高考数学常考题型的总结必修五

高考数学常考题型的总结必修五Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998高考数学常考题型的总结（必修五）对高三理科来说，必修五是高考的必考内容，它不仅要考查基础知识点，而且还要考查解题方法和解题思路的问题。

同学们在复习过程中，一定要明白什么是重要，什么是难点，什么是常考知识点。

对重难点要了如指掌，能做到有的放矢。

同学们不仅要掌握课本上的知识点，更重要的要对知识点理解的有深度，对经典题型或高考常考题型掌握到相当熟练的程度。

人们常说，只有你多于一桶水的能力，在考试过程中才能发挥出一桶水的水平来，否则，基本不可能考出相对理想的成绩来。

必修五主要包括三大部分内容：解三角形、数列、不等式。

高考具体要考查那些内容呢？这是我们师生共同研究的问题。

虽然高考题不能面面俱到，但是我们在复习的时候，一定要不留死角，对常考题型的知识点和方法能倒背如流。

下面具体对必修五常考的型作一分解：解三角形解三角形是高考的必考知识点，每年都有考题，一般考查分数为5-12分。

考查的时候，可能是选择题、填空题，或解答题，有时单独考查，有时会与三角函数，平面向量等知识点进行综合考查，难度一般不是很大，如果出解答题，一般是第17题，属于拿分题。

知识点：正弦定理、余弦定理和三角形的面积的公式。

正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ∆的外接圆半径） 余弦定理：C ab c b a cos 2222=-+，B ac b c a cos 2222=-+，A bc a c b cos 2222=-+ （变形后）C ab c b a cos 2222=-+，B ac b c a cos 2222=-+，A cba b c cos 2222=-+ 三角形的面积的公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆。

知识点分解：（1）两边一角，求另外两角一边，可以用正弦定理，也可以用余弦定理，特别注意两种三角形的情况。

（2）两角一边，求另外一角和两边，肯定是正弦定理。

（3）等式两边都有边或通过转化等式两边都有边，用正弦定理。

（4）知道三边的关系用余弦定理。

（5）求三角形的面积，或和向量结合用向量的余弦公式。

（6）正余弦定理与其他知识的综合。

必须具备的知识点：三角函数的定义、同角三角函数、诱导公式和三角恒等变换。

可能综合的知识点：三角函数以及正余弦定理的模块内部综合；和与数列的综合、与平面向量的综合、以及与基本不等式的综合。

解三角形常考的题型有：考点一 正弦定理的应用例：在ABC ∆中，60,10,15===A b a ，则=B cos答案：3知识点：正弦定理和三角同角关系思路：（方法不唯一）利用正弦定理先求出B sin ，然后利用同角三角函数的关系可求出B cos 。

考点二 余弦定理的应用例：在∆ABC 中，已知32=a ，26+=c ， 60=B ，求b 的值 答案：22=b知识点：余弦定理思路：直接利用余弦定理B ac b c a cos 2222=-+，即可求出b 的值。

考点三 正、余弦定理的混合应用例：设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 。

若2b c a +=，则3sin 5sin ,A B =则角C =_____. 答案：π32 知识点：正余弦定理思路：（方法不唯一）先通过正弦定理求出三边的关系，然后再用余弦定理求角C 。

考点四 三角形的面积问题例：在ABC ∆中，角C B A 、、所对应的边分别为c b a 、、，若B C A 2=+，且,3,1==b a 求ABC S ∆的值 答案：23知识点：三角形的面积思路：先求出B ，然后由三角形面积公式即可。

考点五 最值问题例：在ABC ∆中，60,B AC ==，则2AB BC +的最大值为 答案：72知识点：正弦定理和三角恒等变换思路：（方法不唯一）先利用正弦定理，然后利用恒等变换，转化为正弦函数，求正弦函数的值域问题。

考点六 三角形形状的判断例：已知ABC ∆中，B b A a cos cos =，判断三角形的形状答案：等腰三角形或直角三角形知识点：正弦定理和二倍角公式思路：先由正弦定理化解，然后利用二倍角公式讨论即可。

考点七 三角形个数的判断例：在ABC ∆中，角C B A 、、所对应的边分别为c b a 、、，若 30=A ，且,3,1==b a 求c 的值 答案：1或2知识点：正余弦定理思路：分类讨论 60=B 或120=B 两种情况。

考点八 基本不等式在解三角形上的应用例：在ABC ∆中，角C B A 、、所对应的边分别为c b a 、、，若2,4==b a π，求ABC ∆的面积的最大值。

答案：12+知识点：三角形面积公式、余弦定理和基本不等式 思路：先利用三角形面积公式，然后用余弦定理，最后基本不等式求最值。

例：设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a B b A c -=，求tan()A B -的最大值。

答案：34知识点：正弦定理、正切差公式和基本不等式思路：先通过正弦定理，得到B A tan 4tan =，然后正切差公式，最后应用基本不等式。

考点九 平面向量在解三角形上的应用例：在ABC ∆中，6,AC AB ⋅=ABC ∆的面积A 答案：3π 知识点：三角形面积公式和平面向量中的余弦公式思路：先利用三角形面积公式，然后平面向量中的余弦公式即可。

例：在ABC ∆中，边c 所对的角为C ，向量)2sin ,2(cos ),2sin ,2(cos C C n C C m -==，且向量m 与n 的夹角是3π。

求角C 的大小 答案：3π=C知识点：向量中的坐标运算和余弦公式思路：先利用向量的坐标运算和余弦公式转化，然后求解。

考点十 数列在解三角形上的应用例：设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，若a b c ，，依次成等比数列，角B 的取值范围.答案：]3,0(π知识点：余弦定理、等比数列和基本不等式思路：先用等比数列，然后余弦定理，最后用基本不等式求最值。

考点十一 解三角形的实际应用例：如图，D C B A 、、、都在同一个与水平面垂直的平面内，D B 、为两岛上的两座灯塔的塔顶。

测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75， 30，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为 60，km AC 1.0=。

试探究图中D B 、间距离与另外哪两点间距离相等，然后求D B 、的距离（计算结果精确到km 01.0，414.12≈，449.26≈） 答案：知识点：正弦定理和三角形的相关知识思路：先通过三角形的相关知识进行转化，然后利用正弦定理就可以求出长度。

考点十二 解三角形的综合题型例：已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--=（1）求A （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c 。

答案：(1)60=A (2)2b c ==知识点：正余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换和诱导公式思路：（1）先通过正弦定理和诱导公式转化，转化完之后，利用三角恒等变换求出A 。

（2）利用角A ，再通过余弦定理，就可以求出,b c 的值。

数列数列是高考的必考知识点，每年都有考题，一般考查分数为10-17分。

考查的时候，可能是选择题、填空题，或解答题，有时单独考查，有时会与不等式，函数等知识点进行综合考查。

以前考题比较难一些，现在多数比较简单，但是常用的方法还是比较经典的。

知识点：数列的递推公式，数列的求通项公式，数列的求和，等差数列和等比数列知识点分解：（1）递推公式：建立前n 项和n S 和n a 的关系。

（2）等差数列的通项公式、公式、性质、等差中项以及前n 项和n S 等问题。

（3）等比数列的通项公式、公式、性质、等比中项以及前n 项和n S 等问题。

（4）数列求通项公式的几种方法。

（5）数列求和的几种方法。

（6）数列的综合问题必须具备的知识点：函数、导数、不等式，平面向量、三角函数等相关知识。

可能综合的知识点：数列的内部综合、与三角函数的综合、与导数的综合、以及与不等式的综合。

数列的常见题型：考点一 n S 和n a 的关系⎩⎨⎧=≥-=-1211n a n S S a n n n例：数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知2n S n =，求8a 的值，以及数列{}n a 的表达式。

答案：158=a ，12-=n a n知识点：递推公式思路：已知项数n ，求具体值；未知项数n ，求表达式。

考点二 等差数列1等差数列的公差和通项公式d n a a n )1(1-+=，（等差数列的通项公式，知三求一；如果已知d a ,1，那么求的是数列}{n a 的通项公式） d m n a a m n )(-+=（等差数列通项公式的变形公式）例：已知等差数列}{n a 中，3,131-==a a ,求数列的公差d 以及数列}{n a 的通项公式；答案：2-=d ，n a n 23-=知识点：等差的公差和通项公式思路：利用数列的通项公式先求出公差d ，然后求数列}{n a 的通项公式。

2 等差数列的性质q p m n +=+（都是正整数），q p m n a a a a +=+，q p n +=2（都是正整数），q p n a a a +=2，n a 是p a 和q a 的等差中项。

例：已知等差数列}{n a 中，7,195-==a a ,求131a a +以及7a 的值 答案：6131-=+a a ，37-=a知识点：等差数列的性质思路：等差数列的性质和等差中项可得到。

3 等差数列的求和2)1()(211d n n na a a n S n n -+=+=（知三求一，如果已知d a ,1，那么求的是n S 的表达式）， 21+=n n na S （n 为奇数）或m m a m S )12()12(-=-。

例：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36324S S ==，，则9S 的值 答案：63知识点：等差数列的求和思路：（方法不唯一）通过等差数列前n 项和为n S ，先求出1a 和d ，然后再利用等差数列前n 项和，求9S 。

4 等差数列求和中的最值问题n d a n d d n n na S n )2(22)1(121-+=-+=类似于二次函数，当0>d 时，n S 有最小值；当0<d 时，n S 有最大值。

例：设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，已知2,93-==d a ，求n S 中的最大值 答案：49.知识点：等差数列的和或二次函数的知识思路：先利用等差数列的前n 项和n S 表达式，然后利用二次函数的知识求最大值。