浅谈伸缩变换在椭圆问题求解中的应用
伸缩变换--兼谈化椭圆为圆问题

伸缩变换--兼谈化椭圆为圆问题
侯宝坤
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2004(000)004
【摘要】我们在研究三角函数图象关系时,用到了伸缩变换.比如由y=sinx得到y=2sinx时,可以将y=sinx上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍;要得到y=sin2x时,则可以将y=sinx图象上所有点纵坐标不变,横坐标压缩为原来的1/2.这种变换方法就是伸缩变换.
【总页数】3页(P31-33)
【作者】侯宝坤
【作者单位】江苏省建湖高级中学 224700
【正文语种】中文
【中图分类】O63
【相关文献】
1.巧用伸缩变换妙解椭圆问题 [J], 程涛;刘少平;邹鹏
2.“圆”来如此话椭圆——例谈伸缩变换在解决椭圆问题中的应用 [J], 张文海
3.巧用伸缩变换妙解椭圆问题 [J], 程涛;刘少平;邹鹏
4.活用伸缩变换巧解高考椭圆问题——以2015年全国部分省市高考试题为例 [J], 杨瑞强
5.例谈伸缩变换在高考椭圆问题中的“五个巧用” [J], 陈启南
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巧用伸缩变换解决椭圆问题

伸缩变换 椭圆变圆

伸缩变换椭圆变圆
朱东海
【期刊名称】《数理化解题研究:高中版》
【年(卷),期】2011(000)011
【摘要】在高中数学选修4-4中,我们学习了直角坐标系下的伸缩变换,在伸缩变换下,椭圆可以变成圆,直线还是变成直线,点还是变成点,特别是线段的中点还是变成线段的中点.所以,有关椭圆与直线的交点问题(交点个数、切线和弦中点)可以通过伸缩变换化为圆的相应问题来处理.由于在伸缩变换下线段的长度,角的大小均会发生改变,所以这两类问题不宜化为圆的相应问题来处理.
【总页数】2页(P18-19)
【作者】朱东海
【作者单位】云南省蒙自市蒙自高级中学,661100
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.“圆”来如此话椭圆——例谈伸缩变换在解决椭圆问题中的应用 [J], 张文海
2.巧用伸缩变换妙解椭圆试题 [J], 罗文军; 刘娟娟
3.利用伸缩变换解决椭圆中一些线段长度乘积问题 [J], 李宁;唐盛彪
4.巧用伸缩变换妙解椭圆试题 [J], 罗文军;刘娟娟
5.利用伸缩变换解决椭圆中一些线段长度乘积问题 [J], 李宁;唐盛彪
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高考数学深度总结:伸缩变换观点下的椭圆

利用伸缩变换
解决圆锥曲线中的
线性问题
作者:赵呈海
天津市第一〇二中学
指导教师:马萍天津市第一〇二中学
严虹天津市第一〇二中学
纪洪伟天津市第一〇二中学
张倩天津市第一〇二中学
利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题
赵呈海天津市第一〇二中学
摘要:本文结合线性代数中线性变换的视角,深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题,并试图使用高中知识理解线性变换的本质。
利用线性变换中的伸缩变换(缩放变换),可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题,并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。
深刻揭示了,数学各分支领域间互相渗透,互相扶持的数学精神,给予学生一个思考问题的新视角,给高中教学带来新的启示。
关键词:线性变换;圆锥曲线;伸缩变换。
我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容,这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。
对于高度对称的几何图形(例如:圆),我们选用公理化证明会显得十分优美。
但是,随着几何图形的变化,其“几何特征”开始降低。
所以,对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。
于此,利用笛卡尔的坐标方法,反而会显得简单、明晰。
这就是解析几何(坐标几何)。
解析几何,高考永恒的重点、难点。
圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分,在高考中有着举足轻重的地位。
圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点:第一,“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力;第二,计算。
利用伸缩变换巧解椭圆问题

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利用伸缩变换巧解椭圆问题
作者:杜盛伙
来源:《中学教学参考·理科版》2012年第01期
伸缩变换是《数学》人教版(A)选修4—4中的内容,是高中数学课程中的新增内容.椭圆在伸缩变换下可变成圆,圆在伸缩变换下可变成椭圆.笔者在文[1]中利用伸缩变换探究了
椭圆有以下三个性质:
性质1 直线仍变成直线,斜率为原来的
性质2 平行于横轴(或在横轴上)的线段仍平行于横轴(或在横轴上)且长度为原来的
1a,平行于纵轴(或在纵轴上)的线段仍平行于纵轴(或在纵轴上)且长度为原来的
性质3 三角形仍变成三角形,面积为原来的
本文将利用伸缩变换巧解椭圆中的一些问题
参考文献
[1]杜盛伙.伸缩变换下椭圆的几个性质及运用[J].福建中学数学,2010(3)
[2]李建明.圆性质在圆锥曲线中的推广[J].数学教学,2007(6)
(责任编辑金铃)。
利用伸缩变换解决椭圆中一些线段长度乘积问题

2
4
3
变为圆ꎬ借助圆幂定理从几何角度便利解决ꎬ避免了代数
解法的繁杂计算. 同时ꎬ借助伸缩变换ꎬ还可以将前 3 个
例题向一般情形作推广.
相关练习
1. 直线 l:x - 2y + 4 2 = 0 与椭圆 C:
在过点 P(2ꎬ1) 的直线 lꎬl 与椭圆 C 交于不同两点 AꎬBꎬ
满足 | PA | | PB | = | PM | 2 ? 若存在ꎬ求出直线 l 的方程ꎻ
例 1 已知椭圆 E:
2
x
+ y2 = 1ꎬ设不过原点 O 且斜率
4
1
为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 AꎬBꎬ线段 AB 的
2
中 点 为 Mꎬ 直 线 OM 与 椭 圆 E 交 于 Cꎬ Dꎬ 证 明:
| MA | | MB | = | MC | | MD | .
X = xꎬ
证明 作伸缩变换
设圆 C′与 X 轴 的 另 一 交 点 为 B′ꎬ 由 于 ∠B′ O′ - 4k |
4k2 + 3
1
ꎬ方程为
2
∠B′Q′R′ = 90°ꎬ从而 B′ꎬO′ꎬQ′ꎬR′四点共圆. 由圆幂定
y=
2 | O′P′ | 2 ꎬ其中 R 为圆 C′半径.
线与椭圆相切时的 | PT | 2 问题ꎬ可借助伸缩变换ꎬ将椭圆
参考文献:
[1] 贺航飞ꎬ李宁. 借助伸缩变换解决椭圆中的一些
问题[ J] . 数学通讯( 上半月刊) ꎬ2018(11) :12 - 13ꎬ56.
[ 责任编辑:李 璟]
1
1
1
1
1
k k = - . 又 k AB = ꎬ则 k OM = k CD = - .
伸缩变换在椭圆中的应用

专题:伸缩变换在椭圆中的应用概述:伸缩变换是人教版选修44-中《坐标系和参数方程》中的内容.而在教材选修21/11--《圆锥曲线》 中,我们就知道椭圆在伸缩变换中可以变成圆,反之亦成立.因圆具有椭圆不能与之堪比的完美对称性,从而利用几何思路解答圆类问题相比利用代数解析思路解答椭圆问题,可以达到更为简洁快捷的效果. 定义:设(,)P x y 在平面直角坐标系中的任意点,在伸缩变换ψ:______x y '=⎧⎪⎨⎪'=⎩作用下,点(,)P x y 对应到(,)P x y ''',具有如下一些基本性质:(1)点与线、线与线的______关系不变;(2)同一直线上两线段的______之比不变;(3)直线斜率k 为变换后的直线斜率k '的______倍,即_____k =;(4)封闭图形面积S 为变换后图形面积S '的______倍,即______S =.例1 (2016年成都毕业班摸底第20题)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>焦距为2,点2Q 在直线:2l x =上,O 为坐标原点.(1)求C 的标准方程;(2)若P 为点直线l 上一动点,过点P 作直线0l 切椭圆C 于点A ,求AOP ∆面积S 的最小值.例2 (2015年全国卷Ⅱ第20题)已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A 、B ,线段AB 的中点为M .(1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率乘积为一定值;(2)若l 过点Q (,)3m m ,延长线段OM 与C 交于点P ,若四边形OAPB 为平行四边形,求此时l 的斜率.1.(2014年全国卷Ⅰ第20题)已知点(0,2)A -,椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>,F 是椭圆的焦点,直线AF 的斜率为3,O 为坐标原点. (1)求E 的方程;(2)设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点,当OPQ ∆的面积最大时,求l 的方程.2 .已知圆2F :22(16x y +=,动圆M 过定点1(F 且和圆2F 相切,(1)求M 的轨迹Γ的方程;(2)过(1,0)E 做Γ的两条相交弦AC 、BD ,若12AC BD k k ⋅=-,求四边形ABCD 面积S 的最大值.。
伸缩变换下的椭圆

A Q
B
的斜率为-ax1/by1,由变换保持曲线的 相切关系不变得直线AQ和BQ为原椭 圆切线且弦AB斜率为
-(x1/a^2)/(y1/b^2)
A' Q'
B'
结论7 过点Q(x1,y1)的动直线l交椭圆于A、B两点, 则弦AB的中点M的轨迹是曲线
x(x a2
x1
)
y( y y1) b2
0
证明:在笛卡尔坐标系中,不共线的三点P1(x1,y1),
P2(x2,y2),P3(x3,y3)经过伸缩变换变换为不共线的三点
P1'(x1',y1'),P2'(x2',y2'),P3'(x3',y3'),于是
S P1P2 P3
1 2
x1 x2
y1 1
y2 1 的绝对值
(1)
x3 y3 1
1 x1' y1' 1
特别的,在平面 上选取直角坐标系后用方程
组
x y
ax' by'
,
ab
0
给出的变换叫做平面
的伸缩变
换。
从直观上看,伸缩变换就是分别在x轴和y轴两个
方向进行伸缩。下面依次从线、角、面三个角度来看
伸缩变换的性质。
线
• 伸缩变换将点映射到点,直线对应直线。(同素 性)。
• 点A、B、C在直线n上,伸缩变换后其对应点A'、 B'、C'在对应直线n'上。(结合性)
则原椭圆的弦中点轨迹为一条过
椭圆中心的斜率为-b^2/ka^2的直径
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用 了转化 与 化 归 的思 想 ,利 用伸缩 变换 ,将椭 圆问
题 转化 为 圆的相关 问题求 解 .
A+ + x C=0( A、B不全 为 0 的公共 点 的个 数 . ) 课
本 上给 出了两 种解 法 .解 法一 主 要是 利 用 了方程 的
思 想 , 直线 与椭 圆方程 联立 消去 X或 Y转 化为一 元 将
决实 际 问题 的实 践永远 没有 完结 . 总之 ,在 进 行研 究 性教 学 时 ,一 定要 为这 节课
设抛 物线解析 式为 =a 3 x + 0,
抛物线过(50 ,. 一 , 2, ) ・ . =
‘
・ ・ ・
应 采用 一
+ 0的抛物线 桥拱 ・ 3
设 计 思路 :前 面 几位 同学均 采 用 了单拱 拱桥 ,
疗
( )两条 平行直 线 仍变 为平 行直 线 . 3 ( )两条相 交 ( 切 ,相 离 ) 曲线仍 变 为相 交 4 相
( 切 ,相 离 ) 曲线 .如 :直 线 与 曲线 相 切 变换 后 相 仍相 切 .
.
对 于性 质 1与性 质 2 ,容易 证 明其成 立 . ’ ’
浅谈伸缩变换在椭圆 问题 求解 中的应用
林志展 福建省 漳州 第一 中学 (600 330 )
二次 方程 , 用判别 式 △进行 判 断 . 利 解法二主 要是应
在 数学选 修 21( — 湘教 版 )课本 的第 8 2页 中有 这 么 一 道 例 题 : 讨 论 椭 圆 + =l与 直 线
l
= 一
.
.
大、 抛物 线 的解析 式分别 为 = 小 一1 Biblioteka . + 0, 3
5 x + 0的抛 物线桥 拱 . 02 5
v: 一二 +5 0 2 5
学 生 G:
设计 思路 :直接 用 抛物 线 拱桥 作 路面 不牢 固 , 为此 加 设 了一座 小 抛物 线 拱桥 作架 构 ,支 起大 抛物
从 上面 可 以看 出 ,利 用变 换 可 以化 繁 为 筒 ,达 到 事 半 功 倍 的作 用 .另 一 方 面 ,也 可 以利 用 伸缩 变
换 ,把 圆的某 些性 质推 广至椭 圆 . 又 如在 圆中有 如下 两个 成立 的性 质 : 性 质 3 圆 + =1 Y 的外切 , 形 面积 最小 值 z 边 是 , a . zn t
3 2
福建中学数学
2 1 年第 8 00 期
设 小抛物 线解 析式 为 :a 5 x + 0,
矫面
设 大抛物 线解析 式 为 Y=a 0, ' +3 x
・ . ・
/ 2 \ 5 r a\ \
1 m 口 D
大 、小抛 物线分 别过 (0 0 ,(5 0 , 5 ,) 2 , )
2 m 0
线 拱桥 .
/ /
I . I . . 1
・ . ’
r
在本节课结束前 ,再次布置一道有关本市的拱 桥 设计 问题 . 现场 堪 测 杨桥 路 的有 关 路段 情 况 ,设计 几座 抛
物线 拱桥 ,以解 决杨 桥路 交通 拥 挤 问题 . 布置 这道 题 的 目的在于 ,让 学 生体会 课 堂教 学 的延伸 ,4 5分钟 的课是 上完 了 ,但 应 用数学姗 识解
分调动起来 ,发挥其个性特点 .即遵循“ 实践- 认识一 再 实践一 再认识 ” 的辨证 唯物主 义 的认识规 律 . 忌某 切 固有模 式 ,搞 “ 刀切”满堂 灌” 一 “ .
一
此外 ,课 后还 可布 置 学 生写 一份 调查 报 告 ,以 及个 人 的评 语 或学 习心得等 .
有 0 t 5 3 =ax 0 + 0, 0 × 5 + 0 =口 2 5 ,
口 一 —
- . .
’
_
・
2 2 ’ — , 5
,
3 一—5 ’ 2— J 0
设 计思 路 :受福 州 解放 大 桥设 计 思路 的启 发 ,
・
采 用 抛 物 线 拱 架 构 来 支 起 桥 面 , 仍 采 用
( )三 角形 变换 后仍 为三 角 形且变 换 前 后的两 5
1
个 三角 形 的面积 之 比等于
m / 7
. 由于任 意 一个 多边 又
形 可 以分 割 成若 干 个 三 角 形 ,所 以任 意 一 个 凸多边
形变 换 后 仍 为 凸 多边 形 ,且 变 换 前 后 的面 积 之 比等
作 精 心 的准 备 , 同时 ,才教 学 过程 中 ,教 师应 善于
引导 学 生应 用 的数 学知 识 去探 索新 的问题 ,发 现新
因此 本人 标新 立 异采 用双 拱 拱桥 ,这 样 既美 观 ,有
解 决 了泄 洪 问题 .
学 生 H:
的规 律 .并善 于 活 跃课 堂气 氛 ,使 学 生 的思维 被充
其 实 解 法 二 中 式子
给 出 的变换 叫 做 平
面 上 的伸 缩变 换 ,它 是 高等 几何 中仿 射 变换 中 的特
2 1 第 8期 0 0年
福 建 中学数 学
3 3
例 ,对 此 我们 必须 先认 清 该变换 的一些 基本 性质 : ()点分 线段 的比是 不变量 .如 :线段 的 中点 1 变 成对 应线 段 的 中点 . ( )若直 线 垂 直于 X ,则 变 换 后仍 垂 直于 2 轴 轴 ,否 则变 换将 直线 的斜 率变 换 为原 来 的 倍 .
n
性 质 1 ’
已 知 A ~ 内 接 于 圆 O ABC :
+ =1 若 其重 心 G 与 圆心 O 重合 , Y , 则 ~ BC
一
的面积是定值,此定值是{ 3 √ .
4
性质2 圆x ’ +Y 1 内接 ,边 形 面积 最 大 = 的 ? 值 是 n
于
m / 7
.
性 质 4 过 圆 0: Y :1 的一点 P作 圆的切 X+ 。 外
线 ,设切 点为 、 ,连接 O P交 A B于 M ,交 圆 D
()伸缩 变换 不 改变 曲线 的封 闭性 . 6