2019年南充市高考数学第一次模拟试题附答案
26．在直角坐标平面内，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点
A ， B 的极坐标分别为
4 ，π 2
，
2
2
，5π 4
，曲线
C
的方程为
r
（
r
0
）．
（1）求直线 AB 的直角坐标方程； （2）若直线 AB 和曲线 C 有且只有一个公共点，求 r 的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
3 ，整理得 c2 3c 2 0, 求得 c 1或 c
2.
2
若 c 1，则三角形为等腰三角形， A C 300 , B 600 不满足内角和定理，排除.
【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.
当求出 cos A 3 后，要及时判断出 A 300, B 600 ，便于三角形的初步定型，也为排 2
P AC B 的平面角为 ，则（ ）
A． ,
B． ,
C． ,
D． ,
12．已知
tan
12
2
，则
tan
3
（
）
A． 1 3
二、填空题
B． 1 3
C．-3
D．3
13．设函数
f
x
log2
log
1 2
x, x 0 (x), x
0
，若 f (a) f (a) ，则实数 a 的取值范围是
16．已知 sin cos 1， cos sin 0 ，则 sin __________．
17．在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB DC , AB 2, BC 1, ABC 60 , 点 E 和点 F 分别在
线段
BC
和
CD
上,且
BE
2 3
BC,
DF
1 6
DC , 则
AE
AF
除 c 1提供了依据.如果选择支中同时给出了1或 2 ，会增大出错率. 7．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用正方体 ABCD A1B1C1D1 中， CD//AB ，将问题转化为求共面直线 AB 与 AE 所成角 的正切值，在 ABE 中进行计算即可.
【详解】
在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， CD//AB ，所以异面直线 AE 与 CD 所成角为 EAB ，
一、选择题
1．A
解析：A 【解析】
试题分析：由 tan 3 ，得 sin 3 , cos 4 或 sin 3 , cos 4 ，所以
4
5
5
5
5
cos2 2sin 2 16 4 12 64 ，故选 A． 25 25 25
【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．
【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消
正切值为
A． 2 2
B． 3 2
C． 5 2
D． 7 2
8．若不等式 ax2 2ax 4 2x2 4x 对任意实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围是
（）
A． (2 ，2)
B． (， 2) (2， )
C． (2，2]
D． ( ，2]
9．已知复数 A．第一象限
，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
20．已知集合 P 中含有 0,2,5 三个元素,集合 Q 中含有 1,2,6 三个元素,定义集合 P+Q 中的 元素为 a+b,其中 a∈P,b∈Q,则集合 P+Q 中元素的个数是_____.
三、解答题
21．在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边 a，b，c，且 a c ，已知 BA BC 2 ， cos B 1 ， b 3 ，求：
sin
x
3
2
的图象向右平移
4 3
个单位后
y
sin
w Leabharlann x4 33
2
sin
wx
3
4w 3
2
所以有
4w 2k w 3k w 0k 1w 3k 3
3
2
22
故选 C
4．B
解析：B
【解析】
设 z a bi（, a,b R），由 1 i z 2 z （i 2 z） a bi （i 2 a bi），
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
10．设 A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），AB 的中点 M，则 CM
A． 53 4
B． 53 2
C． 53 2
D． 13 2
11．设三棱锥V ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等， P 是棱VA 上的点（不含端
点），记直线 PB 与直线 AC 所成角为 ，直线 PB 与平面 ABC 所成角为 ，二面角
3
（1）a 和 c 的值；
（2） cos(B C) 的值.
22．为评估设备 生产某种零件的性能，从设备 生产该零件的流水线上随机抽取 100 个 零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值
，标准差
，以频率值作为概率的估计值.
（I）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 ，并根
3．设 >0,函数 y=sin( x+ )+2 的图象向右平移 4 个单位后与原图象重合，则 的最小
3
3
值是
A． 2 3
B． 4 3
C． 3 2
4．已知复数 z 满足 1 i z 2 ，则复数 z 的虚部为（ ）
D．3
A．1
B． 1
C． i
D． i
5．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A 为“三个人去
解得 2 a 2，
综上所述，所以 a 的取值范围为 (2, 2] ，故选 C． 9．A
解析：A 【解析】
10．C
在复平面内对应的点 坐标为
在第一象限，故选 A.
解析：C 【解析】
试题分析：先求得 M（2, 3 ，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得 CM 53 ，故选
2
2
C．
考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用．
本事件有 321 6 种，所以 P(A
/ B)
6 12
1 2 ，故选 C.
【点睛】
本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键.
6．B
解析：B 【解析】
1 3 3
3 , cos A 3 ,
sin A sin B sin 2 A 2sin Acos A
2
所以12
2
3 c2 2c 3
2019 年南充市高考数学第一次模拟试题附答案
一、选择题
1．若 tan 3 ，则 cos2 2sin 2 （
）
4
A． 64
B． 48
C．1
25
25
2．已知集合 P x -1<x 1，Q=x 0 x 2 ，那么 P Q=
D． 16 25
A．（-1,2）
B．（0，1）
C．（-1,0）
D．（1,2）
(1) 求证： MD EF ； (2) 求三棱锥 M EFD 的体积．
25．已知函数 f x x3 ax2 bx c ，过曲线 y f x 上的点 P 1, f 1 处的切线方
程为 y 3x 1 ．
（1）若函数 f x 在 x 2 处有极值，求 f x 的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数 y f x 在区间3,1 上的最大值．
②从样本中随意抽取 2 个零件，求其中次品个数 的数学期望 .
23．在平面直角坐标系
xOy
中,已知直线
l
的参数方程为
x 1t 2
（ t 为参数）.在以
y
3 t 1 2
坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲
线 C 的极坐标方程是 2
2sin
点评：简单题，应用公式计算．
11．B
解析：B
【解析】
【分析】
本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概
念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后
比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.
【详解】
方法 1：如图 G 为 AC 中点，V 在底面 ABC 的投影为 O ，则 P 在底面投影 D 在线段 AO
据以下不等式进行判定（ 表示相应事件的概率）：
①
；
②
；
③
.
判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为
乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备 的性能
等级.
（Ⅱ）将直径尺寸在
之外的零件认定为是“次品”.
①从设备 的生产流水线上随机抽取 2 个零件，求其中次品个数 的数学期望 ；
上，过 D 作 DE 垂直 AE ，易得 PE / /VG ，过 P 作 PF // AC 交VG 于 F ，过 D 作
DH / / AC ，交 BG 于 H ，则 BPF, PBD, PED ，则
cos PF EG DH BD cos ，即 ， tan PD PD tan ，即
a bi b （a 2）i
a b
b, a2
b 1 ，故选 B.
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的
个数，即可得出结果.
【详解】
甲独自去一个景点，则有 3 个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘
2019年四川省南充市高考数学一诊试卷(理科)
2019年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，则A∩B中元素的个数为（）A．必有1个B．1个或2个C．至多1个D．可能2个以上2．（5分）已知复数z满足，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．3．（5分）已知向量是互相垂直的单位向量，且，则=（）A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣64．（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（）A．=0.7x﹣2.3 B．=﹣0.7x+10.3 C．=﹣10.3x+0.7 D．=10.3x﹣0.7 5．（5分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2017）=﹣1，那么f（2019）=（）A．1 B．2 C．0 D．﹣16．（5分）若0＜m＜1，则（）A．log m（1+m）＞log m（1﹣m）B．log m（1+m）＞0C．1﹣m＞（1+m）2D．7．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（）A．B．4 C．3 D．8．（5分）函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（）A．（1，5） B．[1，5） C．（1，5]D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）9．（5分）如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若，则x+y=（）A．B．C．D．10．（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（）A． B．48πC．24πD．16π11．（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=﹣1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则“点P在l上”是“PA⊥PB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．（5分）已知函数f（x）=1﹣（x＞e，e=2.71828…是自然对数的底数）若f（m）=2ln﹣f（n），则f（mn）的取值范围为（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．[，1]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中有理项系数之和为．14．（5分）函数y=的单调递增区间是．15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是．16．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．18．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）．（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）19．（12分）如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．（1）证明：MN∥平面BCE；（2）求锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值．20．（12分）已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A．（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+ax+2．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）令a=﹣1，b∈R，已知函数g（x）=b+2bx﹣x2．若对任意x1∈（﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．2019年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，则A∩B中元素的个数为（）A．必有1个B．1个或2个C．至多1个D．可能2个以上【解答】解：集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，则A∩B={（x，y）|y=f（x），且x=1}，当x=1时，f（1）的值存在，A∩B={（1，f（1））}，有一个元素；当x=1时，f（1）的值不存在，A∩B=∅，没有元素；∴A∩B中元素的个数至多一个．故选：C．2．（5分）已知复数z满足，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．【解答】解：由，得==，∴z=，∴复数z的虚部是﹣．故选：C．3．（5分）已知向量是互相垂直的单位向量，且，则=（）A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6【解答】解：向量是互相垂直的单位向量，且，则=0﹣+5=﹣1+5×（﹣1）=﹣6．故选：D．4．（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（）A．=0.7x﹣2.3 B．=﹣0.7x+10.3 C．=﹣10.3x+0.7 D．=10.3x﹣0.7【解答】解：根据表中数据，得；=（6+5+10+12）=，=（6+5+3+2）=4，且变量y随变量x的增大而减小，是负相关，所以，验证=时，=﹣0.7×+10.3≈4，即回归直线=﹣0.7x+10.3过样本中心点（，）．故选：B．5．（5分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2017）=﹣1，那么f（2019）=（）A．1 B．2 C．0 D．﹣1【解答】解：f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2017）=asin（2017π+α）+bcos（2017π+β）=﹣asinα﹣bcosβ=﹣1，则asinα+bcosβ=1，那么f（2019）=asin（2019π+α）+bcos（2019π+β）=asinα+bcosβ=1，故选：A．6．（5分）若0＜m＜1，则（）A．log m（1+m）＞log m（1﹣m）B．log m（1+m）＞0C．1﹣m＞（1+m）2D．【解答】解：①∵0＜m＜1，∴函数y=log m x是（0，+∞）上的减函数，又∵1+m ＞1﹣m＞0，∴log m（1+m）＜log m（1﹣m）；∴A不正确；②∵0＜m＜1，∴1+m＞1，∴log m（1+m）＜0；∴B不正确；③∵0＜m＜1，∴0＜1﹣m＜1，1+m＞1，∴1﹣m＞（1+m）2；∴C不正确；④∵0＜m＜1，∴0＜1﹣m＜1，∴函数y=（1﹣m）x是定义域R上的减函数，又∵＜，∴＞；∴D正确；故选：D．7．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（）A．B．4 C．3 D．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，截面是等腰梯形FHDE，∵正方体的棱长为2，∴FH=，DE=，梯形的高为．∴该截面的面积为S=．故选：A．8．（5分）函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（）A．（1，5） B．[1，5） C．（1，5]D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）【解答】解：由题意，f′（x）=3x2+2x﹣a，则f′（﹣1）f′（1）＜0，即（1﹣a）（5﹣a）＜0，解得1＜a＜5，另外，当a=1时，函数f（x）=x3+x2﹣x﹣4在区间（﹣1，1）恰有一个极值点，当a=5时，函数f（x）=x3+x2﹣5x﹣4在区间（﹣1，1）没有一个极值点，故选：B．9．（5分）如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若，则x+y=（）A．B．C．D．【解答】.解：由题意得，若设AD=DC=1，则AC=，AB=2 ，BC=，由题意知，，△BCD中，由余弦定理得DB2=DC2+CB2﹣2DC•CB•cos（45°+90°）=1+6+2×1×=7+2∵∠ADC=90°，∴DB2=x2+y2，∴x2+y2=7+2①．如图，作，，则CC′=x﹣1，C′B=y，Rt△CC′B中，由勾股定理得BC2=CC'2+C′B2，即6=（x﹣1）2+y2，②由①②可得x=1+，y=．那么：x+y=1+2故选：B．10．（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（）A． B．48πC．24πD．16π【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，所以AE=．AO=．所求球的体积为：==32．故选A．11．（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=﹣1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则“点P在l上”是“PA⊥PB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2=4y，对其求导得．设A，B，则直线PA，PB的斜率分别为k PA=，k PB=．由点斜式得PA，PB的方程分别为：y﹣=．=（x﹣x2），联立解得P，因为P在l上，所以=﹣1，所以k PA•k PB==﹣1，所以PA⊥PB．反之也成立．所以“点P在l上”是“PA⊥PB”的充要条件．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=1﹣（x＞e，e=2.71828…是自然对数的底数）若f（m）=2ln﹣f（n），则f（mn）的取值范围为（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．[，1]【解答】解：由f（m）=2ln﹣f（n）得f（m）+f（n）=1⇒，f（mn）=1﹣=1﹣，又∵lnn+lnm+2=[（lnn+1）+（lnm+1）]（）=4+≥4+4=8，∴lnn+lnm≥6，f（mn）=1﹣≥，且m、n＞e，∴lnn+lnm＞0，f（mn）=1﹣＜1，∴≤f（mn）＜1，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中有理项系数之和为32．【解答】解：由，得通项，为有理项，∴当r=0、2、4、6时，T r+1此时有理项系数之和为=．故答案为：32．14．（5分）函数y=的单调递增区间是[0，] ．【解答】解：化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣，]，由x∈[0，]可得x∈[0，]，故答案为：[0，]．15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是4．【解答】解：由题O1（0，0）与O2：（﹣m，0），根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得＜|m|＜．再根据题意可得O1A⊥AO2，∴m2=5+20=25，∴m=±5，∴利用，解得：AB=4．故答案为：4．16．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（0，）．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），可得log a（2+1）＞f（2）=﹣2，即log a3＞﹣2，∴3＜，解得＜a＜，又0＜a＜1，∴0＜a＜，故答案为：（0，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．=2a n﹣1﹣2，当n≥2时，S n﹣1所以a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2），即=2，所以数列{a n}是以首项为2，公比为2的等比数列，故a n=2n（n∈N*）．（2）=（n+1）•（）n，则T n=2•（）+3•（）2+4•（）3+…+（n+1）•（）n，T n=2•（）2+3•（）3+4•（）4+…+（n+1）•（）n+1，上面两式相减，可得T n=1+（）2+（）3+（）4+…+（）n﹣（n+1）•（）n+1，=1+﹣（n+1）•（）n+1，化简可得T n=3﹣（n+3）•（）n．18．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）．（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；则X～B（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=×（）3=；P（X=1）=×（）2×=；P（X=2）=×（）×（）2=；P（X=3）=×（）3=，∴X的分布列为：即E（X）=0×=．19．（12分）如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．（1）证明：MN∥平面BCE；（2）求锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值．【解答】（1）证明：取AE中点P，连结MP，NP．由题意可得MP∥AD∥BC，因为MP⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，所以MP∥平面BCE，同理可证NP∥平面BCE．因为MP∩NP=P，所以平面MNP∥平面BCE，又MN⊂平面MNP，所以MN∥平面BCE．（2）解：取CD的中点F，连接NF，NE．由题意可得NE，NB，NF两两垂直，以N为坐标原点，NE，NB，NF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．令AB=2，则．所以．设平面MAB的法向量则令x=2，则因为是平面ABE的一个法向量所以所以锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值为．20．（12分）已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A．（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．【解答】解：（1）设P（x0，y0），又A（﹣2，0），F（﹣1，0）所以=，因为P点在椭圆上，所以，即，且﹣2≤x0≤2，所以=，函数在[﹣2，2]单调递增，当x0=﹣2时，f（x0）取最小值为0；当x0=2时，f（x0）取最大值为12．所以的取值范围是[0，12]．（2）由题意：联立得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0由△=（8km）2﹣4×（3+4k2）（4m2﹣12）＞0得4k2+3＞m2①设M（x1，y1），N（x2，y2），则．==0，所以（x1+2）（x2+2）+y1y2=0即，4k2﹣16km+7m2=0，所以或均适合①．当时，直线l过点A，舍去，当时，直线过定点．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+ax+2．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）令a=﹣1，b∈R，已知函数g（x）=b+2bx﹣x2．若对任意x1∈（﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）在[1，+∞）上为减函数⇒f′（x）=﹣2x+a≤0在[1，+∞）上恒成立⇒a≤2x﹣在[1，+∞）上恒成立，令h（x）=2x﹣，由h′（x）＞0（或利用增函数减减函数）⇒h（x）在[1，+∞）上为增函数⇒h（x）min=h（1）=，所以a≤；（2）若对任意x1∈[﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则函数f（x）在（﹣1，+∞）上的值域是函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域的子集．对于函数f（x），因为a=﹣1，所以f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x+2，定义域（﹣1，+∞）f′（x）=﹣2x﹣1=令f′（x）=0得x1=0x2=（舍去）．当x变化时，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：所以f（x）max=f（0）=2⇒所以f（x）的值域为（﹣∞，2）对于函数g（x）=﹣x2+2bx+b=﹣（x﹣b）2+b+b2①当b≤﹣1时，g（x）的最大值为g（﹣1）=﹣1﹣b⇒g（x）值域为（﹣∞，﹣1﹣b]由﹣1﹣b≥2⇒b≤3；②当b＞﹣1时，g（x）的最大值为g（b）=b2+b⇒g（x）值域为（﹣∞，b2+b]由b2+b≥2⇒b≥1或b≤﹣2（舍去），综上所述，b的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1．+∞）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【解答】解：（1）由消去参数α，得即C的普通方程为由，得ρsinθ﹣ρcosθ①将代入①得y=x+2所以直线l的斜率角为．（2）由（1）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数），代入并化简得设A，B两点对应的参数分别为t1，t2．则，所以t1＜0，t2＜0所以．23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．【解答】（1）解：①当x≤﹣1时，原不等式化为﹣x﹣1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1；②当时，原不等式化为x+1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1，此时不等式无解；③当时，原不等式化为x+1＜2x，解得：x＞1．综上，M={x|x＜﹣1或x＞1}；（2）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，则f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1| =|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|=|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．。
四川省南充市2019届高三第一次高考适应性考试数学试题(理科)(附解析)
南充市高2019届第一次高考适应性考试数学试题（理科）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合B，由此能求出．【详解】则.故选C.【点睛】本题考查集合交集的求法，属基础题.2.A. B. C. 2 D. -2【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘方运算法则运算即可.【详解】故选A.【点睛】本题考查复数的乘方运算，属基础题.3.下列命题中的假命题是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】对四个选项，逐一举例子进行真假性的判断，由此得到正确选项.【详解】对于选项A，当时，故A选项为真命题.对于B选项，当时，，故选项B为真命题.当时，，故C选项为真命题.根据指数函数的性质知D选项为真命题.故选C.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题真假性的判断，考查指数函数、对数函数和正切函数有关的性质.属于基础题.4.是第四象限角，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由的值及α为第四象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出的值．【详解】由题是第四象限角，则故选B.【点睛】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．5.在的展开式中含有常数项，则正整数的最小值是A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】当存在与时，展开式有常数项，此时.【详解】由于和的最小公倍数为，故当存在与时，展开式有常数项，即为常数项，此时，故选B.【点睛】本小题主要考查二项式的展开式，考查两个数的最小公倍数.二项式展开式的通项公式为.属于基础题.6.点，是圆上的不同两点，且点，关于直线对称，则该圆的半径等于A. B. C. 1 D. 3【答案】D【解析】【分析】圆上的点关于直线对称，则直线经过圆心，求出圆的圆心，代入直线方程，即可求出k，然后求出半径．【详解】圆x2+y2+kx+2y-4=0的圆心坐标为（，因为点M，N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上，且点M，N关于直线l：x-y+1=0对称，所以直线l：x-y+1=0经过圆心，所以．所以圆的方程为：x2+y2+4x+2y-4=0，圆的半径为：故选：C．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的一般方程的应用，考查计算能力．7.已知函数，则函数的图像大致是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的定义域，排除BCD，即可得到答案.【详解】函数，函数，则函数的定义域为，故排除B，C，D，故选：A．【点睛】本题考查函数的图象，考查同对数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．8.设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4，，又的数学期望为，则A. B. 0 C. D.【答案】A【解析】【分析】将代入的表达式，利用概率之和为列方程，利用期望值列出第二个方程，联立方程组，可求解得的值.【详解】依题意可的的分布列为依题意得，解得，故.所以选A.【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列，考查概率之和为，考查离散型随机变量的数学期望，还考查了方程的思想.属于基础题.9.将边长为2的正沿高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】三棱锥B-ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积即可．【详解】根据题意可知三棱锥B-ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，所以求出长方体的对角线的长为：，所以球的直径是，半径为，所以球的表面积为：故选D．【点睛】本题主要考查了外接球的表面积的度量，解题关键将三棱锥B-ACD的外接球扩展为长方体的外接球，属于中档题．10.在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：成等差数列，．平方得．又的面积为，且，故由，得，．由余弦定理，解得．又∵为边长，∴．故B正确.考点：等差数列，三角形面积，余弦定理的应用.11.在实数的原有运算法则（“” “”仍为通常的乘法和减法）中，我们补充定义新运算“如下：当时，；当时，，则当时，函数的最大值等于A. -1B. 1C. 6D. 12【答案】C【解析】此题是信息类的题目，考查分段函数的最值问题的求法、学生的自学能力和逻辑推理能力；由已知得所以，可求出：当时，函数最大值是-1；当时，函数最大值是6；当时，函数不存在最大值是；所以函数的最大值等于6，选C12.已知双曲线与函数的图像交于点.若函数在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设，∴切线的斜率为，又∵在点处的切线过双曲线左焦点，∴，解得，∴，因此，，故双曲线的离心率是，故选A．考点：双曲线离心率的计算．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量，满足约束条件则的最大值是__________．【答案】11【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z表示直线在y轴上的截距的一半，只需求出可直线在y轴上的截距最大值即可．【详解】变量，满足约束条件在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在△ABC中满足z=2y-x的最大值是点C，代入得最大值等于11．故填：11．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14.若，则__________．【答案】【解析】15.已知函数，，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】判断出函数为奇函数，并且导数为正数，为递增函数，利用奇偶性和单调性化简题目所给的不等式，由此求得的取值范围.【详解】由于，故函数为奇函数，由于故函数为上的增函数.由得，故.故的取值范围是.【点睛】本小题考查函数的奇偶性，考查利用导数求函数的单调性，考查抽象不等式的解法.对于有关函数的题目，首先想到的是函数的性质，如单调性、奇偶性和周期性等等.对于抽象函数的不等式，往往要结合函数的单调性来求解.利用导数可以判断出函数的单调性.属于中档题.16.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，.若，则的面积的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】根据抛物线焦点的坐标求得的值.联立直线的方程和抛物线的方程，消去得到关于的一元二次方程，这个方程的判别式大于零，利用韦达定理求得弦长的表达式，利用点到直线距离公式求得到直线的距离，由此求得三角形面积的表达式，在利用导数求得面积的最大值.【详解】由于抛物线的焦点为，故，抛物线方程为，联立得，.由于直线和抛物线有两个交点，故判别式，解得.由弦长公式得.焦点到直线的距离为.故三角形的面积为，由于，故上式可化为.令，，故当时，函数递增，当时，函数递减，故当时取得最大值，此时=.【点睛】本小题主要考查抛物线的标准方程，考查直线和抛物线的位置关系，考查与抛物线有关的三角形的面积公式.由于抛物线的参数只有一个，故只要一个条件就可以求得的值.直线和抛物线形成的弦长公式可以利用韦达定理计算出来.求得面积的表达式后，由于表达式是高次的，故利用导数求得它的最大值.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.在数列中，，．（1）求的通项公式；（2）数列是等差数列，为前项和，若，，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由等比数列的定义可知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则的通项公式易求；（2）由（1）得：，由此求得公差，代入等差数列前公式计算即可.【详解】（1）因为所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以.（2）由（1）得：，则，，所以 .【点睛】本题考查等差数列，等比数列的基本量计算，属基础题.18.为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6. （1）请将上面的列联表补充完整；（2）能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明理由.附：【答案】（1）见解析；（2）在犯错误率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关.【解析】（1）根据分层抽样比计算出全班喜欢体育运动的人数和不喜欢体育运动的人数，可将列联表补充完整；（2）根据公式计算K2，对照临界值表作结论．【详解】（1）设喜好体育运动人数为，则 .所以列联表补充如下：（2）因为所以可以在犯错误率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关.【点睛】本题考查分层抽样的统计原理，独立性检验的运用，考查学生分析解决问题的能力，是基础题．19.如图，三棱柱中，平面，为正三角形，是边的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，根据面面垂直的性质定理可以得到平面平面.（2）以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为三棱柱中平面，所以平面，又平面，所以平面平面因为为正三角形，为的中点，所以，又平面平面，所以平面，又平面所以平面平面.（2）解：以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，设平面的法向量则即令，则得同理可求得平面的法向量设二面角的大小为，所以.【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理，考查利用空间向量的方法计算二面角的余弦值，属于中档题.20.已知椭圆的焦点，，过点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，并且，椭圆上不同的两点，满足条件：，，成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）求弦中点的横坐标.【答案】（1）；（2）4【解析】【分析】（1）利用椭圆的焦点坐标得到，利用椭圆的定义得到，利用求得，由此求得椭圆的方程.（2）利用，，成等差数列列出方程，将的坐标代入，可求得的值，由此求得中点的横坐标.【详解】（1）由题意可知.所以，又，所以，所以椭圆方程为：.（2）由点在椭圆上，得.由，，成等差数列，得①点在椭圆上，得所以②同理可得③将②③代入①式，得：所以设中点坐标为，则横坐标：.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，还考查了等差中项的性质.属于中档题.21.已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）设函数，求证：.【答案】（1）在单调递增；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）当时，利用的二阶导数，求得函数的单调区间.（2）先求得的表达式，化简得到.将要证明的不等式的左边利用倒序相乘的方法，证得不等式成立.【详解】（1）当时，（），令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增.所以所以在单调递增.（2）证明：，当时，所以由此得故（）【点睛】本小题考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，要有一定分析问题和运算的能力，属于难题.22.[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）. （1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．详解：（1）曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.23.设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．详解：（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
四川省南充市2018-2019学年上学期高2019届高三年级第一次高考适应性考试数学试题理科(解析版)
，则当
A. -1 B. 1 【答案】C
C. 6
D. 12
时，函数
的最大值等于
【解析】
【分析】
新定义运算“ ”是选择两个数中较大的一个.将 所在的区间分为
解析式，再由解析式求得函数的最大值.
【详解】新定义运算“ ”是选择两个数中较大的一个.当
时，
两类，写出函数 的 ，此时函数为增函数，
故
.当
时，
，此时函数为增函数，故
6.点 ， 是圆
上的不同两点，且点 ， 关于直线
对称，则该圆的半径等于
A.
B.
【答案】D
【解析】
C. 1 D. 3
【分析】
圆上的点关于直线对称，则直线经过圆心，求出圆的圆心，代入直线方程，即可求出 k，然后求出半径．
【详解】圆 x2+y2+kx+2y-4=0 的圆心坐标为（ ， 因为点 M，N 在圆 x2+y2+kx+2y-4=0 上，且点 M，N 关于直线 l：x-y+1=0 对称， 所以直线 l：x-y+1=0 经过圆心，
,平方得
,
， 的面积为 ，则
又
的面积为 ，且
故由
,
得
由余弦定理
解得
又 为边长，
故答案选
点睛：根据等差中项的性质可得
运用平方求得边长的数量关系，再根据面积公式求出 的值，代
入余弦定理求得结果
11.在实数的原有运算法则（“ ” “ ”仍为通常的乘法和减法）中，我们补充定义新运算 “ 如下：当
时，
；当 时，
所以
．
所以圆的方程为：x2+y2+3x+2y-4=0，圆的半径为： 故选：C．
2019年南充市高三数学上期末第一次模拟试题附答案
2019年南充市高三数学上期末第一次模拟试题附答案一、选择题1．已知数列{}n a 中，()111,21,n n na a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S的值为（ ）A ．63B ．61C ．62D ．572．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．2D ．523．已知数列{}n a 的通项公式是221sin2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110B ．100C ．55D ．04．设x y ，满足约束条件10102x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩＞，则yx 的取值范围是（ ）A ．()[),22,-∞-+∞UB ．(]2,2-C ．(][),22,-∞-+∞UD ．[]22-,5．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1210b b b a a a ++⋯+=（ ） A ．1033B ．1034C ．2057D ．20586．数列{}{},n n a b 为等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，若3n 22n n S T n +=，则77a b =（ ） A ．4126B ．2314C ．117 D ．1167．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3cos 5A =，则sinB =（ ） A ．25B ．35C ．45 D ．858．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．239．在等差数列{}n a 中，若1091a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）A ．15B ．16C ．17D ．1410．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若26442,S 6a S a =-=，则5a =A ．4B ．10C ．16D ．3211．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S a n N =-∈，则5a 等于（ ）A ．16-B ．16C ．31D ．3212．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题13．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________.14．已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()an n a a -=，那么99100log a =________15．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是__________．16．若x ，y 满足约束条件1300x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值是__________．17．若变量,x y 满足约束条件{241y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最小值为_____．18．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差d =（___）． 19．在数列{}n a 中，11a =，且{}n a 是公比为13的等比数列．设13521T n n a a a a L -=++++，则lim n n T →∞=__________．(*n ∈N ) 20．若无穷等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为______.三、解答题21．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且2sin 3tan c B a A =.（1）求222b c a +的值；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.22．在等差数列{}n a 中，36a =，且前7项和756T =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令3nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .23．在数列{}n a 中, 已知11a =，且数列{}n a 的前n 项和n S 满足1434n n S S +-=, n *∈N . （1）证明数列{}n a 是等比数列；（2）设数列{}n na 的前n 项和为n T ，若不等式3()1604nn aT n+⋅-<对任意的n *∈N 恒成立, 求实数a 的取值范围.24．已知等差数列{}n a 的所有项和为150，且该数列前10项和为10，最后10项的和为50.（1）求数列{}n a 的项数； （2）求212230a a a ++⋅⋅⋅+的值. 25．已知函数()21f x x =-. （1）若不等式121(0)2f x m m ⎛⎫+≥+> ⎪⎝⎭的解集为][(),22,-∞-⋃+∞，求实数m 的值； （2）若不等式()2232y yaf x x ≤+++对任意的实数,x y R ∈恒成立，求正实数a 的最小值.26．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233=+nn S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】解：由数列的递推关系可得：()11121,12n n a a a ++=++= ， 据此可得：数列{}1n a + 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，则：1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ，分组求和有：()5521255712S ⨯-=-=- .本题选择D 选项.2．B解析：B【分析】作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值． 【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．1411414143()()(5)(5)6662b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =，即12,33a b ==时等号成立，即14a b +的最小值为32． 故选：B. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．3．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件得a n ＝n 2sin （2n 12+π）＝22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数，所以a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92，由此能求出结果． 【详解】∵2n 12+π =n π+2π，n ∈N *，∴a n ＝n 2sin （2n 12+π）＝22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数， ∴a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92＝1+2+3+…+10＝()101+10=552故选C ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、三角函数的周期性，属于中4．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意，作出可行域，分析yx的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，根据图象即可求解. 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示，yx 的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，由102x y y -+=⎧⎨=⎩，得点A 的坐标为()1,2，所以2OA k =，同理，2OB k =-， 所以yx的取值范围是()[),22,-∞-+∞U . 故选：A 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查斜率型目标函数问题，考查数形结合思想，属于中等题型.5．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】首先根据数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据a b1+a b2+…+a b10=1+2+23+25+…+29+10进行求和． 解：∵数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴a n =2+（n-1）×1=n+1， ∵{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴b n =1×2n-1， 依题意有：a b1+a b2+…+a b10=1+2+22+23+25+…+29+10=1033， 故选A ．解析：A 【解析】依题意，113713113713132412226132a a a S b b b T +⋅===+⋅.7．A解析：A 【解析】试题分析：由3cos 5A =得，又2a b =，由正弦定理可得sin B =.考点：同角关系式、正弦定理．8．C解析：C 【解析】试题分析：∵24354{10a a a a +=+=，∴1122{35a d a d +=+=，∴14{3a d =-=，∴1011091040135952S a d ⨯=+⨯=-+=． 考点：等差数列的通项公式和前n 项和公式．9．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可得90a >，100a <，且9100a a +<，由等差数列的性质和求和公式可得结论． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和有最大值， ∴等差数列{}n a 为递减数列，又1091a a <-， ∴90a >，100a <， ∴9100a a +<， 又()118181802a a S +=<，()117179171702a a S a +==>，∴0n S >成立的正整数n 的最大值是17， 故选C ．本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．10．C解析：C 【解析】由64S S -=6546a a a +=得，()22460,60q q a q q +-=+-=，解得2q =，从而3522=28=16a a =⋅⨯，故选C.11．B解析：B 【解析】 【分析】令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=.所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则451216a =⨯=，故选：B. 【点睛】本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，同时也要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.12．C解析：C 【解析】因为等差数列{}n a 中，611 a a =，所以6116111150,0,,2a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2n dS n =--， 所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C. 二、填空题13．【解析】【分析】根据不等式的解集是求得的值从而求解不等式的解集得到答案【详解】由题意因为不等式的解集是可得解得所以不等式为即解得即不等式的解集为【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法其中解答中根解析：11(,)23--【解析】 【分析】根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式250bx x a -+>的解集，得到答案.【详解】由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，可得53(2)(3)(2)a b a ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩，解得1,6a b =-=-，所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->， 即2651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得1123x -<<-， 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23--. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列是以为首项以为公比的等比数列然后利用等比数列的通项公式求解【详解】由得则数列是以为首项以为公比的等比数列故答案为：1【点睛】本题考查数列的递推关系等比数列通解析：1 【解析】 【分析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解． 【详解】由11()an n a a -=，得991991log log n n a a a -=，∴199991991l 9og log 9n n a a a -==， 则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，∴19999991001log (99)199a =⋅=． 故答案为：1． 【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．15．【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得应满足解得∴实数的取值范围是答案：点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时需要综合考虑边的限制条件在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用必须要考虑到三个内角的解析：a <<【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得a 应满足22222222224130130310a a a a <<⎧⎪+->⎪⎨+->⎪⎪+->⎩，解得a << ∴实数a的取值范围是．答案： 点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时，需要综合考虑边的限制条件，在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用，必须要考虑到三个内角的余弦值都要大于零，并由此得到不等式，进一步得到边所要满足的范围．16．﹣33【解析】分析：由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数得答案详解：由约束条件作出可行域如图：联立解得化目标函数为直线方程的斜截式解析：[﹣3，3] 【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案. 详解：由约束条件作出可行域如图：联立13x y x y -=-+=，解得12x y ==，()1,2B ，化目标函数2z x y =-为直线方程的斜截式22x zy =-. 由图可知，当直线22x zy =-过()1,2B ，直线在y 轴上的截距最大，z 最小，最小值为1223-⨯=-；当直线22x zy =-过()3,0A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 最大，最大值为3203-⨯=. ∴2z x y =-的取值范围为[﹣3，3].故答案为：[﹣3，3].点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.17．8【解析】【分析】【详解】作出不等式组表示的平面区域得到如图的△ABC 及其内部其中A （22）B （）C （32）设z=F （xy ）=3x+y 将直线l ：z=3x+y 进行平移当l 经过点A （22）时目标函数z 达解析：8 【解析】 【分析】 【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A （2，2），B （53,22）,C （3，2）设z =F （x ，y ）=3x +y ，将直线l ：z =3x +y 进行平移， 当l 经过点A （2，2）时，目标函数z 达到最小值 ∴z 最小值=F （2，2）=8 故选：C18．【解析】【分析】根据两个和的关系得到公差条件解得结果【详解】由题意可知即又两式相减得【点睛】本题考查等差数列和项的性质考查基本分析求解能力属基础题 解析：1-【解析】 【分析】根据两个和的关系得到公差条件，解得结果. 【详解】由题意可知，10551015S S -=--=-，即67891015a a a a a ++++=-， 又1234510a a a a a ++++=，两式相减得2525d =-，1d =-. 【点睛】本题考查等差数列和项的性质，考查基本分析求解能力，属基础题.19．【解析】【分析】构造新数列计算前n 项和计算极限即可【详解】构造新数列该数列首项为1公比为则而故【点睛】本道题考查了极限计算方法和等比数列前n 项和属于中等难度的题目解析：9lim 8n n T →∞=【解析】 【分析】构造新数列{}21n a -，计算前n 项和，计算极限，即可。
四川省南充市2019届高三第一次高考适应性性考试 数学(文)试题(含答案)
因为әABC 为正三角形,D 为 BC 的中点,
2分
所以 ADʅBC ,又平面 BB1 C1 C ɘ平面 ABC = BC , 所以 ADʅ平面 BB1 C1 C ,又 AD⊂平面 ADB1 高三数学( 文科) 一诊答案㊀ 第㊀1 页( 共 3 页)
(2) 解:由(1) 可得әADB1 为 Rtә, 又 AD =
(2) 将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程,得
5分
因为曲线 C 截直线 l 所得线段中点(1,2) 在 C 内,所以①有两解 t1 ,t2 ,则 t1 +t2 = 0 又 t1 + t2 = 4(2cosα +sinα) 故 2cosα +sinα = 0 1 +3cos2 α ì2 x +4,xɤ -1, î-2 x +6,x >2,
所以 a 的取值范围是( -ɕ , -6] ɣ[2, +ɕ ) .
10 分
高三数学( 文科) 一诊答案㊀ 第㊀3 页( 共 3 页)
所以 d =
20 . 解:(1)ADB1 15 5
12 分
所以 F2 坐标为( 2 ,0) , ì 2 + 1 = 1, 2 2 所以 ía b
2 2 2 îc = a -b = 2,
㊀ ㊀ 解得
{
a2 = 4, b2 = 2, 5分 7分 10 分
17． 解:(1) 因为 a1 = 1,a n+1 = 3 a n 所以 a n = 3 n-1 .
所以数列{ a n } 是首项为 1,公比为 3 的等比数列, (2) 由(1) 得:b1 = a1 +a2 +a3 = 1 +3 +9 = 13,b3 = 9, 所以 S n = 13 n + 则 b3 -b1 = 2 d = -4,d = -2, = -n2 +14 n. n( n -1) ˑ( -2) 2
四川省南充市2018-2019学年上学期高2019届高三年级第一次高考适应性考试数学试题理科(含参考答案)
南充市高2019届第一次高考适应性考试数学试题（理科）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合B，由此能求出．【详解】则.故选C.【点睛】本题考查集合交集的求法，属基础题.2.A. B. C. 2 D. -2【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘方运算法则运算即可.【详解】故选A.【点睛】本题考查复数的乘方运算，属基础题.3.下列命题中的假命题是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】对四个选项，逐一举例子进行真假性的判断，由此得到正确选项.【详解】对于选项A，当时，故A选项为真命题.对于B选项，当时，，故选项B为真命题.当时，，故C选项为真命题.根据指数函数的性质知D选项为真命题.故选C.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题真假性的判断，考查指数函数、对数函数和正切函数有关的性质.属于基础题.4.是第四象限角，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由的值及α为第四象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出的值．【详解】由题是第四象限角，则故选B.【点睛】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．5.在的展开式中含有常数项，则正整数的最小值是A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】当存在与时，展开式有常数项，此时.【详解】由于和的最小公倍数为，故当存在与时，展开式有常数项，即为常数项，此时，故选B.【点睛】本小题主要考查二项式的展开式，考查两个数的最小公倍数.二项式展开式的通项公式为.属于基础题.6.点，是圆上的不同两点，且点，关于直线对称，则该圆的半径等于A. B. C. 1 D. 3【答案】D【解析】【分析】圆上的点关于直线对称，则直线经过圆心，求出圆的圆心，代入直线方程，即可求出k，然后求出半径．【详解】圆x2+y2+kx+2y-4=0的圆心坐标为（，因为点M，N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上，且点M，N关于直线l：x-y+1=0对称，所以直线l：x-y+1=0经过圆心，所以．所以圆的方程为：x2+y2+3x+2y-4=0，圆的半径为：故选：C．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的一般方程的应用，考查计算能力．7.已知函数，则函数的图像大致是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的定义域，排除BCD，即可得到答案.【详解】函数，函数，则函数的定义域为，故排除B，C，D，故选：A．【点睛】本题考查函数的图象，考查同对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．8.设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4，，又的数学期望为，则A. B. 0 C. D.【答案】A【解析】【分析】将代入的表达式，利用概率之和为列方程，利用期望值列出第二个方程，联立方程组，可求解得的值.【详解】依题意可的的分布列为依题意得，解得，故.所以选A.【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列，考查概率之和为，考查离散型随机变量的数学期望，还考查了方程的思想.属于基础题.9.将边长为2的正沿高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】三棱锥B-ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积即可．【详解】根据题意可知三棱锥B-ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，所以求出长方体的对角线的长为：，所以球的直径是，半径为，所以球的表面积为：故选D．【点睛】本题主要考查了外接球的表面积的度量，解题关键将三棱锥B-ACD的外接球扩展为长方体的外接球，属于中档题．10.的内角，，的对边分别为，，，若，，成等差数列，，的面积为，则A. B. C. D.【答案】B【解析】成等差数列，,平方得,又的面积为，且故由,得由余弦定理解得又为边长，故答案选点睛：根据等差中项的性质可得运用平方求得边长的数量关系，再根据面积公式求出的值，代入余弦定理求得结果11.在实数的原有运算法则（“” “”仍为通常的乘法和减法）中，我们补充定义新运算“如下：当时，；当时，，则当时，函数的最大值等于A. -1B. 1C. 6D. 12【解析】【分析】新定义运算“”是选择两个数中较大的一个.将所在的区间分为两类，写出函数的解析式，再由解析式求得函数的最大值.【详解】新定义运算“”是选择两个数中较大的一个.当时，，此时函数为增函数，故.当时，，此时函数为增函数，故.故函数的最大值为.因此选C.【点睛】本小题主要考查新定义运算的理解，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了一次函数和幂函数的单调性.对于新定义运算的题目，关键的突破口在于理解新定义的运算.理解新定义运算后，观察的表达式，有两个关键元素和，所以对给定的定义域，要分成两段来讨论，将表示为分段函数的形式，再来求最大值.12.已知双曲线与函数的图像交于点.若函数在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设，∴切线的斜率为，又∵在点处的切线过双曲线左焦点，∴，解得，∴，因此，，故双曲线的离心率是，故选A．考点：双曲线离心率的计算．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量，满足约束条件则的最大值是__________．【答案】11【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2y-x表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【详解】变量，满足约束条件在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在△ABC中满足z=2y-x的最大值是点C，代入得最大值等于11．故填：11．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14.若，则__________．【答案】【解析】15.已知函数，，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】判断出函数为奇函数，并且导数为正数，为递增函数，利用奇偶性和单调性化简题目所给的不等式，由此求得的取值范围.【详解】由于，故函数为奇函数，由于故函数为上的增函数.由得，故.故的取值范围是.【点睛】本小题考查函数的奇偶性，考查利用导数求函数的单调性，考查抽象不等式的解法.对于有关函数的题目，首先想到的是函数的性质，如单调性、奇偶性和周期性等等.对于抽象函数的不等式，往往要结合函数的单调性来求解.利用导数可以判断出函数的单调性.属于中档题.16.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，.若，则的面积的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】根据抛物线焦点的坐标求得的值.联立直线的方程和抛物线的方程，消去得到关于的一元二次方程，这个方程的判别式大于零，利用韦达定理求得弦长的表达式，利用点到直线距离公式求得到直线的距离，由此求得三角形面积的表达式，在利用导数求得面积的最大值.【详解】由于抛物线的焦点为，故，抛物线方程为，联立得，.由于直线和抛物线有两个交点，故判别式，解得.由弦长公式得.焦点到直线的距离为.故三角形的面积为，由于，故上式可化为.令，，故当时，函数递增，当时，函数递减，故当时取得最大值，此时=. 【点睛】本小题主要考查抛物线的标准方程，考查直线和抛物线的位置关系，考查与抛物线有关的三角形的面积公式.由于抛物线的参数只有一个，故只要一个条件就可以求得的值.直线和抛物线形成的弦长公式可以利用韦达定理计算出来.求得面积的表达式后，由于表达式是高次的，故利用导数求得它的最大值. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.在数列中，，．（1）求的通项公式；（2）数列是等差数列，为前项和，若，，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）已知，由等比数列的定义可知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则的通项公式易求；（2）由（1）得：，由此求得公差，代入等差数列前公式计算即可.【详解】（1）因为所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以.（2）由（1）得：，则，，所以 .【点睛】本题考查等差数列，等比数列的基本量计算，属基础题.18.为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6. （1）请将上面的列联表补充完整；（2）能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明理由.附：【答案】（1）见解析；（2）在犯错误率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关.【解析】【分析】（1）根据分层抽样比计算出全班喜欢体育运动的人数和不喜欢体育运动的人数，可将列联表补充完整；（2）根据公式计算K2，对照临界值表作结论．【详解】（1）设喜好体育运动人数为，则 .所以列联表补充如下：（2）因为所以可以在犯错误率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关.【点睛】本题考查分层抽样的统计原理，独立性检验的运用，考查学生分析解决问题的能力，是基础题．19.如图，三棱柱中，平面，为正三角形，是边的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，根据面面垂直的性质定理可以得到平面平面.（2）以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为三棱柱中平面，所以平面，又平面，所以平面平面因为为正三角形，为的中点，所以，又平面平面，所以平面，又平面所以平面平面.（2）解：以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，设平面的法向量则即令，则得同理可求得平面的法向量设二面角的大小为，所以.【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理，考查利用空间向量的方法计算二面角的余弦值，属于中档题.20.已知椭圆的焦点，，过点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，并且，椭圆上不同的两点，满足条件：，，成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）求弦中点的横坐标.【答案】（1）；（2）4【解析】【分析】（1）利用椭圆的焦点坐标得到，利用椭圆的定义得到，利用求得，由此求得椭圆的方程.（2）利用，，成等差数列列出方程，将的坐标代入，可求得的值，由此求得中点的横坐标.【详解】（1）由题意可知.所以，又，所以，所以椭圆方程为：.（2）由点在椭圆上，得.由，，成等差数列，得①点在椭圆上，得所以②同理可得③将②③代入①式，得：所以设中点坐标为，则横坐标：.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，还考查了等差中项的性质.属于中档题.21.已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）设函数，求证：.【答案】（1）在单调递增；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）当时，利用的二阶导数，求得函数的单调区间.（2）先求得的表达式，化简得到.将要证明的不等式的左边利用倒序相乘的方法，证得不等式成立.【详解】（1）当时，（），令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增.所以所以在单调递增.（2）证明：，当时，所以由此得故（）【点睛】本小题考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，要有一定分析问题和运算的能力，属于难题.22.[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．详解：（1）曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0) 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.23.设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．详解：（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2019年数学高考第一次模拟试题(含答案)
2019年数学高考第一次模拟试题(含答案)一、选择题1．函数ln ||()xx f x e =的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．2．若43i z =+，则zz=（ ） A ．1B ．1-C ．4355i + D ．4355i - 3．设向量a ，b 满足2a =，||||3b a b =+=，则2a b +=（ ） A ．6B ．32C ．10D ．42 4．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A 、B )且PA ＝AC ，则二面角P －BC －A 的大小为( )A ．60︒B ．30C ．45︒D ．15︒6．已知π,4αβ+=则(1tan )(1tan )αβ++的值是（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．47．在“近似替代”中，函数()f x 在区间1[,]i i x x +上的近似值（ ） A ．只能是左端点的函数值()i f xB ．只能是右端点的函数值1()i f x +C ．可以是该区间内的任一函数值()(i i fξξ∈1[,]i i x x +）D ．以上答案均正确8．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +> C ．()()22112a b -+-<D ．228a b +>9．函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图像如图所示，则函数y ()f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．10．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220B ．2755C ．2125D ．2722011．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．012．sin 47sin17cos30cos17-A ．32-B ．12-C ．12D ．32二、填空题13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________ m.14．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ． 15．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．16．i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 . 17．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则ABC 的面积为______．19．已知1OA =，3OB =0OA OB •=，点C 在AOB ∠内，且AOC 30∠=，设OC mOA nOB =+，(,)m n R ∈，则mn=__________． 20．已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ______ .三、解答题21．已知曲线C ：（t 为参数）， C ：（为参数）．（1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 上的点P 对应的参数为，Q 为C 上的动点，求中点到直线（t 为参数）距离的最小值．22．设()34f x x x =-+-.（Ⅰ）求函数()2()g x f x =-的定义域；（Ⅱ）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.23．已知A 为圆22:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足2.BP BA =（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设Q 为直线:3l x =上一点，O 为坐标原点，且OP OQ ⊥，求POQ ∆面积的最小值.24．如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2ADC π∠=，122AB AD CD ===，6PD PB ==，PD BC ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3π？若存在，求CMCP的值；若不存在，说明理由． 25．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>62个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为22 （1）求椭圆的方程；（2）如图，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交与,A B 两点，以线段AB 为直径的圆截直线1x =5，求直线l 的方程．26．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】由函数解析式代值进行排除即可. 【详解】 解：由()xln x f x =e，得()f 1=0，()f 1=0-又()1f e =0e e >，()1f e =0ee --> 结合选项中图像，可直接排除B ，C ，D 故选A 【点睛】本题考查了函数图像的识别，常采用代值排除法.2．D解析：D 【解析】 【详解】由题意可得 ：5z ==，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.3．D解析：D 【解析】 【分析】3=，求得2a b ⋅=-，再根据向量模的运算，即可求解． 【详解】∵向量a ，b 满足2a =，3b a b =+=3=，解得2a b ⋅=-．则22224424a b a b a b +=++⋅=+．故选D ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意可知34xi y i -=+，所以有3{4y x =-=，故所给的复数的模该为5，故选D.考点：复数相等，复数的模.5．C解析：C 【解析】由条件得：PA ⊥BC ，AC ⊥BC 又PA ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面P AC ，∴∠PCA 为二面角P －BC －A 的平面角．在Rt △P AC 中，由P A ＝AC 得∠PCA ＝45°，故选C ．点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面.6．C解析：C 【解析】 【分析】由4παβ+=，得到1tanαβ+=（），利用两角和的正切函数公式化简1tan αβ+=（），即可得到所求式子的值． 【详解】 由由4παβ+=，得到1tanαβ+=（）， 所以11tan tan tantan tan αβαβαβ++==-（） ，即1tan tan tan tan αβαβ+=-，则1112tan tan tan tan tan tan αβαβαβ++=+++=（）（） ． 故选C ． 【点睛】本题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题.7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】根据近似替代的定义，近似值可以是该区间内的任一函数值()(i i f ξξ∈ []1,i i x x +），故选C ．8．C解析：C 【解析】 【分析】根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，33log log 222+>，即可判断出结果．【详解】 ∵236a b ==；∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；()()()()2322223211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；∵()()()22232223log log 2log 2323log 2a b =+++++232l 23og log 82>+=⋅，故D 正确故C ． 【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：a b +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题9．D解析：D 【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．10．D解析：D 【解析】 【分析】旧球个数x=4即取出一个新球，两个旧球，代入公式即可求解． 【详解】因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数为x=4，即旧球增加一个，所以取出的三个球中必有一个新球，两个旧球，所以129331227(4)220C C P X C ===，故选D ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，需认真分析P(X=4)的意义，属基础题．11．C解析：C 【解析】分析：连结MN ，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：如图所示，连结MN ，由2,2BM MA CN NA == 可知点,M N 分别为线段,AB AC 上靠近点A 的三等分点， 则()33BC MN ON OM ==-， 由题意可知：2211OM ==，12cos1201OM ON ⋅=⨯⨯=-，结合数量积的运算法则可得：()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-.本题选择C 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．12．C解析：C 【解析】 【分析】由()sin 473017sin θ=+，利用两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数，化简即可. 【详解】0000sin 47sin17cos30cos17-sin()sin cos cos 1730173017︒+︒-︒︒=︒ sin17cos30cos17sin 30sin17cos30cos17︒︒+︒︒-︒︒=︒1302sin =︒=．故选C ．【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则： （1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．二、填空题13．1006【解析】试题分析:由题设可知在中由此可得由正弦定理可得解之得又因为所以应填1006考点：正弦定理及运用 解析：【解析】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.考点：正弦定理及运用．14．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：12【解析】试题分析：依题意有AB AC k k =，即531522m --=+，解得12m =. 考点：三点共线．15．1和3【解析】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加解析：1和3. 【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”； 所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾； 所以甲的卡片上的数字是1和3.16．【解析】试题分析：由复数的运算可知是纯虚数则其实部必为零即所以考点：复数的运算 解析：2-【解析】试题分析：由复数的运算可知，()()12i a i -+是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.考点：复数的运算.17．8【解析】分析：先判断是否成立若成立再计算若不成立结束循环输出结果详解：由伪代码可得因为所以结束循环输出点睛：本题考查伪代码考查考生的读图能力难度较小解析：8 【解析】分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S =点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.18．【解析】【分析】由已知利用正弦定理二倍角的正弦函数公式可求的值根据同角三角函数基本关系式可求的值利用二倍角公式可求的值根据两角和的正弦函数公式可求的值即可利用三角形的面积公式计算得解【详解】由正弦定解析：16【解析】 【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用二倍角公式可求sin C ，cos C 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解． 【详解】2b =，3c =，2C B =，∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得：23sin sin B C=，可得：233sin sin22sin cos B B B B==，∴可得：3cos 4B =，可得：sin 4B ==，∴可得：sin sin22sin cos C B B B ===，21cos cos22cos 18C B B ==-=，()13sin sin sin cos cos sin 84A B C B C B C ∴=+=+=+=，11sin 2322S bc A ∴==⨯⨯=．故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.19．3【解析】因为所以从而有因为所以化简可得整理可得因为点在内所以所以则解析：3 【解析】因为30AOC ∠=，所以3cos cos30OC OA AOC OC OA⋅∠===⋅，从而有222223||2m OA n OB mn OA OB OA=++⋅⋅⋅．因为1,3,0OA OB OA OB ==⋅=，所以2233m n=+，化简可得222334m m n =+，整理可得229m n =．因为点C 在AOB ∠内，所以0,0m n >>，所以3m n =，则3mn= 20．【解析】【分析】【详解】∵平面向量与的夹角为∴∴故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)常用来求向量的模 解析：23【解析】 【分析】 【详解】∵平面向量a 与b 的夹角为060，21a b ==，∴021cos601a b ⋅=⨯⨯=. ∴2222(2)4(2)44423a b a b a a b b +=+=+⋅+=++=故答案为23.点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式． (2) a a a =⋅ 常用来求向量的模．三、解答题21．（Ⅰ）为圆心是（，半径是1的圆.为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. （Ⅱ）【解析】 【分析】 【详解】 （1）为圆心是，半径是1的圆，为中心是坐标原点，焦点在轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. （2）当时，，故的普通方程为，到的距离所以当时，取得最小值.考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.22．（Ⅰ）59[,]22；（Ⅱ）1(,2[,)2-∞-⋃+∞）．【解析】【分析】【详解】试题分析：（Ⅰ）先用零点分段法将()f x表示分段函数的形式，然后再求定义域；（Ⅱ）利用函数图象求解．试题解析：（Ⅰ）72,3()34{1,3427,4x xf x x x xx x-<=-+-=->，它与直线2y=交点的横坐标为52和92，∴不等式()2()g x f x=-的定义域为59[,]22．（Ⅱ）函数1y ax=-的图象是过点(0,1)-的直线，结合图象可知，a取值范围为1(,2)[,)2-∞-⋃+∞．考点：1、分段函数；2、函数的定义域；3、函数的图象．23．(1)2214xy+= (2)3.2【解析】【分析】（1）设出A、P点坐标，用P点坐标表示A点坐标，然后代入圆方程，从而求出P点的轨迹；（2）设出P 点坐标，根据斜率存在与否进行分类讨论，当斜率不存在时，求出POQ ∆面积的值，当斜率存在时，利用点P 坐标表示POQ ∆的面积，减元后再利用函数单调性求出最值，最后总结出最值. 【详解】解：（1） 设(),P x y ， 由题意得：()()1,,0,A x y B y ， 由2BP BA =，可得点A 是BP 的中点， 故102x x +=， 所以12x x =， 又因为点A 在圆上，所以得2214x y +=，故动点P 的轨迹方程为2214x y +=.（2）设()11,P x y ，则10y ≠，且221114x y +=，当10x =时，11y =±，此时()33,0,2POQ Q S ∆=； 当10x ≠时，11,OP y k x = 因为OP OQ ⊥, 即11,OQ x k y =-故1133,x Q y ⎛⎫-⎪⎝⎭，OP ∴=OQ ==，221111322POQx y S OP OQ y ∆+==⋅①， 221114x y +=代入①2111143334322POQy S y y y ∆⎛⎫-=⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭()101y <≤设()()4301f x x x x=-<≤ 因为()24f x 30x'=--<恒成立， ()f x ∴在(]0,1上是减函数， 当11y =时有最小值，即32POQ S ∆≥, 综上：POQ S ∆的最小值为3.2【点睛】本题考查了点的轨迹方程、椭圆的性质等知识，求解几何图形的长度、面积等的最值时，常见解法是设出变量，用变量表示出几何图形的长度、面积等，减元后借助函数来研究其最值.24．（1）见证明；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算BC ，根据勾股定理可得BC ⊥BD ，结合BC ⊥PD 得出BC ⊥平面PBD ，于是平面PBD ⊥平面PBC ；（2）建立空间坐标系，设CMCP=λ，计算平面ABM 和平面PBD 的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于12，解方程得出λ的值,即可得解． 【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为直角梯形， 且//AB DC , 2AB AD ==,2ADC π∠=,所以BD = 又因为4,4CD BDC π=∠=．根据余弦定理得BC =所以222CD BD BC =+，故BC BD ⊥.又因为BC PD ⊥, PD BD D ⋂=,且BD ,PD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ， 又因为BC ⊂平面PBC ，所以PBC PBD ⊥平面平面 （2）由（1）得平面ABCD ⊥平面PBD , 设E 为BD 的中点，连结PE，因为PB PD ==,所以PE BD ⊥,2PE =,又平面ABCD ⊥平面PBD ，平面ABCD平面PBD BD =，PE ⊥平面ABCD .如图，以A 为原点分别以AD ，AB 和垂直平面ABCD 的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,4,0)C ，(2,0,0)D ，(1,1,2)P ， 假设存在(,,)M a b c 满足要求，设(01)CMCPλλ=≤≤，即CM CP λ=， 所以(2-,4-3,2)λλλM ,易得平面PBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =.设(,,)n x y z =为平面ABM 的一个法向量，(0,2,0)AB =， =(2-,4-3,2)λλλAM由00n AB n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得20(2)(43)20y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩，不妨取(2,0,2)n λλ=-.因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π22412224(2)λλλ=+-，解得2,23λλ==-，（不合题意舍去）. 故存在M 点满足条件，且23CM CP =. 【点睛】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做．25．（1）22162x y +=；（2）2y x =-或2y x =-+.【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积建立方程，结合a 2＝b 2+c 2，即可求椭圆C 的方程；（2）联立直线方程与椭圆联立，利用韦达定理表示出12x x +及12x x ⋅，结合弦的长度为5即可求斜率k 的值，从而求得直线方程．【详解】解：（1）由椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为3，得c =，b =.由2122S c b =⋅⋅==a =b =22162x y +=． （2）解：设直线():2AB l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,M x y ．联立方程()222360y k x x y ⎧=-⎨+-=⎩得()222213121260k x k x k +-+-=， 2212122212126,1313k k x x x x k k -+==++.()2122113k AB x x k +=-=+． 所以202613k x k=+， 点M 到直线1x =的距离为22022316111313k k d x k k-=-=-=++． 由以线段AB 为直径的圆截直线1x =22222AB d ⎛⎛⎫-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以()22222221311313k k k k ⎤+⎛⎫-⎥-= ⎪++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 解得1k =±，所以直线l 的方程为2y x =-或2y x =-+．【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，整理出12x x +及12x x ⋅，代入弦长公式AB =，考查学生的计算能力，属于中档题． 26．（1）222x y +=；（2）见解析. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证0OQ PF ⋅=，先设 P （m ，n ），则需证330+-=m tn ，即根据条件1OP PQ ⋅=可得2231--+-=m m tn n ，而222m n +=，代入即得330+-=m tn .试题解析：解：（1）设P （x ，y ），M （00,x y ）,则N （0,0x ），00NP (x ,),MN 0,x y y =-=（）由NP 2NM =得000x y y ==，. 因为M （00,x y ）在C 上，所以22x 122y +=.因此点P 的轨迹为222x y +=.由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则OQ 3t PF 1m n OQ PF 33m tn =-=---⋅=+-，，，，，OP m n PQ 3m t n ==---，，（，）. 由OP PQ 1⋅=得-3m-2m +tn-2n =1，又由（1）知222m n +=，故3+3m-tn=0. 所以OQ PF 0⋅=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.。
四川省南充市2019届高三上学期第一次高考适应性考试数学(理)试题 (2)
【题文】
选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα
=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率.
【答案】
解：（1）曲线C 的直角坐标方程为：
22
1416
x y += 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为：
tan 2tan y x αα=⋅+-，
当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为：
1x =
（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，得
22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=①
因为曲线C 截直线l 所得线段中点(1,2)在C 内，所以①有两解1t ，2t ，则120t t += 又1224(2cos sin )13cos t t ααα
++=+故2cos sin 0αα+= 于是直线l 的斜率tan 2k α==-.
【解析】
【标题】四川省南充市2019届高三上学期第一次高考适应性考试数学（理）试题
【结束】。
南充市高第一次高考适应性考试附答案
南充市高2019届第一次高考适应性考试数学试题（理科）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1,2}A =-，2{|}B x x x ==，则AB =A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．{0,1,2} 2.2(1)i +=A ．2iB ．2i -C ．2D ．-2 3.下列命题中的假命题是A ．x R ∃∈，lg 0x =B ．x R ∃∈，tan 1x =C ．x R ∀∈，20x >D ． x R ∀∈，30x> 4.α是第四象限角，4tan 3α=-，则sin α= A ．45 B ．45- C. 35 D ．35-5.在231()n x x-的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是A ．4B ．5 C. 6 D ．76.点M ，N 是圆22240x y kx y +++-=上的不同两点，且点M ，N 关于直线10x y -+=对称，则该圆的半径等于A ．．37.已知函数()lg f x x =，则函数()|(1)|g x f x =-的图像大致是A ．B ． C. D ．8.设离散型随机变量X 可能的取值为1，2，3，4，()P X k ak b ==+，又X 的数学期望为()3E X =，则a b += A ．110 B ．0 C.110- D ．15 9.将边长为2的正ABC ∆沿高AD 折成直二面角B AD C --，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积是 A ．20π B ．10π C.203π D ．5π10.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，30B =︒，ABC ∆的面积为32，则b = A．1D．2+11.在实数的原有运算法则（“⋅” “-”仍为通常的乘法和减法）中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，则当[2,2]x ∈-时，函数()(1)(2)f x x x x =⊕⋅-⊕的最大值等于A ．-1B ．1 C. 6 D ．1212.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数0)y x ≥的图像交于点P .若函数y =P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是A ．32 BD第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量x ，y 满足约束条件210,32230,10,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩则2z y x =-的最大值是 ．14.若1sin 3α=，则cos 2α= ．15.已知函数()sin 2f x x x =+，(1)(2)0f a f a -+<，则实数a 的取值范围是 ．16.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，直线:l y x m =+与抛物线交于不同的两点A ，B .若01m ≤<，则FAB ∆的面积的最大值是 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.在数列{}n a 中，11a =，13n n a a += （1）求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 是等差数列，n S 为{}n b 前n 项和，若1123b a a a =++，33b a =，求n S .18.为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6. （1）请将上面的列联表补充完整；（2）能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明理由.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，ABC ∆为正三角形，D 是BC 边的中点，11AA AB ==.（1）求证：平面1ADB ⊥平面11BB C C ； （2）求二面角1B AB D --的余弦值.20.已知椭圆的焦点1(4,0)F -，2(4,0)F ，过点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，并且12||||10F B F B +=，椭圆上不同的两点11(,)A x y ，22(,)C x y 满足条件：2||F A ，2||F B ，2||F C 成等差数列.（1）求椭圆的方程； （2）求弦AC 中点的横坐标.21.已知函数2()12xx f x e ax =---.（1）若12a =，求()f x 的单调区间； （2）设函数2()()()2F x f x f x x =+-++，求证：(1)(2)()F F F n ⋅⋅⋅12(e2)n n +>+*()n N ∈.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率. 23.选修4-5：不等式选讲设函数()5|||2|f x x a x =-+--.（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CACBB 6-10: DAADB 11、12：CD二、填空题13. 11 14.79 15. (,1)-∞- 三、解答题17.解：（1）因为11a =，13n n a a +=所以数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列， 所以13n n a -=.（2）由（1）得：112313913b a a a =++=++=，39b =， 则3124b b d -==-，2d =-， 所以(1)13(2)2n n n S n -=+⨯- 214n n =-+.18.解：（1）设喜好体育运动人数为x ，则65010x =. 所以30x = 列联表补充如下：（2）因为2250(2015105)30202525k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯258.333 6.6353==> 所以可以在犯错误率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关. 19.（1）证明：因为三棱柱中1AA ⊥平面ABC ， 所以1BB ⊥平面ABC ，又1BB ⊂平面11BBC C ， 所以平面11BB C C ⊥平面ABC因为ABC ∆为正三角形，D为BC 的中点，所以AD BC ⊥，又平面11BB C C ⋂平面ABC BC =，所以AD ⊥平面11BB C C ，又AD ⊂平面1ADB 所以平面1AB D ⊥平面11BB C C .（2）解：以D 为坐标原点，DC 为x 轴，DA 为y 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，1A ，1(,0,0)2C，A ，11(,0,1)2B -所以(0,2AD =，11(,0,1)2B D =-设平面1ADB 的法向量1(,,)n x y z =则12100n AD n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩(,,)(0,,0)021(,,)(,0,1)02x y z x y z ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩即02102y x z =⎪⎨⎪-=⎪⎩ 令1z =，则2x =得1(2,0,1)n =同理可求得平面1AB B 的法向量2(3,1,0)n =- 设二面角1B AB D --的大小为θ， 所以121215cos ||||n n n n θ⋅==⋅20.解：（1）由题意可知122||||10a F BF B =+=. 所以5a =，又4c =， 所以3b ==， 所以椭圆方程为：221259x y +=. （2）由点(4,)B B y 在椭圆上，得29||||5B F B y ==. 由2||F A ，2||F B ，2||F C 成等差数列，得925=⨯①点11(,)A x y 在椭圆22111259x y +=上， 得12219(25)25y x =-==11(254)5x =-② 21(254)5x =-③ 将②③代入①式，得：121118(254)(254)555x x -+-= 所以128x x +=设AC 中点坐标为00(,)x y ，则横坐标：12042x x x +==. 21.解：（1）当12a =时，21()122xx f x e x =---（x R ∈）1()2x f x e x '=--，令()()g x f x '=，则()1x g x e '=-，当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<，()f x '单调递减， 当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()f x '单调递增. 所以1()(0)02f x f ''≥=> 所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增.（2）证明：()xxF x e e -=+，当12x x ≠时，121212()12()()x x x x x x F x F x e e e +-+-⋅=++12121212()22x x x x x x x x e e e e -++-+++>++>+所以1(1)()2n F F n e+⋅>+12(1)2n F F n e +⋅->+1()(1)2n F n F e +⋅>+由此得2[(1)(2)()]F F F n ⋅[(1)()][(2)(1)]F F n F F n =⋅⋅⋅-⋅⋅1[()(1)](2)n n F n F e +⋅>+故12(1)(2)()(2)n n F F F n e+⋅⋅⋅>+（*n N ∈）22.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为：221416x y += 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为：tan 2tan y x αα=⋅+-，当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为：1x =（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，得22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=①因为曲线C 截直线l 所得线段中点(1,2)在C 内，所以①有两解1t ，2t ，则120t t += 又1224(2cos sin )13cos t t ααα++=+故2cos sin 0αα+=于是直线l 的斜率tan 2k α==-.23.解：（1）当1a =时，24,1,()2,12,26,2,x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤（2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥而|||2||2|x a x a ++-≥+ 且当2x =时，等号成立，故()1f x ≤等价于|2|4a +≥所以6a ≤-或2a ≥所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-⋃+∞.。
2019年四川省南充市高考数学一诊试卷(理科)与解析
2019年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2＝x}，则A∩B＝（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2} 2．（5分）（1+i）2＝（）A．2i B．﹣2i C．2D．﹣23．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，lgx＝0B．∃x∈R，tan x＝1C．∀x∈R，x2＞0D．∀x∈R，3x＞04．（5分）α是第四象限角，tanα＝﹣，则sinα＝（）A．B．C．D．5．（5分）在（x2）n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是（）A．4B．5C．6D．76．（5分）点M，N是圆x2+y2+kx+2y﹣4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x﹣y+1＝0对称，则该圆的半径等于（）A．2B．C．3D．17．（5分）已知函数f（x）＝lgx，则函数g（x）＝|f（1﹣x）|的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，4，P（X＝k）＝ak+b，又X的数学期望为E（X）＝3，则a﹣b（）A．B．0C．D．9．（5分）将边长为2的正△ABC沿高AD折成直二面角B﹣AD﹣C，则三棱锥B﹣ACD的外接球的表面积是（）A．20πB．10πC．πD．5π10．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，B ＝30°，△ABC的面积为，则b等于（）A．B．C．D．11．（5分）在实数的原有运算法则（“•”和“﹣”仍为通常的乘法和减法）中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2．则当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）＝（1⊕x）•x﹣（2⊕x）的最大值等于（）A．﹣1B．1C．6D．1212．（5分）已知双曲线与函数的图象交于点P，若函数在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣1，0），则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝2y﹣x的最大值是．14．（5分）若，则cos2α＝．15．（5分）已知f（x）＝sin x+2x，x∈R，且f（1﹣a）+f（2a）＜0，则a的取值范围是．16．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点A，B，若0≤m＜1，则△F AB的面积的最大值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（12分）在数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝3a n．（1）求{a n}的通项公式；（2）数列{b n}是等差数列，S n为{b n}前n项和，若b1＝a1+a2+a3，b3＝a3，求S n．18．（12分）为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜好体育运动不喜好体育运动合计男生5女生10合计50已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由．（参考公式：K2＝（n＝a+b+c+d）独立性检验临界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0250.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，△ABC为正三角形，D是BC边的中点，AA1＝AB＝1．（1）求证：平面ADB1⊥平面BB1C1C；（2）求二面角B﹣AB1﹣D的余弦值．20．（12分）已知某椭圆的焦点是F1（﹣4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|＝10，椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣1﹣．（1）若a＝，求f（x）的单调区间；（2）设函数F（x）＝f（x）+f（﹣x）+2+x2，求证：F（1）•F（2）…F（n）＞（e n+1+2）（n∈N*）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．23．设函数f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．2019年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2＝x}＝{0，1}，∴A∩B＝{0，1}．故选：C．2．【解答】解：（1+i）2＝1+2i+i2＝2i．故选：A．3．【解答】解：当x＝1时，lgx＝0，故A正确；当x＝时，tan x＝1，故B正确；∀x∈R，x2≥0，故C错误；由指数函数的值域可得，3x＞0恒成立，故D正确．故选：C．4．【解答】解：∵α是第四象限角，，∴cosα＝＝＝，∴sinα＝﹣＝﹣＝﹣．故选：B．5．【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1＝•（x2）n﹣r•（﹣）r ＝•（﹣1）r•x2n﹣5r，r＝0，1，2，…，n，由题意可得2n﹣5r＝0，即n＝，由n正整数，可得r＝2时，n取得最小值5．故选：B．6．【解答】解：圆x2+y2+kx+2y﹣4＝0的圆心坐标为（），因为点M，N在圆x2+y2+kx+2y﹣4＝0上，且点M，N关于直线l：x﹣y+1＝0对称，所以直线l：x﹣y+1＝0经过圆心，所以，k＝4．所以圆的方程为：x2+y2+3x+2y﹣4＝0，圆的半径为：＝3．故选：C．7．【解答】解：函数y＝lg（1﹣x）的定义域为x＜1；恒过（0，0）单调递减；函数g（x）＝|f（1﹣x）|的图象通过y＝lg（1﹣x）的图象把x轴下部分翻折到x的上面，故选：A．8．【解答】解：设离散性随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4，P（ξ＝k）＝ak+b（k＝1，2，3，4），∴（a+b）+（2a+b）+（3a+b）+（4a+b）＝1，即10a+4b＝1，又ξ的数学期望Eξ＝3，则（a+b）+2（2a+b）+3（3a+b）+4（4a+b）＝3，即30a+10b＝3，a＝，b＝0，∴a﹣b＝．故选：A．9．【解答】解：依题意可得，将三棱锥B﹣ACD补形成以DA、DA、DC为邻边的长方体，它们的外接球是同一个球，设球的半径为R，则2R＝＝＝，∴R＝，所以球的表面积为4πR2＝5π，故选：D．10．【解答】解：由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣2ac﹣2ac cos B①，又S△ABC＝ac sin B＝ac＝，∴ac＝6，②∵a、b、c成等差数列，∴a+c＝2b，③，将②③代入①得b2＝4b2﹣12﹣6，化简整理得b2＝4+2，解得b＝1+．故选：A．11．【解答】解：当﹣2≤x≤1时，∵当a≥b时，a⊕b＝a，∴1⊕x＝1，2⊕x＝2∴（1⊕x）x﹣（2⊕x）＝x﹣2，∴当﹣2≤x≤1时，函数f（x）＝（1⊕x）•x﹣（2⊕x）的最大值等于﹣1；当1＜x≤2时，∵当a＜b时，a⊕b＝b2，∴（1⊕x）x﹣（2⊕x）＝x2•x﹣（2⊕x）＝x3﹣（2⊕x）＝x3﹣2，∴当1＜x≤2时，此函数当x＝2时有最大值6．综上知，函数f（x）＝（1⊕x）•x﹣（2⊕x）的最大值等于6故选：C．12．【解答】解：设P（m，），函数y＝的导数为：y′＝，∴切线的斜率为，又∵在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣1，0），∴＝，解得m＝1，∴P（1，1），双曲线的左焦点F1（﹣1，0），则双曲线的右焦点F2（1，0），既c＝1．则|PF1|﹣|PF2|＝2a，即＝2a解得a＝所以离心率e＝＝，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分所示；由z＝2y﹣x，得y＝x+z，平移直线y＝x+z，由图象可知：当直线y＝x+z经过点B时，直线y＝x+z的截距最大，此时z最大．由，解得B（3，7），此时z的最大值为z＝2×7﹣3＝11．故答案为：11．14．【解答】解：因为sinα＝，所以cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝．故答案为：．15．【解答】解：因为f（x）＝sin x+2x，x∈R，而f（﹣x）＝sin（﹣x）+2（﹣x）＝﹣sin x ﹣2x＝﹣f（x），所以函数的奇函数；又f′（x）＝cos x+2＞0，所以函数是增函数，所以f（1﹣a）+f（2a）＜0，化为f（1﹣a）＜﹣f（2a）＝f（﹣2a），所以1﹣a＜﹣2a，解得a＜﹣1．故答案为：a＜﹣1．16．【解答】解：∵抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），∴抛物线的方程为y2＝4x由直线l：y＝x+m与抛物线方程，联立得x2+（2m﹣4）x+m2＝0，由直线l与抛物线E有两个不同交点，得△＝（2m﹣4）2﹣4m2＝16﹣16m＞0在0≤m＜1时恒成立；设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝4﹣2m，x1x2＝m2；|AB|＝|x1﹣x2|＝4•又∵点F（1，0）到直线l：y＝x+m的距离为d＝，∴△F AB的面积为S＝d•|AB|＝2＝•≤•＝当且仅当2﹣2m＝1+m，即m＝时取等号，即△F AB的面积的最大值为．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．【解答】解：（1）因为数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝3a n．所以数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，所以．（2）由（1）得：b1＝a1+a2+a3＝1+3+9＝13，解得b3＝9，则b3﹣b1＝2d＝﹣4，d＝﹣2，所以＝﹣n2+14n．18．【解答】解：（1）设喜好体育运动的人数为x人，由已知得解得x＝30，…（2分）列联表补充如下：喜好体育运动不喜好体育运动合计男生20525女生101525合计302050…（7分）（2）∵K2＝≈8.333＞6.635…（10分）∴可以在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关…（12分）19．【解答】证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，△ABC为正三角形，D是BC边的中点，∴AD⊥BC，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AD，∵BC∩BB1＝B，∴AD⊥平面BB1C1C，∵AD⊂平面ADB1，∴平面ADB1⊥平面BB1C1C．解：（2）以A为原点，AB为x轴，在平面ABC内过A作AB的垂线为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AA1＝AB＝1，∴B（1，0，0），A（0，0，0），B1（1，0，1），D（，，0），＝（1，0，1），＝（，0），设平面AB1D的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣，﹣1），平面ABB1的法向量＝（0，1，0），设二面角B﹣AB1﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角B﹣AB1﹣D的余弦值为．20．【解答】解：（1）由椭圆定义及条件，可得2a＝|F1B|+|F2B|＝10，得a＝5．又∵c＝4，∴b＝＝3．因此可得该椭圆方程为．（2）∵点B（4，y B）在椭圆上，∴将x＝4，代入椭圆方程求得y B＝，可得|F2B|＝|y B|＝．∵椭圆右准线方程为x＝，即x＝，离心率e＝＝．根据圆锥曲线统一定义，得|F2A|＝（﹣x1），|F2C|＝（﹣x2）．由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得2|F2B|＝|F2A|+|F2C|即（﹣x1）+（﹣x2）＝2×，由此解得x1+x2＝8．设弦AC的中点为P（x0，y0），可得中点横坐标为则x0＝（x1+x2）＝4．21．【解答】（1）解：a＝时，f（x）＝e x﹣x﹣1﹣，f′（x）＝e x﹣﹣x，f″（x）＝e x﹣1，可知：函数f′（x）在x＝0时取得极小值即最小值，∴f′（x）≥f′（0）＝＞0．∴函数f（x）在R上单调递增．（2）证明：∵F（1）F（n）＝（e+e﹣1）（e n+e﹣n）＝e n+1+e1﹣n+e n﹣1+e﹣1﹣n＞e n+1+2，F（2）F（n﹣2）＝（e2+e﹣2）（e n﹣1+e1﹣n）＞e n+1+2，……，F（i）F（n﹣i+1）＝（e i+e﹣i）（e n﹣i+1+e i﹣n﹣1）＝e n+1+e2i﹣n﹣1+e n﹣2i+1+e﹣n﹣1＞e n+1+2，（1≤i≤n）．∴[F（1）F（2）•……F（n）]2＞（e n+1+2）n，∴F（1）•F（2）…F（n）＞（e n+1+2）（n∈N*）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：x sinα﹣y cosα+2cosα﹣sinα＝0．（2）把直线的参数方程（t为参数），代入椭圆的方程得到：+＝1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8＝0，则：，（由于t1和t2为A、B对应的参数）由于（1，2）为中点坐标，所以利用中点坐标公式，则：8cosα+4sinα＝0，解得：tanα＝﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．23．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝5﹣|x+1|﹣|x﹣2|＝．当x≤﹣1时，f（x）＝2x+4≥0，解得﹣2≤x≤﹣1，当﹣1＜x＜2时，f（x）＝2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，当x≥2时，f（x）＝﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，（2）∵f（x）≤1，∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，∴|x+a|+|x﹣2|≥4，∴|x+a|+|x﹣2|＝|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|＝|a+2|，∴|a+2|≥4，解得a≤﹣6或a≥2，故a的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．免责声明：本文系转载自网络，如有侵犯，请联系我们立即删除.免责声明：本文系转载自网络，如有侵犯，请联系我们立即删除. 免责声明：本文系转载自网络，如有侵犯，请联系我们立即删除. 免责声明：本文系转载自网络，如有侵犯，请联系我们立即删除.。