知识讲解_三角恒等变换综合_基础
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三角恒等变换综合
编稿:丁会敏 审稿:王静伟
【学习目标】
1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
4、能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).
【知识网络】
【要点梳理】
要点一:两角和、差的正、余弦、正切公式 sin()±αβ= ①; cos()±=αβ ②;
tan()±=αβ ③;
要点诠释:
1.公式的适用条件(定义域) :公式①、②对任意实数α,β都成立,这表明①、②是R 上的恒等式;公式③中,∈,且R αβk (k Z)2
±≠
+∈、、π
αβαβπ
2.正向用公式①、②,能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α,β的弦函数;反向用,能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数.公式③正向用是用单角的正切值表示和差角()±αβ的正切值化简.
要点二:二倍角公式
1. 在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中,当T C S ,,时,就可得到二倍角的三角函数公式
222,,S C T ααα:
sin 2α=2()S α;
cos2α=2()C α; tan 2α=2()T α.
要点诠释:
1.在公式22,S C αα中,角α没有限制,但公式2T αα中,只有当)(2
24
Z k k k ∈+≠+
≠ππ
αππ
α和时才成立;
2. 余弦的二倍角公式有三种:ααα22sin cos 2cos -==1cos 22-α=α2sin 21-;解题对应根据不同函数名的需要,函数不同的形式,公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用.
3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式,其它如4α是2α的二倍,
24α
α是的二倍,332
αα是的二倍等等,要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系,才能熟练地应用二倍角公式,这是灵活运用这些公
式的关键.
要点三:二倍角公式的推论
升幂公式:21cos 22cos αα+=, 21cos 22sin αα-= 降幂公式:ααα2sin 2
1
cos sin =
; 22cos 1sin 2α
α-=
; 2
2cos 1cos 2α
α+=
. 要点四:三角恒等变换的基本题型
三角式的化简、求值、证明是三角恒等变换的基本题型: 1.三角函数式的化简
(1)常用方法:①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦,异名化同名,异角化同角;③ 三角公式的逆用等.(2)化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数.
2.三角函数的求值类型有三类
(1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题;
(2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论;
(3)给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角.
3.三角等式的证明
(1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端化“异”为“同”;
(2)三角条件等式的证题思路是通过观察,发现已知条件和待证等式间的关系,采用代入法、消参法或分析法进行证明.
【典型例题】
类型一:正用公式
例1.已知2313sin ,,,cos ,,23232πααππββπ⎛⎫⎛⎫=-
∈=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. (1)求sin 2α的值;
(2)求()cos αβ-的值.
【思路点拨】(1)由题意知,cos α=,然后利用二倍角公式求得sin 2α的值.(2)求得
sin 9
β=-
,然后利用两角差的余弦公式可求解.
【答案】(1(2
【解析】
(1)23sin ,,,32π
ααπ⎛⎫
=-
∈ ⎪
⎝
⎭
Q 得cos α=,
2sin 22sin cos 2339ααα⎛
⎛⎫==⨯-⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭
(2)13cos ,,2,32πββπ⎛⎫
=
∈ ⎪⎝⎭
Q 得sin 3β=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+
=123333⎛⎛⎫-
⨯+-⨯- ⎪ ⎝⎭⎝⎭
举一反三:
【变式1】求值:sin15︒=;sin 75︒= ;cos75︒=
【答案】
444
【解析】sin15sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 454︒=︒-︒=︒︒-︒︒=
,
sin 75sin(3045)sin 30cos 45cos30sin 45︒=︒+︒=︒︒+︒︒=
cos 75cos(3045)cos30cos 45sin 30sin 45︒=︒+︒=︒︒-︒︒=
. 【变式2】已知tan α和tan β是方程2260x x +-=的两个根,求tan()αβ+的值. 【答案】18
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