山西省实验中学第三次月考

出题人：罗辉东
2012——2013学年度高三年级期中考试题（卷）
数 学（理）
第I 卷 客观卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、命题“存在R x ∈，使042
<-+a ax x 为假命题”，是命题“016≤≤-a ”的（ ）
A.充要条件
B.必要不充分条件
C. 充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件 2、已知函数53)(23-+-=x ax x x f 在区间]2,1[上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A.)5,(-∞ B. ]5,(-∞ C. )4
37
,
(-∞ D. ]3,(-∞ 3、与向量)21,27(=a ，)2
7
,21(-=b 夹角相等，且模为1的向量是（ ）
A.)53,54(-
B. )53,54(-或)5
3,54(-
C. )31,322(
- D. )31,322(-或)3
1
,322(－ 4、计算：
=⎰
dx x ）＋（－cos 12
2ππ
（ ）
A. π
B. 2
C. 2-π
D. 2+π
5、函数x x x x f cos sin 3sin )(2+=在区间]2
,4[π
π上最大值是（ ）
A. 1
B.
2
3
1+ C. 23 D. 31+
6、设函数)sin()(ϕω+=x A x f （2
||,0,0π
ϕω<>≠A ）的图象关于直线π3
2
=
x 对称，它的周期是π，则（ ）
A. )(x f 的图象过点)21
,0( B. )(x f 在区间]3
2
,125[ππ上是减函数 C. )(x f 图象一个对称中心是)0,12
5
(
π D. )(x f 最大值是A 7、已知函数)(x f 是定义在R 上偶函数，且在),0(+∞上是增函数，令)7
2
(sin
πf a =，)75(cos πf b =，)7
5
(tan πf c =，则a 、b 、c 大小关系是（ ）
A. c a b <<
B. a b c <<
C. a c b <<
D. c b a <<
8、已知非零向量AB 与AC 满足|
|||AC AC AB AB BC ⋅=0，21
||||=AC AC AB AB ，
则A B C ∆为（ ）
A. 等边三角形
B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形
D. 三边均不相等的三角形
9、已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点
))1(,1(f 处切线方程是（ ）
A. 12-=x y
B. x y =
C. 23-=x y
D. 32+-=x y 10、若函数x x x f ln 2)(2-=在定义域的一个区间)1,1(+-k k 上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A. 23>
k B. 21-<k C. 2321<<-k D. 2
31<≤k 11、)(x f 是定义在),0(+∞上非负可导函数，且满足0)()(≤+'x f x f x ，对任意正数b a ,若
b a <，则必有（ ）
A. )()(a bf b af ≤
B. )()(b af a bf ≤
C. )()(b f a af ≤
D. )()(a f b bf ≤ 12、已知整数集合有整数解｝036|{2
=-+=mx x m M ，集合A 满足条件：（1）
M A ⊆⊂Φ≠
，
（2）若A a ∈，则A a ∈-. 则所有这样的集合A 的个数为（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 32
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～第23题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13、已知函数)3sin(2
3
)(+=x x f ω
且0)()3(=++x f x f ，则ω的值为 14、已知)sin()(ϕω+=x A x f （2
2
,0,0π
ϕπ
ω≤
≤->>A
图象如图所示，则)(x f 的解析式为
15、若5
4cos -=α，α为第二象限角，则式子
2
tan
12tan 1αα
-+的值等于 16、设向量
),3(x x +=，)cos sin ,cos sin 2(θθθθβa a +=满足对任意R x ∈和
]2
,0[π
θ∈，均有2||≥+βα恒成立，则实数a 的取值范围是
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）
已知向量)1,tan 1(x a -=，)3,2cos 2sin 1(-++=x x b ，记x f ⋅=)(. （1）求)(x f 定义域，值域和最小正周期； （2）若6)42
(
)2
(=+
-π
α
αf f ，其中)2
,0(π
α∈，求α.
18、（本小题满分12分）
已知向量)23sin ,23(cos x x a =，)2
sin ,2(cos x x -=，且]2,0[π
∈x .
（1）求⋅与||；
（2）若||2)(b a b a x f +-⋅=λ，最小值为7-，求实数λ的值.
19、（本小题满分12分）
ABC ∆中，B A 、为锐角，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且532c o
s =
A ，10
10
sin =B . （1）求A ＋B 的值.
（2）若12-=-b a ，求a 、b 、c 的值.
20、（本小题满分12分）
已知函数x e b ax x x x f -⋅+++=)3()(23.
（1）若3-==b a ，求)(x f 的单调区间.
（2）若)(x f 在),(α-∞，),2(β单调增加，在)2,(α，),(+∞β单调减少，
求证：6>-αβ. 21、（本小题满分12分）已知函数2ln 2)(x x x f -=.
（1）若方程0)(=+m x f 在],1[e e
内有两个不等实根，求实数m 的取值范围；（e 为自然
对数的底数）.
（2）若函数ax x f x g -=)()(的图象与x 轴交于两点A （0,1x ），B （0,2x ）且210x x <<，
求证：0)(21<+'qx px g （其中正常数q p 、满足1＝
q p +，且p q ≥）. 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，只按所做的第一题计分，做答时请
写清题号。

22、（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆θρcos 2=与直线0sin 4cos 3=++q θρθρ相切，求实数q 的值. 23、（本小题满分10分）
设函数|||1|)(a x x x f -+-=.
（1）若1-=a ，解不等式3)(≥x f . （2）若R x ∈，有2)(≥x f ，求a 的范围.
y x
π
x
-4
4
6
π
O。