三角形的特性(例1)
三角形的特性与分类知识点总结
三角形的特性与分类知识点总结三角形是几何学中最基本的形状之一，它有着独特的特性和分类方式。
在本文中，我们将对三角形的特性和分类进行全面的总结。
一、特性1. 边长特性：- 三角形任意两边之和大于第三边。
- 三角形任意两边之差小于第三边。
2. 角度特性：- 三角形的三个角度之和为180度。
- 有一个角为直角的三角形为直角三角形。
- 有一个角大于90度的三角形为钝角三角形。
- 三个角都小于90度的三角形为锐角三角形。
3. 内角特性：- 三角形三个内角都是锐角。
- 三角形有一个内角为钝角。
4. 等边三角形特性：- 三边都相等的三角形为等边三角形。
- 等边三角形的三个角都是60度。
5. 等腰三角形特性：- 两边相等的三角形为等腰三角形。
- 等腰三角形的两个底角（底边对应的两个角）相等。
二、分类1. 根据边长分类：- 三边都不相等的三角形为不等边三角形。
- 有两边相等的三角形为等腰三角形。
- 三边都相等的三角形为等边三角形。
2. 根据角度分类：- 有一个直角的三角形为直角三角形。
- 有一个钝角的三角形为钝角三角形。
- 三个角都小于90度的三角形为锐角三角形。
3. 综合分类：- 既不是直角三角形也不是等边三角形的三角形为一般三角形。
- 同时满足直角和等边三角形特性的三角形为等腰直角三角形。
总结：本文对三角形的特性和分类进行了全面的总结。
通过了解三角形的边长特性和角度特性，我们可以判断一个三角形的形态。
同时，根据边长和角度的不同，我们将三角形分为了不等边三角形、等腰三角形、等边三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形等不同的分类。
这些知识点的掌握将有助于我们应用于解决实际问题和进行进一步的几何推理。
三角形作为几何学的基础，其特性和分类的了解对我们的学习和应用都具有重要的意义。
等边三角形的性质知识点总结
等边三角形的性质知识点总结等边三角形是指具有三条边都相等的三角形，不仅具有独特的形状，还有一些特殊的性质。
在本文中，我们将总结等边三角形的各种性质，以便更好地理解和应用它们。
一、等边三角形的定义等边三角形是指具有三条边都相等的三角形。
我们可以用以下表示来表示一个等边三角形：△ABC，其中AB = BC = AC二、等边三角形的特性1. 角度特性：等边三角形的每个角都是60度。
2. 边长特性：等边三角形的三条边长都相等。
3. 对称特性：等边三角形具有三轴对称。
也就是说，通过等边三角形的任意一条边的中点，可以将等边三角形分为两个完全相等的部分。
三、等边三角形的性质1. 高度性质：等边三角形的高度（垂直于底边的线段）也是等边三角形的中线和角平分线。
这意味着，通过一个顶点和底边的中点作垂直于底边的线段，这条垂线将等边三角形分为两个等腰三角形。
2. 内角性质：等边三角形的每个内角都是60度。
由于等边三角形的角度总和为180度，因此等边三角形的每个角都是60度。
3. 外角性质：等边三角形的每个外角都是120度。
外角是指从三角形的一个顶点出发，将与之相邻的两个内角的补角相加而得到的角度。
4. 重心性质：等边三角形的重心（三条中线的交点）与顶点的连线共同组成一条与底边平行的线。
换句话说，等边三角形的重心将等边三角形分成了高度相等的两个等腰三角形。
5. 外心性质：等边三角形的外心是指等边三角形三条边上的垂直平分线的交点。
等边三角形的外心到每个顶点的距离相等，且等于等边三角形一边的长度。
四、应用举例由于等边三角形具有以上提到的特性和性质，它在几何推理和计算中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 利用等边三角形的角度特性，可以计算等边三角形内外角的度数。
2. 利用等边三角形的高度性质，可以计算等边三角形的高度和面积。
3. 利用等边三角形的重心性质，可以确定等边三角形内部的重心位置。
4. 利用等边三角形的外心性质，可以确定等边三角形外接圆的圆心位置。
人教版四年级数学下册典型例题系列之第五单元《三角形的特性部分》(原卷版)
人教版四年级数学下册典型例题系列之第五单元三角形的特性部分（原卷版）编者的话：《四年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
本专题是第五单元三角形的特性部分。
本部分内容考察三角形的定义、性质、高的认识及画法、三边关系的应用等，考点和题型相对简单，建议作为本章重点内容进行讲解，一共划分为八个考点，欢迎使用。
【考点一】认识三角形。
【方法点拨】1.三角形的定义：由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。
2.三角形有3条边、3个角和3个顶点。
【典型例题】一个三角形有( )条边、( )个顶点和( )个角。
【对应练习1】由三条( )围成的图形叫做三角形，一个三角形有( )个角。
【对应练习2】由三条( )围成的图形叫作三角形，三角形有( )条边，( )条高。
【对应练习3】由三条( )围成的图形叫做三角形。
一个三角形有( )条边，( )个角，( )个顶点。
三角形具有( )性。
【考点二】数三角形。
【方法点拨】数三角形从小到大，按顺序数，避免漏数。
【典型例题】图中有( )个三角形。
【对应练习1】数一数按要求填一填。
有( )个角有( )个三角形【对应练习2】如图，数一数图中共有（）个三角形。
【对应练习3】数一数下面图中有多少个三角形？【考点三】三角形的性质。
【方法点拨】1.三角形具有稳定性。
2.四边形具有不稳定性。
【典型例题】下面几种图形，（）具有稳定性。
A．长方形 B．三角形 C．平行四边形 D．梯形芳芳家的桌子腿松了，按（）加固最好。
A．B．C．【对应练习2】自行车的车架做成( )形，是应用了这种图形的稳定性。
【考点四】三角形高的认识。
三角形的特性(例1例2)
非欧几何中三角 形的应用
非欧几何中的三角形在物理 学、天文学等领域有着广泛 的应用。例如，在广义相对 论中，黎曼几何被用来描述 弯曲时空中的物体运动轨迹 。
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综合法
从已知条件出发，通过逻辑推理得到结论的方法。在证明三角形全等时，可以根据已知条 件和三角形的性质进行推理，逐步推导出所需结论。
分析法
从结论出发，逆向分析需要满足的条件，逐步推导出已知条件的方法。在证明三角形全等 时，可以先假设两个三角形不全等，然后通过分析找出矛盾，从而证明假设不成立。
反证法
先假设结论不成立，然后通过逻辑推理得到与已知条件或已证明的结论相矛盾的结论，从 而证明原结论成立的方法。在证明三角形全等时，可以先假设两个三角形不全等，然后通 过分析找出矛盾，从而证明假设不成立。
易错点3
易错点4
混淆等腰三角形和等边三角 形的性质，如错误地认为等 腰三角形的两底角相等。
在应用三角形内角和定理 时，忽视三角形内角的取 值范围，导致计算错误。
在解决与三角形有关的实际 问题时，未能正确建立数学 模型，导致解题方向错误。
拓展延伸：非欧几何中三角形特性探讨
非欧几何概述
非欧几何是相对于欧几里得 几何而言的，主要包括罗巴 切夫斯基几何（双曲几何） 和黎曼几何（椭圆几何）。 在这些几何体系中，三角形 的性质与欧几里得几何有所 不同。
底乘高除以二法求面积
底乘高除以二法
S=(底×高)/2，其中底是三角形的一边长， 高是从这边长所对的顶点垂直到这边的距 离。
VS
举例
已知三角形底边长为6，高为4，则可以使 用底乘高除以二法计算出其面积为 S=(6×4)/2=12。
已知两边及夹角求面积方法
人教版四年级数学下册第5讲 三角形知识梳理及巩固练习
第5讲 三角形三角形的特性概念由3条线段围成的图形叫做三角形各部分名称顶点顶点顶点边边角角角高特性顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高三角形具有稳定性两点间的距离三边关系两点间所有连线中线段最短三角形任意两边的和大于第三边三角形的分类三角形的内角和三角形的内角和是180°三角形内角和四边形内角和四边形的内角和是360°知识梳理知识点一：三角形的特性1. 由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。
从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
这条对边叫做三角形的底。
三角形ABC ，具有稳定性。
2.三角形三边关系三角形任意两边的和大于第三边。
知识点二：三角形的分类 1.按角进行分类1个直角2个锐角1个钝角2个锐角直角三角形钝角三角形锐角三角形3个锐角：2. 按边进行分类三条边相等两条边相等三条边都不等等边三角形（正三角形）等腰三角形知识点三：三角形的内角和考点一：三角形的特性例1．（2019春•沛县月考）一个等腰三角形两条边的长度分别是5厘米和11厘米，这样的三角形有几个？周长是多少厘米？【分析】根据三角形三边的关系：两边之和大于第三条边，一个等腰三角形两条边的长度分别是5厘米和11厘米，只有一种情况：腰为11厘米，底为5厘米时，周长为11+11+5厘米．【解答】解：根据分析，这个等腰三角形的周长为：11+11+5＝27（厘米）答：有一个这样的三角形，周长分别为27厘米．【点评】此题关键利用三角形三边的关系，再根据三角形周长的计算方法，列式解答即可．1．（2019春•明光市期末）一个三角形的两边长分别是6厘米和9厘米，第三条边的长度一定大于3厘米，同时小于15厘米．【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．【解答】解：9﹣6＜第三边＜9+6，即3＜第三边＜15．故答案为：3；15．【点评】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可．2．（2018春•厦门期末）王老师给同学们准备了一些小棒，数量如图．选用其中的部分小棒搭成一个长方体．（1）长方体一共有12条棱，每组相对的棱有4条，因此，不可能选用8cm的小棒．（2）这个长方体相交于一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、4cm和4cm．（3）计算这个长方体的表面积．【分析】（1）（2）根据长方体的特征即可求解；（3）根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答即可．【解答】解：（1）长方体一共有12条棱，每组相对的棱有4条，因此，不可能选用8cm的小棒．（2）这个长方体相交于一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、4cm和4cm．（3）（5×4+5×4+4×4）×2＝（20+20+16）×2＝56×2＝112（平方厘米）答：这个长方体的表面积是112平方厘米．故答案为：12，4，8；5，4，4．【点评】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．3．（2018春•射阳县月考）把一根12厘米的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），摆成一个三角形，共有几种剪法，你能全部列举出来吗？【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．【解答】解：三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边，且12＝3+4+5＝4+4+4＝2+5+5，符合题意的三角形各边分别为：①3、4、5；②4、4、4；③2、5、5；所以共有3种剪法，可以是3、4、5；4、4、4；2、5、5．【点评】围成三角形中任意两条边的和大于第三边，即最长边要小于总长度的一半，是判断三条线段能否围成一个三角形的关键．考点二：三角形的分类例2．（2020春•灯塔市期末）在点子图上按要求画图．【分析】根据平行四边形、梯形、直角三角形、等腰三角形的定义以及它们的特征，即可画图，因为没有规定的确切数据，所以此题答案不唯一．【解答】解：【点评】此题主要考查了常见的几种简单图形的定义以及画法．1．（2019春•肇州县校级期末）分一分，将正确答案的序号填在括号内．【分析】根据三角形按照角的大小分类情况，三角形按照角的大小分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；据此进行判断即可．【解答】解：锐角三角形：①④⑦直角三角形：②⑧钝角三角形：③⑤⑥故答案为：【点评】此题考查的目的是理解掌握三角形按照角的大小分类的情况及应用，要熟悉各类三角形的判定条件．2．（2018秋•醴陵市期末）（探究题）两个椭圆圈重合的部分应是什么三角形？【分析】有两个角相等的直角三角形是等腰直角三角形，据此解答．【解答】解：有两个角相等的直角三角形是等腰直角三角形；所以两个椭圆圈重合的部分应是等腰直角三角形．答：两个椭圆圈重合的部分应是等腰直角三角形．【点评】掌握等腰直角三角形的特点是解题的关键．3．（2016春•岑溪市期中）下面3个三角形被盖住了一个或两个角，你能知道各是什么三角形吗？【分析】根据三角形按角分类的特征可知，三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形，解答即可．【解答】解：观图可知：第一个三角形有一个角是直角，所以是直角三角形，第二个三角形有一个角是钝角，所以是钝角三角形第三个三角形有2个角是锐角，所以有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形和直角三角形；故答案为：．【点评】正确理解锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义是解决此题的关键．考点三：三角形的内角和例3．（2020春•铁西区期末）写出下面∠C的度数．【分析】根据三角形内角和为180°，用内角和减去其余两个角的度数即可求出∠C的度数。
直角三角形的特性
直角三角形的特性直角三角形是一种特殊的三角形，其具有独特的性质和特点。
在本文中，我们将详细介绍直角三角形的各种特征和性质。
一、定义直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
在直角三角形中，直角（即90度角）是其中最大的角。
二、特征1. 边长关系：- 直角三角形中的两条边相互垂直，形成直角。
- 直角三角形中的最长边称为斜边，位于直角的对面。
- 直角三角形中的较短边称为直角边，位于直角的两侧。
2. 特殊比例：- 直角三角形中的两条直角边之间的比例关系由著名的勾股定理给出：斜边的平方等于直角边的平方和。
（斜边^2 = 直角边1^2 + 直角边2^2）3. 角度关系：- 直角三角形中的直角是其中最大的角，必定等于90度。
- 直角三角形中的其他两个角是锐角（小于90度）或钝角（大于90度）。
4. 唯一性：- 直角三角形的角度和边长可以确定一个三角形的形状，因此直角三角形是唯一确定的。
三、性质1. 正弦定理：- 对于直角三角形ABC，设斜边BC的长度为c，直角边AB的长度为a，直角边AC的长度为b。
- 正弦定理给出了直角三角形中角度和边长之间的关系：sin(A) = a/c，sin(B) = b/c。
2. 余弦定理：- 对于直角三角形ABC，设斜边BC的长度为c，直角边AB的长度为a，直角边AC的长度为b。
- 余弦定理给出了直角三角形中角度和边长之间的关系：cos(A) = b/c，cos(B) = a/c。
3. 勾股定理：- 对于直角三角形ABC，设斜边BC的长度为c，直角边AB的长度为a，直角边AC的长度为b。
- 勾股定理给出了直角三角形中两个直角边的长度关系：c^2 = a^2 + b^2。
四、应用直角三角形的特性在日常生活、数学、物理等领域广泛应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 测量：直角三角形的特性使得它们在测量中非常有用。
例如，使用直角三角形原理可以测量不可直接到达的高度、距离等。
2. 导航：直角三角形的特性被广泛应用于导航系统中。
5三角形：三角形的特性
三角形第1节三角形的特征【知识梳理】1.认识三角形(1)画三角形在平面上任意画三个点(这三个点不在同一直线上)，用线段把每两个点连起来，所组成的图形就是三角形。
如下图：三角形ABC:(2)三角形各部分的名称观察所画的三角形你会发现，三角形由三条线段围成,这三条线段叫做三角形的三条边,每两条边所夹的角就是三角形的内角，三角形有3个内角，3个内角的顶点就是三角形的顶点，三角形共有三个顶点。
(3)认识三角形的底和高从一个三角形顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
这条对边叫做三角形的底。
因为三角形有三个顶点，过每个顶点都可以向对边做高，所以任意一个三角形都可以做三条高。
画高时必须由定点向它的对边画垂线，它们是相对的，当边长不够长时，可画虚线延长。
所画的高用虚线表示并且标上垂直符号。
三角形的三条高总是相交于一点的，这个交点或在三角形内部，或在三角形外部，或在三角形边上，在这里，三角形的内部和外部指的是三角形的三条边所围成的范围的内部或外部。
下一节中我们将学习三角形的分类，我们会发现三角形按角分可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，这三种类型的三角形的高的情况也各不相同，如下图所示：1锐角三角形的三条高（三条虚线）直角三角形的三条高（一条虚线加两条直角边）钝角三角形的三条高（三条虚线）为了表达方便我们用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，这个三角形就表示成三角形ABC。
2.三角形的特性（1）三角形具有稳定性只要三角形的三条边的长度确定，这个三角形的形状和大小就会完全确定，不会改变，因此三角形具有稳定性，它能够起到固定物体的作用，使物体不容易变形。
3.三角形的三边关系（1）三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边（2）判断三条线段是否围成三角形，只要把最短的两条边相加与最长的比较即可，如果最短的两条边之和大于第三边，也就证明两边之和大于第三边。
【诊断自测】一、选择题21、下面三组线段中，不可能围成三角形的一组是（）。
P80_人教版四年级数学下册《三角形的特性》例1、例2、例3
人教新课标四年级数学下册金字塔吊坠风筝垃圾桶桌球由三条线段围成三条线段围成的图形(每相邻两条线段的端点相连)叫做三角形。
线段3下面哪些图形是三角形?√×√××××①⑦④③②⑥⑤⑨⑧√×边边边顶点角角角三角形都有三条边、三个角、三个顶点。
顶点顶点三角形都有几条边、几个角、几个顶点？为了表达方便，用字母A 、B 、C 分别表示三角形的三个顶点，上面的三角形可以表示成三角形ABC 。
D 底高从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
B CA┐B C A B C AB C A 小明画了下列三角形的一条高，说一说他画的对吗？为什么？┐┐┐B CA ┐D D D D √×××高底高底高底AB C想一想：三角形一共可以画几条高呢？三角形有三条高，三条底边。
①如果BC 为底，（）色的虚线是它的高；②如果绿色的虚线是高,它的底是（）；③AB 是底，红色的虚线是它的高，这样说法对吗？红AC D FE你能给下面三角形画不同类型的高吗？∟∟高底高底高底底高底高底为什么这些物体的这些部位都要做成三角形的呢？三角形具有稳定性。
艾菲尔铁塔二、判断题：①由三条线段组成的图形是三角形; ( )②自行车车架运用了三角形稳定性的原理;( )③三角形有一条高、一条底。
（）×√×一、填空：①三角形是由（）条边、（）个顶点、（）个角组成的。
②三角形具有（）性。
333稳定性高高∟锐角三角形直角三角形钝角三角形你能从这张图片上找到三角形吗？小猴子的方法更牢固，因为小兔子的做的平行四边形篱笆具有不稳定性，而小猴子做的三角形篱笆具有稳定性。
小棒的长度（厘米）能否围成三角形345135325能不能不能怎样的三根小棒可以围成三角形？猜想：实验一3厘米4厘米5厘米两条线段长度之和大于第三条线段可以围成三角形B CA3厘米1厘米5厘米两条线段长度之和小于第三条线段不能围成三角形3厘米2厘米5厘米两条线段长度之和等于第三条线段不能围成三角形次数小棒的长度（厘米）能否围成三角形三条边关系14、5、524、5、6 34、5、10 44、6、10 55、5、6 65、5、10 75、6、104+5＞6 4+6＞5 5+6＞44+6=10 4+10＞6 6+10＞44+5＜10 4+10＞5 5+10＞45+5＞6 5+6＞55+5=10 5+10＞55+6＞10 5+10＞6 6+10＞5能不能能能不能不能4+5＞5 5+5＞4能围一围，看看下面的三根小棒能否首尾相连围成一个三角形。
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三角形
三角形的认识
一、引入新课
你能找出图中的三角形吗？
二、探究新知
画一个三角形。说一说三角形有几条边，几个角，几个顶点。
顶点
角
边
边
顶点 角
角 顶点
边
由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。
二、探究新知
什么是三角形的高呢？
高 底
从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线， 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
顶点
角
边
边
角 顶点
角
边
顶点
三、知识运用
2. 画出下面三角形各边对应的高。
（1）
（2）
底 底
底
底
底பைடு நூலகம்
底
形外高
四、布置作业
作业：第60页“做一做”； 第65页练习十五，第1题。
强兵是打出来的。没有天生的信心，只有不断培养的信心。没有一种不通过蔑视、忍受和奋斗就可以征服的命运。 3、懂得低头，才能出头。懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。我们这个世 界，从不会给一个伤心的落伍者颁发奖牌。 4、平时没有跑发卫千米，占时就难以进行一百米的冲刺。驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停 止一日努力。如果惧怕前面跌宕的山岩，生命就永远只能是死水一潭。
这条对边叫做三角形的底。
二、探究新知
三角形可以画几条高呢？
底
底
高
底
三角形的每条边都可以作为三角形的底。
所以每一个三角形都可以画3条高。
二、探究新知
A
底
底
高
B
底
C
为了表达方便，用字母A、B、C 分别表示三角形的3个顶点，上面 的三角形可以表示成三角形ABC。
三、知识运用
1. 说出下面三角形各部分的名称。