四年级奥数：数列与数表
2014 暑假 四年级 精英班 第2讲 数列与数表 教师版
第二讲 数列与数表知识要点：数列与数表这一类题目种类繁多，其中数列包括了等差数列、周期数列等，数表中有我们比较常见的三角数表和一些行列数表，这些题目初看比较复杂，但其中都包含了一些规律性的变化，只要认真观察，并将其中的规律找出，那么解决起来就会变得简单许多，通常还会用到余数原理和等差数列相关公式和性质，方便我们找出数列、数表与余数之间的关系。
一、基础应用：【例1】 有一张纸片，第一次将它撕成6小片，第二次将其中的一张又撕成6小片，以后每一次都将其中的一小张撕成更小的6片，撕了五次后一共得到多少张纸片？ 【解析】 每撕一次，把一张纸片撕成6小片，增加了5张；撕了六次后一共得到15526+⨯=张纸片。
【例2】 一列数1，4，7，10，13，…，从第二项起，后项减去它的前面一项的差都相等，从左往右数，第几个数是196？ 【解析】 这是个等差数列，公差是3；从左往右数，第()19613166-÷+=个数是196。
【例3】 计算：6463626160595857565432-++-++-++++-+ 【解析】 6463626160595857565432-++-++-++++-+()()()()()646362616059585756765432=-++-++-+++-++-+()()121216360576312192021336932+⨯=+++++=+++++⨯=⨯=【例4】 有一列数：2、3、6、8、8、……从第三个数开始，每个数都是前两个数乘积的个位数字，那么这列数的第60个数应是多少？ 【解析】 因为从第三个数开始，每个数都是前两个数乘积的个位数字，根据题意将接下来的数字表示出来，有2、3、6、8、8、4、2、8、6、8、8、……，后面会发现数列具有周期现象，且周期从第三个数字开始为6、8、8、4、2、8，六个数字为一个周期，根据周期问题， (602)694-÷=……，第60个数为周期内的第4个数字，即为4。
四年级数学竞赛奥数讲义,例题
计算：999999999×111111111计算：66666×133332求算式200982009920096999888666⨯÷个个个的计算结果的各位数字之和。
计算：222010120108888111-个个计算：22222×99999＋33333×33334第一讲：多位数计算(★★★)(★★★★)(★★★★)(★★★★)(★★★)计算1009100910099999991999⨯+个个个结果末尾有多少个零？201032010420102201053335556444222⨯+⨯⨯个个个个【你还记得吗】 (★★★)计算：2010×20112011－2011×20102010计算：333×332332333－332×333333332(★★★★)(★★★★★) (★★★★)测试题1．计算222222×999999A ．222222217880B ．222222788888C ．222221777778D ．2222221777882．计算6666×13332A ．88871112B ．88881112C ．88872222D ．888822223．计算：3001300229931111222233334 个个个A ．3013333个3B ．2003333个3C ．3003333个3D ．3063333个34．计算100×100－99×99＋98×98－97×97＋…＋2×2－1×1A ．4950B ．5050C ．5150D ．52505．计算 99999×26＋33333×24A ．3996366B ．6933669C ．3399966D ．36699666．计算：899×899＋1799A ．819000B ．810000C ．900000D ．9810007．计算111111×777777＋444444×555555A ．333332666667B ．333333666667C ．333332777777D ．3333337777778．计算2009×20072008－2007×20092008A ．2B ．4016C ．4017D ．0网校老师共50人报名参加了羽毛球或乒乓球的训练，其中参加羽毛球训练的有30人，参加乒乓球训练的有35人，请问：两个项目都参加的有多少人？一个班30人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了。
四年级奥数第1专题找规律巧填数
奥数第一专题找规律巧填数专题精析：我们把按某种规律排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项，通过观察已知的项找出所给数列的规律，并依据规律填写所缺的数，就是按规律填数。
基础提炼：例1：找出下面数列的规律，并根据规律在括号里填出适当的数：（1）1,5,11,19,29，（），55；（2）6,1,8,3,10,5,12,7，（），（）。
解析：（1）先计算相邻两数的差，5－1=4,11-5=6,19-11=8,29-19=10，由此可以推知这些差依次为4,6,8,10,12,14.这样（）里的数应比29多12，比55少14，也就是说应该填41.（2）仅从相邻的两个数难以看出这列数的排列规律，这时不妨隔着一个数来观察，就会发现原来这列数是由两列数复合而成的，第1列数是6,8,10,12,14，每两个数的差是2,；第二列数是1,3,5,7,9，每两个数的差也是2，所以括号里应依次应填14和9.例2：根据前2个三角形里3个数的关系，在第3个、第4个三角形的空格里应填几？解析：先看第1个三角形里的3个数，试着判断它们之间存在着什么样的关系，可能的关系有6×3→18，18—4→14；6＋12→18,6＋8→14，接着，再来看第2个三角形里的三个数之间的关系依然符合5×3→15,15—4→11 ，所以，第3个和第4个三角形可以填出：模仿训练：练习1 在下面各数列中填入合适的数（1）9,11,15,21,29，（ ），51（2）3,4,5,8,7,16,9,32，（ ），（ ）练习2：按规律在“？”处填数。
(1）巩固训练习题1 按数列的规律在括号内填入合适的数：（1）1,4,9,16，（），（）；（2）11×3,23×5，35×7，47×9，（），611×13.习题2：将8个数从左到右排成一行，从第三个数开始，每个数恰好等于它前面两个数的和，如果第7个数和第8个数分别是81,131，那么第一个数是多少？拓展提高：习题1从下边表格中各数列排列的规律可以看出：（1）☆代表，△代表，（２）８１排在第行第列。
高思数学_4年级上-第14讲-数列数表规律(彩色)
我们以前学习过找规律以及等差数列，在这里我们先来复习一下等差数列的有关知识．通项公式：项数公式：求和公式：本讲主要包括两部分内容：规律较复杂的数列以及简单的数表．有些数列的规律可要比等差数列复杂得多．例如：对于1，1，1，2，1，3，1，4，…这样的数列，我们就要把奇数项和偶数项分开来看，或者是两项两项地看．又如：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…，奇数项和偶数项的规律不是特别明显，两项两项地看也没有好的发现，但三项三项地看就很容易发现规律了．对于规律较复杂的数列，我们不能拿别的数列规律生搬硬套，要具体问题具体分析．分析 大数与小数间隔排列，奇数项是相对小的数，偶数项是大数．如果把奇数项和偶数项分开来写，能找到什么规律？你知道最后一个数0是在奇数项还是在偶数项吗？练习1.10，2，10，4，10，6，10，8，10，10，10，12，…，100．请观察数列的规律并回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是10？（2）这个数列所有项的总和是多少？分析 数列中几个数构成一个周期？整个数列有多少个周期？86，例题2练习2.请观察由数组组成的数列：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…，（9，10，11）．请回答以下问题：（1）这个数列中一共有多少个数？（2）数字8出现了几次？分析 与数列有关的问题，找到数列的规律是非常重要的．你能看出本题中数列的规律吗？多写几项试试看．练习3.有一列数，第一个数是6，从第二个数开始，每个数都是它前面一个数的2倍的个位数．从这列数中取出连续的40个数，请求出它们的和是多少？前面的例题是关于数列计算的问题，下面我们来分析数表，也就是把数列中的数按某种规律排列成表格的形式．一般地，在长方形数表中，我们记：从上向下横行依次为第一行、第二行……从左到右竖行依次为第一列、第二列……请大家仔细观察下面两个表中的数是按照什么规律排列的．始，它们的和最大是多少？123456121110987131415161718242322212019n n n n n n123456789101112131415161718192021222324n n n n n n我们在观察一个数表时，首先要关注的是数表中有哪些数，这些数在数表中按照什么规律排列，能不能找到它们的周期．实际上，数表中的数也构成一个数列．但数列与数表是不同的，在数列问题中我们只需要关注所求的是第几个数，而在数表问题中我们则要考虑所求的数在第几行，第几列．我们一般通过以下三个步骤判断一个数在数表中的位置：1.找到数表中的数组成的数列规律，判断这个数在对应的数列中是第几个；2.数表中的数在排列时有什么周期规律，所求的数是第几个周期中的第几个数；3.找到这个数所在的行或列．如果我们知道了某个数在数表中的具体位置，要反求这个数是多少，我们也可以通过三个步骤来考虑：1.数表中的数在排列时有什么周期规律，所求的数是第几个周期中的第几个数；2.找到这些数组成的数列规律，判断这个数在对应的数列中是第几个；3.求出这个数具体是多少．分析 数阵中每列有5个数，可以把5个数作为一个周期．你知道123是整个数列中的第几个数吗？它又是第几个周期中的第几个数呢？练习4.如图所示，将从2开始的偶数有规律地填入方格表中，请问：（1）88在第几行、第几列？（2）第88行的五个数之和是多少？阵中，请问：24681012141618202224262830nnnnn分析表中的数是按行排列，第1行有6个数，第2行有3个数，第3行有6个数，第4行有3个数……这个数表的周期该怎么找呢？练习5.如图所示，将从1~200的自然数按照某种规律填入方格表中，请问：（1）行、第列的所有数之和是多少？且和为本一、寻找数列、数表中的数排列的规律，利用周期性计算．二、在数列中需要关注所求的是第几个数，在数表中则要考虑所求的数在第几行、第几列．作业1. 1，2，2，4，3，6，1，8，2，10，3，12，…，100．观察数列的规律，请问：（1）数列中有多少个2？（2）数列中所有数的总和是多少？2.观察数列：（1，2，3，4，5），（4，5，6，7，8），（7，8，9，10，11）……五个数为一组，其中31第一次出现在第几组？该组的五个数之和是多少？3. 80名学生排成一列，从第一名同学开始按下面的规则报数：如果某名同学报的数是一位数，后一名同学就要报出这个数与8的和；如果某名同学报的数是两位数，后一名同学就要报出这个数的个位与7的和．如果第一名同学报的是1，那么最后一名同学报的数是多少？4.将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，请问：（1）66在第几行、第几列？（2）第33行、第4列的数是多少？5.将从1~120的自然数按某种规律填入方格表中，请问：（1）第4行第9个数是多少？（2）第33列的三个数之和是多少？1234510987611121314152019181716n n n n n17n n 115410n n 11828n n 116511n n 11939n n 117612n n 120。
四年级下册数学讲义-奥数导引 1-2 数列与数表(无答案PDF)人教版
【例2】 桌子上有一堆球，如果球的总数量是 10 的倍数，就平均分成 10 堆并拿走其中 9 堆；如 果球的总数量不是 10 的倍数，就添加不多于 9 个球，使球数变为 10 的倍数，再平均分 成 10 堆并拿走其中 9 堆．这个过程称为一次“操作”．若球仅为一个，则不做“操作”．如 果最初有 194919481947……54321 个球，那么经过多少次“操作”后仅余下一个球？
【例3】 在下图所示的数阵中，将满足下面条件的两个数分为一组：它们上下相邻，且和为 391．问：在所有这样的数组中，哪一组内的两个数乘积最小？
第1行 1 2 3 第 2 行 30 29 28 第 3 行 31 32 33
14 15 17 16 44 45
【例4】 如下图中的数是按一定规律排列的，那么第 6 行第 23 列的数字是多少？
【习题2】（拓展篇第 14 题）如下图所示，把自然数按规律排列起来．如果用“土”字型阴影覆盖 出 8 个数并求和，且和为 798．这 8 个数中最大的数是多少？（“土”字不能旋转或翻 转） 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
大的顺序组成数列an ．求 a100 ．
17 ← 16 ← 15 ← 14 ← 13
30
↓
↑
↑
18
5←4←3
12
29
↓
↓
↑
↑
↑
19
6
1→2
11
28
↓
↓
↑
↑
20
7 → 8 → 9 → 10
27
↓
四年级奥数等差数列应用
等差数列的应用课前预习从1到100万大家对德国大数学家高斯小时候的一个故事可能很熟悉了.据说他在十岁的时候，老师出了一个题目：1+2+3+……+99+100的和是多少？ 老师刚把题目说完，小高斯就算出了答案：这100个数的和是5050.原来，小高斯是这样算的：依次把这100个数的头和尾都加起来，即1+100，2+99，3+98，……，50+51，共50对，每对都是101，总和就是101×50=5050.现在请你算一道题：从1到1000000这100万个数的数字之和是多少？注意：这里说的“100万个数的数字之和”，不是“这100万个数之和”.例如，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这12个数的数字之和就是1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1+1+2=51.请你先仔细想想小高斯用的方法，会对你算这道题有启发.知识框架一、等差数列的相关公式（1） 三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（）回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=(思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=（2） 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数． 譬如：①4+8+12+…+32+36=（4+36）×9÷2=20×9=180，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．重难点重点：观察并找出图形、生活中的等差数列 与数论有关的等差数列运算. 难点：活动与操作中的等差数列运算数表中的等差数列例题精讲【例 1】 木木练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是888，但她重复计算了其中一个数字．问：木木重复计算了哪个数字？【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】 解法一：用x 表示木木多加的那个数，88812X n n -=+⨯÷（），117762n n x +⨯=-（） ，两个相邻的自然数的积是比1776小一些的一个数，先找1776附近的平方数，16004040=⨯ ，试算：40411640⨯=，41421722⨯= ，42431806⨯= ，所以41n =，所以177********x =-⨯÷=（）．解法二：估算法，（1+40）×40÷2=820，（1+41）×41÷2=861，（1+42）×42÷2=903.所以可知数字个数可能为40或者41.888-820=68，不在40内，舍去；888-861=27，符合条件.【答案】27【巩固】 奋斗小学组织六年级同学到百花山进行野营拉练，行程每天增加2千米．已知去时用了4天，回来时用了3天．问：学校距离百花山多少千米？【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】 解法一：这道题目关键是弄清题意，发现关键是要求出第一天拉练的距离，在这里可以用方程的思想来帮助解题，可以给四年级学生一个方程的初步认识，来回的距离是相同的，通过这点来做方程求解，设第一天拉练的距离是x ，则第二天为2x +，第三天为4x +，第四天6x +，第五天的距离为8x +，第六天的距离为10x +，第七天的12x +．且去时和来时的路程一样，则24681012x x x x x x x ++++++=+++++（）（）（）（）（）（），则18x =，学校距离百花山84千米． 解法二：七天所走路程形成了一个等差数列，公差为 2. 五、六、七三天合走路程比二、三、四三天合走路程多（8+10+12）-（2+4+6）=18. 来回路程相等，所以第一天走了18千米，学校距百花山18+20+22+24=84千米.【答案】84【例 2】 某工厂12月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人260人．如果月底统计总厂工人的工作量是9455个工作日（1人工作1天为1个工作日），且无1人缺勤．那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有多少人．【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】 解法一：260人工作31天，工作量是260318060⨯=（个）工作日．假设每天从总厂派到分厂a个工人，第一天派去分厂的a 个工人在总厂的工作量为0个工作日； 第二天派去分厂的a 个工人在总厂的工作量为a 个工作日； 第三天派去分厂的a 个工人在总厂的工作量为2a 个工作日； ……第31天派去分厂的a 个工人在总厂的工作量为30a 个工作日． 从而有：9455023308060a a a a =++++++94558060123301395130302465a a a-=⨯++++=⨯+⨯÷=（）（）求得3a =．那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有33193⨯=（人）．解法二：每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，所以总厂每天的工作日成等差数列.31天的总工作量为9455个工作日.根据等差数列中项定理得到第16天的工作量为：9455÷31=305，根据n m a a n m d -=-⨯（），n m >（），得d=（305-260）÷（16-1）=3.即每天都从总厂派3个人到分厂工作.那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有33193⨯=（人）．【答案】93【巩固】 甲、乙两厂生产同一种玩具，甲厂生产的玩具数量每个月保持不变，乙厂生产的玩具数量每个月增加一倍．已知一月份甲、乙两厂生产玩具的总数是98件，二月份甲、乙两厂生产玩具的总数是106件，那么乙厂生产的玩具数量第一次超过甲厂生产的玩具数量在几月份?【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】 由二月份生产的玩具总数比一月份生产的玩具总数多出的件数是一月份乙厂生产的玩具数．即一月份乙厂生产了106—98=8件，甲厂生产了98-8=90件．乙厂生产的玩具数量每月增加一倍，有48290⨯>，38290⨯<，所以在4月后.即乙厂生产的玩具数量第一次超过甲厂生产的玩具数量在5月份．【答案】5【例 3】 右图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍．如果最大的三角形共有8层，问：⑴最大三角形的面积是多少平方厘米？⑵整个图形由多少根火柴棍摆成？【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】 最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：⑴ 最大三角形面积为：13515121158212768++++⨯=+⨯÷⨯=（）（）(平方厘米)． ⑵ 火柴棍的数目为：3692432482108++++=+⨯÷=（）(根)．【答案】⑴768 ⑵108【巩固】 如右图，25个同样大小的等边三角形拼成了大等边三角形，在图中每个结点处都标上一个数，使得图中每条直线上所标的数都顺次成等差数列．已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是100，200，300．求所有结点上数的总和．【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】 如下图，各结点上放置的数如图所示．从100到300这条直线上的各数的平均数是200，平行于这条直线的每条直线上的各数的平均数都是200．所以21个数的平均数是200，总和为200214200⨯=．220200180120140160180200220240260280300240260220200180160140100【答案】4200【例 4】 把自然数从1开始，排列成如下的三角阵：第1列为1；第2列为2，3，4；第3列为5，6，7，8，9，…，每一列比前一列多排两个数，依次排下去，“以1开头的行”是这个三角阵的对称轴，如图．则在以1开头的行中，第2008个数是多少．526137489【考点】数阵中的等差数列 【难度】☆☆☆ 【题型】填空 【解析】 方法一：2008行第一个数字为[]20071120062214028050⨯++⨯÷+=（）2008行最后一个数字为[]2008112007224032064⨯++⨯÷=（）所以，2008行中间的数字为4028050403206424030057+÷=（）．方法二：观察以1开头的行的数列：1，3，7，13得出规律，后一个数比前一个数多2，4，6所以，第2008个数为1246200721220072200724030057+++++⨯=++⨯⨯÷=（）．【答案】4030057【巩固】 将自然数按下图的方式排列，求第10行的第一个数字是几？136101521259142048131971218111716【考点】数阵中的等差数列【难度】☆☆☆【题型】填空【解析】将图中数字按顺时针方向转45，成为下图的样子：123456789101112131415161718192021那么在第10行的第1个数之前共有9行数，计算出这9行共有多少数字，就可以知道第10行的第一个数是多少．前9行共有数字1239199245++++=+⨯÷=（）（个），所以第10行的第1数是46．【答案】46【例 5】有码放整齐的一堆球，从上往下看如右图，这堆球共有多少个？【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆☆【题型】填空【解析】从图中可以看出，除去最上层1个球外，第二层（次上层）有（1＋2＋3＋4＋5）＝15个球，以后每层比上一层多6、7、8、9、10个球，共7层.15＋6＝21，21＋7＝28，28＋8＝36，36＋9＝45，45＋10＝55，1＋15＋21＋28＋36＋45＋55＝201.答：共有201个球.【答案】201个球【巩固】已知有一个数列：1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4、，试问：⑴15是这样的数列中的第几个到第几个数？⑵这个数列中第100个数是几？⑶这个数列前100个数的和是多少？【考点】等差数列的公式运用【难度】☆☆☆【题型】计算【解析】分析可得下表：数：1 2 3 4 5 6 7 14 15 16个数：2 4 6 8 10 12 14 28 30 32⑴24628210++++=，所以15是第211个到240个⑵在这个数列中前9组的个数是：2461890++++=(个)这个数列前10组的个数是：24620110++++=(个)而90100110<<，所以第100个数是第10组中的数，是10⑶这个数列中前100个数的和是：1224369181010670⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=【答案】⑴第211个到240个⑵10⑶670【例 6】从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？【考点】找规律计算【难度】☆☆☆☆【题型】填空【解析】设满足条件的两数为a、b，且a＜b，则若a=1，则b=50，共1种.若a=2，则b=49，50，共2种.若a=3，则b=48，49，50，共3种.…若a=25，则b=26，27，…50，共25种.若a=26，则b=27，28，…50，共24种.（a=26，b=25的情形与a=25，b=26相同，舍去）.若a=27，则b=28，29，…50，共23种.…若a=49，则b=50，共1种.所以，所有不同的取法种数为1+2+3+…+25+24+23+22+…+l=2×（1+2+3+…+24）+25=625.【巩固】从1到100的100个数中，每次取出两个不同的自然数相加，使它们的和超过100．有几种不同的取法？【考点】找规律计算【难度】☆☆☆☆【题型】填空【解析】1至100的自然数每次取出两个不同的自然数相加，超过100的和共有101～199共99种取法．和是199的取法：100+99．和是198的取法：10098+．和是197的取法：10097+，9998+． 和是196的取法：10096+，9997+．和是195的取法：10095+，9996+，9897+． 和是194的取法：10094+，9995+，9896+． ……以此规律作进一步推想：和为193的取法有4种，和为192的取法也有4种；和为191的取法有5种，和为190的取法也有5种；……，和为103的取法有49种，和为102的取法也是49种；和为101的取法有50种．和超过100的取法种数总和是：11223349495012349250+++++++++=++++⨯+（）14949225050495050502500=+⨯÷⨯+=⨯+=⨯=（）(种)【答案】2500【例 7】 将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个“数阵”，其中2在第1个拐角处，3在第2个拐角处，5在第3个拐角处，7在第4个拐角处，……．那么在第100个拐角处的数是 ．22202119181716141512111098764321【考点】数阵中的等差数列 【难度】☆☆☆☆ 【题型】填空 【解析】 我们可列表观察拐角处的数有什么特征第0个拐角：1 第1个拐角：211=+第2个拐角：321111=+=++ 第3个拐角：5321112=+=+++ 第4个拐角：75211122=+=++++ 第5个拐角：1073111223=+=+++++ 第6个拐角：131031112233=+=++++++ 第7个拐角：1713411122334=+=+++++++ 第8个拐角：21174111223344=+=++++++++ ……由此可知，第n 个拐角处的数等于 ⑴11111122222n n n --+++++++++（n 为奇数时） ⑵1112222n n+++++++（n 为偶数时）所以第100个拐角处的数为()11122505012123502551+++++++=+⨯++++=.【答案】2551【巩固】 一列自然数：0，1，2，3，……，2024，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2024．现在将这列自然数排成以下数表规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第________行第________列.【考点】数阵中的等差数列 【难度】☆☆☆☆ 【题型】填空【解析】 观察可知第n 行的第1个数是()21n -，第n 列的第1个数是21n -．由于224419362005202545=<<=，所以第45行的第1个数是1936，第45列的第1个数是202512024-=．由于20242005120-+=，所以2005在第20行第45列．【答案】第20行第45列【例 8】 如图的数阵是由77个偶数排成的，其中20，22，24，36，38，40这六个数由一个平行四边形围住，它们的和是180．把这个平行四边形沿上下、左右平移后，又围住了右边数阵中的另外六个数，如果这六个数的和是660．那么它们中间位于平行四边形左上角的那个数是 ？142144146148150152154 (30323436384042282624222018168141210642)【考点】数阵中的等差数列 【难度】☆☆☆☆ 【题型】填空【解析】 由于平行四边形的形状不改变，所以它移动后框住的6个数与原来的6个数相比，每个数都增加了同样的大小．由于六个数一共增加了660180480-=，所以每个数增加了480680÷=，那么第一个数就变为2080100+=.【答案】100【巩固】 如图，数表中的上、下两行都是等差数列，那么同一列中两个数的差(大数减小数)最小是多少?【考点】数阵中的等差数列 【难度】☆☆☆ 【题型】填空【解析】 我们从第1列开始，作同一列中的两个数的差(大数减小数)，不难发现：开始时是差值逐渐变小，而当第一行的数时的数开始超过第二行中，差值又开始逐渐变大．因此 关键是计算出临界状态时的差值．由于第一行是公差为4的递增的等差数列，而第二行则每次比前一个数少3，因此当第二行中的数比第一行中的数大时，差值每次减少7．而从某一列开始后，第二行中的数比第一行小，此后差值每次增加7．于是差值的变化为：999、992、985……2、5、12……1332．于是最小的差值为2．【答案】2【例 9】 华罗庚金杯少年数学邀请赛，第一届在1986年举行，第二届在1988年举行，第三届在1991年举行，以后每两年举行一届．第一届华杯赛所在年份的各位数字和是1A =1+9+8+6=24．前二届所在年份的各位数字和是2A =1+9+8+6+1+9+8+8=50．问：前50届华杯赛所在年份的各位数字和50A 等于多少?【考点】找规律计算 【难度】☆☆☆☆ 【题型】解答【解析】 由题中所给规律知，前50届在20世纪内有7次赛事，在2l 世纪内有43次赛事． 在20世纪内，已知2A =50，其余5届年份各位数字的和是5×(1+9+9)+(1+3+5+7+9)=95+25=120． 从而7A =2A +120=170．在21世纪内的前45届年份的数字之和是：2×45+(1+2+…+8)×5+(1+3+5+7+9)×9=495，前43届年份的数宰和是495-2-8-7-2-8-9=459． 于是50A =170+459=629．【巩固】 今要在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在两个分点旁分别标上12和13，如图18-1所示．第二次把两段半圆弧二等分，在分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和511623=+，如图18-2所示．第三次把4段圆弧二等分，并在4个分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和1151326=+，1151636=+，如图18-3所示．如此继续下去，当第八次标完数以后，圆周上所有已标数的总和是多少？【考点】找规律计算 【难度】☆☆☆☆ 【题型】解答【解析】 因为增加的每个数都是原来相邻两个数之和，所以每次增加数的总和恰好是原来所有数总和的2倍，也就是说每次标完数后圆周上所有数的总和是前一步标完数后圆周上所有数的总和的3倍，于是，第八次标完数后圆周上所有数的总和是：1123⎛⎫+ ⎪⎝⎭×3×3×3×3×3×3×3=118222．【例 10】 有多少组正整数a 、b 、c 满足2009a b c ++=．【考点】找规律计算 【难度】☆☆☆☆☆ 【题型】填空 【解析】 若2007a =，则2b c +=，有11b c =⎧⎨=⎩，1组．若2006a =，则3b c +=，有12b c =⎧⎨=⎩或21b c =⎧⎨=⎩，2组．若2005a =，则4b c +=，有13b c =⎧⎨=⎩22b c =⎧⎨=⎩31b c =⎧⎨=⎩，3组．若2a =，则2007b c +=，2006组． 若1a =，则2008b c +=，2007组．显然，a 不能等于2007，2008． 所以，有123200712007200722015028++++=+⨯÷=（）．【答案】2015028【巩固】 x +y+z=1993有多少组正整数解.【考点】找规律计算 【难度】☆☆☆☆☆ 【题型】填空 【解析】 显然，x 不能等于1992，1993.所以，原方程的不同的整数解的组数是：l+2+3+…+1991=1983036.本题中运用了分类的思想，先按照x的值分类，在每一类中，又从y的角度来分类，如：x=1987时，因为y+z=6，且y、z均为正整数，所以y最小取1，最大取5，即按y=1，2，3，4，5分类，每一类对应一组解，因此，x=1987时，共5组解.课堂检测【随练1】在1~200这二百个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少？【考点】等差数列的公式运用【难度】☆☆☆【题型】计算【解析】先求出能被4整除的自然数和，再求出能被11整除的自然数和，将二者相加，但是此时得到的不是题目需要的和，因为44，88等数在两个数列中都存在，也就是说能被44整除的数列被计算了两次，所以我们还应该减去能被44整除的数列和．+++++++++-+++（）（）（）48122001122331984488132176（）（）（）．=+⨯÷++⨯÷-+⨯÷=42005021119818244176426541【答案】6541【随练2】从正整数1～N中去掉一个数，剩下的(N一1)个数的平均值是15.9，去掉的数是_____.【考点】等差数列的公式运用【难度】☆☆☆【题型】计算【关键词】2005年，第3届，走美杯，5年级，决赛【解析】因为“剩下的(N-1)个数的平均值是15．9”，所以(N-1)是10的倍数，且N在15．9×2=31．8左右，推知N=31.去掉的数是(1+2+3+…+31)-15.9×30=496-477=19.【答案】19【随练3】观察下面的序号和等式，填括号．序号等式1 1236++=3 35715++=5 581124++=7 7111533++=（）（）（）（）7983++=【考点】找规律计算【难度】☆☆☆【题型】填空【解析】可以这样想：⑴表中各竖行排列的规律是什么？(等差数列)⑵表中这四个括号，应先填哪一个？为什么？这个括号里的数怎么求？应先填左起第一个，因为它是序号，表示了其他三个括号里的数在各自的等差数列中所在的位置，即各自的项数．第一个括号：79833411996-÷+=（），11996123991+-⨯=（）；第二个括号：11996123991+-⨯=（）；第三个括号：根据等差数列通项公式：21996135987+-⨯=（）或399119965987+=；第四个括号：根据等差数列通项公式：619961917961+-⨯=（）或5987317961⨯=【答案】3991；3991；5987；17961【随练4】在100以内与77互质的所有奇数之和是多少?【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】计算【解析】【解析】77=7 ×11，则100以内不与7互质的奇数有7，7×3，7×5，7×7，7×9，7×11，7×13；11，11×3，11×5，11×7(注意与7×11重复)，11×9，共11个数．这11个数的和为7×(1+3+5+…+13)+11×(1+3+5+7+9)-77=()()113719571177541 22+⨯+⨯⨯+⨯-=．而100以内的奇数和为1+3+5+7+…+99=()199502+⨯=2500．所以，在100以内与77互质的所有奇数之和为2500-541=1959．复习总结在涉及到数论、图形、活动操作等方面有关等差数列计算的问题，第一：类别较少，数据较小的情况可以采用列举法罗列出所有符合的情况；第二：类别较多，数据较大的情况可以采用归纳法先找出其中的等差数列再进行计算作业检测【作业1】喜羊羊练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是1300，但她重复计算了其中一个数．问：喜羊羊重复计算了哪个数？【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】解法一：用x表示喜羊羊多加的那个数，1300-x=（1+n）×n÷2，（1+n）×n=2600-2x，两个相邻的自然数的积是比2600小一些的一个数，先找2600附近的平方数，2500=50×50 ，试算：50×51=2550,51×52=2652 ，所以n =50，所以x=（2600-50×51）÷2=25.解法二：估算法，（1+50）×50÷2=1275，（1+51）×51÷2=1326.所以可知该数字为1300-1275=25. 【答案】25【作业2】某车间原有工人不少于63人，在1月底以前的某一天调进了若干工人，以后，每天都新调人1人进车间工作．现知该车间1月份每人每天生产一件产品．共生产1994件．试问：1月几日开始调进工人?共调进了多少工人?【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】1月份共有3l天，所以这个车间的原有工人至少生产出了63×31=1953件，或增加3l的倍数，但因不超过1994件，所以工厂的原有工人生产了1953或1984件．所以，后来调进的工人生产了1994—1953=41件，或1994—1984：10件产品．易知后来调进的工人生产的产品总数是若干个连续的自然数的和，自然数的个数即是调入的天数n，连续的自然数中最小的那个数即是第一次调入的工人数．有41=1×41，所以奇约数只有1和4l，这样的数只有一种表达为若干个连续自然数和的形式，41=20+21．所以调入的次数n=2，第一次调入的人数x=20，共调进人数x+n-1=20+2-1=21人：10=2×5，所以奇约数只有1和5，这样的数只有一种表达为若干个连续自然数和的形式，10=1+2+3+4．所以调入的次数n=4，第一次调入的人数x=1，共调进人数x+n-1=1+4-1=4人．所以为：调人2天，1月30日开始调入，共调进21人；调人4天，1月28日开始调入，共调进4人．【答案】21或4【作业3】用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按图所示铺满一个大的等边三角形，如果这个大的等边三角形的底边放10根火柴，那么一共要放多少根火柴？10根【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】 如果把图中最上端的一个三角形看作第一层，与第一层紧相连的三个三角形(向上的三角形2个，向下的三角形1个)看作第二层，那么这个图中一共有10层三角形．这10层三角形每层所需火柴数就是构成上图中所有阴影三角形的边数和．自上而下依次为：3，6，9，……，310⨯．它们成等差数列，而且首项为3，公差为3，项数为10． 求火柴的总根数，就是求这个等差数列各项的和，即36930330102335165++++=+⨯÷=⨯=（）(根)所以，一共要放165根火柴【答案】165【作业4】 小丸子玩投放石子游戏，从A 出发走1米放1枚石子，第二次走4米又放3枚石子，第三次走7米再放5枚石子，再走10米放7枚石子，照此规律最后走到B 处放下35枚石子．问从A 到B 路程有多远？【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】 先计算投放了多少次．由题意依次投放石子数构成的数列是：1，3，5，7，，35．这是一个等差数列，其中首项11a =，公差 2d =，末项= 35n a ，那么113512118n n a a d =-÷+=-÷+=（）（）；再看投放石子每次走的路程依次组成的数列：1，4，7，10，这又是一个等差数列，其中首项11a =，，公差,3d =，项数1 8n =．末项,,,111181352n a a n d =+-⨯=+-⨯=（）（），其和为,,,12152182477n n S a a n =+⨯÷=+⨯÷=（）（）(米)．【答案】477【作业5】 自然数按一定规律排成下表，问第60行第5个数是几？135791113151719212325272931333537394143454749............【考点】数阵中的等差数列 【难度】☆☆☆ 【题型】填空 【解析】 从两个方面考虑：⑴先看组成这张表的数：1，3，5，7，9，．这是一个公差为2的等差数列．第60行第5个数是这数列中的一项，已知首项和公差，知道第60行第5个数是数列中的第几项即可求解．而这个项数就是排列第60行第5个数时所用去数的个数．⑵从表的排法来看，每行的数的个数也是等差数列：1，3，5，7，．第60行第5个数也就是排完59行后又排5个数．59行所排数的个数就是1，3，5，7，，中的第59项．所以，第59行所用数的个数为：12591117+⨯-=（）(个)，从第一行排到第59行所用数的总个数为：11175923481+⨯÷=（）(个)，到第60行第5数共用去数的个数为：348153486+=(个)，第60行第5个数是数列1，3，5，7，中第3486项，为：12348616971+⨯-=（）【答案】1671【作业6】观察下面的数表：11；21,12；321,,123；4321,,,1234；54221,,,,12345；根据前五行数所表达的规律，说明：19911949这个数位于由上而下的第几行?在这一行中，它位于由左向右的第几个?【考点】数表中的等差数列【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】注意到，第一行的每个数的分子、分母之和等于2，第二行的每个数的分子、分母之和等于3，…，第五行的每个数的分子、分母之和等于6．由此可看到一个规律，就是每行各数的分子、分母之和等于行数加1．其次，很明显可以看出，每行第一个数的分母是1，第二个数的分母是2，……，即自左起第几个数，其分母就是几．因此，19911949所在的行数等于199l+1949-1=3939．而在第3939行中，19911949位于从左至右第1949个数教学反馈。
小学四年级奥数竞赛班作业第34讲：数列与数表(一)
E FGH F GHI GHI J HI JK
I J KL J KL M K L MN L MNO
H I J KLM NO
图1
三
四
图2
|
4
13. 自然数从1 起，排成如表所示，那么第 80 行与第 80 列交错位置上的数是多少？
14. 从 1 开始的自然数如下排列，则第 2 行中的第 7 个数是多少？
1
2
3
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
…………………………………………
8. 下面是按规律排列的三角形数阵：
|
2
1 11 1 21 133 1 146 41
……第一行 ……第二行
. . .
1 5 10 10 5 1 ………………………
那么第 1994 行中左起第三个数是多少？
9. 将正整数按下表的顺序排列： （1） 下面一横行从左到右第十个数是多少？ （2） 标有字母 a 的位置应填的是什么？
阵（如图 2），已知第四部分中所有数的和是 576．
试问，这个 8 行 8 列的数阵中所有数的和是多少？ ABCDEFG H
一 A BCD
二 E FGH
BCDEFGH I
B CDE F GHI
CDEFGHI J DEFGHI JK
C DE F D E FG
GHI J HI JK
EFGHI JKL FGH I J KLM G H I J KLM N
19
20
21
…
…
…
…
…
…
…
奥数题库(四年级)数列规律计算(普通)
双重数列规律1.观察如下数列：10,1,10,2,10,3,10,4,……,10,9．这个数列一共有多少个数？2.观察如下数列：5,1,5,2,5,3,5,4,……,5,10．这个数列一共有多少个数？3.观察如下数列：8,1,8,2,8,3,8,4,……,8,7．这个数列一共有多少个数？4.观察如下数列：10,2,10,4,10,6,10,8,10,10，……，10,100．那么这个数列一共有多少个数？5.观察如下数列：5,3,5,6,5,9,5,12,……,5,99．那么这个数列一共有多少个数？6.观察如下数列：10,2,10,4,10,6,10,8,10,10，……，100,10．那么这个数列一共有多少个数？7.观察如下数列：1,100,2,99,3,98,2,97,1,96,2,95,3,94,2,93,1,92，……，2,2,1．这个数列的和是多少？8.观察如下数列：1,100,2,98,3,96,2,94,1,92,2,90,3,88,2,86,1,84，……，0．这个数列的和是多少？9.观察如下数列：1,60,2,57,3,54,2,51,1,48,2,45,3,42,……，2,3．那么这个数列的和是多少？10.观察如下数列：1,100,2,99,3,98,2,97,1,96,2,95,3,94,2,93,1,92，……，2,1．这个数列中有多少个“2”？11.观察如下数列：1,100,2,98,3,96,2,94,1,92,2,90,3,88,2,86,1,84，……，0．这个数列中有多少个“2”？12.观察如下数列：1,60,2,57,3,54,2,51,1,48,2,45,3,42,……，2,3．那么这个数列中有多少个“2”？数组规律1.观察如下数组：（1,2,3），（2,3,4），（3,4,5），……，那么第10组中的三个数是什么？2.观察如下数组：（2,3,4），（3,4,5），（4,5,6）……，那么第10组中的三个数是什么？3.观察如下数组：（2,4,6），（4,6,8），（6,8,10），……，那么第10组中的三个数是什么？4.观察如下数组：（1,2,3），（2,3,4），（3,4,5），……，那么前10组中所有数的和是多少？5.观察如下数组：（2,3,4），（3,4,5），（4,5,6）……，那么前10组中所有数的和是多少？6.观察如下数组：（2,4,6），（4,6,8），（6,8,10），……，那么前10组中所有数的和是多少？7.观察如下数列：1,2,3,4,4,5,6,7,7,8,9,10，……，那么这个数列的第24个数是什么？8.观察如下数列：3,4,5,6,6,7,8,9,9,10,11,12，……，那么这个数列的第24个数是什么？9.观察如下数列：2,4,6,8,8,10,12,14,14,16,18,20，……，那么这个数列的第24个数是什么？10.观察如下数列：1,2,3,4,4,5,6,7,7,8,9,10，……，97,98,99,100，那么这个数列一共有多少数？11.观察如下数列：3,4,5,6,6,7,8,9,9,10,11,12，……，99,100,101,102，那么这个数列一共有多少数？12.观察如下数列：2,4,6,8,8,10,12,14,14,16,18,20，……，194,196,198,200，那么这个数列一共有多少数？。
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四年级奥数：数列与数表经过观察与归纳找出数与图的规律。
观察是寻找规律不可少的手段，是发现本质、归纳规律的先导，有些问题解答不出来，究其原因，与其说是“想不出”，不如说是“看不出”。
在寻找规律的过程中，必须要高度重视对数、形、式等现象的观察，善于抓住问题的本质特征进行归纳，从而得出规律。
只有经过观察、思考和试算，发现数与数、图形与图形相互之间的关系，才能得到题目的答案。
同学们，通过学习，希望你在平时多积累，多归纳，善于发现、总结一些规律，因为学会发现往往比学会几道题目重要得多。
名师点题例1知识概述1、数列：主要包括⑴递增数列(等差数列，等比数列)，等差数列为重点考察对象。
⑵周期数列；例如：1，2，4，7，1，2，4，7，1，2，4，7，…⑶复合数列；例如：1，3，2，6，3，9，4，12，5，15…⑷特殊数列；例如：斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21…2、等差数列通用公式：通项公式：第n项=首项 +（项数– 1）×公差项数公式：项数=（末项–首项）÷公差 + 1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷23、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
4、数表规律给出几个具体的、特殊的图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论。
具体方法和步骤是：⑴通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；⑵猜想符合规律的一般性结论；⑶验证或证明结论是否正确。
在杯赛考试中主要将图形规律与等差数列结合到一起来考察。
（1）在数列3、6、9……，201中共有多少数？ （2）在数列3、6、9……，201和是多少？ （3）如果继续写下去，第201个数是多少？ 【解析】（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。
项数=（201-3）÷3+1=67（2）求和公式=（首项+末项）×项数÷2 =（3+201）×67÷2 = 102×67 =6834（3）根据公式：末项=首项+公差⨯（项数-1）末项=3+3⨯（201-1）=603， 第201个数是603添在图中的三个正方形内的数具有相同的规律，请你根据这个规律， 确定出A= B = C= ；【解析】第一组 （1+2）×3=9 第二组 （2+3）×4=20 第三组 （3+4）×5=35 由分析得：A=35，B=4，C=5.用相同的立方体摆成下图的形式，如果共摆了10层，那么最下面一层有多少个立方体？9 1 2320 2 3 4A 3 BC【解析】第一层：1第二层：1+2第三层：1+2+3第四层：1+2+3+4...第十层：1+2+3+4+…+10=55（1+10）×10÷2=11×10÷2=110÷2=55 (个)【巩固拓展】1、3＋7＋11＋…＋99＝？【解析】3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，项数=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
2、求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
【解析】末项=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
3、添在图中的三个五边形内的数具有相同的规律，请你根据这个规律， 确定出A= B= C= D= ；【解析】 多线找规律①中出现123，②出现345，③应该为567，所以B=6 D=7 ①中1+3=4， ②中3+5=8，③5+D=A ， D=7， A=12 ①中1×7=7 ②中3×7=21 ③5×7=35 C=354、全部三位数的和是多少？【解析】所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、……、998、999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。
要求和可以利用等差数列求和公式来解答。
（100+999）⨯900÷2=1099⨯900÷2=494550图中是一个堆放铅笔的V 形架,如果最上面一层放60支铅笔. 问一共有多少支铅笔?例11 24 37 5 B AD C3 4 85 21【解析】从最底层到最上层每一层堆放的铅笔支数组成一个等差数列,所以一共放铅笔.(1+60)×60÷2 =61×60÷2 =3660÷2 =1830(支).【巩固拓展】建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。
【解析】根据图可以知道，这是一个以3为首项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根其实是求这列数的和。
求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+…+9+10的和。
项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为: 3+4+5+…+9+10 =(3+10)×8÷2 =13×8÷ 2 =52(根)。
计算：1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70=【解析】这是一个综合数列求和，我们把原数列的奇数项和偶数项分开来看 奇数项： ,13,10,7,4,1 偶数项： ,15,12,9,6,3把奇数项的和求出来，偶数项的和求出来，两个和相加即为原数列的和。
偶数项的项数是：2313)369(=+÷-，那么奇数项的项数就是24123=+。
奇数项的和：852224)701(=÷⨯+， 偶数项的和：828223)693(=÷⨯+， 原数列的和：1680828852=+。
【巩固拓展】有两个数列对应关系如下表所示：(1)当B=37时，A=_________． (2)当A=1995 时，B=______． 【解析】（1）B=37代入项数=（末项 – 首项）÷公差 + 1 求出为第12项A 的第12项：3+（12-1）×2=25（2）当A=1995 项数=（1995-3）÷2+1 求出为第997项 B 的第997项：4+（997-1）×3=2992在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。
问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？例3分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。
【解析】（1）最大三角形面积为（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（厘米2）。
(2）火柴棍的数目为3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）。
答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。
【巩固拓展】用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒?【解析】如果把图中最上端的一个三角形看做第一层,与第一层紧相连的3个三角形(2个向上的三角形,一个向下的三角形)看做第二层,那么这个图中一共有10层三角形。
不难看出,这10层三角形每层所需火柴棒根数,自上而下依次为:3,6,9,…,3×10。
它们成等差数列,且首项为3,公差为3,项数为10。
求火柴的总根数,也就是求这个等差数列各项的和。
即: 3+6+9+…+30=(3+30) × 10÷ 2=33× 5=165(根)这个大的等边三角形中一共要放165根火柴棒。
有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?【解析】提示：开第一把锁时，如果不凑巧，试了49把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试49次，同理，开第二把锁至多需要48次，开第三把锁至多需试47次，…，等打开第49把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。
解：根据以上分析,可以把本题转化为求一个等差数列的和，即49+48+47+…+2+1=(49+1)×49÷ 2=1225(次)答：至多要试1225次。
【巩固拓展】1、有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?【解析】59+58+57+…+2+1=(59+1)×59÷2=1770(次)2、有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了?【解析】答:一共有8把锁的钥匙搞乱了。
例1（小机灵杯初赛）有许多等式：2＋4＋6＝1＋3＋5＋38＋10＋12＋14＝7＋9＋11＋13＋416＋18＋20＋22＋24＝15＋17＋19＋21＋23＋5…第十个等式的右边的和是多少？【解析】前九个等式左边的数共有3+4+5+…+11=(3+11)×9÷2=63个数那么第十个等式左边的第一个数就是第64个：根据通项公式：第n项=首项 +（项数– 1）×公差2+（64-1）×2=128.所以第十个等式右边的数的和：128+130+132+…+150=(128+150)×12÷2=1668例2（第九届小机灵杯五年级复赛）有若干个根长度相等的火柴棒，把这些火柴棒摆成下面的图形，找这样下去，第10个图中共用了多少根火柴？【解析】把最后一排封底用的火柴分开看。
第一个图，上面用3个，封底用1个第二个图，上面用3＋7个，封底用3个第三个图，上面用3＋7＋11个，封底用5个……第十个图，上面用3＋7＋11＋15＋……＋=210，封底用19个。
所以一共用了229根火柴。
将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圈，第2个图形中有10个小圈，第3个图形中有16个小圈，第4个图形中有24个小圈，…，依此规律，第6个图形有___________个小圈。
【解析】除周围4个小圆外，中间小圆的规律是1×2，2×3，3×4，……，第6个图有6×7＋4＝46个小圆。
(第七届“中环杯”四年级决赛)例4例3有一串这样的数字：2，0，0，6，0，6，2，0，0，6，0，6，2，0，0，6，0，6 (2006)数。