高一数学必修2：第二章《点、直线、平面之间的位置》测试(3)(新人教A版必修2)

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数学人教A版必修2章末综合测评2 点、直线、平面之间的位置关系

章末综合测评(二)点、直线、平面之间的位置关系(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列推理错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊂α⇒A∈αC[若直线l∩α＝A，显然有l⊄α，A∈l，但A∈α.]2．下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都相交的两条直线；④两两相交的三条直线．其中，能确定一个平面的条件有()A．3个B．2个C．1个D．0个D[①当空间三点共线时不能确定一个平面；②点在直线上时不能确定一个平面；③两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面；④三条直线交于一点且不共面时不能确定一个平面. 故以上4个条件都不能确定一个平面．] 3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于() A．30°B．45°C．60°D．90°D[由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD ＝90°.]4．已知a，b，c是直线，则下面四个命题：①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；③若a∥b，则a，b与c所成的角相等．其中真命题的个数为()A．0 B．3 C．2 D．1D[异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确．]5．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°B[当三棱锥D-ABC的体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，连接OD，OB，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°.]6．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥βB[选项A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故选项A错误；选项B，垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项B正确；选项C，由条件应得α⊥β，故选项C错误；选项D，l与β的位置不确定，故选项D错误．故选B.] 7．如图，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E，F分别是SC和AB 的中点，则EF的长是()A．1 B． 2C．22D．12B[取CB的中点D，连接ED，DF，则∠EDF(或其补角)为异面直线SB与AC所成的角，即∠EDF＝90°.在△EDF中，ED＝12SB＝1，DF＝12AC＝1，所以EF＝ED2＋DF2＝ 2.]8．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一个平面B [若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，则α与β可以平行也可以相交，故A ，C ，D 中条件均不是α∥β的充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之成立．因此B 中条件是α∥β的充要条件．故选B.]9．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A -CD -B 的余弦值为( )A ．12B ．13C ．33D ．23C [取AC 的中点E ，CD 的中点F ，连接BE ，EF ，BF ，则EF ＝12，BE ＝22，BF ＝32，因为EF 2＋BE 2＝BF 2，所以△BEF 为直角三角形，cos θ＝EF BF ＝33.]10．如图，在多面体ACBDE 中，BD ∥AE ，且BD ＝2，AE ＝1，F 在CD 上，要使AC ∥平面EFB ，则DF FC 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．12B [连接AD 交BE 于点O ，连接OF , 因为AC ∥平面EFB ，平面ACD ∩平面EFB ＝OF ，所以AC ∥OF . 所以OD OA ＝DF FC . 又因为BD ∥AE ，所以△EOA ∽△BOD ，所以OD OA ＝DB EA ＝2. 故DF FC ＝2.]11．设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点(不含端点)，记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则( )A ．β＜γ，α＜γB ．β＜α，β＜γC ．β＜α，γ＜αD ．α＜β，γ＜βB [如图G 为AC 的中点，V 在底面的射影为O ，则P 在底面上的射影D 在线段AO 上，过D 作DE ⊥AC 于E ，易得PE ∥VG ，过P 作PF ∥AC 交VG 于F ，过D 作DH ∥AC ，交BG 于H ，则α＝∠BPF ，β＝∠PBD ，γ＝∠PED ，则cos α＝PF PB ＝EG PB ＝DH PB ＜BD PB ＝cos β，又α、β⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，可得β＜α； tan γ＝PD ED ＞PD BD =tan β，可得β＜γ.]12．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G. 给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①与②B．①与③C．②与③D．③与④B[由SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，GE⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，得SG⊥平面EFG，排除C，D，若SE⊥平面EFG，则SG∥SE. 这与SG∩SE＝S 矛盾，排除A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．直线l1∥l2，在l1上取2个点，l2上取2个点，由这4个点能确定平面的个数是________.1[因为l1∥l2，所以经过l1，l2有且只有一个平面．]14．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC与平面DEF的位置关系是________.平行[因为AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，所以EF∥AC. 又因为AC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，所以AC∥平面DEF.]15．已知平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈平面β，且C∉l，AB∩l＝R.若过A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ＝________.CR[根据题意画出图形，如图，因为点C∈β，且点C∈γ，所以C∈β∩γ. 因为点R∈AB，所以点R∈γ.又R∈β，所以R∈β∩γ，从而β∩γ＝CR.]16．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________.36π[如图，连接OA，OB.由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB.设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，∴三棱锥S-ABC的体积V＝13×⎝⎛⎭⎪⎫12SC·OB·OA＝r33，即r33＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.]三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.[证明](1)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.(2)连接BC1交B1C于点O，连接OD.如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.18．(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，且AB＝23CD. 试问在PC上能否找到一点E，使得BE∥平面P AD？若能，请确定点E的位置，并给出证明；若不能，请说明理由．[解]在PC上能找到点E，且满足CEPE＝12，可使BE∥平面P AD.证明如下：延长DA和CB交于点F，连接PF.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝23CD.所以ABCD＝BFFC＝23，所以BCBF＝12.又CEPE＝12，所以在△PFC中，CEPE＝BCBF，所以BE∥PF.而BE⊄平面P AD，PF⊂平面P AD，所以BE∥平面P AD.19．(本小题满分12分)如图，已知三棱锥P-ABC，P A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，P A＝AC，M为PB的中点．(1)求证：PC⊥BC；(2)求二面角M-AC-B的大小．[解](1)证明：由P A⊥平面ABC，所以P A⊥BC，又因为∠ACB＝90°，即BC⊥AC，P A∩AC＝A，所以BC⊥平面P AC，所以PC⊥BC.(2)取AB中点O，连接MO，过O作HO⊥AC于H，连接MH，因为M是BP的中点，所以MO∥P A，又因为P A⊥平面ABC，所以MO⊥平面ABC，所以∠MHO为二面角M-AC-B的平面角，设AC＝2，则BC＝23，MO＝1，OH＝3，在Rt△MHO中，tan ∠MHO＝MOHO＝33，所以二面角M-AC-B的大小为30°.20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．(2)若∠ABC＝60°，求证：平面P AB⊥平面P AE；(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面P AE？说明理由．[解](1)因为P A⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以P A⊥BD.又因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC.(2)因为P A⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以P A⊥AE.因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD. 又AB∥CD，所以AB⊥AE.又P A⊂平面P AB，AB⊂平面P AB，P A∩AB＝A，所以AE⊥平面P AB.又AE⊂平面P AE，所以平面P AB⊥平面P AE.(3)棱PB上存在点F，且F为PB的中点，使得CF∥平面P AE.取F为PB的中点，取G为P A的中点，连接CF，FG，EG.因为G，F分别为P A，PB的中点，则FG∥AB，且FG＝12AB.因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CE∥AB，且CE＝12AB.所以FG∥CE，且FG＝CE.所以四边形CEGF为平行四边形，所以CF∥EG.因为CF⊄平面P AE，EG⊂平面P AE，所以CF∥平面P AE.21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．[解](1)如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝AD2＋PD2＝5，所以cos ∠DAP＝ADAP＝55.所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为5 5.(2)因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.又BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.(3)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF与平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1，由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得DF＝CD2＋CF2＝25，在Rt△DPF中，可得sin ∠DFP＝PDDF＝55.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为5 5.22．(本小题满分12分)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图②.①②(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[解](1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC.又∵DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，∴DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC.∴DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD＝D，∴DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D，∴A1F⊥平面BCDE，∵BE⊂平面BCDE，∴A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又∵DE∥BC，∴DE∥PQ.∴平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C⊂平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，DE∩DP＝D，∴A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C⊥平面DEQ.由Ruize收集整理。

人教新课标A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质测试

人教新课标A版高中数学必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.3直线、平面垂直的判定及其性质同步测试共 25 题一、单选题1、下列命题中错误的是（）A.如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βB.如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC.如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD.如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ2、平面α，β及直线l满足：α⊥β，l∥α，则一定有（）A.l∥βB.l⊂βC.l与β相交D.以上三种情况都有可能3、在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB,,，将沿BD折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题正确的是（）A.平面平面ABCB.平面平面BCDC.平面平面BCDD.平面平面ABC4、若a，b，c表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a⊥α的是（）A.a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c=AB.a⊥b，b∥αC.a∩b=A，b⊂α，a⊥bD.α∥b，b⊥a5、如图，已知四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD=AD，则下列命题中错误的是（）A.过BD且与PC平行的平面交PA于M点，则M为PA的中点B.过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N为PB的中点C.过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点D.过P、B、C的平面与平面PAD的交线为直线l，则l∥AD6、在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有（）A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BCDD.平面ABC⊥平面BCD7、ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC，平面PAB与平面PAD的位置关系是（）A.平面PAB与平面PAD，PBC垂直B.它们都分别相交且互相垂直C.平面PAB与平面PAD垂直，与平面PBC相交但不垂直D.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD相交但不垂直8、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°．侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是（）A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB.异面直线AD与PB所成的角为90°C.二面角P﹣BC﹣A的大小为45°D.BD⊥平面PAC9、已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（）A.α⊥β，且m⊂αB.m∥n，且n⊥βC.α⊥β，且m∥αD.m⊥n，且n∥β10、PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是（）①面PAB⊥面PBC②面PAB⊥面PAD③面PAB⊥面PCD④面PAB⊥面PAC．A.①②B.①③C.②③D.②④11、若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（）A.α∥γB.α⊥γC.α与γ相交但不垂直D.以上都有可能12、如图所示，AB⊥平面BCD，∠BCD=90°则图中互相垂直的平面有（）A.3对B.2对C.1对D.4对13、已知PD⊥矩形ABCD所在的平面，图中相互垂直的平面有（）A.2对B.3对C.4对D.5对14、如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是（）A.90°B.60°C.45°D.30°15、已知M是正四面体ABCD棱AB的中点，N是棱CD上异于端点C，D的任一点，则下列结论中，正确的个数有（）（1）MN⊥AB；（2）若N为中点，则MN与AD所成角为60°；（3）平面CDM⊥平面ABN；（4）不存在点N，使得过MN的平面与AC垂直．A.1B.2C.3D.4二、填空题16、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是________17、已知矩形ABCD的边AB=a，BC=3，PA⊥平面ABCD，若BC边上有且只有一点M，使PM⊥DM，则a的值为________18、ABCD是矩形，AB=4，AD=3，沿AC将△ADC折起到△AD′C，使平面AD′C⊥平面△ABC，F是AD′的中点，E是AC上的一点，给出下列结论：①存在点E，使得EF∥平面BCD′；②存在点E，使得EF⊥平面ABD′；③存在点E，使得D′E⊥平面ABC；④存在点E，使得AC⊥平面BD′E．其中正确结论的序号是________ ．（写出所有正确结论的序号）19、把Rt△ABC沿斜边上的高CD折起使平面ADC⊥平面BDC，如图所示，互相垂直的平面有________ 对．20、如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，则它的5个面中，互相垂直的面有________ 对．三、解答题21、三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=， SB=．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积V S﹣ABC．22、如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由．（2）设AB=2，若H为PD上的动点，若△AHE面积的最小值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．23、如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE的中点，N点在PB上，且4PN=PB．（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．24、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．（Ⅰ）求证：AC⊥DE；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．25、已知三棱锥S﹣ABC，SC∥截面EFGH，AB∥截面EFGH．求证：截面EFGH是平行四边形．参考答案一、单选题1、【答案】B【解析】【解答】如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可推断出A命题正确．B选项中α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故B命题错误．C根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确．D根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．故选B【分析】如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，进而可推断出A命题正确；α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可判断出B命题错误；根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确；根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．2、【答案】D【解析】【解答】∵平面α，β及直线l满足：α⊥β，l∥α，∴l∥β，l⊂β，l与β相交都有可能，故选D．【分析】利用条件，直接可以得出结论．3、【答案】D【解析】【解答】∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°,∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD.故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB,故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC．故选D．【分析】中档题，对于折叠问题，要特别注意“变”与“不变”的几何元素，及几何元素之间的关系。

2021年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系章末检测(A)新人教A版必修2

2021年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系章末检测（A）新人教A版必修2一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上2．下列推理错误的是( )A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊂α⇒A∈α3．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④4．在空间中，下列说法中不正确的是( )A．两组对边相等的四边形是平行四边形B．两组对边平行的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形5．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( )A．30° B．45° C．60° D．90°6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于( )A．30° B．45° C．60° D．90°7．已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中正确的是( ) A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊥α，n⊥α，则n⊥mC．若m⊥α，m∥β，则α⊥βD．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β8．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有( )A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面9．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的位置关系是( )A．平行B．相交且垂直C．异面直线D．相交成60°角10．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为( )A．12512π B．1259π C．1256π D．1253π11．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( ) A．AC B．BDC．A1D D．A1D112．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC ＝60°，那么这个二面角大小是( )A．90°B．60°C．45°D．30°二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________．14．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．15．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．16．下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α．其中正确命题的序号是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？18．(12分) 如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)EF∥面ACD；(2)面EFC⊥面BCD．19．(12分) 如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F．(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．20．(12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求证：PA∥面BDE；平面PAC⊥平面BDE；(2)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．21．(12分)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝33，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上．(1)求证：BC′⊥平面AC′D；(2)求点A到平面BC′D的距离．22．(12分) 如图，在五面体ABC－DEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝22，∠BAD＝∠CDA＝45°．(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；(2)证明CD⊥平面ABF；(3)求二面角B－EF－A的正切值．第二章点、直线、平面之间的位置关系(A) 答案1．B [(如图)，∵P∈HG，HG⊂面ACD，∴P ∈面ACD ，同理P ∈面BAC ，面BAC ∩面ACD ＝AC ； ∴P ∈AC ，选B ．]2．C [若直线l ∩α＝A ，显然有l ⊄α，A ∈l ，但A ∈α．] 3．D [当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．]4．A5．D [由于AD ∥A 1D 1，则∠BAD 是异面直线AB ，A 1D 1所成的角，很明显∠BAD ＝90°．] 6．B7．C [A 中还有可能n ⊂α；B 中n ∥m ；D 中还有可能m ∥β或m ⊂β或相交不垂直；C 中，由于m ∥β，设过m 的平面γ与β交于b ，则m ∥b ，又m ⊥α，则b ⊥α，又b ⊂β，则α⊥β，所以C 正确．]8．A [∵四边形SG 1G 2G 3是正方形， ∴SG 1⊥G 1E ，EG 1⊥G 2F ，FG 3⊥SG 3．当正方形折成四面体之后，上述三个垂直关系仍保持不变， EG ，GF 成为四面体的面EGF 的相邻两条边，因此，在四面体S －EFG 中侧棱SG ⊥GE ，SG ⊥GF ， ∴SG ⊥平面EFG ．]9．D [恢复成正方体(如图)，易知△ABC 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°．选D ．]10．C [球心O 为AC 中点，半径为R ＝12AC ＝52，V ＝43πR 3＝1256π．选C ．] 11．B [证BD ⊥面CC 1E ，则BD ⊥CE ．]12．A [连接B ′C ，则△AB ′C 为等边三角形，设AD ＝a ，则B ′C ＝AC ＝2a ，B ′D ＝DC ＝a ，所以∠B ′DC ＝90°．] 13．9解析由面面平行的性质得AC ∥BD ，AS BS ＝CSSD，解得SD ＝9． 14．a >6解析 (如图)由题意知：PA ⊥DE ，又PE ⊥DE ，所以DE ⊥面PAE ，∴DE ⊥AE ．易证△ABE ∽△ECD ．设BE ＝x ，则AB CE ＝BE CD ，即3a －x ＝x3．∴x 2－ax ＋9＝0，由Δ>0，解得a >6． 15．B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)解析由直四棱柱可知CC 1⊥面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1，要使B 1D 1⊥A 1C ，只要B 1D 1⊥平面A 1CC 1，所以只要B 1D 1⊥A 1C 1，还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形，正方形等条件． 16．④解析 ①中b 可能在α内；②a 与b 可能异面；③a 可能与α内的直线异面． 17．解直线MN ∥平面A 1BC 1，证明如下：∵MD /∈平面A 1BC 1，ND /∈平面A 1BC 1．∴MN ⊄平面A 1BC 1．如图，取A 1C 1的中点O 1，连接NO 1、BO 1．∵NO 1綊12D 1C 1，MB 綊12D 1C 1，∴NO 1綊MB ．∴四边形NO 1BM 为平行四边形．∴MN ∥BO 1．又∵BO 1⊂平面A 1BC 1， ∴MN ∥平面A 1BC 1．18．证明 (1)∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，∴EF ∥面ACD ． (2)∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD ． ∵CB ＝CD ，F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD ．又EF ∩CF ＝F ，∴BD ⊥面EFC ．∵BD ⊂面BCD ， ∴面EFC ⊥面BCD ．19．证明 (1)∵SA ⊥平面AC ，BC ⊂平面AC ， ∴SA ⊥BC ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ⊥BC ． ∴BC ⊥平面SAB ，∴BC ⊥AE ．又SB ⊥AE ，∴AE ⊥平面SBC ．∴AE ⊥SC ．又EF ⊥SC ，∴SC ⊥平面AEF ． ∴AF ⊥SC ．(2)∵SA ⊥平面AC ，∴SA ⊥DC ．又AD ⊥DC ，∴DC ⊥平面SAD ． ∴DC ⊥AG ．又由(1)有SC ⊥平面AEF ，AG ⊂面AEF ， ∴SC ⊥AG ，∴AG ⊥平面SDC ，∴AG ⊥SD ． 20．(1)证明连接OE ，如图所示．∵O 、E 分别为AC 、PC 中点， ∴OE ∥PA ．∵OE ⊂面BDE ，PA ⊄面BDE ， ∴PA ∥面BDE ．∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥BD ．在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝0，∴BD ⊥面PAC ．又∵BD ⊂面BDE ，∴面PAC ⊥面BDE ． (2)解取OC 中点F ，连接EF ． ∵E 为PC 中点，∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO ．又∵PO ⊥面ABCD ， ∴EF ⊥面ABCD∵OF ⊥BD ，∴OE ⊥BD ．∴∠EOF 为二面角E －BD －C 的平面角， ∴∠EOF ＝30°．在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ，∴OP ＝2EF ＝66a ． ∴V P －ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3．21．(1)证明 ∵点C ′在平面ABD 上的射影O 在AB 上， ∴C ′O ⊥平面ABD ，∴C ′O ⊥DA ．又∵DA ⊥AB ，AB ∩C ′O ＝O ，∴DA ⊥平面ABC ′，∴DA ⊥BC ′．又∵BC ⊥CD ，∴BC ′⊥C ′D ．∵DA ∩C ′D ＝D ，∴BC ′⊥平面AC ′D ． (2)解如图所示，过A 作AE ⊥C ′D ，垂足为E ，连接BE ． ∵BC ′⊥平面AC ′D ，∴BC ′⊥AE ． ∴AE ⊥平面BC ′D ．故AE 的长就是A 点到平面BC ′D 的距离． ∵AD ⊥AB ，DA ⊥BC ′，∴AD ⊥平面ABC ′，∴DA ⊥AC ′．在Rt △AC ′B 中，AC ′＝AB 2－BC ′2＝32．在Rt △BC ′D 中，C ′D ＝CD ＝33．在Rt △C ′AD 中，由面积关系，得AE ＝AC ′·AD C ′D ＝32×333＝6．∴点A 到平面BC ′D 的距离是6．22．(1)解因为四边形ADEF 是正方形，所以FA ∥ED ．所以∠CED 为异面直线CE 与AF 所成的角．因为FA ⊥平面ABCD ，所以FA ⊥CD ．故ED ⊥CD ．在Rt △CDE 中，CD ＝1，ED ＝22， CE ＝CD 2＋ED 2＝3，所以cos ∠CED ＝ED CE ＝223．所以异面直线CE 与AF 所成角的余弦值为223．(2)证明如图，过点B 作BG ∥CD ，交AD 于点G ，则∠BGA ＝∠CDA ＝45°．由∠BAD ＝45°，可得BG ⊥AB ，从而CD ⊥AB ．又CD ⊥FA ，FA ∩AB ＝A ，所以CD ⊥平面ABF ．(3)解由(2)及已知，可得AG ＝2，即G 为AD 的中点．取EF 的中点N ，连接GN ，则GN ⊥EF ．因为BC ∥AD ，所以BC ∥EF ．过点N 作NM ⊥EF ，交BC 于点M ，则∠GNM 为二面角B －EF －A 的平面角．连接GM ，可得AD ⊥平面GNM ，故AD ⊥GM ，从而BC ⊥GM ．由已知，可得GM ＝22．由NG ∥FA ，FA ⊥GM ，得NG ⊥GM ．在Rt △NGM 中，tan ∠GNM ＝GM NG ＝14．所以二面角B －EF －A 的正切值为14．23353 5B39 嬹32560 7F30 缰N;I331390 7A9E 窞= &22460 57BC 垼825139 6233 戳27733 6C55 汕34431867F 虿。

高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系单元测试题人教A版必修2

高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系单元测试题新人教A版必修2(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析由垂直同一直线的两平面平行知，B正确．答案 B2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是( ) A．平行B．相交C．平行或相交D．不相交解析由棱台的定义知，各侧棱的延长线交于一点，所以选B.答案 B3．一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是( )A．1个B．3个C．1个或3个D．1个或3个或4个解析当A，B，C共线且与l平行或相交时，确定一个平面；当A，B，C共线且与l异面时，可确定3个平面；当A，B，C三点不共线时，可确定4个平面．答案 DA．三条交线为异面直线B．三条交线两两平行C．三条交线交于一点D．三条交线两两平行或交于一点答案 D5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是( )A．5 B．8C．10 D．6解析这些直角三角形是：△PAB，△PAD，△PAC，△BAC，△BAD，△CAD，△PBD，△PCD.共8个．答案 B①若△ABC在平面α外，它的三条边所在直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；②若三条平行线a，b，c都与直线l相交，则这四条直线共面；③三条直线两两相交，则这三条直线共面．A．0个B．1个C．2个D．3个解析易知①与②正确，③不正确．答案 CA．过点P且垂直于α的直线平行于βB．过点P且垂直于l的直线在α内C．过点P且垂直于β的直线在α内D．过点P且垂直于l的平面垂直于β答案 B8．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM( )A．与AC，MN均垂直相交B．与AC垂直，与MN不垂直C．与MN垂直，与AC不垂直D．与AC，MN均不垂直解析易证AC⊥面BB1D1D，OM⊂面BB1D1D，∴AC⊥OM.计算得OM2＋MN2＝ON2＝5，∴OM⊥MN.答案 A①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③解析将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度，所得平面与直线AB，B1C1都相交，故③错误，排除A，B，D.答案 C10．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等，则正确的结论是( ) A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必不垂直于αC．平面ABC必与α相交D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内解析排除A、B、C，故选D.答案 D①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④答案 D12．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E ，F ，且EF ＝12，则下列结论错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等解析易证AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥BE . ∵EF 在直线B 1D 1上，易知B 1D 1∥面ABCD ，∴EF ∥面ABCD ， V A －BEF ＝13×12×12×1×22＝224. ∴A 、B 、C 选项都正确，由排除法即选D. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知A ，B ，C ，D 为空间四个点，且A ，B ，C ，D 不共面，则直线AB 与CD 的位置关系是________．解析如图所示：由图知，AB 与CD 为异面直线．答案异面14．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取点E ，F ，G ，H ，如果EH ，FG 相交于一点M ，那么M 一定在直线________上．答案 BD15．如图所示，以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕．使△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面，则：(1)BD 与CD 的关系为________； (2)∠BAC ＝________. 解析 (1)AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴BD ⊥AD ，CD ⊥AD ，∴∠BDC 为二面角的平面角，∠BDC ＝90°， ∴BD ⊥DC .(2)设等腰直角三角形的直角边长为a ，则斜边长为2a . ∴BD ＝CD ＝22a . ∴折叠后BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝a . ∴折叠后△ABC 为等边三角形．∴∠BAC ＝60°. 答案 (1)BD ⊥CD (2)60°16．在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E ，交CC ′于F ，则：①四边形BFD ′E 一定是平行四边形；②四边形BFD ′E 有可能是正方形；③四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形；④平面BFD ′E 有可能垂直于平面BB ′D .以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号) 解析如图所示：∵BE＝FD′，ED′＝BF，∴四边形BFD′E为平行四边形．∴①正确．②不正确(∠BFD′不可能为直角)．③正确(其射影是正方形ABCD)．④正确．当E，F分别是AA′，CC′中点时正确．答案①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，已知点E，F，G，H分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，求证：EF，HG，DC三线共点．证明∵点E，F，G，H分别为所在棱的中点，连接BC1，GF，如图．∴GF是△BCC1的中位线，∴GF∥BC1.∵BE∥C1H，且BE＝C1H，∴四边形EBC1H是平行四边形．∴EH∥BC1，∴GF∥EH.∴E，F，G，H四点共面．∵GF≠EH，故EF与HG必相交．设EF∩HG＝I.∵I∈GH，GH⊂平面CC1D1D，∴I∈平面CC1D1D.同理可证I∈平面ABCD.∴点I在交线DC上．即EF，HG，DC三线共点．18．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，点M在棱PD上，PB∥平面ACM.(1)试确定点M的位置，并说明理由；(2)求四棱锥P－ABCD的表面积．解 (1)点M 为PD 的中点．理由如下：连接BD ，设BD ∩AC ＝O ，则点O 为BD 的中点，连接OM ， ∵PB ∥平面ACM ，∴PB ∥OM .∴OM 为△PBD 的中位线，故点M 为PD 的中点． (2)∵PA ⊥底面ABCD ，又底面是边长为1的正方形， ∴S 正方形ABCD ＝1，S △PAB ＝S △PAD ＝12×1×1＝12，S △PBC ＝12×1×2＝22，S △PCD ＝12×1×2＝22. 故四棱锥P －ABCD 的表面积为S ＝1＋2×12＋22＋22＝2＋ 2. 19．(12分)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，如图．(1)求证：MN ∥面BB 1C 1C ； (2)求MN 的长．解 (1)证明：作NP ⊥AB 于P ，连接MP .NP ∥BC ，∴APAB＝ANAC＝A1MA1B，∴MP∥AA1∥BB1，∴面MPN∥面BB1C1C.MN⊂面MPN，∴MN∥面BB1C1C.(2)NPBC＝ANAC＝23a2a＝13，NP＝13a，同理MP＝23a.又MP∥BB1，∴MP⊥面ABCD，MP⊥PN.在Rt△MPN中MN＝49a2＋19a2＝53a.20．(12分)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．解 (1)证明：因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点，所以PQ ∥EB .又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ，又PQ ⊄平面ACD ，从而PQ ∥平面AC D .(2)如图，连接CQ ，DP ，因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，所以CQ ⊥AB .因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，所以EB ⊥平面ABC ，因此CQ ⊥EB . 故CQ ⊥平面ABE .由(1)有PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ，所以四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ .因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角，在Rt △D PA 中，AD ＝5，DP ＝1， sin ∠DAP ＝55，因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55. 21．(12分)如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.证明(1)在△ABD中，∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，∴直线EF∥平面ACD.(2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，∴CF⊥BD.∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，又∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.22．(12分)已知四棱锥P－ABCD(图1)的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．(1)求正视图的面积；(2)求四棱锥P－ABCD的体积；(3)求证：AC ⊥平面PAB .解 (1)过A 作AE ∥CD ，根据三视图可知，E 是BC 的中点，且BE ＝CE ＝1，AE ＝CD ＝1.又∵△PBC 为正三角形，∴BC ＝PB ＝PC ＝2，且PE ⊥BC ，∴PE 2＝PC 2－CE 2＝3.∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AE .∴PA 2＝PE 2－AE 2＝2，即PA ＝ 2.正视图的面积为S ＝12×2×2＝ 2. (2)由(1)可知，四棱锥P －ABCD 的高PA ＝2，底面积为S ＝AD ＋BC 2·CD ＝1＋22×1＝32， ∴四棱锥P －ABCD 的体积为V P －ABCD ＝13S ·PA ＝13×32×2＝22. (3)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AC .∵在直角三角形ABE 中，AB 2＝AE 2＋BE 2＝2，在直角三角形ADC 中，AC 2＝AD 2＋CD 2＝2，∴BC 2＝AA 2＋AC 2＝4，∴△BAC 是直角三角形．∴AC ⊥AB .又∵AB ∩PA ＝A ，∴AC ⊥平面PAB .。

人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》(内含答案解析)

人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（内含答案解析）一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条也可能是．故选B.【答案】B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】C3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】A4．如图2221，四棱锥P ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面P AD，则()图2221A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能【解析】∵MN∥平面P AD，MN⊂平面P AC，平面P AD∩平面P AC＝P A，∴MN∥P A.【答案】B5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】D二、填空题6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．图229【解析】①设MP中点为O，连接NO.易得AB∥NO，又AB⊄平面MNP，所以AB∥平面MNP.②若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．③易知AB∥MP，所以AB∥平面MNP.④易知存在一直线MC∥AB，且MC⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．【答案】①③7．在如图2210所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？______(填“是”或“否”)．图2210【解析】因为侧面AA1B1B是平行四边形，所以AB∥A1B1，因为AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1，同理可证：BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以平面ABC∥平面A1B1C1.【答案】是三、解答题8．如图2123，长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.图2123【证明】(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM═∥A1B1，∵A1B1═∥C1D1，∴EM═∥C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB═∥C1F，∴BF═∥C1M.∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BM∥EA1，又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠D1EA1.9．如图2124，正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．图2124【解】(1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD═∥EA，EA═∥FB，所以HD═∥FB，所以四边形HFBD为平行四边形，所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA、AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又依题意知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角是30°.10．如图2125是正方体的平面展开图，在这个正方体中，图2125①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．③④ D．②③④【解析】由题意画出正方体的图形如图：显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC＝60°，正确；④正确．【答案】C11．在四面体ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．若BD、AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1.求EF的长度．【解】如图，取BC中点O，连接OE、OF，∵OE∥AC，OF∥BD，∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC、BD所成的角为60°.∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝21.当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×43＝23.。

高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系测试题及答案

第二章直线与平面的位置关系测试题一、选择题1．设，为两个不同的平面，l ，m 为两条不同的直线，且l ⊂ ，m ⊂β，有如下的两个命题：①若 ∥ ，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则 ⊥ ．那么( )．A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题2．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( )． A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1角为60°3．关于直线m ，n 与平面，，有下列四个命题： ①m ∥ ，n ∥ 且 ∥ ，则m ∥n ； ②m ⊥ ，n ⊥ 且 ⊥，则m ⊥n ；③m ⊥ ，n ∥ 且 ∥ ，则m ⊥n ； ④m ∥ ，n ⊥ 且 ⊥，则m ∥n ．其中真命题的序号是( )． A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③4．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线l 1，l 2与同一平面所成的角相等，则l 1，l 2互相平行④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线其中假．命题的个数是( )． A ．1B ．2C ．3D ．45．下列命题中正确的个数是( )．(第2题)①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点A．0个B．1个C．2个D．3个6．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面( )．A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )．A．90°B．60°C．45°D．30°8．下列说法中不正确的．．．．是( )．A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是( )．A．4 B．3 C．2 D．110．异面直线a ，b 所成的角60°，直线a ⊥c ，则直线b 与c 所成的角的范围为( )．A ．[30°，90°] B．[60°，90°] C ．[30°，60°]D ．[30°，120°] 二、填空题11．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，则这个三棱锥的体积为．12．P 是△ABC 所在平面外一点，过P 作PO ⊥平面，垂足是O ，连PA ，PB ，PC ．(1)若PA ＝PB ＝PC ，则O 为△ABC 的心；(2)PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，PC ⊥PB ，则O 是△ABC 的心；(3)若点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等，则O 是△ABC 的心； (4)若PA ＝PB ＝PC ，∠C ＝90º，则O 是AB 边的点； (5)若PA ＝PB ＝PC ，AB ＝AC ，则点O 在△ABC 的线上． 13．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为．14．直线l 与平面所成角为30°，l ∩ ＝A ，直线m ∈ ，则m 与l 所成角的取值范围是．15．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为．16．直二面角－l －的棱上有一点A ，在平面，内各有一条射线AB ，AC 与l 成45°，AB ⊂ ，AC ⊂ ，则∠BAC ＝．J(第13题)三、解答题17．在四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形． (1)求证：BC ⊥AD ；(2)若点D 到平面ABC 的距离等于3，求二面角A －BC －D 的正弦值；(3)设二面角A －BC －D 的大小为，猜想为何值时，四面体A －BCD 的体积最大．(不要求证明)18．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点，连结ED ，EC ，EB 和DB ．(1)求证：平面EDB ⊥平面EBC ； (2)求二面角E －DB －C 的正切值.(第18题)(第17题)19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，1．SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝１，AD＝(1)求四棱锥S—ABCD的体积；(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．(提示：延长BA，CD相交于点E，则直线SE是所求二面角的棱.)(第19题)20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．(提示：在AA1上取一点P，过P作棱柱的截面，使AA1垂直于这个截面.)(第20题)第二章点、直线、平面之间的位置关系参考答案一、选择题1．D 解析：命题②有反例，如图中平面∩平面＝直线n，l⊂ ，m⊂ ，且l∥n，m⊥n，则m⊥l，显然平面不垂直平面， (第1题)故②是假命题；命题①显然也是假命题，2．D解析：异面直线AD与CB1角为45°．3．D解析：在①、④的条件下，m，n的位置关系不确定．4．D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D．5．B解析：学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面ABCD外，但AA1与平面ABCD相交，①不正确；A1B1∥平面ABCD，显然A1B1不平行于BD，②不正确；A1B1∥AB，A1B1∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD内，③不正确；l与平面α平行，则l与无公共点，l与平面内的所有直线都没有公共点，④正确，应选B． (第5题)6．B解析：设平面过l1，且l2∥ ，则l1上一定点P与l2确定一平面，与的交线l3∥l2，且l3 过点P. 又过点P与l2平行的直线只有一条，即l3有唯一性，所以经过l1和l3的平面是唯一的，即过l1且平行于l2的平面是唯一的.7．C解析：当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°．8．D解析：A．一组对边平行就决定了共面；B．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．9．B 解析：因为①②④正确，故选B ．10．A 解析：异面直线a ，b 所成的角为60°，直线c ⊥a ，过空间任一点 P ，作直线 a ’∥a ， b ’∥b ， c ’∥c . 若a ’，b ’，c ’ 共面则 b ’ 与 c ’ 成 30° 角，否则 b ’与c ’所成的角的范围为(30°，90°]，所以直线b 与c 所成角的范围为[30°，90°]．二、填空题 11．313212S S S ．解析：设三条侧棱长为a ，b ，c ．则21ab ＝S 1，21bc ＝S 2，21ca ＝S 3 三式相乘： ∴ 81a 2 b 2 c 2＝S 1S 2S 3， ∴ abc ＝23212S S S ． ∵ 三侧棱两两垂直， ∴ V ＝31abc ·21＝313212S S S ．12．外，垂，内，中，BC 边的垂直平分．解析：(1)由三角形全等可证得O 为△ABC 的外心；(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的垂心； (3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的内心； (4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说O 在∠BAC 的平分线上． 13．60°．解析：将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为60°．14．[30°，90°]．解析：直线l 与平面所成的30°的角为m 与l 所成角的最小值，当m 在内适当旋转就可以得到l ⊥m ，即m 与l 所成角的的最大值为90°．15．36．解析：作等积变换：4331⨯×(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)＝4331⨯·h ，而h ＝36． 16．60°或120°．解析：不妨固定AB ，则AC 有两种可能．三、解答题17．证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ． ∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ， ∴BC ⊥AD ．(第17题)解：(2)由(1)知∠AOD 为二面角A －BC －D 的平面角，设∠AOD ＝，则过点D 作DE ⊥AD ，垂足为E ．∵BC ⊥平面ADO ，且BC ⊂平面ABC ，∴平面ADO ⊥平面ABC ．又平面ADO ∩平面ABC ＝AO ， ∴DE ⊥平面ABC ．∴线段DE 的长为点D 到平面ABC 的距离，即DE ＝3．又DO ＝23BD ＝23，在Rt △DEO 中，sin ＝DODE ＝23，故二面角A －BC －D 的正弦值为23． (3)当＝90°时，四面体ABCD 的体积最大．18．证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ， ∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD ．过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ，连结EF ，∴EF ⊥BD ．∠EFO为二面角E －DB －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝51，(第18题)又OE ＝1，所以，tan ∠EFO ＝5．19*．解：(1)直角梯形ABCD 的面积是M 底面＝AB AD BC ⋅)(＋21＝43＝1221＋1⨯， ∴四棱锥S —ABCD 的体积是V ＝31·SA ·M 底面＝31×1×43＝41． (2)如图，延长BA ，CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ∵AD ∥BC ，BC ＝2AD ， ∴EA ＝AB ＝SA ，∴SE ⊥SB∵SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线．又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影，∴CS ⊥SE ，∠BSC 是所求二面角的平面角． ∵SB ＝22＋AB SA ＝2，BC ＝1，BC ⊥SB ， ∴tan ∠BSC ＝22＝SB BC ， (第19题)即所求二面角的正切值为22． 20*．解：如图，设斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为10，A 1A 和面BB 1C 1C 的距离为6，在AA 1上取一点P 作截面PQR ，使AA 1⊥截面PQR ，AA 1∥CC 1，∴截面PQR ⊥侧面BB 1C 1C ，过P 作PO ⊥QR 于O ，则PO ⊥侧面BB 1C 1C ，且PO ＝6．∴V 斜＝S △PQR ·AA 1＝21·QR ·PO ·AA 1＝21·PO ·QR ·BB 1 ＝21×10×6 ＝30．(第20题)。

人教新课标版数学高一人教A版必修二测评第二章点、直线、平面之间

单元测评(二)点、直线、平面之间的位置关系(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．室内有一直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线()A．异面B．相交C．平行D．垂直解析：当直尺与地面垂直时，地面上的任意一条直线都和直尺所在的直线垂直；当直尺所在的直线与地面不垂直时，过直尺所在的直线作一与地面垂直的平面，此平面与地面的交线设为a，则地面内任一与交线a 垂直的直线都与直尺所在的直线垂直．答案：D2．设P是△ABC所在平面α外一点，H是P在α内的射影，且PA，PB，PC与α所成的角相等，则H是△ABC的() A．内心B．外心C．垂心D．重心解析：由题意知Rt△PHA≌Rt△PHB≌Rt△PHC，得HA＝HB＝HC，所以H是△ABC的外接圆圆心．答案：B3．已知二面角α－l－β的大小为60°，m，n为异面直线，且m ⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．120°解析：易知m，n所成的角与二面角的大小相等，故选B.答案：B4．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝ 2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD 与BC”均不垂直解析：当AC＝1时，由DC＝1，AD＝2，得∠ACD为直角，DC ⊥AC，又因为DC⊥BC，所以DC⊥面ABC.所以DC⊥AB.答案：B5．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α解析：选项A的已知条件中加上m⊂β，那么命题就是正确的，也就是面面垂直的性质定理．选项B错误，容易知道两个平面内分别有一条直线平行，那么这两个平面可能相交也可能平行．选项C错误，因为两个平面各有一条与其平行的直线，如果这两条直线垂直，并不能保证这两个平面垂直．选项D正确，由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因为m⊥β，所以m⊥α.答案：D6．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为()A．90°B．45°C．60°D．30°解析：取BC中点H，连接EH，FH，则∠EFH为所求，可证△EFH为直角三角形，EH⊥EF，FH＝2，EH＝1，∴∠EFH ＝30°. 答案：D7．点P 是等腰△ABC 所在平面外一点，PA ⊥平面ABC ，PA ＝8，在△ABC 中，底边BC ＝6，AB ＝5，则P 到BC 的距离为( )A ．4 5 B. 3 C ．3 3D ．2 3解析：作AD ⊥BC 于D ，连接PD ，易证PD ⊥BC ，故PD 的长即为P 到BC 的距离．AD ＝ AB 2－⎝⎛⎭⎪⎫12BC 2＝52－32＝4. ∴PD ＝AD 2＋PA 2＝42＋82＝4 5.答案：A8．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为( )A.63B.255C.155D.105解析：在平面A 1B 1C 1D 1内过点C 1作B 1D 1的垂线，垂足为E ，连接BE .⎭⎬⎫C 1E ⊥B 1D 1，C 1E ⊥BB 1⇒C 1E ⊥平面BDD 1B 1，∴∠C 1BE 的正弦值就是所求角的正弦值． ∵BC 1＝22＋12＝5，C 1E ＝2×222＝2，∴sin ∠C 1BE ＝C 1E BC 1＝25＝105.答案：D9．将正方形ABCD 沿BD 折成直二面角，M 为CD 的中点，则∠AMD 的大小是( )A ．45°B ．30°C．60°D．90°解析：如图，设正方形边长为a.在△AMD中，AD＝a，AM＝32a，DM＝a2，∴AD2＝DM2＋AM2，∴∠AMD＝90°.答案：D10．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：折叠后，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD ＝BD，AB⊥BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面BCD，又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，同理CD⊥BD，CD⊂平面BCD，∴CD⊥平面ABD，又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD.∴互相垂直的平面有：平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，平面ACD⊥平面ABD，共3对．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．读图①②，用符号语言表示下列图形中元素的位置关系．①②(1)图①可以用符号语言表示为__________．(2)图②可以用符号语言表示为__________．答案：(1)α∩β＝l，m⊂α，m∥l，n⊂β，n∩l＝P(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B12．如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E 是SA上一点，当点E满足条件：________时，SC∥平面EBD.解析：当E是SA的中点时，连接EB，ED，AC.设AC与BD的交点为O，连接EO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是AC的中点．又E是SA的中点，∴OE是△SAC的中位线．∴OE∥SC.∵SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD，∴SC∥平面EBD.答案：E是SA的中点13．在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中，与MN平行的是__________．解析：如图，设DC的中点为E，则重心M、N分别在中线AE、BE上，且EMMA＝ENNB＝12，∴MN∥AB，而AB⊂面ABC，AB⊂面ABD∴MN∥面ABD，MN∥面ABC.答案：面ABD，面ABC14．(2012·佛山高一检测)α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个结论：①m⊥n；②α⊥β；③n ⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题是__________．解析：当m⊥n，n⊥β时，m∥β，又m⊥α，所以α⊥β；当α⊥β，n⊥β时，n∥α，又m⊥α，所以m⊥n.答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC ⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.证明：∵平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AC＝平面ABC∩平面PAC，PA⊂平面PAC，∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.(6分)又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.(12分)16．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.证明：(1)∵E，F分别是AP，AD的中点，∴EF∥PD.又∵PD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD.∴直线EF∥平面PCD.(6分)(2)连接BD.∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为正三角形．又∵F是AD的中点，∴BF⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BF⊂平面ABCD，∴BF⊥平面PAD.又BF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD.(12分)17．(12分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点G.∵EF∥AG，且EF＝1，AG＝12AC＝1，∴四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG.∵EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(6分)(2)连接FG.∵EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，∴四边形CEFG为菱形．∴CF⊥EG.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.又∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF.∴CF⊥BD.又BD∩EG＝G，∴CF⊥平面BDE.(12分)18．(14分)△ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC.设EA＝AB＝2a，DC＝a，且F为BE的中点，如图．(1)求证：DF∥平面ABC；(2)求证：AF⊥BD；(3)求平面BDF与平面ABC所成锐二面角的大小．解析：(1)证明：如图所示，取AB的中点G，连接CG，FG.∵EF＝FB，AG＝GB，∴FG綊12EA.又DC綊12EA，∴FG綊DC.∴四边形CDFG为平行四边形，故DF∥CG.∵DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC，∴DF∥平面ABC.(4分)(2)证明：∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥CG.又△ABC是正三角形，∴CG⊥AB.∴CG⊥平面AEB.∴CG⊥AF.又∵DF∥CG，∴DF⊥AF.又AE＝AB，F为BE中点，∴AF⊥BE.又BE∩DF＝F，∴AF⊥平面BDE.∴AF⊥BD.(8分)(3)延长ED交AC延长线于G′，连接BG′.由CD＝12AE，CD∥AE知D为EG′中点，∴FD∥BG′.由CG⊥平面ABE，FD∥CG，∴BG′⊥平面ABE.∴∠EBA为所求二面角的平面角．(12分)在等腰直角三角形AEB中，易求∠ABE＝45°. (14分)。

人教版高一数学必修2第二章点、线、面的位置关系单元测试题

人教版高一数学必修2第二章单元测试题（含答案）一、选择题（每小题5分，共60分）1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是A 、AB α⊂ B 、AB α⊄C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对2、下列说法正确的是A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点3、垂直于同一条直线的两条直线一定 A 、平行 B 、相交 C 、异面 D 、以上都有可能4、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角D 、11AC 与1B C 成60o 角5、若直线l ∥平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是A 、l ∥aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有A 、1B 、2C 、3D 、47、空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么A 、点必P 在直线AC 上B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面ABC 内D 、点P 必在平面ABC 外8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ⊂M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个9、一个棱柱是正四棱柱的条件是A 、底面是正方形，有两个侧面是矩形B 、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C 、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D 、每个侧面都是全等矩形的四棱柱10、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 A 、23 B 、76 C 、45D 、56B 1C 1A 1D 1BA C D 11、已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB的距离为4，那么tan θ的值等于 A 、34B 、35 CD 12、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为A 、2VB 、3VC 、4VD 、5V 二、填空题（每小题4分，共16分）13、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).14、正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 和平面1BC D 的位置关系为15、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，平行则四边形ABCD 一定是 .16、如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________ 时，有A 1 B ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)三、解答题(共74分,要求写出主要的证明、解答过程)17、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.(10分)18、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH ∥BD . (12分)19、已知ABC ∆中90ACB ∠=o ，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥，求证：AD ⊥面SBC ．(12分)20、一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V 与x 的函数关系式,并求出函数的定义域.Q P C'B'A'C B A HG F E D BA C SD CB A D 1O D B AC 1B 1A 1C FE D BA C21、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：（１）O C 1∥面11AB D ；（2 ）1AC ⊥面11AB D ． (14分) 22、已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且(01).AE AF AC ADλλ==<< （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？ (14分)高一数学必修2立体几何测试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）ACDDD BCBDD DB二、填空题（每小题4分，共16分）13、小于 14、平行 15、菱形 16、1111AC B D 对角线与互相垂直三、解答题（共74分,要求写出主要的证明、解答过程）17、解:设圆台的母线长为l ,则 1分圆台的上底面面积为224S ππ=⋅=上 3分圆台的上底面面积为2525S ππ=⋅=下 5分所以圆台的底面面积为29S S S π=+=下上 6分又圆台的侧面积(25)7S l l ππ=+=侧 8分于是725l ππ= 9分即297l =为所求. 10分 18、证明：,EH FG EH ⊄Q P 面BCD ，FG ⊂面BCDEH ∴P 面BCD 6分又EH ⊂Q 面BCD ，面BCD I 面ABD BD =，EH BD ∴P 12分 19、证明：90ACB ∠=o Q BC AC ∴⊥ 1分又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ 4分 BC ∴⊥面SAC 7分 BC AD ∴⊥ 10分又,SC AD SC BC C ⊥=IAD ∴⊥面SBC 12分 20、解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为xcm .在Rt EOF V 中,15,2EF cm OF xcm ==, 3分所以EO =分于是13V x = 10分依题意函数的定义域为{|010}x x << 12分21、证明：（1）连结11A C ，设11111AC B D O =I连结1AO ，Q 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 11A C AC ∴P 且 11A C AC = 2分又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，11O C AO ∴P 且11O C AO =11AOC O ∴是平行四边形 4分 111,C O AO AO ∴⊂P 面11AB D ，1C O ⊄面11AB D∴1C O P 面11AB D 6分（2）1CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 7分又1111A C B D ⊥Q ， 1111B D AC C ∴⊥面 9分 111AC B D ⊥即 11分同理可证11A C AB ⊥， 12分又1111D B AB B =I∴1AC ⊥面11AB D 14分 22、证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ，∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ， ∴CD ⊥平面ABC. 3分又),10(<<==λλAD AFAC AEΘ∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC. 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC. 9分∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴,660tan 2,2===οAB BD 11分,722=+=∴BC AB AC 由AB 2=AE ·AC 得,76,76==∴=AC AE AE λ 13分故当76=λ时，平面BEF ⊥平面ACD. 14分。

人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》(含答案)

人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（含答案）一、选择题1．下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．其中正确的个数是()A．0B．1C．2 D．3【解析】根据二面角的定义知①②③都不正确．【答案】A2．如图2326，P A垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是()图2326A．平面ABCDB．平面PBCC．平面P ADD．平面PBC【解析】由P A⊥平面ABCD得P A⊥CD，由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，从而有CD⊥平面P AD，所以平面PCD⊥平面P AD.故选C.【答案】C3．在四面体ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，ABDC为直二面角，E是CD的中点，则∠AED的度数为() A．45°B．30°C．60°D．90°【解析】如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD的中点为F，连接AF，CF，则由题意可得AF＝CF＝22a.在Rt△AFC中，易得AC＝a，∴△ACD为正三角形．又∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，即∠AED＝90°.【答案】D4．如图2327，AB是圆的直径，P A垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且P A＝AC，则二面角PBCA的大小为()图2327A．60°B．30°C．45°D．15°【解析】由条件得：P A⊥BC，AC⊥BC，又P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，∴∠PCA为二面角PBCA的平面角．在Rt△P AC 中，由P A＝AC得∠PCA＝45°，∴C对．【答案】C5．如图2328，在三棱锥P ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()图2328A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面P AB与平面ABC所成二面角的平面角【解析】A正确，∵GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，∴平面EFG∥平面PBC；B正确，∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C，∴GF⊥平面ABC，∴平面EFG⊥平面ABC；C正确，易知EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角；D错误，∵GE与AB不垂直，∴∠FEG不是平面P AB与平面ABC 所成二面角的平面角．【答案】D二、填空题6．如图239，平面α∩β＝CD ，EA ⊥α，垂足为A ，EB ⊥β，垂足为B ，则CD 与AB 的位置关系是________．图239【解析】 ∵EA ⊥α，CD ⊂α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD ⊥EA .同样，∵EB ⊥β，CD ⊂β，则有EB ⊥CD .又EA ∩EB ＝E ，∴CD ⊥平面AEB .又∵AB ⊂平面AEB ，∴CD ⊥AB .【答案】 CD ⊥AB7．如图2310所示，P A ⊥平面ABC ，在△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________．图2310【解析】 BC ⊂平面ABC PA ⊥平面ABC ⇒PA ∩AC ＝A AC ⊥BC ⇒BC ⊥平面P AC ⇒BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC .【答案】 4三、解答题8．如图2211所示的几何体中，△ABC 是任意三角形，AE ∥CD ，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F为BE的中点，求证：DF∥平面ABC.图2211【证明】如图所示，取AB的中点G，连接FG，CG，∵F，G分别是BE，AB的中点，∴FG∥AE，FG＝21AE.又∵AE＝2a，CD＝a，∴CD＝21AE.又AE∥CD，∴CD∥FG，CD＝FG，∴四边形CDFG为平行四边形，∴DF∥CG.又CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，∴DF∥平面ABC.9．如图2212所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.图2212【证明】由棱柱性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E═∥DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D，又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.连接DE，同理，EB1═∥BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED═∥B1B.因为B1B═∥A1A(棱柱的性质)，所以ED═∥A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1.A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.10．如图2213，正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()图2213A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G【解析】正方体中E1F∥H1G，E1G1∥EG，从而可得E1F∥平面EGH1，E1G1∥平面EGH1，所以平面E1FG1∥平面EGH1.【答案】A11．如图2214所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，若D是棱CC1的中点，E是棱BB1的中点，问在棱AB上是否存在一点F，使平面DEF ∥平面AB1C1？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．图2214【解】存在点F，且F为AB的中点．理由如下：如图，取AB的中点F，连接DF，EF，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以BB1∥CC1，且BB1＝CC1，因为D，E分别是CC1和BB1的中点，所以C1D∥B1E且C1D＝B1E，所以四边形B1C1DE是平行四边形，所以DE∥B1C1，又DE⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1.所以DE∥平面AB1C1.因为E，F分别是BB1，AB的中点，所以EF∥AB1.又EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1.所以EF∥平面AB1C1.又DE⊂平面DEF，EF⊂平面DEF，且DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面AB1C1.。

高中数学人教A版必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系单元测试 (4)

本章检测一、选择题（共10个小题；每小题4分，共40分）1线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是（）A.AB⊂αB.AB⊄αC.由线段AB的长短而定D.以上都不对解析：由平面的基本性质知选A.答案：A2下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点解析：由平面的基本性质知，不共线的三点确定一个平面，所以A项错；两平行线确定一个平面，所以C项正确；四边形还可能是空间四边形，所以B项错；平行平面没有公共点，所以D项错.答案：C3垂直于同一条直线的两条直线一定（）A.平行B.相交C.异面D.以上都可能解析：垂直于同一条直线的两条直线可能平行，可能相交，也可能异面，应选D.答案：D4在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）A.A1C1⊥ADB.D1C1⊥ABC.AC1与DC成45°角D.A1C1与B1C成60°角解析：A项错，A1C1与AD所成角为∠C1A1D1=45°，B项错，因为AB∥C1D1，C项错，AC1与DC成的角为∠AC1D1≠45°，D项正确，因为B1C∥A1D，所以A1C1与B1C成的角为∠C1A1D=60°.答案：D5若直线l∥平面α，直线a⊂α，则l与a的位置关系是（）A.l∥aB.l与a异面C.l与a相交D.l与a没有公共点解析：∵l∥α，∴l与α无公共点，又∵a⊂α，∴l与a也没有公共点.答案：D6有下列命题，其中正确的个数有（）①平行于同一直线的两个平面平行②平行于同一平面的两个平面平行③垂直于同一直线的两直线平行④垂直于同一平面的两直线平行A.1个B.2个C.3个D.4个解析：①错，这两个平面可平行也可相交；②正确；③错，垂直于同一直线的两直线可平行、相交或异面；④正确，由线面垂直的性质可知.答案：B7在空间四边形ABCD 各边AB,BC,CD,DA 上分别取E,F,G ,H 四点，如果与EF,GH 能相交于点P ，那么（）A.点P 必在直线AC 上B.点P 必在直线BD 上C.点P 必在平面ABC 内D.点P 必在平面ABC 外解析：∵EF ⊂面ABC ，GH ⊂面ACD ，且EF∩GH=P ，∴P ∈面ABC ，P ∈面ACD. ∴点P 必在面ABC 与面ACD 的交线AC 上. 答案：A 8若a ，b 是两条异面直线，且分别在平面α，β内，若α∩β=l ，则直线l 必定（） A.分别与a ，b 相交 B.至少与a,b 之一相交 C.与a,b 都不相交 D.至多与a,b 之一相交解析：假设a,b 与l 都不相交，∵a ⊂α，l ⊂α, ∴a ∥l.同理可证b ∥l,∴a ∥b ，这与a 、b 异面相矛盾. 答案：B9已知二面角α-AB-β的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tanθ等于（）A.43B.53C.77 D.773解析：过C 作CD ⊥β于点D ，作CE ⊥AB 于点E ，则CD=3，CE=4，连结DE ， ∵CD ⊥β，∴CD ⊥AB. 又∵CE ⊥AB ，∴AB ⊥面CDE.∴AB ⊥DE.∴∠CED=θ.又DE=7. ∴tanθ=77373==DE CD . 答案：D10在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在（）A.直线AB 上B.直线BC 上C.直线AC 上D.△ABC 内部解析：连结AC 1，∵AC ⊥AB ，AC ⊥BC 1， ∴AC ⊥面ABC 1，且面ABC∩面ABC 1=AB.过C 1作C 1H ⊥AB ，垂足为H ，又知面ABC ⊥面ABC 1. ∴C 1H ⊥面ABC. 答案：A二、填空题（共4个小题；每小题4分，共16分）11等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_________S 正方体.(填“大于、小于或等于”)解析：设球半径为R ，正方体棱长为a ，则34πR 3=a 3,∴a=R 334π， ∴S 球=4πR 2. S 正方体=6a 2 =232916R π =2321624R π⨯ =24R 326π＞4πR 2.答案：小于12已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在平面，若PC ⊥BD ，平行四边形ABCD 一定是______.解析：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BD.又∵BD ⊥PC ，∴BD ⊥面PAC ，∴BD ⊥AC. 又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴ABCD 为菱形. 答案：菱形13如右图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1 B ⊥B 1D 1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)解析：由条件知BC 1⊥面A 1B 1C 1D 1， ∴BC 1⊥B 1D 1.若B 1D 1⊥A 1C 1，则B 1D 1⊥面A 1C 1B. ∴B 1D 1⊥A 1B.答案：对角线互相垂直14如右图，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB=90°，CA=CB ，△ABD 是正三角形，则二面角G-BD-A 的平面角的正切值为____________-.解析：过C 点作CO ⊥AB ，垂足为O ，作OH ⊥BD ，垂足为H ，连CH. ∵平面ABC ⊥平面ABD ，交线为AB ， ∴CO ⊥平面ABD.∴CO ⊥BD. 又∵OH ⊥BD ，OH∩OC=O ， ∴BD ⊥平面COH ，∴BD ⊥CH.∴∠CHO 为二面角C-BD-A 的平面角. 设AC=CB=a ，则AB=BD=AD=2a ，CO=22a. ∴OH=21×46223=⨯ a. ∴tanCHO=3324622==a aOH CO . ∴应填332. 答案：332 三、解答题（共4个小题，共44分）15(本小题满分10分)已知：E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且ＥＨ∥ＧF ．求证：EH ∥BD.证明：EH ∥FG ,EH ⊄面BCD ，FG ⊂面BCD. ∴EH ∥面BCD.又∵EH ⊂面ABD ，面BCD∩面ABD=BD ，∴EH∥BD.16(本小题满分10分)已知：△ABC中，∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC.求证：AD⊥面SBD.证明：∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又∵SA⊥面ABC,∴SA⊥BC.∴BC⊥面SAC.∴BC⊥AD.又SC⊥AD,SC∩BC=C,∴AD⊥面SBC.17（本小题满分12分）已知：正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点.求证：（1）OC1∥平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1.证明：（1）连结A1C1，设A1C1∩B1D1=O1,连结AO1.∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴A1ACC1是平行四边形.∴A1C1∥AC且A1C1=AC.又O1、O分别是A1C1、AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1=AO.∴AOC1O1是平行四边形.∴C1O∥AO1,AO1⊂面AB1D1,C1O⊄面AB1D1.∴C1O∥面AB1D1.（2）∵CC1⊥面A1B1C1D1,∴CC1⊥B1D1.又∵A1C1⊥B1D1,∴B1D1⊥面A1C1C，即A1C⊥B1D1.同理可证A1C⊥AB1.又D1B1∩AB1=B1,∴A1C⊥面AB1D1.18(本小题满分12)已知：△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且ADAFAC AE ==λ(0<λ<1).（1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；（2）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD. （1）证明：∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD.∵CD ⊥BC 且AB∩BC=B ， ∴CD ⊥平面ABC.又∵ADAFAC AE ==λ(0<λ<1), ∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD. ∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF.∴不论λ为何值，恒有平面BEF ⊥平面ABC.（2）解：由（1）知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ， ∴BE ⊥平面ACD. ∴BE ⊥AC.∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴BD=2,AB=2tan60°=6. ∴AC=722=+BC AB , 由AB 2=AE·AC ，得AE=76∴λ=76=AC AE . 故当λ=76时，平面BEF ⊥平面ACD.。

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（数学2必修）第二章点、直线、平面之间的位置关系
[综合训练B 组] 一、选择题
1 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）Ａ 16π Ｂ 20π
Ｃ 24π Ｄ 32π
2 已知在四面体ABCD 中，,E F 分别是,AC BD 的中点，若2,4,AB CD EF AB ==⊥，
则EF 与CD 所成的角的度数为（）
Ａ 90 Ｂ 45
Ｃ 60
Ｄ 30
3 三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（）
Ａ 1条Ｂ 2条Ｃ 3条Ｄ 1条或2条
4 在长方体1111ABCD A B C D -，底面是边长为2的正方形，高为4，
则点1A 到截面11AB D 的距离为( )
A
8
3 B 3
8 C 4
3
D
34
5 直三棱柱111ABC A B C -中，各侧棱和底面的边长均为a ，点D 是1CC 上任意一点，
连接11,,,A B BD A D AD ，则三棱锥1A A BD -的体积为（）
A
3
6
1a B 3123a C
363a D 312
1a 6 下列说法不正确的．．．．
是（） A 空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B 同一平面的两条垂线一定共面；
C 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；
D 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
二、填空题
1 正方体各面所在的平面将空间分成_____________部分
2 空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，则BC 与AD 的
位置关系是_____________；四边形EFGH 是__________形；当___________时，四边形EFGH 是菱形；当___________时，四边形EFGH 是矩形；当___________时，四边形EFGH 是正方形
3 四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5
的等腰三角形，则二面角V AB C --的平面角为_____________
4 三棱锥,73,10,8,6,P ABC PA PB PC AB BC CA -===
===则二面角
P AC B --的大小为___________________
5 P 为边长为a 的正三角形ABC 所在平面外一点且PA PB PC a ===，则P 到
AB 的距离为___________________
三、解答题
1 已知直线//b c ，且直线a 与,b c 都相交，求证：直线,,a b c 共面
2 求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直；
3 如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，
,M N 分别是,SA BD 上的点，且SM AM =ND
BN
，求证：//MN 平面SBC
C
D
M
N
S
数学2（必修）
第二章点、直线、平面之间的位置关系 [综合训练B 组]
参考答案
一、选择题
1 C 正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线为
22，正四棱柱的对角线为26，而球的直径等于正四棱柱的对角线，
即226R =，2
6,424R S R ππ===球
2 D 取BC 的中点G ，则1,2,,EG FG EF FG ==⊥则EF 与CD 所成的角0
30EFG ∠=
3 C 此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线
4 C 利用三棱锥111A AB D -的体积变换：111111A AB D A A B D V V --=，则11
24633
h ⨯⨯=
⨯⨯ 5 B 11221133332212
A A BD D A BA
a a a V V Sh --===⨯⨯= 6 D 一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；
这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了二、填空题
1 27 分上、中、下三个部分，每个部分分空间为9个部分，共27部分
2 异面直线；平行四边形；BD AC =；BD AC ⊥；BD AC =且BD AC ⊥
3 0
60
4 0
60 注意P 在底面的射影是斜边的中点
5
32
a 三、解答题
1 证明：//b c Q ，∴不妨设,b c 共面于平面α，设,a b A a c B ==I I
,,,A a B a A B αα∴∈∈∈∈，即a α⊂，所以三线共面 2 提示：反证法
3略。