高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理1.4.1平面性质课件北师大版必修2
续表 文字语言 如果两个不重合的平 公 面有一个公共点,那么 理 它们有且只有一条过 3 该点的公共直线 图形语言 符号语言 作用
判断两 P∈α∩ β ⇒ 个平面 α∩β=l,且 P 是否相 ∈l 交
名师点拨公理1的三个推论: 推论1:一条直线和直线外一点确定一个平面. 推论2:两条相交直线确定一个平面. 推论3:两条平行直线确定一个平面. 公理1及其推论给出了确定平面的依据.
题型一
题型二
题型三
题型四
方法二:(重合法) ∵l1∩l2=A,∴l1,l2确定一个平面α. ∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β. ∵A∈l2,l2⫋α,∴A∈α. ∵A∈l2,l2⫋β,∴A∈β. 同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β. ∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.∴平面α和β重 合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
题型三
题型四
题型三
证明线与线共点
【例3】 如图所示,在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,点 F在CD上,点H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求 证:EF,GH,BD交于一点.
分析:先证明GH和EF共面且交于一点O,然后说明O是平面ABD 和平面BCD的公共点,而平面ABD和平面BCD相交于直线BD,根据 公理3,两平面相交,有且只有一条交线.因此点O在交线上,即点O在 直线BD上.从而证明了直线EF,GH,BD都过点O.
图②
பைடு நூலகம்
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 用符号语言表示下列语句,并画出图形. (1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α 与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC; (2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于 AC.
题型一
题型二
题型三
【做一做1】 已知点M∈直线l,l⫋平面α,则( ) A.M⫋α B.M∈α C.M⊈α D.M∉α 答案:B 【做一做2】 一条直线和直线外两点可以确定平面的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.1或2 解析:当这两点确定的直线和已知直线共面时,可确定1个平面;当 这两点确定的直线和已知直线不共面时,可确定2个平面. 答案:D 【做一做3】 已知A,B,C为三个不同的点,l为直线,α,β是两个不同 的平面,若α∩β=l,A∈l,B∉l,B∈α,C∉l,C∈β,则平面 ABC∩α= ,平面ABC∩β= ,平面 ABC∩l= . 答案:直线AB 直线AC A
§4 空间图形的基本关系与公理
第1课时 平面性质
1.通过长方体这一常见的空间图形,体会点、直线、平面之间的 位置关系. 2.理解空间图形基本关系. 3.掌握空间图形的三个公理.
1.空间点与直线、点与平面的位置关系
位置关系 点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外 图形语言 符号语言 P∈a P∉a P∈α P∉α
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
点、线、面的位置关系
【例1】 根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置 关系,并画出相应的图形. (1)A∈α,B∉α; (2)l⫋α,m∩α=A,A∉l; (3)P∈l,P∉α,Q∈l,Q∈α. 分析:解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置 关系的符号“∈”“∉”“⫋”“⊈”“∩”的意义,在此基础上,由已知给出的符 号表示的语句写出相应的点、线、面的位置关系,画出图形.
题型四
解:(1)符号语言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC.如图 ①所示. (2)符号语言表示:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面 ADC=AC.如图②所示.
图①
图②
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
证明线与线共面
【例2】 证明:两两相交且不共点的三条直线在同一平面内. 证明:如图所示,已知l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C. 方法一:(同一法) ∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3=B,∴B∈l2. 又l2⫋α,∴B∈α. 同理可证C∈α.又B∈l3,C∈l3,∴l3⫋α. ∴直线l1,l2,l3在同一平面内.
2.空间图形的公理
公 理 1
公 理 2
文字语言 图形语言 过不在同一条直 线上的三点, 有 且只有一个平面 (即可以确定一 个平面) 如果一条直线上 的两点在一个平 面内, 那么这条 直线在此平面内 (即直线在平面 内)
符号语言
作用
A , B , C 三点不共 用来确定 线⇒有且只有一 平面或证 个平面 α, 使 A ∈ 明点共面 α, B ∈α, C∈α 问题 判断直线 是否在平 A ∈l, B∈l, 且 A 面内, 点 ∈α, B ∈α⇒l⫋α 是否在平 面内
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)点A在平面α内,点B不在平面α内,如图①所示. (2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上, 如图②所示. (3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q,如图③所示.
图①
图③ 反思空间点、线、面是组成空间图形的基本元素,点是空间图形 中最基本的元素,线和面可以看作是点的集合,因此点与线、点与 面的关系是元素与集合的关系;而线与线、线与面、面与面的关系 则是集合与集合的关系,应该用有关集合的符号来表示空间图形的 基本关系.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.对于证明几个点(或几条直线)共面的问题,在由其中几个 点(或几条直线)确定一个平面后,只要再证明其他点(或直线)也在 该平面内即可. 2.所谓点、线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的 问题.通常有两种方法:①同一法:先由部分元素确定一个平面,再证 其他元素也在该平面内;②重合法:先由有关的点、线确定平面α,再 由其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.通常情况下采用第一 种方法.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 求证:若一条直线和两条平行线都相交,则这三条 直线共面. 证明:如图所示,已知a∥b,a∩c=A,b∩c=B. ∵a∥b,∴a与b确定一个平面α. 又a∩c=A,b∩c=B, ∴A∈α,B∈α.∴AB⫋α,即c⫋α. ∴直线a,b,c在同一平面内.
题型一
题型二
高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理1.4.1空间图形的基本关系与公理1公理3课
问题导学
当堂检测
1.公理 1 的应用 活动与探究 例 1 已知 a∥b,a∩c=A,b∩c=B,求证:a,b,c 三条直线在同一 平面内. 思路分析:依题意,可先证 a 与 b 确定一个平面,再证明 c 在这个平 面内,从而可证 a,b,c 在同一平面内. 证明:∵ a ∥b , ∴ a 与 b 确定一个平面 α, ∵ a∩c=A,∴ A∈a,从而 A∈α; ∵ b∩c=B,∴ B∈b,从而 B∈α. 于是 AB⫋α,即 c⫋α,故 a,b,c 三条直线在同一平面内.
若 A∈α,A∈β,且 α,β 不重 合,则 α∩β=l,且 A∈l
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预习引导
预习交流 3
公理 1 的三个推论是什么? 提示:推论 1:一条直线和直线外一点确定一个平面. 推论 2:两条相交直线确定一个平面. 推论 3:两条平行直线确定一个平面.
预习交流 4
公理 1 中的“有且只有一个”的含义是什么? 提示:“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一.“有且只有”强 调的是存在性和唯一性两个方面,确定一个平面中的“确定”是“有且只 有”的同义词,也是指存在性和唯一性这两个方面.
高中数学 第一章 立体几何初步 1.4 空间图形的基本关系与公理 第一课时 空间图形基本关系的认识及
公理第一课时空间图形基本关系的认识及公理1、2、3高效测评北师大版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.4 空间图形的基本关系与公理第一课时空间图形基本关系的认识及公理1、2、3高效测评北师大版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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系与公理第一课时空间图形基本关系的认识及公理1、2、3高效测评北师大版必修2一、选择题（每小题5分,共20分）1．下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不在同一条直线上的三个交点解析：不共线的三点可以确定一个平面，排除A;四边形可以是空间四边形，排除B；根据公理3可以知道D不正确，故选C。
答案: C2．在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线解析: 公理是不用证明的，定理是要求证明的．选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．答案：A3．两个不重合的平面可把空间分成( ）A．3部分B．4部分C．3或4部分D．2或3部分解析：当两个平面平行时把空间分成3部分;当两个平面相交时把空间分成4部分．答案: C4．有下列说法:①梯形的四个顶点在同一平面内；②三条平行直线必共面；③有三个公共点的两个平面必重合；④平面外的一条直线和平面没有公共点．其中,正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个解析: 梯形是一个平面图形，所以其四个顶点在同一个平面内，则①正确；两条平行直线确定1个平面，三条平行直线确定1个或3个平面，则②错；三个公共点可以同在两个相交平面的公共直线上，则③错;平面外的直线可能和平面相交，故④错．答案：B二、填空题(每小题5分，共10分）5．如果三个平面把空间分成六部分,那么这三个平面的位置关系是________．解析：由于三个平面把空间分成六部分,那么结合空间中面面的位置关系可知要么是三个平面相交于同一直线，要么是一个平面与另两个平行平面相交．答案: 三个平面相交于同一条直线或一个平面与另两个平行平面相交6．如图,在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：观察图形，可知①③错误，②④正确．答案：②④三、解答题（每小题10分，共20分)7．已知a,b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线,那么a与c有怎样的位置关系?并画图说明．解析：直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面，如图(1）（2)（3）．8．如图所示，△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内,如果三条直线AA1，BB1,CC1两两相交，求证:三条直线AA1，BB1，CC1交于一点.证明：设BB1与CC1,CC1与AA1,AA1与BB1分别确定平面α，β,γ，AA1与BB1的交点为P,因为P∈AA1，P∈BB1，AA1平面β,BB1平面α，所以P∈平面α，P∈平面β，即P∈α∩β。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.4.1-2 空间图形基本关系的认识 空间图形的公理学案(含解析)
§4空间图形的基本关系与公理4．1空间图形基本关系的认识4．2空间图形的公理知识点一点、直线、平面之间位置关系的三种语言表示[填一填][答一答]1．点、线、面之间的关系为什么可借助于集合的符号来表示？提示：因为点可看作元素，则直线与平面都可看作是点的集合，所以，点与线、点与面之间的关系就是元素与集合的关系，线与面之间的关系就是集合与集合之间的关系，所以用集合的符号表示点、线、面之间的关系正好与集合中元素、集合的关系一致．知识点二空间图形的公理[填一填][答一答]2．你对公理2及课本思考交流中的三个问题是怎样理解的？提示：它们都可作为确定平面的依据，还可作为判定两个平面重合的依据．“确定”和“有且只有一个”是同义词．“有”说明存在性，“只有一个”说明唯一性．数学中的“只有一个”并不保证符合条件的图形一定存在，所以不能用“只有一个”来代替“有且只有一个”．符合某一条件的图形既存在，而且只能有一个，就说明这个图形是完全确定的．知识点三定理[填一填]空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．这个定理实质上是由如下两个结论合成的：(1)若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．(2)若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补．知识点四异面直线所成的角[填一填]知识点五空间四边形[填一填]四个顶点不在同一平面内的四边形叫作空间四边形．[答一答]3．如何理解异面直线？提示：若直线a，b是异面直线，则在空间中找不到一个平面，使其同时经过a、b两条直线．例如，如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线．要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线，可以平行，可以相交，也可以异面．4．已知两条直线相交，过其中任意一条直线上的一点作另一条直线的平行线，这些平行线是否都共面？为什么？提示：都共面，如图所示，a∩b＝A，过b上任意一点B作c∥a，则a、c可确定一个平面α，因为A∈a，所以A∈α.又因为B∈c，所以B∈α，所以ABα，即bα.所以a、b、c共面．同理在a上任取一点作b的平行线，都与a、b共面，所以这些平行线都共面．公理1、公理2、公理3的意义和作用1．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．2．公理2是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．3．公理3揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法.类型一公理、定理的考查【例1】判断下列命题是否正确：(1)空间两两相交的三条直线确定一个平面；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)空间任意一点和一条直线确定一个平面；(4)一组对边平行的四边形一定是平面图形．【思路探究】考查确定平面的条件．【解】命题(1)是错误的．如果三线共点，那么此三线可能不共面，仔细观察教室的墙角处，这是一个很好的反例模型；命题(2)是错误的．四边相等并不能保证此四边形是平面图形，也就不能保证它是菱形；命题(3)是错误的．若点在直线上，那么经过此点和这条直线的平面有无数多个；命题(4)是正确的．因为对边平行，可以确定一个平面α，又四个顶点都在平行的对边上，故都在平面α内，所以另两条边也在平面α内，故此四边形是平面图形．规律方法应准确掌握确定平面的条件．下列命题中正确的是(D)A．空间三点可以确定一个平面B．若两个平面α、β有一个公共点A，则α∩β＝AC．若A、B、C、D四点既在平面α内，又在平面β内，则平面α，β重合D．三角形一定是平面图形解析：A中：若三点在一条直线上，则三点所在的平面不唯一；B中：两个平面不可能只有一个公共点，两平面若不重合，则要么相交(此时有一条公共直线)，要么平行；C中：A、B、C、D四点共线时，平面α、β不一定重合；D中：不共线三点才能构成三角形，∴三角形为平面图形．故选D.类型二多线共面问题【例2】求证：两两相交且不共点的四条直线共面．【思路探究】可尝试先证明其中两条直线确定一个平面，然后证明其他直线也在此平面内．【证明】①没有三线共点情况，如图(1)所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b ＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.∵a∩d＝M，∴a，d可确定一个平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α，∴NQα，即bα.同理cα，∴a，b，c，d共面．②有三线共点的情况，如图(2)所示，设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M且K∉a，∵K∉a，∴K和a确定一个平面，设为β.∵N∈a，aβ，∴N∈β.∴NKβ，即bβ.同理cβ，dβ，∴a，b，c，d共面．由①②知，a，b，c，d共面．规律方法 1.证明线共面问题往往先利用条件确定一个平面．再证明其余线都在此平面内，也可以证明两个平面重合．2．公理2是确定平面的依据，公理1是确定线在已确定的面上的依据．一条直线与三条平行直线都相交．求证：这四条直线共面．已知：如图所示，a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c，l共面．证明：因为a∥b，所以a和b确定一个平面α.因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈α，B∈α.故lα.又a∥c，所以a和c确定一个平面β.同理lβ.即l和a既在α内又在β内，且l与a相交，故α，β重合，即直线a，b，c，l共面．类型三线共点和点共线问题【例3】如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q.求证：P，Q，R三点共线．【思路探究】方法一，证明P，Q，R三点同时在平面ABC和平面α内，利用公理3即可得出结论．方法二，利用直线AP与AR确定平面APR，由平面APR∩α＝PR，再证明点Q在直线PR上即可．【证明】方法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又∵AB平面ABC，∴P∈平面ABC.由公理3可知点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证，点Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．方法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又∵Q∈α，∴Q∈直线PR，∴P，Q，R三点共线．规律方法点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上．常用以下两种方法：方法一，首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在这两个平面的交线上；方法二，选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．在三棱锥S－ABC的棱SA，SC，AB，BC上分别取点E，F，G，H，若EF∩GH＝P，求证：EF，GH，AC三条直线交于一点．证明：如图，∵E ∈SA ，SA 平面SAC ，F ∈SC ，SC 平面SAC ，∴E ∈平面SAC ，F ∈平面SAC .∴EF 平面SAC .∵G ∈AB ，AB 平面ABC ，H ∈BC ，BC 平面ABC ，∴G ∈平面ABC ，H ∈平面ABC ，∴GH 平面ABC .又∵EF ∩GH ＝P ，∴P ∈平面SAC ，P ∈平面ABC .∵平面SAC ∩平面ABC ＝AC ，∴P ∈AC ，即直线EF ，GH ，AC 交于一点P .类型四 公理4与定理的应用【例4】 已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23.求证：四边形EFGH 有一组对边平行但不相等． 【思路探究】 由平面几何知识得到线线平行，用公理4进行转化．【证明】 如图所示．由已知得EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，EH ＝12BD .在△BCD 中，CF CB ＝CG CD ＝23，所以FG ∥BD ，FG ＝23BD .根据公理4，知EH ∥FG ，又FG >EH ，所以四边形EFGH 有一组对边平行但不相等． 规律方法 1.证明两条直线平行的方法(1)公理4：即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；(2)平行直线的定义：证明在同一平面内，这两条直线无公共点．2．运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的方法(1)判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；(2)判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．求证：∠EA1F＝∠E1CF1.证明：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，连接BM，F1M，则BF＝A1M.又∵BF∥A1M，∴四边形A1FBM为平行四边形．∴A1F∥BM.而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1M綊C1B1.而C1B1綊BC，∴F1M綊BC，∴四边形F1MBC为平行四边形．∴BM∥F1C.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理，取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则有A1E∥CE1.∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，∴∠EA1F＝∠E1CF1.类型五异面直线所成的角【例5】如右图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC 于点A，DA⊥AB于点A，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．【思路探究】根据异面直线所成角的定义，可选择适当的点，分别引BE与DC的平行线．本题中BE 可不动，过点E 作CD 的平行线EF ，这样BE 与CD 所成的角即为∠BEF 与其补角中的锐角，在△EFB 中求解．【解】 取AC 的中点F ，连接EF 和BF .在△ACD 中，E ，F 分别是AD ，AC 的中点，∴EF ∥CD ， ∴∠BEF 或其补角中的锐角即为异面直线BE 和CD 所成的角． ∵△ABC 为等腰直角三角形，且BC ＝2， 在Rt △ABE 中，AB ＝1，AE ＝12，∴BE ＝52.在Rt △AEF 中，AF ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22.在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.∴△EBF 为等腰三角形．在△EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010.故异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010. 规律方法 解决异面直线所成角的问题，通常将空间角转化为平面角，在三角形中求解．如图，已知P 为△ABC 所在平面外的一点，PC ⊥AB ，PC ＝AB ＝2，E 、F 分别为P A 和BC 的中点．(1)求证：EF 与PC 是异面直线； (2)求EF 与PC 所成的角．解：(1)证明：若EF与PC不是异面直线，则存在平面α使得E，F，P，C∈α，从而直线PE与CF都在平面α内，∴A，B∈α，故点A，B，C，P都在α内，与P在平面ABC外矛盾，故EF与PC是异面直线．(2)如图，取AC的中点G，连接EG、FG，则EG∥PC，FG∥AB，由PC⊥AB，得EG⊥FG，且EG＝FG＝1，∴EF与PC所成的角为45°.类型六交线的作法【例6】如图所示，E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．【解】设法找出两个平面的公共点，两公共点的连线就是两个平面的交线．如图所示，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M.因为M∈FD1，M∈DA，FD1平面BED1F，AD平面ABCD，所以平面BED1F∩平面ABCD＝M，又平面BED1F∩平面ABCD＝B.所以连接MB，则MB＝平面BED1F∩平面ABCD.即直线MB为所求两平面的交线．规律方法求两平面的交线的突破口是求两个平面的公共点．本题所求两平面已有一个公共点B，由于直线D1F与DA在同一平面内且不平行，因此，它们的延长线必相交于一点，利用公理1即可推出该点为两平面的公共点，此两点确定的直线即为所求．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，F，G分别是CC1、BC两边的中点，画出平面D1FG 与平面ABCD的交线．解：如图，连接AD1，AG，BC1，则AG是平面D1FG与平面ABCD的交线．证明如下：∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中，F，G分别是CC1，BC两边的中点，∴FG∥BC1.又BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∴A，G，F，D1四点共面于平面D1FG，∵AG平面ABCD，∴AG是平面D1FG与平面ABCD的交线．————多维探究系列——三个平面划分空间问题讨论【例7】三个两两相交的平面可将空间分成几部分？请画出它们的直观图．【思路分析】设三个两两相交的平面分别为α，β，γ，由于它们相交的情况不同，可分三种情况讨论：(1)平面α，β，γ两两相交于同一条直线；(2)平面α，β，γ两两相交的三条直线交于一点；(3)平面α，β，γ两两相交的三条交线平行．【精解详析】(1)当平面α，平面β，平面γ两两相交，且三条交线重合(即α∩β＝l，α∩γ＝l且β∩γ＝l)时，将空间分成六部分，其图形如下图①所示．(2)当平面α，平面β，平面γ两两相交且三条交线共点，但互不重合时，将空间分成八部分，其图形如下图②所示．(3)当平面α，平面β，平面γ两两相交且三条交线平行时，将空间分成七部分，其图形如下图③所示．【解后反思】首先确定两个平面在空间中的位置关系，再让第三个平面以不同形式介入，以此为分类依据即可解决问题．长方体的各个面延伸后能把空间分成多少部分？解：可想象成分成上、中、下三部分，每部分分成9部分，所以共3×9＝27部分．一、选择题1．下列说法中正确的个数为(C)①梯形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面．A．1B．2C．3 D．4解析：对于命题③，当圆心与圆上两点共线时，不能确定一个平面．2．如果直线a平面α，直线b平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则(A)A．lαB．lαC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：∵M∈a，aα，∴M∈α.∵N∈b，bα，∴N∈α.又M∈l，N∈l，∴lα.3．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是(D)A．1 B．2C．3 D．1或3解析：若三条直线两两相交共有三个交点，则确定1个平面；若三条直线两两相交且交于同一点时，可能确定3个平面．二、填空题4．平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈平面β且C∉l，AB∩l＝R.设过A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ＝CR.解析：根据题意画出图形．如图所示．因为点C∈β，且点C∈γ，所以C∈β∩γ.因为点R∈AB，所以点R∈γ.又R∈β，所以R∈β∩γ，从而β∩γ＝CR.三、解答题5．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交．求证：直线a，b，l共面．证明：∵a∥b，∴直线a，b确定一个平面，记为α，如图．设a∩l＝A，b∩l＝B，则A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α. ∴lα.∴直线a，b，l共面．。
2018-2019高中数学 第一章 立体几何初步 1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空间图形的公理(一)课件 北
规律方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先 仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系 如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示． (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和 虚线的区别．
β＝l，且 问题的依据；三
P∈l
是证明线共点问
题的依据
【预习评价】 (1)两个平面的交线可能是一条线段吗？ 提示 不可能．由公理3知，两个平面的交线是一条直 线． (2)经过空间任意三点能确定一个平面吗？ 提示 不一定．只有经过空间不共线的三点才能确定一个 平面．
题型一 三种语言间的相互转化 【例1】 用符号语言表示下列语句，并画出图形．
的位置关系 面面相交
α∥β α∩β＝a
任何一个平面内
异面直线 不同在
的两条直线，叫作异面直线
【预习评价】 (1)若A∈a，a α，是否可以推出A∈α？ 提示 根据直线在平面内定义可知，若A∈a，a α，则A∈α. (2)长方体的一个顶点与12条棱和6个面分别有哪些位置关系？ 提示 顶点与12条棱所在直线的关系是在棱上,或不在棱上； 顶点和6个面的关系是在面内，或在面外． (3)长方体的棱所在直线与面之间有几种位置关系？ 提示 棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与 平面相交．
位置关系 点与直线的 点A在直线a外 位置关系 点B在直线a上
图形表示
符号表示 A∉a B∈a
点与平面的 位置关系
点A在平面α内 点B在平面α外
平行
直线与直线 的位置关系
相交 异面
A∈α B∉α a∥b a∩b＝O
a与b异面
高中数学第一章4空间图形的基本关系与公理第1课时空间图形基本关系的认识与公理1_3课件北师大版必修2
证明：由 EF∥CD′知 E，F，C，D′四点共面． 因为 E，F 不与 A′，B 重合，所以 EF≠CD′，即四 边形 EFCD′为梯形． 设 D′E∩CF ＝ P ，∵ D′E 平面 AA′D′D ， P ∈ D′E，∴P∈平面 AA′D′D. 又∵CF 平面 ABCD，P∈FC，∴P∈平面 ABCD， 即 P 是平面 ABCD 与平面 AA′D′D 的公共点． 又∵平面 ABCD∩平面 AA′D′D＝AD，∴P∈AD， 即 CF，D′E，DA 三线共点于 P.
解析：如图所示的四面体 ABCD 中，
设 AB＝a，则由题意可得 CD＝ 2，其他边的长都为 1， 故三角形 ACD 及三角形 BCD 都是以 CD 为斜边的等腰直 角三角形，显然 a>0.取 CD 中点 E，
连接 AE，BE，则 AE⊥CD，BE⊥CD 且 AE＝BE＝
1－
2 2 2 ＝ ，显然 A、B、E 三点能构成三角形，应 2 2
2 满足任意两边之和大于第三边，可得 2× >a ，解得 2 0<a< 2.
答案：A
3．下列四个命题中，真命题的个数为(
)
①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
②两条直线可以确定一个平面
③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l
④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
A．1 B．2 C．3 D．4 解析：两个平面有三个公共点时，两平面相交或重合，①错； 两条直线异面时不能确定一个平面，②错；空间中，相交于同 一点的三条直线不一定在同一平面内，④错．∴只有③对．
面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3，
这些点都在交线上．法二是选择其中两点确定一条直线，然 后证明另外的点在其上．
《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空间图形的公理公理1、2、3》课件 5-优质公开课-北师大必修2精品
自
课
主 位置关系、符号表示．
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
BS ·数学 必修2
教
学
易
教
错
法 分
满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线a α，直线
易 误
析
辨
b β且a∥AB，b∥AB的图形是( )
析
教
学
当
方
堂
案
双
设
基
计
达
标
课
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教
【解析】 由线面符号语言描述及图形语言知D正确．
教
师
备
课
资
源
菜单
BS ·数学 必修2
教
学
易
教
错
法
易
分 析
误
【思路探究】 (1)点P、R、Q与平面α、平面ABC有何 辨
析
教 学
关系？
当
方
堂
案 设
(2)平面α与平面ABC什么关系？与点P、R、Q又有何关 双 基
计
系？
达 标
课
前 自
【自主解答】 法一 ∵AB∩α＝P，
课
主
时
导 学
∴P∈AB，P∈平面 α.
自
课
主 导
与平面相交．
时 作
学
业
4．平行和相交．
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
高中数学 第一章立体几何初步 1.4.1 空间图形的基本关系与公理课件 北师大版必修2
(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上, 如图所示.
K12课件
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如果两个不重合的 公 平面有一个公共点, 理 那么它们有且只有 3 一条过该点的公共
直线
公 理
平行于同一条直线 的两条直线平行
4
给定点 P 以及平面 α,β, 若点 P∈α,且 P∈β,则 存在直线 l,使得 α∩β=l,且 P∈l
已知直线 a,b,c,且 a∥ b,b∥c⇒a∥c
K12பைடு நூலகம்件
K12课件
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做一做 3 如图所示,点 A 在平面 α 内,点 B 也在平面 α 内,点 C 在直 线 AB 上.
(1)用符号语言表示上述位置关系; (2)判定点 C 与平面 α 的关系. 分析:点 C 与平面 α 的位置关系,可以是点在平面外,也可以是点 在平面内,由公理 2 可知 AB 在平面内,而点 C 在直线 AB 上,所以点 C 在平面 α 内.
10
K12课件
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K12课件
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做一做2 下列说法正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.三角形一定是平面图形 D.平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 解析:本题考查平面的基本知识.A选项,当三点共线时有无数多个 平面.B选项,四边形有空间四边形与平面四边形之分.C选项,三角形 的三个顶点不共线,根据公理1可知此三个顶点确定一个平面.D选 项,若具有这个条件,则α与β重合.故选C. 答案:C
面
但有公共点,我们称平面 α
相交 与平面 β 是相交平面
符号语 言 α∥β
α∩β=l
K12课件
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5.空间两条直线的位置关系
位置关 系
高中数学第一章立体几何初步141空间图形基本关系的认识课件北师大版必修2
复习课件
高中数学第一章立体几何初步1.4.1空间图形基本关系的认识课件北师大版 必修2
2021/4/17
高中数学第一章立体几何初步141空间图形基本关系的认
1
识课件北师大版必修2
【课标要求】 1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间 的位置关系，并能用图形语言和符号语言表示. 2.理解空间图形的三个公理，并能用符号表示. 3.能应用公理进行简单的证明．
点在一个平面内，那 么这条直线在此平面
内(即直线在平面内)
图形语言
符号语言 若A、B、C三点不共 线，则存在唯一一个
平面α使A∈α， B∈α，C∈α
若A∈l，B∈l， A∈α，B∈α，则l α
如果两个不重合的平
公理3
面有一个公共点，那 么它们有且只有一条
过该点的公共直线
若A∈α，A∈β，且α 与β不重合，则α∩β
跟踪训练 3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，记 B1D与平面A1BCD1交于点Q，证明：B，Q，D1三点必共线．
证明：连接B1D1，BD.
∵B1D1∥BD，∴B1D1，BD确定平面B1BDD1，交平面A1BCD1 于BD1.
∵Q∈B1D，∴Q∈平面B1BDD1. 又∵Q∈平面A1BCD1，而平面A1BCD1∩平面B1BDD1＝BD1， ∴点Q必在BD1上， ∴B，Q，D1三点必共线．
高中数学第一章立体几何初步1
§4.1 空间图形基本关系的认识
空间的基本图形:
点
线
面
学习目标：
1．能够认识空间中的点、线、面的位置关系；
2．能运用数学语言对点、线面的位置关系进 行描述.
重点：
空间中点、线、面的位置关系及数学语言表示
难点：
对“异面直线”的理解
空间中点、线、面的位置关系 （1）点与线 （2）点与面 （3）线与线 （4）线与面 （5）面与面
1.小组合作，讨论探究小组内在预习中出现 问题，小组仍不能解决的可在同学点评时提 出质疑； 2.组长宏观调控，负责讨论结果的反馈，并 做好展示、点评的准备.
展示题目 展示地点 展示小组
主题1
黑板1、2
3
主题2
黑板3
8
主题3
黑板4
12
点评问题 主题1 主题2 主题3
小组 5 7 6
让质疑成为 最美的风景
1. 空间点与直线的位置关系
①点在直线上
A
l 记作：A l
②点在直线外
B
l 记作：B l
空间中点、线、面的位置关系 （1）点与线 （2）点与面 （3）线与线 （4）线与面 （5）面与面
2. 空间中点与面的位置关系 ①点在平面内
A
记作：B
B
②点在平面外
记作： A
导学案情况反馈
优秀小组： 第5组 第8组
a
A
a A
（3）直线与平面平行——直线与平面没有公共点 a
a //
探究三：空间中平面与平面的位置关系
（1）平行平面
（2）相交平面——两个平面不重合，但是有公共点
α
高中数学 第一章 立体几何初步 1.4.1 空间图形基本关系的认识课件5高一数学课件
Pa Pa
（2）空间点与平面的位置关系有__种:
P P
（3）空间两直线的位置关系有__种:
平行直线. 共面直线 相交直线. 异面直线.
（4）空间直线与平面的位置关系有__种:
a
c A
a //
（5）空间平面与平面的位置关系有__种:
//
// BC
第十页，共十一页。
内容(nèiróng)总结
a
b B
①点P在直线(zhíxiàn)a上记,作: Pa
c
P
②点P不在直线a上, 记作: P a
（2）空间点与平面的位置关系有__种: 2
D
α
A
C bB
①点P在平面α内, 记作: P ②点P在平面α外, 记作: P
（3）空间两直线的位置关系有__种:3
①直线a与b在同一平面内且没有公共点---
（2）与直线(zhíxiàn)AB1成异面直线的有_6____条; （3）与直线BD1成异面直线的有_____条6;
D1 A1
C1 B1
D A
C
B
第九页，共十一页。
二、课堂(kètáng)小结
空间中点、线、面之间的位置(wèi zhi)关系:
（1）空间点与直线(zhíxiàn)的位置关系有__种:
（3）在画图时，如果图形(túxíng)的一部分被另 一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可 以不画.
第三页，共十一页。
二、平面的表示(biǎoshì)方法：
平面可以用希腊字母表示，也可以用代表表示 平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个(liǎnɡ ɡè)
顶点字母表示.
D
C
A
B
如：平面(píngmiàn)α，平面β，平面ABCD，平 面AC，平面BD等.