(完整)北京航空航天大学数值分析课程知识点总结,推荐文档

1.2 误差知识与算法知识1.2.2 绝对误差、相对误差与有效数字设a 是准确值x 的一个近似值，记e x a =-，称e 为近似值a 的绝对误差，简称误差。

如果||e 的一个上界已知，记为ε，即||e ε≤，则称ε为近似值a 的绝对误差限或绝对误差界，简称误差限或误差界。

记r e x ae x x-==，称r e 为近似值a 的相对误差。

由于x 未知，实际上总把e a 作为a 的相对误差，并且也记为r e x ae a a-==，相对误差一般用百分比表示。

r e 的上界，即||r a εε=称为近似值a 的相对误差限或相对误差界。

定义 设数a 是数x 的近似值。

如果a 的绝对误差限时它的某一位的半个单位，并且从该位到它的第一位非零数字共有n 位，则称用a 近似x 时具有n 位有效数字。

1.2.3 函数求值的误差估计设()u f x =存在足够高阶的导数，a 是x 的近似值，则~()u f a =是()u f x =的近似值。

若'()0f a ≠且|''()|/|'()|f a f a 不很大，则有误差估计~~()'()()()'()()e uf a e a u f a a εε≈≈。

若(1)()'()''()...()0,()0k k f a f a fa f a -====≠，且比值(1)()()/()k k f a f a +不很大，则有误差估计[][]()~()~()()()!()()()!k kk k f a e u e a k f a u a k εε≈≈。

对于n 元函数，有误差估计~121~121(,,...,)()()(,,...,)()()nn i i i nn i i if a a a e u e a x f a a a u a x εε==∂≈∂∂≈∂∑∑；若一阶偏导全为零或很小，则要使用高阶项。

1.2.4 算法及其计算复杂性（1）要有数值稳定性，即能控制舍入误差的传播。

（2）两数相加要防止较小的数加不到较大的数中所引起的严重后果。

（3）要尽量避免两个相近的近似值相减，以免严重损失有效数字。

（4）除法运算中，要尽量避免除数的绝对值远远小于被除数的绝对值。

1.3 向量范数与矩阵范数1.3.1 向量范数定义 定义在nR 上的实值函数•称为向量范数，如果对于nR 中的任意向量x 和y 满足： （1）正定性：0x ≥，当且仅当0x =时，0x =；（2）齐次性：对任一数k R ∈，有kx k x =； （3）成立三角不等式：x y x y +≤+。

定理1.1 对nR 中的任一向量12(,,...,)Tn x x x x =，记11ni i x x ==∑221nii x x==∑1max i i nxx ∞≤≤=则1•，2•和∞•都是向量范数。

定理 1.2 设α•和β•是nR 上的任意两种向量范数，则存在与向量x 无关的常数m 和M(0<m<M)，使下列关系式成立,n m x xM x x R αβα≤≤∀∈1.3.2 矩阵范数定义 定义在n n R ⨯上的实值函数•称为矩阵范数，如果对于n n R ⨯中的任意矩阵A 和B 满足：（1）0A ≥，当且仅当0A =时，0A =； （2）对任一数k R ∈，有kA k A =； （3）A B A B +≤+； （4）AB A B ≤。

定义 对于给定的向量范数•和矩阵范数•，如果对于任一个nx R ∈和任一个n nA R ⨯∈满足Ax A x ≤，则称所给的矩阵范数与向量范数是相容的。

定理1.3 设在nR 种给定了一种向量范数，对任一矩阵n nA R⨯∈，令1=max x A Ax =，则由此定义的•是一种矩阵范数，并且它与所给定的向量范数相容。

定理1.4 设[]n n ij A a R ⨯=∈，则111max nij j ni A a ≤≤==∑max 2()T A A A λ=11max nij i nj A a ∞≤≤==∑其中max ()TA A λ表示矩阵T A A 的最大特征值（T A A 是正定或半正定矩阵，它的全部特征值非负）。

还有一种常见的矩阵范数2,1nijFi j Aa==∑，且与向量范数2•相容，但是不从属于任何向量范数。

单位矩阵I 的任何一种算子范数1=max 1x I Ix ==。

定理1.5 设矩阵n nA R ⨯∈的某种范数1A <，则I A ±为非奇异矩阵，并且当该范数为算子范数时，还有()111I A A-±≤-成立。

2.1 Gauss 消去法2.1.1 顺序Gauss 消去法定理2.1 顺序Gauss 消去法的前n-1个主元素()(1,2,...,1)k kk a k n =-均不为零的充分必要条件是方程组的系数矩阵A 的前n-1个顺序主子式(1)(1)111(1)()1.........0,(1,2,...,1)...kk k k kk a a D k n a a =≠=- 2.1.2 列主元素Gauss 消去法定理2.2 设方程组的系数矩阵A 非奇异，则用列主元素Gauss 消去法求解方程组时，各个列主元素()(1,2,...,1)k k i k a k n =-均不为零。

2.2 直接三角分解法2.2.1 Doolittle 分解法(单位下三角+上三角)与Crout 分解法(下三角+单位上三角)定理2.3 矩阵[](2)ij n n A a n ⨯=≥有唯一的Doolittle 分解的充分必要条件是A 的前n-1个顺序主子式0,(1,2,...,1)k D k n ≠=-。

推论 矩阵[](2)ij n n A a n ⨯=≥有唯一的Crout 分解的充分必要条件是A 的前n-1个顺序主子式0,(1,2,...,1)k D k n ≠=-。

2.2.2 选主元的Doolittle 分解法定理2.4 若矩阵n n A R ⨯∈非奇异，则存在置换矩阵Q ，使QA 可做Doolittle 分解。

2.2.3 三角分解法解带状线性方程组定理2.5(保带状结构的三角分解) 设[]ij n n A a ⨯=是上半带宽为s 、下半带宽为r 的带状矩阵，且A 的前n-1个顺序主子式均不为零，则A 有唯一的Doolittle 分解111,11,1,,11121,12,1,1,1,,1.................................1 (1).................................................1s r n s n n n r s n s n r n n r n n a a a A a a a u u u lu l l l ++--+-+--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1,.....n n nn u u -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦为节省空间，用C(m,n)存储A 的带内元素，其中m=r+s+1，并且1,ij i j s j a c -++=。

2.2.5 拟三对角线性方程组的求解方法1112221111112222221111221..................11.................. (1)...1n n n n nn n n n n n n n n a c d d a c A d a c c d a p q s d p q s q s d p s r r r r r ----------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2.3 矩阵的条件数与病态线性方程组2.3.1 矩阵的条件数与线性方程组的性态定义 对非奇异矩阵A ，称量1||||||||A A -为矩阵A 的条件数，记作1cond()||||||||A A A -=。

矩阵A 的条件数与所取的矩阵范数有关，常用的条件数是1cond()||||||||A A A -∞∞∞=，1222cond()||||||||A A A -=性质1 对任何非奇异矩阵A ，cond()1A ≥。

性质2 设A 是非奇异矩阵，0k ≠是常数，则有cond()cond()kA A =。

性质3 设A 是非奇异的是对称矩阵，则有12cond()nA λλ=，其中1λ和n λ分别是矩阵A 的模为最大和模为最小的特征值。

性质4 设A 是正交矩阵，则有2cond()1A =。

2.3.2 关于病态线性方程组的求解问题 （1）采用高精度的算术运算。

（2）平衡方法（行平衡，取每行绝对值最大数的倒数组成对角阵，乘在原方程左右两边）。

（3）残差校正。

2.4 迭代法2.4.1 迭代法的一般形式及其收敛性(1)()(0,1,...)k k x Gx d k +=+=定义 设n n ⨯矩阵G 的特征值是12,,...,n λλλ，称1()max ||i i nG ρλ≤≤=为矩阵G 的谱半径。

定理2.9 对任意的向量d ，迭代法收敛的充分必要条件是()1G ρ<。

定理2.9 如果矩阵G 的某种范数||G||<1，则 （1）方程组的解*x 存在且唯一； （2）对于迭代公式，有()*(0)lim ,k k xx x R →∞=∀∈，且下列两式成立()*(1)(0)()*()(1)||||||||||||1||||||||||||||||1||||kk k k k G x x x x G G x x x x G --≤---≤--2.4.2 Jacobi 迭代法(1)1()11()(0,1,...)()k k J A D L Ux D L U x D b k G D L U +---=++=-++==-+ 定理2.10 Jacobi 迭代法收敛的充分必要条件是()1J G ρ<。

定理2.11 如果||||1J G <，则Jacobi 迭代法收敛。

引理2.1 若矩阵n nA R⨯∈是主对角线按行(或按列)严格占优阵，则A 是非奇异矩阵。

定理2.12 如果方程组的系数矩阵式主对角线按行(或按列)严格占优阵，则用Jacobi 迭代法求解必收敛。

2.4.3 Gauss-Seidel 迭代法(1)1()11()()(0,1,...)()k k G A D L Ux D L Ux D L b k G D L U+---=++=-+++==-+ 定理2.13 GS 迭代法收敛的充分必要条件是()1G G ρ<。

定理2.14 如果||||1G G <，则Jacobi 迭代法收敛。