等腰三角形的轴对称性质(1)
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13. 等腰三角形的性质 PPT课件(华师大版)
分析：由上述操作可以得到启示，即添加
等腰三角 形的顶角平分线AD，然
后证明△ABD≌ △ACD.
证明：画∠ABC的平分线AD. 在 △ABD和 △ACD中， ∵ AB＝AC (已知）， ∠ 1 = ∠ 2(角平分线的定义）， AD =AD (公共边）， ∴ △ABD≌ △ACD(S.A.S.). ∴ ∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等）•
2．等腰三角形“三线合一”的性质常常可以用来证明角相 等、线段相等和线段垂直．在遇到等腰三角形的问题 时， 尝试作这条辅助线，常常会有意想不到的效果．
例4 如图 13.3.4，在△ABC中， AB＝AC ，D是BC 边上的中点， ∠B =30°．求 ：
（1）∠ADC的大小； （2）∠1的大小. 解： （1）∵ AB＝AC ，BD＝DC （已知），
3 (中考·丹东)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30° ，E为BC的延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平 分线交于点D，则∠D的度数为( ) A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
知识点 2 等腰三角形的轴对称性：三线合一
探索
由前面的“做一做”，你还可以发现什么结论？请 写 出你的发现：
例2 已知：在△ABC中， AB＝AC ， ∠B =80°．求 ∠C和∠A的大小.
解： ∵ AB＝AC （已知）， ∴ ∠C＝∠B ＝ 80°（等边对等角）. 又∵ ∠A + ∠B + ∠C ＝ 180°(三角形的内角和 等于 180 °）， ∴ ∠A ＝ 180 °－ ∠B － ∠C (等式的性质） ＝ 180°－ 80°－ 80°＝ 20°.
做
一
做
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角 形的大小和形状可以不一样，如图13.3.2,把纸片对折，让
等腰三角 形的顶角平分线AD，然
后证明△ABD≌ △ACD.
证明：画∠ABC的平分线AD. 在 △ABD和 △ACD中， ∵ AB＝AC (已知）， ∠ 1 = ∠ 2(角平分线的定义）， AD =AD (公共边）， ∴ △ABD≌ △ACD(S.A.S.). ∴ ∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等）•
2．等腰三角形“三线合一”的性质常常可以用来证明角相 等、线段相等和线段垂直．在遇到等腰三角形的问题 时， 尝试作这条辅助线，常常会有意想不到的效果．
例4 如图 13.3.4，在△ABC中， AB＝AC ，D是BC 边上的中点， ∠B =30°．求 ：
（1）∠ADC的大小； （2）∠1的大小. 解： （1）∵ AB＝AC ，BD＝DC （已知），
3 (中考·丹东)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30° ，E为BC的延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平 分线交于点D，则∠D的度数为( ) A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
知识点 2 等腰三角形的轴对称性：三线合一
探索
由前面的“做一做”，你还可以发现什么结论？请 写 出你的发现：
例2 已知：在△ABC中， AB＝AC ， ∠B =80°．求 ∠C和∠A的大小.
解： ∵ AB＝AC （已知）， ∴ ∠C＝∠B ＝ 80°（等边对等角）. 又∵ ∠A + ∠B + ∠C ＝ 180°(三角形的内角和 等于 180 °）， ∴ ∠A ＝ 180 °－ ∠B － ∠C (等式的性质） ＝ 180°－ 80°－ 80°＝ 20°.
做
一
做
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角 形的大小和形状可以不一样，如图13.3.2,把纸片对折，让
等腰三角形的性质(1)
它的周长是（ 141和716 ）
2、 在下列的等腰三角形中，分别求出它们的 底角的度数 ．
40
3、已知等腰三角形的一个角等于8100°°，求另 外两个角的度数．
探究 等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形是轴对称图形
1其些、性性中把质重质剪呢合2出？的：的（说线等等简一段腰腰说和写三三你角角成的。角形“猜你形A想能B等C的？发沿边并现折两对进等痕底等行腰对角验三折角相证角，”。形找等的出。）哪
∴ ∠ BAD=∠ CAD A⊥D BC.
（3） ∵ AD是角平分线，（∠ BAD =∠ CAD）
∴习
如图：△ABC是等腰直角三角形（AB=AC， ∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出 ∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度数。图中有哪些 相等的线段？
∴ BD = CD ∠BAD =∠CAD
A
∵ AB = AC ∠BAD =∠CAD ∴ BD = CD AD⊥BC
∵ AB = AC BD = CD B
D
C
∴ AD⊥BC ∠BAD =∠CAD
反馈练习
在△ABC中，AB=AC，
（1） ∵ AD⊥BC，
∴ ∠ BAD=∠ CAD BD= C.D
A
（2） ∵ AD是中线， (BD = CD)
A
B
C
例1:如图，在△ABC中， AB=AC ,点D在AC边上， 且BD＝BC=AD，求△ABC各角的度数．
A
你能试着解答吗？
D
B
C
等腰三角形
等腰三角形是轴对称图形
性质2：等边对等角
常用来证明两角相 等，求等腰三角形 各角的度数．
性质3：“三线合一”
研究等腰三角形的 有关问题时“三线” 是常用的辅助线．
2、 在下列的等腰三角形中，分别求出它们的 底角的度数 ．
40
3、已知等腰三角形的一个角等于8100°°，求另 外两个角的度数．
探究 等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形是轴对称图形
1其些、性性中把质重质剪呢合2出？的：的（说线等等简一段腰腰说和写三三你角角成的。角形“猜你形A想能B等C的？发沿边并现折两对进等痕底等行腰对角验三折角相证角，”。形找等的出。）哪
∴ ∠ BAD=∠ CAD A⊥D BC.
（3） ∵ AD是角平分线，（∠ BAD =∠ CAD）
∴习
如图：△ABC是等腰直角三角形（AB=AC， ∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出 ∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度数。图中有哪些 相等的线段？
∴ BD = CD ∠BAD =∠CAD
A
∵ AB = AC ∠BAD =∠CAD ∴ BD = CD AD⊥BC
∵ AB = AC BD = CD B
D
C
∴ AD⊥BC ∠BAD =∠CAD
反馈练习
在△ABC中，AB=AC，
（1） ∵ AD⊥BC，
∴ ∠ BAD=∠ CAD BD= C.D
A
（2） ∵ AD是中线， (BD = CD)
A
B
C
例1:如图，在△ABC中， AB=AC ,点D在AC边上， 且BD＝BC=AD，求△ABC各角的度数．
A
你能试着解答吗？
D
B
C
等腰三角形
等腰三角形是轴对称图形
性质2：等边对等角
常用来证明两角相 等，求等腰三角形 各角的度数．
性质3：“三线合一”
研究等腰三角形的 有关问题时“三线” 是常用的辅助线．
1.5等腰三角形的轴对称性(1)
A
顶角
腰
腰
底角
2个
B
底边
C
问题2： 等腰三角形是轴对称图形,为什么呢？
它的对称轴是什么？
问题3： 你知道等腰三角形有什么性质吗？ 你是怎样思考的。
动手做一做：
沿等腰三角形的对称轴将三角 形对折，你能发现等腰三角形的 哪些特征?
等腰三角形的性质
1．等腰三角形是轴对称图形； （等边对等角） 2．等腰三角形的两个底角相等； 3．等腰三角形顶角平分线、底边上 的中线、底边上的高重合（也称 “等腰三角形三线合一”），
等腰三角形的轴对称性
回顾与思考 1、什么叫轴对称图形？ 答：把一个图形沿某条直线对折,对折的两 部分是完全重合的,那么就称这样的图形为 轴对 称图形。
2．角是不是轴对称图形呢？ 如果是，它的对称轴是什么？ 3．线段是不是轴对称图形呢？ 如果是，它的对称轴是什么？
在学过的几何图形中还有 哪些是轴对称图形呢？
它们所在直线都是等腰三角形的对称 轴。
你能用说理的方法进一步证实你的发现吗?
A
已知：ΔABC中，AB=AC， M是BC的中点，连结AM。
B M C
（1）∠B与∠C相等吗？为什么？ （2）AM平分∠BAC吗？为什么？ （3）AM与BC的位置关系怎样？为什么？
⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为 40 ° ______. ⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两 个角为 70°,40°或55°,55° ⒊等腰三角形一个角为110°, 35 °，35 ° 它的另外两个角为___________.
A
D
B
C
E
3.如图，在△ABC中，AB=AC，点D 在BC上，且AD=BD。找出图中相等 的角并说明理由。
2.52等腰三角形的轴对称性(2)
E A F
B
G
D
C
例3、如图，已知0B、OC为△ABC的 角平分线，DE∥BC，（1）说明： DE=BD+CE （2）△ADE的周长为10， BC长为8，求△ABC的周长.
A
D
0
E
B
C
已知△ABC中AB=AC，D，E分别是 AB和 BC上的点，连接DE并延长，且与 AC的延长线交于点F，若DE=EF，试说 A 明BD=CF
A
D B C E
例3.如图,△ABC和△CDE都是等边三角 形,且点A,C,E在一条直线上. 试说明: CM=CN
B
D M N A
C
E
例4.如图,△ABC和△CDE都是等边三角 形,且点A,C,E在一条直线上. 试说明: △CMN 是等边三角形
B
D M N A
C
E
例1如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200, AD⊥AB, AE⊥AC. ⑴图中,等于300的有__________,等于 600的角有 ; ⑵△ADE是等边三角形吗?为什么? A
问题：
⊿ABC中，∠B= ∠C，AB等 于AC吗？为什么？
A
B
D
C
等腰三角形的判定:
如果一个三角形有两个角相等， 则这两个角所对的边也相等。 (简写“等角对等边”)
A
∵∠B＝∠C ∴ AB=AC (等角对等边)
B C
AC和BC有什么数量关系
C A
1
2
B
如图，AB=AC，D是AB上一点， DE⊥BC于E，DE的延长线交CA的延长 线于F，那么⊿ADF是等腰三角形吗？ 说明理由。
A N M
B
C
3.如图,在△ABC中，∠C=900， ∠ABD=2∠EBC，AD∥BC， 求证:DE=2AB.
B
G
D
C
例3、如图，已知0B、OC为△ABC的 角平分线，DE∥BC，（1）说明： DE=BD+CE （2）△ADE的周长为10， BC长为8，求△ABC的周长.
A
D
0
E
B
C
已知△ABC中AB=AC，D，E分别是 AB和 BC上的点，连接DE并延长，且与 AC的延长线交于点F，若DE=EF，试说 A 明BD=CF
A
D B C E
例3.如图,△ABC和△CDE都是等边三角 形,且点A,C,E在一条直线上. 试说明: CM=CN
B
D M N A
C
E
例4.如图,△ABC和△CDE都是等边三角 形,且点A,C,E在一条直线上. 试说明: △CMN 是等边三角形
B
D M N A
C
E
例1如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200, AD⊥AB, AE⊥AC. ⑴图中,等于300的有__________,等于 600的角有 ; ⑵△ADE是等边三角形吗?为什么? A
问题：
⊿ABC中，∠B= ∠C，AB等 于AC吗？为什么？
A
B
D
C
等腰三角形的判定:
如果一个三角形有两个角相等， 则这两个角所对的边也相等。 (简写“等角对等边”)
A
∵∠B＝∠C ∴ AB=AC (等角对等边)
B C
AC和BC有什么数量关系
C A
1
2
B
如图，AB=AC，D是AB上一点， DE⊥BC于E，DE的延长线交CA的延长 线于F，那么⊿ADF是等腰三角形吗？ 说明理由。
A N M
B
C
3.如图,在△ABC中，∠C=900， ∠ABD=2∠EBC，AD∥BC， 求证:DE=2AB.
等腰三角形的性质PPT授课课件
HK版 八年级上
第三章 声的世界
第2节 声音的特性
第2课时 噪声的防治
习题链接
提示：点击 进入习题
1 噪声；空气 4 dB；不能
答案呈现
7 人耳 10 见习题
2D
5D
8C
3C
6 声源；传播过程 9 B
基础巩固练
8．[中考·山东潍坊]将教室的门窗关闭，室内同学听到的 室外噪声减弱。对该现象说法正确的是( C ) A．室外噪声不再产生 B．噪声音调大幅降低 C．在传播过程中减弱了噪声 D．噪声在室内的传播速度大幅减小
AB=AC,
∵
BD=CD，
AD=AD,
∴△BAD ≌△CAD (SSS).
∠B=∠C.
这样，我们就证明了性质1
感悟新知
归纳
知1－讲
我们可以发现等腰三角形的性质： 性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边 对顶角”.
感悟新知
例 1 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
16 B
答案呈现
17 B 18 见习题 19 见习题
基础巩固练
1．某市已经明令禁止在城区内燃放烟花爆竹，因为燃放 烟花爆竹除了会造成空气污染外，燃放烟花爆竹时的 巨大声音还是一种___噪__声___(填“乐音”或“噪声”)，爆 竹的巨大声音是__空__气____的振动产生的。
基础巩固练
7．[安徽霍邱月考]如图所示，在女子10 m气手枪比赛中，射 击时，很多运动员在耳朵里放一个耳塞或戴上耳罩，这 主要是在___人__耳___处减弱噪声。
能力提升练
解：(1)据题可知，“控制音量”是在声源处减弱噪声， 控制的是噪声的响度。
苏教版 八年级数学上册1.5等腰三角形的轴对称性
1.53等腰三角形的轴对称
名 称 等 腰 三 角 形
图 形
性
质
判
定
两腰相等
A
两边相等 等角对等边
等边对等角
B C
三线合一 轴对称图形
在等腰三角形中，有一种特 殊的情况，就是底边与腰相等， 这时，三角形三边相等。
我们把三条边都相等的三角形 叫做等边三角形（正三角形）。
特殊的等腰三角形
探究性质：
1、等边三角形的内角都相等吗?为什么?
B
D M N A C E
用1～3种不同的分割方法，将1个等边 三角型分割成4个等腰三角形。
拓展提高
说能出你这节课的收获和体验让大家 与你分享吗？
等边三角形的性质:
名 称
等 边 三 角 B 形
图 形
性 三条边都相等
质
A
三个角都相等，且都为60°
C
三线合一 轴对称图形，有三条对称轴
等边三角形的判定:
A
B
E
D
C
例1如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200 AD⊥AB, AE⊥AC.
⑶在Rt△ABD中, ∠B=___°,AD=___BD; 在Rt△ACE中,有类似结论吗? A
B
E
D
C
结论：直角三角形中30度角所对的边等于斜边的一半
例2.如图,△ABC和△CDE都是等边三角 形,且点A,C,E在一条直线上.证:△MNC 为等边三角形.
观察 图中有几条 对称轴?请你 画出来.
例1如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200 AD⊥AB, AE⊥AC.
⑴图中,等于300的角有__________,等于600 的角有 ;
A
名 称 等 腰 三 角 形
图 形
性
质
判
定
两腰相等
A
两边相等 等角对等边
等边对等角
B C
三线合一 轴对称图形
在等腰三角形中，有一种特 殊的情况，就是底边与腰相等， 这时，三角形三边相等。
我们把三条边都相等的三角形 叫做等边三角形（正三角形）。
特殊的等腰三角形
探究性质：
1、等边三角形的内角都相等吗?为什么?
B
D M N A C E
用1～3种不同的分割方法，将1个等边 三角型分割成4个等腰三角形。
拓展提高
说能出你这节课的收获和体验让大家 与你分享吗？
等边三角形的性质:
名 称
等 边 三 角 B 形
图 形
性 三条边都相等
质
A
三个角都相等，且都为60°
C
三线合一 轴对称图形，有三条对称轴
等边三角形的判定:
A
B
E
D
C
例1如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200 AD⊥AB, AE⊥AC.
⑶在Rt△ABD中, ∠B=___°,AD=___BD; 在Rt△ACE中,有类似结论吗? A
B
E
D
C
结论：直角三角形中30度角所对的边等于斜边的一半
例2.如图,△ABC和△CDE都是等边三角 形,且点A,C,E在一条直线上.证:△MNC 为等边三角形.
观察 图中有几条 对称轴?请你 画出来.
例1如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200 AD⊥AB, AE⊥AC.
⑴图中,等于300的角有__________,等于600 的角有 ;
A
等腰三角形的性质(1)
3. 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上， DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若 ∠EDF=70°，求∠AFD的度数
A
F
E B C
D
∠AFD=160°
系统总结
通过本节课的学习，同学们说一 说自己的收获：
作业
课本14页
练习： 1、2、3
因为如果底角大于或等于 90 ，则２倍底角 大于或等于 180 ，这样三角形的内角和就大 于 180 ，显然不可能
2.填空题 ⑴.如果等腰三角形的一个底角为 50 ， 80 50 那么其余两个角为____和____.
⑵.如果等腰三角形的顶角为 80 ，那么 它的一个底角为____. 50
§1.4 等腰三角形(1)
授课教师：徐承波
宁阳十中
初二备课组
几种常见等腰三角形：
A
B
C
有两条边相等
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边， 两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
展示交流
交流预习成果， 解决共性和个性问题
精讲点拨
做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三角形可 以不一样，如图把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起， 折痕为AD.你能发现什么现象吗？
A
A
B
D
C
B
D
C
• 等腰三角形是轴对称图形 • ∠B=∠C 等腰三角形两个底角相等 简写成“等边对等角” • ∠BAD=∠CAD，AD为顶角平分线 简称“三线合一” • ∠ADB=∠ADC ，AD为底边上的高线 • BD=CD，AD为底边上的中线 等腰三角形的顶角 平分线、底边上的 中线、底边上的高 互相重合
C
等腰三角形的轴对称性质
化学实验
生物学实验
在生物学实验中，等腰三角形可用于 模拟生物体的形态和结构，如细胞结 构和生物体的平衡。
在化学实验中，等腰三角形可用于表 示化学反应中的物质变化和能量转化。
04
等腰三角形与其他几何图形的关系
与直角三角形的关系
直角三角形可以是等腰的，即两个锐 角相等，两腰也相等。
等腰直角三角形是一种特殊的等腰三 角形，它的两个锐角都是45度，两腰 相等，并且斜边是两腰的平方和的平 方根。
THANK YOU
感谢聆听
角度判定
如果一个三角形有两个底角相 等，则它是等腰三角形。
综合判定
如果一个三角形同时满足边长 相等和角度相等，则它是等腰 三角形。
02
等腰三角形的轴对称性
轴对称的定义
轴对称
如果一个平面图形关于某一直线对称 ，那么这个图形叫做轴对称图形，这 条直线叫做对称轴。
轴对称的性质
轴对称图形是全等图形，对称轴两侧 的图形可以完全重合。
角度相等
等腰三角形的两个底角相等，顶角与底角也相等。
等腰三角形的性质
80%
轴对称
等腰三角形是轴对称图形，其对 称轴是穿过顶角的高线。
100%
角度恒定
等腰三角形的角度恒定，即两个 底角相等，顶角与底角也相等。
80%
面积恒定
等腰三角形的面积恒定，可以通 过底和高计算面积。
等腰三角形的判定
边长判定
如果一个三角形有两边长度相 等，则它是等腰三角形。
绘画和雕塑
等腰三角形在绘画和雕塑 中常被用来表现形式美感 和立体感，如人体结构和 自然形态。
服装设计
在服装设计中，等腰三角 形可以作为设计元素，用 于服装的款式和图案设计。
2.5 等腰三角形的轴对称性(1)
定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. （如图：在△ABC中, AB=AC.）
A
A
顶角
腰
顶角
腰
底角
底角
B
C
B
底边
C
2.5 等腰三角形的轴对称性(1)
苏州工业园区东沙湖学校 李明树
对称是一种思想，通过它， 人们毕生追求并创造次序, 美丽和完美。 赫尔曼 . 外尔
折一折 把等腰三角形沿 顶角平分线对折 并展开，你有什 么发现？把结论 写在练习本上。
A
方法小结： 在等腰三角形中
底边中点
E F C D
B
三线合一
做一做 如图,已知点D,E在△ABC中的边BC上,AB=AC,AD=AE, 那么BD与EC 相等吗？为什么？
A
一 线 生 机
E
C
B
D
F
跳一跳
如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AC、 AB上的点，且BD=BC，AD=DE=BE. A （1）找出图中相等的角 （2）求∠A的度数 几何问题 小结：
说一说
符号语言：如图：在△ABC中,
1 2
⑴∵AB=AC, ∠1＝∠2(已知)，
AD ⊥_____ BD ＝_____ DC ； BC ，____ (三线合一) ∴_____ ⑵∵AB＝AC, AD⊥BC(已知 ),∴∠____ 2 DC (三线合一) 1 ＝∠____ , BD ____=____. ⑶∵AB=AC, BD=CD(已知), 1 ＝∠___ 2 , ___ AD ⊥BC ∴∠___ __;
C
求∠FEN的度数． A
B
D
F
例题讲解 如图，△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点， ∠B=30°，求∠1的度=AC，AD⊥BC于D，BC=12， 6 40° ，BD=_____. ∠BAC=80°，则∠1=____
A
A
顶角
腰
顶角
腰
底角
底角
B
C
B
底边
C
2.5 等腰三角形的轴对称性(1)
苏州工业园区东沙湖学校 李明树
对称是一种思想，通过它， 人们毕生追求并创造次序, 美丽和完美。 赫尔曼 . 外尔
折一折 把等腰三角形沿 顶角平分线对折 并展开，你有什 么发现？把结论 写在练习本上。
A
方法小结： 在等腰三角形中
底边中点
E F C D
B
三线合一
做一做 如图,已知点D,E在△ABC中的边BC上,AB=AC,AD=AE, 那么BD与EC 相等吗？为什么？
A
一 线 生 机
E
C
B
D
F
跳一跳
如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AC、 AB上的点，且BD=BC，AD=DE=BE. A （1）找出图中相等的角 （2）求∠A的度数 几何问题 小结：
说一说
符号语言：如图：在△ABC中,
1 2
⑴∵AB=AC, ∠1＝∠2(已知)，
AD ⊥_____ BD ＝_____ DC ； BC ，____ (三线合一) ∴_____ ⑵∵AB＝AC, AD⊥BC(已知 ),∴∠____ 2 DC (三线合一) 1 ＝∠____ , BD ____=____. ⑶∵AB=AC, BD=CD(已知), 1 ＝∠___ 2 , ___ AD ⊥BC ∴∠___ __;
C
求∠FEN的度数． A
B
D
F
例题讲解 如图，△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点， ∠B=30°，求∠1的度=AC，AD⊥BC于D，BC=12， 6 40° ，BD=_____. ∠BAC=80°，则∠1=____
第6课 等腰三角形的性质(1)
AB AC B C BD CE
∴△ABD≌△ACE. ∴AD＝AE.
7. 如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE.
求证BD＝CE. 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED. ∴∠ADE－∠B＝∠AED－∠C. 又 ∠BAD＝∠ADE－∠B， ∠CAE＝∠AED－∠C. ∴∠BAD＝∠CAE. 在△ABD和△ACE中，
(2)等腰三角形的一个角为70°，则它的底角度数为 _5_5_°__或__7_0_°_．
第2关 12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，MN是AB
的垂直平分线，求∠DBC的度数．
∠DBC＝30°
13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F. 求证DE＝DF.
5. 如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB， ∠C＝50°，求∠B，∠BAC°.
6. (例3)如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，
BD＝CE. 求证AD＝AE.
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. 在△ABD和△ACE中，
∴∠BAE＝45°－30°＝15°. ∵Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF＝∠BAE＝15°. ∴∠ACF＝∠BCF＋∠BCA＝15°＋45°＝60°.
15. 如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D 为AB的中点，点P在线段BC上由B点向C点运动，同时，点Q在 线段CA上由点C向点A运动． (1)如果点P，Q的速度均为3厘米/秒，经过1秒后，△BPD与△CQP 是否全等？请说明理由． (2)若点P的运动速度为2厘米/秒，点Q的运动速度为2.5厘米/秒，经 过几秒后，△BPD与△CQP全等？请说明理由． 解：(1)经过1秒后，△BPD≌△CQP. 理由如下：经过1秒后， BP＝3厘米，CP＝8厘米－3厘米＝5厘米，CQ＝3厘米．
∴△ABD≌△ACE. ∴AD＝AE.
7. 如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE.
求证BD＝CE. 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED. ∴∠ADE－∠B＝∠AED－∠C. 又 ∠BAD＝∠ADE－∠B， ∠CAE＝∠AED－∠C. ∴∠BAD＝∠CAE. 在△ABD和△ACE中，
(2)等腰三角形的一个角为70°，则它的底角度数为 _5_5_°__或__7_0_°_．
第2关 12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，MN是AB
的垂直平分线，求∠DBC的度数．
∠DBC＝30°
13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F. 求证DE＝DF.
5. 如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB， ∠C＝50°，求∠B，∠BAC°.
6. (例3)如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，
BD＝CE. 求证AD＝AE.
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. 在△ABD和△ACE中，
∴∠BAE＝45°－30°＝15°. ∵Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF＝∠BAE＝15°. ∴∠ACF＝∠BCF＋∠BCA＝15°＋45°＝60°.
15. 如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D 为AB的中点，点P在线段BC上由B点向C点运动，同时，点Q在 线段CA上由点C向点A运动． (1)如果点P，Q的速度均为3厘米/秒，经过1秒后，△BPD与△CQP 是否全等？请说明理由． (2)若点P的运动速度为2厘米/秒，点Q的运动速度为2.5厘米/秒，经 过几秒后，△BPD与△CQP全等？请说明理由． 解：(1)经过1秒后，△BPD≌△CQP. 理由如下：经过1秒后， BP＝3厘米，CP＝8厘米－3厘米＝5厘米，CQ＝3厘米．
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八 上
例1 已知线段a，h，求作：等腰三角 形ABC，使底边BC＝a，高AD＝h. a h
例2 已知：如图，在△ABC中， AB=AC，点D在BC上，且AD=BD．
初 中 数 学
八 上
求证：∠ADB＝∠BAC.
A 3 D
1 2
C
B
小结思考
初 中 数 学
八 上
1.等腰三角形的性质： （1）等腰三角形是轴对称图形，顶 角平分线所在直线是它的对称轴； （2）等腰三角形的两个底角相等（简 称“等边对等角”）； （3）等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合（简 称“三线合一”）．
初 中 数 学
八 上
思考题
在等腰△ABC中，∠A=40°， 求∠B度数．
八 上
等腰三角形的性质定理
等腰三角形底边上的高线、
中线及顶角平分线重合（简称
“三线合一”）．
填表1：
初 中 数 学
八 上
文字语言
图ห้องสมุดไป่ตู้语言
A
符号语言
等边对等 角
B
在△ABC中， C ∵ AB=AC， ∴∠B =∠C．
填表2：
初 中 数 学
八 上
文字语言
图形语言
符号语言 在△ABC中， AB=AC， ∵∠BAD= ∠CAD，
底角
B
底边
C
探索活动
初 中 数 学
八 上
把你手中的等腰三角形沿顶角
平分线对折，你有什么发现？
A
B
D
C
A
初 中 数 学
八 上
B
D
C
等腰三角形的轴对称性
等腰三角形是轴对称图形，顶
角平分线所在直线是它的对称轴．
初 中 数 学
八 上
等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两底角相等 （简称“等边对等角”）．
初 中 数 学
已知等腰 三角形的 B 高线
A D
∵ AD⊥BC，
C ∴ BD=CD ,
∠BAD=∠CAD．
等腰三角形性质定理：
初 中 数 学
八 上
等腰三角形的两底角相等（简称“等 边对等角“）.
等腰三角形底边上的高线、中线及顶 角的平分线重合（三线合一）. 你还可用什么方法证明上述定理？
例题教学
初 中 数 学
初 中 数 学
八 上
2.5等腰三角形的轴对称性（1）
问题情境
初 中 数 学
八 上
如下图所示，将一张长方形纸
片对折后任意剪下一个角并展开，
你知道剪下来的是什么图形吗？为 什么？
知识回顾
初 中 数 学
八 上
观察右图所示的 等腰三角形ABC，AB
A
顶 ＝AC，你能说出这个 腰 角 腰
三角形的腰、底边、 顶角和底角吗？
C
已知等腰 三角形顶 角的平分 线
A B
D
∴ AD ⊥BC, BD=CD．
填表2：
初 中 数 学
八 上
文字语言
图形语言
符号语言 在△ABC中， AB=AC， ∵ BD=CD ，
C ∴ AD ⊥BC,
A
已知等腰 三角形的 B 中线
D
∠BAD=∠CAD．
填表2：
初 中 数 学
八 上
文字语言
图形语言
符号语言 在△ABC中， AB=AC，
例1 已知线段a，h，求作：等腰三角 形ABC，使底边BC＝a，高AD＝h. a h
例2 已知：如图，在△ABC中， AB=AC，点D在BC上，且AD=BD．
初 中 数 学
八 上
求证：∠ADB＝∠BAC.
A 3 D
1 2
C
B
小结思考
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八 上
1.等腰三角形的性质： （1）等腰三角形是轴对称图形，顶 角平分线所在直线是它的对称轴； （2）等腰三角形的两个底角相等（简 称“等边对等角”）； （3）等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合（简 称“三线合一”）．
初 中 数 学
八 上
思考题
在等腰△ABC中，∠A=40°， 求∠B度数．
八 上
等腰三角形的性质定理
等腰三角形底边上的高线、
中线及顶角平分线重合（简称
“三线合一”）．
填表1：
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八 上
文字语言
图ห้องสมุดไป่ตู้语言
A
符号语言
等边对等 角
B
在△ABC中， C ∵ AB=AC， ∴∠B =∠C．
填表2：
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八 上
文字语言
图形语言
符号语言 在△ABC中， AB=AC， ∵∠BAD= ∠CAD，
底角
B
底边
C
探索活动
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八 上
把你手中的等腰三角形沿顶角
平分线对折，你有什么发现？
A
B
D
C
A
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八 上
B
D
C
等腰三角形的轴对称性
等腰三角形是轴对称图形，顶
角平分线所在直线是它的对称轴．
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八 上
等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两底角相等 （简称“等边对等角”）．
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已知等腰 三角形的 B 高线
A D
∵ AD⊥BC，
C ∴ BD=CD ,
∠BAD=∠CAD．
等腰三角形性质定理：
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八 上
等腰三角形的两底角相等（简称“等 边对等角“）.
等腰三角形底边上的高线、中线及顶 角的平分线重合（三线合一）. 你还可用什么方法证明上述定理？
例题教学
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八 上
2.5等腰三角形的轴对称性（1）
问题情境
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八 上
如下图所示，将一张长方形纸
片对折后任意剪下一个角并展开，
你知道剪下来的是什么图形吗？为 什么？
知识回顾
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八 上
观察右图所示的 等腰三角形ABC，AB
A
顶 ＝AC，你能说出这个 腰 角 腰
三角形的腰、底边、 顶角和底角吗？
C
已知等腰 三角形顶 角的平分 线
A B
D
∴ AD ⊥BC, BD=CD．
填表2：
初 中 数 学
八 上
文字语言
图形语言
符号语言 在△ABC中， AB=AC， ∵ BD=CD ，
C ∴ AD ⊥BC,
A
已知等腰 三角形的 B 中线
D
∠BAD=∠CAD．
填表2：
初 中 数 学
八 上
文字语言
图形语言
符号语言 在△ABC中， AB=AC，