d1_1函数的定义与性质
高数课件(同济第五版)D1_1映射与函数
解: 当 1≤ x < 0 时, y = x ∈( 0, 1] , 则 x = y , y ∈( 0, 1] 当 0 < x ≤1 时, y = ln x ∈( ∞, 0] , 则 x = e , y ∈( ∞, 0]
y
2e
2
1 1 o 1 2x
当 1< x ≤ 2 时, y = 2ex1∈( 2, 2e] , y 则 x =1+ ln 2 , y ∈( 2, 2e] 反函数 y =
o 1
y = th x x
机动
目录
上页
下页
返回
结束
(4) 周期性
x ∈D, l > 0, 且 x ± l ∈D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
π 2π
o π 2π x
周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f (x) = C 狄里克雷函数
( 自学, P17 – P21 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
非初等函数举例: 符号函数 当x>0 当x=0 当x<0 取整函数 当
y
2 1o 1 2 3 4
y
1
o
1
x
x
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例5. 求 y =
x2 , 1≤ x < 0 ln x , 0 < x ≤1 的反函数及其定义域. x1 2e , 1< x ≤ 2 y
* M 表示 M 中排除 0 的集 ;
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
+
2024年苏教版高一数学下册阶段测试试卷含答案
2024年苏教版高一数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、下面给出了关于复数的三种类比推理：其中类比错误的是（）①复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则；②由向量的性质||2=2可以类比复数的性质|z|2=z2；③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．A. ②B. ①②C. ①③D. ③2、已知且四边形ABCD为平行四边形，则（）A.B.C.D.3、已知复数则( )A.B.C.D.4、函数的图象大致为下图的( )5、若复数（a2-a-2）+（|a-1|-1）i（a∈R）不是纯虚数，则a的取值范围是（）A. a≠-1或a≠2B. a≠-1且a≠2C. a≠-1D. a≠26、已知复数x+（y-2）i，（x，y∈R）的模为则的取值范围是（）A. [-]B. （-∞，-]∪[+∞）C. [-]D. （-∞，-]∪[+∞）评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)7、（2015•吉林校级四模）如图，在正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是C1D的中点，P是棱CC1所在直线上的动点．则下列四个命题：①CD⊥PE②EF∥平面ABC1③④过P可做直线与正四棱柱的各个面都成等角．其中正确命题的序号是____（写出所有正确命题的序号）．8、抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点F的距离等于6的坐标是____．9、已知集合A={x|x2+x+1=0，m≥0}，若A∩R=∅，则m的取值范围是____．10、若函数f（x）=x2+（a+2）x+3，x∈[a，b]，且满足f（x-1）=f（1+x），则a=____，b=____．11、【题文】已知命题p：x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0，则命题p的否定是____12、若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，则 ______ （写出所有正确结论编号）①四面体ABCD每组对棱相互垂直。
f分布的特点
f分布的特点一、f分布的定义f分布（F-distribution）是一种连续概率分布，由两个独立的卡方分布构成。
它在统计学和实证研究中经常用于比较统计模型的方差或回归系数的显著性。
二、f分布的概率密度函数与分布特点f分布的概率密度函数如下：其中，d1和d2分别为两个独立卡方随机变量的自由度。
根据f分布的定义和概率密度函数，我们可以总结出以下f分布的特点：1. f分布非对称性f分布是非对称的，且对称轴不是x轴。
f分布的非对称性影响了其计算和应用方法。
2. f分布的范围和性质由于卡方分布的特性，f分布的范围是从0到正无穷。
在实际应用中，我们通常关注分布的右尾，即f值较大的情况。
3. f分布的自由度f分布的自由度有两个参数，分别为d1和d2。
其中，d1是分子方差的自由度，d2是分母方差的自由度。
这两个参数影响了f分布的形状和尾部厚度。
4. f分布的形状f分布的形状取决于自由度参数。
当两个参数较小时，f分布的峰度较高，表示方差的差异较小。
当两个参数较大时，f分布的峰度较低，表示方差的差异较大。
5. f分布的应用f分布在统计假设检验中扮演了重要的角色。
通过计算f统计量，我们可以判断两个样本方差（或回归系数）之间是否存在显著差异。
三、f分布的应用举例1. 单因素方差分析在单因素方差分析中，我们通常使用f分布来比较多个组之间的方差是否存在显著差异。
假设我们有一个实验，有k组实验数据，我们希望判断这k组数据的均值是否相等。
通过计算f统计量，可以得出结论。
2. 线性回归分析在线性回归分析中，我们通常使用f分布来判断回归系数的显著性。
假设我们有一个多元线性回归模型，我们可以通过f统计量来判断模型中每个回归系数是否显著。
3. 多重比较在进行多重比较时，我们也常常使用f分布。
例如，在多个不同的实验条件下进行对比时，我们可以使用f分布来判断不同条件下的均值是否存在显著差异。
四、结论f分布作为一种常用的概率分布，具有非对称性、范围性、自由度、形状和应用广泛等特点。
一元函数的极限与连续性函数的局部与整体性质
一元函数的极限与连续性函数的局部与整体性质一元函数是数学中的基础概念之一，它在很多数学分支中都有广泛的应用。
了解一元函数的极限与连续性函数的局部与整体性质对于理解数学的发展和应用都具有重要的意义。
本文将介绍一元函数的极限以及连续性函数的局部与整体性质。
1. 一元函数的极限一元函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于一个确定的值。
在数学中，一般使用极限符号lim来表示。
一元函数的极限可以分为左极限和右极限。
当自变量趋近于特定值时，从左侧靠近时的极限为左极限，从右侧靠近时的极限为右极限。
2. 连续性函数的局部性质连续性是一元函数的重要性质之一。
函数在某一点处连续，意味着函数在该点附近的取值都非常接近。
根据连续性函数的局部性质，如果一个函数在某一点处连续，则在该点的一个小邻域范围内，函数的取值也会非常接近。
3. 连续性函数的整体性质连续性函数的整体性质是指在整个定义域范围内，函数的取值变化连贯、平滑。
如果一个函数在其定义域的每一个点处都连续，那么这个函数就是一个连续性函数。
在数学中，可以使用极限的概念来判断一个函数是否连续。
如果一个函数在其定义域的每一个点处的左极限和右极限存在且相等，那么这个函数就是一个连续性函数。
4. 极限与连续性函数的关系极限与连续性函数密切相关。
一元函数的连续性可以通过极限的存在与否来判断。
如果一个函数在某一点的极限存在且与该点的函数值相等，那么该函数在该点处连续。
反之，如果一个函数在某一点的极限不存在或与该点的函数值不相等，那么该函数在该点处不连续。
总结起来，一元函数的极限与连续性函数的局部与整体性质是数学中重要的概念和性质。
通过研究一元函数的极限，我们可以了解到函数在自变量趋近于某个特定值时的取值情况。
而连续性函数的局部与整体性质则使我们能够判断函数在某一点处的连续性。
在实际应用中，我们可利用这些性质解决各种与数学相关的问题。
通过对一元函数的极限与连续性函数的局部与整体性质的学习与探究，我们可以深入了解数学的基本概念与性质，为今后的数学学习打下牢固的基础。
一元函数的极值定义
一元函数的极值定义一元函数的极值是指函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。
在数学中，极值是函数的重要性质之一，它可以帮助我们了解函数的特性以及解决实际问题。
我们来讨论一元函数的极大值。
对于一元函数f(x)，如果存在一个点x0，使得在x0的某个邻域内，对于任意的x，有f(x0) ≥ f(x)，那么称f(x0)为函数f(x)在x0处的极大值。
换句话说，极大值是函数在某一点上取得的最大值。
要确定函数的极大值，我们可以通过求导数来找到函数的驻点，然后通过二阶导数的符号来判断驻点是极大值还是极小值。
具体来说，如果二阶导数大于零，则该驻点是极小值；如果二阶导数小于零，则该驻点是极大值。
接下来，我们来讨论一元函数的极小值。
对于一元函数f(x)，如果存在一个点x0，使得在x0的某个邻域内，对于任意的x，有f(x0) ≤ f(x)，那么称f(x0)为函数f(x)在x0处的极小值。
换句话说，极小值是函数在某一点上取得的最小值。
和求极大值类似，我们也可以通过求导数和二阶导数的符号来确定函数的极小值。
在实际问题中，极值的应用非常广泛。
例如，在经济学中，我们可以利用一元函数的极值来研究企业的利润最大化问题。
假设一个企业的利润函数为P(x)，其中x表示生产的数量。
为了确定企业的最佳生产数量，我们可以通过求解P(x)的极大值来找到最大利润对应的生产数量。
同样地，在物理学中，我们可以利用一元函数的极值来研究物体在某一时刻的最大速度或最大加速度。
一元函数的极值也可以用于优化问题的求解。
例如，我们想要在一定的约束条件下，求解一个函数的最大值或最小值。
这类问题被称为约束优化问题，而求解这类问题的方法之一就是利用一元函数的极值。
我们可以将约束条件转化为等式或不等式，然后通过求解等式或不等式的极值来找到函数的最大值或最小值。
一元函数的极值是函数的重要性质之一，在数学和应用领域中都有广泛的应用。
通过求解极值，我们可以了解函数的特性，解决实际问题，并在优化问题中找到最优解。
2024北京高中合格考数学(第一次)(教师版)
2024北京高中合格考数学（第一次）考生须知：1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题 共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =−=，则AB =（ ） A. {}1B. {}2C. {}1,2D. {}1,0,1,2− 2. 复数2i =（ ）A. iB. i −C. 1D. 1−3. 函数()()21f x x x =+的零点为（ ） A. 1− B. 0 C. 1 D. 24. 已知向量()()0,1,2,1a b ==，则a b −=（ ）A. ()0,2−B. ()2,0C. ()2,0−D. ()2,2 5. 不等式21x >的解集为（ ） A. {}10x x −<< B. {}01x x << C. {}11x x −<< D. {1x x <−或}1x > 6. 在空间中，若两条直线a 与b 没有公共点，则a 与b （ ）A. 相交B. 平行C. 是异面直线D. 可能平行，也可能是异面直线7. 在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =−的图象（ ）A. 关于原点对称B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于直线y x =对称 8. 已知,a b R R ，则“a b =”是“22a b =”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 1610. 已知函数(),01,0x x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =，则0x =（ ） A. 12 B. 12− C. 2 D. 2−11. 在ABC 中，7,3,5a b c ===，则A ∠=（ ）A. 30︒B. 60︒C. 90︒D. 120︒12. 下列函数中，存在最小值的是（ ）A. ()1f x x =−+B. ()22f x x x =−C. ()e x f x =D. ()ln f x x = 13. 贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：A. 40.3%B. 40.45%C. 40.6%D. 41.4%14. 若tan 1α=−，则角α可以为（ ）A. π4B. π6C. 3π4D. 5π615. 66log 2log 3+=（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 16. 函数()f x =的定义域为（ ） A. [)3,∞−+ B. [)2,−+∞ C. [)2,+∞ D. [)4,+∞17. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，P 为BC 的中点.若1AB =，则三棱锥1D ADP −的体积为（ ）A. 2B. 1C. 12D. 16 18. ()2sin15cos15︒+︒=（ ） A. 12 B. 1 C. 32 D. 219. 已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则a b −的取值范围是（ ）A. []1,0−B. []0,1C. []1,1−D. []22−,20. 某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（ ）A. 最多有1651名学生B. 最多有1649名学生C. 最少有618名学生D. 最少有617名学生第二部分（非选择题 共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21. 已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则α=_______．22. 已知,a b R R ，且a b >，则2a −________3b −（填“>”或“<”）.23. 已知向量,,a b c ，其中()1,0a =.命题p ：若a b a c ⋅=⋅，则b c =，能说明p 为假命题的一组b 和c 的坐标为b =________，c =________.24. 已知的()11f x x =+，给出下列三个结论： ①()f x 的定义域为R ；②()(),0x f x f ∀∈≤R ；③k ∃∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点.其中所有正确结论的序号是________.三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25. 已知函数()2cos2f x x =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 26. 阅读下面题目及其解答过程. ①________.D ∈，且f )个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”），()0,+∞ )27. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求证：//PB 平面AEC .28. 已知()00000,,,a b c d α=和数表111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=.若数表A 满足如下两个性质，则称数表A 由0α生成. ①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈−−−−中有三个1−，一个3；②存在{}1,2,3k ∈，使,,,k k k k a b c d 中恰有三个数相等.（1）判断数表566645593848A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否由()06,7,7,3α=生成；（结论无需证明）（2）是否存在数表A 由()06,7,7,4α=生成？说明理由；（3）若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，写出0d 所有可能的值.参考答案第一部分（选择题 共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】A【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解.【详解】集合{}{}1,0,1,1,2A B =−=，根据集合交集的运算，可得{}1A B ⋂=.故选：A.2. 【答案】D【分析】直接根据复数的运算得答案.【详解】2i 1=−.故选：D.3. 【答案】B【分析】解方程求得方程的根，即可得相应函数的零点.【详解】令()()210f x x x =+=，则0x =， 即函数()()21f x x x =+的零点为0， 故选：B4. 【答案】C【分析】直接利用向量的坐标运算计算即可.【详解】()()0,1,2,1a b ==,()2,0a b ∴−=−.故选：C.5. 【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由题意知，211x x >⇒<−或1x >， 所以原不等式的解集为{1x x <−或1}x >.故选：D6. 【答案】D【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案.【详解】由题意知在空间中，两条直线a 与b 没有公共点，即a 与b 不相交，则a 与b 可能平行，也可能是异面直线，故选：D7. 【答案】B【分析】根据函数上点的关系即可得函数图象的关系.【详解】当x a =时，()y f a =与()y f a =−互为相反数，即函数()y f x =与()y f x =−的图象关于x 轴对称.故选：B.8. 【答案】A【分析】直接根据充分性和必要的定义判断求解.【详解】当a b =时，22a b =，当22a b =时， a b =±，则“a b =”是“22a b =”的充分而不必要条件.故选：A .9. 【答案】A【分析】直接根据古典概型的计算公式求解即可.【详解】由已知得随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲有4种赠法，其中游客甲得到“春”或“冬”款书签的有2种赠法，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为2142=. 故选：A.10. 【答案】A【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案.【详解】当0x ≤时，()0f x x =≤，当0x >时，1()0f x x =>， 故由()02f x =，得001122,x x =∴=， 故选：A11. 【答案】D【分析】根据余弦定理求角，即可得答案.【详解】在ABC 中，7,3,5a b c ===， 由余弦定理得222925491cos 22352b c a A bc +−+−===−⨯⨯, 而A 为三角形内角，故120A =︒，故选：D12. 【答案】B【分析】根据函数的单调性及值域分别判断最小值即可.【详解】()1f x x =−+单调递减值域为R ,无最小值，A 选项错误；()22f x x x =−在(),1−∞单调递减，在()1,+∞单调递增，当1x =取得最小值，B 选项正确；()e x f x =单调递增，值域为()0,+∞，无最小值，C 选项错误；()ln f x x =单调递增，值域为R ,无最小值，D 选项错误.故选:B.13. 【答案】B【分析】将数据从小到大排列，然后求中位数即可.【详解】把这10年占比数据从小到大排列得38.6%,38.9%,39.2%,39.6%,40.3%,40.6%,41.4%,42.2%,42.4%,45.4%， 中位数为40.3%40.6%40.45%2+=. 故选：B14. 【答案】C【分析】直接根据正切值求角即可.【详解】tan 1α=−,3ππ,4k k α∴=+∈Z ，观察选项可得角α可以为3π4. 故选：C.15. 【答案】B【分析】直接利用对数的运算性质计算即可.【详解】()66661l o 2og 2log 3l g l g 36o ==+⨯=.故选：B.16. 【答案】C【分析】根据函数()f x 的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由函数()f x =有意义，则满足390x −≥，即2393x ≥=，解得2x ≥，所以函数()f x 的定义域为[)2,+∞.故选：C.17. 【答案】D【分析】直接利用棱锥的体积公式计算.【详解】因为1DD ⊥面ADP 所以1111111113326D ADP ADP V DD S −=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=. 故选：D.【分析】按完全平方公式展开后，结合同角的三角函数关系以及二倍角正弦公式，即可求得答案.【详解】()2223sin15cos15sin 152sin15cos15cos 151sin 302︒+︒=︒+︒︒+︒=+︒=， 故选：C19. 【答案】C【分析】先通过条件求出a 的范围，再消去b 求范围即可.【详解】由1a b +=得1b a =−，所以10a −≥，得01a ≤≤，所以()[]1211,1a b a a a −=−−=−∈−.故选：C.20. 【答案】D【分析】根据题意求出最多和最少的人数即可.【详解】185036162÷=,6161617+=，即研学人数最多的地点最少有617名学生，18501001001650−−=，即研学人数最多的地点最多有1650名学生.故选：D第二部分（非选择题 共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21. 【答案】2【分析】由幂函数所过的点可得24α=，即可求α.【详解】由题设，(2)24f α==，可得2α=.故答案为：222. 【答案】<【分析】根据不等式的基本性质即可求解.【详解】由题意知，a b >，则a b −<−，所以23a b −+<−+，即23a b −<−.故答案为：<23. 【答案】 ①. ()0,1（答案不唯一） ②. ()0,2（答案不唯一）【分析】直接根据0a b a c ⋅=⋅=可得答案.【详解】让0a b a c ⋅=⋅=即可，如()()0,1,0,2b c ==，此时b c ≠故答案为：()()0,1,0,2（答案不唯一）.【分析】①直接观察函数可得答案；②通过0x ≥求出()f x 的最值即可；③将问题转化为1y k =与()()1y g x x x ==+的交点个数即可. 【详解】对于①：由10x +≠恒成立得()f x 的定义域为R ，①正确； 对于②：()1011101x x f x ≥⇒+≥⇒≤=+，②正确； 对于③：令11kx x =+，变形得()11x x k+=， 作出函数()()22,01,0x x x g x x x x x x ⎧+≥=+=⎨−+<⎩的图象如下图：根据图象可得()g x 在R 上单调递增， 故1y k=与()y g x =只有一个交点，即不存在k ∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点，③错误.故答案为：①②. 三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25. 【答案】（1） π（2） 最大值为2，最小值为-2【分析】（1）结合公式2πT ω=计算直接得出结果；（2）由题意求得02πx ≤≤，根据余弦函数的单调性即可求解.【小问1详解】 由2π2ππ2T ω===， 知函数()f x 的最小正周期为π；【小问2详解】由π02x ≤≤，得02πx ≤≤， 令2x θ=，则0πθ≤≤， 函数cos y θ=在[0,π]上单调递减，所以1cos θ1， 所以2()2f x −≤≤，即函数()f x 在π[0,]2上的最大值为2，最小值为-2.26. 【答案】ABABA【分析】根据()f x 的定义域以及函数奇偶性的定义可解答①②；根据函数单调性的定义，结合用单调性定义证明函数单调性的步骤方法，可解答③④⑤.【详解】①由于()22x x f x −=+的定义域为R ，故A 正确； ②由于()2()2x x x x f f −−=+=，故B 正确；③根据函数单调性定义可知任取()12,0,x x ∈+∞，故A 正确；④因为120x x <<，所以1222x x <，故12220x x −<，故B 正确；⑤因为120x x <<，故120x x +>，故121221,210x x x x ++>∴−>，故A 正确.27. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质可得BD PA ⊥，结合线面垂直判定定理即可证明；（2）设AC 与BD 交于点O ，连接OE ，则//OE PB ，结合线面平行的判定定理即可证明.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥，又平面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又,PA AC A PA AC 、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ；【小问2详解】E 为PD 的中点，设AC 与BD 交于点O ，连接OE ，则//OE PB ，又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .28. 【答案】（1）是 （2）不存在，理由见解析（3）3，7，11.【分析】（1）根据数表A 满足的两个性质进行检验，即可得结论；（2）采用反证的方法，即若存在这样的数表A ，由性质①推出对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，则推出不满足性质②，即得结论；（3）判断出0d 的所有可能的值为3，7，11，一方面说明0d 取这些值时可以由()007,12,3,d α=生成数表A ，另一方面，分类证明0d 的取值只能为3，7，11，由此可得0d 所有可能的值.【小问1详解】数表566645593848A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是由()06,7,7,3α=生成；检验性质①：当0i =时，561,671,671,633−=−−=−−=−−=，共三个1−，一个3； 当1i =时，451,561,561,963−=−−=−−=−−=，共三个1−，一个3； 当2i =时，341,853,451,891−=−−=−=−−=−，共三个1−，一个3； 任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈−−−−中有三个1−，一个3；检验性质②：当1k =时，11115,6,6,6a b c d ====，恰有3个数相等.【小问2详解】不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成,理由如下:若存在这样的数表A ，由性质①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈−−−−中有三个1−，一个3， 则13i i a a +−=或-1，总有1i a +与i a 的奇偶性相反，类似的，1i b +与i b 的奇偶性相反，1i c +与i c 的奇偶性相反，1i d +与i d 的奇偶性相反； 因为00006,7,7,4a b c d ====中恰有2个奇数，2个偶数，所以对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，此时,,,k k k k a b c d 中至多有2个数相等，不满足性质②；综上，不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成；【小问3详解】0d 的所有可能的值为3，7，11.一方面，当03d =时，(71233),,,可以生成数表611265105541344A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当07d =时，(71237),,,可以生成数表611665145541744A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当011d =时，(712311),,,可以生成数表611610510998988A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；另一方面，若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，首先证明：0d 除以4余3；证明：对任意的0,1,2,3i =，令i i i a b ∆=−，则()()()()11111ΔΔi i t i i i i i i i a b a b a a b b +++++−=−−−=−−−， 分三种情况：（i ）若11i i a a +−=−，且11i i b b +−=−，则10i i +∆∆=−； （ii ）若11i i a a +−=−，且13i i b b +=−，则14i i +∆−=−∆； （iii ）若13i i a a +−=，且11i i b b +−=−，则14i i +∆∆=−； 均有1i +∆与i ∆除以4的余数相同.特别的，“存在{}1,2,3k ∈k k b =”的一个必要不充分条件为“00,a b 除以4的余数相同”； 类似的，“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a c =”的一个必要不充分条件为“00,a c 除以4的余数相同”； “存在{}1,2,3k ∈，使得k k a d =”的一个必要不充分条件为“00,a d 除以4的余数相同”； “存在{}1,2,3k ∈，使得k k b c =”的一个必要不充分条件为“00,b c 除以4的余数相同”； “存在{}1,2,3k ∈，使得k k b d =”的一个必要不充分条件为“00,b d 除以4的余数相同”； “存在{}1,2,3k ∈，使得k k c d =”的一个必要不充分条件为“00,c d 除以4的余数相同”； 所以，存在{}1,2,3k ∈，使得,,,k k k k a b c d 中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是,,,k k k k a b c d 中至少有3个数除以4的余数相同.注意到07a =与03c =除以4余3，012b =除以4余0，故0d 除以4余3. 其次证明：0{3,7,11,15}d ∈；证明：只需证明015d ≤；由上述证明知若()007,12,3,d α=可以生成数表A ，则必存在{}1,2,3k ∈， 使得k k k a c d ==；若015d >，则0015312d c −>−=，()()1100221148,44d c d c d c d c −≥−−>−≥−−>，()332240d c d c −≥−−>，所以，对任意{}1,2,3k ∈，均有0k k d c −>，矛盾；最后证明：015d ≠；证明：由上述证明可得若()007,12,3,d α=可以生成数表A ， 则必存在{}1,2,3k ∈，使得k k k a c d ==，0015312d c =−−=，()()1100221148,44d c d c d c d c −≥−−=−≥−−≥， ()332240d c d c −≥−−≥，欲使上述等号成立，对任意的{}1,2,3k ∈，113,1k k k k c c d d ++−=−=−，则111,1k k k k a a b b ++−=−−=−，611614510913491212A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，经检验，不符合题意；综上，0d 所有可能的取值为3，7，11.【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第3问中确定0d 所有可能的取值，解答时要根据数表A 满足的性质分类讨论求解，并进行证明，证明过程比较复杂，需要有清晰的思路.。
高一数学第一章公式知识点
高一数学第一章公式知识点公式是数学中一种重要的表达方式，它们能够准确且简洁地描述数学关系和规律。
在高一数学的学习中，理解并掌握常见的公式是非常重要的。
本文将介绍高一数学第一章中常用的公式知识点。
1. 一次函数的基本公式一次函数的标准形式为：y = kx + b，其中k为斜率，b为y轴截距。
高一数学中，我们常用以下公式求解一次函数的相关问题：- 斜率公式：如果一次函数通过两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则斜率k = (y2-y1)/(x2-x1)。
- 直线的一般式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0，一般式可以表示不同的一次函数形式。
2. 二次函数的基本公式二次函数的标准形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a不等于0。
在高一数学中，我们经常用以下公式求解二次函数问题：- 顶点坐标公式：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
- 求解零点公式：对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其零点可以通过求解方程ax^2 + bx + c = 0来得到，其中判别式Δ = b^2 - 4ac，当Δ大于0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ等于0时，方程有两个相等的实数根；当Δ小于0时，方程没有实数根。
- 平移变换公式：对于二次函数y = ax^2 + bx + c，沿x轴平移h个单位，y = a(x-h)^2 + b(x-h) + c；沿y轴平移k个单位，y =a(x^2 + 2hx + h^2) + bx + (ak + c)。
3. 幂函数的基本公式幂函数是高一数学中重要的一类函数，一般形式为y = x^a，其中a为常数。
在幂函数的学习中，我们常用以下公式：- 函数的对称性：当a为奇数时，函数关于原点对称；当a为偶数时，函数关于y轴对称。
- 定义域和值域：对于正整数a，幂函数的定义域为实数集R，值域为[0, +∞)；对于负整数a，幂函数的定义域为正实数集R+，值域为(0, +∞)。
一元函数、极限、连续及导数知识点的总结
一元函数、极限、连续及导数知识点的总结一元函数
一元函数是一个只带有一个自变量的函数，只有一个输入参数，只允许有一个输出。
一般说来，函数f(x)叫做一元函数，其中x叫做函数的自变量，f（x）叫做函数的值。
一元函数的幂函数及其幂函数的导数常常被广泛使用，幂函数指的是函数 y=x^n（n
为实数）。
极限
极限是一种在数学中定义函数值的相对接近程度的概念。
极限可以描述函数当自变量
接近某一个值时，函数的值的趋势。
极限一般为存在极限、不存在极限、无穷极限等三种，不同的极限有不同的特征。
连续
连续是数学上定义函数和曲线的特性之一，它描述的是函数以某种方式连续改变，这
样输入变量可以有任意值。
若把实数轴上的点分割成了若干个，那么上述曲线就是连续的。
导数
导数是指某函数的变化速率，是指衡量函数值在不同点的变化情况，即求函数在某点
的切线斜率。
导数的求法有定义式求导方法和泰勒公式的方法，定义式求导方法是根据导
数的定义来求导，而泰勒公式是使用泰勒展开式来求导。
3.1.1函数的概念及其表示课件高一上学期数学人教A版(2019)必修一
【对点练清】 1．下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是
A．A＝R ，B＝R ，x2＋y2＝1 B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图： C．A＝R ，B＝R ，f：x→y＝x－1 2
()
D．A＝Z ，B＝Z ，f：x→y＝ 2x－1
解析： A 错误，x2＋y2＝1 可化为 y＝± 1－x2，显然对任意 x∈A，y 值不 唯一．B 正确，符合函数的定义．C 错误，2∈A，在 B 中找不到与之相对 应的数．D 错误，－1∈A，在 B 中找不到与之相对应的数． 答案：B
区间可以用数轴表示，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点， 用空心点表示不包括在区间内的端点.
定义
名称
区间
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
_[a_，___b_]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，_b_)_
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，_b_)_
续表
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
函数的定义域． 推理素养.
4.能够正确使用区间表示数集.
பைடு நூலகம்
知识点一 函数的有关概念 (一)教材梳理填空 1．函数的概念：
定义
一般地，设A，B是 非空的实数集 ，如果对于集合A中的 任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 _唯__一__确__定__的__数__y_和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合A到集 合B的一个函数
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：(1)这种看法不对． 符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加 的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以 是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变 量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研 究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
c语言中double的用法
c语言中double的用法在C语言中，double被称为“双精度浮点数”，是一种数据类型，它能够存储比float更大的数字。
使用double，可以提高程序的精度，使其能够完成更复杂的计算任务。
下面，我们将分步骤阐述double在C语言中的用法。
1. 定义double类型变量在C语言中，使用double定义一个双精度浮点数变量。
例如：double d1;这将定义一个名为d1的变量，它的类型是double。
2. 给double类型变量赋值可以使用等号为double类型变量赋值。
例如：d1 = 3.1415;这将给变量d1赋值为3.1415。
3. 输出double类型变量可以使用printf函数输出double类型变量的值。
例如：printf("%f", d1);%f是输出浮点数的占位符，输出d1的值。
4. 进行算术运算可以对double类型变量进行算术运算。
例如：double d1 = 3.5;double d2 = 2.7;double d3 = d1 + d2;这将定义两个double类型变量，d1和d2，并将它们相加得到一个名为d3的新变量。
可进行的运算包括加减乘除和幂运算等。
5. 比较double类型变量可以使用比较运算符比较double类型变量的值。
例如：double d1 = 1.0 / 3.0;double d2 = 0.3333;if (d1 == d2) {printf("d1 equals d2\n");} else {printf("d1 does not equal d2\n");}这将比较两个double类型变量的值是否相等。
d1和d2的值应该是相等的，但由于浮点数的存储方式，可能存在微小的精度误差。
因此，应该使用相等运算符来检查它们是否足够接近。
6. 使用double类型参数和返回值可以将double类型的变量作为函数的参数和返回值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
30
三、两个概念
31
1、隐函数
由方程 F ( x , y ) 0 所确定的 y 对 x 的函数关系 , 称为隐函数
例如：
y 2x 1 2
y x ln y
例如：
y f ( x ) 称为显函数
y 2 x 3
注意
有的隐函数能转化为显函数； 有的隐函数不能转化为显函数。
4
函数是微积分研究的对象。
微积分学主要是在实数范围内研究函数
5
第一章 函数
1、函数的概念与性质 2、分段函数 3、两个概念
6
一、函数的概念与性质
7
1、函数的定义
1. 函数定义: 若对任意的 x D f，通过对应规则f，总可以找到唯 一的y与之相对应。则称y是x的函数，记作：y f x , x D f 定义域
32
2. 邻域 设 a , R , 0,
称 U ( a , ) { x | | x a | }
a
为点 a 的 邻域.
a
a
x
为点a 的 去心邻域.
称 U ( a , ) { x | 0 | x a | }
a
a
若 f ( x1 ) f ( x2 ) ,
y
x1
x2
x
19
（3）周期性
x D, T 0 , 且 x T D, 若
则称 f ( x )
为周期函数 ,
称 T为周期.
y
例如
y sin x
2
o
2
x
周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
20
提高题目
D f x | x 1, x 1, 2 , 3
或 D f 1,1 1, 2 2 , 3 3 ,
9
练习一下
例2、已知 y f x 的定义域是[0，1]
求函数 g f x
解： 0 x
1 6 1 6
（1） 定义 若 若 （2） 性质
x D, 且有 x D,
则称f(x)为奇函数.
则称f(x)为偶函数;
f(x)为奇函数. f(x)为偶函数;
17
练习一下
1 1 的奇偶性 例6、判断函数 f x x x e 1 2 解： ex 1 1 1 f x x x x 1 ex 2 e 1 2 e x 1 1 1 x 1 1 1 x x 1 ex 1 e 2 方 2 法 1 1 1 1 1 x x x x 2 1 e 2 1 e
2
ln
ln
x 1 x
2
x 1 x
有理化
x 1 x
1 x 1 x
2
ln
x 1 x
2
f x
是奇函数
方法2
f x f x
ln
x 1 x
2
x 1 x
2
16
ln 1 0
是奇函数
注：判断函数奇偶性的方法有：
例7、设对一切实数x，有
f
1 x 2
1 2
f x f
2
x
证明：f(x)的周期是 1
f 1 x
1 2
f
1 1 x 2 2
1 4
1 2 2
f
1 x 2
1 2
f
2
1 x 2
1 2
f x f
x
f x
是偶函数
方法2
f x f x 0
18
（2）单调性
设函数 y f ( x) , x D , x1 , x2 D, x1 x2 时,
若 f ( x1 ) f ( x2 ) ,
称 f (x) 为D上的 称 f (x) 为D上的
单调增函数 ; 单调减函数 .
a
x
a
邻域中心,
邻域半径.
33
要 求
（1）会求函数的定义域及判断奇偶性
（2）会求分段函数的定义域及特殊值
经 验
(1).判断奇偶性有两个方法（定义或推论）
34
x D, 且有 x D,
若 若 说明: 若
则称f(x)为偶函数; 则称f(x)为奇函数.
f (x) 在x = 0 有定义 , 则当
y
f (x ) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
x o
x x
14
例5、判断下面函数的奇偶性
（要求掌握）
1 f x 2 f x
（要求掌握）
0 x 1 x 1
y
2 o 1
是确定在 [ 0 , ) 上的一个函数.
f (1 / 4 )
1
f (1 )
2
f (4)
5
x
28
练习一下
1, f (x) 2, 0 x 1 1 x 2
例11,设
，求f（2x）的定义域。
29
注意 1.对分段函数必须搞清每一个解析式所对应的自变量的 取值范围; 2.分段函数表示的是一个函数.
f x
f x
f x 1 2
21
（4）有界性 设函数 y f ( x) , x D , x D , M 0 , 使
f ( x) M ,
称 f (x) 为D上的有界函数. 例如 例如
y sin x
y 1 x
sin x 1
1 6
f x 1 的定义域。 6
1 x 5 6 6 1 x 7 6 6
1 6
0 x
1 1
D f x |
x
5 6
10
提高题目
例3、已知
y log
x 1
16 x
2
，求其定义域
解：
16 x 2 0 x 1 0 x 1 1
2 , k 1, 2 , 3 ,
y k 2 k
2
可以无限增大
故，函数无界
24
提高题目
例10 判断函数 y
xk
1 x
cos
1 x
在定义域内是否有界
提示：取 则
1 2 k
, k 1, 2 , 3 ,
y k 2 k
可以无限增大
故，函数无界
25
二、分段函数
26
1. 分段函数的定义域 在定义域的各个不相交子集上，用不同的数学式子表示的函数, 称为分段函数
x, 例如, y f ( x ) | x | x, x 0 x 0
y x
y
y x
是定义在 ( , ) 上的一个函数.
o
x
27
2、分段函数的值
如,
2 x , f (x) 1 x ,
x sin x
3
x cos x 2
2
3 f x
4
ln x
x 1
2
1 x , x 0 f x 1 x , x 0
15
解：
3 f x
方 法 1
ln x
2
x 1
2
ln
2
x 1 x
微积分I
教师：陈新宏 单位：数学与计算科学学院
1
微积分（上册教学内容）
第1章 第2章 第3章 第4章
函数、极限与连续 导数与微分 中值定理与导数的应用 不定积分
要求：友谊、参与
2
微积分是什么？
微积分学是数学的一个基础分支学科。
微分和积分互为逆运算 。
3
第一章 函数
1、函数的概念与性质 2、分段函数 3、反函数与复合函数 4、初等函数 5、简单的经济函数
4 y
x , y x sin
2
x cos
2
x
cos x , y cos x
注意
两函数等同,当且仅当它们的定义域 和对应法则都相同.
12
3、函数的表示法
1、解析法 2、列表法 3、图象法
13
4、函数的几种特性 (1) 奇偶性 (2)单调性 (3)周期性 (4)有界性
（1）奇偶性
4 x 4 x 1 x 2
D f 1, 2 2 , 4
11
2、函数关系两要素
定义域, 对应法则.
例4、判断下面两个函数是否相同
1
y x, y
x x
2
2 y
x
2
x, y
x
2
3 y
5 y
x, y
y f ( x) , x D
因变量 自变量
f(D)称为值域
8
例1、已知 y
x 1
x 3 ln
x2
，求其定义域 (要求掌握）
x 1 x 3 x 2 x 3 or x 1
解：
x 1 0 x3 0 x2 0 x2 1
x 0 时