浅谈高等数学在中学数学中的应用
高等数学方法在中学数学中的运用
高等数学方法在中学数学中的运用
高等数学是大学阶段的一门学科，主要包括微积分、数学分析、线性代数、概率统计等内容。
而中学数学是指初中和高中阶段的数学课程，主要包括代数、几何、数论等内容。
1. 微积分在函数的研究中的运用：微积分是高等数学的核心内容，其中导数和积分是最基本的概念。
在中学数学中，微积分方法可以应用于函数的研究中。
利用导数的概念可以求解函数的单调性和极值问题；利用积分的概念可以求解函数的面积和长度等问题。
2. 线性代数在方程组的求解中的运用：线性代数是研究向量空间和线性映射的数学分支，包括矩阵的运算、线性方程组的求解等内容。
在中学数学中，线性代数方法可以用来求解线性方程组的问题，例如利用矩阵的消元法或矩阵的逆矩阵法求解方程组的解。
3. 数学分析在函数的连续性和导数的计算中的运用：数学分析是研究函数连续性和极限的一门学科，包括极限的概念、函数的连续性和微分等内容。
在中学数学中，数学分析方法可以用来研究函数的连续性问题，例如用极限的方法证明函数的连续性，还可以用微分的方法计算函数的导数。
4. 概率统计在随机事件的研究中的运用：概率统计是研究随机事件和随机变量的数学分支，包括概率的概念、概率分布和统计推断等内容。
在中学数学中，概率统计方法可以用来研究随机事件的发生概率，例如用概率的方法解决排列组合和概率计算问题；还可以用统计推断的方法对一组数据进行预测和分析。
高等数学方法在中学数学中的运用不仅可以加深对基础数学概念的理解，还可以提高解决问题的能力和思维能力。
但是需要注意的是，高等数学方法在中学数学中的运用可能对学生来说会有一定的难度，需要根据学生的实际水平和学习需求进行适度引导和教学。
浅谈高等数学在初等数学中的应用
浅谈高等数学在初等数学中的应用初等数学是学习高等数学基础，高等数学是初等数学的继续和提高，它不但解释了许多初等数学未能说清楚的问题，并使许多初等数学束手无策的问题，至此迎刃而解了。
本文从三个方面探讨高等数学在初等数学中的作用。
高等数学是在初等数学的基础上发展起来的，与初等数学有着紧密的联系。
站在高等数学的角度来看中学数学的某些问题又会更深刻、更全面。
运用高等数学的知识可以解决一些用初等方法难以解决的初等数学问题，以便使学生了解到高等数学对于初等数学的指导作用。
标签：初等数学;高等数学;联系;应用数学是一门科学性、概括性、逻辑性很强的学科。
它源自于古希腊，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念。
透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。
数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。
问题的提出许多学生经常提出这样的问题：我们为什么要学这么多高等数学？这些问题长期以来困扰着我们。
本文通过讨论初等与高等数学的联系，使他们真正觉得高等数学对初等数学教学有向导性意义，帮助他们用高等数学知识去分析和理解初等数学教材，从而站得更高，对中学数学的来龙去脉看得更清楚。
一、初等数学初等数学时期从公元前五世纪到公元十七世纪，延续了两千多年、由于高等数学的建立而结束。
这个时期最明显的结果就是系统地创立了初等数学，也就是现在中小学课程中的算术、初等代数、初等几何（平面几何和立体几何）和平面三角等内容。
二、高等数学内容包括函数与极限、一元函数微积分、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分、级数、常微分方程等。
其中极限论是基础：微分、积分是是核心，是从连续的侧面揭示和研究函数变化的规律性，微分是从微观上揭示函数的局部性质，积分是从宏观上揭示函数的整体性质：级数理论是研究解析函数的主要手段：解析几何为微积分的研究提供了解析工具，為揭示函数的性质提供了直观模型：微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分犹记得联系起来，揭示了它们之间内在的依赖转化关系。
高等数学与初等数学的联系及一些应用
高等数学与初等数学的联系及一些应用摘要：众所周知，初等数学是高等数学的基础，高等数学是初等数学的延伸和发展。
由于现阶段数学数字化时代的发展，中学教师要是掌握一定的高等数学的知识与方法，并在教学中与初等数学的知识有机结合起来，那么将能提高学生的思维，开阔学生的思路，培养学生的数学修养并提高其解决问题的能力。
因而，本文着重把高等数学与初等数学联系起来，通过几个例子来阐述高等数学在初等数学中的一些重要的应用。
关键词：高等数学；初等数学；应用1.引言数学是一门概括性、逻辑性很强的学科，将它从自然科学中分离出来而成为一门独立的学科与自然科学、社会科学并驾齐驱，在修完高等数学课程之后才能体会到这个主张是非常科学的。
因此有人把它叫做思维的体操，也有人把它称作其他自然科学必备的基础工具。
这些都是基于这种认识和理解，是有一定的道理的。
中小学的数学，即使是高中数学的教学，它所要承担的教学任务和培养的目标只能是学会基本的运算和简单的推理，由于学生的接受能力有限，更深一层次的研究只能在大学进行。
只有通过大学高等数学各门必修课程和选修课程的学习和理解，才能深切感受到数学这门充满生机、古老的学科的庞大的体系和深邃的理论，才能认识到数学区别于其他学科的三种特性：抽象性、严谨性和高度的概括性。
2.国内外研究现状大学课程学习的思维单向性很强。
大学的学习给学生的感觉是用中学知识去学习大学课程中的内容，学生几乎感觉不到能用大学知识解决中学数学中的问题或对解中学数学问题有什么帮助。
“用”的观念淡薄了，“学”的热情自然而然的就少了。
抓住高等数学与初等数学之间的联系，加强高等数学对初等数学的指导作用及高等数学在初等数学中的一些应用是本课题研究的重点和关键问题。
中学数学教材中的教学难点经常让新教师费劲口舌，但学生仍然晕头转向，不知其意。
比如极限定义、集合和函数等。
一位新数学教师在解释从非空数集A到数集B的映射是函数时常常讲不清楚函数的值域到底是不是B。
高等数学在中学数学教学中的应用
高等数学在中学数学教学中的应用
高等数学是一门重要的学科，它涉及到微积分、线性代数、概率论等等。
在中学数学教学中，高等数学有着重要的应用。
首先，微积分是高等数学中的重要概念之一，它在中学数学教学中也有广泛应用。
例如，在初中阶段，学生就要学习导数和微分的概念，并且通过应用导数和微分来理解函数、极值等概念。
在高中阶段，学生还要学习积分的概念，并应用积分来解决相关问题，如曲线下面积、体积等。
其次，线性代数也是高等数学中的重要概念。
在中学数学教学中，线性代数被应用于矩阵的相关知识。
例如，在高中阶段，学生要学习矩阵的基本操作和逆矩阵的求解方法。
同时，线性代数还可以应用于向量的相关知识，如向量的点积、叉积等。
最后，概率论也是高等数学中的重要内容。
在中学数学教学中，概率论被应用于概率的计算和统计的相关知识。
例如，在初中阶段，学生要学习概率的概念和计算方法，并通过概率来解决相关问题。
在高中阶段，学生要学习统计的相关知识，并应用概率来进行统计分析。
综上所述，高等数学在中学数学教学中有着广泛的应用，它可以帮助学生更好地理解数学概念和方法，并且应用数学来解决相关问题。
同时，高等数学的应用也可以帮助学生提高数学素养和综合能力。
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高等数学在高中阶段的应用
浅谈高等数学在高中阶段的应用作者简介：田帅，（1990.12-），男，籍贯：河南淮阳，单位：周口师范学院研究方向：信息与计算科学，职业：学生。
摘要：本文介绍高中数学和高等数学的概念，然后总结了它们之间的关系，重点探讨了高等数学中导数、极限思想、柯西不等式在高中数学题中的应用，并给出了例子进行详细说明。
关键词：导数；极限思想；向量方法1.中学数学和高等数学的关系高等数学与中学数学之间无论在观点上还是在方法上都有着很大的区别，正因为这个原因，有许多学者认为，学生不需要懂得高等数学知识。
其实，这是一种误解。
因为高等数学是在中学数学的基础上发展起来的，是中学数学的继续和提高，利用高等数学知识揭示中学数学的解题方法，有利于提高学生的数学思维能力，帮助学生学会以高等数学的思想、方法为工具从不同的角度去研究中学数学问题，还可以借助于高等数学的方法来统一处理和解决中学数学中一些或一类问题等等。
中学数学里很多理论遗留问题必须在高等数学中才能澄清，很多数学题都因为高等知识的运用才得以扩展，才让我们对题的本质有更透彻的了解，所以二者有着密切的关系。
我们应该将高等数学思想方法全面渗入到中学数学中，寻找高等数学与中学数学的结合点。
2.高等数学知识在中学数学题中的应用高等数学中有许多方法和中学数学相通，有些可以适当迁移到中学数学中来。
高等数学的方法不仅可以使我们居高临下地去观察中学数学问题，帮助我们确定解题思路，有时还能够帮助我们剖析某些问题实质，寻求简捷的解法。
中学数学中常用的高等数学方法有极限法、求导法、向量法、概率法等。
下面以中学中常见的问题为例来说明高等数学方法在中学数学中的应用。
2.1导数的应用导数是中学数学与高等数学的重要衔接点，在中学数学里导数的应用很广泛，比传统的方法有许多优越性，给传统的数学内容注入了新的生机和活力。
2.1.1求函数的极值、最值求导是数学中非常重要的一种方法，求极值、最值问题是是中学数学里很普遍的，用一般的方法比较复杂，利用导数求函数的极大（小）值，求函数在连续区间a，b上的最大（小）值，能使问题变得简单化。
浅谈高等数学在中学数学解题中的作用
例 １ 证明当 ＞０ ， （ ＋ ） 时 ｌ １ ＞圭 ｎ
证 明 不等式可 变形为 ｌ（ ＋． 一 ｎ１ ｚ ）
．
＞ｏ ．
点、 拐点 等一 些关 键 的 因素 ， 从而 就能 比较 准确 地 描绘 函数 的图象 ． 如 中学 教 材 介 绍 了正 弦 函数 再 和余 弦 函数 的 图象 ， 这 ２个 函数 的 图象 为 什 么 但
一
解 因为 一口 ｚ ＋缸 ＋Ｃ 在顶 点处 的 曲率最 大 ， 大 曲 率 为 Ｋ— ｌ口ｌ 故 砂 轮 的 半 径 不 应 大 最 ， ２
１
于抛 物线 顶 点 处 的 曲率 半 径 Ｒ一
＾ Ｕ ．
一１ ２ ， ． ５
故 选 用 砂 轮 的半 径 不 得 超 过 １ ２ ． ５单 位 长 ，即直 径 不得 超 过 ２ ５ ． Ｏ单 位 长． 可见 ， 等 数 学 对 中 学 数 学 解 题 的 潜 在 作 高 用， 主要 表 现 在利 用 高 等 数 学 知识 “ 路 ” 探 ，可 给 解 题带 来很 大便 利 ． 在 中学 数学 中 ， 用 描 点 法 描 绘 了一 些 简 单 应 函数 的图 象． 是 ， 但 描点 法有 缺 陷． 是 因为 ， 点 这 描 法 所选 取 的点不 可 能很 多 ， 一 些关 键性 的点 ， 而 如 局 部 极 值 点 、 点 等 常 常 可 能 漏 掉 ； 线 的 单 调 拐 曲 性 、 凸 性 等 一些 重 要 的性态 也 没 有 掌 握． 此 ， 凹 因 用 描点 法所 描绘 的 函数 图象 常常 不能 比较 真实 地 表 现 出函数 的图象 的性 态． 如果 利用 导 数 就 能 非 常容易地研究 函数的单调性 、 凹凸 性 、 部 极 值 局
２ ｌ 年 第 ３ 期 ＯＯ
高等数学在中学数学的应用
高等数学在中学数学的应用作者：蒋文方来源：《世纪之星·交流版》2015年第12期高等数学中的微积分的知识在中学数学的许多问题上能起到驭繁的作用，尤其在证明不等式、恒等式和研究函数的变化性态及作图，不仅可以简化解法，并能使问题的研究更为深入全面。
一、不等式的证明在研究变化过程中变量之间的相互制约关系时，更多的是不等式的研究.中等数学中经常通过恒等变化、数学归纳法、二次型等方法解决，或运用已有的基本不等式的证明，为此先要进行恒等变形，这需要较高的技巧。
利用微积分的知识和方法，例如微分中值定理，函数的增减性，极值判定法，定积分的性质等。
可简化不等式的证明过程，降低技巧性。
归纳：从以上两题可以知道在中学阶段仅可通过恒等变形比较两个函数的形式进行讲解，操作麻烦，学生也很难接受，但学了高等数学之后，问题就变得简单了。
二、恒等式的证明学了高等数学后，可以发现许多问题的解决可以简化。
下面两个例题都是运用了导数知识。
三、函数的变化性态及作图函数的图象以其值、直观性有着别的工具不可替代的作用，特别是在说明一个函数的整体情况及其特性的时候，作用尤为明显，例如两个看起来很像的函数：，熟悉它们两的图象就知道中学数学的描点作图是不完善的，有许多的不足之处，总会担心点取的不够多或点取的太多，例如函数的正确图形应为1-1（下左）而描点法很可能画出1-2（下右）的错误图形：利用导数作为工具，就可有效的对函数的增减性，极值点，凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断，从而比较准确地作出函数的图象，一般来说，描绘函数的图象可以按以下的步骤进行：（1）求函数的定义域.（2）考察函数的奇偶性，周期性.（3）求函数的某些特殊点，如与两坐标的交点，不连续点，不可导点等.（4）确定函数的单调区间，极值点，凸性区间及拐点.（5）考察渐近线.（6）根据讨论最后画出函数的图象.对于上述的（1），（2），（3）在中学就可以一一解决，在这里在重点的讲一下如何求函数的单调性、极值点；凹凸性、拐点；渐近线、切线方程。
高等数学在中学数学中的应用----毕业论文
【标题】高等数学在中学数学中的应用【作者】丁海云【关键词】高等数学中学数学联系应用【指导老师】陈强【专业】数学与应用数学【正文】1 引言近几年来，高等师范院校数学系的不少大学生对学习高等数学存在不少看法，如“现在学的高等数学好像与初等数学没有多大联系”，“学习高等数学对今后当中学数学教师作用不大”，有的甚至提出“高等数学在中学教学里根本用不上”等等．这些看法正如著名数学家克莱因早已指出的那样：“新的大学生一入学就发现，他面对的问题好像和中学里学过的东西一点也没有联系似的，当然他很快就忘了中学学的知识．但是毕业以后当了老师，他们又突然发现，要他们按老师的教法来教传统的初等数学，由于缺乏指导，他们很难辨明当前数学内容和所受大学数学训练之间的联系，于是很快坠入相沿成习的教学方法，而他们所受的大学训练至多成为一种愉快的回忆，对他们对教学毫无影响”．然而在新的数学教材中已经出现了一些基础的高等数学知识，可以说是数学发展的一种必然．现在的中学数学教师必须掌握高等数学的基础知识以适应数学发展和教材改革，而高等数学知识在开阔视野、指导数学解题、指导数学教学、对初等数学问题加以诠释等方面的作用就尤为突出了．本文探讨一些高等数学知识和方法在初等数学中的应用．2 初等数学与高等数学的联系一般说来,数学史家把数学的发展分成四个阶段(萌芽时期、初等数学时期、古典高等数学时期、现代高等数学时期)或五个时期(再加上“当代时期”)．无论何种方法，都把第二发展时期叫做“初等数学时期”，这个时期的数学知识和经验就是“初等数学”,而把第三、第四或第三、四、五阶段叫做“高等数学时期”,这些阶段的数学知识和经验就是“高等数学”．理论意义下的初等数学和高等数学是按照恩格斯(Engles)的经典分法：所谓初等数学就是指常量数学，高等数学就是指变量数学，并把笛卡尔(R?Descartes)1637年发明的解析几何看成为出现高等数学或进入高等数学时期的标志．而教育意义下的初等数学和高等数学是依据教育的发展历程和教育的等级加以区分的，即视普通初等、中等教育(即中、小学教育)阶段的数学主要内容为初等数学，视高等教育阶段的数学主要内容为高等数学．当然，由于社会和教育的思想、方法、手段尤其是教育内容都在不断发展，“初等数学”和“高等数学”也是一个变化的客体对象，两者没有严格的概念区别．事实上，数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力在于各部分之间的有机联系，只从学科表面上看，难以看清两者之间的内在联系，这就需要深入研究初等数学，理清其中最基本的思想和方法，努力寻求初等数学和高等数学的结合点．2.1 知识方面的联系高等代数在知识上是中学数学的继续和提高．它能解释许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等．从以下几个方面说明：首先，中学代数讲多项式的加、减、乘、除运算法则.高等代数在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讲多项式的整除理论及最大公因式理论；中学代数给出了多项式因式分解的常用方法.高等代数首先用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式的性质、唯一因式分解定理及不可约多项式在三种常见数域上的判定；中学代数讲一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系.高等代数接着讲一元n次方程根的定义，复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数，实系数一元n次方程根的特点，有理系数一元n次方程有理根的性质及求法，一元n次方程根的近似解法及公式解简介；中学代数讲二元一次、三元一次方程组的消元解法．高等代数讲线性方程组的行列式解法和矩阵消元解法、讲线性方程组解的判定及解与解之间的关系.中学代数学习的整数、有理数、实数、复数为高等代数的数环、数域提供例子；中学代数学习的有理数、实数、复数、平面向量为高等代数的向量空间提供例子．中学代数中的坐标旋转公式成为高等代数中坐标变换公式的例子.其次，中学几何的内容体系主要是由平面几何、立体几何和平面解析几何三部分构成．平面几何研究由点的集合而形成的平面几何图形的性质；立体几何研究空间几何图形的性质诸如直线、平面及旋转体；平面解析几何研究形与数结合的问题，重点是二次曲线理论的研究．侧重研究直线间的合同、相似极度量关系，就二次曲线而言也侧重于定义的直观描述和各自所具有的性质．作为高等几何而言，侧重于对直线形的结合关系、顺序关系及二次曲线一般理论的研究，具有普适性、全面性．中学几何学习的向量的长度和夹角为欧氏空间向量的长度和夹角提供模型，三角形不等式为欧氏空间中两点间距离的性质提供模型，线段在平面上的投影为欧氏空间中向量在子空间的投影提供模型.第三，高等数学分支之一数学分析的形成和发展体现了数学发展的每个新时期，不仅内容上更加丰富，更在思想方法上发生了根本性的变化．它的形成是深深扎根于初等数学基础之上，它的一些基本概念如导数、积分、无穷级数的收敛等，都是在初等数学有关问题的基础上发展起来的．如导数是在运用代数运算求直线斜率这一问题的基础上，发展成为运用极限方法求曲线上的点的斜率而形成的．可以这样讲，数学分析的形成是初等数学发展到一定阶段的必然结果．第四，集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论．它的建立是数学发展史上的一个里程碑，它给数学奠下了坚实的基础，其思想已渗透到数学的各个领域．它是整个数学的基础，它是数学的基本语言，同时也树立了现代数学的传统．我国中学数学中已经渗透了集合论的内容，如集合、映射及分类的思想，并使用了点集、解集合等集合论语言．综上所述可知，高等代数在知识上的确是中学数学的继续和提高.它不但解释了许多中学数学未能说清楚的如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等问题，而且以整数、实数、复数、平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间、欧氏空间等代数系统．这对用现代数学的观点、原理和方法指导中学数学教学是十分有用的.2.2 思想方面的联系中学数学思想和方法主要体现为三个层次，第一层次指数学各分科的具体解题方法和解题模式，如代数中的加减消元法、代入消元法、韦达法、判别式法、公式法、非负数法、放缩法、错位相消法、复数法、数学归纳法等等；几何中的平移、旋转、对称、相似、辅助线及辅助面的作法、面积方法、体积方法、图形及几何体的割补方法、三角形奠基法等等；还有在解题教学中教师概括出来的具体解题模式、教科书给出的各种具体的解题程序和模式．第二层次指适用面很广的一些“通法”，如配方法、换元法、待定系数法、分离系数法、消元法、降次法、数形结合法、一般化与特殊化法、参数法、反证法、同一法、观察与实验、比较与分类、分解与组合、分析与综合、归纳与演绎、类比与联想、抽象与概括等等．第三层次指数学观念，即人们对数学的基本看法和概括认识，如推理意识、整体意识、抽象意识、化归意识、数学美的意识等等．在高等数学教育活动中，上述数学思想和方法将得到进一步强化，高等数学各分支学科中几乎渗透了三个层次的思想和方法，在空间解析几何、高等几何、微分几何等学科中明显渗透着第一层次的思想和方法，第二、第三层次的思想和方法是数学学习和研究的重要方法，在各层次的数学教学活动中都应该重视这些思想和方法的训练．除上述所举的思想和方法外，高等数学各分支学科中也渗透着许多新的思想和方法，如分析中的极限法、微分法、积分法等等;代数中的求公因式法、线性方程组的矩阵解法、二次型的正负判定法、线性变换法等等．现代中学数学和高等数学教学的一个显著特征就是注重知识形成过程的教学，形成和发展学生的数学思想和方法，会用数学思想和方法来解决问题．3 高等数学在中学数学中的应用用高等数学的观点、原理和方法，认识、理解和解决中学数学问题是我们大多数人的共同目的，也是高等数学价值的一种体现，尤其是在指导教学、指导解题、诠释初等数学问题等方面，体现非常明显．3.1 高等数学在中学数学教学中的作用我们知道，初等数学与高等数学之间无论在观点上还是在方法上都有着很大的区别．正因为这个原因，有许多学者就认为：学生不需要懂得什么高等数学知识，教师只要能照本本讲下去就可以了，其实这是一种误解．诚然，我们在课堂上不能把高等数学知识传授给学生，但我们作为一名教师倘若仅仅停留在本本上，那是很不够的，有时甚至连自己对一些初等数学问题也可能会感到费解，这是因为：一方面，高等数学是初等数学的继续和提高；另一方面，初等数学里很多理论遗留问题必须在高等数学中才能得以澄清．因此，我们对高等数学在初等数学教学中的作用不能掉以轻心，下面就这个问题谈谈笔者的一些初浅的体会．3.1.1 高等数学原理与中学数学教学首先，注重高等数学对初等数学的指导作用,运用原理，把握本质.多数教育工作者实践中认识到：教师只有深人研究高等数学，才能深刻把握初等数学的本质，使数学课堂教学不失科学性，做到居高临下，把课教活．如有这样一道题目：例1 解方程．解此题若按三次方程求解相当困难．但若将“”看作“未知数”，看作常量，则是一个关于“”的“一元二次方程”，，解之得= ．所以原方程的解为，.可以看出,该题很好的把握了题目的主旨—变量和函数的观点.虽然变量与函数是数学分析研究的对象,中学数学中以常量问题为主,但有时若将这些问题中的字母,甚至常数看作变量,而将字母间的关系看作函数关系,运用变量和函数的观点去考察它,会使一些问题变得容易或为解题提示一种可行的思路.另外,中学数学教材中的数学知识,由于充分考虑到数学的社会性原则和学生的可接受性原则,往往是以教育形态(不是学术形态)的呈现,因此中学数学教材中的一些知识内容不可能严谨透彻,例如高中代数中的指数函数（a> 0且a≠1）,由于中学阶段指数概念仅推广到有理数,而指数函数的定义域是实数集.然而要在中学阶段讲清这个问题是不大容易的,需要涉及极限理论.事实上,指数函数是群(R, +)到群(R+, )的同构映射,且保持序结构.同时,一些重要的数学基本定理,根据其在中学数学中的地位与作用,大都以“公理”的形式直接加以肯定,并予以直观的描述,严格的证明需通过高等数学的知识加以证明和完善.可以说,运用高等数学的知识能将中学数学中不能或很难彻底解决的基本理论加以严格地证明;反过来,中学数学中的问题也为高等数学的理论提供可靠的背景和模型.因此,教师学习和运用高等数学知识可以加深理解中学数学教学内容的安排意图,更利于提高高师生数学解题能力.其次，在教学中讲解高等数学在初等数学中的渗透，深化对中学知识的掌握高等数学中的概念、思想、方法很多已渗透到中学数学中，在教学中注意这方面的讲解，就能使学生充分地认识到高等数学对中学数学教学的指导意义，也说明教师充分认识到了“居高临下”的重要性．另外在中学数学中，对有些概念和方法没有加以解释和说明，就交给学生应用，虽然使用时能解决问题，但深入理解是不可能的．而作为未来的中学数学教师，对这些概念的理解与掌握就不能只停留在中学时的水平上，而应该更清楚和深刻．如：中学数学中把“形如a+bi(a,b都是实数)的数”叫作复数.这里的“+”是什么意思？a与bi是两个不同单位的元素，怎么可以相加？因此，这里的“+”只能看作是将a与bi连结成一个整体的符号．那么，能不能把这个符号理解为普通实数的加法符号呢？为此，就必须学习了近世代数中复数的构造性理论后才能解答.C是复数集，+，分别表示复数的加法与乘法，则（C；+，）是一个域，叫复数域.在对应关系：（a,0） a之下可证集合与实数域同构，故可把（a,0）看成实数a,即（a,0）=a，从而复数域就是实数域的一个扩域.由复数乘法的定义得.因此复数（0，1）和的性质相同.它是方程的一个根，令（0，1）=i，i为虚数单位.故任意复数（a，b）就可以写成（a，b）=（a,0）+(0,b)=a+bi中的“+”不仅是形式上的符号，它与实数算术运算中的“+”完全一致.3.1.2 高等数学观点与中学数学教学中学数学教学以渗透高等数学思想、观点,使它们相结合．现代高等数学的新思想、新理念、新观点及许多美妙而诱人的技巧和方法,使它更具有魅力．3.1.2.1 数学分析的辩证观点与中学数学教学数学分析不仅继承了初等数学的方法,而且又引进新的思想方法———极限法．运用极限方法,“常量”与“变量”、“直”与“曲”、“均匀”与“非均匀”等可实现相互转化．所以，从方法论的角度来讲，数学分析的有关知识和方法对理解和解决一些中学数学问题会起导向作用．例2 设有三次函数y= (p、q∈R)，用微分方法求函数极值.解所以当>0时，无驻点，因而也无极值点；当=0时，驻点=0，但此时在=0两侧不变号，故=0不是极值点，即=0时无极值点；当 0时，有二驻点，又所以函数在处取得极大值在处取得极小值.这从思想、方法上更有指导性的是数学分析中的辩证观点,运用这样的方法，将会使我们中学数学问题的解决思路大为开阔,方法更加灵活有效,从而摆脱对问题束手无策或盲目乱试的困境.另外高等数学知识进一步探讨和学习，可增强学生的求知欲，达到培养学生的学习兴趣．教师运用高等数学知识可以提高对学生提出的一些问题的回答的正确性及敏捷性.3.1.2.2 高等几何思想与中学数学教学高等几何对教材内容的安排一般不同于中学几何，它是先给出定义、定理而后直观解释和证明，中学几何一般是先通过实例描述而后给出重要的概念和定理．前者训练抽象思维,后者训练形象思维,出发点不同，对同一问题得出的结论相同．全面了解欧氏几何、仿射几何、射影几何的联系与区别，从本质上认识，从整体上把握，又从局部上深入，才能深刻认识动与静、特殊与一般的辩证关系．就内容而言，高等几何比中学几何丰富，而且分析问题、处理问题的观点新颖，方法独特．如对偶原则，在研究点几何的同时，也研究了线几何的内容，对二次曲线的定义，既有几何定义，又有代数定义，开拓了认识眼界．从方法论来看，高等几何对具体问题处理的方法独特，而且灵活，对解决中学几何的有关命题提供了一种新的模式，也为中学几何的有关问题提供了知识背景．如利用中心射影投影一直线到无穷远来证明中学几何问题：若在平面上给定一个与直线有关的本质上是射影性质的几何命题，则只要恰当选择射影中心和向平面，总可以使直线的象直线是上的无穷远直线．由于无穷远直线的特殊性，有时可以将原命题化成上容易证明的新命题．既然射影变换保持射影性质不变，那么只要证明了新命题,则原命题也得到了证明．3.1.2.3 集合论的观点和方法与中学数学教学集合论是整个数学的基础，它不仅是数学的基本语言，而且树立了现代数学的传统.它蕴含着极其深刻的数学思想和丰富的数学方法，对分析和理解中学数学具有指导意义.映射是集合论的有力研究工具，也是数学中十分重要的化归方法，利用映射可以把不容易研究的集合上的问题转化到容易研究的集合上去，从而实现由未知(难、复杂)到已知(易、简单)的转化.映射方法的基本思想是：当处理某问题甲有困难时，可联想适当的映射，把问题甲及关系结构R映成与它有一一对应关系且易于考察的问题及关系结构；在新的关系结构中对问题处理完毕后,再把所得结果通过逆映射反演到R,求得关于问题甲所需的结果.这样启发了解题思路,又可用来指导数学发现.如：数学模型方法. 数学模型方法是指把所考察的实际问题化为数学问题,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究,使实际问题得以解决的一种数学方法.中学数学中的解应用题是最简单的数学模型方法.过程如下图:图1：运用数学模型方法解题过程框图3.2 高等数学在中学数学解题过程中的作用初等数学是高等数学的基础，二者有本质的联系．将高等数学的理论应用于初等数学,使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作，是一个值得研究的课题．俗话说，站得高才能看得远．因此，笔者认为,作为中学教师，除掌握中学数学各种类型题的已熟知的初等方法外，还应善于用高等数学方法解决中学数学问题，特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用高等数学方法则易于解决的中学数学问题,从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平，促进中学数学教学．下面略几举例说明之：3.2.1 变换角度，化繁为简例3 求满足方程.解如果从中学数学考虑的话那颇费周折.但换种思路从变量和函数的观点来看是两个变量，上面的方程只能确定之间的函数关系，而不能求出其具体的值.茅盾的根源在于：中学数学中求未知数总是方程的个数和未知数的个数相同才能求出，但题目里面却是两个未知数一个方程．可以得出启发：应当设法构造出两个关于的方程.在实数范围内，将一个等式分成几个等式，最常见的方法是利用非负数，即若几个非负数之和为零，则其中每个必须为零.根据此思路，可将方程变形为进而变为，由是锐角知，上式中两项均为负，故都都等于零．从而解得.另外，许多初等数学中的问题，往往蕴含着数学中的较高层次理论的再实践的问题．如能在教学中有意将高等数学的原理、方法应用于一些初等数学的证明、计算，不仅可以开拓学生的视野，而且可使学生体会到教师所使用的高等数学的原理、方法在解决初等数学问题时的驾轻驭熟的感觉，进而更加有兴趣学习数学．3.2.2 利用函数的单调性证明不等式不等式是数学中不可缺少的工具之一，有许多不等式在数学研究中有着重要的作用.但用初等数学知识证明一些不等式比较困难，下面利用高等数学的原理和方法，就不等式的证明给出证法以帮助理解.我们知道对定义在区间（a，b）内的函数，若>0（或<0），则函数在（a,b）内严格增加（或严格减少），根据函数的单调性，可证明不等式.例4 证明不等式(其中x>0)．证明：先证：.设，则在[0,+ )单调增加，又,当时，，即：.再证：．设，则, 当时，，即：.以上方法体现了用初等数学知识证明比较难的不等式时，可充分利用高等数学的原理和方法思考，进而收到很好的效果．3.2.3 利用高等几何思想解初等几何问题在中学数学教学中往往会碰到一些初等几何问题,欲用传统的综合证法,苦于找不到解决问题的思路,而用解析法却轻而易举,可又不能将此法告知学生,面临如何将它转化为纯几何的证明方法的问题,往往十分棘手．但利用高等几何知识进行思考，可收到很好的效果．例5 过一圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF，连结CF和ED交AB弦于P、Q.求证:PM=MQ. (蝴蝶定理)分析:如图2,此题若局限在平面几何范围内去研究，虽能找到多种不同的证法，如：为使、是全等三角形的对应边，宜将沿直线翻折至,则有, ,故知.这样，又将线段相等归结为角的相等，而角的相等关系在圆上又可利用圆周角定理进行转化，即因，故内接于圆.再由内接于圆和、对称得出结论.但以上结论的得出来之不易，如果我们利用高等几何的交比来证明，就非常容易了.证明:如图，E(AF，DB)=C(AF，DB) (1)E(AF，DB)=(AM，QB) (2)E(AF，DB)=(AP，MB) (3)由(1)、(2)、(3)式得(AM，QB)=(AP，MB)(AM,QB)=(AP,MB)即亦即(4)因为 AM=BM,设PM=x，MQ=y，AM=BM=a，则由(4)式得图2所以故 PM=MQ这种证法不仅简单地证明了结论，而且还把结论推广到了二次曲线的情形.即如果把“蝴蝶定理”中的园换成椭圆、双曲线、抛物线，一对平行线或一对相交直线，结论仍成立.高等数学的许多方法和技巧都能直接应用于中学数学解题，常能起到以简驭繁，并能使问题得以深化和拓广的作用．以上只是给出两个实例说明高等数学能指导中学数学解题（初等代数和初等几何），且收到了很好的效果．在教学过程中，结合具体内容，不失时机地介绍给学生，对于丰富学生的解题方法，特别是作为教师在将来的数学教学中用它来预测答案，确定初等解法的路线，构造习题，检验结果都有重要的作用．3.2.4 微积分在中学数学解题中的指导作用微积分在高等数学里占有非常高的地位，它之所以能解决初等数学不能解决的问题，其根本原因是在初等数学的基础上它引进了一种新的思想方法——极限法．俗话说，站得高才能看得远．笔者认为，作为中学数学教师，利用微积分思想解决中学数学问题特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用微积分思想则易于解决的中学数学问题，从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平．例6 分解因式.解把看作变量，看作常量.令,求对的导数得。
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浅谈高等数学在中学数学中的应用摘要本文探讨了初等数学和高等数学在知识体系上的差别以及应用上的联系，同时也探讨了他们地位上的差别和各自的重要性。
通过讨论可以得知，高等数学在很大程度上是初等数学的扩展。
本文第三部分重点介绍了微积分，不等式，行列式，以及高等几何等在初等数学中的应用，探讨了应用高等数学的思想方法解决初等数学的有关问题。
另外还探讨了高等数学在高考试题上体现的情况和如何解决相应的问题。
关键词高等数学中学数学微积分行列式IAbstractThis study of elementary mathematics and higher mathematics in knowledge on the difference between system and application links, also discussed their differences on the status and importance of each. Through discussion can see that higher mathematics is to a large extent is an extension of elementary mathematics. This article focuses on the second part of calculus, inequality, determinants, as well as the application of higher geometry in elementary mathematics, explored the application of higher mathematics thought method to solve problems of elementary mathematics. Discussion also reflected on the college entrance examination in higher mathematics and how to solve the problemKey words advanced mathematics Mathematics calculusII目录摘要 (I)Abstract (II)第一章前言 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 课题研究意义 (1)1.3 文献综述 (2)1.4 研究方法 (2)1.5 创新之处 (2)第二章高等数学与初等数学的地位与联系 (3)2.1 初等数学与高等数学的定位 (3)2.2 高等数学与中学数学的联系 (4)2.2.1 中学数学与大学数学的统一性 (4)2.2.2 中学数学与大学数学的连贯性 (4)2.3 高等数学对初等数学的拓展 (5)2.3.1 代数方面 (5)2.3.2 几何方面 (6)第三章高等数学在初等数学中的应用 (8)3.1 高等代数在中学数学中的应用 (8)3.2.1 行列式的应用 (8)3.2.2 柯西—施瓦兹不等式应用 (9)3.2 微积分方法在中学数学的应用 (9)3.2.1 微积分方法在求函数的极值、最值中的应用 (9)3.2.2 用微积分知识直接用来处理初等数学的问题而达到简便的目的 (10)3.2.3 积分在空间立体体积与表面积中的应用 (12)3.2.4 积分在求曲线弧长中的应用 (13)3.3 高等几何在初等几何的应用 (14)3.3.1 仿射变换的应用 (14)3.3.2 射影几何观点在初等几何中的应用 (14)3.3.2.1 仿射变换的应用 (15)3.3.2.2 笛沙格定理的应用 (16)3.3.2.3 点列中四点的交比 (17)3.3.2.4 线束中四条直线的交比的应用 (18)第四章高考试题中的微积分在解题中的应用 (20)4.1 拉格朗日中值定理 (20)4.2 有关级数的应用 (23)总结 (26)参考文献............................................................ 错误!未定义书签。
致谢. (27)2第一章 前言1第一章 前言1.1研究背景二十一世纪科学技术与社会经济正在快速发展。
这就需要初等教育为高等院校输送大批具有综合素质的创新型人才，最终培养成为社会需要的各级各类人才。
数学教育从教学思想、教学内容、课程设置、教学方法和教学手段方面都需要进行一系列的改革试验[]1。
随着新课程改革的不断进行，高中数学把多科数学内容综合为一门数学教材，注意沟通各科知识之间的内在联系，注意数学知识的实际应用。
教学中，要求体现数学的人文价值和科学价值，注重数学应用意识的培养。
新课程内容的变化，无论是新增内容，还是要求处理形式、侧重点上有变化的内容都需要教师认真理解，仔细分析。
数学教育现代化要求把中学数学教学建立在现代数学的思想基础上，这使得高等数学与中学数学互相促进，共同发展。
有许多中学数学的概念都需要借助高等数学的知识才能解释清楚。
1.2 课题研究意义随着高等数学的知识在高考所占的比重也越来越大，研究新的课程标准、新的考试大纲，认真研究、分析高中数学中的新知识——高等数学在中学数学中的应用问题变得势在必行。
高等数学是在初等数学的基础上发展起来的。
与初等数学有着紧密的联系。
许多初等数学无法解答的问题，高等数学都给出了解答。
因此，帮助学生学会用高等数学的思想、方法为工具，从不同的角度去研究初等数学的问题，而且运用高等数学的知识，从另一更高的角度重新认识初等数学中重要的概念、理论实质及其背景，还可以借助于高等数学的方法来统一处理和解决初等数学中一些或一类问题等等。
总之应用高等数学的方法使学生对初等数学的本质，以及与高等数学之间的内在联系，有了深刻的认识。
本论文在借鉴前人所撰文章的精神的基础之上，与中学数学同行们互相交流，对指导教学，指明方向、深度有重大的参考和借鉴价值。
本文运用高等数学的先进观点居高临下地分析和处理中学数学内容的问题。
主要表现为以下三个方面:一是将高等数学的思想和办法渗透到中学数学中去；二是用具体材料来说明高等数学对中学数学的指导意义：三是指出中学数学某些难以处理的问题的高等数学背景。
广东石油化工学院本科毕业（设计）论文：浅谈高等数学在中学数学中的应用1.3 文献综述文献[5]－《例谈导数的应用》是鄢尧发所编写, 这文章是备受广大师生青睐，主要用众多例题介绍导数，通过把导数与实际应用结合起来，以及用了很多方法，去介绍导数的应用。
充分展现导数思想在解决问题的重要性，我在这本参考书上，主要是参考了导数在求极值的应用这部分。
不过这本书在介绍导数这方面的知识与我所讨论的问题有很大的区别，因此我在自己电脑的网站，找一些相关资料作为补充。
文献[6]－《导数在证明不等式中的应用》，本文章是刘伟的报告，本报告主要就讨论一个任务，导数在不等式中的应用。
主要把不等式构造成一个函数，再通过函数求导，找函数的单调性，这样就可以证明不等式的成立。
另外还利用导数证明几个特殊的不等式。
考虑到微积分正是大学数学知识的基础也是中学数学导数应用的一个延生，借鉴此文章是势在必行的。
但由于此文章讲述的比较复杂，我只借鉴构造函数这一部分。
文献[7] - 《数学分析》（第三版）是华东师范大学数学系所编．也是高等教育出版社出版的大学数学专业学生必修的一本教科书，本书分为两本主要详细讲了极限和连续函数，微积分，实数完备性等知识点。
就是通过这本书，我才能清楚的认识整个微积分与中学数学之间的紧密联系，也是通过这道本书我才能认识到高等数学的主要思想基础的所在。
1.4 研究方法到书店、图书馆、上网搜集大量相关的资料，并参考其他研究人员就此问题做过的相关研究资料，再结合自己的见解分析，总结最后撰写论文1.5 创新之处1、本论文在更具体的理论结合实际上探讨了高等数学和初等数学的联系2、本论文更全面的叙述了高等数学在初等数学中的应用3、这次课标新改后，比较深入的讲述高考数学试题应用高等数学思想方法的论文2第二章 高等数学与初等数学的地位与联系3第二章 高等数学与初等数学的地位与联系大量的事实表明,通过高初结合可以更好地把握数学知识的深度,了解数学问题的背景和实质,能够从更高的角度俯瞰初等数学及其教学,可以提高数学教师的数学素质和数学解题能力,更好地把握初等数学教学。
高等数学知识在开阔中学教师的视野、指导中学数学解题等方面都有很大的作用。
欲穷千里目,更上一层楼。
站在高等数学的角度来看初等数学中的某些问题会更深刻、更全面。
我们知道,初等数学与高等数学之间无论在观点上还是在方法上都有着很大的区别。
正是如此,有人认为:学生不需要懂得什么高等数学知识,教师只要照课本讲下去就可以了。
其实这是一种误解。
诚然,在课堂上不能把高等数学知识传授给学生,但我们仅仅停留在课本上是不够的,有时甚至连自己对一些初等数学的问题也可能感到费解,这是因为:一方面,高等数学是初等数学的继续和提高;另一方面,初等数学里很多理论遗留问题必须在高等数学中才能得澄清.因此,高等数学在初等数学中的作用不能掉以轻心,下面谈谈一些初浅的体会。
2.1初等数学与高等数学的定位一般来说，数学史学家把数学的发展分为四个阶段：萌芽时期、初等数学时期、古典高等数学时期、现代高等数学时期（或五个时期，再加上当代时期）。
无论何种分发，都把第二发展时期叫做“初等数学时期”，这个时期的数学知识和经验就是“初等数学”，而把第三、第四或第三、四、五阶段叫做“高等数学时期”，这些阶段的数学知识和经验就是“高等数学”。
理论意义下的初等数学和高等数学是按照恩格斯（Engles ）的经典分发：所谓初等数学是指常量数学，高等数学就是指变量数学，并把笛卡尔（R.Descartes ）1637年发表的解析几何看成为出现高等数学或进入高等数学时期的标志。
而教育意义下的初等数学高等数学是依据教育的发展历程和教育的等级加以区分的，即视普通初等、中等教育（即中、小教育）阶段的数学主要内容为初等数学，视初等教育阶段的数学主要内容为初等数学，视高等教育的数学主要内容为高等数学。
当然，由于社会和教育的思想、方法、手段尤其是教育内容都在不断发展，“初等数学”和“高等数学”也是一个变化的客体对象，两者没有严格的概念区别。
事实上，数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力在于各部分之间的内在联系，这就需要深入研究初等数学，理清其中最基本的思想和方法，努力寻求初等数学和高等数学的结合点[]2。
广东石油化工学院本科毕业论文：浅谈高等数学在中学数学中的应用2.2 高等数学与中学数学的联系中学数学主要是常量数学,同时也包括变量数学的一些初步知识,而现代数学则以变项包括变量为研究对象来反映现实世界的空间形式与数量关系。