椭圆问题使用伸缩变换的条件

关，则可使用伸缩变换解题；否则，就不能使用．
例谈三角函数问题中隐含条件的挖掘
时英雄 安徽省合肥市第一中学（230601）
三角函数问题中经常遇到一些求值求角问题， 很多学生在解题的过程中没有仔细挖掘题目中隐含 的条件，没有避开命题设计的“陷阱”，加上三角函数 中常用的同角的平方关系，倍角关系到最后都要面 临着角或值的取舍问题，稍不注意最后就会导致出 现错解或增解，下面例析之．
之比”有关．所以，可以使用伸缩变换解题．
解 假设存在平行四边形 OPRQ（如图 2），椭圆
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福建中学数学
2014 年第 10 期
C
:
x2 2
+
y2
= 1 经伸缩变换 T
=
⎛1 ⎜⎜⎝ 0
0⎞ 2 ⎟⎟⎠ 的作用后，变为
圆 C′ : x′2 + y′2 = 2 ．
根据伸缩变换性质可知：直线 l : y = kx + m 将变
可以使用伸缩变换．事实上，只有一小部分的题目
适用．那么，我们如何在“审题”之时，就知道伸缩变
换是否适用该题？
为此，我们需要从几个方面来认识“伸缩变换”：
①什么是伸缩变换；
②伸缩变换如何使得椭圆与圆相互转换；
③伸缩变换具有哪些性质；
④伸缩变换的使用条件．
1 什么是伸缩变换
1.1 定义
线性变换 f 将 R2 空间上的向量沿 x 轴拉伸(或
分析 本题的条件“ | AF2 | ， | AB | ， | BF2 | 成等差 数列”，其中线段 AF2 ， AB ， BF2 不共线、不平行， 所以，无法使用伸缩变换将椭圆转换为圆来解题．
通过上述的例题和伸缩变换的性质可知：若题
目的条件与所求的问题只与“位置关系”、“共线（平
行）的线段长度之比”、“变换前后的斜率、面积”有
变换后的圆面积易求，根据性质 4，即可得到变换前
椭圆的面积．
解
椭圆经伸缩变换 T
⎛b
=
⎜ ⎜⎜⎝
a 0
0 1
⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
的作用后，
将变为圆
x′2 b2
+
y′2 b2
= 1 ，∴ S圆 S椭
=
b a
，
即
S椭
=
a b
⋅ S圆
=
a b
⋅ πb2
=
πab
．
例 3 如图 2，已知椭圆 C : x2 + y2 = 1 的左、右焦 2
例 1 已知 tanα ，tan β 是方程 x2 + 3 3x + 4 = 0 的
两根，且 α ，β ∈ (− π ，π ) ，求 α + β 的值． 22
错解 ∵ tanα + tan β = −3 3 ， tanα ⋅ tan β = 4 ．
∴ tan(α + β ) = tanα + tan β = −3 3 = 1− tanα ⋅ tan β 1− 4
例4
设
F1
，
F2
分别是椭圆
E
:
x2 a2
+ y2 b2
= 1(a > b >
0) 的左、右焦点，过 F1 斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A ， B 两点，且 | AF2 | ， | AB | ， | BF2 | 成等差数列．
（Ⅰ）求 E 的离心率；
（Ⅱ）设 P(0 ，−1) 满足 |PA |=| PB | ，求 E 的方程．
为 l′ : y = 2kx + 2m ．根据伸缩变换性质 1 可知：平
行四边形 OPRQ 在变换后仍为平行四边形 O′P′R′Q′
（实为菱形，如图 3）．因此，对角线垂直平分．实
数 m 需满足的条件为： dO′→l′ = r ，即
| 2m | = 2k 2 +1
2，
即 | m |= 2k 2 +1 ≥ 1 ， m ∈ (−∞ ，− 1] ∪[1 ，+ ∞) ．
变换
T
=
⎛ ⎜ ⎝
a 0
0 b
⎞ ⎟ ⎠
的作用后，将变为椭
y b
O1 ax
图1
⎛1
圆
N
．另一方面，椭圆
N
经伸缩变换
T
−1
=
⎜ ⎜
a
⎜⎜⎝ 0
0
⎞ ⎟
⎟的
1 b
⎟⎟⎠
作用后，将变为椭圆 M ．
2 伸缩变换的性质
性质 1 伸缩变换前后，曲线（包括直线）的位
置关系不改变．（如：平行、相切、相交）
性质 2 伸缩变换前后，同一直线上（或平行线
点分别为 F1，F2，O 为坐标原点．直线 l : y = kx + m 与
椭圆 C 相交于 P，Q 两点，若在椭圆 C 上存在点 R，
使得四边形 OPRQ 为平行四边形，求实数 m 的取值
范围．
分析 本题的核心条件是“四边形 OPRQ 为平行
四边形”，此条件可等价转换为“对边平行、对角线互
相平分”，因此，只与“位置关系”、“共线的线段长度
椭圆 E 相切．
分析 本题知“点 Q 为线段 MN 的中点”，求直线
PQ 与椭圆 E 相切，因此，只与“共线的线段长度之
比”“位置关系”有关．因此，可以使用伸缩变换解题．
⎛1
解
椭圆 E 经伸缩变换 T
=
⎜ ⎜⎜⎝
0
0⎞
2 3
⎟ ⎟⎟⎠
的作用后，
变为圆 E′ : x2 + y2 = 4 ，根据伸缩变换性质 4 可知：
2
2
22
y′
Py
R Ql O
图2
P′
R′
x
O′ Q′ l′
图3
yP M
x′
Q
A1 O A2 x
图4 N
例 3 如图 4，椭圆 E : x2 + y2 = 1 的左右端点分别 43
为 A1 A2 ，点 P 是椭圆 E 上异于 A1, A2 的一点，直线 A1P ， A2P 分别交直线 l : x = t(t 为常数）于不同两点 M ， N ，点 Q 为线段 MN 的中点， 证明直线 PQ 与
变换后的点 Q′ 仍为 M ′N ′ 的中点．
根据伸缩变换性质 3 可知：“直线 PQ 与椭圆 E 相 切 ” 等 价 于 “ 直 线 P′Q′ 与 圆 E′ 相 切 ” ． 即 要 证 明
∠OP′Q′ = 90 ．
∵ 在圆 O 中， A1 A2 是直径，∴∠A1′P′A2′ = 90 ． 又∵ 直线 x = t 与 x 轴垂直．∴ ΔA1′M ′R′ ∼ ΔN ′M ′P′ （ 其 中 ， 点 R′ 为 直 线 l′ 与 x 轴 的 交
压缩)为原来的 a 倍，沿 y 轴拉伸（或压缩）为原来
的 b 倍，得到新的向量，则称 f 为 R2 空间上的伸缩
变换．相应的矩阵为
T
=
⎛ ⎜ ⎝
a 0
0 b
⎞ ⎟ ⎠
．
1.2 伸缩变换实现椭圆与圆的相互转换
例
1
圆
M
:
x2
+
y2
=1
与椭圆
N
:
x2 a2
+ y2 b2
= 1 之间
的伸缩变换关系．
解 如图 1，一方面，圆 M 经伸缩
点）．∴∠P′A1′ A2′ = ∠P′N ′Mபைடு நூலகம்′ ，又∵ RtΔP′M ′N ′ 中，点 Q′ 为 M ′N ′ 的中点，∴∠3 = ∠P′N ′M ′ ．
又∵ 在圆 O 中 ∠P′A1′ A2′ = ∠A1′P′O ，
∴∠A1′P′O = ∠Q′P′N ′ ，∴∠OP′Q′ = 90 ， ∴ 直线 P′Q′ 与圆 E′ 相切，直线 PQ与椭圆 E 相切．
3 伸缩变换的使用条件
下面主要探讨上述伸缩变换在解决椭圆问题中
的应用．通过下面几道例题，可以说明利用伸缩变
换在解决有关椭圆问题的适用性和局限性．
例2
求椭圆
x2 a2
+ y2 b2
= 1(a > 0 ，b > 0) 的面积．
分析 本题只与“变换前后的面积”有关．所以，
可以使用伸缩变换解题．椭圆经伸缩变换可变为圆，
2014 年第 10 期
福建中学数学
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椭圆问题使用伸缩变换的条件
周郑鹃 福建省福州高级中学（350007)
近几年，有关椭圆问题“圆化”的文章，不断的出
现．许多教师发现，一些椭圆的题目，通过伸缩变
换，转换为圆，问题从“分析”到“解答”都变得更直观、
简洁、优美．因此，许多教师、学生在遇到椭圆问
题时，都“勇于”尝试此法．然而，并非所有的题目都
3．
上）的两线段长度之比不改变．
性质
3
一直线，经过伸缩变换 T
=
⎛ ⎜ ⎝
a 0
0 b
⎞ ⎟ ⎠
的作
用，变换后的斜率 k′ 与变换前的斜率 k 之比为
k′ = b ． ka
性质 4
一封闭图形，经过伸缩变换 T
=
⎛ ⎜ ⎝
a 0
0 b
⎞ ⎟ ⎠
的
作用，变换后的面积 S′ 与变换前的面积 S 之比为
S′ = ab ． S