伸缩变换在椭圆中的应用
椭圆中的仿射变换(伸缩变换)
y2 b2
1交于 M , N
两点，试求| MN
|
解：过右焦点作 MN 的平行线
易知： FM
b2
，
a c cos
yM M x
AF
FN b2 a c cos
N N
M N 2ab2 a2 c2 cos2
作仿射变换
x y
X bY
a
，
椭圆变为圆： X 2 Y 2 a2
直线 lMN 变为： akX bY akm 0
a2 m2 k 2 b2 2ab2 1 k 2
b2k2 b2
a2k2 b2
利用仿射变化解决椭圆问题
x2
椭圆
a2
y2 b2
1,
(a
b
0)
经变换
x y
X b a
Y
后变成圆 X 2
Y2
a2 ，在此变换下有
以下一些性质：
a
○1 点变换后，横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍
b
a
○2 直线变换后仍然是直线，且斜率为原来的 倍
b
○3 平行线经变换后仍平行
○4 区域
D 变换后成为 D ，则面积 SD
a b
SD
○5 两平行线段的比是不变量
○6 线段 PQ 经变换后变为 PQ ，则：| PQ || PQ | cos2 a2 b2 sin 2 来自1.求证：直线 l :
Ax
By C
0 与椭圆
x2 a2
y2 b2
1, (a
b
0) 相切的充要条件是：
(aA)2 (bB)2 C 2
x X
证明：作仿射变换：
直线 lM N 变为： akX bY akc 0
巧用伸缩变换解决椭圆问题
椭圆伸缩变换
椭圆伸缩变换
椭圆伸缩变换是指将一个二维椭圆进行伸缩变换，使得其形状、大小、位置发生改变
的变换。
该变换是图像变换中的一种，可以用于图像处理、计算机视觉、计算机图形学等
领域中。
椭圆的伸缩变换可以分为两种：整体伸缩变换和局部伸缩变换。
整体伸缩变换是将椭圆的长轴和短轴同时进行伸缩，使得椭圆的形状和大小发生改变，但椭圆的位置不变。
该变换可以通过对椭圆的参数（长轴、短轴、中心坐标、旋转角度）
进行线性变换得到。
在计算机视觉和计算机图形学等领域中，椭圆伸缩变换被广泛运用。
它可以用于物体
的形状分析、运动跟踪、目标检测、计算机动画等领域中。
例如，在目标检测中，可以利用椭圆伸缩变换对图像中的目标进行形状和大小的调整，以适应不同的成像条件和角度。
同时，椭圆伸缩变换还可以通过区分光源和物体的伸缩效应，进行对图像的弯曲校正等操作，从而提高图像的质量和可读性。
高考数学深度总结：伸缩变换观点下的椭圆
利用伸缩变换
解决圆锥曲线中的
线性问题
作者：赵呈海
天津市第一〇二中学
指导教师：马萍天津市第一〇二中学
严虹天津市第一〇二中学
纪洪伟天津市第一〇二中学
张倩天津市第一〇二中学
利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题
赵呈海天津市第一〇二中学
摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。
利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。
深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。
关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。
我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。
对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。
但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。
所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。
于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。
这就是解析几何（坐标几何）。
解析几何，高考永恒的重点、难点。
圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。
圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。
利用伸缩变换巧解椭圆问题
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利用伸缩变换巧解椭圆问题
作者：杜盛伙
来源：《中学教学参考·理科版》2012年第01期
伸缩变换是《数学》人教版（A）选修4—4中的内容，是高中数学课程中的新增内容.椭圆在伸缩变换下可变成圆，圆在伸缩变换下可变成椭圆.笔者在文［1］中利用伸缩变换探究了
椭圆有以下三个性质：
性质1 直线仍变成直线，斜率为原来的
性质2 平行于横轴（或在横轴上）的线段仍平行于横轴（或在横轴上）且长度为原来的
1a，平行于纵轴（或在纵轴上）的线段仍平行于纵轴（或在纵轴上）且长度为原来的
性质3 三角形仍变成三角形，面积为原来的
本文将利用伸缩变换巧解椭圆中的一些问题
参考文献
［1］杜盛伙.伸缩变换下椭圆的几个性质及运用［J］.福建中学数学，2010（3）
［2］李建明.圆性质在圆锥曲线中的推广［J］.数学教学，2007（6）
(责任编辑金铃）。
利用伸缩变换解决椭圆中一些线段长度乘积问题
２
４
３
变为圆ꎬ借助圆幂定理从几何角度便利解决ꎬ避免了代数
解法的繁杂计算. 同时ꎬ借助伸缩变换ꎬ还可以将前 ３ 个
例题向一般情形作推广.
相关练习
１. 直线 ｌ:ｘ － ２ｙ ＋ ４ ２ ＝ ０ 与椭圆 Ｃ:
在过点 Ｐ(２ꎬ１) 的直线 ｌꎬｌ 与椭圆 Ｃ 交于不同两点 ＡꎬＢꎬ
满足 ｜ ＰＡ ｜ ｜ ＰＢ ｜ ＝ ｜ ＰＭ ｜ ２ ? 若存在ꎬ求出直线 ｌ 的方程ꎻ
例 １ 已知椭圆 Ｅ:
２
ｘ
＋ ｙ２ ＝ １ꎬ设不过原点 Ｏ 且斜率
４
１
为 的直线 ｌ 与椭圆 Ｅ 交于不同的两点 ＡꎬＢꎬ线段 ＡＢ 的
２
中 点 为 Ｍꎬ 直 线 ＯＭ 与 椭 圆 Ｅ 交 于 Ｃꎬ Ｄꎬ 证 明:
｜ ＭＡ ｜ ｜ ＭＢ ｜ ＝ ｜ ＭＣ ｜ ｜ ＭＤ ｜ .
Ｘ ＝ ｘꎬ
证明 作伸缩变换
设圆 Ｃ′与 Ｘ 轴 的 另 一 交 点 为 Ｂ′ꎬ 由 于 ∠Ｂ′ Ｏ′ － ４ｋ ｜
４ｋ２ ＋ ３
１
ꎬ方程为
２
∠Ｂ′Ｑ′Ｒ′ ＝ ９０°ꎬ从而 Ｂ′ꎬＯ′ꎬＱ′ꎬＲ′四点共圆. 由圆幂定
ｙ＝
２ ｜ Ｏ′Ｐ′ ｜ ２ ꎬ其中 Ｒ 为圆 Ｃ′半径.
线与椭圆相切时的 ｜ ＰＴ ｜ ２ 问题ꎬ可借助伸缩变换ꎬ将椭圆
参考文献:
[１] 贺航飞ꎬ李宁. 借助伸缩变换解决椭圆中的一些
问题[ Ｊ] . 数学通讯( 上半月刊) ꎬ２０１８(１１) :１２ － １３ꎬ５６.
[ 责任编辑:李 璟]
１
１
１
１
１
ｋ ｋ ＝ － . 又 ｋ ＡＢ ＝ ꎬ则 ｋ ＯＭ ＝ ｋ ＣＤ ＝ － .
浅谈伸缩变换在椭圆问题求解中的应用
用 了转化 与 化 归 的思 想 ，利 用伸缩 变换 ，将椭 圆问
题 转化 为 圆的相关 问题求 解 ．
Ａ＋ ＋ ｘ Ｃ＝０（ Ａ、Ｂ不全 为 ０ 的公共 点 的个 数 ． ） 课
本 上给 出了两 种解 法 ．解 法一 主 要是 利 用 了方程 的
思 想 ， 直线 与椭 圆方程 联立 消去 Ｘ或 Ｙ转 化为一 元 将
决实 际 问题 的实 践永远 没有 完结 ． 总之 ，在 进 行研 究 性教 学 时 ，一 定要 为这 节课
设抛 物线解析 式为 ＝ａ ３ ｘ ＋ ０，
抛物线过（５０ ，． 一 ， ２， ） ・ ． ＝
‘
・ ・ ・
应 采用 一
＋ ０的抛物线 桥拱 ・ ３
设 计 思路 ：前 面 几位 同学均 采 用 了单拱 拱桥 ，
疗
（ ）两条 平行直 线 仍变 为平 行直 线 ． ３ （ ）两条相 交 （ 切 ，相 离 ） 曲线仍 变 为相 交 ４ 相
（ 切 ，相 离 ） 曲线 ．如 ：直 线 与 曲线 相 切 变换 后 相 仍相 切 ．
．
对 于性 质 １与性 质 ２ ，容易 证 明其成 立 ． ’ ’
浅谈伸缩变换在椭圆 问题 求解 中的应用
林志展 福建省 漳州 第一 中学 （６００ ３３０ ）
二次 方程 ， 用判别 式 △进行 判 断 ． 利 解法二主 要是应
在 数学选 修 ２１（ — 湘教 版 ）课本 的第 ８ ２页 中有 这 么 一 道 例 题 ： 讨 论 椭 圆 ＋ ＝ｌ与 直 线
ｌ
＝ 一
．
．
大、 抛物 线 的解析 式分别 为 ＝ 小 一１ Biblioteka ． ＋ ０， ３
伸缩变换在椭圆中的应用
专题：伸缩变换在椭圆中的应用概述：伸缩变换是人教版选修44-中《坐标系和参数方程》中的内容．而在教材选修21/11--《圆锥曲线》 中，我们就知道椭圆在伸缩变换中可以变成圆，反之亦成立．因圆具有椭圆不能与之堪比的完美对称性，从而利用几何思路解答圆类问题相比利用代数解析思路解答椭圆问题，可以达到更为简洁快捷的效果． 定义：设(,)P x y 在平面直角坐标系中的任意点，在伸缩变换ψ：______x y '=⎧⎪⎨⎪'=⎩作用下，点(,)P x y 对应到(,)P x y '''，具有如下一些基本性质：（1）点与线、线与线的______关系不变；（2）同一直线上两线段的______之比不变；（3）直线斜率k 为变换后的直线斜率k '的______倍，即_____k =；（4）封闭图形面积S 为变换后图形面积S '的______倍，即______S =．例1 （2016年成都毕业班摸底第20题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>焦距为2，点2Q 在直线:2l x =上，O 为坐标原点．（1）求C 的标准方程；（2）若P 为点直线l 上一动点，过点P 作直线0l 切椭圆C 于点A ，求AOP ∆面积S 的最小值．例2 （2015年全国卷Ⅱ第20题）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>，直线l 不过原点且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A 、B ，线段AB 的中点为M ．（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率乘积为一定值；（2）若l 过点Q (,)3m m ，延长线段OM 与C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时l 的斜率．1.（2014年全国卷Ⅰ第20题）已知点(0,2)A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点. （1）求E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.2 .已知圆2F ：22(16x y +=，动圆M 过定点1(F 且和圆2F 相切，（1）求M 的轨迹Γ的方程；（2）过(1,0)E 做Γ的两条相交弦AC 、BD ，若12AC BD k k ⋅=-，求四边形ABCD 面积S 的最大值．。
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伸缩变换在椭圆中的应用
•李惟峰【摘要】在图形变化中有一种伸缩变换，它不但会改变有关点的坐标、曲线的方程，而且还会使一些几何特征量有所改变．但伸缩变换也有它自身的特点，若能抓住不变量和变换规律，能使一些问题的难度降低．本文着重探讨利用椭圆和圆之间的伸缩变换关系解决与椭圆有关的问题．
【期刊名称】中学教研：数学版
【年(卷),期】2009(000)004
【总页数】2
【关键词】伸缩变换;椭圆;应用;图形变化;变换关系;特征量;不变量;方程在图形变化中有一种伸缩变换，它不但会改变有关点的坐标、曲线的方程，而且还会使一些几何特征量有所改变.但伸缩变换也有它自身的特点,若能抓住不变量和变换规律，能使一些问题的难度降低.本文着重探讨利用椭圆和圆之间的伸缩变换关系解决与椭圆有关的问题.
1 介绍伸缩变换
将圆按照某个方向均匀压缩(拉伸)，就可以生成椭圆.也就是说圆与椭圆之间是可以相互变换的，用式子表示就是：
通过上式，把椭圆+=1 变成圆即点的横坐标不变，纵坐标变为原来的.
2 伸缩变换的性质
性质1 在伸缩变换下，点分线段所成的比是不变量,特别是线段的中点变成对应线段的中点.
证明设点P1(x1,y1),P2(x2,y2) ，点P(x,y)分有向线段所成的比为λ =, 而在伸缩。