圆的性质——椭圆问题伸缩变换
例谈伸缩变换在高考椭圆问题中的“五个巧用”
例谈伸缩变换在高考椭圆问题中的“五个巧用”
陈启南
【期刊名称】《中学数学研究（华南师范大学）：上半月》
【年(卷),期】2016(0)8
【摘要】“伸缩变换”是高中数学选修的内容，借助伸缩变换，可以实现椭圆与
圆的互化．笔者发现近年高考试题中一些椭圆问题，用常规方法处理，不仅运算过程繁琐，而且难度系数颇高．若考虑利用伸缩变换，将椭圆转为圆来求解，可以拓宽解题思路，达到化繁为简，事半功倍的效果．
【总页数】3页(P13-15)
【关键词】椭圆问题;伸缩变换;高考试题;巧用;高中数学;难度系数;解题思路;化繁为简
【作者】陈启南
【作者单位】广东省梅县东山中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.例谈坐标伸缩变换在解题中的应用 [J], 胡浩鑫
2.“圆”来如此话椭圆——例谈伸缩变换在解决椭圆问题中的应用 [J], 张文海
3.活用伸缩变换巧解高考椭圆问题——以2015年全国部分省市高考试题为例 [J], 杨瑞强
4.让椭圆“圆”形毕露——浅谈伸压变换在高考椭圆问题中的应用 [J], 魏国兵
5.例谈伸缩变换在解高考题中的应用 [J], 张文玲
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椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式是指，对于一个椭圆，如果我们对它进行伸缩变换，那么它的面积和周长会如何变化。
具体来说，设椭圆的长轴和短轴分别为a和b，而伸缩因子分别为k1和k2，那么经过伸缩变换后，椭圆的面积和周长分别变为：
面积：S' = πabk1k2
周长：L' = 2πb√((k1^2 + k2^2)/2)
其中，π是圆周率。
这个公式对于许多涉及到椭圆的问题都有很大的用处，例如在图像处理中，对椭圆进行伸缩变换可以实现图像的拉伸或压缩，从而达到改变图像尺寸和形状的目的。
此外，在数学教学和研究中，椭圆的伸缩变换公式也是一个重要的基础知识，它可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的相关概念和定理。
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妙用伸缩变换化椭为圆
高中妙用伸缩变换化椭为圆?重庆市永川北山中学校 黄基云椭圆狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞０，犫＞０）在伸缩变换狓′＝狓犪，狔′＝狔犫烅烄烆下变成了圆狓′２＋狔′２＝１，直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃犅≠０）在伸缩变换狓′＝狓犪，狔′＝狔犫烅烄烆下仍然变成直线犾′：犪犃狓′＋犫犅狔′＋犆＝０（犃犅≠０），其斜率犽犾′＝犪犫犽犾．用圆的性质来解决直线与椭圆问题，解法简便快捷．一、直线与椭圆的位置关系问题例１ 判定直线３狓－２狔＋３＝０与椭圆狓２４＋狔２＝１的位置关系．解：作坐标变换狓′＝狓２，狔′＝狔，烅烄烆则在新坐标系狓′犗′狔′中，椭圆变成单位圆狓′２＋狔′２＝１，直线的方程变为６狓′－２狔′＋３＝０．因为圆心犗′（０，０）到直线６狓′－２狔′＋３＝０的距离犱＝３槡４０＜１（单位圆的半径），所以直线与单位圆相交，于是直线３狓－２狔＋３＝０与椭圆狓２４＋狔２＝１相交．评注：利用单位圆中圆心到直线的距离和半径的大小关系来判断椭圆和直线的位置关系．设直线为犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃犅≠０），椭圆为狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞０，犫＞０），则直线与椭圆相交等价于犪２犃＋犫２犅－犆２＞０；直线与椭圆相切等价于犪２犃＋犫２犅－犆２＝０；直线与椭圆相离等价于犪２犃＋犫２犅－犆２＜０．二、直线与椭圆的最值问题例２ 在椭圆狓２９＋狔２４＝１上求一点犕，使点犕到直线狓＋２狔－１０＝０的距离最小，并求出最小距离．解：作坐标变换狓′＝狓３，狔′＝狔２，烅烄烆则在新坐标系狓′犗′狔′中，椭圆变成单位圆狓′２＋狔′２＝１，直线的方程变为３狓′＋４狔′－１０＝０．所求问题可转化为：在单位圆上求一点犕′，使点犕′到直线３狓′＋４狔′－１０＝０的距离最小，并求出最小距离．因为过圆心犗′（０，０）与直线３狓′＋４狔′－１０＝０垂直的直线的方程为狔′＝４３狓′，它与单位圆的交点为３５，４５（），－３５，－４５（），所以犕′３５，４５（）到直线３狓′＋４狔′－１０＝０的距离最小，于是椭圆上的点犕９５，８５（）到直线狓＋２狔－１０＝０的距离最小，最小距离为槡５．评注：这是人教版４－４上的一道例题，常规思路是用椭圆的参数方程及三角函数求极值的方法求解，也可以用向量的方法求解．三、直线与椭圆的中点弦问题例３ 已知椭圆狓２２＋狔２＝１．（１）求斜率为２的平行弦的中点轨迹方程；（２）过点犃（２，１）的直线犾与椭圆相交，求直线犾被截得的弦的中点轨迹方程；（３）过点犘１２，１２（）且被犘平分的弦所在直线的方程．解：（１）作坐标变换狓′＝狓槡２，狔′＝狔，烅烄烆则在新坐标系狓′犗′狔′中，椭圆变成单位圆狓′２＋狔′２＝１，斜率为２的直线变为斜率为槡２２的直线．２２教学参谋新颖试题 ２０２１年１月Copyright©博看网 . All Rights Reserved.高中所求问题可转化为：在单位圆中求斜率为槡２２的平行弦的中点轨迹方程．设中点为犘′（狓′，狔′）．直线犗′犘′的斜率犽′＝狔′狓′＝－１槡２２，即狓′＋槡２２狔′＝０．所以所求轨迹方程为狓＋４狔＝０－４３＜狓＜４３（）．（２）设过点犃（２，１）的直线犾的方程为狔－１＝犽（狓－２）．作坐标变换狓′＝狓槡２，狔′＝狔，烅烄烆则在新坐标系狓′犗′狔′中，椭圆变成单位圆狓′２＋狔′２＝１，犃（２，１）变为犃′（槡２，１），直线犾的方程变为狔′－１＝槡２犽（狓′－槡２）．所求问题可转化为：过点犃′（槡２，１）的直线犾′与单位圆相交，求直线犾′被截得的弦的中点轨迹方程．设中点为犘′（狓′，狔′）．直线犗′犘′的斜率犽＝狔′狓′，则过点犃′（槡２，１）的直线犾′被截得的弦的中点轨迹方程为狔′－１＝－狓′狔′（狓′－槡２），即狓′２－槡２狓′＋狔′２－狔′＝０．所以所求轨迹方程为狓２＋２狔２－２狓－２狔＝０（夹在椭圆内的部分）．（３）作坐标变换狓′＝狓槡２，狔′＝狔，烅烄烆则在新坐标系狓′犗′狔′中，椭圆变成单位圆狓′２＋狔′２＝１，点犘１２，１２（）变成点犘′１槡２２，１２（）．所求问题可转化为：求在单位圆中过点犘′１槡２２，１２（）且被犘′平分的弦所在直线的方程．直线犗′犘′的斜率犽′＝槡２，过点犘′１槡２２，１２（）且被犘′平分的弦所在直线的方程为狔′－１２＝－１槡２·狓′－１槡２２（），即１槡２狓′＋狔′－３４＝０．所以所求直线方程为２狓＋４狔－３＝０．评注：原来弦的中点，变换后仍然是弦的中点；过椭圆狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞０，犫＞０）内一点犘（犿，狀）引动弦的中点的轨迹方程为狓－犿２（）２犪２＋狔－狀２（）２犫２＝１４犿２犪２＋狀２犫２（）；设犘（犿，狀）为椭圆狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞０，犫＞０）内一定点，过点犘且以点犘为中点的弦所在直线的方程为狔－狀＝－犫２狀犪２犿（狓－犿）（当狀≠０时）或狓＝犿（当狀＝０时）．四、直线与椭圆的相交弦问题例４ 已知椭圆狓２２４＋狔２１６＝１，直线犾：狓１２＋狔８＝１，犘是犾上一点，射线犗犘交椭圆于犚，又点犙在犗犘上且满足犗犙·犗犘＝犗犚２，当点犘在犾上移动时，求点犙的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：作坐标变换狓′＝狓槡２６，狔′＝狔４，烅烄烆则在新坐标系狓′犗′狔′中，椭圆变成单位圆狓′２＋狔′２＝１，直线犾的方程变为狓′槡６＋狔′２＝１．因为在原坐标系中有犗犙·犗犘＝犗犚２，所以在新的坐标中犗′犙′·犗′犘′＝犗′犚′２仍成立．设以犗′狓′轴为始边，犗′犘′为终边的角为θ．令犗′犘′＝狉，则犘′（狉ｃｏｓθ，狉ｓｉｎθ），则狉ｃｏｓθ槡６＋ｓｉｎθ２（）＝１，而犗′犚′＝１，所以犗′犙′＝１狉＝ｃｏｓθ槡６＋ｓｉｎθ２．设犙′（狓′，狔′）．则狓′＝犗′犙′ｃｏｓθ＝ｃｏｓ２θ槡６＋ｓｉｎθｃｏｓθ２，狔′＝犗′犙′ｓｉｎθ＝ｓｉｎθｃｏｓθ槡６＋ｓｉｎ２θ２．烅烄烆即狓′－１槡２６＝１槡２６ｃｏｓ２θ＋１４ｓｉｎ２θ， ①狔′－１４＝１槡２６ｓｉｎ２θ－１４ｃｏｓ２θ． ②烅烄烆①２＋②２可得点犙′的轨迹方程为狓′－１槡２６（）２＋狔′－１４（）２＝１２４＋１１６（点犙′不与原点犗′重合）．把狓′＝狓槡２６，狔′＝狔４烅烄烆代入上式即得点犙的轨迹方程为３２２０２１年１月 新颖试题教学参谋Copyright©博看网 . All Rights Reserved.高中２（狓－１）２５＋３（狔－１）２５＝１，故点犙的轨迹是以（１，１）为中心，长半轴长为槡１０２，短半轴长为槡１５３，且焦点在直线狔＝１上的椭圆（除去原点）．评注：上述给出的解法充分利用在新坐标系下“犗′犚′＝１”，极大地简化了计算．其实，点犘１（狓１，狔１）和犘２（狓２，狔２）在伸缩变换狓′＝狓犪，狔′＝狔犫烅烄烆下变为点犘１′（狓１′，狔１′）和点犘２′（狓２′，狔２′），则犘１′犘２′＝１犪２＋１犫２犽槡２１＋犽槡２犘１犘２，其中犽为直线犘１犘２的斜率．五、直线与椭圆的相切问题例５ 已知点犘（狓，狔）在椭圆狓２＋狔２４＝１上运动，求狌＝狔２狓－４的最大值．解：作坐标变换狓′＝狓，狔′＝狔２，烅烄烆则在新坐标系狓′犗′狔′中，椭圆变成单位圆狓′２＋狔′２＝１，狌＝狔２狓－２＝狔′狓′－２．所求问题可转化为：犘′（狓′，狔′）是单位圆狓′２＋狔′２＝１上的动点，求狌＝狔′狓′－２的最大值．设犃（２，０），则狌即为直线犃犘′的斜率犽．设过点犃的圆的切线为犃犅、犃犆（犅、犆为切点），则犽犃犅＝－槡３３，犽犃犆＝槡３３．当点犘′和点犆重合时，犽取最大值槡３３，即当狓′＝１２，狔′＝－槡３２，烅烄烆也即当狓＝１２，狔＝－槡３烅烄烆时，狌ｍａｘ＝槡３３．评注：本题的常规解法是用椭圆的参数方程及三角函数求极值的方法求解，或化为椭圆上的点和定点犃（２，０）的连线的斜率的最值求解，但运算相对比较复杂．一般情况下，解决直线与椭圆问题时，需要联立求解，用韦达定理求解出狓１＋狓２或狓１狓２，较为烦琐，把椭圆变成圆以后，我们就可以利用圆的一些几何性质来解决直线（直线伸缩变换后仍为直线）与椭圆的相交或相切问题，计算也会大大简化．值得注意的是伸缩变换后同一直线上或平行直线上的两线段长度比不发生改变．两图形经伸缩变换后交点个数不变，也就是说，原图形若相交，则变换后仍相交；原图形若相切，则变换后仍相切；原图形中若是弦的中点，则变换后仍是弦的中点．犉檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯（上接第２１页）数形结合可知两者共有６个不同的交点，则犽的最大值为６，故填答案：６．点评：解决此类创新应用问题，关键是借助平面直角坐标系加以直观分析，先确定其中的一个要素进行分析与处理，再结合条件对相应的图像进行平移变换，从而由数形直观来解决．从解析几何图形直观入手，借助圆的平移变换，从而有效、直观、快捷地处理问题．同时，２０２０年高考数学上海试卷在注重对数学知识本质理解与掌握的基础上，重视数学思维的灵活性、严谨性及深刻性，突出对考生创新意识、应用意识的考查，对高中数学教学起到积极的引导作用，有利于高校选拔优秀人才．四、总结命题规律，指导后继教学从２０２０年高考数学上海试卷看，试卷中基础题、中档题、难题的比例基本维持在４∶４∶２的相对稳定水平，对于大部分考生来说，试卷的难易度与往年高考相类似，平时教学与学习中基本也是这个层次，因而在考前多做一些基础性的训练，依旧可以帮助考生取得一个不错的成绩．这也给后继的高三教学与复习备考指明方向．大家不需要过分地去钻研偏、难、怪的试题，夯实基础，把握主干，不断地提高能力．同时，考生在冲刺复习阶段，一定要重点关注一些基础类型的题目，越是基础扎实，高考越是稳妥．考生要关注数学的发展，关注社会民生，社会热点，树立创新意识，就能够在新高考当中脱颖而出．犉４２教学参谋新颖试题 ２０２１年１月Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
椭圆与圆的伸缩变换
《椭圆与圆的伸缩变换》小朋友们，今天我要给你们讲讲椭圆和圆的伸缩变换，这可有趣啦！你们看，圆就像一个超级圆滚滚的皮球，每一处到中心点的距离都一样长。
那椭圆呢？它有点特别，不像圆那么圆圆的，而是有点扁扁的或者长长的。
比如说，我们有一个圆，然后像变魔术一样把它拉长或者压扁，它就变成椭圆啦。
就好像我们吹气球，本来气球是圆圆的，要是我们轻轻拉一拉，它就不再是标准的圆，有点像椭圆了呢。
再想想，我们吃的甜甜圈，有的就是椭圆形状的。
椭圆和圆的伸缩变换是不是很神奇呀？其实，在我们的生活中，也能看到很多椭圆和圆的伸缩变换哦。
比如马路上的井盖，大多数是圆的，但有时候也能看到一些椭圆形的井盖呢。
小朋友们，你们记住椭圆和圆的伸缩变换了吗？《椭圆与圆的伸缩变换》嘿，小伙伴们！今天咱们来聊聊椭圆与圆的伸缩变换。
圆，大家都很熟悉吧？就像我们玩的皮球，圆圆的，可好看啦！那椭圆呢？它就像是被人轻轻捏了一下的圆。
比如说，我们画一个圆，然后把它的左右两边往中间挤一挤，或者把上下两边拉长，它就变成椭圆啦。
想象一下，妈妈做的煎饼，如果是圆圆的，那就是圆。
要是不小心被压了一下，变得有点扁，那就成了椭圆。
还有我们的操场跑道，外圈是椭圆的，内圈的足球场有时候就是圆的。
椭圆和圆的伸缩变换是不是很有意思？以后我们看到椭圆和圆，就可以想想它们是怎么变来变去的啦！《椭圆与圆的伸缩变换》小朋友们，咱们一起来认识椭圆与圆的伸缩变换哟！圆，就像一个完美的小太阳，到处都一样圆。
椭圆呢，就像是圆变了个样子。
比如说，有一个大大的圆气球，我们抓住两边轻轻拉一拉，它就不再是原来的圆，变成椭圆啦。
还有我们用的镜子，有的是圆圆的，有的是椭圆的。
就好像镜子也会变魔术一样。
再想想看，公园里的湖，有的是圆圆的，有的是椭圆的。
椭圆和圆的伸缩变换是不是很神奇呀？希望小朋友们以后能多多发现生活中椭圆和圆的伸缩变换哟！。
椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式是描述椭圆在平面上进行伸缩变换的数学
公式。
伸缩变换是一种线性变换，可以将椭圆按照一定比例同时沿着两个方向进行拉伸或压缩，从而得到一个新的椭圆。
椭圆的伸缩变换公式可以表示为矩阵形式，即：
【a b】【x'】【h】
【c d】 X 【y'】 = 【k】
其中，a、b、c、d是矩阵的四个元素，x'和y'是变换前的椭圆上的一点的坐标，h和k是变换后椭圆上对应点的坐标。
椭圆的伸缩变换公式还可以通过矩阵的特征值和特征向量求得。
如果椭圆的半长轴和半短轴分别为a和b，则其伸缩变换的特征值为a和b，对应的特征向量为椭圆上的两个不同的点。
椭圆的伸缩变换公式是计算机图形学、计算机动画等领域的重要数学工具，在各种图形处理和图形生成算法中都有广泛的应用。
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用伸缩变换突破高考难题
用伸缩变换突破高考难题李昌成(新疆乌鲁木齐市第八中学ꎬ新疆乌鲁木齐８３０００２)摘㊀要:通过伸缩变换可将椭圆变换为圆ꎬ有关直线与椭圆的问题就变换为直线与圆的问题.借助圆特有的一些性质解题ꎬ思路会来得比较自然ꎬ解题中可以明显减小运算.关键词:伸缩变换ꎻ椭圆ꎻ圆中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０１－０００２－０４收稿日期:２０２３－１０－０５作者简介:李昌成(１９７７－)ꎬ男ꎬ四川省资阳人ꎬ本科ꎬ中学正高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀圆锥曲线是高中数学的重要内容之一ꎬ所有学生在这一内容上都投入了很大的精力.每年高考的圆锥曲线解答题运算量都很大ꎬ考生普遍得分率很低.对这一现象ꎬ我们都在思考是否有解决的办法.我们可否将教材上的圆㊁椭圆㊁坐标变换这三个内容整合在一起ꎬ以坐标变换为纽带将圆的特有性质应用于有关椭圆的考题中?坐标变换(这里主要研究伸缩变换)是仿射几何的范畴ꎬ为了解题需要ꎬ高中数学教学应达到什么程度?或者说ꎬ应补充哪些理论知识?１理论准备我们通过教学实践研究发现ꎬ在教材现有知识的基础上稍微拓展一下理论就可以应用伸缩变换解题ꎬ尤其是突破一些高考的难题ꎬ大有裨益.即伸缩变换为ｘᶄ＝ｘａꎬｙᶄ＝ｙｂ.ìîíïïïï引理１㊀伸缩变换前后ꎬ共线点依然共线.引理２㊀伸缩变换前后ꎬ平行线依然平行ꎬ相交线依然相交ꎬ直线和曲线的位置关系不变.引理３㊀伸缩变换前后ꎬ共线(平行)的线段长度比不变.引理４㊀伸缩变换前后ꎬ直线斜率满足ｋ＝ｂａｋᶄ.引理５㊀伸缩变换前后ꎬ封闭图形的面积满足Ｓ＝ａｂＳᶄ.２应用伸缩变换解题题型１㊀证明直线过定点(三点共线).例１㊀(２０２２年全国高考乙卷理科第２０题)已知椭圆Ｅ的中心为坐标原点ꎬ对称轴为ｘ轴㊁ｙ轴ꎬ且过Ａ０ꎬ－２()ꎬＢ３２ꎬ－１æèçöø÷两点.(１)求Ｅ的方程ꎻ(２)设过点Ｐ１ꎬ－２()的直线交Ｅ于ＭꎬＮ两点ꎬ过点Ｍ且平行于ｘ轴的直线与线段ＡＢ交于点Ｔꎬ点Ｈ满足ＭＴң＝ＴＨң.证明:直线ＨＮ过定点[１].解析㊀(１)椭圆Ｅ的方程为ｙ２４＋ｘ２３＝１.下面应用伸缩变换解答(２).设伸缩变换为ｘᶄ＝ｘ３ꎬｙᶄ＝ｙ２ꎬìîíïïïï则Ｅ变换为单位圆:ｘᶄ２＋ｙᶄ２＝１.如图１.图１㊀例１解析示意图因为ｘＡᶄ＝０３＝０ꎬｙＡᶄ＝－２２＝－１ꎬ所以Ａᶄ(０ꎬ－１).同理Ｂᶄ(３２ꎬ－１２)ꎬＰᶄ(３３ꎬ－１).设ＭᶄＮᶄ与ＡᶄＢᶄ相交于点Ｑᶄꎬ连接ＡᶄＰᶄꎬＡᶄＮᶄꎬＯᶄＰᶄꎬＯᶄＢᶄ.过点Ｏᶄ作ＯᶄＤᶄʅＭᶄＮᶄ于点Ｄᶄꎬ连接ＡᶄＤᶄꎬ由两点间距离公式易得ＡᶄＢᶄ＝ＯＡᶄ＝ＯＢᶄ＝１.所以ΔＯᶄＡᶄＢᶄ是正三角形.结合图１ꎬ猜想ＮᶄꎬＨᶄꎬＡᶄ共线ꎬ也就是ＮᶄＨᶄ过定点Ａᶄ.下面证明猜想.要证明ＮᶄꎬＨᶄꎬＡᶄ共线ꎬ只需证明ＭᶄＮᶄＰᶄＮᶄ＝ＨᶄＭᶄＡᶄＰᶄ.①因为Ａᶄ(０ꎬ１)ꎬＰᶄ(３３ꎬ－１)ꎬ所以ＡᶄＰᶄʊｘ轴.而ＭᶄＴᶄʊｘ轴ꎬ因此ＡᶄＰᶄʊＭᶄＴᶄ.所以ＭᶄＱᶄＰᶄＱᶄ＝ＭᶄＴᶄＡᶄＰᶄ.于是ＰᶄＱᶄ－ＰᶄＭᶄＰᶄＱᶄ＝ＭᶄＴᶄＡᶄＰᶄ.即１－ＰᶄＭᶄＰᶄＱᶄ＝ＭᶄＴᶄＡᶄＰᶄ.②②除以①ꎬ得１－ＰᶄＭᶄ/ＰᶄＱᶄＭᶄＮᶄ/ＰᶄＮᶄ＝１２.整理ꎬ得ＰᶄＮᶄＭᶄＮᶄ－ＰᶄＭᶄ ＰᶄＮᶄＰᶄＱᶄ ＭᶄＮᶄ＝１２.③因为ＡᶄＰᶄ是圆Ｏᶄ的切线ꎬ所以ＡᶄＰᶄ２＝ＰᶄＭᶄ ＰᶄＮᶄ＝(３３)２＝１３.④将④代入③ꎬ得ＰᶄＮᶄ－１３ＰᶄＱᶄ＝１２ＭᶄＮᶄ.⑤因为ＡᶄＰᶄʅＯᶄＡᶄꎬＯᶄＤᶄʅＭᶄＮᶄꎬ所以ＯᶄꎬＡᶄꎬＰᶄꎬＤᶄ四点共圆.因为ｔａｎøＡᶄＯᶄＰᶄ＝３３ꎬ所以øＡᶄＯᶄＰᶄ＝３０ʎ.于是øＯᶄＤᶄＡᶄ＝øＯᶄＰᶄＡᶄ＝６０ʎ.而øＡᶄＤᶄＰᶄ＝９０ʎ－øＯᶄＤᶄＡᶄ＝３０ʎꎬøＱᶄＡᶄＰᶄ＝９０ʎ－øＯᶄＡᶄＢᶄ＝３０ʎꎬ所以øＡᶄＤᶄＰᶄ＝øＱᶄＡᶄＰᶄ.因此ΔＡᶄＤᶄＰᶄʐΔＱᶄＡᶄＰᶄ.于是ＰᶄＱᶄＡᶄＰᶄ＝ＡᶄＰᶄＰᶄＤᶄ.进而ＰᶄＱᶄ ＰᶄＤᶄ＝ＡᶄＰᶄ２＝１３.变形ꎬ得ＰᶄＤᶄ＝１３ＰᶄＱᶄ.⑥将⑥代入⑤ꎬ得ＰᶄＮᶄ－ＰᶄＤᶄ＝１２ＭᶄＮᶄ.⑦结合投影和垂径定理ꎬ⑦成立.所以猜想成立.因此ꎬ直线ＨᶄＮᶄ过定点(０ꎬ－１).由引理１得ꎬ直线ＨＮ过定点(０ꎬ－２).评注㊀用传统方法解答此题运算量非常大ꎬ有兴趣的同仁可以试做一下ꎬ在高考有限的时间内考生难以完成.伸缩变换解法几乎没有运算ꎬ全程只有逻辑推理ꎬ思路清晰ꎬ解题耗时较少ꎬ正确率也高.题型２㊀证明存在性问题例２㊀(２０１５年全国高考Ⅱ卷理科第２０题第(２)问)已知椭圆Ｃ:９ｘ２＋ｙ２＝ｍ２(ｍ>０)ꎬ直线ｌ不过原点Ｏ且不平行于坐标轴ꎬｌ与Ｃ有两个交点ＡꎬＢꎬ线段ＡＢ的中点为Ｍ.若ｌ过点(ｍ３ꎬｍ)ꎬ延长线段ＯＭ与Ｃ交于点Ｐꎬ四边形ＯＡＰＢ能否为平行四边形?若能ꎬ求此时ｌ的斜率ꎻ若不能ꎬ说明理由.解析㊀由９ｘ２＋ｙ２＝ｍ２(ｍ>０)ꎬ得ｘｍ/３æèçöø÷２＋ｙｍæèçöø÷２＝１.设伸缩变换为ｘᶄ＝ｘｍ/３ꎬｙᶄ＝ｙｍꎬìîíïïïï则椭圆Ｃ变换为单位圆:ｘᶄ２＋ｙᶄ２＝１ꎬ如图２.图２㊀例２解析示意图记Ｔ(ｍ３ꎬｍ)ꎬ则ｘＴᶄ＝ｍ/３ｍ/３＝１ꎬｙＴᵡ＝ｍｍ＝１.ìîíïïïïꎬ即Ｔᶄ(１ꎬ１).记直线ｌ在伸缩变换前后的斜率分别为ｋꎬｋᶄ.则直线ｌᶄ的点斜式方程为ｙᶄ＝ｋᶄ(ｘᶄ－１)＋１.由引理２知ꎬ四边形ＯᶄＡᶄＰᶄＢᶄ是平行四边形ꎬ进而结合圆的性质可判断其为菱形.所以әＯᶄＡᶄＰᶄ是边长为１的正三角形.所以ＯᶄＭᶄʅＡᶄＢᶄ.设ＯᶄＰᶄ与ＡᶄＢᶄ相交于点Ｍᶄꎬ由正三角形性质ꎬ得ＯᶄＭᶄ＝１２.将ｙᶄ＝ｋᶄ(ｘᶄ－１)＋１变形为ｋᶄｘᶄ－ｙᶄ－ｋᶄ＋１＝０ꎬ于是ＯᶄＭᶄ＝１－ｋᶄｋᶄ２＋１＝１２.解得ｋᶄ＝４ʃ７３.由引理４知ꎬｋ＝ｂａｋᶄ＝ｍｍ/３ˑ４ʃ７３＝４ʃ７.评注㊀本例通过伸缩变换后得到的四边形非常特殊ꎬ这为后续计算提供了方便.如果按照常规办法求解ꎬ一定不可避开大量的字母运算ꎬ甚至解题思路受阻ꎬ不知如何应用平行四边形这个条件.题型３㊀证明垂直.例３㊀(２０１９年新课标全国Ⅱ卷第２１题)已知点Ａ(－２ꎬ０)ꎬＢ(２ꎬ０)ꎬ动点Ｍ(ｘꎬｙ)满足直线ＡＭ与ＢＭ的斜率之积为－１２.记Ｍ的轨迹为曲线Ｃ.(１)求Ｃ的方程ꎬ并说明Ｃ是什么曲线ꎻ(２)过坐标原点的直线交Ｃ于ＰꎬＱ两点ꎬ点Ｐ在第一象限ꎬＰＥʅｘ轴ꎬ垂足为点Ｅꎬ连接ＱＥ并延长交Ｃ于点Ｇ.证明әＰＱＧ是直角三角形[２].解析㊀(１)Ｃ的方程为ｘ２４＋ｙ２２＝１(｜ｘ｜ʂ２).下面应用伸缩变换解答(２).设伸缩变换为ｘᶄ＝ｘ２ꎬｙᶄ＝ｙ２ꎬìîíïïïï则椭圆Ｃ变换为单位圆:ｘᶄ２＋ｙᶄ２＝１ꎬ如图３.图３㊀例３解析示意图设Ｐᶄ(ｓꎬｔ)ꎬ由引理１结合单位圆性质知Ｑᶄ(－ｓꎬ－ｔ)ꎬＥᶄ(ｓꎬ０).所以ｋＱᶄＧᶄ＝ｋＱᶄＥᶄ＝ｔ２ｓ.在圆Ｏᶄ中ꎬＰＱ是直径ꎬ所以ＰᶄＧᶄʅＱᶄＧᶄ.所以ｋＰᶄＧᶄ＝－２ｓｔ.由引理４知ｋＰＱ＝２２ｋＰᶄＱᶄꎬｋＰＧ＝２２ｋＰᶄＧᶄ.因此ｋＰＱˑｋＰＧ＝２ｔ２ｓˑ２２ˑ(－２ｓｔ)＝－１.于是ＰＱʅＰＧ.所以ΔＰＱＧ是直角三角形.评注㊀本题通过伸缩变换后ꎬ借助直径所对圆周角为直角巧妙地证明了问题ꎬ省去了判断直角顶点的麻烦ꎬ可谓一箭双雕.事实上ꎬ用传统办法证明不仅运算量大ꎬ而且很难一次性找准直角顶点.题型４㊀求(最)值.例４㊀(２０１３年高考全国Ⅱ卷理科第２０题)平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ过椭圆Ｍ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)右焦点的直线ｘ＋ｙ－３＝０交Ｍ于ＡꎬＢ两点ꎬＰ为ＡＢ的中点ꎬ且ＯＰ的斜率为１２.(１)求Ｍ的方程ꎻ(２)ＣꎬＤ为Ｍ上的两点ꎬ若四边形ＡＣＢＤ的对角线ＣＤʅＡＢꎬ求四边形ＡＣＢＤ面积的最大值.解析㊀(１)Ｍ的方程为ｘ２６＋ｙ２３＝１.下面应用伸缩变换解答(２).设伸缩变换为ｘᶄ＝ｘ６ꎬｙᶄ＝ｙ３ꎬìîíïïïï则椭圆Ｍ变换为单位圆:ｘᶄ２＋ｙᶄ２＝１ꎬ如图４.图４㊀例４解析示意图直线ＡＢ的方程ｘ＋ｙ－３＝０变换成６ｘᶄ＋３ｙᶄ－３＝０ꎬ即直线ＡᶄＢᶄ的方程为２ｘᶄ＋ｙᶄ－１＝０.根据已知ꎬ可设直线ＣＤ的方程为ｘ－ｙ＋ｔ＝０ꎬ那么直线ＣᶄＤᶄ的方程为６ｘᶄ－３ｙᶄ＋ｔ＝０.设直线ＣᶄＤᶄ的倾斜角为αꎬ则ｋＣᶄＤᶄ＝ｔａｎα＝２.而ｋＡᶄＢᶄ＝－２ꎬ所以直线ＡᶄＢᶄ的倾斜角为π－α.设ＡᶄＢᶄꎬＣᶄＤᶄ与ｘ轴分别交于ＰᶄꎬＱᶄꎬＡᶄＢᶄ与ＣᶄＤᶄ交于点Ｔᶄꎬ那么øＴᶄＱᶄＰᶄ＝øＴᶄＰᶄＱᶄ＝α.所以ｓｉｎøＱᶄＴᶄＰᶄ＝ｓｉｎ(π－２α)＝ｓｉｎ２α＝２ｔａｎα１＋ｔａｎ２α＝２２３.在圆Ｏᶄ中ꎬ由垂径定理易得ＡᶄＢᶄ＝２１－(１３)２＝２６３ꎬＣᶄＤᶄ＝２１－(ｔ３)２＝２３９－ｔ２.所以ＳＡᶄＣᶄＢᶄＤᶄ＝１２ˑＡᶄＢᶄˑＣᶄＤᶄˑｓｉｎøＱᶄＴᶄＰᶄ＝１２ˑ２６３ˑ２３９－ｔ２ˑ２２３＝８３２７９－ｔ２ɤ８３９.由引理５ꎬ得ＳＡＣＢＤ＝６ˑ３ˑＳＡᶄＣᶄＢᶄＤᶄɤ８６３.所以四边形ＡＣＢＤ面积的最大值为８６３.评注㊀通过伸缩变换得到的四边形内包含的等腰三角形为构造面积函数作了铺垫ꎬ圆的特性使面积函数关系简单ꎬ这样处理最值问题非常方便.在推理中夹杂着少量运算ꎬ这种解题充满着思辨性.３结束语利用伸缩变换ꎬ结合单位圆的特性解题非常方便.我们在教学中可以利用大单元教学理论对教材知识进行合理整合ꎬ根据解题需要对相关知识进行适当拓展ꎬ这样不仅可以优化学生的知识结构ꎬ还可以拓广学生的解题思维ꎬ增加解题方法ꎬ提高解题准确率.参考文献:[１]任志鸿.十年高考[Ｍ].北京:知识出版社ꎬ２０２２.[２]李红春.仿射变换下一类椭圆问题的简单解法[Ｊ].中学数学月刊ꎬ２０１２(１２):４０－４２ꎬ４９.[责任编辑:李㊀璟]。
椭圆伸缩变换
椭圆伸缩变换
椭圆伸缩变换是指将一个二维椭圆进行伸缩变换，使得其形状、大小、位置发生改变
的变换。
该变换是图像变换中的一种，可以用于图像处理、计算机视觉、计算机图形学等
领域中。
椭圆的伸缩变换可以分为两种：整体伸缩变换和局部伸缩变换。
整体伸缩变换是将椭圆的长轴和短轴同时进行伸缩，使得椭圆的形状和大小发生改变，但椭圆的位置不变。
该变换可以通过对椭圆的参数（长轴、短轴、中心坐标、旋转角度）
进行线性变换得到。
在计算机视觉和计算机图形学等领域中，椭圆伸缩变换被广泛运用。
它可以用于物体
的形状分析、运动跟踪、目标检测、计算机动画等领域中。
例如，在目标检测中，可以利用椭圆伸缩变换对图像中的目标进行形状和大小的调整，以适应不同的成像条件和角度。
同时，椭圆伸缩变换还可以通过区分光源和物体的伸缩效应，进行对图像的弯曲校正等操作，从而提高图像的质量和可读性。
椭圆中的伸缩变换
1利用仿射变化解决椭圆问题椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 经变换⎪⎩⎪⎨⎧==Y a b y Xx 后变成圆222a Y X =+，在此变换下有以下一些性质：○1点变换后，横坐标不变，纵坐标变为原来的ba倍 ○2直线变换后仍然是直线，且斜率为原来的ba倍 ○3平行线经变换后仍平行 ○4区域D 变换后成为D '，则面积D D S ba S '= ○5两平行线段的比是不变量 ○6线段PQ 经变换后变为Q P ''，则：αα2222sin cos ||||b a PQ Q P +='' 1.求证：直线0:=++C By Ax l 与椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 相切的充要条件是：222)()(C bB aA =+证明：作仿射变换：⎪⎩⎪⎨⎧==Y a b y X x椭圆变为圆：222a Y X =+直线l 变为0:=++'C Y abBAX l直线l '与圆相切的充要条件是2直线)(m x k y -=与椭圆：12222=+by a x 交于N M ,两点，试求||MN2解：过右焦点作MN 的平行线易知：θcos 2c a b M F +='，θcos 2c a b N F -='θρ2222cos 2c a ab N M -=''=作仿射变换⎪⎩⎪⎨⎧==a bYy X x ，椭圆变为圆：222a Y X =+ 直线MN l 变为：0=--akm bY akX 直线N M l ''变为：0=--akc bY akX 圆心到两直线的距离分别为221)(||bak akm d +=，222)(||bak akc d +=。
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—
７ ０＝０上 的点 Ｐ作椭 圆５ ． － ， ４
‘
一
２
＝
ｌ的切 线 Ｐ Ｐ 切点 分 Ｍ、 Ⅳ，
７
２
．
２
别为 肘、 连结 ＭＮ． １ Ⅳ， （ ）当点 Ｐ 在直线 ｆ 运动 时 ， 明 ： 线 上 证 直 ＭＮ恒过定点 Ｑ；２ （ ）当 ＭＮ／ ／ｌ 时， 定点 Ｑ平分线段 ＭＮ．
涉及到指定 区间上 一元 二次不 等式 的恒成 立 问题 时 ， 应
根据“ 三个二 次”的辨证统一关 系 ， 二次 函数 图象的对称 轴 对
，
四、 结语
化为 ｙ ５ 。—了 代 入直 线 删 方 程 ， ０＝ ２ 得 。 ＋（ ５ 。 ． ２ ５ ０
，
当然 ， 我们这里不对伸缩变换作 进一 步深入 研究 ， 只是 它
一
高等几何 中的仿射 变换 的一种 特殊情 况 ， 有仿 射变 换 的共 既 性特征 ， 也有其 个性特点． 而在这里 的有 关 阐述 ， 体是用 以 主
点（ 其坐标与 ｍ无关 ） ．
，
…
…
…
…
下
．
２
．
ｊ
解 通 伸 变 ｛ ， 把 圆 析 过 缩 换 一 可 椭 等 ｝ Ｌ ３ 以 一
‘ ＾， ‘
过 直线 ｌ ｘ一 ： ５
１１
一７ ０＝０上的 ｐ．２ ＝１ ． ＋ ｘ 的切线
变换成圆 ＋ｙ ２＝９ 设 ＭＮ与 Ａ ． 曰交 于点 日（ ，） 由有关 圆 ｈＯ ， 的一个性质 ： 圆内接 四边形 Ａ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ，Ｄ与 Ｂ Ｃ交 于点 Ｐ，Ｃ与 Ａ
解析
的 问题 ：
图３
系 中，知 圆 々 ＝ 的 顶 为 、， 点 已 椭 等＋ １ 左右 点 Ｂ右焦 为
Ｆ 设过点 Ｔ ｔｍ） ， （， 的直线 ， 与椭 圆分别交 于点 Ｍ（ ，） 船 。ｙ ， Ｎ（２ ） 其 中 ｍ ＞０Ｙ ｘ， ， ，Ｉ＞０，２＜０ Ｙ ．
① 略； 略； 设ｔ ９ 求证： ② ③ ＝ ， 直线ＭＮ必过 轴上的一定
ｔ ＝２ ｙ ｙ．
２
例ｔ 如图１椭圆ａ ＋Ｄ ＝ ， 鲁
１（ ａ＞ｂ＞０ 与 轴交 于点 Ａ 与 ） ，
ｙ轴交 于点 Ｂ、 ， Ｃ 在椭 圆上 任取 一 点 Ｐ， 连结 Ｂ Ｃ 分别与 轴交于 Ｐ、Ｐ， 点 、 求证 ： Ｍ ・ Ｎ ＝Ｏ Ⅳ， Ｏ Ｏ Ａ．
解析 可 以把椭 圆利 用伸缩
例 ３ （０８ ２０ 湖南省高中数
学竞赛 ） 图３过 直线 ｚ ｘ ７ 如 ，
）Ｐ ，Ｑ的斜率 ＝一２ 可知 １
，
２
Ｐ Ｑ上ＭＮ， Ｐ ＝Ｐ 所 以点 Ｑ是线段 ＭＮ的中点 ， 又 Ｍ Ｎ， 即点 Ｑ平
分线段 侈 （ ００年全 国高考 江苏第 １ ０ ４ ２１ ８题 ）在平 面直 角 坐标
ｒ ．．
这里所 指出的有 关伸缩变换 的性质 ， 比较 简单 的， 是 其证 明也是很容易的． 罗列 出这些性质 ， 以更好地赏 析下 面用 圆的
相关性质处理椭 圆问题 的例题． 三、 用圆的相关性质处理椭圆问题
，
一
的对应点的坐标为（ Ｙ ， ， ） 由题意可得｛ 一 因为 ＋
ｏｃ
＿ ＿
的内在关 系进行类 比探 索 ， 即 ． 的有关性 质发 现椭 圆的相 圆
关性质 ， 是为学生 将来作 准备 ， 之后 的合情推 理教学 中 ， 也 而
是否对这里揭示 的椭 圆与 圆的 ； 关系作 类 比探 索 ， 就不 勺在 那
得而知 了．
Ｄ
，
即 Ｏ ・ Ｎ ＝Ｏ ・ Ｃ ＝Ｏ Ｍ Ｏ Ｂ Ｏ Ａ．
在关系 ， 为学生将来能运用这种 内在 联系进行类 比探索 ， 即从 圆的有关性质发 现椭 圆的相关性 质 ， 作准备． 上面 的例题往往 在教学中无论 对于学生 还是教师 都显得 相对“ 平静 ” 其原 因在 于对“ ， 压缩变换 ”认识 和理解 是不到位
的 ， 至于对此 都没有 必要提 ； 甚 另外 ， 于运用椭 圆与 圆之问 对
（ ｋ＞０ ｋ≠ １ 称 为伸缩变换 ， ＞１ ， ） 时为压缩变换 ， ０＜ｋ＜１
（） １ 直线 Ｒ Ｓ 、 Ｎ与 圆相切 ；２ Ｍ，Ｔ Ｒ （） 线段 Ｒ ． Ｒ Ｍ、 、 Ｎ分别被点 ． Ｐ、 分 ｓ ｓ Ｔ 、
图２
通过 伸缩变换 ， 现了椭 圆与 圆之 间的 内在 联系 ， 展 我们研
例 ２ 如图 ２ 点 ， Ｐ是椭 ， Ⅳ， 圆上三个不同 的点 ， 该三 点分别 过
二 、 缩变换及其有关性质 伸 上面 出现 的变换 把 圆变 换成椭 圆， 故可 以形象 地把 它称
ｒ ＝ ，
作椭圆的切线 ， 三切线两两相交。 设 交 分别为Ｒ ｓ 求证： ・ ・ 、、
ｊ ｊ ～一工 ｊ ｊ ｊＬｊ －工 ｊ ｊ —乙 ｊ ＿ ．
上
福建省永安第一 中学 （６００ 唐为民 ● ３６０ ）
若含参数不等式对 于给定 区间内任 意值都成 立 ， 我们称 它为含参数不等式恒 成立 问题． 种类 型的题 目是高考 命题 这
的一个热点． 本文 试对 这类 问题 的求解策 略作 ～些归 纳和 总 结， 以供 师生们参考．
Ｔ ・ Ａ—Ｈ Ｈ 即 ｔ Ｍ Ｔ Ａ・ Ｂ， ＋（ ９～ｈ ＝ｔ ９ ） ＋ 一９一（ ３一ｈ （ ）ｈ
＋ ）所 以ｈ＝１也就是说直线 Ｍ ３， ， Ｎ必过 轴上的一定点 日 １ （，
０． ）
点 Ｐ在直线 ｚ 一 ： ５
一 ０：ｏ上 ， ５ 一２＿ —７ ７ 即 粕 １０ ０：０ ｙ
成的线段之比不变， 丽 ＮＴ 笪 的比值 在变换后保 持不变． 即Ｍ 丽 Ｒ
、
、
Ｔ Ｐ
究伸缩变换 中的有关 性质 ， 以从 圆的有关性 质探索 、 就可 发现 椭 圆的相关 性质 ， 而帮助我们 更好地认识椭 圆 、 有关 Ｉ 从 解决
题．
Ｓ ＝ｓ 、Ｍ ＝Ｒ 、 ＝ ’ 丽 Ｎ ・ Ｓ ＝１相应 的 Ｍ ＰＲ Ｎ 故ＭＲ・ Ｐ ｒ ． 伽
Ｂ Ｄ交于点 肘， 则 ＝Ｐ Ｐ Ａ・ Ｄ— Ｍ ・ ． Ａ ＭＣ 可以得 到 ： ＝
Ｐ Ｐ， Ｍ、Ｎ 切点分别为 Ｍ、 连结 Ｍ ． １ Ｎ， Ｎ （）当点 Ｐ在直线 ｌ 上运
动时 ， 明： 证 直线 ＭＮ恒过定点 ；２ （ ）当 ＭＮ上 ｌ ， 时 定点 Ｑ平 分线段 ＭＮ ． 设 点 Ｐ的坐标 为 （０ ） 易知直 线 ＭＮ方程为 ： ， ， ｙ＝２ ． ５ 又
图１
变换成圆 ， 由伸缩 变换 性 质可 知 ， 在 轴 上 为不 动点． 时 ， 此 Ｏ Ｏ 、Ａ Ｂ、 Ｃ Ｏ 都是 圆０半径 ，Ｃ是圆 ０的直径 ， ／ Ｐ Ｂ 有 ＿Ｂ Ｃ＝９ 。 ０，
故 Ｃ Ｍ ＝ Ｏ Ｃ， 以 ｚＯ Ｃ Ｂ Ｎ 所 ｘ Ｎ △Ｄ Ｍ， Ｂ 由此僭到 Ｎ ＝ Ｏ
椭圆部分增加 了下面的例题．
还是直线 ：３ 两直线平行 、 （） 相交的性质不变 ；４ 平行或共线 （）
的两线段的长度 比例关 系不变 ； ５ （ ）直线与椭 圆 （ 或圆 ）的 位
置关系不变．
例 ２ 将 圆 ＋ｙ ２＝４上的点横坐标保持不变 ， 纵坐标变 为原来的一半 ， 求所得 曲线的力程 ， 并说 明它 是什 么曲线． 解 设所 得曲线上 任一点坐标为（ ） ， ，） 圆 ＋ ， ， ） ＝４ ｔ 一 －
， ，
１ —丫 丫 丫
．ｒ １ １ 广 广丫
］广丫 丫 广 丫 丫 ｒ丫
． １ｒ 丫 ｒ］● 丫 １● ］一 ＇ ｒ － 丫
・
含 参 不等 式恒成立 问题 的求解 策略 ｌ
・
ｌ ｌ
・
・
ｊ ｊｌ —ｊ Ｌ ｊ ｊ ＿ － ｊ 上 工－
ＪＬ—Ｌ 上
一 ．工 工 Ｊ ｊ ｊ ｊ —ｊ ． ＪＬ—Ｌ ＪＬ 工
题中的定点 Ｑ的坐标为（５ － ２ ｆ
Ｅ蓠 ｌ ．＾ — 卜 ＾ ¨ ｔＪ芒 Ｌ．，
， 一 。
９、 ） ・
对于（ ）就是要证 明定 点 Ｑ是线段 Ｍ ２， Ｎ的 中点 ， Ｍ ／ 由 Ｎ／
￣ ３５ ｆ ５０ 了 Ｏ 结合５。 了 一 ０＝ｏｆ ｔ ＝４ ７ 知， ２ 。＝ ， ｙ １ 一２ １ ７
Ｙ ＝４， 以 ＋４， ＝４ 即 一＋ｙ “ 所 ） ， ２＝ １ ．
Ｂ
／ 一 ‘
这就是变换后所得 曲线 的方程 ， 它表示一个椭圆． 这道例题在教学参考 书 中明确指 出 ： 运用 方程证 实猜 ①
＼ ／ＮＡＭｔ ／ Ｊ ２
Ｃ
想 ： 圆可 用圆进行 压缩变换得到 ； 揭示椭 圆与圆之间的内 椭 ②
一
进行分类讨论去解 决问题．
例 不 式２ １０一 （ ］成 ｌ若 等 ＋≥对 切 ｅｏ 恒 ＋ ， ÷
立 ， 实数 。的取值范 围． 求
、
实根分布法
解 令 ＝ 十＋只做 ： （ ］， ） ２ １需 到 ０ 时 ， 当 ， ÷
ｆ ｘ 的图象不在 轴下方． （） 由于二 次函数 图象的对称轴 ＝一
《 数理化解题研究￣ Ｏ１年第 期 ２ｌ
数学篇
２ ３
苏州大学附属 中学 （１ ０６ 葛桂华 ◆ ２５ ０ ）
一
、一
道 例题及其教学预期
换之后 是其 本身（ 可称 为变换 中的不 动点 ） （ ）直 线变 换后 ；２
相 比较 以前所用 的教 材 ， 普 通高 中课程标 准实验教科 在《 书选修 ２一ｌ 数学》 江苏 教育出版社 ） ２ ， （ 第 ７页 就圆锥 曲线中
对椭圆问题借 助圆 的相 关性 质来认 识和解 决 ， 一方 面是 对教 材中例题 的作 用亦 或教参 中提出的揭示 圆与椭 圆之问 关系有 个解释 ； 男一方面也对学有余力 的同学有些触 动 ， 或者 说希 望 能激发他们对数学学习的兴趣 ； 也有抛砖 引玉 的意思．