高中数学必修二第二章 2.1.1课件

课 时
且 A∈l，B∈l .
栏 目
(3)直线 l 在面 α 内也在面 β 内：l⊂α 且 l⊂β .
开 关
(4)平面 α 内的两条直线 m、n 相交于 A：
m⊂α，n⊂α 且 m∩n＝A .
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2.1.1
[问题情境]
本
在《西游记》中，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八
2.1.1
欢迎来到数学课堂
本 课 时 栏 目 开 关
2.1.1
2.1.1 平 面
[学习要求]
本 1．掌握平面的表示法，点、直线与平面的关系；
课 时
2．掌握有关平面的三个公理；
栏 3．会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系．
目 开
[学法指导]
关
通过桌面、黑板、地面等有形的实物，对平面有一个感性认识，
本
(1)
(2)
课
时 解 在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.
栏
目 开
在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.
关 小结 借助集合中的符号来表示几何中点、线、面的关系就是几何中
的符号语言，符号语言的运用简洁明了的表达了几何中的各元素的关
系，比文字语言更适合于几何关系的表示，因此，要逐步适应并掌握．
答 长方体由上下、前后、左右六个面围成．有些面是平行的，有
本
课
些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与
时 栏
面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个平面内的直线等等．
目 问题 2 生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，
开 关
都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？那么，平面的
导引 如果直线 l 与平面 α 有一个公共点 P，直线 l 是否在平面 α
内？如果直线 l 与平面 α 有两个公共点，直线 l 是否在平面 α 内？
问题 1 实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任
本
课 意两点放到桌面上，可以看到， 直尺的整个边缘就落在了桌面
时 栏
上．从经验中我们能得到什么结论呢？掌心”．结果孙悟空真没有跑出如来佛
栏 目
的手掌心，如果把孙悟空看作是一个点，他的运动成为一条线，
开 关
大家说如来佛的手掌像什么？
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2.1.1
探究点一 平面的概念
问题 1 观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所在的直线，以 及侧面、底面之间的位置关系吗？
目 开
答 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直
关
线在此平面内．
问题 2 如何用符号语言表示公理 1？公理 1 有怎样的用途？
答 A∈l，B∈l，且 A∈α，B∈α⇒l⊂α.公理 1 的用途是判定直线是 否在平面内．
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例 1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
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跟踪训练 1 若点 M 在直线 a 上，a 在平面 α 内，则 M，a，α 之间的关
系可记为
( B)
A．M∈a，a∈α B．M∈a，a⊂α
C．M⊂a，a⊂α D．M⊂a，a∈α
本 课 解析 点与直线的关系为元素与集合的关系，能用“∈”，直线与
时 栏
平面的关系为集合间的关系，不能用“∈”．
目
开
关
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问题 3 生活中经常看到用三角架支撑照相机；测量员用三角架支
撑测量用的平板仪；有的自行车后轮旁只安装一只撑脚．上述事
实和类似经验可以归纳为怎样的公理？
本 课
答 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
时 问题 4 如何用符号语言表示公理 2？公理 2 有怎样的用途？
含义是什么呢？
答 教室的地面，天花板，几何里所说的“平面”就是从这样的一
些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的．
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问题 3 如何用字母表示平面，如何表示点在平面内或点不在平 面内？
答 平面通常用希腊字母 α、β、γ 等表示，如平面 α、平面 β 等，
本
过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共
课
线的三点确定一个平面．“有且只有一个平面”也可以说成“确定一个
时 栏
平面”．按照公理 2 不在一条直线上的三点能确定一个平面，我们可以
目 开
得出三个推论：推论(1)一条直线和直线外一点唯一确定一个平面；推论
关
(2)两条相交直线唯一确定一个平面；推论(3)两条平行直线唯一确定一
栏 目
答 符号表示为：A、B、C 三点不共线⇒有且只有一个平面 α，使
开 关
A∈α、B∈α、C∈α.公理 2 的用途是确定平面的依据．
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2.1.1
小结 公理 2 中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，
“只有一个”，是说图形唯一，“有且只有一个平面”的意思是说“经
本 课
也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点
时
的大写英文字母来表示，如平面 ABCD，平面 AC 等．平面内有
栏 目
无数个点，平面可以看成点的集合．点 A 在平面 α 内，记作：A∈α；
开 关
点 B 在平面 α 外，记作 B∉α.
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探究点二 平面的基本性质
进而抽象出平面的概念及平面的性质，感受我们所处的世界是
一个三维空间，进而增强学习的兴趣，培养空间想象能力.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.1.1
1．公理 1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么这
本 课
条直线在此平面内．
时 栏
符号： A∈l，B∈l，且 A∈α，B∈α⇒l⊂α .
目 开
2．公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有 一个平面.
个平面．
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问题 5 把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所 在平面是否只相交于一点？为什么？ 答 由下边的图可知它们不是相交于一点，而是相交成一条直线．
关 3．公理 3：如果两个不重合的平面有 一个 公共点，那么它
们有且只有 一条 过该点的公共直线．
符号： P∈α，且 P∈β⇒α∩β＝l，且 P∈l .
填一填·知识要点、记下疑难点
2.1.1
4．用符号语言表示下列语句：
(1)点 A 在平面 α 内但在平面 β 外：A∈α，A∉β .
本
(2)直线 l 经过面 α 内一点 A，α 外一点 B：A∈α，B∉α