第四章 三铰拱习题解

4-1 设三铰拱的为拱轴线方程为2

4()f

y x l x l =-，拱的尺寸及承受的荷载如图所示。试求支反力及D 、E 截面的内力。

A H A 题4-1

(b)

Y A =35kN

o

解：（1）画出三铰拱的等代梁，求三铰拱的约束反力

000535120A B C Y Y M ===⋅kN ,kN ,kN m

故，0

0120

535304

C A A

B B

A B M Y Y Y Y H H f ========kN ,kN ,kN

00005420(,5480100(,5DA DC DA DC M M V V =⨯=⋅=⨯+=⋅==kN m)kN m)kN 0000354140(,35,5EB EC EB EC M M V V ==⨯=⋅=-=kN m)kN kN

(2)计算D 、E 截面的内力 因为拱轴线方程为24()f

y x l x l

=-， 故，24(2)tan f y l x l ϕ'=

-=，cos ,sin cos y ϕϕϕ'== ①计算D 截面的内力

2

44

4(164)3(16D y ⨯=

⨯⨯-=m) 2441

(1624)tan 162D

D y ϕ⨯'=-⨯== 1cos ,sin cos 2D D D y ϕϕϕ'=

====。故，

2030370(,

10030310(

cos sin5

sin cos5

DA DA D

DC DC D

DA DC DA D D

DA DC DA D D

M M Hy

M M Hy

V V V H

N N V H

ϕϕ

ϕϕ

=-=-⨯=-⋅

=-=-⨯=⋅

==-=

==--=-

kN m)

kN m)

30==-8.94(kN)

30==-29.07(kN)②计算E截面的内力

2

44

12(1612)3(

16

D

y

⨯

=⨯⨯-=m)

2

441

(16212)tan

162

E E

yϕ

⨯

'=-⨯=-=

1

cos,sin cos

2

E D D

y

ϕϕϕ

'

=====-=

14030350(,

cos sin35(

cos sin5(

sin cos(35)(

sin

EB EC EB E

EB EB E E

EC EC E E

EB EB E E

EC EC E

M M M Hy

V V H

V V H

N V H

N V H

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

==-=-⨯=⋅

=-=-⨯

=-=⨯

=--=--⨯

=--

kN m)

-30-17.89(kN)

30=17.89(kN)

30=

-42.49(kN)

cos5(

E

ϕ=-⨯30=-24.60(kN)

4-2 如图所示半圆弧三铰拱，左半跨承受水平竖向荷载。试求K截面的内力。

A

H A

A

=10kN

10kN/m

10kN/m

H A

题4-2

(b)

(a)

(c)

解：（1）画出三铰拱的等代梁，求三铰拱的约束反力

000301040A B C Y Y M ===⋅kN ,kN ,kN m

故，0

040

3010104

C A A

B B

A B M Y Y Y Y H H f ========kN ,kN ,kN

(2)取脱离体如图（c ）所示，计算K 截面的内力

244cos 4530(44cos 45)104sin 4510(44cos 45)2

30(45(40

K M -=⨯--⨯-⨯-⨯

=⨯--⨯-=

301010(420 5.86(kN)

301010(420(kN)

K K V N =-⨯-=-==--+⨯-=-

4-4： 试求图示拉杆三铰刚架拉杆的内力，并作刚架的内力图。

(kN·m)

(c)

(e)

8(d)

解：（1）研究整个刚架，受力如图所示（a ），列平衡方程求的约束反力

12kN ,36kN ,0A E A Y Y H ===

（2）研究刚架CDE ，受力如图所示（b ），对C 铰取矩列平衡方程求的拉杆的轴力

()01242364608kN C

EA EA M

F N N =→-⨯⨯+⨯-⨯=→=∑

（3）作刚架的内力图

①因铰不承受弯矩，故0A C E M M M ===

32kN m()32kN m()

DE DC BA BC M M M M ===⋅===⋅外拉外拉

②求各杆端轴力、剪力 1）研究立柱的轴力、剪力

8kN 8kN 36kN 12kN

E DE A BA DE BA V V V V N N ====-=-=-，，

2）研究刚结点B 的平衡，受力如图（c ）所示，列平面汇交力系的平衡方程，得：

12.52kN 7.16kN 0

BC BC n N V τ⎧=⎪→=-=⎨

=⎪⎩∑∑， 由于BC 段无荷载作用，故：

12.52kN 7.16kN CB BC CB BC N N V V ==-==，

4）研究刚结点D 的平衡，受力如图（d ）所示，列平面汇交力系的平衡方程，得：

23.3kN 28.62kN 0DC DC n N V τ⎧=⎪→=-=-⎨=⎪⎩∑∑

， 再研究DC 杆段的平衡，受力如图（e ）所示，列平面任意力系的平衡方程，得：

()0

D n M F ⎧=⎪⎨

=⎪⎩∑∑ 1.79kN 14.31kN CD CD N V →=-=，

4-5 设三铰拱的跨度为l ，矢高为f ，右半跨承受水平竖向均布荷载，试确定合理拱轴线。

3q l /8

ql/8

(a)

(b)

（1）画出三铰拱的等代梁，求三铰拱的约束反力