圆锥曲线中点弦公式
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案一、用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题我们可以使用“点差法”来解决圆锥曲线的中点弦问题，即将弦的端点坐标代入圆锥曲线方程并作差，得到一个关于弦的中点和斜率的式子，从而减少运算量。
例1：对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=-2b^2/2a^2.例2：对于双曲线x^2/4-y^2/9=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=2b^2/2a^2.二、直角弦对于椭圆x^2/8+y^2/4=1上的点P(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的XXX和PB来求直线AB的方程。
例2：对于双曲线-x^2/4+y^2/1=1的顶点M(2,0)，如果过M作两条互相垂直的直线与椭圆x^2/8+y^2/4=1相交于A、B 两点，我们需要判断直线AB是否过定点。
例3：对于抛物线y^2=2x上的点M(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的弦MP和MQ来求直线AB过的定点。
例4：对于椭圆x^2/84+y^2/36=1，如果OA垂直OB，且直线AB的斜率为1，我们需要求直线AB的方程。
三、焦点弦1、对于抛物线y=x^2上的点P，如果线段PF1垂直于F1F2且PF1=8，我们需要求过P且倾斜角为θ的直线与抛物线的交点。
2、对于椭圆x^2/9+y^2/4=1，如果点P(3,0)在其上，且线段F1P和F2P的长度之和为10，我们需要求离心率。
3、对于双曲线x^2/16-y^2/9=1，如果其右焦点为(5,0)，且过点P(1,2)且斜率为k的直线与双曲线交于两点，我们需要求离心率。
4、对于椭圆x^2/16+y^2/9=1，如果其左、右焦点分别为(-3,0)和(3,0)，过点P(0,2)的直线与椭圆交于A、B两点，且A、B关于点M(0,-2)对称，我们需要求四边形面积的最小值。
练：1、对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果点P在其上，且PF1垂直于F1F2且PF1=4，PF2=3，我们需要求椭圆的标准方程和直线l的方程。
椭圆和双曲线中点弦斜率公式及推广
a2
b2 a
x0
a2
b2 a
．
证明：设 AB 的中点为 M (x1, y1) ,由题设可知 AB 与 x 轴不垂直, y1 0 ,由椭
圆的中点弦斜率公式得: kAB
b2 a2
x1 y1
kl
a2 y1 b2 x1
，所以直线 l 的方程为：
y
y1
a2 y1 b2 x1
(x
x1 )
，令
y
0 解得
x1
知： k 2 ，此时 l 的方程为: y 1 2(x 1) ，即 y 2x 1，将它代入双曲线方
程 x2 y2 1并化简得: 2x2 4x 3 0 ，而该方程没有实数根。故这样的直 2
线l 不存在．
定理１推论：若
A 、 B 是椭圆
x2 a2
y2 b2
1上关于中心对称的两点， P 是椭圆
y12 b2
y22 b2
1 两式相减
1
得:
x12 x22 a2
y12 y22 b2
0 整理得:
y12 x12
y22 x22
b2 a2
,即 ( y1 y2 )( y1 y2 ) (x1 x2 )(x1 x2 )
b2 a2
，因为
M (x0 , y0 ) 是弦 AB 的中点，所以 kOM
a2
b2
y
A
F1
O
M F2 B x
y12 y22 b2 ，即
x12 x22
a2
( y1 (x1
y2 )( y1 y2 ) x2 )(x1 x2 )
b2 a2
，因为 M (x0 ,
y0 ) 是弦
AB
的中点，所以
高中数学圆锥曲线弦长公式
高中数学圆锥曲线弦长公式摘要：1.圆锥曲线概述2.圆锥曲线弦长公式的推导3.圆锥曲线弦长公式的应用4.提高解题效率的方法正文：在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，涉及到椭圆、双曲线和抛物线等曲线。
弦长公式是圆锥曲线中的一个关键概念，掌握它对于解决相关问题具有很大的实用价值。
一、圆锥曲线概述圆锥曲线是由一个圆锥与一个平面相交而成的曲线。
根据圆锥的顶点、开口方向和截面形状，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
它们各自具有不同的性质和公式，但在求解弦长问题时，都可以利用相同的弦长公式。
二、圆锥曲线弦长公式的推导设直线与圆锥曲线相交于两点A、B，圆锥曲线的方程为y=f(x)。
根据两点间距离公式，弦长AB可以表示为：AB = √[(x1-x2) + (y1-y2)]为了求解弦长，我们需要先求出交点A、B的坐标。
将直线的方程y=kx+b代入圆锥曲线的方程，得到一个关于x的一元二次方程。
解这个方程，可以得到交点A、B的坐标。
三、圆锥曲线弦长公式的应用1.求解直线与圆锥曲线的交点坐标将直线的方程代入圆锥曲线的方程，解出交点坐标。
2.求解弦长利用求得的交点坐标，代入弦长公式，计算得到弦长。
3.求解其他相关问题利用求得的弦长，可以进一步求解其他问题，如弦的中点、弦的垂直平分线等。
四、提高解题效率的方法1.熟练掌握圆锥曲线的性质和公式熟练掌握圆锥曲线的性质和公式，有助于快速解决相关问题。
2.善于运用整体代换、设而不求的思想在解决圆锥曲线问题时，善于运用整体代换、设而不求的思想，可以简化运算过程。
3.多练习、多总结通过多练习，熟练掌握解题方法；通过多总结，不断提高解题效率。
总之，掌握圆锥曲线弦长公式，能够帮助我们解决圆锥曲线相关问题。
高考数学专题复习圆锥曲线中点弦问题
关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题, 是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问题.这类问题一般有以下三种类型：(1)求中点弦所在直线方程问题； (2)求弦中点的轨迹方程问题；(3)求弦中点的坐标问题.其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法 及中央对称变换法等.一、求中点弦所在直线方程问题在的直线方程. 解法一：设所求直线方程为 y-1=k(x-2)22 _ _ 2(4k1)x8( 2k k)x又设直线与椭圆的交点为 A(x 1,y 1),B (x 2,y 2),那么x 1,x 2是方程的两个根,于是8(2k 2 k)x 1 x2—TT~2一"一,4k 1 2又M 为AB 的中点,所以 工一9 4^2一s 2 ,2 4k 1-1解得k-, 2故所求直线方程为 x 2y 4 0.2 2x y 例2过椭圆—— —1上一点P (-8, 0)作直线交椭圆于 Q 点,求PQ 中点的轨迹万 6436x 2例1过椭圆一 16 2y-1 内一点 M (2, 41)引一条弦,使弦被点 M 平分,求这条弦所,代入椭圆方程并整理得: _ 2 一4(2k 1)16 0解法二：设直线与椭圆的交点为 A(x 1, 所以 x 1 x 2 4 , y 1 y 2 2,22又A 、B 两点在椭圆上,那么 x 1 4 y l.... 1 . (2)222两式相减得(x 1 x 2 ) 4( y 1 y 2 )所以Li- X21,即x 〔 x 2 4( y 〔 y 2) 2故所求直线方程为 x 2y 4 0. 解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为 那么另一个交点为 B(4- x ,2 y ), 由于A 、B 两点在椭圆上,所以有(4两式相减得x 2y 4 0, 由于过A 、B 的直线只有一条, 故所求直线方程为 x 2y 4 0.、求弦中点的轨迹方程问题 %), B (x 2,y 2), M (2, 1)为 AB 的中点,22_16 , x 2 4 y 2 16 ,0 ,k1kAB八,2A( x , y ),由于中点为M (2, 1),22x 24y 216 2-2x)24(2 y)2 16程.解法一：设弦PQ中点M ( x, y),弦端点P ( Xi, yi) , Q ( X2, y2),2 2那么有9X1216y12576,两式相减得9(x12 x22)9X2 16y2 576三、弦中点的坐标问题例3求直线y x 1被抛物线y2 4x截得线段的中点坐标.解：解法一：设直线y x 1与抛物线y2 4x交于A(x1, y1), B(x2, y2),其中点y x 1P(x0,y o),由题意得2,y 4x消去y 得(x 1)2 4x,即x2 6x 1 0 ,所以x.六3, y. x. 1 2,即中点坐标为(3,2).解法二：设直线y x 1与抛物线y2 4x交于人(为」),B(x2,y2),其中点P(x0,y0),由题意得"24",两式相减得y22 y： 4(x2 x1),y2 4x2所以(y2 y1)(y2 y1)416(y：2、y2 ) 0,又由于x1 x2 2x, y1 y22y,所以9 2x(x1x2) 16 2y(y1 y2) 0,y1y29x 工所以—————,而k PQx1x216y化简可得9x2 72x 16y2 0 (x 8).解法二：设弦中点M(x,y) , Q ( x1, y1),由x W 2y, x1 8 y1 广八八-一,y 工可得x1 2x 8 ,2 22 又由于Q在椭圆上,所以卫64 1 ,即4(x“ 36 64 鱼136所以PQ中点M的轨迹方程为(x 4)16x 8).所以y i y 24,即y o 2 , X 0 y 0 1 3,即中点坐标为〔3,2〕.上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些根本解法.下面我们 看一个结论 2 2弓।理 设A 、B 是二次曲线C ：A X Cy D X Ey F弦AB 的中点,那么 0上的两点,p 〔X0,y0〕为 kAB E 0) 2 设 A (X I ,V I )、B (X 2, y 2)贝u Axi 2 AX 22Cy i 2Cy 2 D X I Ey i F 0……(i) DX 2 Ey 2 F ⑴(2)得 A(X i .2A X 0 (x i X 2 ) X 2)(X i X 2) C(y i y 2)(y i v2 D(X i X 2) 2) E(y i V2) 0 . (2AX 0 D)(x i •• 2Cy 0 〔说明：当A2A X 0 酝B D E ) 2推论i 设圆X 2X 0 D 2y 0 k AB 推论2b \X--- -• ----------k AB 设点 2Cy o (y i y 2)D(X 1 X 2) X 2) (2Cy ° E)(y i y ?) .X i X 2y i y X i X 2 时,上面的结论就是过二次曲线 〔假设点设椭圆a2・a y0.〔注：对丫？血2・a V .〕推论3 设双曲线bi?及 2 ■ E(y i y 2) 2AX 0 2Cy ° E 即 k AB2AX 0 D 2C V ^~~ED X Ey F 0的弦 P 在圆上时,那么过点 2匕b 2a< b C 上的点P 〔X0,y .〕的切线斜率公式, AB 的中点为 p 〔X0,y0〕〔y .0〕,那么 k P 的切线斜率2X 0 D2y .E为) i的弦AB也成立.假设点2y b 2a y 0.〔假设点p 在双曲线上,的中点为P〔X0,y.〕y 00),那么P 在椭圆上, 那么过点P 的切线斜率为i的弦AB 的中点为那么过 P 点的切线斜率为2推论4设抛物线y2Px 的弦AB 的中点为P 〔x0,y0〕〔k 卫〕P 在抛物线上,那么过点 P 的切线斜率为y0P (x 0 , y 0 ) y 00)那么y.bl?a 2 ■a V .)k AB0)那么P y0.(假我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题,下面举例说明.例1、求椭圆252L 116 斜率为3的弦的中点轨迹方程.解：设P (x,V)是所求轨迹上的任一点,那么有c 16 cx3 — ?一25 y,故所示的轨迹方程为( 16x+75y=075,2412x；1)…,,一2例2、椭圆a2y 1(a b 0),A、2 ,2a bB是椭圆上两点,线段AB的垂直平分线l2 ,2a bP(x0,0),求证:证实：设AB的中点为T(x i,y i),由题设可知AB与x轴不垂直,,y i 0b2 a2 aQy i --- Z-■''.•.l的方程为：2ax1 ~ 1T2a b2 ,2a b -.l±AB2 土?〞(xb x1• . | x1 | ab2a2例3、抛物线C: y x ,直线在关于l对称的两点,k的取值范围是什么?解：设中点为C上两点A、P(x0 , y0 )(k AB 12y0令y=02*?t(x.x1)2a-2""ab-?x01l:y k(x 1) 1,要使抛物线C上存B两点关于l对称,AB的0)1k2 k(x0 1)•• P在抛物线内_ 2(k 2)( k1,1k24y0. PC1 kl y°k(x°J 1 1 I、P( ,- k)2 k 21) 1,k3» 0,4k与抛物线有关的弦的中点的问题〔1〕中点弦问题：y =3+ 1与/+_/+分-了= 1交于两点,且这两点关于直缥+ y = 0对称,那么笳+5 = 7〔上题麻烦了.是圆不用中点法〕争两交点是〔工1,乃、〔电1?都满足二i■太曲线方程.?〔1〕•㈡〕有〔局一/〕3 +/〕+〔＞[-M〕C X1+⑷土中.「占〕-〔＞-以〕=.小同时除出一々〕有区+引+33〔乃+打〕〞一"建二0」〔占一修〕〔七一刍〕空生就是直线的斜率E 〔西十两〕,乃〕就是交点中点坐标的两倍,由关于另〔占-%〕直线对称,所以逐=-1,且交点的中点就是两直线交点为〔」,当,所以, 2 2占十勺二1 j【十乃二1,所以又有1+ 〔1〕+匕・31〕=.得到g/p例1由点〔2,0〕向抛物线y2 4x弓|弦,求弦的中点的轨迹方程.分析：解决问题的关键是找到弦的端点A、B在直线上的性质和在抛物线上的性质的内在联系.解法1:利用点差法. 2 2设漏点为A〔x i,yj , B〔x2,y2〕,那么y i 4x i, y4x2,2 2 ., 、两式相减得y2y1 4〔 x2x1〕, ①①式两边同时除以x2 x1,得〔y2 y i〕 y—y1 4, ②x2x1设弦的中点坐标为〔x, y〕,那么x1 x2 2x, y1 y2 2y, ③又点〔x, y〕和点〔2,0〕在直线AB上,所以有」一 y 2y1. ④瓯'+短+㈣-乃= 1.〕*、婚+W+6电-打二1⑵2 x2x1y i y 22 2一代入(i)得 y 2 2(x 2)k2 2故得所求弦中点的轨迹万程是y 2(x 2)在抛物线y 4x 内部的局部.评注：(i )求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式,此题所给 (x, y)与条件的内在联系,列关于 x, y 的关系式,进而求出轨迹的方程.(2)弦中点轨迹问题与中点的关系,要学会推导,并能运用.将③、④代入②得2y y 4, x 22整理得y 2(x 2).故得中点的轨迹方程是 y 2 2(x 2)在抛物线y 2 4x 内部的局部. 解法2:设弦AB 所在直线的方程为y k(x 2),由方程组y k(x 2)4x消去x 并整理得ky 2 4y 8k 0, (3)(x i , y i )、 B (x 2,y 2)、 '\ ' (x, y),对于方程(3),由根与系数的关系,有y i V2 2出的两种方法,都是找动点 设抛物线y 22 Px (0)的弦 AB ,A (x i ,y i ) ,B(x 2,y 2),弦 AB 的中点 C (x o ,y 0),2,y i 那么有 2 y 22px i2 Px 2⑴(2)(i) — ( 2)2y i 2y 22p(x i x 2),.y i y 2x i x 22P y i y 2将 y i y 2y 1y 2q _yi 72,代入上式,并整理得x i x 2k AB—,这就是弦的斜率 y .例2抛物线y22x ,过点Q(2,i)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点轨迹方程.解：如图,设弦AB的中点为A、B、M点坐标分别为(x［,y i),2 -(x,y),根据题意设有y i2x 1 ,①2 -公y2 2x 2 ,② x 1 x 2 2x , ③ y iy 2 2y,④ rd,⑤x 1 x 2 x 2y i y 2i x 1 x 2, -------- -,x i X2y2-i 2 7 ⑥代入⑤得,y 丫*2,即(丫3)x -o2y 2 2x ,利用根与系数的关系,求出弦中点的轨迹方程.专题：直线与抛物线的位置关系及中点弦问题(1)位置关系：Q 直线/：, =必+皿用=0) r 抛物线y 2 = 2px(p>0)联立解CJ tky~ -2/?y + 2^ = 0 @假设k 二 (L 直战与抛物战的对称轴平行或重合,直线与抛物线相交于一点:假设k HU , △真线与抛物线相交,有阴个交点；A = 0n 亢浅与抛物浅相切,有一个交点；宜线与抛物线相离,无交点二(2)相交弦长：宜城与圆世曲线相交的茂长公式设直线圆锥曲线才Fi.r4)=O .它HI 的交点为Pi (xi»yi)- Pj 口?而,[Fix. v) = 0 且由1 ,Ti 消去了得到那苏十H.r+p=0『mHO), △=/ 一4川p*[,二心 + H设马・力3 那么弦长公式为；那么I AE 匕J1 +/那么 +//一4而/ 假设联立消去不得y 的一元二次方程：町/十fry + f/ = 0(m * 0)S 小阳,为yJ 『Ml AB 1= j + Jjbi +y 万 一4%力 {3)典洌分析：④代入①—②得,2 y(y iy 2) 2(x 1评注：此题还有其他解答方法,如设AB 的方程为y k(x 2) i ,将方程代入例1抛物线的方程为y2=4x,直线1过定点斜率为k,k为柯值时,直线1与抛物线y 2 = 4x ：只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点？解：由题意,设直绷的方程为y-l = Ar(x+2)由方程组e；：：：(x+2)ffl ky2 - 4y + 4 (2k +1) - O (1)(1)当k = O时,由方程(1)得y = l将y = 1 代入y2 = 4x,得x =这时直线,与抛物线只有V个公共点g ,1)(2)当kHO时,方程⑴的判别式为©A = T6 冲+"I)⑴当A = 0时,即2k2 + k・l = 0,解得k = ・l,或k =；于是当k=-l,或k=T时,方程(1)只有一个解,从而方程组只有一个解.此时直线1与抛物线有一个交点.(2)当A>0时即2尸+J <0,解得—1<上< —2于是当时,方程⑴有两个解,从而方程组有两个解.此时直线1与抛物线有两个交点.(3)当A <0时,即+解得k<-l或幺>-于是当k<-l或k>不时,方程(1)没有肝,从而方程组没有解.此时直线I与制物线没有交点.绿上所述：当・l<k<g且k*0时,直缭口抛物线有网个交点；当k7或或k・0时,直蝴抛物线有一个交点;2当k<-l或k>:时,直缭口抛物线没有交点.例2、抛物线C：J=4x,设直线与抛物线两交点为A、B,且线段AB中点为M 〔2, 1〕,求直线/的方程.解由即意可知,亘线1斜率一定存在,故可设庆〔勺,?〕,13@2,%〕〔乂1工乂2〕,Mx l + x2 = 4,y1+y2 = 2曲[曰=4% =2!L^=_1_=2 gp k = 2I月=4七3一出乂+»2 2止匕由f直线/的方程为y-l = 2〔x-2〕,艮P2x-y-3 = 0由y - 4x 消x彳号y2・2y-6 = 0 n△ > 02x-y-3 = 0所以直线/的方程为y・l = 2〔x-2〕RU2x・y・3 = 0说明：中点弦问鹿的常见解决方法,点差法例3抛物线的顶点在原点,焦点在x釉的正半轴上,百线y = -4x + ]被抛物线所截得的弦AB的中点的纵坐标为- 2 .〔I〕求抛物线的方程：〔2〕是否存在异于原点的定点H,使得过〃的动直线与抛物线相交于A Q两点,且以PQ为直径的圆过原点？解〔1〕：由条件可设抛物线方程为：r =2px〔p>o〕联立直线y = -4x+l化简得：2y2+〃y - 〃 =〔〕设43],必〕,8〔/2,丫2〕那么?+〕'2 =-^ = -4.,./? = 8抛物纹方程为：y 2 =]6工〔2〕设存在满足条件的定点内.设动直线方程为〕& + 0〕联立抛物线方程化简得:02-16丁 + 161=0设.〔再,必〕,..2,/2〕那么有用/ + 丫.2 =〔〕即：b = -16k 故动电线方程为丁=6-164 = Z:〔x-16〕,恒过定点〔16. 0〕当直线斜率不存在时,设宜线方程为/ = %,易触得% = 16.粽匕存在异于原点的定止〃(16, 1J)满足条件0例4直线『过定点人43且与‘抛物线.：5'22#(2>0)交］子,Q两点,假设以PQ 为直径的阿枇过原点..求尸的伍解：可设直线/的方程为f = my+4代入« =2『工得y L-2/JW1V-8/J = 0»设代百,X )◎0,%)•那么九力=—8/,斯与=?- * =竽匕=16+2P 2p 4p由题总如,OPLOQ. Wl OP OQ = 0即丹马+耳为= 16 —8p = 0; p 二2此时,抛物线的方程为f = 4K.例5在抛物战y? = 64十上求一点,使到电战4K十3y+46 = 0的距嘉最短,并求出最短距瓦解；设与百线4#+ 3y +用=0平行且与楠制相切的直建方程为：x-y + m = 0联立化筒群/ +48v-48w = 0 L)由A = 0解得旧=-12,故切线方程为：4工+ 3, —12 = 0代人双曲线方程解得f 9-24 )最短师离d = 2例6求直线y x 1被抛物线y2 4x截得线段的中点坐标.解：解法一：设直线y x 1与抛物线y2 4x交于A(x1,y1), B(x2,y2),其中点y x 1P(x0,y0),由题意得2,y 4x消去y 得(x 1)2 4x,即x2 6x 1 0,所以x.3, y0 x. 1 2,即中点坐标为(3,2).解法二：设直线y x 1与抛物线y2 4x交于A(x1,y) , B(x2,y2),其中点2P(x0,y0),由题意得y124x1,两式相减得\2 y： 43x1), y2 4x2所以(y2 y1)(y2 y1)4,所以y〔y2 4,即y0 2 , x0y 1 3,即中点坐标为(3,2).。
圆锥曲线中的中点弦问题
圆锥曲线中的中点弦问题（泌阳第二高级中学河南泌阳463700）直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是高考的一个热点问题，也是解析几何的主要内容之一。
在近几年的高考试题中时有出现。
以下三个结论在解决相关问题时能有效简化解题过程，节省做题时间。
我们通过练习体会一下。
1. 三个结论结论1：在椭圆x2m+y2n=1（m>0，n>0，m≠n）中，弦AB以点M（x0，y0 ）为中点，则弦AB所在直线的斜率与直线OM的斜率之积kAB ·kOM=-nm结论2：在双曲线x2m-y2n=1 （m>0，n>0）中，弦AB以点M（x0，y0）为中点，则弦AB所在直线的斜率与直线OM的斜率之积kAB ·kOM=nm结论3：在抛物线y2=2px（p >0）中，弦AB以点M（x0，y0）为中点，则弦AB所在直线的斜率是kAB =py02. 说明（1）上述结论均只考虑直线斜率存在的情形，做解答题时仍需分类讨论，关注斜率不存在的情形.（2）上述结论均可利用点差法进行证明，（3）.利用结论2求弦所在的直线方程时，应注意验证。
3. 结论的应用类型1：求与中点有关的圆锥曲线的标准方程问题例1（2013年高考数学全国新课标卷I理科第10题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点F（3，0），过F的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点坐标是M（1，-1），则椭圆方程是（）A.x245+y236=1B.x227+y218=1C.x236+y227=1D.x218+y29=1析：由结论1可知：kAB·kOM=kMF·kOM=12·-11=-12=-b2a2∴a2=2b2，又a2-b2=9，解得b2=9，a2=18故选D练习.1.（2010年高考数学课标全国卷理科第12题）已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N（-12，-15），则E的方程是（）A.x23-y26=1B.x24-y25=1C.x26-y23=1D.x25-y24=1析：由结论2知：kAB·kON=b2a2=3-（-12）0-（-15）·-15-12=54，4b2=5a2又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B2.（2012郑州三模，16）已知双曲线x2-y23=1上存在两点M、N关于直线y=x+m 对称，且线段MN 中点P在抛物线y2=18x上，则实数m的值为_________析：由结论2可知：kOP ·kMN=kOP ·（-1）=b2a2=3，∴kOP=-3，设P（x0，y0），则y0x0=-3推出y0=-3x0，代入y2=18x 得9x02=18x0，解得x0=2y0=-6，x0=0y0=0，再代入方程y=x+m ，得m=-8或m=0类型2：求以某点为中点的弦所在直线方程问题例2.（北师大版选修1——1第48页A组第8题）已知椭圆x216+y24=1 ，求以点P（2，-1）为中点的弦所在的直线方程。
直线与圆锥曲线自家用稿(弦长公式与中点弦)
题型二：弦长公式
练习2：已知斜率为2的直线 l 与抛物线 A、B两点，若
y 4 x 相交于
2
，求直线 l AB 5
的方程； P70 A2
( x1, y1 ) A
解：设直线 l : y 2 x b,点A( x1, y1 )B( x2 , y2 )
y 2 x b代入y 2 4 x，得 4 x2 (4b 4) x b2 0 x1 x2 b b2 x1 x2 4
a 0, b 0
y 2 2 px
p0
把直线方程代入圆锥曲线方程
得到一元一次方程
抛物线， 直线与 对称轴平行 或重合
得到一元二次方程 计算判别式
双曲线， 直线与 渐近线平行
>0
相交
=0
相切
<0
相离
相交1
相交1
2
1
0
二、新课讲授：
题型二：直线与圆锥曲线弦长问题
例1.已知斜率为 2的直线经过椭圆 4 x 2 5 y 2 20的右焦点 F2， 与椭圆交于A，B两点，求弦长AB的长及AB中点的坐标。
解： (2)将y x m代入椭圆 5x 2 2mx m2 1 0 y 1 2
－2m m －1 则 x1＋x2＝ ，x1x2＝ . 5 5
B
1 2
A
O
由弦长公式得： 2m 2 2 2 1 1 ( ) 4( m 1) | AB | 5
x
4m2 20(m2 1) 2 2 5 4m 2 2 5 5 2 10 此时，直线方程为 yx 当m 0时， | AB |max 5
(3)证明：设 OM，ON 的斜率分别为 k1，k2， y1 y2 则 k1＝ ，k2＝ ， x1 x2 由(2)知，y1y2＝－4，x1x2＝4， －4 ∴k1· k2＝ ＝－1，即 OM⊥ON. 4
关于圆锥曲线弦长的“万能公式”及其应用
关于圆锥曲线弦长的“万能公式”及其应用
众所周知,我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线（即二次曲线）。
一般直接用公式解决弦长问题时,计算量大,容易出错,这正是高考命题需要考查学生计算能力的一个重要方面。
我们通常用“设而不求”的方法，可得到其弦长公式。
这种“设而不求”的思想，在处理圆锥曲线相关问题中占有重要地位。
本文将给同学们介绍“圆锥曲线弦长万能公式”，用它来解题可以简化运算过程。
假设设直线l的方程为：y=kx m（特殊情况要讨论k的存在性），圆锥曲线为f（x，y）=0(可以是圆、椭圆、双曲线、抛物线)，把直线l的方程代入二次曲线方程，可化为ax2 bx c=0，（或ay2 by c=0），不妨设直线和二次曲线的两交点为A（x1，y1），B（x2，y2），那么：x1，x2是方程ax2 bx c=0的两个实数解，于是有。
运用点差法解答圆锥曲线中点弦问题的步骤
思路探寻中点弦问题是指与圆锥曲线的弦的中点有关的问题.这类问题通常要求我们求弦的中点的坐标、弦所在直线的方程、圆锥曲线的方程，侧重于考查一元二次方程的根与系数的关系、线段中点的坐标公式、直线的斜率公式的应用，以及直线与圆锥曲线的位置关系.解答圆锥曲线中点弦问题，通常运用点差法.若直线与椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0）相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，且AB 的中点M (x 0,y 0)，运用点差法解答中点弦问题的步骤为：1.把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程，得：x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b2=1②；2.将①②两式作差，得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=1，即()x1-x 2()x 1+x 2a 2+()y1-y 2()y 1+y 2b 2=1，可得y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a 2(x 1+x 2y 1+y 2)=()-b 2a 2æèççççöø÷÷÷÷x 1+x 22y 1+y 22=()-b 2a2(x 0y 0)③；3.根据线段中点的坐标公式可得x 0=x 1+x 22，y 0=y 1+y 22，将其代入③得y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a 2()x 0y 0，即为直线AB 的斜率.类似地，对于焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2+x 2b2=1（a >b >0），运用点差法可得直线AB 的斜率k AB =()-a 2b 2()x 0y 0；对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2-y 2b2=1（a >0,b >0），由点差法可得直线AB 的斜率k AB =()b 2a 2()x 0y 0；焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2-x2b2=1（a >0,b >0），由点差法可得直线AB 的斜率k AB =()a 2b 2()x 0y 0.利用点差法，由弦AB 所在直线的斜率和圆锥曲线的方程，可以得到弦AB 中点的横坐标x 0与纵坐标y 0之间的关系式.例1.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为ìíîx =2cos θ,y =4sin θ,其中θ为参数，直线l 的参数方程为ìíîx =1+t cos θ,y =2+t sin θ,其中t 为参数.若曲线C 截直线l 所得线段的中点为（1，2），求直线l 的斜率.解：由ìíîïïïïx2=cos θ,y 4=sin θ,可得曲线C 的直角坐标方程是y 216+x 24=1，当直线l 的倾斜角θ≠π2时，由ìíîx -1=t cos θ,y -2=t sin θ,得y -2x -1=tan θ，则直线l 的直角坐标方程是y =x tan θ+2-tan θ.当直线l 的倾斜角θ=π2时，直线l 的斜率不存在，其方程是x =1，设直线l 与曲线C 相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，因为AB 的中点的坐标为（1，2），所以x 1+x 22=2，y 1+y 22=4，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程中，得x 1216+y 124=1①，x 2216+y 224=1②，将①②两式作差得x 12-x 2216+y 12-y 224=1，可得直线l 的斜率k AB=()-164()x 1+x 2y 1+y 2=()-164×()12=-2.运用点差法，由弦的中点坐标和曲线的方程，可以直接通过整体代换，快速求得弦所在直线的斜率，这样可以大大减少运算量.例2.已知双曲线x 2-y 22=1，那么过点P (1，1)能否45思路探寻作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB的中点.解：设直线l 与双曲线相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，因为AB 的中点的坐标为（1，1），所以x 1+x 22=2，y 1+y 22=2，把A 、B 两点的坐标代入双曲线的方程，得x 12+y 122=1①，x 22+y 222=1②，将①②两式作差得()x 12-x 22+y 12-y 222=1，可得k AB =2()x 1+x 2y 1+y 2=2.得直线l 的方程为y -1=2(x -1)，即y =2x -1.联立直线与双曲线的方程，得ìíîïïy =2x -1,x 2-y 22=1,消去y ，得2x 2-4x +3=0，所以△=16-24=-8<0，则方程无解.所以直线l ：y =2x -1与双曲线x 2-y 22=1相离，故不存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.本题涉及了双曲线的弦、中点，属于中点弦问题，需运用点差法求解.将直线与双曲线的两个交点的坐标分别代入双曲线的方程中，并作差，从而求得弦所在直线的斜率和方程.最后还需构造出一元二次方程，根据方程的判别式来判断直线与双曲线是否有两个交点，检验所求的直线方程是否满足题意.例3.已知椭圆x 22+y 2=1上的两点A 、B 关于直线y =mx +12对称，求实数m 的取值范围.解：设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程，得x 122+y 12=1①，x 222+y 22=1②，将①②两式作差得()x12-x 222+()y 12-y 22=1，可得-1m =()-12()x 1+x 2y 1+y 2.设弦AB 的中点M (x 0,y 0)，则y 0=mx 0+12③，可得-1m =(-12)(x 0y 0)④，由③④可得ìíîïïïïx 0=-1m,y 0=-12,即M (-1m ,-12)，因为弦AB 的中点M 必在椭圆内部，所以()-1m22+()-122<1,解得mm <由于A 、B 两点关于直线对称，所以A 、B 两点的中点在直线上.本题实质上是中点弦问题，需运用点差法求解.先将两点的坐标代入椭圆的方程中，并作差，即可求出直线的斜率；然后建立关于AB 中点坐标的方程组，求得中点的坐标；再将其代入椭圆的方程中，根据椭圆与点的位置关系，求得参数m 的取值范围.例4.已知直线AB 与椭圆x 2a 2+y 2b2=1交于A 、B 两点，B 与B '关于原点O 对称，证明：直线AB 与直线AB '的斜率之积为定值.证明：设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程中，得：x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b2=1②，将①②两式作差，得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=1，即y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a2(x 1+x 2y 1+y 2)，变形得y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)=-b 2a2，而直线AB 的斜率为k AB =y 1-y 2x 1-x 2，直线AB '的斜率为k AB '=y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)，所以k AB ⋅k AB '=y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)=-b 2a2.解答本题，需灵活运用点差法和直线的斜率公式，建立关于直线AB 和直线AB '的斜率的关系式，从而证明结论.运用点差法解题，只需通过简单的整体代换，即可求得直线的斜率、弦中点的坐标，这样可以有效地提升解题的效率.但是点差法的适用范围较窄，只适用于求解中点弦问题，且其中的x 1、x 2、y 1、y 2不一定是实数，有可能是虚数，因此在运用点差法解题时，还需检验所得的结果是否满足题意.（作者单位：陕西省宝鸡市岐山县蔡家坡高级中学）46。
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圆锥曲线中点弦公式
中点弦抛物线中点弦公式
抛物线C：x^2（这里x^2表示x的平方，下同）=2py上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：py-αx=pβ-α^2。
中点弦存在的条件：2pβ>α^2（点P在抛物线开口内）。
中点弦椭圆中点弦公式
椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：
αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。
中点弦存在的条件：α^2/a^2+β^2/b^2<1（点P在椭圆内）。
中点弦双曲线中点弦公式
双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：
αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。
中点弦存在的条件：(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)>0（点P不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内）。
中点弦二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理
蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理，它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性．不少中数专著或杂志至今还频繁讨论．本文揭示了它与中点弦性质的紧密联系，并给出统一而简明的证明，指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式．
引理：设两条不同的二次曲线
S：F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0
有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线，则过A、B、C、D四点的任意一条二次曲线S2必可唯一地表示成：
(证明略)
定理1 设三条不同的二次曲线(S、S1、S2)有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线；又直线L0被S、S1、S2各截得一弦．若其中两弦中点重合，则第三弦中点亦重合．证设S、S1的方程为(1)、(2)，则S2方程可表为(3)．因直线L0(设斜率为k)关于二次曲线S、S1、S2的共轭直径分别为：
L：(a11x+a12y+a13)+k(a12x+a22y+a23)=f(x，y)=0
因L、L1都通过L0被S与S1所截得的弦PQ与EF的共同中点O，显然L2也必通过点O，故O也是L0被S2所截得的弦GH的中点．
注两直线AB和CD或AD和CB或AC和BD都可看做二次曲线S1的特殊情形，甚至E和F重合于O．故本定理包括了蝴蝶定理众多情形．
定理2 设AB∥CD，S和S1是过A、B、C、D四点的任意两条二次曲线．若平行于AB的任意直线与S、S1各有两个交点，则夹在两曲线之间的两线段相等．证设AB、CD的中点分别为M、N，又AB∥CD，故直线MN就是AB关于S和S1的共轭直径，故若平行于AB的任意直线被S、S1所截的弦PQ、EF有共同中点O，故有PE=QF，命题得证．
注由于PQ可为AB与CD之间任意平行弦，皆有PE=QF，故夹在S和S1之间的两曲边区域△1和△2面积相等．[1]它酷似蝴蝶两翼，不过并非轴对称，而是沿AB方向共轭．如果世上真有这样的蝴蝶，飞行亦能平衡自如．
定理1还可推广得到更一般的结论．
定理3 若三条不同的二次曲线S、S1、S2有无三点共线的四个公共点，沿某一确定方向的任意直线L0被S、S1、S2各截得一弦PQ、EF、GH，则三弦中点O、O1、O2之间有向线段之比为常数．
证不妨取坐标系使确定方向为x轴．于是该方向(k=0)关于S、S1、S2的共轭直径分别为(参见定理1)：
L：a11x+a12y+a13=0
L1：b11x+b12y+b13=0
L2：(a11x+a12y+a13)+λ(b11x+b12y+b13)=0
设直线L0方程为y=y0，PQ、EF、GH的中点为O(x0，y0)，O1(x1，y0)，O2(x2，y0)，于是由直径方程知：
a11x0+a12y0+a13=0，b11x1+b12y0+b13=0
(a11x2+a12y0+a13)+λ(b11x2+b12y0+b13)=0
故a11(x2－x0)=λb11(x2－x1) (4)
即OO2/O2O1=α (a11≠0时) (5)
其中α=－λb11/a11是与y0无关的常数(由S、S1、S2三曲线确定．当a11=0时，L ∥L0可知L0与S无两个交点，故不在本命题讨论之列)．
(5)式意即：在指定顺序O、O2、O1之下，两有向线段之比不因L0平行移动而变化．
推论在定理3条件下，对任意直线L0所截的三弦中点中，任意两点总在第三点同侧或异侧．当O、O1、O2中有两点重合时，第三点也重合．“蝴蝶定理”虽然如自然界的蝴蝶种类一样千变万化，然而万变不离其宗，核心在于中点弦性质。