导数课件

导数定义：
设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量 x在点x0处有改变量Δx时函数有相应的改变量 Δy=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx0 时,Δy/Δx的极限 存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化 率)记f作( x0 )或y |xx0 , 即:
f
( x0 )
3.1 变化率与导数定义
一、提出问题，激发思维
问题1、（物理问题）
1、一辆汽车的运动方程是 s t2 2t 1
s为路程，单位(千米)，t为时间，单位秒
—
（1）求汽车在t∈2,10 内的平均速度 v1 。 —
（2）求汽车在t∈2,3内的平均速度 v2 。
—
（3）求汽车在t∈ 2,2 t内的平均速度 v0 。
— V1
14
— v2
7
— v0
t
6
1、一辆汽车的运动方程是 s t2 2t 1
s为路程，单位(千米)，t为时间，单位(秒)
—
—
（4）试比较 v1 和 v2，请思考：哪一个平
均速度更接近t=2秒时的瞬时速度？为什么？
（5）求t=2秒时的瞬时速度。 vt2 6
（6）如何求 t0 时刻的瞬时速度。
在t 5时的瞬时速度为__１__０____.
题型二、求函数的切线方程
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
yQ
解 : k lim f ( x0 x) f ( x0 )
三、研究题型，总结方法源自题型一：求函数的点导数由导数的定义可知,求函数y=f(x)在
点x0处的导数的方法是：
(1)求函数的增量 y f x0 x f x0
(2)求平均变化率
y x
f x0 x f x0
x
(3)取极限,得导数
f
x0
lim
x0
y x
例1 已知 f (x) x2, 求曲线 y f (x) 在x 2 处的切线的斜率.
瞬时速度与切线斜率为瞬时变化率：
lim x 0
y x
lim x 0
f
(x x) x
f
(x)
lim xx0
f (x) f (x0 ) x x0
它反映了函数相对于自变量在某一点处的 大小变化快慢的单位量度。
类似实例大量存在,如：
（1）人的身高相对于年龄在某年龄段时的 增长率。 （2）国民生产总值相对于年份的增长率。
同特征？
在t
2时的瞬时速度v
lim t2
_
v
lim t2
s(t) s(2） t-2
lim t 0
s（2 t）- s（2） t
在x
2时的切线斜率k切
lim x2
k AM
lim x2
f (x) f (2） x-2
lim x 0
f（2 x）- f 2
x
因此，它们是同一种数学方法，都是应用平均变
化率求极限的方法，我们称之为瞬时变化率。
当t
0时, vtt0
s（t0
t）-s（t0）的值。 t
2、几何问题： 已知函数f（x）=x²，试求：
（1）函数f（x） x2在点A（2，f (2))
与点M（1 4，f (4))处的割线斜率k AM1 . ６
(2)函数f（x） x2在点A（2，f（2）
与点M（2 3，f（3））处的割线斜率k
５。
（3）某企业运输成本相对于货物量在某区 间内的平均成本（或在某货物量时的边际成 本）。
（4）某企业的生产成本相对于产量在某区 间内的平均成本。 某企业的生产成本相对于产量在某产值的 边际成本。
（5)变力做功的平均功率或变力做功的瞬时 功率。
（6）容器的体积相对于高度的平均变化 率与瞬时变化率。
上述问题都是平均变化率与瞬时变化率 的问题，在现实生活、生产及科学研究中有 广泛的应用。因此，有必要定义新的数学模 型加以研究。
—
v
s（t）- s（2） t-2
s（2
t) t
s(2）
s t
k f (x）- f (2） f (2 x) f (2） y
x-2
x
x
2）从意义上看， 反映了路程函数s（t） 相对于时间（t）在某段时间内的大小 变化快慢的单位量度。 割线斜率k反映了函数f（x）（纵坐标） 相对于自变量x（横坐标)在某区间的大 小变化快慢的单位量度。
分析:为求得过点(2,4)的切线的斜率, 可从经过点(2,4) 的任意一条直线(割线)入手.
解: 设 P(2,4), Q(2 x, (2 x)2 ) , 则割线PQ的斜率
(2 x)2 4
kPQ
x
4 x
当x 无限趋近于0时, kPQ 无限趋近于常数4, 即
f (2) lim (4 x) 4, x0
f
(x0) 不存在，则称
函数在点x0处不可导。
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
１、求函数的改变量 f f (x0 x) f (x0 );
2、 求平均变化率 3、求值
f f (x0 x) f (x0 ) ;
x
x
f
(
x0
)
lim
x0
f x
.
一差、二化、三极限
从而曲线 y f (x)在点P(2,4)处的切线斜率为4.
1、已知函数f（x） 2x2 -1的图像上一点（1，1）
及邻近一点（1 x，1 y），则y 等于（Ｃ）
x A、4，B、4 x，C、4 2x，D、4x （x）2
2、一球沿斜面自由滚下，其运动方程是 s t（2 s的单位：m；t的单位：s）则小球
AM 2
(3)函数f（x）在点A（2，f（2）） △ｘ＋４
与点M（2
x，f（2
x））的割线斜率k
。
AM
（4）比较k AM1与k AM2，哪一个更接近点M处 的切线斜率k，为什么？
（5）求函数f（x） x2 在点A（2，f（2））处的切线斜率。
ｋ＝４
1、抽象模型，形成概念
1）从数学结构看，两题有哪些共同 特 点？
因此，它们是同一个数学结构模 型，我们称之为平均变化率，即
因此，它们是同一个数学结构
模型，我们称之为平均变化率，
即：
y
f（x）-
f (x0)
f (x x)
f (x0)
x x x0
x
平均变化率 ,反映了函数值相对于自 变量在某区间内大小变化快慢的单位 量度。
3）从数学方法上看，以上两题又有何共
lim
x0
y x
lim
x0
f
(x0
x) x
f
(x0) .
注意：
1、函数应在点的附近有定义， 否则导数不存在。
2、在定义导数的极限式中，△x趋近于0 可正、可负，但不为0，而△y可能为0。
3、导数是一个局部概念，它只与函数在x0 及其附近的函数值有关，与△x无关。
4、若极限
lim
x0
f
(x0
x) x