材料力学七章
第七章平面弯曲内力
1. 试求图示梁指定截面上的剪力和弯矩。
设q，a均为已知。
2. 试求图示梁指定截面上的剪力和弯矩。
设q，a均为已知。
3. 试求图示梁指定截面上的剪力和弯矩。
设q，a均为已知。
4. 试求图示梁指定截面上的剪力和弯矩。
设q，a均为已知。
M max。
设q，l均为已知。
M max。
设l，Me均为已知。
M max。
设l，F均为已知。
8. 试列出图示梁的剪力方程和弯矩方程，画剪力图和弯矩图，并求出F S
和
，max
M max。
设q，F,l均为已知。
9.试列出图示梁的剪力方程和弯矩方程，画剪力图和弯矩图，并求出F S
和
，max M max。
设q，l均为已知。
10. 试列出图示梁的剪力方程和弯矩方程，画剪力图和弯矩图，并求出F S
，max 和M max。
设q，l，F，M e均为已知。
11. 不列剪力方程和弯矩方程，画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并求出F S
，max 和M max。
解：
（1）由静力平衡方程得：F A=F，M A= Fa，方向如图所示。
（2）利用M，F S，q之间的关系分段作剪力图和弯矩图。
（3）梁最大绝对值剪力在AB段内截面，大小为2F。
梁最大绝对值弯矩在C截面，大小为2Fa。
12. 不列剪力方程和弯矩方程，画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并求出F S
，max 和M max。
解：
（1）由静力平衡方程得：
F A=3q l/8（↑），F B=q l/8（↑）。
（2）利用M，F S，q之间的关系分段作剪力图和弯矩图。
（3）梁的最大绝对值剪力在A右截面，大小为3q l/8。
梁的最大弯矩绝对值在距A端3l/8处截面，大小为9q l2/128。
13. 不列剪力方程和弯矩方程，画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并求出F S
，max 和M max。
解：
（1）由静力平衡方程得：
F B=2qa，M B=qa2，方向如图所示。
（2）利用M，F S，q之间的关系分段作剪力图和弯矩图。
（3）梁的最大绝对值剪力在B左截面，大小为2qa。
梁的最大绝对值弯矩在距AC段内和B左截面，大小为qa2。
14. 不列剪力方程和弯矩方程，画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并求出F S
，max 和M max。
解：
（1）由静力平衡方程得：
F A=qa/2（↓），F B= qa/2（↓）。
（2）利用M，F S，q之间的关系分段作剪力图和弯矩图。
（3）梁的最大绝对值剪力在AC和DB段内，大小为qa/2。
梁的最大弯矩绝对值在AB跨中间截面，大小为5qa2/8。
15. 不列剪力方程和弯矩方程，画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并求出F S
，max 和M max。
解：
（1）由静力平衡方程得：
F A=9qa/4（↑），F B= 3qa/4（↑）。
（2）利用M，F S，q之间的关系分段作剪力图和弯矩图。
（3）梁最大绝对值剪力在A右截面，大小为5qa/4。
梁最大弯矩绝对值在A截面，大小为qa2/2。
16. 不列剪力方程和弯矩方程，画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并求出F S
，max 和M max。
解：
（1）由静力平衡方程得：
F A=F（↑），F B= 3F（↑）。
（2）利用M，F S，q之间的关系分段作剪力图和弯矩图。
（3）梁最大绝对值剪力在DB段内截面，大小为3F。
梁最大弯矩绝对值在D截面，大小为3Fa。
17.不列剪力方程和弯矩方程，画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并求出F S
，max 和M max。
解：
（1）由静力平衡方程得：
F A=4.5qa（↑），F B= 0.5qa（↑）。
（2）利用M，F S，q之间的关系分段作剪力图和弯矩图。
（3）梁最大绝对值剪力在A右截面，大小为3.5qa。
梁最大弯矩绝对值在A右截面，大小为3qa2。
18. 不列剪力方程和弯矩方程，画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并求出F S
，max 和M max。
解：
（1）由静力平衡方程得：
F A=1.25qa（↑），F B=0.75qa（↑）。
（2）利用M，F S，q之间的关系分段作剪力图和弯矩图。
（3）梁最大绝对值剪力在CA段内截面，大小为qa。
梁最大弯矩绝对值在A右截面，大小为qa2。
19.已知梁的剪力图，试画梁的荷载图和弯矩图（设梁上无集中力偶作用）。
解：利用M，F S，q之间的关系推出荷载图和弯矩图如下。
20. 试判断图中的F S，M图是否有错，若有错并改正错误。
解：有错，改正如下图。
21. 试判断图中的F S，M图是否有错，若有错并改正错误。
解：有错，改正如下图。
22. 试判断图中的F S，M图是否有错，若有错并改正错误。
23. 试判断图中的F S，M图是否有错，若有错并改正错误。
材料力学第7章讲解
根据对材料的均匀、连续假设进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横
衡方程： Fx 0
-FR + F2 F1 0
A
1 B 2C
FR=F2-F1=50-20=30kN
（2）计算各段轴力，研究AB段，假想
FR
1
2
F F N1
N2
F2
1-1截面将杆件分为两部分，取左端为研
A
究对象，画受力图，列方程：
1
2C
Fx 0 FN1-FR=0 FN1=FR=30kN
30kN
再研究BC段，假想2-2截面将杆件分为两部分， 取右端为研究对象，画受力图，列方程：
8
§7-2 轴向拉（压）时横截面上的内力
例题 试作此杆的轴力图。
40KN
55KN 25KN
20KN
解： 1、为求轴力方便，先求
出约束力 ∑Fx=0
-FR-F1+F2-F3+F4=0 FR=10KN
FR
取横截面1－1左边为分
A 600
B
C
300
500
D
E
400
1800 1 F1=40KN 2 F2=55KN3 F3=25KN 4 F4=20KN
截面法求内力 1）假想沿 m-m 横截面将杆切开，如图a。
2）杆件横截面 m-m 上的内力是一个分布的力系，其合力为 FN
3）由于外力的作用线沿杆的轴线，同二力平衡公理，FN的作用线 也必定沿杆的作用线。
4） FN 为杆件在横截面 m-m 上的轴力。取左半部分为研究对象图b。
Fx 0
FN F
FN F 0 图a F
§7-3 轴向拉（压）时横截面及斜截面上的应力 （1）轴向拉（压）时横截面上的应力
材料力学第七章应力状态和强度理论
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
材料力学第七章 应力状态
主平面的方位：
tan
2a0
2 xy x
y
主应力与主平面的对应关系： max 与切应力的交点同象限
例题：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, a 30。
试求（1）a 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
x y cos 2a
2
x sin 2a
x
a
x y sin 2a
2
x cos 2a
300
10 30 2
10 30 cos 60020sin 600
2
2.32 MPa
300
10 30 sin 600 2
20cos 600
1.33 MPa
a
20 MPa
c
30 MPa
b
n1
y xy
a x
解：（1）a 斜面上的应力
y xy
a
x
2
y
x
2
y
cos 2a
xy
sin 2a
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
a x 9.02MPa
a
x
y
2
sin
2a
xy
cos
2a
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
58.3MPa
2
1.33 MPa
300 600 x y 40 MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ 的和为
一常数。
证明： a
x y
《材料力学》第七章课后习题参考答案
题目二
说明杆件在拉伸或压缩时，其 应力与应变的关系。
题目三
一矩形截面梁，长度为L，截面 积为A，弹性模量为E，泊松比 为v，求梁的临界截面转角。
题目四
一圆截面杆，直径为D，弹性模 量为E，泊松比为v，求杆的临 界截面转角。
答案
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
答案一
材料力学的研究对象是 固体，特别是金属和复 合材料等工程材料。其 基本假设包括连续性假 设、均匀性假设、各向 同性假设和小变形假设 。
解析四
圆截面杆的临界截面转角是指杆在受到扭矩作用 时发生弯曲变形的角度。通过弹性力学和材料力 学的知识，我们可以计算出这个角度的值。其中 ，D表示杆的直径，E表示杆的弹性模量，v表示 杆的泊松比。
03
习题三答案及解析
题目
• 题目：一矩形截面简支梁，其长度为L，截面高为h，宽度为b，且h/b=2，梁上作用的均布载荷q=100N/m，试求梁上最大 弯矩值Mmax。
解释了材料力学的基本假设，包括连续性假设、 均匀性假设、各向同性假设和线性弹性假设。这 些假设是材料力学中常用的基本概念，对于简化 复杂的实际问题、建立数学模型以及进行实验研 究具有重要的意义。
题目二解析
强调了材料力学在工程实践中的重要性，说明了 它为各种工程结构的设计、制造、使用和维护提 供了理论基础和实验依据，能够保证工程结构的 可靠性和安全性。这表明了材料力学在工程实践 中的实际应用价值。
题目四解析
解释了材料力学中的应力和应变概念，说明了应 力表示单位面积上的内力，应变表示材料在受力 过程中发生的变形程度。这些概念是材料力学中 的基本概念，对于理解和分析材料的力学行为具 有重要的意义。
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材料力学第07章应力状态与应变状态分析
以上由单元体公式
应力圆（原变换）
下面寻求： 由应力圆
单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价
换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
为什么说有这种对应关系？
DE R sin[180o ( 2 20 )] R sin( 2 20 )
( R cos 20 ) sin 2 ( R cos 20 )cos 2
2
cos2
xy
sin 2
同理：
x
y
2
sin 2
xy
cos2
n
Ox
图2
二、极值应力
令:d
d
0
x
y
sin202 xycos200
由此得两个驻点：
01、（
01
2
）和两个极值：
tg20
2 xy x
y
y
mm
ax in
x
y ±（x
2
y
2
）2
2 xy
0 0极值正应力就是主应力 ！
y
O
x
七、主单元体、主平面、主应力：
y
y
主单元体(Principal bidy)：
x
各侧面上剪应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
A
材料力学 第七章 应力状态和强度理论
y
2
2 xy
tan 2a0
2 xy x
y
max
1
2
3
主应力符号与规定： 1 2 3 （按代数值）
§7-3 空间应力状态
与任一截面相对应 的点，或位于应力 圆上，或位于由应 力圆所构成的阴影 区域内
max 1 min 3
max
1
3
2
最大切应力位于与 1 及 3 均成45的截面上
针转为正，顺时针转为负。
tg 2a 0
2 x x
y
在主值区间，2a0有两个解，与此对应的a0也有两个解，其中落
在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。
三、应力圆
由解析法知，任意斜截面的应力为
a
x y
2
a x
x
y
2
y cos2a
2
sin 2a x c
x s os2a
in
2a
广义胡克定律
1、基本变形时的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
x E x
横向变形
y
x
x
E
2）纯剪切胡克定律
G
y
x x
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
2
2
1
1
3
3
1
1
E
2
E
3
E
1
1 E
1
2
3
同理
2
1 E
2
3
1
广义胡克定律
3
1 E
3
1
2
7-5, 7-6
§7-4 材料的破坏形式
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已 知条件。
材料力学性能第七章金属的磨损ppt课件
➢ 根据剥落裂纹起始位置及形态不同，分为：
➢ (1) 麻点剥落（点蚀）
➢ (2) 浅层剥落
➢
(3) 深层剥落（表面压碎）
46
2. 接触应力
➢ 两物体相互接触时，在表面上产生的局部压入应力称 为接触应力，也称为赫兹应力。
➢ 线接触（齿轮）与点接触（滚珠轴承）
上图为温度对胶合磨损的影响，可以看出， 当表面温度达到临界值(约80℃)时, 磨损量 和摩擦系数都急剧增加。
17
润滑油、润滑脂的影响
在润滑油、润滑脂中加人油性或极压添加剂能提高润 滑油膜吸附能力及油膜强度，能成倍地提高抗粘着磨 损能力。
油性添加剂是由极性非常强的分子组成，在常温条件 下，吸附在金属表面上形成边界润滑膜，防止金属表 面的直接接触，保持摩擦面的良好润滑状态。
磨损是一个复杂的系统工程
6
机件正常运行的磨损过程
（a）磨损量与 时间或行程关系曲线；
（b）磨损速率与 时间或行程关系曲线
7
3. 磨损的分类方法
粘着磨损 磨粒磨损
冲蚀磨损 疲劳磨损 微动磨损 腐蚀磨损
8
§7.2 磨损模型
一、粘着磨损 1. 磨损机理 ➢定义：在滑动摩擦条件下，当摩擦副相对滑动速 度较小（钢小于1m/s）时发生的， ➢原因：缺乏润滑油，摩擦副表面无氧化膜，且单 位法向载荷很大，σ接触＞σs又称咬合磨损
36
主轴转速 ： 60r/min ～ 12000r/min
主轴转速示值准确度： ± 2r/min
高温炉温度范围： 室温～ 800℃；
高温炉密封性能： 在连续充入氮气（纯度
99.9%以上）的条件下，炉内 氧气含量应能达到1%以下。 最大负荷：
材料力学-第七章-强度理论
r1 = max= 1 [] 其次确定主应力
ma xx 2y 1 2 xy2 4x 2y 2.2 9 M 8 P
m inx 2y 1 2 xy2 4x 2y 3 .7M 2 P
1＝29.28MPa,2＝3.72MPa, 3＝0
r113M 0 Pa
根据常温静力拉伸和压缩试验,已建立起单向应力状态下的弹 性失效准则;
考虑安全系数后，其强度条件
根据薄壁圆筒扭转实验,可建立起纯剪应力状态下的弹性失 效准则;
考虑安全系数后，强度条件
建立常温静载复杂应力状态下的弹性失效准则: 强度理论的基本思想是:
确认引起材料失效存在共同的力学原因,提出关于这一 共同力学原因的假设;
像铸铁一类脆性材料均具有 bc bt 的性能，
可选择莫尔强度理论。
思考题:把经过冷却的钢质实心球体,放入沸腾的热油锅 中,将引起钢球的爆裂,试分析原因。
答:经过冷却的钢质实心球体,放入沸腾的热油锅中, 钢 球的外部因骤热而迅速膨胀,其内芯受拉且处于三向均 匀拉伸的应力状态因而发生脆性爆裂。
思考题: 水管在寒冬低温条件下,由于管内水结冰引起体 积膨胀,而导致水管爆裂。由作用反作用定律可知,水 管与冰块所受的压力相等,试问为什么冰不破裂,而水管 发生爆裂。
局限性:
1、未考虑 2 的影响，试验证实最大影响达15%。
2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象, 此准则也称特雷斯卡（Tresca）屈服准则
4. 畸变能密度理论（第四强度理论） 材料发生塑性屈服的主要因素是 畸变能密度;
无论处于什么应力状态,只要危险点处畸变能密度达到 与材料性质有关的某一极限值,材料就发生屈服。
具有屈服极限 s
铸铁拉伸破坏
材料力学第七章课件
(Analysis of stress-state and strain-state)
根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式 ,进行
分析,提出破坏原因的假说.在这些假说的基础上,可利用材料 在单向应力状态时的试验结果 , 来建立材料在复杂应力状态 下的强度条件. 基本观点 构件受外力作用而发生破坏时，不论破坏的表面现象如何
(Analysis of stress-state and strain-state)
最大正应力
最大线应变
引起破坏 的某一共同 因素
最大切应力
形状改变 比能
(Analysis of stress-state and strain-state)
三、四个强度理论 (Four failure criteria)
§7-9 复杂应力状态的应变能密度
一、应变能密度的定义（2.9节）
物体在单位体积内所积蓄的应变能
二、应变能密度的计算公 式
1、单向应力状态下, 物体内所积蓄的应变能密度为
1 σ2 E 2 vε σε ε 2 2E 2
如应力和应变的关系是线性的，应变能和外力做功在数值上相等. 但它应该只决定于外力和变形的最终数值。而与加力的次序无关。 如用不同的加力次序可得到不同的应变能，那么按照一个存储能 量多的次序加力，而按照一个存储能量少的次序解除外力，完成
4、通常情况下，描述一点的应力状态需要九个应 力分量，如下图所示，考虑到切应力互等定理，
都分别相等。这样，原来的九个应力分量中独立 的就只有六个。这种普遍情可看作三组单向应力 和三组纯剪切的组合。对于各向同性材料，线应 变只与正应力有关，而与切应力无关。切应变只 与切应力有关，而与正应力无关。这样我们就可 以利用上面几个公式求出各应力分量各自对应的 应变。然后再进行叠加。