圆锥曲线压轴题提升练(解析)

圆锥曲线压轴题提升练（解析）

1.【2018浙江21】如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线

2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上。

（1） 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；

（2） 若P 是半椭圆2

2

1(0)4

y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围。 解析：（1）设2200112211(,),(,),(,)44

P x y A y y B y y

AP 中点满足：2

2

102014(

)4()22

y x y y ++= BP 中点满足：2

2

202024:(

)4()22

y x y y BP ++=

所以12,y y 是方程2

2

0204()4()22

y x y y ++=即22000

280y y y x y -+-=的两个根，所以

12

02

y y y +=，故PM 垂直于y 轴。 （2）由（1）可知212012002,8y y y y y x y +=⋅=-

所以222

1200013||()384

PM y y x y x =+-=

-

,12||y y -=

因此，3

2212001||||4)24

PAB

S PM y y y x ∆=⋅-=- 因为2

2

0001(0)4

y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此，PAB ∆

面积的取值范围是 1. 距离型问题

2.【2018全国3 理20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22

:

143

x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >

（1）证明：12

k <-

； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明：,,FP FA FB 为等差数列，并求出该数列的公差。

解析：（1）由中点弦公式22OM

b k k a ⋅=-，解得34k m

=-

又因为点M 在椭圆内，故302

m <<

，故1

2k <-

（2）由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-，故(1,2)P m -

因为点P 在椭圆上，代入可得3,14m k =

=-，即3

||2

FP = 根据第二定义可知，1211||2,||222

FA x FB x =-

=- 121

||||4()2

FA FB x x +=-+

联立22

212121114371402,4287

4

x y x x x x x x y x ⎧+=⎪⎪⇒-+=⇒+==⎨

⎪=-+⎪⎩ 即121

||||4()32

FA FB x x +=-

+= 故满足2||||||FP FA FB =+，所以,,FP FA FB 为等差数列

设其公差为d ，因为,A B 的位置不确定，则有

1212||||||||2d FA FB x x =±-=±-=

代入得2,1428

d d =±

=± 3.【2018全国3 文20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22

:

143

x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >

（1）证明：12

k <-

； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明

2||||||FP FA FB =+。

解析：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则

222211221,14343

x y x y +=+=，因为2121y y k x x -=- 两式相减可得：

1212

043

x x y y k +++= 又因为

1212

1,22

x x y y m ++==即12122,2x x y y m +=+=代入上式得 34k m =-

，又因为点M 在椭圆内，故302

m <<，故12k <-

（2）(1,0)F ，设33(,)P x y ，

3311220(1,)(1,)(1,)0FP FA FB x y x y x y ++=⇒-+-+-=即

3123123()1,()2x x x y y y m =-+==-+=- 因为点P 在椭圆上，代入得

3

4

m =

，所以33(1,),||22P FP -=

因为1||(22x FA x ==-

，同理得2||22

x FB =- 故121

||||4()32

FA FB x x +=-

+= 所以2||||||FP FA FB =+

注意：文理科题目相同，但是给出的解题思路是不同的。

4.【2018天津 理19】设椭圆22

221x y a b

+=的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心

率为

3

，点A 的坐标为(,0)b ，且||||FB AB ⋅= （1）求椭圆的方程；

（2）设直线:(0)l y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点

Q ，若

||sin ||4

AQ AOQ PQ =∠（O 为原点），求k 的值。

解析：（1）由题意知：

222

2

2259

c a b e a a -===，解得23a b =，又因为||,||FB a AB ==