25.2. 1用列举法求概率(1)

思考
“同时掷两个质地相同的骰子”与 “把一个骰子掷两次”，所得到的结果有变化吗？
“同时掷两个质地相同的骰子” 两个骰子各出现的点数为1～6点
“把一个骰子掷两次” 两次骰子各出现的点数仍为1～6点
归纳
随机事件“同时”与“先后”的关系：
“两个相同的随机事件同时发生”与 “一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的。
球除了颜色以外没有任何区别。两袋中的球都搅匀。 蒙上眼睛从口袋中取一只球，如果你想取出1只黑 球，你选哪个口袋成功的机会大呢？
甲 袋
20红，8黑
乙袋 20红,15黑,10白
解： 在甲袋中，P（取出黑球）＝
在乙袋中，P（取出黑球）＝
1 3
＞
2 7
2 8 ＝ 7 28 1 15 ＝ 3 45
所以，选乙袋成功的机会大。
a A B A
b B A
c B
2 1 P(一次打开锁)= = 6 3
3、一次联欢晚会上，规定每个同学同时转动两个转盘(每 个转盘被分成二等分和三等分)，若停止后指针所指的数 字之和为奇数，则这个同学要表演唱歌节目；若数字之 和为偶数，则要表演其他节目。试求这个同学表演唱歌 节目的概率。你有几种方法？
甲乙
4 5 7 6
7
共有12种不同结果，每 种结果出现的可能性相 同，其中数字和为偶数 的有 6 种 ∴P（数字和为偶数） 6 1 = 12 2
乙
4
1
(1，4) (1，5) (1，6) (1，7) (2，4) (2，5) (2，6) (2，7) (3，4) (3，5) (3，6) (3，7)
引例：掷两枚硬币，求下列事件的概率：
(1)两枚硬币全部正面朝上；
(2)两枚硬币全部反面朝上； (3)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上； “掷两枚硬币”共有几种结果？
正正
正反
反正
反反
为了不重不漏地列出所有这些结果, 你有什么好办法么？
掷两枚硬币，不妨设其中一枚为A，另一枚为B， 用列表法列举所有可能出现的结果:
第一个球： 白
黑1
黑2
黑3
第二个球： 黑1 黑2黑3 白 黑2 黑3
白 黑1 黑3 白 黑1 黑2
6 1 P（摸出两个黑球） = 12 2
4、在盒子中有三张卡片，随机抽取两张，可能 拼出菱形(两张三角形)也可能拼出房子(一张三 角形和一张正方形)。游戏规则是： 若拼成菱形，甲胜；若拼成房子，乙胜。 你认为这个游戏公平吗？
如图是“扫雷”游戏。 在 9×9 个正方形雷区中， 随机埋藏着10颗地雷， 每个方格最多只能藏一颗地雷。
A区域
3
B区域
小佳在游戏开始时，踩中后出现如图所示的情况。 我们把与标号3的方格相临的方格记为A区域(画线部分)， A区域外的部分记为B区域。 数字3表示A区域有3颗地雷， 那么第二步应踩在A区域还是B区域？
甲转盘
1
2
3
乙转盘
4 5 6 7 4 5 6 7 √ √ √ √
共 12 种可能的结果
4 5 6 7 √ √
求指针所指数字之和为偶数的概率。 与“列表”法对比，结果怎么样？
例2、同时掷两个质地相同的骰子，计算下列事件的概率： (1)两个骰子的点数相同；(2)两个骰子的点数和是9； (3)至少有个骰子的点数是2。 此 解： 二 1 2 3 4 5 6 一 题 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 用 列 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 树 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 图 的 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 方 法 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 好 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,5) (6,6) 吗 ？ 4 1 6 1 P(点数相同）= P(点数和是9）= 36 6 36 9 11 P(至少有个骰子的点数是2 ）= 36
2
3 4 5
1×2=2
1×3=3 1×4=4 1×5=5
2×2=4
2×3=6 2×4=8 2×5=10
3×2=6
3×3=9 3×4=12 3×5=15
4×2=8
4×3=12 4×4=16 4×5=20
5×2=10
5×3=15 5×4=20 5×5=25
6×2=12
6×3=18 6×4=24 6×5=30
解:设有A1,A2，B1, B2四把钥匙,其中钥匙A1,A2可以 打开锁甲,B1, B2可以打开锁乙.列出所有可能的结 果如下: B1 A2 A1 B2 钥匙1
钥匙2
A2 B1B2A1 B1 B2 A1 A2 B2 A1 A2 B1 8 2 P(能打开甲、乙两锁)= = 12 3
2
3
归纳
“列表法”的意义：
当试验涉及两个因素(例如两个转盘) 并且可能出现的结果数目较多时，
为不重不漏地列出所有的结果，
通常采用“列表法”。 上题可以用画“树形图”的方法 列举所有可能的结果么？
探究
1 2 甲 3
4 5 乙 7 6
甲转盘指针所指的数字可能是 1、2、3， 乙转盘指针所指的数字可能是 4、5、6、7。
7、甲、乙两人各掷一枚质量分布均匀的正方体骰子，如果点数 之积为奇数，那么甲得1分；如果点数之积为偶数，那么乙得1分。 连续投10次，谁得分高，谁就获胜。 (1)请你想一想，谁获胜的机会大？并说明理由； (2)你认为游戏公平吗？如果不公平，请你设计一个公平的游戏。
列出所有可能的结果：
1 1 1×1=1 2 2×1=2 3 3×1=3 4 4×1=4 5 5×1=5 6 6×1=6
P(
第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字
)=
7 14 18 36
2、有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙恰好能分别打开 这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁。任意取一把钥匙去 开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？
解: 设有A,B两把锁和a,b,c三把钥匙,其中钥匙a,b分别 可以打开锁A,B.列出所有可能的结果如下:
1
2
1
3
2
4、某班要派出一对男女混合双打选手参加学校的乒乓 球比赛，准备在小娟、小敏、小华三名女选手和小明、 小强两名男选手中选男、女选手各一名组成一对参赛， 一共能够组成哪几对？采用随机抽签的办法，恰好选 出小敏和小强参赛的概率是多少？
4、有甲、乙两把不同的锁，各配有2把钥匙。求从这4把 钥匙中任取2把，能打开甲、乙两锁的概率。
练习
1、一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁 在每个岔口都会随机地选择一条路径，它获得食物的 概率是多少？
食物
蚂蚁
2、用如图所示的两个转盘进行“配紫色”(红与蓝)
游戏。请你采用“树形图”法计算配得紫色的概率。
白 红 蓝 甲
黄 绿 蓝 红
乙
3、每个转盘分成相等的两个扇形。甲、乙两人 利用它们做游戏：同时转动两个转盘， 如果两个指针所停区域的颜色相同则甲获胜； 如果两个指针所停区域的颜色不同则乙获胜。 你认为这个游戏公平吗？
A
B
正
正正 反正
正
反
正反 反反
正 反
第一枚
还能用其它方法列举 所有结果吗？
反
第二枚
正
反
正
反
共4种可能的结果 此图类似于树的形状,所以称为 “树形图”。
例1：如图，甲转盘的三个等分区域分别写有数字1、2、 3，乙转盘的四个等分区域分别写有数字4、5、6、7。 现分别转动两个转盘，求指针所指数字之和为偶数的 概率。
一 二
1
2
3
4
5
6
1
2 3 4 5 6
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
蓝 黄
蓝 绿 黄
5、一个袋子中装有2个红球和2个绿球，任意摸出一个 球，记录颜色后放回，再任意摸出一个球，请你计算两 次都摸到红球的概率。
若第一次摸出一球后，不放回，结果又会怎样？ “放回”与“不放回”的区别： (1)“放回”可以看作两次相同的试验；
(2)“不放回”则看作两次不同的试验。
4.一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同 号码的3个黑球，从中摸出2个球.摸出两个黑球的 概率是多少？ 解：设三个黑球分别为：黑1、黑2、黑3，则：
6
1×6=6
2×6=12
3×6=18
4×6=24
5×6=30
6×6=36
小结
1.“列表法”的意义 2. 利用树图列举所有结果的方法.
3.随机事件“同时”与“先后”的关系 “放回”与“不放回”的关系.
1、在6张卡片上分别写有1～6的整数，随机地抽取一 张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数 字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？ 解: 列出所有可能的结果：
用列举法求概率(1)
复习回顾： 一般地，如果在一次试验中，
有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，
事件A包含在其中的m种结果，
m 那么事件A发生的概率为： P ( A) n
求概率的步骤： (1)列举出一次试验中的所有结果(n个)； (2)找出其中事件A发生的结果(m个)；
m (3)运用公式求事件A的概率：P ( A) n