2021年九年级数学上册第24章圆章节同步检测含解析人教版.docx

第24章一、单选题(共36分)1．(本题3分)如图是一个圆弧形门拱，拱高1m =AB ，跨度4m CD =，那么这个门拱的半径为（ ）A ．2mB ．2.5mC ．3mD ．5m2．(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A （―3，6）、B （―9，一3），以原点O 为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是（ ）A ．（―1，2）B ．（―9，18）C ．（―9，18）或（9，―18）D ．（―1，2）或（1，―2）3．(本题3分)已知⊙O 的半径为10cm ，弦MN ∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN 和EF之间的距离为 ( )cm.A ．14或2B ．14C ．2D ．64．(本题3分)如图，已知AD AB =，35ADB ∠=︒，则BOC ∠等于（ ）A ．70︒B ．130︒C ．140︒D ．150︒5．(本题3分)下列说法正确的是（ ）A ．弦是直径B ．平分弦的直径垂直弦C ．优弧一定大于劣弧D ．等弧所对的圆心角相等6．(本题3分)如图，C 、D 为半圆上三等分点，则下列说法：①AD =CD =BC ；②∠AOD＝∠DOC ＝∠BOC ；③AD ＝CD ＝OC ；④△AOD 沿OD 翻折与△COD 重合．正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．(本题3分)如图，⊙O 的半径OA ＝8，以A 为圆心，OA 为半径的弧交⊙O 于B ，C 点，则BC ＝（ ）A ．B ．C ．D ．8．(本题3分)数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c ，一条直角边BC=a ．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是（ ）A．勾股定理B．直径所对的圆周角是直角C．勾股定理的逆定理D．90°的圆周角所对的弦是直径9．(本题3分)把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知4EF CD==，则球的半径长是（）A．2 B．2.5 C．3 D．410．(本题3分)如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（）A．∠AIB＝∠AOB B．∠AIB≠∠AOBC．2∠AIB﹣12∠AOB＝180°D．2∠AOB﹣12∠AIB＝180°11．(本题3分)已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（）A．5 B．4.5 C．4 D．012．(本题3分)下列图形中，的是( )A．B．C．D．二、填空题(共18分)13．(本题3分)如图：∠AOB＝2∠COD，则AB______2CD．14．(本题3分)如图，弧BE的度数为40°，则∠A+∠C＝______．15．(本题3分)将一个半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是度．16．(本题3分)如图，M，N是正方形ABCD的边BC上两个动点，满足BM＝CN，连结AC 交DN于点P，连结AM交BP于点Q，若正方形的边长为1，则线段CQ的最小值是_____．17．(本题3分)如图，AB 是圆O 的弦，OC AB ⊥，垂足为点C ，将劣弧AB 沿弦AB折叠交于OC 的中点D ，若AB =，则圆O 的半径为_____．18．(本题3分)如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，过B 点的切线交AC 的延长线于点D ，E 为弦AC 的中点，10AD =，6BD =，若点P 为直径AB 上的一个动点，连接EP ，当AEP ∆是直角三角形时，AP 的长为__________．三、解答题(共66分)19．(本题8分)如图，射线PG 平分∠EPF ，O 为射线PG 上的一点，以O 为圆心，13为半径作⊙O ，分别与∠EPF 两边相交于点A ，B 和点C ，D ，连结OA ，此时有OA ∥PE ．（1）求证:AP = AO ；（2）若弦AB = 24，求OP 的长．20．(本题8分)如图1，AB 为半圆的直径，点O 为圆心，AF 为半圆的切线，过半圆上的点C 作//CD AB 交AF 于点D ，连接BC ．（1）连接DO ，若//BC OD ，求证：CD 是半圆的切线；（2）如图2，当线段CD 与半圆交于点E 时，连接AE ，AC ，判断AED ∠和ACD∠的数量关系，并证明你的结论．21．(本题8分)如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆三个顶点都在格点上，点A ，B ，C 的坐标分别为(2,3)A -，(3,1)B -，(0,1)C 请解答下列问题：（1）ABC ∆与△111A B C 关于原点O 成中心对称，画出△111A B C 并直接写出点A 的对应点1A 的坐标；（2）画出ABC ∆绕点C 顺时针旋转90︒后得到的△22A B C ，并求出线段AC 旋转时扫过的面积．22．(本题8分)已知：如图，在O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD AB ⊥，垂足为E.求证：AE EB =，AC BC =，AD BD =.23．(本题8分)已知：如图所示，AB ，CD 是O 的弦，OC ，OD 分别交AB 于点E ，F ，且OE OF =，求证：AC BD =.24．(本题8分)如图，在ABC 中，90C ∠=︒，4CA CB ==，分别以点A ，B ，C 为圆心，以12AC 为半径画弧，三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是多少？25．(本题8分)已知AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，CD 与AB 交于点E ，连接BD .（Ⅰ）如图1，若点D 是弧AB 的中点，求C ∠的大小；（Ⅱ）如图2，过点C 作O 的切线与AB 的延长线交于点P ，若AC CP =，求D ∠的大小. 26．(本题10分).如图所示,已知锐角△ABC 的外接圆半径R =1,∠BAC =60°，△ABC 的垂心和外心分别为H 、O ，连接OH 、BC 交于点P(1)求凹四边形ABHC 的面积；(2)求PO·OH 的值．参考答案1．B【解析】【分析】设这个门拱的半径为r，则OB=r-1，根据垂径定理求出BC的长，再根据勾股定理求出r的值即可．【详解】设这个门拱的半径为r，则OB=r−1，∵CD=4m，AB⊥CD，∴BC=12CD=2m，在Rt△BOC中，∵BC2+OB2=OC2,即22+(r−1) 2=r2，解得r=2.5m.故选B.【点睛】此题考查垂径定理的应用，勾股定理，解题关键在于求出BC的长. 2．D【解析】【分析】【详解】试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且OA'OA＝13.∴A EAD＝0E0D＝13.∴A′E＝13AD＝2，OE＝13OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.方法二：∵点A（―3，6）且相似比为13，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×13，6×13），∴A′（－1,2）.∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.故答案选D.考点：位似变换.3．A【解析】【分析】分两种情况进行讨论：①弦MN和EF在圆心同侧；②弦MN和EF在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦MN和EF在圆心同侧时，如图1，∵MN=12cm，EF=16cm，∴CE=8cm，CF=6cm，∵OE=OM=10cm，∴CO=6cm，OD=8cm，∴EF=OF-OE=2cm；②当弦MN和EF在圆心异侧时，如图2，∵MN=12cm，EF=16cm，∴CE=8cm，CF=6cm，∵OE=OM=10cm，∴CO=6cm，OD=8cm，∴EF=OF+OE=14cm；故选择：A.【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．4．C【解析】【分析】先根据等边对等角求出∠DBA的度数，利用外角求出∠BAC的度数，再利用同弧所对的圆心角与圆周角的关系求解即可.∵AD AB =，35ADB ∠=︒∴∠ABD=35ADB ∠=︒∴∠BAC=∠ADB+∠ABD=70°∴∠BOC=2∠BAC=140°故选C【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握“同一条弧所对的圆周角是圆心角的一半”是关键.5．D【解析】【分析】根据圆的有关概念进行逐项辨析即可得解.【详解】A 、直径是弦，但弦不一定是直径，选项错误；B 、平分弦的直径垂直弦，被平分的弦不是直径，故选项错误；C 、同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，错误；D 、等弧所对的圆心角相等，正确．故选D ．【点睛】此题主要考查了圆的有关概念，熟练掌握相关概念是解决此题的关键.6．A【分析】根据“在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等”仔细找出等量关系即可．【详解】∵C、D为半圆上三等分点，∴AD CD BC==，故①正确，∵在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相，∴AD＝CD＝OC，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，故②③正确，∵OA=OD=OC=OB，∴△AOD≌△COD≌△COB，且都是等边三角形，∴△AOD沿OD翻折与△COD重合．故④正确，∴正确的说法有：①②③④共4个，故选A．【点睛】本题考查了圆心角、弧和弦的关系，利用了在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等和平角的概念求解．7．A【解析】【分析】连接OB、AB，易证△OAB是等边三角形，∠AOB＝60°，由OA为半径的弧交⊙O于B，C两点，得出OA⊥BC，BC＝2BD，根据三角函数求出BD＝OB•sin60°，即可求得BC．连接OB、AB，如图所示：则OA＝OB＝AB＝8，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵OA为半径的弧交⊙O于B，C两点，∴OA⊥BC，∴∠BDO＝90°，BC＝2BD，＝∴BD＝OB•sin60°＝8×2∴BC＝2×；故选A．【点睛】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数；由相交两圆的性质得出直角三角形是解决问题的关键．8．B【解析】【分析】由作图痕迹可以看出AB是直径，∠ACB是直径所对的圆周角，即可作出判断．【详解】由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．故选B．【点睛】本题主要考查了尺规作图以及圆周角定理的推论，能够看懂作图过程是解决问题的关键．9．B【解析】【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4-x，MF=2，然后在Rt△MOF 中利用勾股定理求得OF的长即可．【详解】如图：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，设OF=x，则ON=OF，∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，即：（4-x）2+22=x2，解得：x=2.5，故选B．【点睛】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．10．C【解析】【分析】根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用∠C表示出∠AIB和∠AOB，即可得到两个角的关系．【详解】解：∵点O是△ABC的外心，∴∠AOB＝2∠C，∴∠C＝12∠AOB，∵点I是△ABC的内心，∴∠IAB＝12∠CAB，∠IBA＝12∠CBA，∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝180°﹣12（∠CAB+∠CBA），＝180°﹣12（180°﹣∠C）＝90°+12∠C，∴2∠AIB＝180°+∠C，∵∠AOB＝2∠C，∴∠AIB＝90°+12∠AOB，即2∠AIB﹣12∠AOB＝180°．故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理以及三角形的内心的性质，正确利用∠C表示∠AIB的度数是关键．11．D【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论．【详解】∵直线m与⊙O公共点的个数为2个∴直线与圆相交∴d＜半径＝4故选D．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l 的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r，③直线l和⊙O相离⇔d＞r．12．C【解析】【分析】由已知条件可知A是两个直角，B是两个对顶角，C是三角形的一个内角和外角，D是同圆中同弧对应的两个角.【详解】解：由已知条件，A中∠1=∠2=90°；B中∠1=∠2（互为对顶角）；C中应用三角形定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,故∠1＜∠2；D中应用定理：同圆中等弧对应的圆周角相等，故∠1=∠2；故选C.【点睛】本题考查了三角形的基本定理，灵活运用定理是解题的关键.13．=【解析】【分析】根据圆心角与弦的关系可直接求解【详解】∵∠AOB=2∠COD，∴AB=2CD．故答案为=【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．14．160°【解析】【分析】如图，连接OD、OE、OB，由BE的度数为40°可得∠EOB=40°，根据周角的定义可求出∠1+∠2的度数，根据圆周角定理即可求出∠A+∠C的度数.【详解】如图，连接OD、OE、OB．∵BE的度数为40°，∴∠EOB=40°，∴∠1+∠2=360°-∠EOB=320°，∵∠A=12∠2，∠C=12∠1，∴∠A+∠C=12（∠1+∠2）＝160°，故答案为160°．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.熟练掌握圆周角定理是解题关键.15．144【解析】∵将一个半径为6cm ，母线长为15cm 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，∴圆锥侧面积公式为：S=πrl=π×6×15=90πcm 2，∴扇形面积为90π=215360n π⨯， 解得：n=144，∴侧面展开图的圆心角是144度．16．12【解析】【分析】首先证明点Q 在以AB 为直径的圆上运动，连接OC 与 O 交于点Q′，此时CQ′最小，根据勾股定理即可计算．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝∠DAB ＝90°，∠ACB ＝∠ACD ＝45°在△ABM 和△DCN 中，AB DC ABM DCN BM CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△DCN ，∴∠BAM ＝∠CDN ，在△CPB 和△CPD 中，CP CP PCB PCD CB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CPD ≌△CPB ，∴∠CDP ＝∠CBP ＝∠BAM ，∵∠CBP+∠ABP ＝90°，∴∠BAM+∠ABP ＝90°，∴∠AQB ＝90°，∴点Q 在以AB 为直径的圆上运动，设圆心为O ，连接OC 交⊙O 于点Q′，此时CQ′最小，∴CQ′＝OC12=．【点睛】本题考查正方形的性质、圆、勾股定理等知识，解题的关键是证明点Q 在以AB 为直径的圆上运动，找到点Q 的位置，题目比较难，属于中考填空题中的压轴题．.17．【解析】【分析】连接OA ，设半径为x ，用x 表示OC ，根据勾股定理建立x 的方程，便可求得结果．【详解】解：解：连接OA ，设半径为x ，将劣弧AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ， 23OC x ∴=，OC AB ⊥，1102AC AB ∴==，222OA OC AC -=，222()103x x ∴-=，解得，32x =．故答案为32．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．18．4或2.56．【解析】【分析】根据勾股定理求出AB ，由△BCD∽△ABD 得到比例式求出CD 的长，当AEP ∆是直角三角形时，分∠AEP=90°和∠APE=90°两种情况进行讨论,可求出AP 长有2种情况.【详解】解：连接BC过B 点的切线交AC 的延长线于点D ，AB BD ∴⊥，8AB ∴，当90AEP ∠︒＝时，AE EC ＝，EP ∴经过圆心O ，4AP AO ∴＝＝；当90APE ∠︒＝时，则//EP BD ，APAEAB AD ∴＝，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠BCD ＝90°.∵∠BCD ＝∠ABD ，∠D 是公共角，∴△BCD ∽△AB D. ∴BD CD AD BD= 2DB CD AD ⋅＝，236 3.610BD CD AD ∴＝＝＝， 10 3.6 6.4AC ∴-＝＝，3.2AE ∴＝，3.2810AP ∴＝， 2.56AP ∴＝．综上AP 的长为4或2.56．故答案为4或2.56．【点睛】本题考查的是切线的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键.19．（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠EPO=∠AOP，由射线PG 平分∠EPF，得到∠EPO=∠APO，根据等量代换即可证明；（2）过点O 作OH ⊥AB 于点H ，如图，根据垂径定理得到AH=BH=12，从而求得PH ，在Rt AHO 中，应用勾股定理求得OH ，进一步即可求得OP ．【详解】（1）证明：∵PG平分∠EPF∴∠EPO=∠APO∵OA∥PE∴∠EPO=∠AOP∴∠APO=∠AOP∴AP=AO（2）过点O作OH⊥AB于点H，如图，根据垂径定理得到AH=BH=12AB=12∴PH=PA+AH=AO+AH=13+12=25在Rt AHO中，5 OH=由勾股定理得：OP==则OP的长为故答案为：【点睛】本题考查了平行线的性质，等角对等边，勾股定理，垂径定理，是圆部分的综合题，要熟记各知识点，熟练掌握垂径定理是本题的关键．20．（1）见解析；（2）90AED ACD ︒∠+∠=【解析】【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质得到AB AD ⊥，推出四边形BODC 是平行四边形，得到OB CD =，等量代换得到CD OA =，推出四边形ADCO 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到//OC AD ，于是得到结论；（2）如图2，连接BE ，根据圆周角定理得到90AEB =︒∠，求得90EBA BAE ∠+∠=︒，证得ABE DAE ∠=∠，等量代换即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC ，AF 为半圆的切线，AB 为半圆的直径，AB AD ∴⊥，//CD AB ，//BC OD ，∴四边形BODC 是平行四边形，OB CD ∴=，OA OB =，CD OA ∴=，∴四边形ADCO 是平行四边形，//OC AD ∴，//CD BA ，CD AD ∴⊥，//OC AD ，OC CD ∴⊥，CD ∴是半圆的切线；（2）解：90AED ACD ∠+∠=︒，理由：如图2，连接BE ，AB 为半圆的直径，90AEB ∴∠=︒，90EBA BAE ∴∠+∠=︒，90DAE BAE ∠+∠=︒，ABE DAE ∴∠=∠，ACE ABE ∠=∠，ACE DAE ∴∠=∠，90ADE ∠=︒，90DAE AED AED ACD ∴∠+∠=∠+∠=︒．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21．（1）见解析；1A (2,3)-；（2）见解析；2π．【解析】【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征即可得到1A 、1B 、1C 的坐标，然后描点连线即可；（2）利用旋转的性质和格点的特征分别画出点A 、B 、C 的对应点2A 、2B 、C ，然后利用扇形面积公式进行计算可得线段AC 旋转时扫过的面积．【详解】（1）如图所示，△111A B C 即为所求，点A 的对应点1A 的坐标为(2,3)-；（2）如图所示，△22A B C即为所求，线段AC 2π=． 【点睛】 本题考查了利用旋转变换作图以及扇形面积的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题22．详见解析【解析】【分析】=.然后根据轴对称的性质解答即可.连接OA，OB，则OA OB【详解】=.证明：如图，连接OA，OB，则OA OB⊥，又CD AB∴直线CD是等腰OAB的对称轴，又是O的对称轴.∴沿着直径CD所在直线折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC和BC，AD 和BD分别重合.∴=，AC BCAE EB=，AD BD=【点睛】本题考查了垂径定理的应用，解此题的关键是能正确理解定理的内容，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的每一条弧．23．详见解析【分析】过点O 作OM AB ⊥于点M.由等腰三角形的性质可证AOM BOM ∠=∠，EOM FOM ∠=∠，从而可得AOC BOD ∠=∠，然后根据相等的圆心角所对的弧相等即可求得结论.【详解】证明：如图，过点O 作OM AB ⊥于点M.OA OB =，AOM BOM ∴∠=∠.同理，EOM FOM ∠=∠.AOC BOD ∴∠=∠.AC BD ∴=.【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形三线合一的性质.24．82π-【解析】【分析】由于三条弧所对的圆心角的和为180°，根据扇形的面积公式可计算出三个扇形的面积和，而三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积=S △ABC -三个扇形的面积和，再利用三角形的面积公式计算出S △ABC =12×4×4=8，然后代入即可得到答案．【详解】∵∠C=90°，CA=CB=4， ∴12AC=2，S △ABC =12×4×4=8， ∵三条弧所对的圆心角的和为180°，三个扇形的面积和=12×π×22=2π， ∴三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积=S △ABC -三个扇形的面积和=8-2π．故答案为8-2π．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，得出阴影部分的面积=S △ABC -三个扇形的面积和是解题关键．25．（Ⅰ）45C ∠=︒；（Ⅱ）30D ∠=︒【解析】【分析】(Ⅰ)连接AD ，根据AB 是O 的直径，及D 是弧AB 的中点,得到90ADB ∠=︒及AD BD =，求出45ABD ∠=︒，再根据圆周角定理可以求出45C ∠=︒.(Ⅱ) 连接OC ，又切线的性质得90OCP ∠=︒，AC CP =得到A P ∠=∠，再由三角形外角与内角的关系得到2COP P ∠=∠，并代入90COP P ∠+∠=︒，即可求解.【详解】（Ⅰ）解：连接AD ，∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒.∵D 是弧AB 的中点，∴弧AD =弧BD ，∴AD BD =，∴ABD ∆是等腰直角三角形，∴45ABD ∠=︒，又∵C ABD ∠=∠，∴45C ∠=︒.（Ⅱ）解：连接OC ，∵CP 是O 的切线，∴90OCP ∠=︒，∵AC CP =，∴A P ∠=∠，∵2COP A ∠=∠，∴2COP P ∠=∠，∴在Rt OPC ∆中，90COP P ∠+∠=︒，∴290P P ∠+∠=︒，∴30P ∠=︒，∴30A ∠=︒，∴30D A ∠=∠=︒.【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形性质及三角形的外角，圆周角定理等，正确的画出辅助线是解题的关键．26．（1）；（2）1.2【解析】【分析】（1）由于AH垂直BC，则只需求出AH和BC的长度即可．又告诉了∠A＝60°，则∠BOC＝120°，结合半径长度自然求出BC．连接BO并延长交⊙O于点G，连接AG、CG，可证AGCH是平行四边形，从而得出AH是OM 的2倍，问题得解；（2）先证得∠BHC＝120°，则可得出B、C、H、O四点共圆，从而得出∠CHP＝30°，进而△OHC∽△OCP是很显然的事．【详解】解：（1）如图：连接BO并延长交⊙O于点G，连接AG、CG、CO，延长CH交AB于F，延长BH交AC于E，延长AH交BC于N，作OM⊥BC于M．∵BG是直径，∴GA⊥AB，GC⊥BC，∵H为垂心，∴BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，AN ⊥BC ，∴GA ∥CH ，GC ∥AH ，∴AGCH 是平行四边形，∴AH ＝GC ，∵∠BAC ＝60°，OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°，∴OM ＝12OB ＝12，BM∴BC ，又∵OM ＝12CG ，∴AH ＝2OM ＝1，设凹四边形的面积为S ，则S ＝S △AHB ＋S △AHC ＝12×AH×BN＋12×AH×CN＝12×AH×BC＝2，（2）∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，AN ⊥BC ，∠BAC ＝60°，∴∠ACF ＝30°，∴∠CHE ＝60°，∴∠BHC ＝120°，∴B 、C 、H 、O 四点共圆，∵∠OBC ＝∠OCB ＝30°，∴∠CHP ＝∠OBC ＝30°，∴∠OHC＝∠OCP＝150°，∴△OHC∽△OCP，∴OH•OP＝OC2＝1．【点睛】本题考查了垂心的定义及性质、圆心角与圆周角的性质、四点共圆的判定及性质、相似三角形的判定及性质、面积计算等重要知识点．正确作出辅助线是关键．第一问当中，AH＝2OM是一个重要结论，可记住并会推导，对解决类似题目有重要意义．。