第二十三章 时间序列模型
《时间序列模型识别》课件
外汇汇率预测
外汇汇率预测是时间序列模型的又一重要应用。通过分析历史外汇汇率数据，时 间序列模型可以预测未来的汇率走势，帮助投资者制定外汇交易策略。
常用的时间序列模型同样适用于外汇汇率预测，如ARIMA、SARIMA、VAR、 VARMA等。这些模型能够捕捉外汇汇率的动态变化规律，为投资者提供有价值 的参考信息。
总结词
气候变化趋势分析是全球气候治理的重要基 础，利用时间序列模型可以对气候变化趋势 进行定量评估，为政策制定提供科学依据。
详细述
通过长时间尺度的历史气候数据，建立时间 序列模型，并利用该模型分析气候变化的趋 势。分析结果可以为应对气候变化、制定减 排政策等提供决策支持。
06
时间序列模型在生产领域 的应用
解释性
选择易于解释的模型，有助于 理解时间序列数据的内在规律 。
计算效率
考虑模型的计算效率和可扩展 性，以便在实际应用中快速处
理大量数据。
03
时间序列模型性能评估
预测精度评估
01
均方误差（MSE）
衡量预测值与实际值之间的平均 差异，值越小表示预测精度越高 。
02
平均绝对误差（ MAE）
计算预测值与实际值之间的绝对 差值的平均值，值越小表示预测 精度越高。
03
均方根误差（ RMSE）
将预测误差的平方和开方，反映 预测值的离散程度，值越小表示 预测精度越高。
模型稳定性评估
模型参数稳定性
评估模型参数在多次运行或不同数据集上的稳定性， 以确保模型的可靠性。
模型结构稳定性
时间序列模型讲义
时间序列模型讲义时间序列模型讲义一、概念介绍时间序列模型是一种用于分析和预测时间上变化的数据模型。
它是一种建立在时间序列数据上的数学模型，旨在揭示时间序列中的隐藏规律和趋势，并利用这些规律和趋势进行预测和决策。
二、时间序列的特征时间序列数据具有以下几个主要特征：1. 时间相关性：时间序列数据中的观测值在时间上是相关的，前一个时刻的观测值往往会影响后续时刻的观测值。
2. 趋势性：时间序列数据往往具有明显的趋势性，即观测值随时间呈现出递增或递减的趋势。
3. 季节性：时间序列数据中可以存在固定的周期性变化，比如月份、季节、一周等周期性变化。
4. 周期性：时间序列数据中可能存在非固定的周期性变化，比如经济周期、股票市场周期等。
三、时间序列模型的构建过程时间序列模型的构建过程主要包括以下几个步骤：1. 数据探索和预处理：对时间序列数据进行可视化和探索，查看数据的分布、趋势和周期性等特征，并进行缺失值处理、异常值处理等预处理操作。
2. 模型选择：选择适合数据特征的时间序列模型，常用的模型包括移动平均模型（MA模型）、自回归模型（AR模型）和自回归移动平均模型（ARMA模型）等。
3. 参数估计：利用已选定的时间序列模型，对模型中的参数进行估计，通常采用极大似然估计或最小二乘估计等方法。
4. 模型诊断：对估计得到的时间序列模型进行诊断，检验模型是否满足统计假设，例如模型的残差序列是否具有零均值和白噪声等特征。
5. 模型评价和预测：通过对模型在历史数据上的拟合程度进行评价，选择最优的模型，并利用该模型对未来的数据进行预测和决策。
四、常见的时间序列模型1. 移动平均模型（MA模型）：该模型假设当前观测值是过去几个时刻的观测值的加权平均，其中权重是模型的参数。
该模型适用于没有明显趋势和季节性的时间序列。
2. 自回归模型（AR模型）：该模型假设当前观测值是过去几个时刻的观测值的线性组合，其中系数是模型的参数。
该模型适用于具有明显的趋势性的时间序列。
时间序列模型(中南财经政法张虎2017)
P 18
1.1 统计学的作用
“挑战者”号航天飞机失事预测
1986年1月28日清晨，载有7名宇航员的挑战者号进入发射状态。就在发射前，
有冰片牢附在机壳上。几分钟后，正当电视新闻报道它已进入轨道时，航天飞机 在毁灭性的爆炸声中化成碎片，机上的宇航员片骨未存。
推动航天飞机进入太空的两个固体燃料发动机是由Thiokol公司制造的。失
P 15
1.1 统计学的作用
预测大学足球比赛的获胜得分差额
P 16
1.1 统计学的作用
日内循环
分别在早上和晚上仔细测量41个学生的身高，发现早上的测量值高于晚上 的测量值，平均差为9.6毫米。如果假设一天之内不同时间测量的身高没有差 别，则所出现的任何观测值的差别可以归因于测量上的误差，其以等概率在正 负两个方向上产生。在这种假设下，所有学生测定的差别为正（早上身高值更 大）的概率是2-41 ，即这个事件在1013次实验中最多发生5次。由此看来，我们 夜间睡眠时身高要长1厘米，白天工作却要缩减1厘米。
组合投资、资产定价、风险管理的核心是统计学，它使人们投资行为 更加理性；
基因治疗为许多不治之症带来一线曙光； ……..
P6
1.1 统计学的作用
卡尔曼滤波
给出非平稳随机系统状态的递推最小方差估计，带来控 制论“革命”。
广泛应用于：空间技术与军事，导航与制导（包括阿波
罗登月）， GPS 定位，雷达跟踪，大气观测，水文建模， 计量经济等。
我们相信上帝，除此之外，我们只 相信数据。
——James R.Evans
1.1 统计学的作用
数据世界
现实世界
了解世界
数据世界
改造世界
管理世界
时间序列模型概述
ψ < ∞。
u t 为白噪声过程。
u t 表示用∑ ψ L j = Θ( L) =Φ( L ) 1 + φ L + φ L 2 + ... + φ L pWold 分解定理：任何协方差平稳过程 x t ，都可以被表示为x t - μ- d t = u t + ψ1 u t -1+ ψ2 u t -2 + … + =其中μ表示 x t 的期望。
d t 表示 x t 的线性确定性成分，如周期性成分、时间 t 的多项式和指数 形式等，可以直接用 x t 的滞后值预测。
ψ0= 1， ∑∞j =0 j2x t 的滞后项预测 x t 时的误差。
u t = x t - E(x t |x t -1,x t -2 , …)∑∞ j =0 ψ u j t - j称为 x t 的线性非确定性成分。
当 d t = 0 时，称 x t 为纯线性非确定性过程。
Wold 分解定理由 Wold 在 1938 年提出。
Wold 分解定理只要求过程 2 阶平稳即可。
从原理上 讲，要得到过程的 Wold 分解，就必须知道无限个ψj 参数，这对于一个有限样本来说是不可 能的。
实际中可以对ψj 做另一种假定，即可以把ψ(L)看作是 2 个有限特征多项式的比，ψ(L)=j =0 1 2 p注意，无论原序列中含有何种确定性成分，在前面介绍的模型种类中，还是后面介绍的 自相关函数、偏自相关函数中都假设在原序列中已经剔除了所有确定性成分，是一个纯的随 机过程（过程中不含有任何确定性成分）。
如果一个序列如上式， x t =μ+ d t + u t + ψ1 u t -1+ ψ2 u t -2 + … +则所有研究都是在 y t = x t - μ- d t 的基础上进行。
例如前面给出的各类模型中都不含有均值项、 时间趋势项就是这个道理。
2.3 自相关函数以上介绍了随机过程的几种模型。
实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种 模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。
时间序列模型
时间序列模型时间序列模型是一种用于预测时间序列数据的统计模型。
这种模型可以帮助我们了解数据中的趋势、季节性和周期性，并基于这些信息做出未来的预测。
时间序列模型的核心思想是将过去的观察结果作为未来预测的基础。
通过对已有数据的分析和建模，我们可以确定模型的参数和时间序列的性质，从而进行准确的预测。
有许多不同的时间序列模型可以使用，其中最常用的是自回归移动平均模型（ARMA）和自回归集成移动平均模型（ARIMA）。
这些模型假设未来的数值是过去的线性组合，并通过对数据进行差分来观察数据的趋势。
另一个流行的时间序列模型是季节性自回归集成移动平均模型（SARIMA），它在ARIMA模型的基础上增加了季节性组分。
这种模型特别适用于季节性数据，可以更好地捕捉季节性的规律。
除了上述模型之外，还有各种其他的时间序列模型，例如指数平滑模型、灰度预测模型和波动性模型等。
这些模型在数据的不同方面和性质上有不同的适用性。
时间序列模型的应用非常广泛，可以用于经济预测、股票价格预测、天气预测等领域。
它可以帮助我们研究和理解时间序列数据中的规律，并根据过去的观测结果做出未来的预测。
然而，时间序列模型也存在一些不足之处。
首先，它假设未来的数值是过去的线性组合，而无法捕捉非线性的规律。
其次，时间序列模型在数据中存在异常值或离群值时表现不佳。
此外，时间序列模型无法处理缺失值，而且对于长期预测的准确性可能会受到影响。
综上所述，时间序列模型是一种重要的统计模型，可以用于预测时间序列数据。
它能够帮助我们了解数据中的趋势、季节性和周期性，并根据这些信息做出未来的预测。
然而，我们在使用时间序列模型时需要注意其假设和限制，并结合实际情况进行分析和解释。
时间序列模型是一种用于分析和预测时间序列数据的统计模型。
它可以帮助我们识别和理解数据中隐含的模式和趋势，并以此为基础进行未来的预测。
时间序列模型广泛应用于各个领域，如经济学、金融学、交通规划、气象预测等。
时间序列模型概述
时间序列模型概述时间序列模型是一种用于预测时间序列数据的统计模型。
时间序列数据是一系列按照时间顺序排列的数据点。
例如，股票价格、气温、销售额都是时间序列数据。
时间序列模型能够分析数据中的趋势、周期性和季节性，提供对未来的预测。
时间序列模型的建立是基于以下几个假设：1. 时序依赖：时间序列数据中的每个数据点都依赖于之前的数据点。
这意味着前一时刻的数据对当前时刻的数据有影响。
2. 稳定性：时间序列数据的统计特性在时间上保持不变。
这意味着数据的平均值和方差不会随时间而变化。
3. 随机性：时间序列数据中的噪声是随机的，即不受任何规律的干扰。
为了建立时间序列模型，我们需要对数据进行预处理和分析。
首先，我们需要对数据进行平稳性检验，确保数据的均值和方差在时间上保持不变。
如果数据不稳定，我们可以采用一些技术，如差分操作，将其转化为稳定的形式。
接下来，我们需要对时间序列数据进行分解，找出其中的趋势、周期性和季节性。
常用的分解方法有加法分解和乘法分解。
加法分解将时间序列数据分解为趋势、季节性和误差项的和，乘法分解将时间序列数据分解为趋势、季节性和误差项的乘积。
在分解的基础上，我们可以选择适合的时间序列模型进行建模和预测。
常见的时间序列模型有：1. 自回归移动平均模型（ARMA）：基于时间序列数据的自回归和移动平均过程。
ARMA模型适用于没有趋势和季节性的时间序列数据。
2. 自回归积分移动平均模型（ARIMA）：在ARMA模型的基础上，增加了对时间序列数据的差分操作。
ARIMA模型适用于具有趋势但没有季节性的时间序列数据。
3. 季节性自回归积分移动平均模型（SARIMA）：在ARIMA 模型的基础上，增加了对时间序列数据的季节性差分操作。
SARIMA模型适用于具有趋势和季节性的时间序列数据。
4. 季节性分解模型（STL）：将时间序列数据进行分解，然后对趋势、季节性和残差进行建模。
STL模型适用于具有明显季节性的时间序列数据。
数学模型讲座时间序列模型
二、时间序列模型的基本概念
时间序列分析理论框架图
二、时间序列模型的基本概念
随机过程的基本概念
随机过程stochastic process 设T 是某个集合，俗称足标集，对任意固定
tT，Yt 是随机变量， tT 的全体{ Yt ；tT }称 为T 上的随机函数。记为{ Yt }
114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810
14.39 12.98 11.60 11.45 11.21 10.55 10.42 10.06 9.53
803 896 1070 1331 1781 2311 2726 2944 3094
JAN 1991
19S9E2P
19M9A2Y
JAN 1993
19S9E4P
1M99A4Y
1J9A9N5 19S9E6P
19M9A6Y
1J9A9N7 19S9E8P
19M9A8Y
1J9A9N9 20S0E0P
20M0A0Y
2J0A0N1 20S0E2P
2002
Date
SALES
一、时间序列的基本特征
一、时间序列的基本特征
时间序列的编制原则
时间长短要一致 总体范围要一致 指标内容要一致
计算方法和口径要一致 Remark：这仅限于经典的时间序列，在高频数据中，时间长短可以
不一致，例如交易时间间隔可以不一致.
一、时间序列的基本特征
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
EX t X t j j j 0
时间序列模型
时间序列模型定义时间序列:是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列。
时间序列预测技术：通过对预测目标自身时间序列的处理，来研究其变化趋势。
组成要素：一个时间序列通常由4种要素组成：趋势、季节变动、循环波动和不规则波动。
趋势：是时间序列在长时期内呈现出来的持续向上或持续向下的变动。
季节变动：是时间序列在一年内重复出现的周期性波动。
它是诸如气候条件、生产条件、节假日或人们的风俗习惯等各种因素影响的结果。
循环波动：是时间序列呈现出得非固定长度的周期性变动。
循环波动的周期可能会持续一段时间，但与趋势不同，它不是朝着单一方向的持续变动，而是涨落相同的交替波动。
不规则波动：是时间序列中除去趋势、季节变动和周期波动之后的随机波动。
不规则波动通常总是夹杂在时间序列中，致使时间序列产生一种波浪形或震荡式的变动。
只含有随机波动的序列也称为平稳序列。
时间序列分析预测法的特点：（1）假定事物的过去趋势会延伸到未来；（2）预测所依据的数据具有不规则性；（3）撇开了市场发展之间的因果关系。
时间序列的特征：不同的时间序列有不同的特征，例如一个人在一年中每天消耗的粮食基本上是相同的，把这365个数字排列起来。
发现它所构成的时间序列总保持在一定水平，上下相差不太大，我们称它是"平稳"时间序列。
它的取值和具体是哪个时期无关，只和时期的长短有关。
一般来说．只有属于平稳过程的时间序列．才是可以被预测的。
优点：时间序列预测法对于中短期预测的效果要比长期预测的效果好，结构简单、预测速度快、方便操作，对平稳性较好的时间序列具有较好的预测效果。
缺点：突出时间序列暂不考虑外界因素影响，因而存在着预测误差的缺陷，当遇到外界发生较大变化，往往会有较大偏差；对非平稳序列预测效果较差，多步预测误差较大。
决策和控制: 根据时间序列模型可调整输入变量使系统发展过程保持在目标值上，即预测到过程要偏离目标时便可进行必要的控制。
时间序列的作用：1.可以反映社会经济现象的发展变化过程，描述现象的发展状态和结果。
时间序列模型
2、二次指数平滑法
clc,clear load fadian.txt %原始数据以列向量的方式存放在纯文本文 件中 yt=fadian; n=length(yt); alpha=0.3; st1(1)=yt(1); st2(1)=yt(1); for i=2:n st1(i)=alpha*yt(i)+(1-alpha)*st1(i-1); st2(i)=alpha*st1(i)+(1-alpha)*st2(i-1); end xlswrite('fadian.xls',[st1',st2']) a=2*st1-st2 b=alpha/(1-alpha)*(st1-st2) yhat=a+b; xlswrite('fadian.xls',yhat','Sheet1','C2') str=char(['C',int2str(n+2)]); xlswrite('fadian.xls',a(n)+2*b(n),'Sheet1',str)
时间序列模型
时间序列：
定义1：时间序列就是一组统计数据， 依其发生时间的先后顺序排成的序列。 定成的序列称为时间序列。
时间序列模型：
时间序列模型就是利用时间序列中的 相关信息建立起来的，因而它是序列动态 性和发展变化的规律的描述，我们可以建 立时间序列模型来对时间序列的未来取值 进行预测 。
yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1))/n;
end yhat2 plot(1:21,y,'*') a21=2*yhat1(end)-yhat2(end) b21=2*(yhat1(end)-yhat2(end))/(n-1) y1986=a21+b21 y1987=a21+2*b21
数学建模之时间序列模型
一、时间序列时间序列分析是当前对动态数据处理的一种有效方法,它不要求考虑影响观测值的各种力学因素,而只是分析这些观测数据的统计规律性。
通过对时间序列统计规律性进行分析,构造拟合出这些规律的可能数值,最后给出预测结果的精度分析。
1.1AR 模型：1.1.1 模型的应用①年降雨水量的预测， ②城市税收收入的预测。
1.1.2步骤 ①模型识别令均值为零的时间序列(1,2,,)t x t n = ,延迟k 周期的自协方差函数是[],k k t t k E y y γγ-+==（1）用ˆk γ、ˆk ρ分别表示自协方差函数的估计值和自相关函数的估计值,则自相关系数为kk k γρργ-==（2） 11ˆˆ,0,1,2,,1n kk k t t k t y y k n n γγ-+==-==-∑ （3）ˆˆˆ,0,1,2,,1kk k k n γρργ-===- （4） （1）对p 阶AR(P)模型有01122t t t p t p t x x x x φφφφε---=+++++ （5）{}00,()t x AR p φ=当为中心化序列,当00φ≠，可通过平移得到中心化()AR p 序列。
用B 表示移位算子，1;t t j t t j Bx x B x x --==，则AR(P)模型的算子形式：212(1)p p t t B B B x φφφε----=即()p t t B x φε=（5）两边同乘t k x +后再取均值得：1122[,][,()]t k t t k t t p t p t E x x E x x x x φφφε++---=++++由协方差函数函数得：211220k k k p k p k r εφγφγφγσδ---=++++ （6）取0,1,2,,k p = ，再将得到的差分方程两边同时除以0γ得：11211211221122p p p p p p p pρφφρφρρφρφφρρφρφρφ----=+++=+++ =+++（7）由上式（7）可得，k ρ应该满足：()0,0p k B k φρ=>（8）解得通解为1122k k kk p pc c c ρλλλ---=+++ （9） 其中,1,2,,i c i p = 可以由p 个初值021,,,p ρρρ- 代入计算得到，,1,2,,i i p λ= 是特征方程()0p B φ=的根。
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庞 辉
模型简介
时间序列的建立和平稳化
时间序列的图形化观察
时间序列的建模与预测
一、模型简介
1.基本概念
时间序列是某一个或某几个统计指标长期变动的数量表现。
y1 , y2 , y3 , yt ，其中t表 通常，讲时间序列描述成一个有序的数列：
示时间序号。
可能包含的4种信息：长期趋势、循环、季节变化、不规则 变化。
案例 2
文件cross.sav是一个模拟数据集，其中的x变量 服从标准正态分布，z1、z2分别是其一阶和二阶滞 后序列，而y=0.5z1+0.5z2.请使用互相关图进行序 列x和y间关系的描述
四、时间序列的建模
方法
（1）指数平滑法：用序列过去值的加权均数来预测将来的值， 并且给序列中近期的数据以较大的权重，远期的数据给予较小
3.具有周期性的非平稳序列，其自相关函数呈明显的周期性 波动，且以周期长度及其整数倍数为阶数的自相关和偏自相关 函数值均显著不为零。 4.具有不规则变化的时间序列，自相关函数值会在一定的阶 数之后较快的趋于零，而偏自相关函数则会很快的落入到置信 区间内。
互相关图：对两个及以上的时间序列之间关系进 行相关性分析的图形工具。互相关图是依据互相关 函数绘制出来的，是不同时间序列不同时期滞后序 列的相关性分析。 （前提，各个时间序列是平稳的）
的权重。
基本公式：
Ft 1 Yt （ 1 - ）Ft
2 N -1 1- ）Yt -1 （ 1- ） Yt -2 （ 1- ） Yt（ = Yt （ - N -1）
（2）ARIMA
①AR模型 （ AR（p） ②MA模型 （MA（q） ） ）
• **** 对于既有趋势性又有季节变化的序列，可同时进行差
分和季节差分处理。消除序列中随机波动的影响（不规则变 化）用平滑处理（包括：移动平均法、移动中位数以及以上 两者的结合）
2.分析步骤
运用一些探索性的手段，探索模型的重要特征，选择合
适的建模方法。
通过各种方法，得到比较合适的时间序列模型框架 模型诊断，包括拟合优度分析、残差分析、异常值分析
1970年全年逐月的数据情况。
三、时间序列的图形化观察
1.序列图 2.自相关图 3.互相关图 （例：NRC.sav） （例：cross.sav）
自相关是指序列与其自身经过某些阶数之后形成 的序列之间存在某种程度的相关性。自相关图和偏自 相关图将时间序列各阶滞后的自相关和偏自相关函数
值以及在一定置信水平下的置信区间直观的展现出来。
• 差分：后值减前值，消除前后数据的依赖性。 季节差分：用后一个周期相同位置的值减去前一个周期相 同位置的值，没有定义周期的数据不能做季节性差分。 • 移动平均法：在原时间序列内依次求连续若干期的平均数 作为其某一期的趋势值，如此逐项递移求得一系列的移动平 均数，形成一个新的、派生的平均数时的时间序列。
等 ④ 选择一个表现最好的模型
⑤ 用所选的模型做预测
⑥ 随着数据量的增加，不断调整模型
二、时间序列的建立和平稳化
1.填补缺失值
2.定义时间变量 （例：NRC.sav） （例：NRC.sav）
3.时间序列的平稳化
案例 1
数据NRC.sav记录了美国1947年1月到1969年12
月住宅建筑的数据，现希望能通过历史数据来预测
③ARMA和ARIMA模型
（ ARMA（p，q） z t - 1z t-1 2z t-2 p z t-p t
t -1t -1 -2 t -2 -3t -3 - -q t -q
Hale Waihona Puke ）（ARIMA(p，d，q)
）
自相关图和偏自相关图特征和规律：
1.白噪声序列的各阶自相关函数和偏自相关值在理论上均为0. 但实际中序列多少会有一些相关性，但一般大多数会落在置信 区间内，同时没有明显的变化规律。 2.具有趋势性的非平稳时间序列，序列的各阶自相关函数值 显著不为零，同时随着阶数的增大，函数值呈缓慢下降的趋势； 偏自相关函数值则呈明显的下降趋势，很快落入置信区间。