解答题专项训练6

解答题专项训练(六)

1. [2014·天津高考]某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：

能性相同)．

(1)用表中字母列举出所有可能的结果；

(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．

解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．

(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．

因此，事件M发生的概率P(M)＝6

15＝

2

5.

2. 某学校对学生的考试成绩作抽样调查，得到成绩的频率分布直方图如图所示，其中[70,80)对应的数值被污损，记为x.

(1)求x的值．

(2)记[90,100]为A组，[80,90)为B组，[70,80)为C组，用分层抽样的方法从[90,100]，[80,90)，[70,80)三个分数段的学生中抽出6人参加比赛，从中任选3人为正选队员，求正选队员中有A组学生的概率．

解：(1)因为(0.01×3＋0.02×2＋x)×10＝1，所以x＝0.03.

(2)设从[90,100]分数段的学生中抽出m人，依题意：

m＋2m＋3m＝6，所以m＝1.所以从[80,90)中抽出的学生人数为2人，从[70,80)中抽出的学生人数为3人．

记从[90,100]中抽出的学生为a，从[80,90)中抽出的学生为b，c，从[70,80)中抽出的学生为d，e，f，

从6人中抽出3人共有：abc，abd，abe，abf，acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce, bcf，bde, bdf，bef, cde, cdf, cef，def，共20种，含有a的共有：abc，abd，abe，abf，acd，ace，acf，ade，adf，aef，共10种，

所以正选队员中有A组学生的概率P＝10

20＝

1

2.

3. [2015·临汾模拟]某中学甲、乙两班共有25名学生报名参加了

一项测试．这25名学生的考分编成如图所示的茎叶图，其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了(这里暂用x 来表示)，但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同．

(1)求这两个班学生成绩的中位数及x 的值；

(2)如果将这些成绩分为优秀(得分在175分以上，包括175分)和过关，若学校再从这两个班获得优秀成绩的学生中选出3名代表学校参加比赛，求这3人中甲班至多有一人入选的概率．

解：(1)甲班参加测试的人数为12，其中位数为12(154＋160)＝157.

乙班参加测试的人数为13，

又中位数正好是150＋x ，故x ＝7.

(2)用A 表示事件“甲班至多有一人入选”．

设甲班2位优秀学生为A 1，A 2，乙班3位优秀学生为B 1，B 2，B 3，则从5人中选出3人有：(A 1，A 2，B 1)，(A 1，A 2，B 2)，(A 1，A 2，B 3)，(A 1，B 1，B 2)，(A 1，B 1，B 3)，(A 1，B 2，B 3)，(A 2，B 1，B 2)，(A 2，B 1，B 3)，(A 2，B 2，B 3)，(B 1，B 2，B 3)，

共10种情况，其中至多有一名甲班学生的情况有7种．

故P (A )＝710.

4. [2015·粤西北九校联考]某班50名学生在一次百米测试中，成

绩全部介于13 s与18 s之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)，…，第五组[17,18]．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

(1)若成绩大于或等于14 s且小于16 s认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；

(2)设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n ∈[13,14)∪[17,18]，求事件“|m－n|>1”的概率．

解：(1)由直方图知，成绩在[14,16)内的人数为50×0.16＋50×0.38＝27(人)．

∴该班在这次百米测试中成绩良好的人数为27人．

(2)由直方图知，成绩在[13,14)的人数为50×0.06＝3(人)，

设x，y，z；

成绩在[17,18]的人数为50×0.08＝4(人)，

设为A，B，C，D.

当m，n∈[13,14)时，有xy，xz，yz这3种情况；

当m，n∈[17,18]时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD这6种情

况；

若m ，n 分别在[13,14)和[17,18]内时，有下列12种情况：

”为事件E ，则事件E 所包含的基本事件个数有12种．(m ，n 分别在两组)．

∴P (E )＝1221＝47.

即事件“|m －n |>1”的概率为47.

5. [2014·广东高考]某车间20名工人年龄数据如下表：

(1)求这20名工人年龄的众数与极差；

(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；

(3)求这20名工人年龄的方差．

解：(1)由题表中的数据易知，这20名工人年龄的众数是30，极差为40－19＝21.

(2)这20名工人年龄的茎叶图如下：

(3)这20名工人年龄的平均数x ＝120(19×1＋28×3＋29×3＋

30×5＋31×4＋32×3＋40×1)＝30，

故方差s 2＝120[1×(19－30)2＋3×(28－30)2＋3×(29－30)2＋

5×(30－30)2＋4×(31－30)2＋3×(32－30)2＋1×(40－30)2

]＝120×(121＋12＋3＋0＋4＋12＋100)＝12.6.

6. [2015·苏州模拟]如图是一城市某区域的街道示意图，横向、纵向分别有3、4条街道，某学校的四个大门分布在东南西北四个不同的方向(每侧街道的正中位置)，A 、B 分别为政府和体育馆所在地．该市拟在“五一”这天举行长跑比赛：起点A 、终点B ，方向为向东或向北(路线自选)，王宇准备参加这次比赛．

(1)求王宇经过学校(所选路线与学校周边“有交点”即认为“经过”)的概率；

(2)求王宇恰好经过学校的两个大门的概率．

解：

(1)依题意从A到B的任意一条路径均需完成五次位移，其中有两次向北，包含的基本事件有“A→D→B”，“A→H→J→B”，“A→H→E→G→B”，“A→H→I→F→B”，“A→K→G→B”，“A→K→E→I→F→B”，“A→K→E→J→B”，“A→L→F→B”，“A→L→I→J→B”，“A→C→B”，共10种，又“王宇不经过学校”，即“途经点C”，按“A→C→B”即可，

所以王宇经过学校的概率P1＝10－1

10＝0.9.

(2)因为“王宇恰好经过学校的两个大门”，则必须同时经过E、F两点．

由(1)知事件“王宇恰好经过学校的两个大门”包含4个基本事件，

所以王宇恰好经过学校的两个大门的概率P2＝4

10＝0.4.

7. [2015·湖南调研]某航空公司在2015年年初招收了20名空乘人员(服务员与空警)，其中男性空乘人员6名，女性空乘人员14名，并对他们的身高进行了测量，他们的身高(单位：cm)的茎叶图如图所示．公司决定：身高在170 cm 以上(包含170 cm)进入“国际航班”做空乘人员，身高在170 cm 以下进入“国内航班”做空乘人员．

(1)求“女性空乘人员”身高的中位数，“男性空乘人员”身高的方差(精确到0.01)；

(2)如果用分层抽样的方法从“国际航班”和“国内航班”的空乘人员中选取5人组成反恐培训班，再从这5人中选取2人担任空警，那么空警至少有1名是来自“国内航班”的空乘人员的概率是多少？

解：(1)由题意知，“女性空乘人员”身高的中位数为172＋1732

＝172.5，

“男性空乘人员”身高的平均数为x ＝175＋－8－6＋0＋2＋8＋106

＝176， 所以“男性空乘人员”身高的方差为

s 2

＝16(167－176)2＋16(169－176)2＋16(175－176)2＋16(177－176)2＋16(183－176)2＋16(185－176)2＝16

(92＋72＋12＋12＋72＋92)≈43.67.

(2)由题意知，每名空乘人员被抽到的概率为14，根据茎叶图知，

“国际航班”的空乘人员有12人，“国内航班”的空乘人员有8人，

所以反恐培训班从“国际航班”的空乘人员中抽取12×14＝3人；

从“国内航班”的空乘人员中抽取8×14＝2人，

记从“国际航班”的空乘人员中抽取的3人分别为A 1，A 2，A 3，从“国内航班”的空乘人员中抽取的2人分别为B 1，B 2，则从这5人中选取2人的所有可能事件为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，共10种．

记“空警至少有1名是来自‘国内航班’的空乘人员”为事件A ，则

事件A 包括(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，

(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，共7种情况．所以P (A )＝710.

8. [2013·福建高考]某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；

(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

(附：K2＝

)

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)

解：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．

所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有

40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.

从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．

其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，

(B1，B2)．故所求的概率P＝7

10.

(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：

所以得K2＝

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)

＝100×(15×25－15×45)2

60×40×30×70

＝

25

14≈1.79.

因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．