高二数学浙江省学考选考高中数学复习资料重难点知识汇总10个专题辅导

高二数学重难点知识汇总

第一讲算法初步

一．重难点讲解

1.算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成。它有以下五个特点：

①有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的。

②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可。

③顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题。

④不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法。

⑤普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决。

2．程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形．通常程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤，流程线带方向箭头，按照算法进行的顺序将程序框连接起来。

3．三种基本逻辑结构

(1)顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构。

其结构形式为

(2)条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式。

其结构形式为

(3)循环结构是指从某处开始，按照一定条件反复执行处理某一步骤的情况。反复执行的处理步骤

称为循环体。

循环结构又分为当型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)。其结构形式为

4．输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能

语句一般格式功能

输入语句INPUT“提示内容”；变量输入信息

输出语句PRINT“提示内容”；表达式输出常量、变量的值和系统信息

赋值语句[来

变量＝表达式将表达式代表的值赋给变量源:https://www.360docs.net/doc/8d13929651.html,]

5.条件语句

(1)程序框图中的条件结构与条件语句相对应。

(2)条件语句的格式及框图

①IF－THEN格式

②IF－THEN－ELSE格式

6．循环语句

(1)程序框图中的循环结构与循环语句相对应

(2)循环语句的格式及框图

①UNTIL语句②WHILE语句

二．考点逐个突破

1.程序框图

例1.执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）

A.105

B.16

C.15

D.1

2.算

法语

句

例2.

运行如图所示的程序，输出的结果是_______.

【答案】3

【解析】a＝1，b＝2，把1与2的和赋给a，即a＝3，输出的结果是3.

【名师点睛】本小题主要考查算法语句,解决算法语句有三个步骤，首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序。3.易错辨析

例3.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是(

)

(A)4(B)

32

(C)

23

(D)

-1

【答案】D

【解析】根据程序框图可计算得2

4,1;1,2;,3;3

s i s i s i ===-==

=3

,4;4,5;1,6,2

s i s i s i =====-=，故选D.

4.算法的设计

例4.已知点P (x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，求点P (x 0，y 0)到直线l 的距离d ，写出其算法

解算法如下：

第一步，输入x 0，y 0及直线方程的系数A ，B ，C .

第二步，计算Z 1＝Ax 0＋By 0＋C .第三步，计算Z 2＝A 2＋B 2.

第四步，计算d ＝|Z 1|

Z 2

.

第五步，输出d .

5.基本逻辑结构

例5.(1)阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是(

)。

A．3B．11C．38D．123

(2)已知函数y 2x ，x ≥2，x ，x ＜2.

如图表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图。①

处应填写________；②处应填写________．

解析(1)a ＝1＜10，a ＝12＋2＝3＜10，a ＝32

＋2＝11＞10.

故输出结果为11.

(2)由框图可知只要满足①中的条件则对应的函数解析式为y ＝2－x ，故此处应填写x ＜2，则②处应填写y ＝log 2x .答案

(1)B

(2)①x ＜2？

②y ＝log 2x

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第二讲统计

一．考纲目标

算法的含义、程序框图；基本算法语句

二．重难点讲解

第一节随机抽样

（一）简单随机抽样

1．总体和样本

在统计学中,把研究对象的全体叫做总体，把每个研究对象叫做个体，把总体中个体的总数叫做总体容量。为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量。

2．简单随机抽样

也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。特点是每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。

3．简单随机抽样常用的方法

（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。

在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。

4．抽签法的具体方法

（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；

（2）准备抽签的工具，实施抽签

（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查

（二）系统抽样

1.概念和方法

系统抽样又叫等距抽样或机械抽样。是把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本的方法。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。

K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）

前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。

2.优点

系统抽样，是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。

（三）分层抽样

1．概念

又叫类型抽样。是先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本的抽样方法。

两种方法：

①先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。

②先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。

2．分层标准

分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。

（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。

（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。

（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。

3．分层的比例问题

（1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。

（2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。

第二节用样本估计总体

1.作频率分布直方图的步骤

(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差．(2)决定组距与组数．(3)将数据分组(4)列频率分布表(5)画频率分布直方图

2.频率分布折线图和总体密度曲线

(1)频率分布折线图：把频率分布直方图中各小长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图．

(2)设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线y＝f(x)来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．3.茎叶图的优点

用茎叶图表示数据有两个突出的优点：

一是从统计上没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示．4.样本的数字特征

(1)众数在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数

(2)中位数：将一组数据按大小依次排列、把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等5.平均数的计算方法

（1）如果有n 个数据x 1，x 2，…，x n ，那么x =n

1

（x 1+x 2+…+x n ）叫做这n 个数据的平均数，x 读作“x 拔”

（2）当一组数据x 1，x 2，…，x n 的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a，得到x 1′=x 1－a，x 2′=x 2－a，…，x n ′=x n －a，那么，x =x +a

（3）加权平均数：如果在n 个数据中，x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，…，x k 出现f k 次（f 1+f 2+…+f k =n），

那么x =

n

f x f x f x k

k +++ 22116.方差的计算方法

（1）对于一组数据x 1，x 2，…，x n ，s 2

=n

1［（x 1－x ）2+（x 2－x ）2+…+（x n －x ）2

］叫做这组数据的方差，而s 叫做标准差（2）方差公式:s 2

=

n

1［（x 12+x 22+…+x n 2）－n x 2

］（3）当一组数据x 1，x 2，…，x n 中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a，得到x 1′=x 1－a，x 2′=x 2－a，…，x n ′=x n －a 则s 2

=

n

1［（x 1′2+x 2′2+…+x n ′2

）－n 2x '］

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第三讲三角函数

一．重难点讲解

1.准确记忆六组诱导公式对于“

k π

2

±α，k ∈Z ”的三角函数值，与α角的三角函数值的关系可按口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.

2.同角三角函数的基本关系式

sin 2α＋cos 2

α＝1，tan α＝sin αcos α

(cos α≠0).

3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β.(3)tan(α±β)＝

tan α±tan β

1?tan αtan β

.

(4)a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2

sin(α＋φ)(其中tan φ＝b a

).

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.

(2)cos 2α＝cos 2

α－sin 2

α＝2cos 2

α－1＝1－2sin 2

α.(3)tan 2α＝

2tan α

1－tan 2

α

.5.三种三角函数的性质

函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x

图象

单调性

在[－

π

2

＋2kπ，

π

2

＋2kπ]

(k∈Z)上单调递增；在[

π

2

＋

2kπ，

3π

2

＋2kπ](k∈Z)上

单调递减

在[－π＋2kπ，2kπ](k

∈Z)上单调递增；在[2k

π，π＋2kπ](k∈Z)上

单调递减

在(－

π

2

＋kπ，

π

2

＋k

π)(k∈Z)上单调递

增对称性

对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；

对称轴：x＝

π

2

＋kπ(k∈Z)

对称中心：(

π

2

＋kπ，0)(k

∈Z)；对称轴：x＝kπ(k

∈Z)

对称中心：(

kπ

2

，0)

(k∈Z)

6.函数y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象

(1)“五点法”作图：

设z＝ωx＋φ，令z＝0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得.

(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口.

(3)图象变换：

y＝sin x――――――――――→

向左φ>0或向右φ<0

平移|φ|个单位y＝sin(x＋φ)

――――――――――――→

横坐标变为原来的

1

ω

ω>0倍

纵坐标不变y＝sin(ωx＋φ)

――――――――――――→

纵坐标变为原来的A A>0倍

横坐标不变y＝A sin(ωx＋φ).

7.正弦定理及其变形

a

sin A

＝

b

sin B

＝

c

sin C

＝2R(2R为△ABC外接圆的直径).

变形：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C.

sin A＝

a

2R

，sin B＝

b

2R

，sin C＝

c

2R

.

a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.

8.余弦定理及其推论、变形

a 2＝

b 2＋

c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

.

变形：b 2

＋c 2

－a 2

＝2bc cos A ，a 2

＋c 2

－b 2

＝2ac cos B ，a 2

＋b 2

－c 2

＝2ab cos C .

9.面积公式

S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝1

2

ab sin C .

10.解三角形

(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解.

(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一.(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解.(4)已知三边，利用余弦定理求解.

11.平面向量的数量积

(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ.(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.

12.两个非零向量平行、垂直的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则(1)a ∥b ?a ＝λb (b ≠0)?x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ⊥b ?a·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0.

13.利用数量积求长度

(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2

＋y 2

.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝

x 2－x 1

2

＋y 2－y 1

2

.

14.利用数量积求夹角

若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b

|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 2

2

.