初中数学一元一次方程高频考点+经典题型演练
专题3.1 解一元一次方程(压轴题专项讲练)(沪科版)(解析版)
专题3.1 解一元一次方程【典例1】我们把解相同的两个方程称为同解方程.例如：方程：2x =6与方程4x =12的解都为x =3，所以它们为同解方程.（1）若方程2x−3=11与关于x 的方程4x +5=3k 是同解方程，求k 的值；（2）若关于的方程3x−2x−=4x 和3x k 12−1−5x 8=1是同解方程，求k 的值；（3）若关于x 的方程2x−3a =b 2和4x +a +b 2=3是同解方程，求14a 2+6ab 2+8a +6b 2的值.（1）分别将两个关于x 的方程解出来，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于m 的方程，然后解答；（2）分别将两个关于x 的方程解出来，得到两个用含a 的代数式表示的解，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于a 的方程，然后解答；（3）分别求出两个关于x 的方程的解，根据同解方程的定义，列出关于a ,b 的等式，然后整体代入求值．解：（1）解方程2x−3=11得x =7，把x =7代入4x +5=3k 得28+5=3k ，解得k =11；（2）解关于x 的方程3x−2x−=4x 得x = 27k ， 解关于x 的方程3x k 12−1−5x 8=1得x = 27−2k 21，∵方程3x−2=4x 和3x k 12−1−5x 8=1是同解方程，∴2k 7=27−2k 21，解得k =278；(3)解关于x 的方程2x−3a =b 2得x 解关于x 的方程4x +a +b 2=3得x =3−b 2−a 4，∵2x−3a =b 2和4x +a +b 2=3是同解方程，∴3−b2−a4∴3b2=3−7a，∴14a2+6a b2+8a+6b2=14a2+2a(3−7a)+8a+2(3−7a)=6.1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：（1）2+x=−5(x−1)；（2）3(3x−2)=4(1+x)；（3）3x−7(x−1)=3−2(x+3)；（4x−10=5x−3；（5）x−4−5x=x−1；x+1．（6−8=32【思路点拨】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．（2）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．（3）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．（4）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．（5）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．（6）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．【解题过程】（1）解：2+x=−5(x−1)，去括号得：2+x=−5x+5，移项得：x+5x=5−2，合并得：6x=3，；解得：x=12（2）3(3x−2)=4(1+x)，去括号得：9x−6=4+4x，移项得：9x−4x =4+6，合并得：5x =10，解得：x =2；（3）3x−7(x−1)=3−2(x +3)去括号得：3x−7x +7=3−2x−6，移项得：3x−7x +2x =3−6−7，合并得：−2x =−10，解得：x =5；（4x−10=5x−3，去括号得：x−8=5x−3，移项得：x−5x =−3+8，合并得：−4x =5，解得：x =−54；（5）x−4−5x =x−1，去括号得：2x−24−5x =3−2x +4，移项得：2x−5x +2x =3+4+24，合并得：−x =31，解得：x =−31；（6−8=32x +1，去括号得：12x−14−6=32x +1，移项得：x =−714．2．（2023·全国·七年级专题练习）解方程：（1）y−14+5y−56=2−5y 43（2）2x−13−10x 16=2x 12−2（3）x−34+2x 33=x 56−x−45【思路点拨】（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解．（3）方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解．【解题过程】（1）解：y−14+5y−56=2−5y 43去分母得，3(y−1)+2(5y−5)=24−4(5y +4)去括号得，3y−3+10y−10=24−20y−16移项，合并同类项得，33y =21系数化为1得，y =711；（2）解：2x−13−10x 16=2x 12−2去分母得，2(2x−1)−(10x +1)=3(2x +1)−12去括号得，4x−2−10x−1=6x +3−12移项，合并同类项得，−12x =−6系数化为1得，x =12；（3）解：x−34+2x 33=x 56−x−45去分母得，15(x−3)+20(2x +3)=10(x +5)−12(x−4)去括号得，15x−45+40x +60=10x +50−12x +48移项，合并同类项得，57x =83系数化为1得，x =8357．3．（2023·全国·七年级专题练习）解方程：（112(5−x )+1=x−2；（2）0.2x 0.10.3−x−16=2；（3）1.5x−13−x 0.6=0.5．（4）x−2x−12(x−1)=23(x +1)【思路点拨】（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解；（3）方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解；（4）方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解．【解题过程】（112(5−x )+1=x−2去分母得，x−12(5−x )+1=3x−6去分母得，2x−(5−x )+2=6x−12去括号得，2x−5+x +2=6x−12移项，合并同类项得，−3x =−9系数化为1得，x =3；（2）解：0.2x 0.10.3−x−16=2整理得，2x 13−x−16=2去分母得，2(2x +1)−(x−1)=12去括号得，4x +2−x +1=12移项，合并同类项得，3x =9系数化为1得，x =3；（3）解：1.5x−13−x 0.6=0.5去分母得，2(1.5x−1)−10x =3去括号得，3x−2−10x =3移项，合并同类项得，−7x =5系数化为1得，x =−57；（4）解：x−2x−12(x−1)=23(x +1)去分母得，3x−6x−12x =2(x +1)去括号得，3x−6x +3x−3=2x +2移项，合并同类项得，−2x =5系数化为1得，x =−52．4．（2023秋·七年级课时练习）解方程：（1）0.4x−2.10.5=0.10.2x0.03−0.6；（2）4−6x0.01−6.5=0.02−2x0.02−7.5．【思路点拨】（1）先根据分数的性质，将方程化简，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤求解即可；（2）先将方程化为4−6x0.01=0.01−x0.01−1，再求解即可．【解题过程】（1）解：0.4x−2.10.5=0.10.2x0.03−0.6，原方程可化为4x−215=1020x3−35，去分母，得3(4x−21)=5(10+20x)−9，去括号，得12x−63=50+100x−9，移项，得12x−100x=50−9+63，合并同类项，得−88x=104，系数化为1，得x=−1311．（2）解：4−6x0.01−6.5=0.02−2x0.02−7.5原方程可化为4−6x0.01=0.01−x0.01−1，去分母，得4−6x=0.01−x−0.01，移项、合并同类项，得5x=4，化系数为1，得：x=45．5．（2023·浙江宁波·七年级校考竞赛）解方程，（1）0.1x0.030.2−0.2x−0.030.3+34=0（2）2014−x2013+2016−x2015=2018−x2017+2020−x2019【思路点拨】（1）首先把分子和分母中的小数化为整数，然后按照去分母、去括号、合并同类项、移项、系数化为1的步骤解方程即可；（2）先变形为1+1−x2013+1+1−x2015=1+1−x2017+1+1−x2019，再整理得(1−x)(12013+12015−12017−12019)=0，即可解.【解题过程】解：（1）方程0.1x0.030.2−0.2x−0.030.3+34=0变形为10x320−20x−330+34=0，去分母得3(10x+3)−2(20x−3)+45=0，去括号合并同类项得-10x+60=0,移项得-10x=-60,系数化为1得x=6.（2）方程2014−x2013+2016−x2015=2018−x2017+2020−x2019变形为1+1−x2013+1+1−x2015=1+1−x2017+1+1−x2019，∴1−x 2013+1−x2015−1−x2017−1−x2019=0∴(1−x)(12013+12015−12017−12019)=0∴1−x=0，∴x=1.6．（2022秋·北京·七年级校考阶段练习）解方程（1）2(2x−1)−2(4x+3)=7（2）ax=b+2(a≠0)（3）0.4x0.90.5=0.2x0.30.3+1（4）|2x+1|+|x−1|=4（5）|2x+1|=3x−4（6）x=b+bax(a≠b,a≠0)【思路点拨】（1）根据解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，化未知数系数为1，求解即可；（2）根据解一元一次方程的步骤：化未知数系数为1，求解即可；（3）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数系数为1，求解即可；（4）根据零点分段法，对x的取值范围分3种情况进行讨论去绝对值，再依据解一元一次方程的步骤即可求解；（5）根据零点分段法，对x的取值范围分2种情况进行讨论去绝对值，再依据解一元一次方程的步骤即可求解；（6）根据解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，化未知数系数为1，求解即可．【解题过程】（1）解：2(2x−1)−2(4x+3)=7去括号得：4x−2−8x−6=7移项得：4x−8x=7+2+6合并同类项得：−4x=15化未知数的系数为1：x=−154；（2）解：ax=b+2化未知数的系数为1：x=b2a；（3）解：0.4x0.90.5=0.2x0.30.3+1去分母得：30(0.4x+0.9)=50(0.2x+0.3)+15去括号得：12x+27=10x+15+15移项得：12x−10x=30−27合并同类项得：2x=3化未知数的系数为1：x=32；（4）解：|2x+1|+|x−1|=4令2x+1=0或x−1=0时，则x=−12或x=1，当x≤−12时，−(2x+1)−(x−1)=4−2x−1−x+1=4−3x=4x=−43；当−12<x≤1时，2x+1−(x−1)=42x+1−x+1=4x+2=4x=2；（舍去）当x>1时，2x+1+x−1=43x=4x=43；（5）解：|2x+1|=3x−4令2x+1=0，则x=−12，当x≤−12时，−(2x+1)=3x−4−2x−1=3x−4−2x−3x=−4+1−5x=−3x=35（舍去）；当x>−12时，2x+1=3x−42x−3x=−4−1−x=−5x=5；（6）解：x=b+baxx−bax=ba−bax=bx=b×a a−bx=aba−b．7．（2022秋·全国·七年级专题练习）讨论方程||x+3|−2|=k的解的情况．【思路点拨】分k<0，0<k<2，k=2，k>2四种情况解析：当k<0时，原方程无解；当k=0时，原方程为|x+3|−2=0，解为x=−1，或x=−5；当0<k<2时，原方程为|x+3|=2±k，有四个解x=k−1，或x=−k−5，或x=−k−1，或x=k−5；当k=2时，原方程为：|x+3|=2±2，有三个解x=1，或x=−7，或x=−3；当k>2时，原方程为：x+3=±(2+k)，有两个解x=k−1，或x=−k−5．【解题过程】解：当k<0，原方程无解；当k=0时，原方程可化为：|x+3|−2=0，解得x=−1，或x=−5；当0<k<2，此时原方程可化为：|x+3|=2±k，此时原方程有四解：x=−3±(2±k)，即：x=k−1，或x=−k−5，或x=−k−1，或x=k−5；当k=2时，原方程可化为：|x+3|=2±2，此时原方程有三解：x=1，或x=−7，或x=−3；当k>2时，原方程有可化为：x+3=±(2+k)，此时原方程有二解：x=−3±(2+k)，即x=k−1，或x=−k−5．8．（2022秋·七年级课时练习）当整数k为何值时，方程9x−3=kx+15有正整数解．求出这些解．【思路点拨】先求出方程9x−3=kx+15的解，再根据正整数的特性进行分析即可得．【解题过程】解：9x−3=kx+15，(9−k)x=18，因为方程9x−3=kx+15有正整数解，所以9−k≠0，即k≠9，，所以x=189−k为正整数即可，要使方程9x−3=kx+15有正整数解，则189−k因此，k的所有可能取值为8,7,6,3,0,−9，当k =8时，方程的正整数解为x =189−8=18；当k =7时，方程的正整数解为x =189−7=9；当k =6时，方程的正整数解为x =189−6=6；当k =3时，方程的正整数解为x =189−3=3；当k =0时方程的正整数解为x =189−0=2；当k =−9时，方程的正整数解为x =189−(−9)=1．9．（2022秋·七年级课时练习）已知a ，b 为实数，关于x 的方程(a−1)x |a|−b x 2+3x−2=0是一元一次方程，求a +b 的值与方程的解.【思路点拨】先根据一元一次方程的定义求出a 、b 的值，代入可求得a+b 的值，然后根据解一元一次方程的一般步骤进行求解即可.【解题过程】解：∵关于x 的方程(a−1)x |a|−b x 2+3x−2=0是一元一次方程，∴分以下三种情况进行，①|a|=0且x≠0，b=0，∴a=0，b=0，此时a+b=0，方程为-1+3x-2=0，3x=3，解得：x=1，符合题意，②|a|=1且a-1+3≠0，b=0，∴a=±1，b=0，当a=1，b=0时，此时a+b=1，方程为3x-2=0，移项得，3x=2，解得：x=23；当a=-1，b=0时，此时a+b=-1，方程为-2x+3x-2=0，移项合并得， x=2；③|a|=2且a-1-b=0，∴a=2，b=1或a=-2，b=-3，当a=2，b=1时，此时a+b=3，方程为3x-2=0，移项得，3x=2，解得：x=23；当a=-2，b=-3时，此时a+b=-5，方程为3x-2=0，移项得，3x=2，解得：x=23，综上a+b 的值为0或1或-1或3或-5，相对应的方程的解为x=1或x=23或x=2或x=23或x=23.10．（2022秋·北京海淀·七年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）已知关于x的方程x a9−1−x6=1．（1）若方程与关于x的方程2x−2x−=3x有相同的解，求a的值；（2）若方程的解是正整数，直接写出正整数a的值是____________．【思路点拨】（1）分别解两个方程，根据方程的解相同，列式计算即可；（2）用含a的代数式表示出方程的解，根据方程的解是正整数，确定a的值即可．【解题过程】（1）解：x a9−1−x6=1方程两边同乘18，得，2(x+a)−3(1−x)=18，去括号，得：2x+2a−3+3x=18，移项，合并同类项，得：5x=21−2a，系数化1，得：x=21−2a5；2x−2x−=3x，去小括号，得：2x−2x+=3x，去中括号，得：2x−4x+a=3x，移项，合并同类项，得：5x=a，系数化1，得：x=a5；∵两个方程的解相同，∴a 5=21−2a5，解得：a=7；（2）解：由（1）知：x=21−2a5，∵方程的解是正整数，∴21−2a能被5整除，又∵a为正整数，∴21−2a=5或21−2a=15，解得：a=8或a=3；故答案为：3或8．11．（2022秋·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）我们规定一种运算|a c b d|=ad−cb，如|2435| =2×5−3×4=−2，再如|x2−1−4|=−4x+2，按照这种运算规定，解答下列各题：（1）计算|−34−25|＝_______；（2）若|23−2x−5x|=2，求x的值；（3）若|8mx−132−83+2x−3|与|6−n−1x|的值始终相等，求m，n的值．【思路点拨】（1）根据题意列出算式−3×5−4×(−2)，计算可得；（2）根据新定义列出关于x的方程，解方程即可得；（3）根据新定义列出关于m，n的方程，再根据二者的值相等解之即可．【解题过程】（1）根据题意，|−34−25|=−3×5−4×(−2)=−7，故答案为：−7；（2）∵|23−2x−5x|=2，∴−10x−(−6x)=2，解得：x=−12；（3）|8mx−132−83+2x−3|=−3(8mx−1)83+2x=−24mx−3x+7，|6−n−1x|=6x−n，根据题意可得：−24mx−3x+7=6x−n，即(−24m−3)x+7=6x−n，∴−24m−3=6,7=−n，∴m=−38,n=−7．12．（2023秋·湖南·七年级校考期末）在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若x是关于x的一元一次方程ax+b=0(a≠0)的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x0，y0满足x0+y0=99，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“久久方程”．例如：一元一次方程3x−2x−98=0的解是x=98，方程|y|+1=2的所有解是y=1或y=−1，当y0=1，x0+y0=99，所以|y|+1=2=2为一元一次方程3x−2x−98=0的“久久方程”．（1）已知关于y的方程：①2y−2=4，②|y|=2，其中哪个方程是一元一次方程3(x−1)=2x+98的“久久方程”？请直接写出正确的序号________．（2）若关于y的方程|2y−2|+2=4是关于x的一元一次方程x−3x−2a4=a+34的“久久方程”，请求出a的值．（3）若关于y的方程a|y−49|+a+b=a(y6)50是关于x的一元一次方程ax+50b=55a的“久久方程”，求出a bb的值．【思路点拨】（1）分别求出三个方程的解，再验证即可；（2）先解方程|2y−2|+2=4，求得y=0或y=2，再求出关于x的方程的解，根据题意可分别求得a的值；（3）由ax+50b=55a及x+y=99，可求得y=44+50ba ，代入a|y−49|+a+b=a(y6)50中，可求得a与b的关系，从而可求得结果．【解题过程】（1）解：解2y−2=4得：y=3；解|y|=2得，y=±2；解3(x−1)=2x+98得：x=101，而101+(−2)=99，所以|y|=2是一元一次方程3(x−1)=2x+98的“久久方程”；故答案为：②；（2）解：∵|2y−2|+2=4，∴|2y−2|=2，即2y−2=2或2y−2=−2，解得：y=0或y=2；对于x−3x−2a4=a+34，去分母得：4x−(3x−2a)=4a+3，去括号、移项、合并同类项得：x=2a+3；由题意，当y=0时，2a+3+0=99，解得：a=48；当y=2时，2a+3+2=99，解得：a=47；所以a=48或47；（3）解：由题意，x+y=99，即ax+ay=99a由ax+50b=55a得：ax=55a−50b，所以55a−50b+ay=99a，则y =44+50ba，把上式代入a |y−49|+a +b =a (y 6)50中，整理得：a|50b−5aa|+a +b =a +b ，即a|50b−5aa|=0，∴50b−5a =0，∴a =10b ，∴a b b=10b b b=11．13．（2022秋·湖南湘西·七年级统考阶段练习）定义：若整数k 的值使关于x 的方程x 42+1=kx 的解为整数，则称k 为此方程的“友好系数”.（1）判断当k =1时是否为方程x 42+1=kx 的“友好系数”，写出判断过程；（2）方程x 42+1=kx “友好系数”的个数是有限个数，还是无穷多？如果是有限个数，求出此方程的所有“友好系数”；如果是无穷多，说明理由．【思路点拨】（1）把k =1代入x 42+1=kx ，解方程得x =6，根据“友好系数”定义即可求解；（2）解关于x 方程x 42+1=kx 得x =62k−1，得到当2k−1=±1，2k−1=±2，2k−1=±3，2k−1=±6时，满足方程的解x 为整数，求出k 的值为：1，0，32，−12，2，-1，72，−52，根据友好系数”定义得k 的值为1，0，2，-1.，从而得到结论．【解题过程】（1）解：当k =1时，原方程化为：x 42+1=x ，整理得：x +6=2x ，解得：x =6，即当k =1时，方程的解为整数．根据新定义可得：k =1是方程x 42+1=kx 的“友好系数”；（2）解：x 42+1=kx ，去分母得：x +4+2=2kx ，整理得：(2k−1)x =6，方程的解为：x =62k−1，当2k−1=±1，2k−1=±2，2k−1=±3，2k−1=±6时，满足方程的解x 为整数，此时k 的值为：1，0，32，−12，2，-1，72，−52，经检验，取上述k 的值，2k−1均不为0，其中k 为整数才称为“友好系数”，所以k 的值为：1，0，2，-1．所以方程x 42+1=kx “友好系数”的个数是有限个，分别为1，0，2，-1．14．（2022秋·湖南长沙·七年级校考阶段练习）如果两个方程的解相差a ，a 为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“a−稻香方程”，例如：方程x−2=0是方程x +3=0的“5−稻香方程”．（1）若方程2x =5x−12是方程3(x−1)=x +1的“a−稻香方程”，则a =________；（2）若关于x 的方程x−x−2m 3=n−1是关于x 的方程2(x−2mn )−m =3n−3的“m−稻香方程”（m >0），求n 的值；（3）当a ≠0时，如果关于x 方程ax +b =1是方程ax +c−1=0的“3−稻香方程”，求代数式6a +2b−2(c +3)的值．【思路点拨】（1）先分别解方程2x =5x−12得x =4，解方程3(x−1)=x +1得x =2，再根据“a−稻香方程”的定义即可求解；（2）解关于x 方程x−x−2m3=n−1得x =3n−3−2m2，解关于x 的方程2(x−2mn )−m =3n−3得x =4mn m 3n−32，根据“m−稻香方程”的定义得到3n−3−2m 2−4mn m 3n−32=m ，求出n =−54；（3）关于x 方程ax +b =1的解是x =1−ba，关于x 方程ax +c−1=0的解是x =1−c a ，根据题意得到1−b a−1−ca =3，整理得3a +b =c ，代入6a +2b−2(c +3)即可求解．【解题过程】（1）解：解方程2x =5x−12得x =4，解方程3(x−1)=x +1得x =2，因为方程2x =5x−12是方程3(x−1)=x +1的“a−稻香方程”，所以a =4−2=2．故答案为：2；（2）解：解关于x 方程x−x−2m 3=n−1得x =3n−3−2m2，解关于x 的方程2(x−2mn )−m =3n−3得x =4mn m 3n−32，关于x 的方程x−x−2m3=n−1是关于x 的方程2(x−2mn )−m =3n−3的“m−稻香方程”（m >0）所以3n−3−2m 2−4mn m 3n−32=m ，整理得−4mn =5m ，因为m >0，所以−4n =5，n =−54；（3）解：因为a ≠0，所以关于x 方程ax +b =1的解是x =1−ba，关于x 方程ax +c−1=0的解是x =1−ca，因为关于x 方程ax +b =1是方程ax +c−1=0的“3−稻香方程”，所以1−b a−1−ca =3，整理得3a +b =c ，所以6a +2b−2(c +3)=2(3a +b )−2c−6=2c−2c−6=−6．15．（2023春·福建泉州·七年级统考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x =8和x +1=0为“美好方程”．（1）若关于x 的方程3x +m =0与方程4x−2=x +10是“美好方程”，求m 的值；（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n ，求n 的值；（3）若关于x 的一元一次方程12023x +3=2x +k 和12023x +1=0是“美好方程”，求关于y 的一元一次方程12023(y+1)+3=2y +k +2的解．【思路点拨】（1）先表示两个方程的解，再求解；（2）根据条件建立关于n 的方程，再求解；（3）由题意，可求出12023x +3=2x +k 的解为x =1−(−2023)=2024，再将12023(y +1)+3=2y +k +2变形为12023(y +1)+3=2(y +1)+k ，则y +1=x =2024，从而求解．【解题过程】（1）解：∵3x +m =0，∴x =−m3．∵4x−2=x +10．∴x =4．∵关于x 的方程3x +m =0与方程4x−2=x +10是“美好方程”，∴−m3+4=1，∴m =9；（2）解：∵“美好方程”的两个解的和为1，∴另一个方程的解为：1−n ．∵两个解的差为8，∴1−n−n =8或n−(1−n)=8．∴n =−72或n =92；（3）解：∵ 12023x +1=0．∴x =−2023．∵关于x 的一元一次方程12023x +3=2x +k 和12023x +1=0是“美好方程”，∴关于x 的一元一次方程12023x +3=2x +k 的解为x =1−(−2023)=2024．关于y 的一元一次方程12023(y +1)+3=2y +k +2可化为：12023(y +1)+3=2(y +1)+k ．∴y +1=x =2024．∴y =2023．16．（2022秋·浙江金华·七年级校考阶段练习）我们规定：若关于x 的一元一次方程ax =b 的解为x =b +a ，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x =−4的解为x =−2，而−2=−4+2，则方程2x =−4为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题：（1）下列关于x 的一元一次方程是“和解方程”的有 ．①12x =−12；②−3x =94；③5x =−2．（2）已知关于x 的一元一次方程2(x +2)=−m 是“和解方程”，求m 的值；（3）若关于x 的一元一次方程3x =mn +m 和−3x =mn +n 都是“和解方程”，求代数式5−4m +4n 的值．【思路点拨】（1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可；（2）先解方程得出方程的解，再根据和解方程的含义建立方程即可求得答案；（3）根据和解方程得出方程的解与m−n =−92−94=−274，再整体代入代数式求值即可．【解题过程】（1）解：①12x ＝−12的解是x =−1，∵−1≠12+−=0，∴①不是“和解方程”；②−3x =94的解是x =−34，∵−34=−3+94，∴②是“和解方程”；③5x =−2的解是x =−25，∵−25≠−2+5=3，∴③不是“和解方程”；故答案为：②．（2）∵2(x +2)=−m ，∴x +2=−m2，∴x =−m2−2，∵2(x +2)=−m 即2x =−4−m 是“和解方程”，∴2−4−m =−m2−2，∴m =0；（3）∵3x =mn +m ，∴x =13(mn +m )，而3x =mn +m 是“和解方程”，∴3+mn +m =13(mn +m )，∴mn +m =−92，（①式）∵−3x =mn +n ，∴x =−13(mn +n )，而−3x =mn +n 是“和解方程”，∴−3+mn +n =−13(mn +n )，∴mn +n =94，（②式），由①-②得：m−n =−92−94=−274，∴5−4m +4n =5−4(m−n )=5−4×−=5+27 =32．17．（2022秋·全国·七年级期末）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若x 0是关于x 的一元一次方程ax +b =0(a ≠0)的解，y 0是关于y 的方程的所有解的其中一个解，且x 0,y 0满足x 0+y 0=100，则称关于y 的方程为关于x 的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x−2x−99=0的解是x 0=99，方程y 2+1=2的所有解是y =1或y =−1，当y 0=1时，x 0+y 0=100，所以y 2+1=2为一元一次方程3x−2x−99=0的“友好方程”（1）已知关于的方程：①2y−2=4，②|y|=2，哪个方程是一元一次方程3x−2x−102=0的“友好方程”？请直接写出正确的序号是_________．（2）若关于y 的方程|2y−2|+3=5是关于x 的一元一次方程x−2x−2a3=a +1的“友好方程”，请求出a 的值．（3）如关于y 的方程2m|y−49|+m(y−1)45=m +n 是关于x 的一元一次方程mx +45n =54m 的“友好方程”，请直接写出m nn的值．【思路点拨】（1）先求出一元一次方程3x−2x−102=0的解，再解方程2y−2=4和|y|=2，根据“友好方程”的定义去判断；（2）解出方程|2y−2|+3=5的解，一元一次方程x−2x−2a 3=a +1的解是x =a +3，分类讨论，令x 0+y 0=100，求出a的值；（3）一元一次方程mx+45n=54m解得x=54m−45nm =54−45nm，由x+y=100得y=100−x=45nm+46，把它代入关于y的方程即可求出结果．【解题过程】解：（1）一元一次方程3x−2x−102=0的解是x=102，方程2y−2=4的解是y=3，x0+y≠100，故不是“友好方程”，方程|y|=2的解是y=2或y=−2，当y0=−2时，x+y=100，故是“友好方程”，故答案是：②；（2）方程|2y−2|+3=5的解是y=2或y=0，一元一次方程x−2x−2a3=a+1的解是x=a+3，若y0=2，x+y=100，则a+3+2=100，解得a=95，若y0=0，x+y=100，则a+3+0=100，解得a=97，综上，a的值是95或97；（3）mx+45n=54m，解得x=54m−45nm =54−45nm，∵x0+y0=100，∴y=100−x=45nm+46，∵2m|y−49|+m(y−1)45=m+n，∴2m|45n m+46−49|+45n45m45=m+n 2m|45n m−3|+m+n=m+n2m|45n m−3|=0，∵分母m不能为0，∴45nm −3=0，即nm=115，∴mn=15，∴m nn =mn+1=16．18．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）定义新运算a∇b=|a−b|−b，如4∇2=|4−2|−2=2−2=0；若a∇b=0，则称a与b互为“望一”数；若a∇b=−a，则称a与b互为“望外”数；（1）计算：(−4)∇(−2)= ．（2）下列互为“望一”数的是 ．互为“望外”数的是 ．①6∇3；②5∇2；③3∇4；④2.8∇1.4；⑤1∇3；（3）若(x∇1)+[x∇(−1)]=2，则x可以取哪些整数？（4）若(x∇1)−[x∇(−1)]=−2，则x的值为多少？【思路点拨】（1）根据新定义的运算代入数值计算即可；（2）根据新定义的运算代入数值计算，再根据“望一”数和“望外”数的定义进行判断即可；（3）根据新定义的运算化简后，再根据x的取值范围进行求解即可；（4）根据新定义的运算化简后，再进行求解即可．【解题过程】（1）解：(−4)∇(−2)=|−4+2|−(−2)=2+2=4，故答案为：4；（2）①∵6∇3=|6−3|−3=3−3=0，∴6∇3是“望一数”，②∵5∇2=|5−2|−2=3−2=1，∴5∇2既不是“望一数”，也不是“望外数”；③∵3∇4=|3−4|−4=1−4=−3，∴3∇4是“望外数”；④∵2.8∇1.4=|2.8−1.4|−1.4=1.4−1.4=0，∴2.8∇1.4是“望一数”；⑤∵1∇3=|1−3|−3=2−3=−1，∴1∇3是“望外数”；故答案为：①④；③⑤；（3）∵(x∇1)+[x∇(−1)]=2，∴|x−1|−1+|x+1|+1=2，∴|x−1|+|x+1|=2，当x≤−1时，1−x−x−1=2，解得x=−1，当−1<x<1时，1−x+x+1=2，则−1<x<1的任意实数都满足题意，当x>1时，x−1+x+1=2，解得x=1，综上，−1≤x≤1，∵x为整数，∴x=−1或0或1；（4）∵(x∇1)−[x∇(−1)]=−2，∴|x−1|−1−(|x+1|+1)=−2，∴|x−1|−|x+1|=0，∴|x−1|=|x+1|，∴x−1=x+1或x−1=−x−1，解得x=0．。
一元一次方程高频考点+经典题型演练
一元一次方程高频考点+经典题型演练一、方程的有关概念1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程。
2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程。
例如：1700+50x=1800，2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程。
3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
注：⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程。
⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论。
二、等式的性质等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b±c等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么a/c=b/c三、移项法则把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
四、去括号法则1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同。
2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变。
五、解方程的一般步骤1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2. 去括号(按去括号法则和分配律)3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=).六、列一元一次方程解应用题的一般步骤1.列方程解应用题的基本步骤注意：(1)初中列方程解应用题时，怎么列简单就怎么列（即所列的每一个方程都直接的表示题意），不用担心未知数过多，简化审题和列方程的步骤，把难度转移到解方程的步骤上。
一元一次方程知识归纳与题型训练(4类题型清单)(原卷版)—2024-2025学年七年级数学上册浙教版
《一元一次方程》知识归纳与题型训练（4类题型）一、认识方程方程：含有未知数的等式叫作方程．方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。
二、等式的基本性质等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。
字母表达式为：c b c a b a ±=±=，那么如果．等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。
字母表达式为：)0(≠===c cbc a bc ac b a ，或，那么如果．要点诠释：等式的传递性 。
，那么、如果c a c b b a ===三、一元一次方程一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。
一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。
四、一元一次方程的解法步骤名 称方 法注 意 事 项1去分母在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）①不含分母的项也要乘以最小公倍数；②分子是多项式的一定要先用括号括起来2去括号去括号法则（可先分配再去括号）注意正确的去掉括号前带负数的括号3移项把未知项移到议程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）移项一定要改变符号4合并同类项分别将未知项的系数相加、常数项相加单独的一个未知数的系数为“±1”5系数化为“1”在方程两边同时除以未知数的系数（即方程两边同时乘以未知数系数的倒数）不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母）要点诠释：上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五五、一元一次方程的应用一元一次方程应用题解题一般步骤：要点诠释：（1）利润型应用题常用等量关系：利润=售价-进价；售价=标价×折扣；总利润=单件利润×数量；（2）行程类应用题常用等量关系：速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总；追及问题：S快-S慢=S相距；（3）工程类应用题常用等量关系：工作量=工作效率×工作时间；完成某项工作的各工作量的和=总工作量=1；题型一 等式的基本性质例题：1．（2023秋•镇海区校级期中）下列说法正确的是（ ）A．如果ac＝bc，那么a＝bB．如果a＝b，那么a+2＝b﹣2C．如果a＝b，那么ac＝bcD．如果a2＝b2，那么a＝b2．（2023秋•恩施市期末）根据等式的性质，下列变形不成立的是（ ）A．若a＝b，则2a＝2b B．若a＝b，则C．若a＝b，则D．若a＝b，则a+1＝b﹣13．（2023秋•郧阳区期末）如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（ ）A．350克B．300克C．250克D．200克巩固训练4．（2023秋•台州期中）下列等式变形中，正确的是（ ）A．若3x﹣2＝5，则3x＝﹣7B．若﹣8x＝4，则x＝﹣2C．若，则2x＝6D．若5x+2＝﹣6，则5x＝﹣85．（2023秋•仙居县校级期中）已知ax＝ay，下列等式变形不一定成立的是（ ）A．b+ax＝b+ay B．x＝yC．x﹣ax＝x﹣ay D．＝题型二 一元一次方程与方程的解例题：1．（2023秋•镇海区期末）下列四个方程中，属于一元一次方程的是（ ）A．2x2﹣1＝0B．x﹣y＝12C．D．6x＝02．（2023秋•玉环市期末）当关于x的方程2x﹣1＝ax+3的解为x＝1时，a的值是（ ）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．43．（2023秋•苍南县校级月考）整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程mx﹣n＝8的解为（ ）x﹣1012mx+n﹣8﹣404A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝1D．x＝24．（2023秋•椒江区校级期末）关于x的方程2a（x+5）＝3x+1无解，则a＝（ ）A．﹣5B．0C．D．巩固训练5．（2024•东阳市开学）方程（a﹣3）x|a|﹣2+2＝a+3是关于x的一元一次方程，则a＝ ．6．（2022秋•温州月考）已知关于x的一元一次方程2022x﹣5＝3x﹣a的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程2022（y+1）﹣3（y+1）＝5﹣a的解为（ ）A．y＝﹣1B．y＝﹣3C．y＝1D．y＝37．（2022秋•拱墅区校级期末）已知关于x的一元一次方程的解是x＝2022，关于y的一元一次方程的解是y＝﹣2021（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（ ）A．b＝﹣y﹣1，c＝y+1B．b＝1﹣y，c＝y﹣1C．b＝y+1，c＝﹣y﹣1D．b＝y﹣1，c＝1﹣y8．（2023秋•婺城区期末）已知a，b为实数，且关于x的方程x﹣ax＝b的解为x＝6，则关于y的方程（y﹣1）﹣a（y﹣1）＝b的解为y＝ ．题型三 解一元一次方程例题：1．（2023秋•余姚市校级月考）已知方程，去分母后正确的结果是（ ）A．3（3x﹣1）﹣1＝﹣x+2B．3（3x﹣1）﹣1＝﹣（x+2）C．3（3x﹣1）﹣6＝﹣x+2D．3（3x﹣1）﹣6＝﹣（x+2）2．（2023秋•诸暨市期末）把方程的分母化成整数，结果应为（ ）A．B．C．D．3．（2024•江北区校级开学）解方程：，则x＝ ．4．（2024•西湖区校级模拟）某同学解方程．的过程如下框：解：．两边同时乘以10，得……①合并同类项，得……②系数化1，得x＝60……③请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程．5．（2023秋•鄞州区期末）解方程：（1）4x﹣3＝2（x﹣1）；（2）解方程：．6．（2024•东阳市开学）解下列方程：（1）5x﹣2＝7x+8；（2）．巩固训练7．（2023秋•金东区期末）解方程2﹣3（2﹣3x）＝2，去括号正确的是（ ）A．2﹣6﹣9x＝2B．2﹣6﹣3x＝2C．2﹣6+9x＝2D．2﹣6+3x＝2 8．（2008秋•台州期末）下面解方程变形正确的是（ ）A．方程4x+1＝2x+1，移项，得4x+2x＝0B．方程，去分母得x+1＝3x﹣1﹣1C．方程﹣，系数化为1得x＝﹣6D．方程，合并，得9．（2023秋•杭州月考）定义符号“*”表示的运算法则为a*b＝ab+3a，若（3*x）+（x*3）＝﹣27，则x ＝ ．10．（2023秋•东阳市期末）解方程：（1）6+2（x﹣4）＝x；（2）．11．（2023秋•宁波期末）解方程：（1）3﹣（4x﹣3）＝7；（2）．题型四 一元一次方程的应用1．（2023秋•荆门期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，则可列方程为（ ）A．8x+3＝7x﹣4B．8x﹣3＝7x+4C．＝D．2．（2024•嘉善县一模）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（ ）A．B．C．D．3．（2022秋•临海市期末）如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到图（1）与图（2）．若AB＝m，则图（1）与图（2）阴影部分周长的差是（ ）A．m B．C．D．4．（2023秋•舟山期末）根据如表素材，探索未完成任务．5．（2023秋•东阳市期末）列方程解应用题．欧尚超市恰好用3200元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的与少10件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：每件商品获利＝售价﹣进价）．甲乙进价（元/件）2030售价（元/件）2540（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该超市将购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？巩固训练6．（2024•拱墅区校级模拟）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．其中记载了“百羊问题”：甲赶羊群逐草茂，乙拽一羊随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，所得这般一群凑（再多这样一群羊），再添半群小半（四分之一）群，得你一只来方凑（正好一百），玄机奥妙谁猜透？设这群羊共有x只，则（ ）A．B．C．D．7．（2023秋•沭阳县月考）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（ ）A．3x﹣2＝2x+9B．3（x﹣2）＝2x+9C．D．3（x﹣2）＝2（x+9）8．（2023秋•路桥区期末）某种商品的进价为80元，出售时的标价为110元．为了尽快减少库存，商店准备打折出售，但要使利润率为10%，则该商品应打（ ）A．6折B．7折C．8折D．9折9．（2024•台州一模）某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下：阶梯档次年用电量电价（单位：元/度）第一阶梯2760度及以下部分0.538第二阶梯2761度至4800度部分0.588第三阶梯4801度及以上部分0.838小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（ ）A．5250度B．5100度C．4900度D．4850度10．（2024秋•浙江校级月考）上午八时，张、王两同学分别从A、B两地同时骑摩托车出发，相向而行．已知张同学每小时比王多行2千米，到上午十时，两人仍相距36千米的路程．相遇后，两人停车闲谈了15分钟，再同时按各自的方向和原来的速度继续前进，到中午十二时十五分，两人又相距36千米的路程．A、B两地间的路程有多少千米？11．（2023秋•温州期末）综合与实践：设计完成工程的最短工期方案（最短工期是指完成某项工程所需的最短时间）．【背景素材】某公司要生产某大型产品60件，已知甲，乙，丙三家子工厂完成一件产品的时间分别为4天，6天，5天．现计划：①三家子工厂同时开始生产；②分配给甲工厂的数量是丙的2倍．【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究．思考1（特值分析）：若该公司将20件产品分配给甲工厂，则最短工期为多少天？思考2（减少要素）：若不考虑素材②，仅由甲、乙两工厂完成，则当两家工厂同时完成生产时工期最短，求如何分配产品件数与最短工期．思考3（方案探究）：如何分配三家工厂的生产任务使得工期最短，并求出最短工期．（注：如你直接挑战思考3并正确解答也给满分）。
专题02 一元一次方程的应用重难点题型归纳(原卷版)
专题02 一元一次方程的应用重难点题型归纳目录【典型例题】 (1)【题型一等积（长）变形问题】...................................................................Error! Bookmark not defined.【题型二行程——相遇问题】 (4)【题型三行程——追及问题】 (5)【题型四行程——顺风、顺水问题】 (6)【题型五行程——环形运动问题】 (8)【题型六工程问题】 (10)【题型七销售盈亏问题】 (11)【题型八配套问题】 (14)【题型九积分问题】 (15)【题型十年龄问题】 (16)【题型十一分段计费问题】 (17)【题型十二方案选择问题】 (20)【题型十三和差倍分问题】 (22)【题型十四日历问题】 (23)【题型十五比例分配问题】 (26)【题型十六数字问题】 (27)【题型十七古代问题】 (29)【题型一等积（长）变形问题】【典型例题】【例1】（23·24七年级上·广东广州·阶段练习）一个正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了32平方厘A．18B．【例3】（22·23七年级上【强化训练】1、（2023七年级上·全国·专题练习）我们知道乌鸦喝水的故事．现在来做一个道理相同的游戏：如图，在圆柱形玻璃桶里已有定量的水，将大小相同的围棋棋子一个个慢慢投入其中，显然，在有水溢出之前，每投入一个棋子，桶里水位的高度都会有变化．根据如图信息，解答下列各题：(1)投入第1个围棋子后，桶里的水位高度达到了(2)设投入了n个棋子，没有水溢出．用n表示此时桶里水位的高度(3)当投入个棋子，正好可使水位达到桶的高度．2、（21·22七年级下·河北沧州·期中）根据图中给出的信息，求出当水位上升到球．3、（23·24九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，小明同学用一张长为11cm个底面积为21c m2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠【题型二行程——相遇问题】【典型例题】【例4】（19·20七年级上·安徽蚌埠·期中）甲、乙两人从A，B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，已知出发后经3小时两人相遇，相遇之时乙比甲多行驶了60千米、相遇后再经1小时乙到达A地．求：甲、乙两人的速度分别是多少？【例5】（23·24七年级上·全国·课堂例题）小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都沿同一公路匀速前进，已知两人在上午6时同时出发，到上午8时，两人还相距21千米，到上午10时，两人又相距21千米，求A，B两地间的路程．【例6】（22·23七年级下·上海·期中）列方程解应用题．甲、乙分别从A、B两地同时出发相向而行，在C处相遇后，甲没有休息，到B地后立刻折返；乙则在C 处休息了15分钟才继续走，到A地后立刻折返；两人折返后仍在C处相遇，如果甲每分钟走60米，乙每分钟走80米．那么A、B两地相距多少米？【强化训练】【题型三行程——追及问题】【典型例题】【例7】（23·24七年级上·全国·课时练习）一队学生去校外进行军事野营训练，他们以9千米/时的速度行进，走了40分钟的时候，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员以45千米/时的速度按原路追去，问：通讯员用多长时间可以追上学生队伍？【例8】（23·24七年级上·河北邯郸·开学考试）一辆快车从甲站开向乙站，速度是65.5千米/时，过了1小时后，一辆慢车又从甲站开向乙站，速度是58.5千米/时．当快车到达乙站时，慢车离乙站还有104千米．甲、乙两站相距多少千米？【例9】（23·24七年级上·陕西西安·开学考试）小明以60米/分的速度步行去图书馆，5分钟后爸爸发现他忘了带图书证，爸爸立即骑自行车以300米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他，请解决以下问题：(1)爸爸追上小明用了多长时间？(2)爸爸追上小明后，小明搭爸爸的自行车去图书馆，结果比只步行提前了10分钟到，若爸爸搭上小明后的骑行速度为240米/分，求小明家离图书馆有多远？【强化训练】1、（22·23下·长春·期中）A、B两地之间有一条长为600千米的公路，甲乙两车都从A地匀速开往B地，乙车出发1小时后甲车再出发，乙车行驶4小时后被甲车追上，乙车行驶8.5小时后甲车已到达目的地B地，两车分别到达目的地后停在B地．(1)甲的速度为______千米/时，乙的速度为______千米/时．(2)当甲车与乙车相距的路程为80千米时，求此时乙车行驶的时间．2、（22·23七年级·上海·假期作业）上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他．然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？3、（22·23七年级上·广东佛山·期末）某学校七年级学生组织步行到郊外旅行，701班学生组成前队，速度为每小时4千米，702班同学组成后队，速度为每小时6千米，前队出发1小时后，后队才出发，同时，后队派出一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络，骑车的速度是每小时12千米（队伍长度忽略不计）．(1)当后队追上前队时，联络员骑行了多少千米？(2)联络员出发到他第一次追上前队的过程中，何时联络员离前队的距离与他离后队的距离相等？【题型四行程——顺风、顺水问题】【典型例题】(1)求a=______，b=______示)(2)如果在此河道上建一座灯塔(3)在（2）的条件下，最终将灯塔【强化训练】1、（22·23七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在一条笔直的海岸上有一个港口O，现在以O为原点，水流方向为正方向，作一个数轴，一天早上一艘海防巡逻艇从港口O出发逆流航行，18分钟后到达点A 位置，此时监测到一艘可疑商船在下游点B位置正逆流驶向港口O，并测得A、B之间的距离为60千米，已知巡逻艇在静水中的速度是每小时55千米，商船在静水中的速度是每小时25千米，若水流的速度是每小时5千米．(1)求A、B两点表示的数分别是多少；(2)当巡逻艇发现可疑商船后立刻改变航向，自A向B顺流航行，准备在商船进港前对其进行检查，求巡逻艇将在距离港口O多少千米处拦截到商船？(3)在（2）的条件下，当巡逻艇返回到港口O时，商船发现了巡逻艇，于是立即掉头逃跑，巡逻艇继续延OB方向追击商船，问巡逻艇自O处开始用多少小时追上了商船，此时商船所在的位置表示的数为多少？2、（22·23七年级上·河北沧州·期中）一艘客船从A地出发到B地顺流行驶，用了2.5小时；从B地返回A地逆流行驶，用了3.5小时，已知水流的速度是4千米∕时，求客船在静水中的平均速度?3、（22·23七年级上·湖北武汉·期中）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，水流速度a是km/h(1)若两船在静水中的速度都是50km/h，求2ℎ后甲船比乙船多航行多少千米？(2)一艘小快艇送游客在甲、乙两个码头间往返．其中去程的时间是回程的时间3倍，则小快艇在静水中的速度m与水流速度a的关系是______．【题型五行程——环形运动问题】【典型例题】【强化训练】1、（22·23七年级上·江苏无锡·期末）运动场环形跑道周长为300米，爷爷一直都在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度为3米/秒，与此同时小红在爷爷后面100米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动，速度为a米/秒．(1)若a=1，求两人第一次相遇所用的时间；(2)若两人第一次相遇所用的时间为80秒，试求a的值．2、（2022七年级上·江苏·专题练习）早晨，小黄和小到200米的环形跑道上跑步晨练，已知小黄的速度保持在5米/秒，小红的速度保持在3米/秒，据此回答下列问题：(1)若小红和小黄同时从起跑线同向出发，则至少要经过多长时间，两人才能再一次相遇？(2)若小红和小黄同时从起跑线反向出发，则经过2分55秒后，两人第几次相遇？3、（22·23七年级下·福建漳州·期中）如图，在长方形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm，点M以1cm/s的速度从点A出发，沿A→B→C→D→A的路线运动，点N以4cm/s的速度从点D出发，沿D→A→B→C→D的路线运动．若点M，N同时出发，当点N回到点D时，M，N两点同时停止运动．运动时间为t（s）．(1)当t为何值时，点M，N在运动路线上相遇；(2)当t为何值时，点M，N在运动路线上相距的路程为5cm；(3)在整个运动过程中，是否存在直线MN把长方形分成两个梯形，且这两个梯形的面积比为1:3，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【题型六工程问题】【典型例题】【例16】（22·23七年级下·河南新乡·期中）一项工程甲队单独做需要15天完成，乙队单独做需要30天完成．(1)求甲､乙两队合作完成该工程的天数；(2)现甲队先单独做3天，然后剩余工程由两个工程队合作完成．甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，求最终需要分别向甲､乙两队支付工程款的钱数．（要求利用一元一次方程解决问题）【例17】（22·23六年级下·上海·期中）某公司生产零件，甲每天可以加工32个零件，乙每天可以加工48个零件，甲单独加工这批零件比乙单独加工这批零件多用20天，甲的人工费为每天60元，乙的人工费为每天80元.(1)问这批零件共有多少个?(2)在加工零件过程中，公司要派一名质量监督员，并且每天支付他15元补助费，现有三种加工方案：①由甲单独加工这批零件；②由乙单独加工这批零件；③甲、乙合作同时加工这批零件，你认为哪种方案最省钱，为什么【例18】（20·21·全国·专题练习）一个水池设有注水管和排水管，单独开注水管2小时可注满水池，单独开排水管3小时可将一池水排完．现向这个空水池注水，将注水管与排水管同时开放若干小时后，关上注水管，排水管排掉水池中的水所用的时间比两管同时开放的时间少10分钟．两管同时开了多少时间？【强化训练】1、（23·24上·全国·课堂例题）某童装工厂甲组的3名工人1天完成的总工作量比日人均定额的3倍多60件，乙组的4名工人1天完成的总工作量比日人均定额的5倍少20件．(1)如果两组工人实际完成的日人均工作量相同，那么日人均定额是多少件？(2)如果甲组工人实际完成的日人均工作量比乙组多10件，那么日人均定额是多少件？(3)如果乙组工人实际完成的日人均工作量比甲组多10件，那么日人均定额是多少件？2、（22·23七年级下·吉林长春·阶段练习）某工程交由甲、乙两个工程队来完成，已知甲施工队单独施工需要20天完成，乙工程队单独施工需要25天完成，若甲、乙两队先合作施工4天，剩余的工程再由乙队单独完成，则完成该工程任务共需多少天？3、（20·21七年级上·山西朔州·阶段练习）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作．（1）甲、乙合作多少天才能把该工程完成？（2）甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？【题型七销售盈亏问题】【典型例题】【例19】（2023七年级上·全国·专题练习）某水果商人以每千克20元的价格购进一批草莓，售完后，又再次购进一批，由于第二批草莓的进货价格比第一批每千克便宜2元，故多购进50千克，两批草莓共花费4700元．(1)该商人第二批购进多少千克的草莓？(2)水果商人将第二批购进的草莓平均分给甲、乙两家水果店零售，零售价为每千克30元．甲店按零售价卖出m千克后，剩余的按零售价的八折全部售出；乙店同样按零售价卖出m千克，然后将n千克按零售价打九折售出，剩余的按零售价打七折全部售出，结果销售额与甲店相同．①求m与n的数量关系；②已知乙店按零售价打九折售出的数量不超过按零售价卖出的数量，那么乙店的利润能恰好为588元吗？请说明理由．【例20】（23·24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）东辉超市两次购进甲、乙两种商品进行销售，其中第一次购进乙种商品的件数比甲种商品件数的2倍多15件．(1)若第一次购进甲种商品的件数为a件，则购进乙种商品的件数为___________件．(2)已知甲种商品的进价49元，标价69元，乙种商品的进价35元，标价45元．该超市第一次用7665元购进甲、乙两种商品，且均按标价出售，问本次全部售出后共获利多少元？(3)在（2）问的条件下，该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数是第一次的2倍，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品售价不变，乙商品打折销售，第二次全部售出后获得的总利润比第一次获得的总利润多10%，求第二次乙种商品按原价打几折出售？【例21】（21·22上·延安·阶段练习）晨光文具店分两次购进一款礼品盲盒共70盒，总共花费960元，已知第一批盲盒进价为每盒15元，第二批盲盒进价为每盒12元．（利润=销售额―成本）(1)求两次分别购进礼品盲盒多少盒？(2)文具店老板计划将每盒盲盒标价20元出售，销售完第一批盲盒后，再打八折销售完第二批盲盒，按此计划该老板总共可以获得多少元利润？(3)在实际销售中，该文具店老板在以（2）中的标价20元售出一些第一批盲盒后，决定搞一场促销活动，尽快把第一批剩余的盲盒和第二批盲盒售完．老板现将标价提高到40元/盒，再推出活动：购买两盒，第一盒七五折，第二盒半价，不单盒销售．售完所有盲盒后该老板共获利润710元，按（2）中标价售出的礼品盲盒有多少盒？【强化训练】新年、新岁、岁旦、年禧、大年等，口头上又称度岁、庆岁、过年、过大年．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某水果店现推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为300元．每盒坚果礼盒的成本为250元，每个水果篮的售价比每盒坚果的售价多200元，售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润一样多．(1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价；(2)该水果店第一批购进了200个水果篮和100盒坚果礼盒，为回馈客户该水果店计划将每个水果篮打折出售，坚果礼盒原价出售，售完这批水果篮和坚果礼盒水果店共盈利15000元，按此计划每个水果篮应打几折出售？(3)在年末时，该水果店购进水果篮650个和坚果礼盒600盒，进行“新春特惠”促销活动，水果店规定，每人每次最多购买水果篮1个或坚果礼盒1盒．水果篮每个售价打九折后再参与店内“每满100元减m元”的活动，坚果礼盒每盒直接参与店内“每满100元减m元”的活动；售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有50个没办法售出．若该水果店获得的利润率为40%，求m的值．【题型八配套问题】【典型例题】【例22】（22·23七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某车间有22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉12个或螺母20个，一个螺钉要配两个螺母，要求使每天生产的产品刚好配套.(1)如果车间主任安排8人生产螺钉，其它人生产螺母，请你计算这样的安排是否符合要求？(2)如果你是车间主任，请你用列方程的办法计算出分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母才能符合要求？【例23】（22·23七年级下·上海普陀·期中）一个方桌由一张桌面与四根桌腿做成，已知一立方米木料可以做桌面50张或桌腿300根，现有5立方米木料，可恰好做成方桌多少个？【例24】（22·23七年级上·山东济宁·期末）在手工制作课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级一班共有学生50人，每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底120个．要求一个筒身配两个筒底，那么如何安排剪筒身和剪筒底人数，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套？【强化训练】1、（22·23七年级上·新疆阿克苏·期末）一套精密仪器由一个A部件和两个B部件构成，用1m3钢材可以做40个A部件或240个B部件，现在要用4m3钢材制作这种仪器．请问用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，可以恰好制成整套的仪器？2、（2022七年级上·江苏·专题练习）京华服装厂生产一批某种型号的秋装，已知每两米的某种布料可做上衣的衣身3件或衣袖5只，现计划用这种布料132米做这批秋装，则应分别用多少布料做衣身，多少布料做衣袖才能恰好配套？3、（22·23七年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）机械加工车间有22名工人，平均每人每天加工1200个小齿轮或2000个大齿轮．若已知一个小齿轮与两个大齿轮配成一套，则需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套?【题型九积分问题】【典型例题】【例27】（22·23下·中山·期中）列二元一次方程组解应用题：为“庆祝建党100周年”，中山市纪中三鑫双语学校积极开展各项活动.“学习强国知识竞赛”有20道必答题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分；3道抢答题，每一题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分.甲乙两队决赛，甲队必答题得了170分，乙队必答题只答错了1题．(1)甲队必答题答对了多少道?乙队必答题得了多少分?(2)抢答赛中，乙队抢答对了第1题，又抢到了第2题，但还没作答时，甲队啦啦队队员小黄说：“我们甲队输了!”小汪说：“小黄的话不一定对!”请你举一例说明“小黄的话”有何不对．【强化训练】1、（21·22六年级下·上海闵行·期中）在一次学校组织的知识竞赛中，根据竞赛规则：本次比赛共30 道题，每题选对了得 3 分，选错或不选倒扣 2 分，已知小明最后总计65 分，请问他共答对了多少题？2、（21·22上·武汉·阶段练习）我校积极推进“阳光体育”工程．本学期在七年级开展篮球比赛，最后有11个班进入半决赛．半决赛采用单循环的规则，每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需要进行10场比赛．比赛规则规定，每场比赛要分出胜负，胜一场积3分，负一场各1-分．若本次比赛中七（5）班胜出x 场，七（5）班比七（3）班多胜2场，请回答以下问题．(1)请用含x式子表示出七（5）班的积分．(2)请用含x式子表示出七（5）班的积分与七（3）班的积分和．(3)如果七（5）班积分七（3）班积分的5倍，则x的值为________场．3、（20·21·福州·期末）列方程解应用题：某次数学竞赛试卷只有25道选择题，做对一题得4分，做错一题扣1分，未做得0分，已知小傅同学最后一题还没来的及写就收卷了，竞赛结果公示，他最终的分数是81分，则他做对和做错各是多少道题？【题型十年龄问题】【典型例题】【例28】（21·22七年级上·全国·课时练习）小红编了一道这样的题：我是4月出生的，我的年龄的2倍加上8，正好是我出生那一月的总天数．你猜我有几岁？请你求出小红的年龄．【强化训练】【题型十一分段计费问题】【典型例题】【强化训练】1、（23·24上·东城·期中）阅读材料：为落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，本市居民用水实行阶梯水价，按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，实施细则如表：北京市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米）：【题型十二方案选择问题】【典型例题】【强化训练】1、（23·24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机，已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．(1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．(2)若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？2、（22·23七年级下·河南平顶山·开学考试）“双11”已经发展成了所有电商平台的节日，也是全民购物的节日．在“双11”期间，各大电商平台㧓起购物狂潮，某平台甲、乙、丙三个直播间的促销活动如表：【题型十三和差倍分问题】【典型例题】【例37】（23·24上·哈尔滨·阶段练习）甲队有98人，乙队有34人，为了完成某项任务，从外队调来40人支援甲、乙两队．为了使甲队的人数是乙队人数的3倍，问应调往甲、乙两队各多少人？【例38】（23·24上·宿迁·开学考试）一个两层书架，上层放的书是下层的3倍，如果把上层的书拿60本放到下层，那么两层所放的书本数相等，原来上下两层各有多少本？【例39】（22·23七年级上·新疆和田·期末）寒假临近，某旅行社准备组织“亲子一日游”活动，去周边景区徒步，报名的人数共有69人，其中成人的人数比儿童人数的2倍少3人，旅游团中成人和儿童各有多少人？【强化训练】1、（22·23七年级上·江西上饶·阶段练习）如图，依依与爸爸在下围棋，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．甲盒中都是黑子，共12个；乙盒中都是白子，共9个．依依从甲盒中拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，求a的值．2、（22·23七年级·上海·假期作业）森林水果店批发橘子和苹果两种水果，每筐苹果重50千克，每筐橘子重42千克，水果店某天卖出苹果和橘子共8筐，共重376千克，森林水果店这一天卖出苹果多少筐？3、（23·24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在甲处工作的有31人，在乙处工作的有20人，现在调来18人分别派往甲，乙两处，使在甲处工作的人数是乙处的两倍，应往甲、乙两处派去多少人？【题型十四日历问题】【典型例题】【例40】（23·24七年级上·福建福州·期中）如图是2023年11月的月历．（1）如图1，带阴影的方框是同一列的连续三个数，不改变阴影的方框的大小，可以在月历中移动方框的位置．【例41】（23·24七年级上·湖北黄冈·期中）如图，小明自己制作了2023年形框，提醒自己要“NL” （努力）学习，期中考试认真备考．框中包含7个数．(1)图中“N”形框中的7个数的和与9有什么关系？(2)将“N”形框上下左右平移，但一定要框住中，从小到大排第4个数为a，用含a(3)将“N”形框上下左右平移，设“N”形框框住的“N”形框中的7个数中最大的数，如果不能，请说明理由．②某两次在不同位置框住的n1，n2，且n1+n2=224，求n1―n2的最大值．【强化训练】1、（23·24七年级上·北京朝阳·期中）如图，将连续的偶数2，4，6，8，10，…排成一数阵，有一个能够在数阵中上下左右平移的T字架，它可以框出数阵中的五个数．(1)框出数阵中的五个数中，最大的数字为20时，求框出数阵中的五个数最小的数是多少？(2)试判断这五个数的和能否为216，若能，请求出这五个数，若不能，请说明理由．2、（23·24七年级上·河南南阳·期末）图中的数阵是由全体正奇数排成的．(1)通过计算说明，图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？(2)在图中任意作一个类似（1）中的平行四边形框，这九个数之和还有这种规律吗？请说出理由．(3)在（2）的条件下，这个平行四边形框中九个数之和能等于2016吗？若能，请求出这九个数中最小的一个；若不能，请说出理由．3、（23·24七年级上·广西南宁·期中）这是2022年某月月历，现用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：(1)十字框中的五个数的和等于____________．(2)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，设中间的数为x，请用代数式求出十字框中的五个数的和；(3)在移动十字框的过程中，若框住的五个数的和等于115，请你求出这五个数分别是多少？(4)框住的五个数的和能等于118吗？为什么？【题型十五比例分配问题】【典型例题】。
第04讲 应用一元一次方程(7类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版7年级上册
第04讲应用一元一次方程(7类热点题型讲练)1.掌握一元一次方程的应用的一般步骤；2.掌握各类应用题的列方程的方法.知识点必备公式或关系式题型01一元一次方程的应用--古代问题1．（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，求店中共有多少间房？【答案】店中共有8间房【分析】由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程求得．【详解】解：设店中共有x 间房依题意得：()7791x x +=-，解得：8x =，答：店中共有8间房．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．2．（2023·安徽马鞍山·校考一模）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣：“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’问客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗，问有多少客人？”【答案】72个【分析】设共有客人x 人，根据“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗”列出方题型02一元一次方程的应用--销售问题1．（2023春·重庆云阳·七年级校考阶段练习）云阳新世纪超市销售蓝莓，第一周的进价是每千克30元，销题型03一元一次方程的应用--方案问题例题：（2023春·河南周口·七年级校考期中）“太行分一脉，缥缈入云台”．某单位计划“五一”节组织员工到焦作云台山旅游，已知甲、乙两旅行社都提供去云台山的方案，都是每人400元．几经洽谈，甲旅行社表示给予每位旅客8.5折优惠，乙旅行社表示能免去一位旅客的费用，其余9折．(1)若参加旅游的人数为x ，则选择甲旅行社的费用为______元，选择乙旅行社的费用为______元（都用含x 的式子表示）．(2)若经过计算可知甲，乙两家旅行社的费用相同，则该单位有员工多少人?【答案】(1)340x ；()360360x -(2)该单位有员工18人【分析】（1）甲旅行社的费用为人数乘以单价，再乘以0.85；乙旅行社的费用为（人数1-）乘以单价，再乘以0.9；（2）利用甲，乙两家旅行社的费用相同，结合（1）中选择两个旅行社的费用的代数式，列方程，即可解答．【详解】（1）解：甲旅行社的费用为0.85400340x x ⨯=（元）；乙旅行社的费用为()()0.94001360360x x ⨯-=-元，故答案为：340x ；()360360x -；（2）解：由题意可得方程340360360x x =-，解得18x =，∴该单位有员工18人．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟读题意，理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键．【变式训练】（2）设甲班有x 名学生准备参加演出，共需要()405092x x +-⎡⎤⎣⎦元，可列方程()4050924080x x +-=，解方程求出x 的值及代数式92x -的值即可解答；（3）有三种方案，一是两班级单独购买，二是两班联合按准备参加演出的学生数购买，三是两班联合购买91套服装，计算出按每种方案购买分别需要多少钱，再比较三个计算结果的大小，即可得到题意的答案．【详解】（1）解：30922760⨯=（元），∴甲、乙两个班级合起来统一购买服装共需付款2760元．故答案为：2760．（2）解：设甲班有x 名学生准备参加演出，∵甲、乙两个班级共92人，其中甲班51人以上，不足55人，∴乙班少于50人，根据题意得()4050924080x x +-=，解得52x =，∴925240-=（名）．答：甲、乙两个班级分别有52名学生和40名学生准备参加演出．（3）解： 两班联合购买91套服装的费用：91302730⨯=（元）两班联合购买84套服装的费用：()928403360-⨯=（元）甲、乙单独购买的总费用：405044504200⨯+⨯=（元）∵2730元＜3360元＜4200元，∴甲、乙两班联合购买91套演出服装比最省钱．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识点，正确地用代数式表示甲、乙两班单独购买时所需要的总钱数及两班联合购买时所需要的总钱数是解题的关键．题型04一元一次方程的应用--配套问题例题：（2023秋·江苏·七年级专题练习）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个．(1)该车间有男生、女生各多少人？(2)已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？【答案】(1)该车间有男生18人，则女生人数是26人(2)分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母【分析】（1）设该车间有男生x 人，则女生人数是(210)x -人，根据“男生人数+女生人数＝44”列出方程并解答；（2）首先设应分配y 名工人生产螺丝，(44)y -名工人生产螺母，根据题意可得等量关系：螺丝数量2⨯=螺母数量，根据等量关系列出方程，再解即可．x-人，则【详解】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是(210)x x+-=．(210)44x=解得18x-=．则21026答：该车间有男生18人，则女生人数是26人．（2）设应分配y名工人生产螺丝，(44)y-名工人生产螺母，由题意得：120(44)502-=⨯y yy=，解得：24y-=4420答：分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．【变式训练】52∴-=，x\´=，350150答：用3立方米木料制作桌面，用2立方米木料制作桌腿，恰好配成方桌150张．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键．题型05一元一次方程的应用--工程问题1．（2022秋·安徽淮北·七年级统考期末）柳孜隋唐大运河遗址是我市的一张文化名片，为打造古运河风光带，现有一段长为280米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治10米，两个工程队共用时25天．求A工程队整治河道多少米？【答案】设A工程队整治河道180米【分析】设A工程队整治河道x米，根据两个工程队共用时25天即可建立一元一次方程求解．题型06一元一次方程的应用--行程问题-，点B表示的有理数为6．点例题：（2023秋·湖北·七年级校考周测）如图，在数轴上点A表示的有理数为6→→运动，同时，点Q从点B出发以每秒1个单位长度P从点A出发以每秒2个单位长度的速度由A B A→运动，当点Q到达点A时,P Q两点停止运动，设运动时间为t（单位：秒）．的速度由B A(1)求点P与点Q第一次重合时的t=________(2)当t=________，点P表示的有理数与点Q表示的有理数距离是3个单位长度．【答案】(1)4(2)3，5，9【分析】（1）根据题意可以列出相遇关于t的方程，从而可以求得t的值；（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．--÷+【详解】（1）[6(6)](12)=+÷(66)3=÷1234=，答：点P与点Q第一次重合时的t值为4；（2）点P和点Q第一相遇前，+=---，(12)[6(6)]3tt=；解得，3当点P和点Q相遇后，点P到达点B前，+=--+，(12)[6(6)]3tt=；解得，5当点P从点B向点A运动时，-=---，t t32[6(6)]t=；解得，9由上可得，当t的值为3，5，9时，点P表示的有理数与点Q表示的有理数距离是3个单位长度．【点睛】本题考查数轴、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的解答．【变式训练】(1)A B、两点间的距离是___________；(2)现在有一只电子蚂蚁P从点B出发时，题型07一元一次方程的应用--电费和水费问题例题：（2023秋·安徽六安·七年级阶段练习）电信公司推出两种移动电话计费方法：方法A ：免收月租费，按每分钟0.5元收通话费；方法B ：每月收取月租费30元，再按每分钟0.2元收通话费．现在设通话时间是x 分钟．(1)请分别用含x 的代数式表示计费方法A 、B 的通话费用．(2)用计费方法A 的用户一个月累计通话150分钟所需的话费，若改用计费方法B ，则可通话多少分钟？(3)当通话多少分钟时，两种计费方法产生的费用相差15元？【答案】(1)方法A 通话x 分钟的费用为0.5x 元；方法B 通话x 分钟的费用为(300.2)x +元(2)改用计费方法B ，可通话225分钟(3)150分或50分【分析】（1）根据计费方法A 、B 表示出通话费用即可；（2）根据计费方法A 、B 列方程求出出通话费用即可；（3）根据题意，分两种情况列出方程，求出方程的解即可得到结果；【详解】（1）解：由题意可得：方法A ：0.5x ，方法B ：300.2x +；（2）方法A 通话150分钟所需的话费=0.5150⨯，依题意得：300.20.5150x +=⨯，解得：225x =，答：改用计费方法B ，则可通话225分钟；（3）由题意得，|0.5(0.230)|15x x -+=，解得：150x =或50x =答：当通话时间150分或50分时，两种计费方法产生的费用相差15元．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．【变式训练】A．60人B．61人【答案】D【分析】设七年级三个班级共有【答案】6或3【分析】画出对应数轴，设点C 由题意得：AC A C BC A B''==+由题意得：AC A C BC A B''==-093x x ∴-=--解得：3x =故点C 表示的数是6或3故答案为：6或3【点睛】本题考查了一元一次方程、数轴上两点之间的距离．分类讨论是解题关键．(2)240【分析】（1）根据总价=单价⨯数量，结合阶梯电价收费标准，列式进行计算即可得到答案；（2）设该户12月用电量为x 度，根据题意列出方程()1800.51800.6126x ⨯+-⨯=，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：根据题意得：()1800.52001800.69012102⨯+-⨯=+=（元），∴该市某户12月用电量为200度，该户应交电费102元，故答案为：102；（2）解：设该户12月用电量为x 度，1800.590126⨯=< ，180x ∴>，()1800.51800.6126x ∴⨯+-⨯=，解得：240x =，∴该户12月用电量为240度．【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出算式以及一元一次方程是解此题的关键．14．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）东辉超市两次购进甲、乙两种商品进行销售，其中第一次购进乙种商品的件数比甲种商品件数的2倍多15件．(1)若第一次购进甲种商品的件数为a 件，则购进乙种商品的件数为___________件．(2)已知甲种商品的进价49元，标价69元，乙种商品的进价35元，标价45元．该超市第一次用7665元购进甲、乙两种商品，且均按标价出售，问本次全部售出后共获利多少元？(3)在（2）问的条件下，该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数是第一次的2倍，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品售价不变，乙商品打折销售，第二次全部售出后获得的总利润比第一次获得的总利润多10%，求第二次乙种商品按原价打几折出售？【答案】(1)()215a +(2)2550元(3)八折【分析】（1）根据题意，用运算表示数量间关系，列代数式；（2）明确等量关系：甲商品总进价+乙商品总进价=7665元，列一元一次方程求解，进而求出利润；（3）明确等量关系：第二次总利润-第一次总利润2550(110%)=⨯+，列一元一次方程求解；【详解】（1）()215a +（2）解：根据题意得()49352157665a a ++=，解得60a =，215135a +=（件），【答案】（1）7248360x x +=；（2）7248360y y -=【分析】（1）根据图①解析图列方程；（2）根据图②解析图列方程；【详解】解：（1）根据图①列方程得：7248360x x +=；（2）根据图②列方程得：7248360y y -=；答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共12或13件．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．17．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）篝火晚会，学年统一为各班准备了发光手环，每名同学一个，1班有50人，2班有48人，考虑到发光手环易坏，学年又额外给1班、2班共18个手环．(1)要使1班、2班的手环数一样多，请问应额外给1班多少个手环？(2)为营造氛围，各班还需要集体购买发光头饰．姜经理看到商机，准备寻找进货途径．他在甲、乙两个批发商处，发现了同款高端发光头饰，均标价20元甲说：“如果你在我这里买，一律九折”，乙说：“如果你在我这里买，超出40个，则超出部分一律八折”（每次只能在一个批发商处进货）．①请问购进多少个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多？②姜经理第一次购进60个发光头饰，正好全部售出．第二次购进的数量比第一次的3倍还多20个．两次均以最优惠的方式购进．如果第一次的总售价为1150元，且两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%，则第二次每个发光头饰的售价为多少元？【答案】(1)8(2)①80，②22【分析】（1）先设出应额外给1班x 个手环，然后根据题意列出一元一次方程求解即可；（2）①设未知数，根据题意列出一元一次方程进行求解即可；②由①可得当进购数量少于80时，选择甲进货商，当进购数量多于80时，选择乙进货商，再根据两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%列出一元一次方程即可．【详解】（1）解：设应额外给1班x 个手环，则额外给2班()18x -个手环，∵要使1班、2班的手环数一样多，∴()504818x x +=+-，解得：8x =，所以应额外给1班8个手环；（2）解：①设购进y 个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多，对于甲批发商处进货价为：()200.9y ⨯元，对于乙批发商处进货价为：()402040200.8y ⨯+-⨯⨯⎡⎤⎣⎦元，∵去两个批发商处的进货价一样多，∴()200.9402040200.8y y ⨯=⨯+-⨯⨯，解得：80y =，所以购进80个发光头饰时，去两个批发商处的进货价一样多；②设第二次每个发光头饰的售价为z 元时两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%，(1)填空：=a 、b =、c =、d =；(2)若线段AB 以3个单位/秒的速度向右匀速运动，同时线段时间为t 秒，AB 、两点都运动在CD 上(不与(3)在（2）的条件下，线段AB ，线段CD 继续运动，当点3BC AD =若存在，求t 得值；若不存在，说明理由．【答案】(1)8-，6-，12，16。
(完整版)一元一次方程经典题型(可编辑修改word版)
4 一元一次方程经典题型1.以y 为未知数的方程2ay = 5c (a ≠ 0, b≠ 0)的解是（）bA.y =10bca B.y =2bc5c C.y =5bc2aD.y =10bcc2.要使5m +1与⎛+1 ⎫互为相反数，那么m 的值是（）5 m ⎪4 ⎝⎭A.0B.320C.120D.-3203.已知4x 2n-3+ 5 = 0 是关于x 的一元一次方程，则n =. 4．若9a x b7与- 7a3x-4b 2y-1是同类项，则x =, y =.5．若- 2 是关于x 的方程3x + 4 =x-a 的解，则a100-21=.a1006、若关于x 的方程mx m-2-m + 3 = 0 是一元一次方程，则这个方程的解是.6、已知：1-(3m-5)2有最大值，则方程5m - 4 = 3x + 2 的解是.7、方程4x - 5 y= 6, 用含x 的代数式表示y 得，用含y 的代数式表示x 得。
2x 0.25 -0.1x3、解方程+= 0.1时，把分母化为整数，得。
0.03 0.022、方程2 -3(x +1) = 0 的解与关于x 的方程7．0.5x - 0.1+ 2x = 2.0.2k +x2-3k - 2 = 2x 的解互为倒数，求k 的值。
6.3.1从实际问题到方程一、本课重点，请你理一理列方程解应用题的一般步骤是：（1）“找”：看清题意，分析题中及其关系，找出用来列方程的；（2）“设”：用字母（例如x）表示问题的；（3）“列”：用字母的代数式表示相关的量，根据列出方程；（4）“解”：解方程；（5）“验”：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案；（6）“答”：答出题目中所问的问题。
二、基础题，请你做一做1.已知矩形的周长为20 厘米，设长为x 厘米，则宽为（）.A. 20-xB. 10-xC. 10-2xD. 20-2x2.学生a 人，以每10 人为一组，其中有两组各少1 人，则学生共有（）组.A. 10a－2B. 10－2aC. 10－(2－a)D.(10+2)/a三、综合题，请你试一试1.在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是13 岁.就问同学：“我今年45 岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?”2.小明的爸爸三年前为小明存了一份3000 元的教育储蓄.今年到期时取出，得到的本息和为3243 元,请你帮小明算一算这种储蓄的年利率.3.小赵去商店买练习本，回来后问同学：“店主告诉我，如果多买一些就给我八折优惠．我就买了20 本，结果便宜了1.60 元．”你能列出方程吗？四、易错题，请你想一想1.建筑工人浇水泥柱时，要把钢筋折弯成正方形.若每个正方形的面积为400 平方厘米，应选择下列表中的哪种型号的钢筋？思路点拨：解出方程有两个值，必须进行检查求得的值是否Array正确和符合实际情形，因为钢筋的长为正数，所以取x=80，故应选折C 型钢筋.2.你在作业中有错误吗？请记录下来，并分析错误原因.6.3.2行程问题一、本课重点，请你理一理1.基本关系式：;2.基本类型：相遇问题; 相距问题; ;3.基本分析方法：画示意图分析题意，分清速度及时间，找等量关系（路程分成几部分）.4.航行问题的数量关系：（1）顺流（风）航行的路程=逆流（风）航行的路程（2）顺水（风）速度=逆水（风）速度=二、基础题，请你做一做1、甲的速度是每小时行4 千米，则他x 小时行（）千米.2、乙3 小时走了x 千米，则他的速度是（）.3、甲每小时行4 千米，乙每小时行5 千米，则甲、乙一小时共行（）千米，y 小时共行（）千米.4、某一段路程x 千米，如果火车以49 千米/时的速度行驶，那么火车行完全程需要（）小时.三、综合题，请你试一试1.甲、乙两地路程为 180 千米，一人骑自行车从甲地出发每时走 15 千米，另一人骑摩托车从乙地出发，已知摩托车速度是自行车速度的 3 倍，若两人同时出发，相向而行，问经过多少时间两人相遇？2.甲、乙两地路程为180 千米，一人骑自行车从甲地出发每时走15 千米，另一人骑摩托车从乙地出发，已知摩托车速度是自行车速度的3 倍，若两人同向而行，骑自行车在先且先出发2 小时，问摩托车经过多少时间追上自行车？3.一架直升机在A，B两个城市之间飞行，顺风飞行需要4 小时，逆风飞行需要5 小时.如果已知风速为30km/h，求A，B 两个城市之间的距离.四、易错题，请你想一想1.甲、乙两人都以不变速度在400 米的环形跑道上跑步，两人在同一地方同时出发同向而行，甲的速度为100 米/分乙的速度是甲速度的3/2 倍，问（1）经过多少时间后两人首次遇（2）第二次相遇呢？思路点拨：此题是关于行程问题中的同向而行类型。
(完整版)一元一次方程经典题型
一元一次方程经典题型1．以y 为未知数的方程c bay 52=()0,0≠≠b a 的解是 （ ） A ．a bc y 10= B ．c bc y 52= C ．a bc y 25= D ．cbc y 10= 2．要使415+m 与⎪⎭⎫ ⎝⎛+415m 互为相反数，那么m 的值是 （ ） A ．0 B ．203 C ．201 D ．203- 3.已知05432=+-n x 是关于x 的一元一次方程，则.____________=n4．若79b a x 与12437---y x b a 是同类项，则.___________,__________==y x5．若2-是关于x 的方程a x x -=+243的解，则._________1100100=-a a 6、若关于x 的方程230m mx m --+=是一元一次方程，则这个方程的解是 .6、已知：()2135m --有最大值，则方程5432m x -=+的解是 .7、方程456,x y -=用含x 的代数式表示y 得 ，用含y 的代数式表示x 得 。
3、解方程20.250.1x 0.10.030.02x -+=时，把分母化为整数，得 。
2、方程23(1)0x -+=的解与关于x 的方程3222k x k x +--=的解互为倒数，求k 的值 。
7．.222.01.05.0=+-x x6.3.1从实际问题到方程一、本课重点，请你理一理列方程解应用题的一般步骤是：（1）“找”：看清题意，分析题中及其关系，找出用来列方程的____________；（2）“设”：用字母（例如x ）表示问题的_______；（3）“列”：用字母的代数式表示相关的量，根据__________列出方程；（4）“解”：解方程；（5）“验”：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案；（6）“答”：答出题目中所问的问题。
二、基础题，请你做一做1. 已知矩形的周长为20厘米，设长为x 厘米，则宽为（ ）.A. 20-xB. 10-xC. 10-2xD. 20-2x2.学生a 人，以每10人为一组，其中有两组各少1人，则学生共有（ ）组.A. 10a －2B. 10－2aC. 10－(2－a)D.(10+2)/a1. 在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是13岁.就问同学：“我今年45岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?”2. 小明的爸爸三年前为小明存了一份3000元的教育储蓄.今年到期时取出，得到的本息和为3243元,请你帮小明算一算这种储蓄的年利率.3.小赵去商店买练习本，回来后问同学：“店主告诉我，如果多买一些就给我八折优惠．我就买了20本，结果便宜了1.60元．”你能列出方程吗？四、易错题，请你想一想1.建筑工人浇水泥柱时，要把钢筋折弯成正方形.若每个正方形的面积为400平方厘米，应选择下列表中的哪种型号的钢筋？思路点拨：解出方程有两个值，必须进行检查求得的值是否正Array确和符合实际情形，因为钢筋的长为正数，所以取x=80，故应选折C型钢筋.2.你在作业中有错误吗？请记录下来，并分析错误原因.6.3.2 行程问题一、本课重点，请你理一理1.基本关系式：_________________ __________________ ;2.基本类型：相遇问题; 相距问题; ____________ ;3.基本分析方法：画示意图分析题意，分清速度及时间，找等量关系（路程分成几部分）.4.航行问题的数量关系：（1）顺流（风）航行的路程=逆流（风）航行的路程（2）顺水（风）速度=_________________________逆水（风）速度=_________________________二、基础题，请你做一做1、甲的速度是每小时行4千米，则他x小时行（）千米.2、乙3小时走了x千米，则他的速度是（）.3、甲每小时行4千米，乙每小时行5千米，则甲、乙一小时共行（）千米，y小时共行（）千米.4、某一段路程x 千米，如果火车以49千米/时的速度行驶，那么火车行完全程需要（）小时.三、综合题，请你试一试1.甲、乙两地路程为180千米，一人骑自行车从甲地出发每时走15千米，另一人骑摩托车从乙地出发，已知摩托车速度是自行车速度的3倍，若两人同时出发，相向而行，问经过多少时间两人相遇？2. 甲、乙两地路程为180千米，一人骑自行车从甲地出发每时走15千米，另一人骑摩托车从乙地出发，已知摩托车速度是自行车速度的3倍，若两人同向而行，骑自行车在先且先出发2小时，问摩托车经过多少时间追上自行车？3．一架直升机在A，B两个城市之间飞行，顺风飞行需要4小时，逆风飞行需要5小时.如果已知风速为30km/h，求A，B两个城市之间的距离.四、易错题，请你想一想1.甲、乙两人都以不变速度在400米的环形跑道上跑步，两人在同一地方同时出发同向而行，甲的速度为100米/分乙的速度是甲速度的3/2倍，问（1）经过多少时间后两人首次遇（2）第二次相遇呢？思路点拨：此题是关于行程问题中的同向而行类型。
(完整)七年级解一元一次方程经典50道练习题(带答案)
自我测试 60分钟看看准确率 牛刀小试 相信自己一定行1、712＝＋x ；2、825＝－x ；3、7233＋＝＋x x ；4、735－＝＋x x ；解：（移项）（合并）（化系数为1）5、914211－＝－x x ；6、2749＋＝－x x ；7、162＝＋x ；8、9310＝－x ；解：（移项）（合并）（化系数为1）9、x x －＝－324； 10、4227－＝＋－x x ；11、8725＋＝－x x ；12、32141＋＝－x x 解：（移项）（合并）（化系数为113、1623＋＝x x 14、253231＋＝－x x ；15、152＋＝－－x x ； 16、23312＋＝－－x x 解：（移项）（合并）（化系数为1）.17、 475.0＝）＋＋（x x ； 18、2－41）＝－（x ； 19、511）＝－（x ； 20、212）＝－－－（x ； 解：（去括号）（移项）（合并）（化系数为1）21、)12(5111＋＝＋x x ； 22、32034）＝－（－x x . 23、5058＝）－＋（x ； 24、293）＝－（x ； 解：（去括号）（移项）（合并）（化系数为1）25、3－243）＝＋（x ； 26、2－122）＝－（x ； 27、443212＋）＝－（x x ； 28、323236）＝＋（－x ； 解：（去括号）（移项）（合并） （化系数为1）29、x x 2570152002＋）＝－（； 30、12123）＝＋（x .31、452x x ＝＋； 32、3423＋＝－x x ； 解：（去分母）（去括号）（移项）（合并）（化系数为1）33、）－（）＝＋（3271131x x ； 34、）－（）＝＋（131141x x ； 35、142312－＋＝－x x ； 解：（去分母）（去括号）（移项）（合并）（化系数为136、）＋（－）＝－（2512121x x . 37、）＋（）＝＋（20411471x x ； 38、）－（－）＝＋（731211551x x . 解：（去分母）（去括号）（移项）（合并）（化系数为139、432141＝－x ； 40、83457＝－x ； 41、815612＋＝－x x ； 42、629721－＝－x x ； 解：（去分母）（去括号）（移项）（合并）（化系数为143、1232151）＝－（－x x ； 44、1615312＝－－＋x x ； 45、x x 2414271－）＝＋（； 解：（去分母）（去括号）（移项）（合并）（化系数为146、259300300102200103 ）＝－（）－＋（x x . 47、307221159138）＝－（）－－（）－－（x x x ； 解：（去分母）（去括号）（移项）（合并）（化系数为148、51413121－＝＋x x ； 49、13.021.02.015.0＝－＋－－x x ； 50、3.01－x －5.02＋x ＝12. 解：（化整）（去分母）（去括号）（移项）（合并）（化系数为1【参考答案】1、【答案】 （1）3＝x ； （2）2＝x ； （3）4＝x ； （4）6＝x ；（5）37＝x ； （6）12＝－x ； （7）4＝x ； （8）32＝－x . 1.1、【答案】 （9）25＝－x ； （10）56＝x ； （11）5＝－x ； （12）31＝－x ； （13）1＝x ； （14）32＝x ； （15）35＝－x ； （16）1＝x . 2、【答案】（17）1＝x ；（18）1＝－x ； （19）56＝x ； （20）3＝－x ； （21）4＝x ； （22）9＝x .2.1、【答案】（23）7＝－x ； （24）23＝－x ； （25）11＝－x ； （26）4＝－x ； （27）21＝x ； （28）910＝x ； （29）6＝x ； （30）23＝x . 3、【答案】 （31）8＝x ； （32）51＝x ； （33）16＝－x ； （34）7＝x ； （35）52＝－x ； （36）3＝x ； （37）28＝－x ； （38）165＝－x .3.1、【答案】 （39）5＝x ； （40）1413＝x ； （41）1＝－x ； （42）320＝－x ； （43）1225＝x ； （44）3＝－x ； （45）87＝x ； （46）216＝x .4、【答案】 （47）3＝x ； （48）1532＝－x ； （49）1364＝x ； （50）229＝x .。
期末复习重要考点03 《一元一次方程》十大考点题型(热点题型+限时测评)(原卷版)
（人教版）七年级上册数学期末复习重要考点03《一元一次方程》十大重要考点题型【题型1方程的有关概念】1．（2022秋•新城区校级期末）下列各式中：①x＝0；②2x＞3；③x2+x﹣2＝0；④1+2=0；⑤3x﹣2；⑥x﹣y＝0；是方程的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2．（2023秋•贵州期末）下列各式中是一元一次方程的是（）A．x+y＝6B．x2+2x＝5C．+1=0D．2+3=0 3．（2022秋•古冶区期末）方程：①2x﹣1＝x﹣7，②12=13−1，③2（x+5）＝x﹣4，④23=+2，其中解为x＝﹣6的方程的个数为（）A．1B．2C．3D．44．（2022秋•琼海期末）已知方程（m﹣3）x|m|﹣2＝18是关于x的一元一次方程，则m的值是（）A．2B．3C．±3D．﹣35．（2022秋•花山区期末）当m＝时，方程（m﹣3）x|m﹣2|+m﹣3＝0是一元一次方程．6．（2023秋•曾都区期中）若方程（m2﹣1）x2﹣（m﹣1）x+2＝0是关于x的一元一次方程，则代数式|m ﹣1|的值为．7．（2023春•黄浦区期中）已知：（a+2b）y2−13K13=3是关于y的一元一次方程．（1）求a、b的值；（2）若x＝a是方程r26−K12+3＝x−K3的解，求|a﹣b﹣2|﹣|b﹣m|的值．【题型2等式的基本性质】1．（2023秋•洮北区期末）将等式m＝n变形错误的是（）A．m+5＝n+5B．−7=−7C．m−12=n−12D．﹣2m＝2n2．（2022秋•琼海期末）下列运用等式的性质，变形不正确的是（）A．若x＝y，则x+5＝y+5B．若a＝b，则ac＝bcC．若x＝y，则=D．若=（c≠0），则a＝b3．（2023秋•新民市校级月考）下列等式变形不正确的是（）A．由x＝y，得到x+3＝y+3B．由3a＝b，得到2a＝b﹣aC．由m＝n，得到4m＝4n D．由bm＝bn，得到m＝n4．（2022秋•五华县期末）下列等式变形中，结果正确的是（）A．如果a＝b，那么a﹣m＝b+mB．由﹣3x＝2得x=−32C．如果|a|＝|b|，那么a＝bD．如果=，那么a＝b5．（2022秋•保亭县期末）下列式子变形中，正确的是（）A．由6+x＝10得x＝10+6B．由3x+5＝4x得3x﹣4x＝﹣5C．由5x＝5得x＝5D．由2（x﹣1）＝3得2x﹣1＝36．（2022秋•广平县期末）等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（）A．如果a＝b，那么ac＝bcB．如果a＝b，那么=（c≠0）C．如果a＝b，那么a+c＝b+cD．如果a＝b，那么a2＝b27．（2022秋•颍州区期末）若a＝b，则下列等式：①﹣a＝﹣b；②2﹣a＝2﹣b；③=；④a2＝b2；⑤=1．其中正确的有．（填序号）【题型3一元一次方程的解法】1．（2023春•蒸湘区校级期末）解方程3=1−K15时，去分母正确的是（）A．5x＝1﹣3（x﹣1）B．x＝1﹣（3x﹣1）C．5x＝15﹣3（x﹣1）D．5x＝3﹣3（x﹣1）2．（2022秋•唐县期末）下列解方程的步骤中正确的是（）A．由x﹣5＝7，可得x＝7﹣5B．由8﹣2（3x+1）＝x，可得8﹣6x﹣2＝xC．由16x＝﹣1，可得x=−16D．由K12=4−3，可得2（x﹣1）＝x﹣33．（2022秋•广州期末）将方程0.3=1+1.2−0.30.2中分母化为整数，正确的是（）A．103=10+12−32B．3=10+1.2−0.30.2C．103=1+12−32D．3=1+1.2−0.324．（2022秋•丹阳市期末）关于x的一元一次方程2021−2022=2023的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程K20212021+2023(2021−p=2022的解为．5．（2022秋•张湾区期末）解方程：（1）1−2K16=2r13；（2）3x﹣7（x﹣1）＝3﹣2（x﹣1）．6．（2023秋•鼓楼区校级月考）解方程：（1）4x+1＝﹣5x+10；（2）K12=r76+1．7．（2023秋•姑苏区校级月考）解方程：（1）2（x+3）＝5x；（2）K30.5−r40.2=1.6．8．（2022秋•中宁县期末）解方程：2K15−r12=1解：去分母，得2（2x﹣1）﹣5（x+1）＝10……①去括号，得4x﹣2﹣5x+5＝10……②移项，合并同类项，得﹣x＝13……③系数化为1，得x＝﹣13……④（1）步骤①去分母的依据是；（2）上面计算步骤出错的是第步，错误的原因是；（3）请你写出这个方程正确的解法．【题型4方程解中的遮挡问题】1．有一方程＝﹣1，其中一个数字被污渍盖住了．已知该方程的解为x＝﹣1，那么处的数字应是（）A．5B．﹣5C．12D．−122．（2023秋•洮北区期末）方程﹣3（★﹣9）＝5x﹣1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是（）A．1B．2C．3D．43．（2022秋•太原期末）方程2x+▲＝3x，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x＝2，那么▲处的常数是．4．（2022秋•馆陶县期末）方程5y﹣7＝2y﹣中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是y＝﹣1．这个常数应是（）A．10B．4C．﹣4D．﹣105．（2022秋•隆化县期末）小马虎在做作业，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了．怎么办？他翻开书后的答案，发现方程的解是x＝9．请问这个被污染的常数是（）A．1B．2C．3D．46．（2022秋•临猗县期末）小明在解方程时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y−12=12y﹣■，怎么办呢？小明想了一想，便翻了书后的答案，此方程的解为y＝3，他很快便补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是（）A．﹣2B．3C．﹣4D．5 7．（2022秋•威县期末）嘉淇在解关于x的一元二次方程2K13+■=r34时，发现常数■被污染了；（1）嘉淇猜■是﹣1，请解一元一次方程2K13−1=r34．（2）老师告诉嘉淇这个方程的解为x＝﹣7，求被污染的常数．8．（2022春•西峡县期中）同学们在做解方程的练习时，卷子上有一个方程“2x−12=18x+□”中“□”没印清晰，小梅问老师，老师只说：“□是一个常数；该方程的解与当y＝3时代数式5（y﹣1）﹣2（y﹣2）﹣4的值相同”．聪明的小梅很快补上了这个常数．求小梅补上的这个常数是多少？【题型5求一元一次方程含参问题】1．（2022秋•洪山区校级期末）已知关于x的方程2x+a﹣5＝0的解是x＝2，则a的值为（）A．a＝3B．a＝1C．a＝2D．a＝﹣1 2．（2022秋•庆阳期末）小磊在解关于x的方程r43−r4=2时，求得的解为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1B．﹣3C．1D．53．（2022春•镇平县期中）若关于x的方程3（x+4）＝2a+5的解大于关于x的方程(4r1)4=o3K4)3的解，试确定a的取值范围．4．（2023秋•椒江区校级期中）若不论k取什么实数，关于x的方程2B+3=2+KB6（m，n是常数）的解总是x＝1，求m+n的值．5．（2022秋•秦都区校级期末）若方程2（3x+1）＝1+2x的解与关于x的方程6−23=2（x+3）的解互为倒数，求k的值．6．（2022秋•游仙区校级月考）如果关于x的方程2（x﹣4）﹣48＝﹣3（x+2）的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解互为相反数，求2a2﹣a的值．7．（2022秋•如东县期中）已知关于x的方程12（1﹣x）＝1﹣k的解与3r4−5K18=1的解相同，求k的值．8．（2022秋•石景山区校级期末）已知关于x的方程中，12x﹣a＝0的解比a+8x＝2+4x的解大1，求a的值．【题型6利用一元一次方程解决错解问题】1．（2023春•叙州区期末）小红在解关于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2时，误将方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解为x＝1，则原方程的解为．2．（2022秋•献县期末）小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，则原方程的解为．3．（2022秋•陇县期末）小明在解方程2K13=r3−1去分母时，方程右边的﹣1没有乘3，因而求得的解为x＝2，则原方程的解为（）A．x＝0B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣24．（2023秋•道里区校级期中）某同学在解方程2K13=r2−1去分母时，方程右边的﹣1没有乘以6，因而求得方程的解为x＝2，求a的值和方程正确的解．5．（2022秋•丰顺县校级月考）（1）已知关于x的方程2（x﹣1）＝﹣3a﹣6的解与方程2x+3＝﹣1的解互为倒数，求a2020的值．（2）小马虎在解关于x的方程2x＝ax﹣21时，出现了一个失误：“在将ax移到方程的左边时，忘记了变号．”结果他得到方程的解为x＝﹣3，求a的值和原方程的解．6．小王在解关于x的方程3a﹣2x＝15时，误将﹣2x看作2x，得方程的解x＝3，（1）求a的值；（2）求此方程正确的解；（3）若当y＝a时，代数式my3+ny+1的值为5，求当y＝﹣a时，代数式my3+ny+1的值．【题型7一元一次方程的整数解问题】1．（2023秋•西城区校级期中）若关于x的一元一次方程kx＝x+3的解为正整数，则整数k的值为（）A．2B．4C．0或2D．2或42．（2022秋•南充期末）已知a为自然数，关于x的一元一次方程6x＝ax+6的解也是自然数，则满足条件的自然数a共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．（2022秋•九龙坡区校级期末）若关于x的方程−2−B6=r13的解是整数解，m是整数，则所有m的值加起来为（）A．﹣5B．﹣16C．﹣24D．184．（2022秋•九龙坡区校级期末）已知关于x的方程a（x+1）＝a﹣2（x﹣2）的解都是正整数，则整数a 的所有可能的取值的积为（）A．﹣12B．1C．8D．05．（2022•灌云县校级模拟）已知关于x的方程16ax+32=5K26的解是正整数，求正整数a的值，并求出此时方程的解．6．（2022秋•广州期中）已知关于x的一元一次方程ax+52=8x−32−ax，a≠4．（1）若该方程的解与方程x+1＝2（2x﹣7）的解互为相反数，求a的值；（2）若a为非零整数，且该方程的解为正整数，求a的值．【题型8一元一次方程中的新定义问题】1．（2022秋•东莞市校级期中）定义一种新运算“a⊕b”：a⊕b＝2a﹣b2，若c⊕1＝15，则c的值为（）A．17B．13C．7D．82．（2023秋•工业园区校级期中）现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足a*b=3−，≥−3，＜，譬如5*3＝3×5﹣3＝12，12∗1=12−3×1=−52，若有理数x满足x*3＝12，则x的值为（）A．4B．5C．21D．5或213．（2022秋•赤峰期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{3，﹣6}＝3．则方程max{x，﹣x}＝﹣5x+6的解为（）A．x＝1B．x=32C．x＝1或32D．x=−324．（2022秋•滨湖区期末）定义一种新运算：a⊕b＝2a+b，a※b＝a2b，则方程（x+1）⊕2＝（3※x）﹣2的解是（）A．=52B．x＝﹣1C．=67D．x＝25．（2022秋•罗湖区期末）定义一种新的运算“⊗”，它的运算法则为：当a、b为有理数时，a⊗=13−14，比如：6⊗4=13×6−14×4=1，则方程x⊗2＝1⊗x的解为x＝．6．（2022秋•霍邱县期末）我们规定：若关于x的一元一次方程a+x＝b（a≠0）的解为=，则称该方程为“商解方程”．例如：2+x＝4的解为x＝2且2=42，则方程2+x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：（1）判断3+x＝5是不是“商解方程”．（2）若关于x的一元一次方程6+x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．7．（2023春•鲤城区校级期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”．（1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否互为“美好方程”；（2）若关于x方程12023−1=0与12023+1=3+是“美好方程”，求关于y的方程12023(+ 2)+1=3++6的解．8．（2023秋•天长市期中）定义：关于x的方程ax﹣b＝0与方程bx﹣a＝0（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程2x﹣1＝0与方程x﹣2＝0互为“反对方程”．（1）若关于x的方程4x﹣3＝0与方程3x﹣c＝0互为“反对方程”，则c＝4．（2）若关于x的方程4x+3m+1＝0与方程5x﹣n+2＝0互为“反对方程”，求m÷n的值．（3）若关于x的方程3x﹣c＝0与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值．【题型9解含绝对值的一元一次方程】1．（2021春•井研县期末）方程|2x+1|＝5的解是（）A．2B．﹣3C．±2D．2或﹣3 2．（2022秋•开江县校级期末）解方程|1−2|=3，则x＝．3．（2022春•南召县月考）若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x−12|＝1，则m的值是（）A．14或134B．14C．54D．−12或544．解下列方程：（1）|2K35|=12−1；（2）|K13|−=1．5．已知x＝﹣3是方程|2x﹣1|﹣3|m|＝﹣1的解，求代数式3m2﹣m﹣1的值．6．阅读下列例题，并按要求回答问题：例：解方程|2x|＝1．解：①当2x≥0时，2x＝1，解得x=12；②当2x＜0时，﹣2x＝1，解得x=−12．所以原方程的解是x=12或x=−12．（1）以上解方程的方法采用的数学思想是．（2）请你模仿上面例题的解法，解方程：|2x﹣1|＝5．7．知识回顾：若|x|＝2，则x＝±2，所以若已知非零有理数a的绝对值，则a有两个值，一个正数，一个负数．阅读材料：解方程|x+3|＝2．解：当x+3为正数时，x+3＝2，解得x＝﹣1；当x+3为负数时，x+3＝﹣2，解得x＝﹣5．所以原方程的解是x＝﹣1或x＝﹣5．解决问题：（1）解方程：|2x﹣1|﹣3＝0；（2）若方程|x﹣3|＝1的解也是方程2x+n＝3x+4的解，求n的值．【题型10实际问题与一元一次方程】1．（2022秋•铜仁市期末）我县为了美化城市采取了多项措施，如对城区主干道进行绿化．现计划把某一段公路的一侧全部栽上银杏树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔8米栽1棵，则树苗缺16棵；如果每隔9米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（）A．8（x+16﹣1）＝9（x﹣1）B．8（x+16）＝9（x﹣1）C．8（x+16﹣1）＝9x D．8（x+16）＝92．（2023•荔湾区校级二模）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗，设清酒有x斗，那么可列方程为（）A．3x+10（5﹣x）＝30B．3+30−10=5C．10+30−3=5D．10x+3（5﹣x）＝303．（2022秋•滕州市期末）某单位要从商场购入A、B两种物品，预计需要花费620元，其中A种物品每件4元，B种物品每件10元，且购买A种物品的数量比B种物品的2倍还多20件．（1）求购买A、B两种物品各多少件？（2）实际购买时正赶上商场搞促销活动，A种物品按8折销售，B种物品按9折销售，则该单位此次购买可以省多少钱？4．（2022秋•单县期末）某校开展校园艺术节系列活动，派张老师到文体商店购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与张老师的对话内容，解答下列问题．商店老板：如果你再多买一个，就可以全部打八五折，花费比现在还省17元！张老师：那就多买一个吧，谢谢！（1）求张老师原计划购买多少个文具袋？（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次该商店老板全部给予八折优惠，合计272元．求张老师购买的钢笔和签字笔各有多少支？5．（2022秋•蕉城区校级期末）为鼓励市民节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：每户居民每月用水不超过10立方米的按每立方米2.6元计费；超过10立方米的部分按每立方米3.5元计费：（1）若每月用水量为16立方米，需交水费多少元？（2）设每月用水为n立方米（n＞10），用含有n的代数式表示每月的水费．（3）小颖家11月份共交水费33元，请问她家11月共用水多少立方米？6．（2023秋•双辽市期末）有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名师傅去粉刷8个房间，结果其中有50m2墙面还未来得及刷：同样的时间内5名徒弟粉刷了10个房间的墙面之外，还多粉刷了另外的40m2墙面，每名师傅比徒弟一天多刷10m2的墙面．（1）求每个房间需要粉刷的墙面面积；（2）已知每名徒弟每天的工钱为180元，现有28间房需要1名徒弟单独完成粉刷，需支付工钱多少元？7．（2023秋•中原区校级月考）如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且满足|a+10|+|b ﹣70|＝0．（1）写出a、b及AB的距离：a＝，b＝，AB＝；（2）若动点P从点B出发，以每秒3个单位长度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒5个单位长度向右匀速运动．若P、Q同时出发，问：①设P、Q在数轴上的C点相遇，请你求出C点对应的数；②经过多长时间P、Q在数轴上相距30个单位长度，并写出此时P点对应的数．8．（2022秋•海阳市期末）某校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现每个篮球的定价为120元，每根跳绳的定价为20元．某体育用品商店提供A，B两种优惠方案，方案A：买1个篮球送1根跳绳；方案B：篮球和跳绳均按定价的90%付款．已知要购买篮球50个，跳绳x根（x＞50）．（1）分别求出按A，B两种方案购买，各需费用多少元？（用含x的代数式表示，结果需化简）（2）当x＝100时，请说明用哪种方案购买较为划算？（3）x取何值时，A，B两种方案购买费用相等？1．（2021秋•柘城县期末）下列方程：①3x﹣y＝2：②x+1+2＝0；③2=1；④x＝0；⑤3x﹣1≥5：⑥x2﹣2x﹣3＝0；⑦2r13=16x．其中一元一次方程有（）A．5个B．4个C．3个D．2个2．（2022秋•新化县期末）若（m﹣2）x|2m﹣3|＝6是关于x的一元一次方程，则m的值是（）A．1B．任何数C．2D．1或33．（2022秋•黔东南州期末）下列方程中变形正确的是（）A．方程3x﹣2＝2x﹣1移项，得3x﹣2x＝﹣1﹣2B．由K10.2−0.5=1得5（x﹣1）﹣2x＝0.1C．方程3﹣x＝2﹣5（x﹣1）去括号，得3﹣x＝2﹣5x+5D．方程23=−32系数化为1，得x＝﹣14．（2022秋•龙亭区校级月考）若方程2r2=4（x﹣1）的解为x＝3，则a的值为（）A．﹣2B．10C．22D．25．（2022秋•怀集县期末）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设小和尚有x 人，依题意列方程得（）A．3+3(100−p=100B．3+100−3=100C．3−3(100−p=100D．3−100−3=1006．（2022春•黔江区期末）已知关于x的方程2x﹣3=3+x的解满足|x|＝1，则m的值是（）A．﹣6B．﹣12C．﹣6或﹣12D．6或12 7．（2022秋•江北区校级期末）已知关于x的方程x−2KB6=3+2有正整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（）A．﹣24B．﹣6C．﹣19D．﹣138．（2022秋•五华县期末）某市采取分段收费．若每户每月用水不超过20m3，每立方米收费2元；若用水超过20m3，超过部分每立方米加收1元．小明家某月交水费82元，则该月用水（）m3．A．38B．28C．34D．449．（2022秋•新城区校级期末）若x＝3是关于x的方程ax﹣2b＝5的解，则6a﹣4b+3的值为．10．（2022秋•长安区期末）小明同学在解方程32（1−■−3）＝x−13时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为=−43，请帮他推算被染了的数字“■”应该是．11．（2022秋•和平区期末）若a、b为定值，关于x的一次方程2B+3−KB6=2无论k为何值时，它的解总是x＝1，则（2a+3b）2022的值为．12．（2023秋•南岗区校级月考）解方程．（1）2﹣5x＝3x+4；（2）13(2−1)+1=6(2−1)；（3）3K14−5K76=1；（4）0.1K20.3+3−0.70.4=1．13．（2022秋•惠东县期末）如果关于x的方程K14−1=−2的解与关于x的方程4x﹣（3a+1）＝6x+a+1的解互为相反数，求a的值．14．（2023秋•前郭县期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”．（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”吗？请说明理由；（2）若关于x的方程2+=0与方程3x﹣2＝x+4是“美好方程”，求m的值．15．（2022秋•镇原县期末）某学校计划购买20张办公桌和若干个书架，现从甲、乙两家商场了解到：同型号的产品价格相同，办公桌每张180元，书架每个60元，甲商场的优惠政策为每买一张办公桌赠送一个书架，乙商场的优惠政策为所有商品八折出售．设该学校购买x（x＞20）个书架．（1）若到同一家商场购买所有办公桌和书架，则到甲商场和乙商场所需费用各多少元（用含x的式子表示）？（2）若只到其中一家商场购买所有办公桌和书架，求当购买多少个书架时，两家商场所需费用相同？16．（2022秋•高阳县校级期末）已知x＝﹣3是关于x的方程（k+3）x+1＝3x﹣2k的解．（1）求k的值；（2）在（1）的条件下，已知线段AB＝6cm，点C是线段AB上一点，且BC＝kAC，若点D是AC的中点，求线段CD的长；（3）在（2）的条件下，已知点A所表示的数为﹣2，有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有PD＝2QD？17．（2022秋•青羊区期末）某商场经销A，B两种商品，A种商品每件进价40元，售价60元；B种商品每件售价80元，利润率为60%．（1）每件A种商品利润率为，B种商品每件进价为；（2）若该商场同时购进A，B两种商品共50件，恰好总进价为2300元，则该商场购进A种商品多少件？（3）在“元旦”期间，该商场对A，B两种商品进行如下的优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施不超过500元不优惠超过500元，但不超过800元按总售价打九折超过800元其中800元部分打八折优惠，超过800元的部分打七折优惠按上述优惠条件，若小华一次性购买A，B商品实际付款675元，求小华此次购物打折前的总金额．。
七年级上册《一元一次方程》常考题型精编
一元一次方程常考题型1．已知关于的方程是一元一次方程，则= .2．如图是一组数值转换机，若它的输出结果为2，则x = .3．已知x ＝2是关于x 的方程2x －k ＝1的解，则k 的值是________．4.元旦期间，商业大厦推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折的基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了 折优惠．5．某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过12吨，按每吨a 元收费；若超过12吨，则超过部分按每吨2a 元收费，如果某户居民五月份缴纳水费20a 元，则该居民这个月实际用水 吨.６．在某月历表中，竖列相邻的三个数的和为39，则该列第一个数是（ ）A ．6 B ．12 C ．13 D ．14７．A 、B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行。
已知甲车的速度为120千米/时，乙车的速度为80千米/时，经过t 小时两车相距50千米，则t 的值为（ ）A. 2或2.5B. 2C. 2.5D. 2或12.5８．某书上有一道解方程的题：，处在印刷时被油墨盖住了，查后面的答案知这个方程的解是，那么处应该是数字（）. A 、7 B 、5 C 、2 D 、 2９．元旦节日期间，某商场为了促销，每件夹克按成本价提高50%后标价，后因季节关系按标价的8折出售，每件以168元卖出，这批夹克每件的成本价是：（ ） A 、80元B 、84元C 、140元D 、100元 10．解方程（1） 3x －2＝1－2(x ＋1) （2） x 02)2(1=+--m x m m 13x x +ð+1=ðx =-2ð-1615312=--+x x(3) (4)11．某公园准备修建一块长方形草坪，长为30米，宽为20米.并在草坪上修建如图所示的十字路，已知十字路宽x 米，回答下列问题：（1）修建的十字路面积是多少平方米？（2）如果十字路宽2米，那么草坪（阴影部分）的面积是多少？42132[]3324x x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭0.010.0210.310.030.2x x +--=30x 12．某电器销售商为促销产品，将某种电器打折销售，如果按标价的六折出售，每件将亏本36元；如果按标价的八折出售，每件将盈利52元，问：(1) 这种电器每件的标价是多少元?(2) 为保证盈利不低于10%，最多能打几折?13．请根据图中提供的信息,回答下列问题:甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯,一个暖瓶30元，一个水杯8元，为了迎接新年,两家商场都在搞促销活动,甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯。
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方程的有关概念
1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程。
2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程。
例如：1700+50x=1800，2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程。
3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
注：⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程。
⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论。
等式的性质
等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.
用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b±c
等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，
用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么a/c=b/c 移项法则
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
去括号法则
1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同。
2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变。
解方程的一般步骤
1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)
2. 去括号(按去括号法则和分配律)
3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)
4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)
5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=).
列一元一次方程解应用题的一般步骤
1.列方程解应用题的基本步骤
注意：
(1)初中列方程解应用题时，怎么列简单就怎么列（即所列的每一个方程都直接的表示题意），不用担心未知数过多，简化审题和列方程的步骤，把难度转移到解方程的步骤上。
(2)解方程的步骤不用写出，直接写结果即可。
(3)设未知数时，要标明单位，在列方程时，如果题中数据的单位不统一，必须把单位换算成统一单位，尤其是行程问题里需要注意这个问题。
2.设未知数的方法
设未知数的方法一般来讲，有以下几种：
(1)“直接设元”：题目里要求的未知量是什么，就把它设为未知数，多适用于要求的未知数只有一个的情况。
(2)“间接设元”：有些应用题，若直接设未知数很难列出方程，或者所列的方程比较复杂，可以选择间接设未知数，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用。
(3)“辅助设元”：有些应用题不仅要直接设未知数，而且要增加辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知量，可以在解题时消去。
(4)“部分设元”与“整体设元”转换：当整体设元有困难时，可以考虑设其一部分为未知数，反之亦然，如：数字问题。