伸缩变换下的椭圆
例谈伸缩变换在高考椭圆问题中的“五个巧用”
例谈伸缩变换在高考椭圆问题中的“五个巧用”
陈启南
【期刊名称】《中学数学研究（华南师范大学）：上半月》
【年(卷),期】2016(0)8
【摘要】“伸缩变换”是高中数学选修的内容，借助伸缩变换，可以实现椭圆与
圆的互化．笔者发现近年高考试题中一些椭圆问题，用常规方法处理，不仅运算过程繁琐，而且难度系数颇高．若考虑利用伸缩变换，将椭圆转为圆来求解，可以拓宽解题思路，达到化繁为简，事半功倍的效果．
【总页数】3页(P13-15)
【关键词】椭圆问题;伸缩变换;高考试题;巧用;高中数学;难度系数;解题思路;化繁为简
【作者】陈启南
【作者单位】广东省梅县东山中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.例谈坐标伸缩变换在解题中的应用 [J], 胡浩鑫
2.“圆”来如此话椭圆——例谈伸缩变换在解决椭圆问题中的应用 [J], 张文海
3.活用伸缩变换巧解高考椭圆问题——以2015年全国部分省市高考试题为例 [J], 杨瑞强
4.让椭圆“圆”形毕露——浅谈伸压变换在高考椭圆问题中的应用 [J], 魏国兵
5.例谈伸缩变换在解高考题中的应用 [J], 张文玲
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椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式是指，对于一个椭圆，如果我们对它进行伸缩变换，那么它的面积和周长会如何变化。
具体来说，设椭圆的长轴和短轴分别为a和b，而伸缩因子分别为k1和k2，那么经过伸缩变换后，椭圆的面积和周长分别变为：
面积：S' = πabk1k2
周长：L' = 2πb√((k1^2 + k2^2)/2)
其中，π是圆周率。
这个公式对于许多涉及到椭圆的问题都有很大的用处，例如在图像处理中，对椭圆进行伸缩变换可以实现图像的拉伸或压缩，从而达到改变图像尺寸和形状的目的。
此外，在数学教学和研究中，椭圆的伸缩变换公式也是一个重要的基础知识，它可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的相关概念和定理。
- 1 -。
伸缩变换下椭圆的几个性质及应用再探_李芋宏(1)
55 55A *M * M *B *M *B* 25 ⋅ M *B*2 5 5 21 22 33x x 2 yy伸缩变换下椭圆的几个性质及应用再探李芋宏李晓菁西南大学数学与统计学院（400715）文[1]介绍了伸缩变换下椭圆的几个性质及应用．受其启发，笔者发现伸缩变换是仿射变换的特 解 作仿射变换 x *= x ， y *= 3y ，则椭圆 x+ 9 例，仿射变换不仅能解决文[1]中椭圆的定值问题， 最值问题，存在型问题，经过探究笔者发现仿射变 y 2 =51 变换为 x2 + y 2 = 9 ，点 A ， B ， M (0 ，- 2) 分别 换也能触及椭圆的参数取值范围问题，中点弦问题 与双曲线的定值问题，特拟文介绍之．变换为点 A * ， B * ， M *(0 ，- ¸ 6) ．5 ¸1．仿射变换根据性质（2），由 AM = λ M B ，有 ¸ ¸ 1.1 仿射变换的定义平面上点 A ( x ，y ) 与 A * (x * ，y * ) 之间的变换A *M * = λ M *B * ， （1）由圆的相交弦定理：x *= a x + a y + a A *M *M *B *= C *M *M *D* = 9 ， （2）111213 且 a a - a a≠ 0 称为仿射变5y *= a x + a y + a11 2212 21其中点C * ，D * 是圆与 y 轴的交点且在圆中亦有换．点 A 和 A * 为一对对应点．1.2 仿射变换的性质(3 -6)2 ≤ M *B * 2≤ (3 + 6)2 ，（3）性质（1）仿射变换将直线变换为直线．由（1）（2）得性质（2）仿射变换将共线三点变换为共线三点， 并保持点分线段的比不变．性质（3）仿射变换保持变换前后两个三角形的 A *M * M *B * = λ M *B * 29面积 S 和 S * 之比不变，即 S * = (a a - a a ) S ．⇒ λ =⇒ λ =．11 2212 21性质（4）仿射变换保持直线与二次曲线的位置 结合（3）得9 - 4 ≤ λ ≤ 9 + 4 ．关系不变．性质（5）仿射变换将平行直线变换为平行直线． 现以一些例子来加以说明仿射变换在椭圆与双说明 本例利用仿射变换，结合圆的相交弦定理得到了结论，运算量大幅度减小．2.2 求中点弦所在直线的方程曲线中的应用．2．仿射变换的应用 22例 2 已知点 P (1，1) 为椭圆 + 4 2= 1 内一个定2.1 求参数的取值范围点，过点 P 的弦 AB 被点 P 平分，求弦 AB 所在直线22例 1 已知椭圆 + 9 5 = 1 ，点 A ， B 是椭圆上. .的方程．分析 作仿射变换 x * = x ， y * =2 y ．将椭圆变的相异的两点，点 M (0 ，- 2) 满足 AM = λ MB ，求实 数λ 的取值范围．换为圆 x 2 + y 2 = 4 ，点 P (1，1) ， A ， B 分别变换为P * (1， 2) ， A * ， B * ．由性质（2）和圆的性质可知分析 作仿射变换 x * = x ， y * =3y ，则将椭圆5点 P * 是线段 A *B * 的中点，可得OP * ⊥ A *B * ，由此可 确定 k * *，然后由所作仿射变换确定 k AB ，进而确定变换为圆 x 2 + y 2= 9 ，点 A ，B ，M (0 ，- 2) 分别变换为点 A * ，B * ，M *(0 ，- 6) ．根据题意 A ，B ，M 三A B直线的方程．解 作仿射变换 x * = x ， y * =2 y ，则椭圆变换** *为圆 x 2 + y 2= 4 ，点 P (1，1) ， A ， B 分别变换为点共线，则由性质（2） A ， B ， M 三点共线，且 ¸ ¸P * (1， 2) ， A * ， B * ．A *M * = λ M *B * ，结合圆的相交弦定理可得λ 的取值范围．由仿射变 换性质 (2) 并结合圆 的性质得2 n a 1a 2 …a n n b 1b 2 …b na 1b 2 A BOPA B□ A B OC2k abOP *⊥ A *B *，所以 k* *⋅ kOP *= -1 且 k *= ，由所 x * y * = k 2 ，点 A ， B ， C 分别变换为 A * ， B * ， C * ，作的仿射变换可推知 k * *= 2k AB ，由此知 k AB = - 1 ．2由性质（ 4 ）则平行四边形 ABOC 变换为矩形 A *B *OC * ．所以弦 AB 所在的直线方程为 x + 2 y - 3 = 0 ．而在反比例函数 x * y * = k 2 上知 S□ A *B *OC *= k 2 ，由说明 本例的一般解法为点差法．2.3 定值问题 性质（3）知 S * * *= 2ab S ❑ ABOC ，反求得 S ❑ ABOC = 2例 已知双曲线 x 2 - y 2= 1(a > 0 ，b >，过（定值）结论得证．3a 2b 20)总之，以上三例利用仿射变换或将椭圆化为圆， 双曲线上任意一点 A 作平行于渐近线的两条直线，分别交与点 B ， C ．求证所作的两条直线与渐近线 所围成的平行四边形的面积为定值ab ．2分析 此题应用常规解法较为复杂．试作仿射变 换 x * = k x - k y ， x * = k x + ky （ k 是不为 0 的实数）结合圆的性质和有关定理得到了结论；或将双曲线变换为反比例函数的图象，结合反比例函数的性质解答了问题．应该指出，不是所有椭圆和双曲线的问题都适合利用仿射变换来解决．不难发现仿射变换一般不 能保持变换前后角度大小，线段长度不变．但仿射 abab化简得 x * y * = k 2 （这是我们熟悉的反比例函数）．点A ，B ，C 分别变换为 A * ，B * ，C * ，平行四边形 ABOC 变换为矩形 A *B *OC * ，结合性质（3）可得结论．解 作仿射变换 x *= k x - k y ， x *= k x + ky （ ka b a b变换作为一个视角，从不同的角度理解和认识椭圆和双曲线对我们也大有裨益．参考文献[1] 杜盛伙．伸缩变换下椭圆的几个性质及应用[J]．福建中学数学，2010 （3），9-11是不为 0 的实数）则经简单的推算双曲线变换为一个重要不等式的证明及应用黄尚鹏湖北省监利县朱河中学（433325）1．不等式的提出假设当 n = k (k ≥ 2) 时，原不等式成立，即设 a 1 ，a 2 ，…，a n ；b 1 ，b 2 ，…，b n (n ≥ 2) 是二组正实 (a + b )(a + b )…(a + b )数，证明：≥ ( k aa …a + k ，1 2 k ≥当且仅当 1 = 2 = … = k 时，等号成立．当且仅当 a 1 = a 2 = … = an 时，等号成立．b 1 b 2 b kb 1 b 2 b n那么当 n = k +1 时，由2．不等式的证明(a 1 + b 1)(a 2 + b 2 )…(a k + b k )(a k +1 + b k +1)(k +a 1a 2 …a k +1证法（一） 用数学归纳法和配项法 ++1 bb …b k -1当 n = 2 时，原不等式1 2k +1k k -1(a 1 + b 1)(a 2 + b 2 ) a 1a 2 + ≥ ( ka 1a 2 …a k kb 1b 2 …b k ) [ ka k +1(k +1a 1a 2 …a k +1 )b 1b 2≥ a a + b b )2（1）11221 21 2⇔ a 1b 2 + a 2b 1 ≥ 2 ⇔ ( - 2≥ 0 ，当且仅当 ab = a b ，即 a 1 = a2 时，等号成立．1 2 2 1b 1 b 2k b 1b 2 …b kn(a 1 + b 1)(a 2 + b 2 )…(a n + b n ) + kb (k +1 b b …b k +11 2k +1)k -1 k= ( k a 1a 2 …a k + k b 1b 2 …b k k [ ka (a a …a k +1 1 2 k +1 k -1 )k +1a 1a 2b 1b 2a 2b 1 + kb (b b …b k +1 1 2k +1k -1)k +1 ]k。
椭圆中的仿射变换(伸缩变换)
y2 b2
1交于 M , N
两点，试求| MN
|
解：过右焦点作 MN 的平行线
易知： FM
b2
，
a c cos
yM M x
AF
FN b2 a c cos
N N
M N 2ab2 a2 c2 cos2
作仿射变换
x y
X bY
a
，
椭圆变为圆： X 2 Y 2 a2
直线 lMN 变为： akX bY akm 0
a2 m2 k 2 b2 2ab2 1 k 2
b2k2 b2
a2k2 b2
利用仿射变化解决椭圆问题
x2
椭圆
a2
y2 b2
1,
(a
b
0)
经变换
x y
X b a
Y
后变成圆 X 2
Y2
a2 ，在此变换下有
以下一些性质：
a
○1 点变换后，横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍
b
a
○2 直线变换后仍然是直线，且斜率为原来的 倍
b
○3 平行线经变换后仍平行
○4 区域
D 变换后成为 D ，则面积 SD
a b
SD
○5 两平行线段的比是不变量
○6 线段 PQ 经变换后变为 PQ ，则：| PQ || PQ | cos2 a2 b2 sin 2 来自1.求证：直线 l :
Ax
By C
0 与椭圆
x2 a2
y2 b2
1, (a
b
0) 相切的充要条件是：
(aA)2 (bB)2 C 2
x X
证明：作仿射变换：
直线 lM N 变为： akX bY akc 0
巧用伸缩变换解决椭圆问题
巧用伸缩变换解决椭圆问题
单云涛
【期刊名称】《中学生数理化（学研版）》
【年(卷),期】2012(000)002
【摘要】伸缩变换是高中数学课程中新增内容,《普通高中数学课程标准》要求：＂了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况＂.在伸缩变换下,平面
图形要发生相应的变化.如圆在伸缩变换下可变成椭圆,而椭圆在伸缩变换下又可变
成圆.圆是我们相当熟悉的图形,它的许多性质的推导和证明都比较容易,在圆中研究图形的某种性质然后再还原到椭圆中,从而得到椭圆的相应性质,这往往要比直接在
椭圆中进行计算和证明简单得多.
【总页数】1页(P18-18)
【作者】单云涛
【作者单位】河南省鹿邑县第三高级中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.巧用伸缩变换妙解椭圆问题
2.巧用伸缩变换解决椭圆问题
3.“圆”来如此话椭圆——例谈伸缩变换在解决椭圆问题中的应用
4.巧用伸缩变换妙解椭圆问题
5.例谈
伸缩变换在高考椭圆问题中的“五个巧用”
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高考数学深度总结：伸缩变换观点下的椭圆
利用伸缩变换
解决圆锥曲线中的
线性问题
作者：赵呈海
天津市第一〇二中学
指导教师：马萍天津市第一〇二中学
严虹天津市第一〇二中学
纪洪伟天津市第一〇二中学
张倩天津市第一〇二中学
利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题
赵呈海天津市第一〇二中学
摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。
利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。
深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。
关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。
我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。
对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。
但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。
所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。
于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。
这就是解析几何（坐标几何）。
解析几何，高考永恒的重点、难点。
圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。
圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。
利用伸缩变换巧解椭圆问题
龙源期刊网
利用伸缩变换巧解椭圆问题
作者：杜盛伙
来源：《中学教学参考·理科版》2012年第01期
伸缩变换是《数学》人教版（A）选修4—4中的内容，是高中数学课程中的新增内容.椭圆在伸缩变换下可变成圆，圆在伸缩变换下可变成椭圆.笔者在文［1］中利用伸缩变换探究了
椭圆有以下三个性质：
性质1 直线仍变成直线，斜率为原来的
性质2 平行于横轴（或在横轴上）的线段仍平行于横轴（或在横轴上）且长度为原来的
1a，平行于纵轴（或在纵轴上）的线段仍平行于纵轴（或在纵轴上）且长度为原来的
性质3 三角形仍变成三角形，面积为原来的
本文将利用伸缩变换巧解椭圆中的一些问题
参考文献
［1］杜盛伙.伸缩变换下椭圆的几个性质及运用［J］.福建中学数学，2010（3）
［2］李建明.圆性质在圆锥曲线中的推广［J］.数学教学，2007（6）
(责任编辑金铃）。
利用伸缩变换巧解椭圆问题
利用伸缩变换巧解椭圆问题
杜盛伙
【期刊名称】《中学教学参考》
【年(卷),期】2012(000)002
【摘要】伸缩变换是《数学》人教版（A）选修4—4中的内容，是高中数学课程中的新增内容．椭圆在伸缩变换下可变成圆，圆在伸缩变换下可变成椭圆．笔者在文[1]中利用伸缩变换探究了椭圆有以下三个性质：
【总页数】1页(P35-35)
【作者】杜盛伙
【作者单位】福建宁化第一中学,365400
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.活用伸缩变换巧解椭圆问题
2.利用坐标变换巧解解析几何椭圆问题
3.利用伸缩变换巧解椭圆最值问题
4.活用伸缩变换巧解椭圆问题
5.活用伸缩变换巧解高考椭圆问题——以2015年全国部分省市高考试题为例
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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ax1
by1 1 by2 by3
1 1 x2 2 1 x3
x1
y1 1 a 0 0 y2 1 0 b 0 y3 1 0 0 1
ab S P1P2 P3
• n边形变为n边形，面积由S变为|ab|S • 特别的，椭圆面积为ab*pi
在椭圆中的应用
结论1 若MN是椭圆的过中心的弦，P是椭圆上异于M、 N的任意一点，则两条直线PM、PN的斜率之积为定值b^2/a^2 证明：椭圆经伸缩变换
伸缩变换下的椭圆
按照克莱因(F.Klein)关于几何学的爱尔兰根 (Erlangen)纲领：设给定一个集合以及此集合的元 素间的一个变换群，我们把此集合叫做空间，集合 的元素叫做点，子集叫做图形，于是空间内图形对 于此群（指群中的一切变换）的不变性质（包括不 变性与不变量）的命题系统的研究就称为这空间的 几何学。 而伸缩变换就是一种变换群，因此在伸缩变换下 图形会保持一系列的不变性质，由此可以想到对于 一个问题既然可以由特殊情形到一般情形进进行研 究，同样也可以由一般情形到特殊情形，下面先介 绍伸缩变换，然后以椭圆为例进行分析。
A F1 F2 E F
x2 y2 1 椭圆方程为： 4 3
(2)当F在x轴下方时，椭圆经伸缩变换
x ax' 为单位圆,A'F2'垂直 y by'
O'F2'，由垂径定理，弧A'H'G'对应的 圆心角为120°，由AE和AF的斜率互 为相反数可得弧E'G'=弧G'F',则弧 A'H'F'+弧E'G'=弧A'H'G',则角A'E'F'+ 角E'A'G'=角A'M'N'=60°，显然角 O'N'F'=30°，斜率为tan(30°)。 当F在x轴上方时，同理可得斜率为 tan(30°)。
A
证明：椭圆经伸缩变换
M O B
x ax' 为单位圆,则 y by'
单位圆中M'的轨迹为过O'的直径O'M'， 且其斜率为-a/bk,由变换保持同素性， 则原椭圆的弦中点轨迹为一条过 椭圆中心的斜率为-b^2/ka^2的直径
A'
M' O' B'
结论4 设Q(x1,y1)是椭圆内的一点，则以点Q为中
A M O B
x ax' 为单位圆,变换保持 y by'
共线三点单比不变，M'仍为A'B'的 中点由垂径定理得O'M'垂直于A'B', 则原椭圆中Kab*Kom=-b^2/a^2
A'
M' O' B'
结论3 斜率为定值k的动直线l与椭圆交于两点，则 弦中点的轨迹是一条过椭圆中心的斜率为b^2/ka^2的直径
结论6 过椭圆外一点Q(x1,y1)作椭圆的两条切线， 则过两切点的弦所在直线的方程为 x1 x y1 y 2 1 2 A a b 证明：椭圆经伸缩变换 Q
x ax' 为单位圆,O'Q' y by'
的斜率为-ax1/by1,由变换保持曲线的 相切关系不变得直线AQ和BQ为原椭 圆切线且弦AB斜率为 -(x1/a^2)/(y1/b^2)
思考 三角形ABC，以BC为轴(长轴或短轴均可)作一椭圆 交AB于E，交AC于F，设M、N分别是点E、F关于 直线BC的对称点，EN交MF于D点，求证：AD垂直 于BC
A E F B M D C N
A F1 F2 E F
A'
O'
F2' M'
H' F'
N'
E'
G'
在遇到椭圆与直线的位置关系问题时，可先把椭 圆伸缩变换为单位圆，然后利用变换的共线三点单比 不变，直线的斜率成为b/a倍，若椭圆的两条线斜率之 积为-b^2/a^2,则在对应圆中两线垂直等性质，使问题 得到简化。也就是从另一个角度看椭圆，加深对椭圆 的理解。
A'
B
Q'
B'
结论7 过点Q(x1,y1)的动直线l交椭圆于A、B两点， 则弦AB的中点M的轨迹是曲线
x( x x1 ) y( y y1 ) 0 在椭圆C内的部分 2 2 a b
证明：结论4的推广，证明过程从结论4
(2009年辽宁高考理科第20题)：已知椭圆C经过点 A(1,3/2),两个焦点为F1(-1,0),F2(1,0). (1)求椭圆C的方程； (2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率 与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值， 并求出这个定值。 解:(1)c=1,2a=|AF1|+|AF2| =3/2+(9/4+4)^1/2 =4 则a=2，b=3^(1/2)
线
• 伸缩变换将点映射到点，直线对应直线。(同素 性)。 • 点A、B、C在直线n上，伸缩变换后其对应点A'、 B'、C'在对应直线n'上。(结合性) • 共线三点的单比不变
角
• 若直线垂直于x轴，则变换后仍垂直x轴，否则 变换将直线的斜率变成原来的
b 倍。 a
• 两条平行直线变换后仍为平行直线。 • 两条垂直直线若9; 2 x3 ' x1 ' x1 y1 y2 y3 1 1 的绝对值 1
S P1P2 P3
(1)
y1 ' 1 y2 ' 1 y3 ' 1 的绝对值
S P1 'P2 'P3 '
(2)
将(2)代入(1),得:
S P1 'P2 'P3 '
1 ax2 2 ax3
x1 x y1 y 2 1 2 a b
证明：椭圆经伸缩变换
P
x ax'为单位圆,P' y by'
点的切线l'斜率为-ax1/by1,由变换保持 曲线的相切关系不变得直线l为原椭圆 切线且斜率为-(x1/a^2)/(y1/b^2)，
P'
x1 x y1 y 过点P(x1,y1),则方程为 2 2 1 a b
b2 积为- 2 。 a
• 两相交（相切、相离）曲线仍变为两相交（相切、相 离）曲线。
面
• 三角形变为三角形，面积由S变为|ab|S 证明：在笛卡尔坐标系中，不共线的三点P1(x1,y1), P2(x2,y2),P3(x3,y3)经过伸缩变换变换为不共线的三点 P1'(x1',y1'),P2'(x2',y2'),P3'(x3',y3'),于是
x1 x y1 y x1 y1 点的弦所在的直线的方程为 2 2 2 2 a b a b
2 2
证明：此直线为结论3的直径所在的直 线，斜率为-b^2/ka^2，且过点
x1 x y1 y x1 y1 Q(x1,y1),则直线方程为 2 2 2 2 a b a b
2 2
结论5 过椭圆上一点P(x1,y1)的椭圆的切线方程是
M P
x ax' 为单位圆,由M'N'为 y by'
圆的直径得P'M'垂直于P'N',斜率 之积为-1，则原椭圆中斜率之积为 -b^2/a^2
M'
N
P'
N'
结论2 若AB是椭圆的不垂直于y轴的弦，M为AB 的中点，O为坐标原点，则Kab*Kom=-b^2/a^2 证明：椭圆经伸缩变换
伸缩变换
给定平面 ，称由平面 到自身的任一映射 ： 为平面 上的一个点的变换。 特别的，在平面 上选取直角坐标系后用方程
x ax' 组 , ab 0 给出的变换叫做平面 的伸缩变 y by'
换。 从直观上看，伸缩变换就是分别在x轴和y轴两个 方向进行伸缩。下面依次从线、角、面三个角度来看 伸缩变换的性质。