伸缩变换观点下的椭圆

利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题作者：赵呈海天津市第一〇二中学指导教师：马萍天津市第一〇二中学严虹天津市第一〇二中学纪洪伟天津市第一〇二中学张倩天津市第一〇二中学利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题赵呈海天津市第一〇二中学摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。

利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。

深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。

关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。

我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。

对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。

但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。

所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。

于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。

这就是解析几何（坐标几何）。

解析几何，高考永恒的重点、难点。

圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。

圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。

“数、形翻译”的能力是解析几何的核心素养。

这是因为，归根结底，解析几何还是在研究几何问题。

在利用坐标方法解决几何问题时，我们一般要把几何关系“翻译”成代数的语言。

这种“翻译”能力的建立，要求学生对坐标系有深刻的理解，灵活运用代数与几何间的各种“桥梁”将二者建立联系、相互表达。

在高中范围内，学生可以通过练习不断培养这种能力，逐渐丰富“翻译”的经验。

坐标方法固然优点重重，但是在使用“代数化”思路解决问题的程序中无法避免地会伴随计算的问题。

计算往往是圆锥曲线这一难点的切实所在。

其实，如果单纯只是运算的“量大”还是可以通过高强度的训练得到有效改善。

但对于一些题目，即便是计算能力非常出色的学生也需要消耗大量的时间，甚至反复多次才能得解。

这是由于“算理不明”所致，如果学生选择的计算策略不合理，就会走入死胡同，将运算变成了硬解，即便耗费大量努力，最终还是无法得解。

可令人烦恼的，许多二次曲线中的计算涉及“算理”问题，然而，对于明晰“算理”的培养，绝不是一朝一夕所能够完成的小工程，那需要绝对大量的经验积累和一定程度的数学天赋。

显然，仅凭高中教学来解决这个问题是不现实的。

为应对高考圆锥曲线计算难的问题，笔者试图在解析几何的相关领域寻找一种较为普适的方法，从而系统地解决一类问题。

于是发现，利用平面伸缩变换是不错的处理方法。

方法对照：()()()()()()())()()()()432343443234,34342321121341243480124834134,,,134;323101201622222212212122121222222121222221221222222211222222-=⋅=+--⋅=⋅+++⋅=⋅⋅=⋅=⇒=++=-+=-⋅=-+⨯+⨯=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==+=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛>>=+OB OA OBOA AOB k k m k m k m x x m x x km x x k x x y y k k m t t k k m k m x x m x x k k m S k m x x k kmx x x m kmx x k mkx y y x y x B y x A II y x C I OB OA AOB O II C I B A B A C m kx y l x P b a b y a x C ，得：由令解得：令：由韦达定理：联立：设常规方法：；：椭圆方程略解：不是请说明。

？若是，求出该定值；的斜率之积是否为定值与，试判断直线的面积为为坐标原点，若△设的方程；求椭圆两点均不在坐标轴上、两点、交于与椭圆：轴，直线的连线垂直于与椭圆右焦点，上一点：已知椭圆新华中学校模例：△显然，方法1计算复杂，对“算理”的要求不好拿捏。

必修四学习三角函数时我们曾接触伸缩变换，这里不妨试试。

())434311sin 212sin sin 2112132,1:134,3222222-=⋅=⋅∴-=⋅⇒'⊥'=⇒==⋅'⋅'=∴=='='=⋅='→'→='+''=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='''''''''B O O A OB AO B O O A B O A AOB B O A k k k k k k B O O A B O O A S r B O O A S S B B A A y x C y x C y y x x 即：，在单位圆内：，对应地对应地变换为单位圆：将椭圆：由平面伸缩变换伸缩变换：△△△θθθϕ不难发现，利用平面伸缩变换可以将椭圆“还原”成圆，这样就提高了它的“几何特征”，从而使问题变得更加清晰，执行起来也更加简便，有效地“回避”了繁杂的计算，从解题的结构来看，这无疑是一种优美的解法。

为了完善利用伸缩变换解题的结构体系，下面从平面伸缩变换的定义，性质，适用条件，意义以及例题这五个方面逐步建立这一体系。

1.伸缩变换：()()()()()Iy x P y x P yy x x y x P =⋅*'''⎩⎨⎧='='--11,,,4-4ϕϕϕϕϕμλϕ的逆变换，表示变换注：变换缩变换。

坐标伸缩变换，简称伸为平面直角坐标系中的则称，对应到点的作用下，点：一点，在变换任意是平面直角坐标系中的：设点选修定义2.伸缩变换的性质：区别于平移变换这一类刚体变换，伸缩变换会改变几何图形的形状，但其仍然属于二维平面上的仿射变换，是线性变换（运用一次函数进行的变换）的一种[]5，有如下性质：性质1（保留结合性）：曲线与曲线上任意一点，经伸缩变换后，该点仍在对应的曲线上。

性质2（保留平直性）：经伸缩变换后，曲线仍是曲线，直线仍是直线，且相互之间的位置关系保持不变。

性质3（保留平行性）：若取平面内一线段与线段上的任一定比分点，经伸缩变换后，该点仍为相应线段的定比分点，且比例不变。

，则对应变换为任一直线的斜率的作用下，平面上：在变换（斜率关系）k k k k yy x x λμμλϕ=''⎩⎨⎧='='：4性质。

，则对应变换为任一图形的面积的作用下，平面上：在变换（面积关系）λμμλϕ=''⎩⎨⎧='='S S S S yy x x ：5性质()()()()()()()()()AB B A k x x y y k y x B y x B y x A y x A yy x x y x B y x A λμλμμλμλμλϕ=--='→'→⎩⎨⎧='='''2121222211112211,,,,,,4性质，，得：由伸缩变换、证明：平面内两点[]()ABCC B A S S C A AC B A AB yy x x AC AB △△则，，，得：由伸缩变换和不共线向量证明：平面内两同起点以三角形为例22,5性质1⨯===''=''=⎩⎨⎧='=''''λμμλμλϕ注：没有学过向量外积几何意义的学生也可以用微积分的思想（积分的几何意义）理解性质5（以椭圆为例）：倍。

的面积也变为原来的：椭圆根据乘法的分配率得到累加再将每个小矩形的面积倍，为原来的将每个矩形的面积都变：由伸缩变换个小矩形的代数和，椭圆的面积等于这曲边梯形近似于矩形趋于无穷大时当个曲边梯形成证明：如图将椭圆分割λμλμμλϕ，,n ，，n ，n ⎩⎨⎧='='yy x x 3.适用条件[][]52：伸缩变换是在二维平面上的线性变换，只保留图形的部分性质。

因此，伸缩变换只能解决圆锥曲线中的线性问题，如：曲线（曲线与直线）间的位置关系、平行线段长度的比例关系、斜率问题、面积问题等；而对于非线性问题（如：向量内积）则无法使用此方法。

4.意义：在解决椭圆中的线性问题时，利用伸缩变换，能够将椭圆转化为圆，从而“还原”其“几何特征”。

由于圆具有较多的几何性质以及高度的对称性，利用这种方法往往能够使题目得到理想的简化，以至于大部分问题可以直接在圆中利用几何方法得解，最后经由逆变换将结论回归到原坐标平面上，这样一来就有效地“回避”了繁琐的计算[]3。

5.例题：例1.（2017天津南开三模）()()()()()()28222,221.11148222;1482222011222222222222='⨯⨯==''⋅''='∴''''''⊥''⇒-=⋅='+'=+⎪⎩⎪⎨⎧='='=+-=⋅>>=+-''''S S D B C A S D C B A ABCD D B C A k k y x y x yy x x II y x I ABCD ab k k O BD AC ABCD II I b a b y a x D B C A BD AC 得到，再经由逆变换形在单位圆中，对应为菱易知，四边形，且对应为单位圆：的作用下，椭圆：：在平面伸缩变换：略；椭圆的标准方程为解：的面积为定值。

，求证：四边形，若过原点、角线的顶点在椭圆上，且对四边形求椭圆的标准方程；，，且过点的离心率为已知椭圆ϕϕ()()()()()()33221902sin sin 21133112123233113432;21.233.3301:max max 122222222=⨯⨯='⊥'=''∠''∠=''∠⋅'⋅'⋅=='='-'''-=-='-=⋅⇒''⊥'''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='+''=+''⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>>=+''-''''''''B A O OAB B A O B A O M O B A N O S S S B O A O B O A B O A B O A B O A O S B O A O B A l k k k l k k B A N O O M N M M y x C y x C y O x y y x x xOy II e I OAB AB N N OM B A C l O C M II I b b a by a x C △△△△可得：再经由逆变换，取最大值，时，易知，当，的一组平行直线是斜率为；直线则斜率为，设直线由垂径定理知：三点共线、、，易知，对应到，：对应到单位圆：椭圆，对应到平面：经伸缩变换将平面略；离心率解：面积得最大值求△的中点，是线段，且相交于点两点，与直线、交于相与椭圆的直线上，不过原点在椭圆，若点求椭圆的离心率；最短距离为焦点的，且椭圆上一点到一个已知椭圆ϕϕ()()()()()()()()2222221sin sin 2sin 21//2,212;41242124.0,01:49211222222121222222±=±'=''=''∠''∠=''∠''==⇒=⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫'∈'∈''''⇒='='+''=+⎩⎨⎧='='=+>=>>=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-''''''''''-'-'x y l S S x y l N O M N O M N O M N O M O S S S d d A O O A O A A O N M OA MN A A y x C y x C yy x x II y x C I l AMN II C I OA MN N M C l A E F A C F F b a b y a x C y x E AMN N M O N M O N M O N M A l O l A ：时，取最大值得：由逆变换取最大值时，：，即易知，当对应到，：对应到单位圆：的作用下，将椭圆：在伸缩变换；：略；椭圆方程为解：的方程求直线的面积取到最大值时，当△的方程；求椭圆两点，且、于交椭圆三点共线，直线，，，且在第一象限的交点为且与椭圆、左、右焦点的经过椭圆：已知圆△△△△△ϕλϕλλ例4.（2017天津一中四月考）()是椭圆上位于圆的左、右顶点，是椭、如图，垂直的弦长为，过其右焦点与长轴离心率为的已知椭圆M B A b a by a x G .12301:2222>>=+()()..,4,2121的取值范围实数，求，若和的面积分别为和△记△的标准方程；求椭圆两点交于：与直线轴上方的动点，直线λλS S S S MCD MAB II G I D C x l BM AM x ==()()()()，单位圆内则，设；：：将：由伸缩变换：略；椭圆的标准方程解：B M M A x y y x M C A O k x l x l y x G y x G y y x x II y x G I C A ''⊥''+''='''''∠===''→=='+''→=+⎪⎩⎪⎨⎧='='=+'',1tan ,tan 2:4:114,2;14000222222αααϕ()()()()[]()(.3100,22113212,221,tan 1tan 320020202000020210102⎥⎦⎤∈'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=='+'+'+''-+''=''=⇒'=''-⋅''='+=''，义易知：值的平方，根据几何意连线的斜率与点；其几何意义为：点整理得：结合λλλααM x y y x x y x x y S S y S x D C S D C例5.（2015十二区县二模）()()()()()()()()()()()()()()注：图见下页，得到经由逆变换，，从而令故：；此时，取最大值；处时在；由图可知，，结合：由伸缩变换三点共线略；离心率解：方程时，求的面积最大等于，当三角形相交于另一点与椭圆的直线，过点，若点对于给定的椭圆三点共线；求椭圆离心率，并证明满足且点上下顶点分别是别为，左右顶点分的右焦点：已知椭圆△△△*--=-'-=''⇒++'=---''⇒-'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=⇒⨯=⨯==''==⇒=+'-'''=''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=⇒'→-'→-=='+''→=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='==⊥>>=+-''-''''''-''''''12:,313:12110230:0123,2113293223321,2303:3223,233,23,2;0,0,21;:134:,32;,,;21.93,2,,.,2,,,,0,011222222222222max x y l x y l x y l A Q c S c d R A S c d c y x R A c R A S c c Q k c c R c a R c A a A a c c y x E c y c x E y y x x II D B P a c e I l AQR Q E l A c a R E II D B P I CF PF b a P D C B A c F b a by a x E AQR R A Q R Q A R A Q R Q A R A ϕϕ以上五道例题，均是天津近三年模拟的椭圆试题。