0.p=0时.n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n）.再写一式.两式相减.可得数列{a n}是等差数列.从而可求数列{a n}的通项公式；（3）确定数列{a n}的通项.利用{a n}是“封闭数列”.得a1是偶数.从而可得1811＜a1＜12 .再利用112＜1S1+1S2+1S3+⋯+1S n＜1118.验证.可求数列{a n}的首项a1的所有取值．【解答】：解：（1）当k=0.b=3.p=-4时.3（a1+a n）-4=2（a1+a2…+a n）. ①用n+1去代n得.3（a1+a n+1）-4=2（a1+a2…+a n+a n+1）. ②② - ① 得.3（a n+1-a n）=2a n+1.a n+1=3a n.（2分）在① 中令n=1得.a1=1.则a n≠0.∴ a n+1a n=3 .∴数列{a n}是以首项为1.公比为3的等比数列.∴a1+a2+a3+…+a n= 3n−12．（4分）（2）当k=1.b=0.p=0时.n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n）. ③用n+1去代n得.（n+1）（a1+a n+1）=2（a1+a2…+a n+a n+1）. ④④ - ③ 得.（n-1）a n+1-na n+a1=0. ⑤ （6分）用n+1去代n得.na n+2-（n+1）a n+1+a1=0. ⑥⑥ - ⑤ 得.na n+2-2na n+1+na n=0.即a n+2-a n+1=a n+1-a n.（8分）∴数列{a n}是等差数列．∵a3=3.a9=15.∴公差d=a9−a39−3=2 .∴a n=2n-3．（10分）（3）由（2）知数列{a n}是等差数列.∵a2-a1=2.∴a n=a1+2（n-1）．又{a n}是“封闭数列”.得：对任意m.n∈N*.必存在p∈N*使a1+2（n-1）+a1+2（m-1）=a1+2（p-1）.得a1=2（p-m-n+1）.故a1是偶数.（12分）又由已知. 112＜1S1＜1118.故1811＜a1＜12．一方面.当1811＜a1＜12时.S n=n（n+a1-1）＞0.对任意n∈N*.都有1S1+1S2+1S3+⋯+1S n≥1S1＞112．另一方面.当a1=2时.S n=n（n+1）. 1S n =1n−1n+1.则1S1+1S2+1S3+⋯+1S n=1−1n+1.取n=2.则1S1+1S2=1−13=23＞1118.不合题意．（14分）当a1=4时.S n=n（n+3）. 1S n =13(1n−1n+3) .则1S1+1S2+1S3+⋯+1S n=1118−13(1n+1+1n+2+1n+3)＜1118.当a1≥6时.S n=n（n+a1-1）＞n（n+3）. 1S n ＜13(1n−1n+3) . 1S1+1S2+1S3+⋯+1S n＜1118−1 3(1n+1+1n+2+1n+3)＜1118.又1811＜a1＜12 .∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．（16分）【点评】：本题考查数列的通项与求和.考查等差数列、等比数列的判定.考查学生分析解决问题的能力.属于难题．。
2020-2021学年江苏省南通市第一中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省南通市第一中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．等差数列{}n a 中，38a =，1029a =，则6a =（ ） A ．14 B ．17 C ．20 D ．23【答案】B【解析】根据等差数列的性质n m n a a md +=+结合已知条件，求公差d ，进而求出6a 的值 【详解】由等差数列{}n a 中，38a =，1029a =，令公差为d ，则1037a a d =+ ∴8729d +=，解得3d = 而63383317a a d =+=+⨯= 故选：B 【点睛】本题考查了等差数列，由等差数列的性质n m n a a md +=+求项，属于简单题211的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1-或1D ．12【答案】C【解析】根据等比数列等比中项的公式进行求解即可． 【详解】11的等比中项是x ，则满足)221111x ==-=，则1x =或1x =-， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查等比中项的求解，属于基础题．3．已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B 等于（ ）A ．(－1，2)B ．(－2，1)C ．(0，1)D ．(0，2)【答案】D【解析】先化简集合,A B ,再求A B 得解.【详解】由题得{|12},(0,)A x x B =-<<=+∞, 所以()0,2A B ⋂=. 故选：D 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查指数函数的值域，考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．已知n a =，（n ∈+N ），则在数列｛n a ｝的前50项中最小项和最大项分别是（ ） A ．150,a a B ．81,a aC ．89,a aD ．590,a a【答案】C【解析】根据函数y =n a ｝的前50项中最小项和最大项.【详解】因为y =(-∞上单调减，在)+∞单调减，所以当(x ∈-∞时(,1)y ∈-∞，此时81[,](,1)n a a a ∈⊂-∞，当)x ∈+∞时(1,)y ∈+∞，此时509[,](1,)n a a a ∈⊂+∞，因此数列｛n a ｝的前50项中最小项和最大项分别为89,a a ，选C. 【点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用对应函数性质，如等差数列通项与一次函数，等差数列和项与二次函数，等比数列通项、和项与指数函数.本题利用了函数()cf x a x b=+-性质. 5．已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是（ ）A ．1322a a a +≥B ．2221322a a a +≥C ．若13a a =，则12a a =D ．若31a a >，则42a a >【答案】B【解析】设{a n }的首项为a 1，公比为q ，当a 1<0，q <0时，可知a 1<0，a 3<0，a 2>0，所以A 不正确；当q ＝－1时，C 选项错误；当q <0时，a 3>a 1⇒a 3q <a 1q ⇒a 4<a 2，与D 选项矛盾．因此根据基本不等式可知B 选项正确．6．朱载堉（1536—1611），明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子．他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”．“十二平均律”是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第二个音的频率为2f ，第八个音的频率为8f ，则82f f 等于（ ） ABCD【答案】A【解析】依题意13个音的频率成等比数列，记为{a n }，设公比为q ，推导出q=1122，由此能求出82f f 的值． 【详解】依题意13个音的频率成等比数列，记为{a n }，设公比为q ， 则13a =121a q ，且13a =2a 1，∴q=1122，∴82f f =82a a =q 6=61122⎛⎫= ⎪⎝⎭． 故选A ． 【点睛】本题考查两个频率的比值的求法，考查等比数列的性质等基本性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．已知数列{}n a ：112,233+，123444++，12345555+++，…，又1114n n n b a a +=⋅，则数列{}n b 的前n 项的和n S 为（ ） A ．1411n ⎛⎫-⎪+⎝⎭B ．11421n ⎛⎫-⎪+⎝⎭C ．111n -+ D ．1121n -+ 【答案】C【解析】可观察出(1)1232112n n n n n a n n +++++===++，然后用裂项相消法即可求出{}n b 的前n 项和.【详解】 因为数列{}n a 为:12，1233+，123444++，12345555+++，… 所以(1)1232112n n n n n a n n +++++===++， 所以1111114(1)1n n n b a a n n n n +=⋅==-++， 所以{}n b 的前n 项和为11111111112233411n n n -+-+-++-=-++ 故选：C. 【点睛】本题考查用裂项相消法求数列的前n 项和，属于中档题. 8．已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n n a a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则(n= ) A ．119 B ．121C ．120D ．1222【答案】C【解析】由已知推导出n a =122n a +==，由此能求出n ． 【详解】数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n na a a a ++-=+，2214n n a a +∴-=，∴{}2n a 是以21a =4为首项，以d=4为公差的等差数列， 24n n a ∴=，n a ∴=．又∵114n n n n a a a a ++-=+，则()11114n n n na a a a ++-=+， ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，即()()213211112544n n n a a a a a a a ++-+-+⋯+-=-=，122n a +∴==，解得1121n +=，120n ∴=．故选C ． 【点睛】本题考查数列项数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推公式、累加法的合理运用．二、多选题9．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若 1418a a +=， 2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】ABC【解析】由1418a a +=，2312a a +=，31118a a q +=，21112a q a q +=，公比q 为整数，解得1a ，q ，可得n a ，n S ，进而判断出结论. 【详解】∵1418a a +=，2312a a +=且公比q 为整数，∴31118a a q +=，21112a q a q +=，∴12a =，2q或12q =（舍去）故A 正确， ()12122212n n n S +-==--，∴8510S =，故C 正确；∴122n n S ++=，故数列{}2n S +是等比数列，故B 正确；而lg lg 2lg 2nn a n ==，故数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故D 错误．故选：ABC . 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式以及综合运用，属于中档题． 10．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( ) A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为100 B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m = C ．若111625ni i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为2512【答案】AB【解析】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B 选项;因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,通过裂项求和可求得111ni i i a a =+∑;由等差的性质可知12m n +=利用基本不等式可验证选项D 错误.【详解】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则前10项和为()10119=1002+.所以A 正确;1,a 3,a m a 成等比数列,则231=,m a a a ⋅81m a =,即=4381m a m =-=,解得21m =故B正确; 因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭所以1111111116=1=455494132451ni i i n n n a a n =+⎛⎫-+-++-> ⎪++⎝⎭-∑,解得6n >,故n 的最小值为7,故选项C 错误;等差的性质可知12m n +=,所以()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当16=n m m n 时,即48=45n m =时取等号,因为*,m n ∈N ,所以48=45n m =不成立,故选项D 错误. 故选:AB. 【点睛】本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般. 11．下列说法正确的是（ ）A ．若,0x y >，满足2x y +=，则22x y +的最大值为4；B ．若12x <，则函数1221y x x =+-的最小值为3C ．若,0x y >，满足3x y xy ++=，则x y +的最小值为2D ．函数2214sin cos y x x=+的最小值为9 【答案】CD【解析】A ，22x y +没有最大值，故A 错误；B ，函数12112(21121y x x x =-++-=--，故B 错误； C ，x y +的最小值为2，故C 正确；D ，22149sin cos y x x=+≥，当且仅当222sin cos x x =时等号成立，故D 正确. 【详解】A ，若x ，0y >，2x y +=，则2222224x y x y ++=⨯=，当且仅当1x y ==时等号成立，没有最大值，故A 错误；B ，若12x <，即210x -<，则函数12112(21121y x x x =-++-=--，当且仅当0x =等号成立，故B 错误；C ，若x ，0y >，2()3(),4x y xy x y +=-+≤所以2()4()120x y x y +++-≥，所以(6)(2)0x y x y +++-≥，所以2x y +≥，（当且仅当1x y ==时取等），所以x y+的最小值为2. 故C 正确；D ，222222222222141444(sin cos )()5529sin cos cos x sin x cos x sin x y x x x x sin x cos x sin x cos x sin x cos x=+=++=+++=，当且仅当222sin cos x x =时等号成立，故D 正确； 故选：CD 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．设d ，n S 分别为等差数列{}n a 的公差与前n 项和，若1020S S =，则下列论断中正确的有（ ）A ．当15n =时，n S 取最大值B ．当30n =时，0n S =C ．当0d >时，10220a a +>D ．当0d <时，1022a a >【答案】BC【解析】首先根据1020S S =，得到1292a d =-，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】因为1020S S =，所以111092019102022a d a d ⨯⨯+=+，解得1292a d =-. 对选项A ，因为无法确定1a 和d 的正负性， 所以无法确定n S 是否有最大值，故A 错误. 对选项B ，13030292930301529022a d S d d ⨯⎛⎫=+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭， 故B 正确.对选项C ，()10221612921521502a a a a d d d d ⎛⎫+=2=+=-+=> ⎪⎝⎭， 故C 正确.对选项D ，1012918119222a a d d d d =+=-+=-， 22129421321222a a d d d d =+=-+=，因为0d <，所以10112a d =-，22132a d =-，1022a a <，故D 错误.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，同时考查了前n 项和n S 的计算，属于简单题.三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则n a =______【答案】()()212-12n n n ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【解析】根据数列的通项公式和前n 项和的关系，分当1n =时和当2n ≥时，两种情况讨论求解. 【详解】当1n =时，12a =，当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-， 因为12a =，不适合上式，所以n a =()()212-12n n n ⎧=⎪⎨≥⎪⎩. 故答案为：()()212-12n n n ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前n 项和的关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14．已知0a >，0b >，a ，b 的等比中项是1，且1m b a =+，1n a b=+，则m n +的最小值是______. 【答案】4【解析】a ，b 的等比中项是11ab ⇒=，再用均值不等式得到答案. 【详解】a ，b 的等比中项是11ab ⇒=11224m n b a b a a b+=+++=+≥= 当1a b ==时等号成立. 故答案为4本题考查了等比中项，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.15．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值范围是__________． 【答案】[－1，3]【解析】把不等式化为(1)()0x x a --<，讨论1a >，1a <和1a =时，求出不等式的解集，从而得出满足题意的a 的取值范围 【详解】解：关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(1)()0x x a --<， 当1a ≥时，解不等式得1x a <<， 当1a <时，解不等式得1<<a x ， 因为不等式的解集中至多包含1个整数， 所以13a ≤≤或11a -≤<， 所以a 的取值范围为[1,3]-， 故答案为：[1,3]- 【点睛】此题考查了不等式的解法与应用问题，考查分类讨论思想，属于基础题四、双空题16．如图，一粒子在区域{（x ，y ）|x ≥0，y ≥0}上运动，在第一秒内它从原点运动到点B 1（0，1），接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度，设粒子从原点到达点A n 、B n 、∁n 时，所经过的时间分别为a n 、b n 、c n ，请你尝试求出3c ＝_____，{b n }的通项公式b n ＝_____．【答案】8 ()311nn -+-【解析】根据题意，列举数列的前几项，归纳总结，即可求得3c 以及n b .【详解】根据题意，容易可得：123451,6,7,12,13,b b b b b =====； 123452,5,8,11,14,c c c c c =====； 123453,4,9,10,15,a a a a a =====.由归纳可得：38c =；且数列{}n c 是首项为2，公差为3的等差数列，故可得31n c n =-； 容易知{}n b 的奇数项是{}n c 的奇数项减去1得到；{}n b 的偶数项是{}n c 的偶数项加上1得到；故()311nn b n =-+-. 故答案为：8；()311nn -+-. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，以及归纳法求数列的通项公式，属综合基础题.五、解答题17．已知数列{}n a 满是1310a a +=，245a a +=. （1）若数列{}n a 为等比数列，求通项公式n a ；（2）若数列{}n a 为等差数列，且其前n 项和为n S ，求7S 的值. 【答案】（1）412n n a -=；（2）0.【解析】（1）根据1310a a +=，245a a +=，利用“1,a q ”法求解. （2）根据1310a a +=，245a a +=，利用“1,a d ”法求解. 【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ， 因为1310a a +=，245a a +=.所以211311105a a q a q a q ⎧+=⎨+=⎩，解得18a =，12q =. 所以数列{}n a 的通项公式为412n n a -=.（2）设数列{}n a 的公差为d ， 因为1310a a +=，245a a +=. 所以112210245a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1152a =，52d =-.所以5102n a n =-， 可得235544n S n n =-. 所以70S =. 【点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．设函数2()2f x mx mx =--（1）若对于一切实数()0f x <恒成立，求m 的取值范围；（2）若对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）(8,0]-（2）2m >【解析】（1）由不等式220mx mx --<恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解；（2）要使对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，整理得只需221xm x x >-+恒成立，结合基本不等式求得最值，即可求解. 【详解】（1）由题意，要使不等式220mx mx --<恒成立，①当0m =时，显然20-<成立，所以0m =时，不等式220mx mx --<恒成立；②当0m ≠时，只需280m m m <⎧⎨∆=+<⎩，解得80m -<<，综上所述，实数m 的取值范围为(8,0]-.（2）要使对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立， 只需22mx mx m x -+>恒成立， 只需()212m x x x -+>，又因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭， 只需221xm x x >-+，令222211111x y x x x x x x===-+-++-，则只需max m y >即可因为12x x +>=，当且仅当1x x =，即1x =时等式成立；因为[1,3]x ∈，所以max 2y =，所以2m >. 【点睛】本题主要考查了含参数的不等式的恒成立问题的求解，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及转化思想的应用，属于基础题. 19．设数列{}n a 的前n 项和为22n S n ＝，{}n b 为等比数列，且11a b ＝，2211()b a a b －＝．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）42n a n =-，124n n b -=；（2）255)4399n nT n ∴-⋅+＝( 【解析】（1）由已知利用递推公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，可得n a ，代入分别可求数列n b 的首项1b ，公比q ，从而可求n b .（2）由（1）可得()1214n n c n -=-⋅，利用乘“公比”错位相减法求和．【详解】解：(1)当2n ≥时，22122142()n n n a S S n n n ==-=----，当1n =时，112a S ==满足上式， 故{}n a 的通项式为42n a n =-． 设{}n b 的公比为q ，由已知条件2211()b a a b -=知，12b =，122112b b a a ==-，所以2114a q a ==，111124n n n b b q --∴==⨯，即124n n b -=． (2)()114221424n n n nn a n c n b ---===-， 12112134542()]1[4n n n T c c c n ∴⋯⨯⨯⋯－＝＋＋＋＝＋＋＋＋－ 221[()()41434542]34214n n n T n n ⨯⨯⨯⋯－＝＋＋＋＋－＋－两式相减得：1231()553124444214(43)2)3n n n n T n n ⋯-⋅+－＝－－＋＋＋＋＋－＝(255)4399n n T n ∴-⋅+＝(【点睛】本题考查等差数列、等比数列的求法，错位相减法求数列通项，属于中档题.20．南康某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用(04)x x ≤≤万元满足131m x =-+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？ 【答案】（1）1656([0,4])1y x x x =--∈+；（2）3万元. 【解析】（1）根据题意，结合已知条件，列出函数关系即可；（2）对函数进行配凑，使之可用基本不等式，即可求得利润的最大值. 【详解】（1）由题意知：每件产品的销售价格为8162mm+⨯， 8162(816)816my m m x m x m+∴=⋅⨯-++=+- 181631x x ⎛⎫=+-- ⎪+⎝⎭16561x x =--+([0,4])x ∈； （2）由16165657(1)574911y x x x x ⎡⎤=--=-++≤-=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当1611x x =++，即3x =时取等号. 故该服装厂2020年的促销费用投入3万元时，利润最大. 【点睛】本题考查分式函数模型的应用，涉及用基本不等式求最值，属综合基础题.21．已知数列{}n a 满足：()()2213121n n a a +-=-，1n a ≠±，记数列21n n b a =-，()221n n n c a a n N*+=-∈， （1）证明数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n c 的通项公式；（3）是否存在数列{}n c 的不同项,,()i j k c c c i j k <<使之称为等差数列？若存在，请求出这样的不同项,,()i j k c c c i j k <<；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）()11243n n c n N -*⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭；（3）不存在，理由见解析． 【解析】（1）先由已知求出1b ，再由()()2213121n n a a +-=-和21n n b a =-，可得()123n n b n N b *+=∈，从而可证得结论； （2）由（1）可求出()13243n n b n N -*⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭，从而可得到1232143n n a -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，进而可求出数列{}n c 的通项公式；（3）假设存在 ,,i j k c c c 满足题意成等差数列，则有1111212122434343j i k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简可得1223j i k y i j i -++---= ，左偶右奇不可能成立，从而可得结论 【详解】解：（1）由已知 ()1,0n n a b n N*≠±≠∈ 134b = ， ()()2213121n n a a +-=- ，()123n n b n N b *+=∈ 所以 {}n b 是34为首项， 23 为公比的等比数列（2） 由（1）得()13243n n b n N -*⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭ ，所以()12321143n nn a b n N -*⎛⎫=-=-⋅∈ ⎪⎝⎭()12211243n n n nc a a n N -*+⎛⎫=-=⋅∈ ⎪⎝⎭（3）假设存在 ,,i j k c c c 满足题意成等差数列，2j i k c c c =+ 代入得 1111212122434343j i k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1232j i j i k y i -+-+-=+，即1223j i k y i j i -++---= ，左偶右奇不可能成立． 所以假设不成立，这样三项不存在 【点睛】此题考查由递推式证明等比数列，考查等比数列的通项公式的计算，考查计算能力，属于中档题22．正项数列{}n a 的前项和n S 满足：242n n n S a a =+，()*n ∈N，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()2212n nn b n a+=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*n ∈N 都有564n T <. 【答案】（1）2n a n =；（2）证明见解析.【解析】（1）利用n S 与n a 的关系，结合等差数列的性质，即可得出数列{}n a 的通项公式；（2）由2n a n =得出数列{}n b 的通项公式，结合裂项相消法和不等式的性质证明即可. 【详解】（1）解：∵正项数列{}n a 的前项和n S 满足：242n n n S a a =+，()*n ∈N ① 则211142n n n S a a ---=+，()2n ≥②①-②得()22114222n n n n n a a a a a n --=-+≥-即()2211222n n n n a a a a n --+=-≥即()()()()11122n n n n n n a a a a a a n ---+=+-≥ 又10n n a a ->+，12n n a a --=，()2n ≥.又12a =，所以数列{}n a 是以2为首项2为公差的等差数列.所以2n a n =. （2）证明：由于2n a n =，()2212n nn b n a +=+则()()2222111116422n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦()()()222222222111111111111632435112n T n n n n ⎡⎤=-+-+-+⋅⋅⋅+-+-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦()()22221111115111621626412n T n n ⎡⎤⎛⎫=+--<+=⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了由n S 求n a 以及裂项相消法求数列的和，属于中档题.。
江苏高二高中数学月考试卷带答案解析
江苏高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.从300名学生(其中男生180人，女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛，则应该抽取男生人数为____________.2.不等式2x2－3x－2≥0的解集为________．3.某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9．7，9．9，10．1，10．2，10．1，则这组数据的方差为________．4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入的值为，则输出的结果__________.5.已知变量x，y满足条件，若目标函数z=2x+y，那么z的最大值为________．6.从编号为0，1，2…，49的50件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5分样本，若编号为27的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．7.鞋柜里有4双鞋，随机地取2只，则取出的鞋刚好是同一只脚的概率是8.在随机抛掷一颗骰子一次的试验中，事件A表示“出现不大于4的偶数点”，事件B表示“出现小于6的点数”，则事件发生的概率为________．9.不等式的解集为________.10.已知两个正数x，y满足x+4y+5﹣xy=0，则xy取最小值时x=_____ .11.已知实数，满足则的最小值为．12.已知x＞﹣1，则的最小值为_____．13.如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为____．14.已知正数满足则的最小值为__________．二、解答题1.解下列不等式（14分）：(1) ；(2) .2.一户居民根据以往的月用电量情况，绘制了月用电量的频率分布直方图（月用电量都在25度到325度之间）如图所示.将月用电量落入该区间的频率作为概率.若每月的用电量在200度以内（含200度），则每度电价0.5元，若每月的用电量超过200度，则超过的部分每度电价0.6元.记（单位：度，）为该用户下个月的用电量，（单位：元）为下个月所缴纳的电费.（1）估计该用户的月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将表示为的函数；（3）根据直方图估计下个月所缴纳的电费的概率.3.（14分）一根直木棍长为6m，现将其锯为2段．（1）若两段木棍的长度均为正整数，求恰有一段长度为2m的概率；（2）求锯成的两段木棍的长度均大于2m的概率．4.（14分）关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．5.设函数.（1）若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围．6.在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．（1）当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．江苏高二高中数学月考试卷答案及解析一、填空题1.从300名学生(其中男生180人，女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛，则应该抽取男生人数为____________.【答案】30【解析】各层之比为应该抽取男生人数为：.2.不等式2x2－3x－2≥0的解集为________．【答案】【解析】，则，即或，不等式的解集为，故答案为.3.某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9．7，9．9，10．1，10．2，10．1，则这组数据的方差为________．【答案】0．032【解析】平均数方差【考点】方差4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入的值为，则输出的结果__________.【答案】.【解析】第一次循环，，，，不成立；第二次循环，，，，不成立；第三次循环，，，，不成立；第四次循环，，，，成立，跳出循环体，输出.【考点】算法与程序框图5.已知变量x，y满足条件，若目标函数z=2x+y，那么z的最大值为________．【答案】10【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，即，代入目标函数得，即目标函数的最大值为，故答案为.6.从编号为0，1，2…，49的50件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5分样本，若编号为27的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________． 【答案】47【解析】样本间隔为，设第一号码为，编号为的产品在样本中，则，则第一号码为，则最大的编号为，故答案为.7.鞋柜里有4双鞋，随机地取2只，则取出的鞋刚好是同一只脚的概率是 【答案】 3/7【解析】先算出8只鞋中取两只的取法，再求出取出的两只鞋是同一只脚上的鞋子的取法，利用公式求出概率 解：8只鞋中取两只的取法种数为C 82=28种，取出的鞋刚好是同一只脚的取法有2C 42=12种 所以取出的鞋刚好是同一只脚的概率是12/28=3/7 故答案为3/78.在随机抛掷一颗骰子一次的试验中，事件A 表示“出现不大于4的偶数点”，事件B 表示“出现小于6的点数”，则事件发生的概率为________． 【答案】【解析】随机抛掷一颗骰子一次共有中不同的结果，其中事件“出现不大于的偶数点”包括两种结果，故，事件“出现小于的点数”的对立事件“出现不小于的点数”包括—种结果，故，且事件和事件是互斥事件，故事件发生的概率，故答案为.9.不等式的解集为________.【答案】【解析】，即，解得，不等式的解集为，故答案为.10.已知两个正数x ，y 满足x+4y+5﹣xy=0，则xy 取最小值时x=_____ . 【答案】10 【解析】 ① 是正数，，当且仅当时等号成立，代入①式得，，即，解得或（舍去），取最小值，，解得，故答案为.11.已知实数，满足则的最小值为 ．【答案】【解析】作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），表示与可行域内点连线的斜率，，由图可知斜率的最小值为．【考点】简单线性规划的非线性应用．【名师点睛】对形如型的目标函数，可先变形为的形式，将问题转化为求可行域内的点与连线斜率的倍的范围、最值等．12.已知x＞﹣1，则的最小值为_____．【答案】3【解析】，当且仅当，即舍去）时取等号，的最小值为，故答案为.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.13.如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为____．【答案】【解析】本题是一个等可能事件的概率，从长方体中任选四个顶点的选法是，以为顶点的四个面都是直角三角形的三棱锥有：，共6个，同理以为顶点的也各有6个，但是，所有列举的三棱锥均出现2次，四个面都是直角三角形的三棱锥有个，所求的概率是，故答案为.【方法点睛】本题考查古典概型概率公式、空间线面关系以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题新定义“三节棍体”达到考查古典概型概率公式、空间线面关系的目的.14.已知正数满足则的最小值为__________．【答案】【解析】由题可知：，故==当且仅当x=y时取得等号二、解答题1.解下列不等式（14分）：(1) ；(2) .【答案】（1）（2）【解析】（1）分式不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）将移项、通分后式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法求解即可得结果.试题解析：(1) <0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3，。