椭圆中的伸缩变换
利用仿射变化解决椭圆问题
椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 经变换⎪⎩
⎪⎨⎧==Y a b y X
x 后变成圆2
22a Y X =+，在此变换下有
以下一些性质：
○
1点变换后，横坐标不变，纵坐标变为原来的b
a
倍 ○
2直线变换后仍然是直线，且斜率为原来的b
a
倍 ○
3平行线经变换后仍平行 ○4区域D 变换后成为D '，则面积D D S b
a S '= ○
5两平行线段的比是不变量 ○6线段PQ 经变换后变为Q P ''，则：α
α2
22
2
sin cos ||||b a PQ Q P +='' 1.求证：直线0:=++C By Ax l 与椭圆)0(,122
22>>=+b a b
y a x 相切的充要条件是：
2
22)()(C bB aA =+
证明：作仿射变换：⎪⎩⎪
⎨⎧==Y a b y X x
椭圆变为圆：2
22a Y X =+
直线l 变为0:=++'C Y a
bB
AX l 直线l '与圆相切的充要条件是
圆心到直线l '的距离 a a B b A C d =+
=
22
2
2||
整理得：2
22)()(C bB aA =+ ∴原命题得证。
2直线)(m x k y -=与椭圆：122
22=+b
y a x 交于N M ,两点，试求||MN
解：过右焦点作MN 的平行线 易知：θ
cos 2
c a b
M F +=
'，
θ
cos 2
c a b N F -='
θ
ρ2
222
cos 2c a ab N M -=''= 作仿射变换⎪⎩
⎪⎨⎧==a bY
y X x ，
椭圆变为圆：2
2
2
a Y X =+ 直线MN l 变为：0=--akm bY akX 直线N M l ''变为：0=--akc bY akX 圆心到两直线的距离分别为
2
2
1)(||b
ak akm d +=
，2
2
2)(||b
ak akc d +=
x
y
M
F
N
A M 'N '
弦长分别为：2
222
2221)(2b k a b k m a a L ++-=
2
2
22)(12b
ak k ab L ++=
，
长度之比是仿射不变量
()
ρ⋅++-=
∴2
22222
2
b k b b k m a
MN
()()
2222
22
22222
122b
k a k ab b k b b k m a
++⋅++-=。
椭圆中的仿射变换(伸缩变换)
y2 b2
1交于 M , N
两点，试求| MN
|
解：过右焦点作 MN 的平行线
易知： FM
b2
，
a c cos
yM M x
AF
FN b2 a c cos
N N
M N 2ab2 a2 c2 cos2
作仿射变换
x y
X bY
a
，
椭圆变为圆： X 2 Y 2 a2
直线 lMN 变为： akX bY akm 0
a2 m2 k 2 b2 2ab2 1 k 2
b2k2 b2
a2k2 b2
利用仿射变化解决椭圆问题
x2
椭圆
a2
y2 b2
1,
(a
b
0)
经变换
x y
X b a
Y
后变成圆 X 2
Y2
a2 ，在此变换下有
以下一些性质：
a
○1 点变换后，横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍
b
a
○2 直线变换后仍然是直线，且斜率为原来的 倍
b
○3 平行线经变换后仍平行
○4 区域
D 变换后成为 D ，则面积 SD
a b
SD
○5 两平行线段的比是不变量
○6 线段 PQ 经变换后变为 PQ ，则：| PQ || PQ | cos2 a2 b2 sin 2 来自1.求证：直线 l :
Ax
By C
0 与椭圆
x2 a2
y2 b2
1, (a
b
0) 相切的充要条件是：
(aA)2 (bB)2 C 2
x X
证明：作仿射变换：
直线 lM N 变为： akX bY akc 0
椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式是描述椭圆在平面上进行伸缩变换的数学
公式。
伸缩变换是一种线性变换，可以将椭圆按照一定比例同时沿着两个方向进行拉伸或压缩，从而得到一个新的椭圆。
椭圆的伸缩变换公式可以表示为矩阵形式，即：
【a b】【x'】【h】
【c d】 X 【y'】 = 【k】
其中，a、b、c、d是矩阵的四个元素，x'和y'是变换前的椭圆上的一点的坐标，h和k是变换后椭圆上对应点的坐标。
椭圆的伸缩变换公式还可以通过矩阵的特征值和特征向量求得。
如果椭圆的半长轴和半短轴分别为a和b，则其伸缩变换的特征值为a和b，对应的特征向量为椭圆上的两个不同的点。
椭圆的伸缩变换公式是计算机图形学、计算机动画等领域的重要数学工具，在各种图形处理和图形生成算法中都有广泛的应用。
- 1 -。
椭圆中的伸缩变换
1利用仿射变化解决椭圆问题椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 经变换⎪⎩⎪⎨⎧==Y a b y Xx 后变成圆222a Y X =+，在此变换下有以下一些性质：○1点变换后，横坐标不变，纵坐标变为原来的ba倍 ○2直线变换后仍然是直线，且斜率为原来的ba倍 ○3平行线经变换后仍平行 ○4区域D 变换后成为D '，则面积D D S ba S '= ○5两平行线段的比是不变量 ○6线段PQ 经变换后变为Q P ''，则：αα2222sin cos ||||b a PQ Q P +='' 1.求证：直线0:=++C By Ax l 与椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 相切的充要条件是：222)()(C bB aA =+证明：作仿射变换：⎪⎩⎪⎨⎧==Y a b y X x椭圆变为圆：222a Y X =+直线l 变为0:=++'C Y abBAX l直线l '与圆相切的充要条件是2直线)(m x k y -=与椭圆：12222=+by a x 交于N M ,两点，试求||MN2解：过右焦点作MN 的平行线易知：θcos 2c a b M F +='，θcos 2c a b N F -='θρ2222cos 2c a ab N M -=''=作仿射变换⎪⎩⎪⎨⎧==a bYy X x ，椭圆变为圆：222a Y X =+ 直线MN l 变为：0=--akm bY akX 直线N M l ''变为：0=--akc bY akX 圆心到两直线的距离分别为221)(||bak akm d +=，222)(||bak akc d +=。
高考数学深度总结：伸缩变换观点下的椭圆
利用伸缩变换
解决圆锥曲线中的
线性问题
作者：赵呈海
天津市第一〇二中学
指导教师：马萍天津市第一〇二中学
严虹天津市第一〇二中学
纪洪伟天津市第一〇二中学
张倩天津市第一〇二中学
利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题
赵呈海天津市第一〇二中学
摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。
利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。
深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。
关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。
我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。
对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。
但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。
所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。
于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。
这就是解析几何（坐标几何）。
解析几何，高考永恒的重点、难点。
圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。
圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。
利用伸缩变换巧解椭圆问题
龙源期刊网
利用伸缩变换巧解椭圆问题
作者：杜盛伙
来源：《中学教学参考·理科版》2012年第01期
伸缩变换是《数学》人教版（A）选修4—4中的内容，是高中数学课程中的新增内容.椭圆在伸缩变换下可变成圆，圆在伸缩变换下可变成椭圆.笔者在文［1］中利用伸缩变换探究了
椭圆有以下三个性质：
性质1 直线仍变成直线，斜率为原来的
性质2 平行于横轴（或在横轴上）的线段仍平行于横轴（或在横轴上）且长度为原来的
1a，平行于纵轴（或在纵轴上）的线段仍平行于纵轴（或在纵轴上）且长度为原来的
性质3 三角形仍变成三角形，面积为原来的
本文将利用伸缩变换巧解椭圆中的一些问题
参考文献
［1］杜盛伙.伸缩变换下椭圆的几个性质及运用［J］.福建中学数学，2010（3）
［2］李建明.圆性质在圆锥曲线中的推广［J］.数学教学，2007（6）
(责任编辑金铃）。
利用伸缩变换巧解椭圆问题
利用伸缩变换巧解椭圆问题
杜盛伙
【期刊名称】《中学教学参考》
【年(卷),期】2012(000)002
【摘要】伸缩变换是《数学》人教版（A）选修4—4中的内容，是高中数学课程中的新增内容．椭圆在伸缩变换下可变成圆，圆在伸缩变换下可变成椭圆．笔者在文[1]中利用伸缩变换探究了椭圆有以下三个性质：
【总页数】1页(P35-35)
【作者】杜盛伙
【作者单位】福建宁化第一中学,365400
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.活用伸缩变换巧解椭圆问题
2.利用坐标变换巧解解析几何椭圆问题
3.利用伸缩变换巧解椭圆最值问题
4.活用伸缩变换巧解椭圆问题
5.活用伸缩变换巧解高考椭圆问题——以2015年全国部分省市高考试题为例
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利用伸缩变换解决椭圆中一些线段长度乘积问题
２
４
３
变为圆ꎬ借助圆幂定理从几何角度便利解决ꎬ避免了代数
解法的繁杂计算. 同时ꎬ借助伸缩变换ꎬ还可以将前 ３ 个
例题向一般情形作推广.
相关练习
１. 直线 ｌ:ｘ － ２ｙ ＋ ４ ２ ＝ ０ 与椭圆 Ｃ:
在过点 Ｐ(２ꎬ１) 的直线 ｌꎬｌ 与椭圆 Ｃ 交于不同两点 ＡꎬＢꎬ
满足 ｜ ＰＡ ｜ ｜ ＰＢ ｜ ＝ ｜ ＰＭ ｜ ２ ? 若存在ꎬ求出直线 ｌ 的方程ꎻ
例 １ 已知椭圆 Ｅ:
２
ｘ
＋ ｙ２ ＝ １ꎬ设不过原点 Ｏ 且斜率
４
１
为 的直线 ｌ 与椭圆 Ｅ 交于不同的两点 ＡꎬＢꎬ线段 ＡＢ 的
２
中 点 为 Ｍꎬ 直 线 ＯＭ 与 椭 圆 Ｅ 交 于 Ｃꎬ Ｄꎬ 证 明:
｜ ＭＡ ｜ ｜ ＭＢ ｜ ＝ ｜ ＭＣ ｜ ｜ ＭＤ ｜ .
Ｘ ＝ ｘꎬ
证明 作伸缩变换
设圆 Ｃ′与 Ｘ 轴 的 另 一 交 点 为 Ｂ′ꎬ 由 于 ∠Ｂ′ Ｏ′ － ４ｋ ｜
４ｋ２ ＋ ３
１
ꎬ方程为
２
∠Ｂ′Ｑ′Ｒ′ ＝ ９０°ꎬ从而 Ｂ′ꎬＯ′ꎬＱ′ꎬＲ′四点共圆. 由圆幂定
ｙ＝
２ ｜ Ｏ′Ｐ′ ｜ ２ ꎬ其中 Ｒ 为圆 Ｃ′半径.
线与椭圆相切时的 ｜ ＰＴ ｜ ２ 问题ꎬ可借助伸缩变换ꎬ将椭圆
参考文献:
[１] 贺航飞ꎬ李宁. 借助伸缩变换解决椭圆中的一些
问题[ Ｊ] . 数学通讯( 上半月刊) ꎬ２０１８(１１) :１２ － １３ꎬ５６.
[ 责任编辑:李 璟]
１
１
１
１
１
ｋ ｋ ＝ － . 又 ｋ ＡＢ ＝ ꎬ则 ｋ ＯＭ ＝ ｋ ＣＤ ＝ － .
高考数学深度总结：伸缩变换观点下的椭圆
利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题作者：赵呈海天津市第一〇二中学指导教师：马萍天津市第一〇二中学严虹天津市第一〇二中学纪洪伟天津市第一〇二中学张倩天津市第一〇二中学利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题赵呈海天津市第一〇二中学摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。
利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。
深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。
关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。
我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。
对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。
但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。
所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。
于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。
这就是解析几何（坐标几何）。
解析几何，高考永恒的重点、难点。
圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。
圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。
“数、形翻译”的能力是解析几何的核心素养。
这是因为，归根结底，解析几何还是在研究几何问题。
在利用坐标方法解决几何问题时，我们一般要把几何关系“翻译”成代数的语言。
这种“翻译”能力的建立，要求学生对坐标系有深刻的理解，灵活运用代数与几何间的各种“桥梁”将二者建立联系、相互表达。
在高中范围内，学生可以通过练习不断培养这种能力，逐渐丰富“翻译”的经验。
坐标方法固然优点重重，但是在使用“代数化”思路解决问题的程序中无法避免地会伴随计算的问题。
计算往往是圆锥曲线这一难点的切实所在。
圆的性质——椭圆问题伸缩变换
—
７ ０＝０上 的点 Ｐ作椭 圆５ ． － ， ４
‘
一
２
＝
ｌ的切 线 Ｐ Ｐ 切点 分 Ｍ、 Ⅳ，
７
２
．
２
别为 肘、 连结 ＭＮ． １ Ⅳ， （ ）当点 Ｐ 在直线 ｆ 运动 时 ， 明 ： 线 上 证 直 ＭＮ恒过定点 Ｑ；２ （ ）当 ＭＮ／ ／ｌ 时， 定点 Ｑ平分线段 ＭＮ．
涉及到指定 区间上 一元 二次不 等式 的恒成 立 问题 时 ， 应
根据“ 三个二 次”的辨证统一关 系 ， 二次 函数 图象的对称 轴 对
，
四、 结语
化为 ｙ ５ 。—了 代 入直 线 删 方 程 ， ０＝ ２ 得 。 ＋（ ５ 。 ． ２ ５ ０
，
当然 ， 我们这里不对伸缩变换作 进一 步深入 研究 ， 只是 它
一
高等几何 中的仿射 变换 的一种 特殊情 况 ， 有仿 射变 换 的共 既 性特征 ， 也有其 个性特点． 而在这里 的有 关 阐述 ， 体是用 以 主
点（ 其坐标与 ｍ无关 ） ．
，
…
…
…
…
下
．
２
．
ｊ
解 通 伸 变 ｛ ， 把 圆 析 过 缩 换 一 可 椭 等 ｝ Ｌ ３ 以 一
‘ ＾， ‘
过 直线 ｌ ｘ一 ： ５
１１
一７ ０＝０上的 ｐ．２ ＝１ ． ＋ ｘ 的切线
变换成圆 ＋ｙ ２＝９ 设 ＭＮ与 Ａ ． 曰交 于点 日（ ，） 由有关 圆 ｈＯ ， 的一个性质 ： 圆内接 四边形 Ａ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ，Ｄ与 Ｂ Ｃ交 于点 Ｐ，Ｃ与 Ａ
解析
的 问题 ：
图３
系 中，知 圆 々 ＝ 的 顶 为 、， 点 已 椭 等＋ １ 左右 点 Ｂ右焦 为
用坐标伸缩变换解决椭圆问题
解 得 一５一
所 以 当 ｍ ＞ １＋ 时， 椭 圆 ① 内含于椭 圆 ②．
评析 用两 圆的位 置关系来 代 替两椭 圆的位 置
所以当 一５一√１ ３ ＜ｍ ＜一５＋￣ ／ １ ３时已知直
线与椭 圆相交 ．
２ ２
关 系显 然 问题容 易解决 ， 而坐标 伸缩 变换恰 好 沟通 了 两者 之间 的关 系 ， 化繁为 简 ， 安全可靠．
相应的圆 ＋ Ｙ ＝１ 和直线 ２ ｋ ｘ 一 √ ｍｙ 一１ ： ０ ， 要
使 已知 的直线 与椭 圆有且仅 有一个 公 共 点 ， 只要相 应
的直 线与 圆相切． Ｐ（ ｍ， ） 变 为 相 应 的 圆 ， ＋ｙ ， ２：１和 定 点 Ｐ （ ，
解 令 ， ： ，ｙ 车， 则已 知椭圆 和定点
ｆ １ 的距 离小 于半 径 １ ， 即 ｌ ２×１—３×（ 一１ ）＋， ｎ ｌ ，，
、
、 ／ ／ （ １ —０ ） ＋（ 一１— ０ ） ＜ ｌ ， ｎ一１ ｌ （ ， ｎ＞０ ） ，
解得 ｍ ＞ １＋ ， 或 ｍ ＜ １一 （ 舍去） ，
恩
＜ ｍ ＜一５＋
ｎ Ｚ
椭 圆方 程变为
所 在 直线的 方 程为ｙ ， 一 旱＝ 一 （ ， 一 ） ．
所 以以 Ｐ （ ｍ， ｎ ）为 中点 的弦 所在 的直 线 方程 为
ｙ
一
＋ Ｙ ＝１ Ｄ Ｄ 即 ＋ 午 １ ＝ ２ ｂ ，
，
２
令 ， ＿ ， Ｙ √ ２ ｙ ，
７ ３ ０ ０ ７ ０
宋
波
解 得 一 了 １ ＜ ＜ ÷ ．
评析 以上 两例也可 以用一 元二 次方 程 的判别