习题课2. ppt
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克鲁格曼国经第十版课后习题05-06PPT课件
解答
• 在李嘉图模型中，劳动力的贸易所得体现在其购买力的增加。因此美 国劳工运动支持政府限制从发展中国家进口产品是不合理的。
• 在特定要素模型中，工人有可能从贸易中获益，也有可能从贸易中受 损。因为贸易使得用一种商品衡量的购买力上升，用另一种商品衡量 的购买力下降。劳动的净收益（或净损失）要视具体情况而定。
c.如果棉布价格提高，上述要素价格会如何变化？棉布价格的这一变化会使谁受益，谁 受损？为什么？上述变化与要素可替代情形下的变化一致吗？
d.先假设该国的机时供给即资本供给从3000增加至4000，推导出新的生产可能性边界 e.资本供给以上述幅度增加之后，该国会生产多少棉布，多少粮食？ f.分析机时和工时在棉布和粮食两个部门之间配置的变化，上述变化在要素可替代情形
-
7
解答 d
资本供给增加后的PPF
QF 2000
1333
1000
2000 QC
• 总资本增加到4000。劳动力约束不变，保持布 的最高价格在2单元食品。
• 新的资本约束由以下式子得出：
• 2QC + 3QF=4,000 • 解出 QF 得到:
• QF=1,333 - 2/3QC
• 因此，布的最小价格没变，还是2/3单位食品。 唯一改变的是生产可能性边界将有一个更大的水 平截距（如果布在横轴上）。对比图5-1，新的 生产可能性边界在X轴上的截距是2000，而不是 1500。
• 挪威的PPF偏向鱼的生产，瑞典的PPF偏 向汽车的生产
鱼产量, QF
• 挪威将会在QN点进行生产，即较多的鱼 较少的汽车，所有产品被本国消费；汽车
的相对价格为 (PC/PF)N
• 瑞典将会QS点进行生产，生产较多的汽
QNF
三年级上册数学习题课件2 估一估 人教版
把298看成300,把213看成210, 300+210=510(元) 530>510 够
三年级上册数学习题课件-2 第4课时 估一估 人教版(共9张PPT)
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7.爸爸只带了面值为100元的人民币,结账时爸爸需 要付几张?
9张。
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从武汉到深圳,坐普通列车比坐高铁大约便宜多少钱? 把279看成280,把538看成540, 540-280=260(元) 大约便宜260元。
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6.(生活运用题)妈妈有530元,买这两件商品够吗?
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3.估一估,连一连。
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4.在○里填上“>”“<”或“=”。
193+303 > 400
507-198 < 400
586+109 < 700
813-509 > 300
801-196 > 500
208+396 > 600
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7.爸爸只带了面值为100元的人民币,结账时爸爸需 要付几张?
9张。
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从武汉到深圳,坐普通列车比坐高铁大约便宜多少钱? 把279看成280,把538看成540, 540-280=260(元) 大约便宜260元。
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6.(生活运用题)妈妈有530元,买这两件商品够吗?
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3.估一估,连一连。
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4.在○里填上“>”“<”或“=”。
193+303 > 400
507-198 < 400
586+109 < 700
813-509 > 300
801-196 > 500
208+396 > 600
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【课件】第四章习题课2+整式的化简与求值课件+2024-2025学年人教版数学七年级上册
a+b=9,ab=20,
求
2 3
(-15a+3ab)+
1 5
(2ab-
10a)-4(ab+3b)的值.
解:原式=-10a+2ab+25ab-2a-4ab-12b =-12a-85ab-12b =-12(a+b)-85ab. 当a+b=9,ab=20时, 原式=-12×9-85×20=-108-32=-140.
原式去括号合并得到最简结果,然后把条件整体代入计算即 可求值.
变式训练 (1)已知a2+a=1,则2a2+2a+2020= 2022 . (2)已知a-b=-3,求5(a-b)-7a+7b+11的值.
解:因为a-b=-3, 所以原式=5(a-b)-7(a-b)+11 =-2(a-b)+11=-2×(-3)+11=17.
4. 先 化 简 , 再 求 值 :(x2-2x+1)-(-x2+4)-(x2+4x+3), 其 中 x2-6x2025=0.
解:原式=x2-2x+1+x2-4-x2-4x-3=x2-6x-6. 因为x2-6x-2025=0,所以x2-6x=2025, 所以当x2-6x=2025时,原式=2025-6=2019.
化简后,直接代入求值 例1 先化简,再求值:3x2y-[ 2xy2-2 (xy-32x2y) +xy] +3xy2, 其中x=-13,y=3.
解:原式=3x2y-(2xy2-2xy+3x2y+xy)+3xy2 =3x2y-2xy2+2xy-3x2y-xy+3xy2 =xy2+xy. 当x=-13,y=3时, 原式=-13×9-13×3=-3-1=-4.
习题课2数列极限2010
n
1 1 1 （2）设 x n = ＋ ＋L＋ ， 1!＋1 2!＋ 2 n !＋ n 证明数列 { x n }收敛 .
a1 − 1 ( 3).设a1 = 2 , a 2 = 2 + , L, 2 + a1 a n −1 − 1 an = 2 + ( n = 2, 3, L)求 lim a n n→ ∞ 2 + a n −1
1!+2!+ L + n! ( 3). lim n→ ∞ n! 1 1 (4). lim n 1 + + L + n→ ∞ 2 n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(5). lim(
n→ ∞
1 n +n
6
+
2
6
2
n + 2n
+ L+
n
6
2 2
n +n
)
n n n ( 6 ). lim [ ] + +L 2 2 2 n → ∞ ( n + 1) ( n + 2) (n + n)
2.选择题
(1)若数列{a n }有极限，则在 a的ε邻域之外， 有极限， 邻域之外， 数列中的点（ 数列中的点（ (C)必不存在； 必不存在； ） (D)可以有有限多个， 可以有有限多个， (A)至多只有有限多个； (B )必定有无穷多个； 必定有无穷多个； 至多只有有限多个； 也可以有无穷多个 .
).
( A)先给定 ε后唯一确定 N ; ( B )先给定 ε , 后确定 N , 但N的值不唯一 ; (C )先确定 N后给定 ε ; ( D )ε与N无关 .
3.问答题 问答题
(1).有界数列是否一定收敛 ? 无界数列是否发散 ? ( 2). 单调数列是否一定收敛 ? 收敛数列是否 一定 单调 ?
习题课2(求极限)
习 题 课 二
一. 问答题 : 1.下列说法能否作为 lim xn a的定义 ?
(1). 对于无穷多个 0, N N , n N时, 有 xn a
(2). 对 0, N N , n N时, 有无穷多个xn，使 xn a (3). 对 0, N N , n N时, 有 xn a k （其中k 0) (4). 对 0, n N , 使对所有的正整数 p, 不等式
xn p a 成立
n
2.有界数列是否一定收敛 ? 无界数列是否发散 ?
3.单调数列是否一定收敛 ? 收敛数列是否一定 单调?
4. 若数列xn 与yn 发散,问数列xn yn , xn yn , xn 是否一定发散? yn
n n n 4. lim[ ] 2 2 2 n ( n 1) (n 2) ( n n) xn1 5.x1 1, xn 1 (n 2), 求 lim xn n 1 xn 1
n( n 1) 1 2 n . 2
f ( x) x 3 lim f ( x)
2 x 1
lim f ( x ) lim x 2 3 lim f ( x ) 1 3 lim f ( x )
x 1 x 1 x 1 x 1
1 lim f ( x ) . x 1 2
x x2 xn n 3.求 lim x 1 x 1
( x 1)30 (2 x 3) 70 4.求 lim . 100 x (5 x 9)
5.求 lim ( x
x
x
x
x)
六.1.设 lim f ( x) A, 且A 0, 用极限定义证明
一. 问答题 : 1.下列说法能否作为 lim xn a的定义 ?
(1). 对于无穷多个 0, N N , n N时, 有 xn a
(2). 对 0, N N , n N时, 有无穷多个xn，使 xn a (3). 对 0, N N , n N时, 有 xn a k （其中k 0) (4). 对 0, n N , 使对所有的正整数 p, 不等式
xn p a 成立
n
2.有界数列是否一定收敛 ? 无界数列是否发散 ?
3.单调数列是否一定收敛 ? 收敛数列是否一定 单调?
4. 若数列xn 与yn 发散,问数列xn yn , xn yn , xn 是否一定发散? yn
n n n 4. lim[ ] 2 2 2 n ( n 1) (n 2) ( n n) xn1 5.x1 1, xn 1 (n 2), 求 lim xn n 1 xn 1
n( n 1) 1 2 n . 2
f ( x) x 3 lim f ( x)
2 x 1
lim f ( x ) lim x 2 3 lim f ( x ) 1 3 lim f ( x )
x 1 x 1 x 1 x 1
1 lim f ( x ) . x 1 2
x x2 xn n 3.求 lim x 1 x 1
( x 1)30 (2 x 3) 70 4.求 lim . 100 x (5 x 9)
5.求 lim ( x
x
x
x
x)
六.1.设 lim f ( x) A, 且A 0, 用极限定义证明
习题课2幂级数
无穷级数 习题课二
1 内容及要求 (1) 熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法
(2) 会利用幂级数的运算法则求一些幂级数的和函数
(3) 熟悉 1 、e x、sin x、cos x、ln(1 x)、(1 x)m 1 x
麦克劳林展开式，并会利用间接展开法将一些函数 展开成幂级数.
2 典型例题
例1 填空
4
x [1,1)且x 0 x0 x 1
(5)
2n 1 x2n ,
并求
(2n 1)2n的和.
n0 n!
n0
n!
解(5)：易知所给幂级数的收敛半径R=+∞，设其 和函数为s (x)，则
x
s( x)dx
x 2n1
x
( x 2 )n xe x2
0
n0 n!
n0 n!
s( x) ( xe x2 ) (1 2x 2 )e x2
设s(x)
n1
2n 1 2n
x 2n2
n1
1 2n
( x 2n1 )
1 (
2n
n1
x 2n1 )
x
(x 2
x3 22
)
( 1
2 x2
)
2 x2 (2 x2 )2
,
x (
2,
2 ).
2
(3) n( x 1)n;
n1
解(3)： 易知幂级数的收敛域为（0，2）
令x-1=t , n( x 1)n nt n t nt n1
2n 1 x2n2;
2n
n1
xn
(3)
;
n1 n(n 2)
(4)
n1
n( x
1)n;
(5)
n0
1 内容及要求 (1) 熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法
(2) 会利用幂级数的运算法则求一些幂级数的和函数
(3) 熟悉 1 、e x、sin x、cos x、ln(1 x)、(1 x)m 1 x
麦克劳林展开式，并会利用间接展开法将一些函数 展开成幂级数.
2 典型例题
例1 填空
4
x [1,1)且x 0 x0 x 1
(5)
2n 1 x2n ,
并求
(2n 1)2n的和.
n0 n!
n0
n!
解(5)：易知所给幂级数的收敛半径R=+∞，设其 和函数为s (x)，则
x
s( x)dx
x 2n1
x
( x 2 )n xe x2
0
n0 n!
n0 n!
s( x) ( xe x2 ) (1 2x 2 )e x2
设s(x)
n1
2n 1 2n
x 2n2
n1
1 2n
( x 2n1 )
1 (
2n
n1
x 2n1 )
x
(x 2
x3 22
)
( 1
2 x2
)
2 x2 (2 x2 )2
,
x (
2,
2 ).
2
(3) n( x 1)n;
n1
解(3)： 易知幂级数的收敛域为（0，2）
令x-1=t , n( x 1)n nt n t nt n1
2n 1 x2n2;
2n
n1
xn
(3)
;
n1 n(n 2)
(4)
n1
n( x
1)n;
(5)
n0
《数字电路与逻辑设计》习题课 (2)
10/10
状态定义： S0:初始状态。 S1:收到五角硬币。 S2:收到一元硬币。 S3:收到一元五角硬币。 并入S0状态。
00/00 AB/YZ
S0
01/10 10/11
01/00 10/00
S2
S1 00/00 01/00
00/00 例1原始状态转移图
例2、分析图所示计数器电路，说明是模长为多少的 计数器，并列出状态转移表。
6
C
&
1 1
A & ?
Z
X
&
N
A X
&
1 & J
1
C
R 1 & K
解：1）分析电路结构：该电路是由七个与非门 及一个JKFF组成，且CP下降沿触发，属于米 勒电路，输入信号X1，X2，输出信号Z。
2）求触发器激励函数：J=X1X2，K=X1X2 触发器次态方程：
Qn+1=X1X2Qn+X1X2Qn=X1X2Qn+(X1+X2)Q
第六章复习
计数器的分析
❖ 同步、异步分析步骤：由电路触发器激励 函数(公式和图解）状态转移表分析模 长和自启动性。 用图解法，注意高低位顺序，一般数码越高 位权越高：Q3Q0
❖ 移存型计数器属于同步计数器，只要求出第 一级触发器的次态方程和初始状态，就可以 写出状态转移表。
计数器的设计
❖ 同步计数器的设计：状态转移表激励函数 和输出函数(自启动性检查)电路图。
❖ 7490只能异步级联，M=100。
❖ 74194级联可实现8位双向移存器
MSI实现任意进制计数器(M<N)
❖ 反馈法：异步清0法和同步置数法。注意： 用LD端置全1（置最大数法）时，反馈状 态对应编码中出现0的端口需通过非门送入 反馈门。
状态定义： S0:初始状态。 S1:收到五角硬币。 S2:收到一元硬币。 S3:收到一元五角硬币。 并入S0状态。
00/00 AB/YZ
S0
01/10 10/11
01/00 10/00
S2
S1 00/00 01/00
00/00 例1原始状态转移图
例2、分析图所示计数器电路，说明是模长为多少的 计数器，并列出状态转移表。
6
C
&
1 1
A & ?
Z
X
&
N
A X
&
1 & J
1
C
R 1 & K
解：1）分析电路结构：该电路是由七个与非门 及一个JKFF组成，且CP下降沿触发，属于米 勒电路，输入信号X1，X2，输出信号Z。
2）求触发器激励函数：J=X1X2，K=X1X2 触发器次态方程：
Qn+1=X1X2Qn+X1X2Qn=X1X2Qn+(X1+X2)Q
第六章复习
计数器的分析
❖ 同步、异步分析步骤：由电路触发器激励 函数(公式和图解）状态转移表分析模 长和自启动性。 用图解法，注意高低位顺序，一般数码越高 位权越高：Q3Q0
❖ 移存型计数器属于同步计数器，只要求出第 一级触发器的次态方程和初始状态，就可以 写出状态转移表。
计数器的设计
❖ 同步计数器的设计：状态转移表激励函数 和输出函数(自启动性检查)电路图。
❖ 7490只能异步级联，M=100。
❖ 74194级联可实现8位双向移存器
MSI实现任意进制计数器(M<N)
❖ 反馈法：异步清0法和同步置数法。注意： 用LD端置全1（置最大数法）时，反馈状 态对应编码中出现0的端口需通过非门送入 反馈门。
六年级上册语文习题课件-2 丁香结｜部编版(共20张PPT)
1．作者把丁香花喻为“丁香结”，是因为： ①丁香花的花苞圆圆的，鼓鼓的，恰如___衣__襟__上__的__盘__花__扣____。 ②丁香花象征着__生__活__中__解__不__开__的__愁__怨__。
2．“结，是解不完的；人生中的问题也是解不完的，不然，岂不太平淡无 味了吗？”对这句话理解不正确的一项是( A )
四、句子训练营。 1．我经历过的春光，几乎差不多都是和这几树丁香联系在一起的ห้องสมุดไป่ตู้(修 改病句) 删去“几乎”或“差不多”。 2．花墙边两株紫色的，如．同．印象派的画，线条模糊了，直向窗前的莹 白渗过来。(用加点的词仿写句子)
夜晚的长安街车流川流不息，明亮的车灯如同闪光的长河。
五、根据课文内容完成练习。
生机勃勃、活泼热闹 着”“笑”“嚷嚷”，突出了花____________________的特点。
4．“我凑上去，想摘一朵”表现了“我”对如此美丽的紫藤萝怎样的感情？
喜爱
八、在中国悠久的历史中，许多花木被人格化，赋予了特殊的含义。想一
想，连一连。
梅花
出污泥不染，廉洁朴素
牡丹
虚心有节，谦虚礼让
莲花
不畏严寒，纯洁坚贞
七、课外阅读。 紫藤萝瀑布(节选)
我不由得停住了脚步。 从未见过开得这样盛的藤萝，只见一片辉煌的淡紫色，像一条瀑布，从空 中垂下，不见其发端，也不见其终极，只是深深浅浅的紫，仿佛在流动， 在欢笑，在不停地生长。紫色的大条幅上，泛着点点银光，就像迸溅的水 花。仔细看时，才知那是每一朵紫花中的最浅淡的部分，在和阳光互相挑逗。
人教版 四年级上册
2 丁香结
一、与下列词语中加点字的读音对应正确的一组是( C )
芭．蕉 参．差 单薄． 妩．媚 A．bā cān báo wǔ B．bā shēn bó fǔ C．bā cēn bó wǔ D．bā cēn bò fǔ
2．“结，是解不完的；人生中的问题也是解不完的，不然，岂不太平淡无 味了吗？”对这句话理解不正确的一项是( A )
四、句子训练营。 1．我经历过的春光，几乎差不多都是和这几树丁香联系在一起的ห้องสมุดไป่ตู้(修 改病句) 删去“几乎”或“差不多”。 2．花墙边两株紫色的，如．同．印象派的画，线条模糊了，直向窗前的莹 白渗过来。(用加点的词仿写句子)
夜晚的长安街车流川流不息，明亮的车灯如同闪光的长河。
五、根据课文内容完成练习。
生机勃勃、活泼热闹 着”“笑”“嚷嚷”，突出了花____________________的特点。
4．“我凑上去，想摘一朵”表现了“我”对如此美丽的紫藤萝怎样的感情？
喜爱
八、在中国悠久的历史中，许多花木被人格化，赋予了特殊的含义。想一
想，连一连。
梅花
出污泥不染，廉洁朴素
牡丹
虚心有节，谦虚礼让
莲花
不畏严寒，纯洁坚贞
七、课外阅读。 紫藤萝瀑布(节选)
我不由得停住了脚步。 从未见过开得这样盛的藤萝，只见一片辉煌的淡紫色，像一条瀑布，从空 中垂下，不见其发端，也不见其终极，只是深深浅浅的紫，仿佛在流动， 在欢笑，在不停地生长。紫色的大条幅上，泛着点点银光，就像迸溅的水 花。仔细看时，才知那是每一朵紫花中的最浅淡的部分，在和阳光互相挑逗。
人教版 四年级上册
2 丁香结
一、与下列词语中加点字的读音对应正确的一组是( C )
芭．蕉 参．差 单薄． 妩．媚 A．bā cān báo wǔ B．bā shēn bó fǔ C．bā cēn bó wǔ D．bā cēn bò fǔ
矩阵及其运算习题课2课件
(6) 主对角线以下(上)的元素都为零的方阵称为上(下)三角 矩阵;
(7) 行列式 | A | 的各个元素的代数余子式Aij 所构成的如下
矩阵
A
A11 A12
A1n
A21 A22 A2n
An1 An2
Ann
称为矩阵A 的伴随矩阵.
性质: AA* = A*A = | A | E.
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则 相类似．
矩阵及其运算习题课2
n 1 1
例1: 设
A
n 1
n
n n1
n
1
n 1
n
,
计算A2
1 n
1 n
1 n
n 1 n
例2: 设A ac db, 试将 f() = | E–A |写成的多项式, 并验证 f(A) = O.
例3:
设A,
(2) 证明: AB|A||DCA 1B|. CD
矩阵及其运算习题课2
二、 典 型 例 题
n 1 1
例1: 设
A
n 1
n
n n1
n
1
n 1
n
, 计算A2 .
1 n
1 n
1 n
n 1 n
解: 由于
An1n 111
1
n1
1
1 1
n 1
矩阵及其运算习题课2
n1
1
1
2
证明(1): 当A = O时, | A |的所有代数余子式均为0,
从而A* = 0, 故| A* | = 0.
当 A O且| A | = 0时, 用反证法证明.
假设| A* | 0, 则有A*(A*)–1 = E,
习题课2
e−5 ⋅ 5k ≈∑ ≈ 0.986305. k! k=0
点评: 点评 保险业是概率论的生长点和重要应用领 域之一. 本例为简化起见, 不计利息与管理费. 域之一 本例为简化起见 不计利息与管理费
13
设随机变量X 在区间[2， 上服从均匀 例7 设随机变量 在区间 ，5]上服从均匀 分布，现对X 次独立观测， 分布，现对 进行 3 次独立观测，试求至少有 两次观测值大于3的概率 的概率。 两次观测值大于 的概率。 设随机变量Y 解 设随机变量 是3次独立观测中观测值大 次独立观测中观测值大 的次数, 于3的次数 则 Y ~ B(3, p),其中p是X大于3的概率. 的次数 由题意知 X 的概率密度为
P( Ak ) = P( X = k) =
1 k 对k ≥ 1, P(B Ak ) = ( ) , 2 λk −λ 1 k P( Ak B) = P( Ak )P(B Ak ) = e ⋅ ( ) , k! 2
10
k!
e , k = 0,1,2,⋯
∴P(B) = P ∑Ak B = ∑P( Ak B) k=1 k=1
X − 200 P( A ) = P{X ≤ 200} = P ≤ −0.8 1 25 =φ−0.8) = 0.212; ( φ P( A2 ) = P{200 ≤ X ≤ 240}= 2 (0.8) − 1 = 0.576;
15
P( A3 ) = 1 − P( A ) − P( A2 ) = 0.212. 1
1
一般要学会做三类习题： 一般要学会做三类习题： ①利用某些已知条件求出随机变量的分布律或 密度函数； 密度函数； 利用分布律或分布函数，求出某些事件的概率； ②利用分布律或分布函数，求出某些事件的概率； 利用分布律或密度函数，求出分布函数。 ③利用分布律或密度函数，求出分布函数。 4. 二维随机变量及其联合分布函数； 二维随机变量及其联合分布函数； 二维离散型随机变量及其联合分布律； 二维离散型随机变量及其联合分布律； 二维连续型随机变量及其联合概率密度。 二维连续型随机变量及其联合概率密度。 5. 二维随机变量的边缘分布和条件分布。 二维随机变量的边缘分布和条件分布。 6. 随机变量的相互独立性。 随机变量的相互独立性。 7. 随机变量函数的分布。 随机变量函数的分布。
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a
b
f (t )dt ,
x
F ( x ) f ( x )
必须掌握的分布： 均匀分布，指数分布，正态分布，伽马分布 牢记分布的d.f. 及p.d.f. 四、r.v. 函数的分布（重点是c.r.v.) 1. 分布函数法： Y g( X ),
FY ( y ) P (Y y ) P ( g( x ) y ) 利用X的分布求此概率
m! m k 于是 P (Y k ) e C m p k (1 p ) n k m k m! m m! e p k (1 p ) m k k! ( m k )! m k m!
( p ) k m k e (1 p ) m k k! m k o ( m k )!
又知 P ( X m )
m
e
( p) k (1 p ) ( p) k p e e e k 0,1, k! k! 可见，每天购物人数Y服从参数p的Poisson 分布。
（3）所求概率为条件概率
P ( X m ) P (Y k X m ) P ( X mY k ) P (Y k )
( 2)所求概率P P (T 8) 1 F (8) e 8
P[(T 16) (T 8)] ( 3)所求概率Q P (T 16T 8) P (T 8) P (T 16) 1 F (16) e 8 P (T 8) 1 F (8)
m
m!
e
m! p k (1 p ) m k k! ( m k )! ( p ) k p e k!
(m k )
e (1 p ) [ (1 p )]m k ( m k )!
例8：假设某设备开机后无故障工作的时间X服从参 数等于1/5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动 关机，而在无故障的情形下工作2小时便关机。试求该设 备每次开机无故障工作时间Y的分布函数。
例6：设事件A,B独立，事件C满足 AB C , A B C ,
证明：P( A) P(C ) P( AC )
例 7：设每天进入某商店的 人数X为服从参数 ( 0 ) 的Poisson 分布的随机变量，已知 在进店的顾客中，每人 购物的概率为p( 0 p 1)且各个顾客购物与否相 互独立。 (1)若某天有n)求每天购物人数Y的概率分布；
习 题 课2
● 主要内容
一、r.v.及其概率分布
1. r.v. —— 样本点的函数
X X ( ),
2. 概率分布 —— r.v.的值域及其各个可能值或在其值域 内各部分取值的概率此二者的总称。 3. 分布函数：F ( x ) P ( X x ), x (, )
P (a X b) F (b) F (a ) P ( X a ) F (a ) F (a 0) P (a X b) F (b) F (a 0)
(a, b) [1,1] 取值的概率与b – a成正比，求X的分布函数。
例4：假设有8件独立工作的家用电器设备，启动时间是 随机的。每件每小时平均使用10分钟，而电力只能保证5件 同时使用，求用电超负荷的概率并求平均多少分钟出现一 次超负荷情况？
例5：假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故
计算结果表明：P (T 16 T 8) P (T 8)，即在已
无故障工作8小时的条件下，再无故障工作8小时的条件概 率，等于无故障工作8小时的无条件概率，这种性质叫做 “无后效性”，也就是说，设备以前曾经无故障使用的时间，
不影响它以后使用寿命的统计规律。在连续型分布中只
有指数分布具有这种性质，这就决定了指数分布在排队论 及可靠性理论中的重要地位。
二、d.r.v.的概率分布
X P
x1 p1
x2 p2
xn pn
必须掌握的分布： 两点分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，几何分布 1. 牢记分布列及其实际模型 2. 近似计算： 超几何分布 二项分布 泊松分布
三、c.r.v.的概率分布
X ~ f ( x ),
因此有
F ( x)
P (a X b) f ( x )dx ,
( t ) k t 因为 P[ N ( t ) k ] e , k 0,1, 2, k!
所以当 t 0时，有 F ( t ) 1 P[ N ( t ) 1] 1 e t
1 e t 于是T的分布函数为F ( t ) 0
t0 t0
可见，T服从参数为的指数分布。
例2：向半径为r的圆内均匀投掷一随机点，假设点不可能 落到圆外，且落入圆内任何区域内的概率只与其面积有关并 与之成正比。试求 （1）随机点的落点到原点的距离R的分布函数F(x); （2）r.v. R的概率密度f(x).
1 例3：设r.v.X的绝对值不大于1， P ( X 1) , 8 1 P ( X 1) , 在 1 X 1 的条件下，X在任意区间 4
( 3) 已知某天有 人购物，求该天恰有 ( m k )人 k m 进店的概率
m 解：（ ）P (Y m) Cn p m (1 p) nm，即Y ～ B( n, p) 1
（2）每天购物人数Y的可能值为 0,1, 2, , X ( X 为进 店人数)，由题意X ～ P ( ), Y ～B( n, p)
当t 0时，事件“ t”表示相邻两次故障的 T 时间间隔
不大于t，即在t长的时间内至少发生一 次故障，即N ( t ) 1, 反之，若N ( t ) 1，说明在t长的时间内发生了故障 ，即相邻
两次故障的时间间隔T t，因此有 F ( t ) P (T t ) P[ N ( t ) 1]
障的次数 N ( t )服从参数为 t的泊松分布 (1)求相继两次故障之间时 间间隔 T的概率分布； ( 2)求设备无故障工作8小时的概率； ( 3)求在设备已无故障工作 小时的情形下，再无故 8
障工作8小时的概率。
解： )求概率分布，由题目所 (1 给的条件，求T的分布
函数。
当t 0时，由于T是非负的随机变量， 故有F ( t ) P (T t ) 0
则，P (Y k ) P ( X k Y k ) P ( X m Y k ) P ( X m) P (Y k X m)
m k m k
而当 X m时，Y ～ B( m, p)
k 因此 P (Y k X m ) Cm p k (1 p) mk
2. 公式法
X ~ f X ( x ),
y g( x ) 单调，且有反函数 x h( y ),
a yb else
Y g( X ) 的p.d.f.
f X [h( y)] h( y) fY ( y) 0
此公式可推广至g(x)逐段单调的情形。
例1：连续射击直到恰好命中两次目标为止，假设各次 射击命中目标的概率都等于p，试求射击次数X的概率分布。
b
f (t )dt ,
x
F ( x ) f ( x )
必须掌握的分布： 均匀分布，指数分布，正态分布，伽马分布 牢记分布的d.f. 及p.d.f. 四、r.v. 函数的分布（重点是c.r.v.) 1. 分布函数法： Y g( X ),
FY ( y ) P (Y y ) P ( g( x ) y ) 利用X的分布求此概率
m! m k 于是 P (Y k ) e C m p k (1 p ) n k m k m! m m! e p k (1 p ) m k k! ( m k )! m k m!
( p ) k m k e (1 p ) m k k! m k o ( m k )!
又知 P ( X m )
m
e
( p) k (1 p ) ( p) k p e e e k 0,1, k! k! 可见，每天购物人数Y服从参数p的Poisson 分布。
（3）所求概率为条件概率
P ( X m ) P (Y k X m ) P ( X mY k ) P (Y k )
( 2)所求概率P P (T 8) 1 F (8) e 8
P[(T 16) (T 8)] ( 3)所求概率Q P (T 16T 8) P (T 8) P (T 16) 1 F (16) e 8 P (T 8) 1 F (8)
m
m!
e
m! p k (1 p ) m k k! ( m k )! ( p ) k p e k!
(m k )
e (1 p ) [ (1 p )]m k ( m k )!
例8：假设某设备开机后无故障工作的时间X服从参 数等于1/5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动 关机，而在无故障的情形下工作2小时便关机。试求该设 备每次开机无故障工作时间Y的分布函数。
例6：设事件A,B独立，事件C满足 AB C , A B C ,
证明：P( A) P(C ) P( AC )
例 7：设每天进入某商店的 人数X为服从参数 ( 0 ) 的Poisson 分布的随机变量，已知 在进店的顾客中，每人 购物的概率为p( 0 p 1)且各个顾客购物与否相 互独立。 (1)若某天有n)求每天购物人数Y的概率分布；
习 题 课2
● 主要内容
一、r.v.及其概率分布
1. r.v. —— 样本点的函数
X X ( ),
2. 概率分布 —— r.v.的值域及其各个可能值或在其值域 内各部分取值的概率此二者的总称。 3. 分布函数：F ( x ) P ( X x ), x (, )
P (a X b) F (b) F (a ) P ( X a ) F (a ) F (a 0) P (a X b) F (b) F (a 0)
(a, b) [1,1] 取值的概率与b – a成正比，求X的分布函数。
例4：假设有8件独立工作的家用电器设备，启动时间是 随机的。每件每小时平均使用10分钟，而电力只能保证5件 同时使用，求用电超负荷的概率并求平均多少分钟出现一 次超负荷情况？
例5：假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故
计算结果表明：P (T 16 T 8) P (T 8)，即在已
无故障工作8小时的条件下，再无故障工作8小时的条件概 率，等于无故障工作8小时的无条件概率，这种性质叫做 “无后效性”，也就是说，设备以前曾经无故障使用的时间，
不影响它以后使用寿命的统计规律。在连续型分布中只
有指数分布具有这种性质，这就决定了指数分布在排队论 及可靠性理论中的重要地位。
二、d.r.v.的概率分布
X P
x1 p1
x2 p2
xn pn
必须掌握的分布： 两点分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，几何分布 1. 牢记分布列及其实际模型 2. 近似计算： 超几何分布 二项分布 泊松分布
三、c.r.v.的概率分布
X ~ f ( x ),
因此有
F ( x)
P (a X b) f ( x )dx ,
( t ) k t 因为 P[ N ( t ) k ] e , k 0,1, 2, k!
所以当 t 0时，有 F ( t ) 1 P[ N ( t ) 1] 1 e t
1 e t 于是T的分布函数为F ( t ) 0
t0 t0
可见，T服从参数为的指数分布。
例2：向半径为r的圆内均匀投掷一随机点，假设点不可能 落到圆外，且落入圆内任何区域内的概率只与其面积有关并 与之成正比。试求 （1）随机点的落点到原点的距离R的分布函数F(x); （2）r.v. R的概率密度f(x).
1 例3：设r.v.X的绝对值不大于1， P ( X 1) , 8 1 P ( X 1) , 在 1 X 1 的条件下，X在任意区间 4
( 3) 已知某天有 人购物，求该天恰有 ( m k )人 k m 进店的概率
m 解：（ ）P (Y m) Cn p m (1 p) nm，即Y ～ B( n, p) 1
（2）每天购物人数Y的可能值为 0,1, 2, , X ( X 为进 店人数)，由题意X ～ P ( ), Y ～B( n, p)
当t 0时，事件“ t”表示相邻两次故障的 T 时间间隔
不大于t，即在t长的时间内至少发生一 次故障，即N ( t ) 1, 反之，若N ( t ) 1，说明在t长的时间内发生了故障 ，即相邻
两次故障的时间间隔T t，因此有 F ( t ) P (T t ) P[ N ( t ) 1]
障的次数 N ( t )服从参数为 t的泊松分布 (1)求相继两次故障之间时 间间隔 T的概率分布； ( 2)求设备无故障工作8小时的概率； ( 3)求在设备已无故障工作 小时的情形下，再无故 8
障工作8小时的概率。
解： )求概率分布，由题目所 (1 给的条件，求T的分布
函数。
当t 0时，由于T是非负的随机变量， 故有F ( t ) P (T t ) 0
则，P (Y k ) P ( X k Y k ) P ( X m Y k ) P ( X m) P (Y k X m)
m k m k
而当 X m时，Y ～ B( m, p)
k 因此 P (Y k X m ) Cm p k (1 p) mk
2. 公式法
X ~ f X ( x ),
y g( x ) 单调，且有反函数 x h( y ),
a yb else
Y g( X ) 的p.d.f.
f X [h( y)] h( y) fY ( y) 0
此公式可推广至g(x)逐段单调的情形。
例1：连续射击直到恰好命中两次目标为止，假设各次 射击命中目标的概率都等于p，试求射击次数X的概率分布。