湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第一次适应性考试(一模)数学(理)试题(解析版)
长郡中学2019届第一次适应性考试数学(理科)试题第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。
【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。
2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。
【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。
3.美国总统伽菲尔德利用如图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知，，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理，求得CE、DE的长，再求得等腰直角三角形CED的内切圆半径，根据几何概型概率求法求得点在△CDE内部的概率即可。
【详解】由勾股定理可得CE=ED=5因为CE⊥ED，所以等腰直角三角形CED的内切圆半径所以等腰直角三角形CED的内切圆面积为直角梯形的面积为所以从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为所以选C【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，直角三角形内切圆半径及面积求法，属于基础题。
4.已知为锐角，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】因为，再根据同角三角函数关系及正弦的和角公式，展开即可求值。
【详解】因为为锐角因为所以大于90°由同角三角函数关系，可得所以=所以选D【点睛】本题考查了三角函数式的变形，和角公式的应用，注意判断的符号，属于中档题。
5.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的的值满足（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据流程图，依次算出x、y的值，直至满足大于等于，再求得x与y的关系即可。
【详解】根据输入，代入流程图得此时，所以满足所以选C【点睛】本题考查了程序框图循环结构的应用，数列中裂项法求和的应用，属于中档题。
6.已知命题数列的通项公式为为实数，，且恒为等差数列；命题数列的通项公式为时，数列为递增数列.若为真，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式和定义，可分别求得满足各自条件的a取值范围，再由为真可求得a的取值范围。
【详解】因为的通项公式为，且恒为等差数列所以由等差数列通项公式可得a=0因为数列的通项公式为时，数列为递增数列所以由等比数列及递增数列可知又因为为真所以a的取值范围为，即实数的取值范围为所以选B【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的定义及参数取值范围的求法，属于基础题。
7.已知函数，则定积分的值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据积分定义，将积分区间分为两段分别求：左段可根据微积分基本定理求得积分值，右段根据几何意义求得积分值，两个部分求和即可。
【详解】因为所以的几何意义为以为圆心，以为半径的圆，在x轴上方的部分因而所以所以选A【点睛】本题考查了积分的求法，微积分基本定理的应用及利用几何法求积分值，属于中档题。
8.函数某相邻两支图象与坐标轴分别变于点，则方程所有解的和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点可求得，从而得到，求出函数及的对称点，从而发现它们都关于点对称，在同一坐标系中，作出与的图像，结合图像即可求解。
【详解】由函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点，可得：.解得：.所以将代入上式得：=0，解得：=，又，所以.所以.令=，则所以的图像关于点对称。
令，且=，解得：.所以的图像关于点对称.所以函数与的图像关于点对称.在同一坐标系中，作出与的图像，如图：由图可得：函数与的图像在上有两个交点，这两个交点关于点对称.所以方程有且只有两个零点，且.所以方程所有解的和为：.故选：A.【点睛】本题主要考查了三角函数图像以及三角函数性质，考查了转化思想及方程思想，考查计算能力，属于中档题。
9.已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面，上取三点，其中为侧面的对角线上一点（与对角线端点不重合），为侧面的一条对角线的两个端点.若以线段为直径的圆过点，则的最小值为( )A. B. C. 4 D. 2【答案】B【解析】【分析】根据题意可知，当P位于对角线的中点时，P到AB的距离最短，此时m的值最小。
根据勾股定理及等腰直角三角形的边关系可求得m的值。
【详解】由题意可知，当P在对角线中点时，以AB为直径的圆过P时m的值最小空间结构体如下图所示以AB为直径的圆过P，此时∠APB=90°，所以即解得所以选B【点睛】本题考查了空间几何体的简单应用，属于基础题。
10.已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线与双曲线交于纵坐标为1的点，直线与抛物线的准线交于，若，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，求得M的坐标和抛物线的准线方程，进而求得N点的横坐标。
根据向量共线的坐标关系，可解方程得c，再由双曲线定义得a、b，即可求得双曲线的标准方程。
【详解】抛物线与双曲线交于纵坐标为1的点所以，所以抛物线准线方程为，即N点的横坐标为设，由所以解得c=3所以焦点坐标为（-3，0），（3，0）由双曲线定义可得所以，所以双曲线标准方程为所以选C【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的综合应用，向量在圆锥曲线问题中的应用，双曲线标准方程的求法，属于中档题。
11.小明站在点观察练车场上匀速行驶的小车的运动情况，小车从点出发的运动轨如图所示.设小明从点开始随动点变化的视角为，练车时间为，则函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】过点O作曲线的切线，切点为B,E，再过点O作一直线CD与曲线部分重合，如图，从图像分析即可得到选项。
【详解】过点O作曲线的切线，切点为B,E，再过点O作一直线CD与曲线部分重合，如图，当小明从点行驶到点B时，递增，当小明从点行驶到点C时，递减，当小明从点C行驶到点D时，为常数，当小明从点D行驶到点E时，递减，当小明从点E行驶到点P时，递增，故选：D【点睛】本题主要考查了图像特征，考查了分析能力及转化能力，属于基础题。
12.定义，已知为函数的两个零点，若存在整数n满足，则的值（）A. 一定大于B. 一定小于C. 一定等于D. 一定小于【答案】D【解析】【分析】由为函数的两个零点可得：，.令，得到.即：，将变形为，从而可得.问题得解。
【详解】由题可得：.又为函数的两个零点，所以，.将函数图像往上平移时，开口大小保持不变，如图当函数图像往上平移时，变大，即：当时，越大，又由二次函数的对称性得：当时，最大令，则：，就是。
又=由已知得，所以一定小于，所以一定小于.故选：D【点睛】本题主要考查了韦达定理及方程与函数关系，考查了计算能力及转化能力，属于中档题。
第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.在平行四边形中，点是的中点，点是的中点，记，用表示，则_________.【答案】【解析】【分析】将写成的线性和的形式，解方程组求得的表达式.【详解】画出图像如下图所示，由图可知①,②,解由①②组成的方程组，求得.【点睛】本小题主要考查平面向量的加法和减法运算，考查向量在几何图形中的应用，属于基础题.14.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组或来表示，设是阴影中任意一点，则的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】直接利用线性规划知识求最值。
【详解】如图，作出直线：，当直线往上平移至与阴影部分的圆的边界相切时，最大，此时圆心到直线的距离等于半径1，即：.解得：【点睛】本题主要考查了线性规划知识，考查转化能力及直线与圆相切的几何关系，属于基础题。
15.已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为_________.【答案】【解析】【分析】根据题意作出如下图形：由圆方程求出圆心连线斜率为：，计算出圆心距，再利用外公切线的斜率为7求出圆心连线与公切线的夹角，从而在直角三角形中列方程求得，联立方程即可求出，，问题得解。
【详解】根据题意作出如下图形：AB为两圆的公切线，切点分别为A,B.当公切线AB与直线平行时，公切线AB斜率不为7，即不妨设过作AB的平行线交于点E，则：，且,直线的斜率为：，所以直线AB与直线的夹角正切为：.在直角三角形中，，所以，又,整理得：，解得：，又，解得：，，所以=.【点睛】本题主要考查了圆的公切线特点及两直线夹角公式，还考查了解三角形知识及计算能力、方程思想，属于中档题。
16.在各项均为正数的等比数列中，，当取最小值时，则数列的前项和为__________．【答案】【解析】【分析】根据等比数列通项公式及，则；求导函数，令导函数等于0，可求得当取最小值时q的值，进而求得的值，得到通项公式，代入数列可得；结合错位相减法可求得前n项和。
【详解】等比数列中，，所以，令则，令解得，因为各项均为正数的等比数列所以当时，当时，所以在时取得最小值设，代入化简可得所以两式相减得【点睛】本题考查了等比数列通项公式的应用，错位相减法求和，导数在求最值中的综合应用，考查知识点较多，属于难题。
三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答17.已知中，内角所对的边分别为，且.(1)若，求；(2)若的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据正弦定理，将化为角的关系式，将中的正切函数化为正余弦函数，结合正弦和角公式即可得角B。
(2)根据tanA，求得cosA及sinA，结合面积求得bc的值；根据及余弦定理，可求得a、b、c的值，即可得到周长。
【详解】解：（1）由题意及正弦定理得，即.由，得，两边同加，得，即.由，得，故.由，得.（2）由，得，，故的面积，整理得.又由，，得，同联立，得.化简整理得，解得，，.故的周长为.【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的用法，属于基础题。
2019届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第一次适应性考试(一模)数学(理)试题
2019届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第一次适应性考试（一模）数学（理）试题本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分满分.150分，时量120分钟.第I 卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设,a R i ∈为虚数单位.若复数()21z a a i =-++是纯虚数，则复数32a ii--在复面上对应的点的坐标为 A. 18,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 74,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 47,55⎛⎫-⎪⎝⎭D. 74,55⎛⎫-⎪⎝⎭2.已知集合(){}(){}2222log 34,3200A x y x x B x x mx m m ==--=-+<>，B A ⊆若，则实数m 的取值范围为A. ()4+∞，B. [)4+∞，C. ()2+∞，D. [)2+∞，3.美国总统伽菲尔德利用右图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知3,4a b ==，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在△CDE 的内切圆内部的概率为A.(50349π- B.449πC.(25349π- D.249π 4. 已知()31sin 2,cos ,,43αββαβ+==为锐角，则()sin αβ+的值为B.312-D.312+ 5.执行如图所示的程序框图，若输入0,0,1x y n ===，则输出的,x y 的值满足A. 2xy =B. 19y x -=C. 169xy =D. 109y x -=6.已知命题p ：数列{}n a 的通项公式为2n a an bn c =++(,,a b c 为实数，n N *∈)，且()201720182019,,0k k k a a a k +++>恒为等差数列；命题q ：数列{}n b 的通项公式为()11,n bn aq q n N -*=>∈时，数列{}n b 为递增数列.若p q ∨为真，则实数a 的取值范围为 A. (),0-∞B. [)0,+∞C. ()0,+∞D. (],0-∞7.已知函数()2,24x x f x x -+≤⎧=<≤，则定积分()412f x dx ⎰的值为 A. 948π+ B. 144π+ C. 12π+ D. 324π+8.函数()()t a n0,02fx x πωϕϕω⎛⎫=+<<>⎪⎝⎭某相邻两支图象与坐标轴分别变于点2,0,,063A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则方程()[]cos 2,0,3f x x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所有解的和为A.56πB.2π C.512π D.4π 9.已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面M ，N 上取三点A ，B ，P ，其中P 为侧面M 的对角线上一点(与对角线端点小重合)，A ，B 为侧面N 的一条对角线的两个端点.若以线段AB为直径的圆过点P ，则m 的最小值为A.B.C.4D.210.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，抛物线225y x =与双曲线C 交于纵坐标为1的点M ，直线1F M 与抛物线的准线交于N ，若112955F N F M =，则双曲线的方程为 A.22145x y -= B.221169x y -= C.22154x y -= D.221916x y -= 11.小明站在点O 观察练车场上匀速行驶的小车P 的运动情况，小车从点A 出发的运动轨如图所示.设小明从点A 开始随动点P 变化的视角为AOP θ=∠，练车时间为t ，则函数()f t θ=的图象大致为12.定义{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知,αβ为函数()2f x x px q =++的两个零点，若存在整数n 满足1n n αβ<<<+，则()(){}min ,1f n f n +的值A.一定大于12B.一定小于14C.一定等于14D.一定小于14第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，点F 是CD 的中点，记,,,BE a AC b a b ==用表示AB ，则AB =_________.14.太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外云观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组()()222222401111x y x x y x y ⎧+≤⎪⎪≤+-≤⎨⎪++≥⎪⎩或来表示，设(),x y 是阴影中任意一点，则2z x y =+的最大值为___________. 15.已知()()()()()()222222111222:220,:110,C x y r r C x y r r -+-=>+++=>12C C 与相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则12r r 为_________.16.在各项均为正数的等比数列{}3148,n a a a a -=中，当取最小值时，则数列{}2n na 的前n 项和为_________.三、解答题(共70分。
长郡中学2019届高考模拟卷理数答案
综上&1 D
的最大值为
" #
!
"#分
! " ##!$解析%!""由槡#?@;0
'
!"1$&得?@;!;<4!"1$&
令(1?@;&&1;<4&得(!&!"1$!
)A
(1'1#&消去 &1'1&
1
得'(&
8直线%的直角坐标方程为(!&!"1$&曲线6 的普通方程为'(! (分
A+061!,&8;<4!+06"1;<4,&得;;<<44#,,1#&槡&&即;<4,1槡#&&
由:#1.;知&:不是最大边&8,1
&
!
)分
!#"A'+,6 外接圆的面积为'&8'+,6 的外接圆的半径51#& 由余弦定理:#1.#0;#!#.;?@;,&得?@;,1.#0#;.#;!:#&又:#1.;&
炎德英才大联考长郡中学#$"%届高考模拟卷!一"
数学!理科"参考答案
一#选择题
题!号 "
#
&
'
(
)
*
+
% "$ "" "#
答!案 ,
-
湖南省长郡中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题 含解析
长郡中学2019届高考模拟卷（一）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先化简集合B,再根据求出实数a的取值范围.详解：由题得.因为，所以,所以.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查集合的交集和集合的关系，意在考查集合的基础知识的掌握能力.(2)本题有一个易错点，最后的答案容易加等号即，到底取等还是不取等，可以直接把a=1代入已知检验，，，不满足，（1,3）≠B.2.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查共轭复数的概念，先把复数的分母实数化，，根据共轭复数的概念易得答案C。
3.如图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载.若图中大正方形的边长为5，小正方形的边长为2.现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷个点.有个点落在中间的圆内，由此可估计的近似值为（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】分析：利用几何概型概率公式可得.详解：小正方形边长为，所以圆半径为，圆面积为， 又大正方形的棱长为，所以正方形面积为，由几何概型概率公式可得，故选D.点睛：本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用模拟实验及几何概型概率公式，列出符合条件的面积与总面积之间的方程求解. 4.已知且都不为0（），则“”是“关于的不等式与同解”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】 充分性：举反例，，可判断不成立；必要性：不等式同解可得方程同解，从而证明必要性成立. 【详解】解：若，取，，则解得，解得，所以关于不等式与不同解； 若关于的不等式与同解，则方程与必同解，又都不为0（），所以所以“”是“关于的不等式与同解”的必要不充分条件故选：B.【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，判断一个命题为假只需举一个反例即可.5.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出各棱长，从而求出各面的面积，相加即可. 【详解】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的直角三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图所以，，左边侧面为等腰三角形，底边为，高为所以三棱锥的表面积故选B．【点睛】本题考查了三视图与几何体的关系，空间几何体表面积的求法，考查了空间想象能力与计算能力.6.阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是（）A. 计算数列的前10项和B. 计算数列的前9项和C. 计算数列的前10项和D. 计算数列的前9项和【答案】A【解析】【分析】从赋值开始，逐步分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能.【详解】解：开始赋值：，；执行，；判断不成立，执行，；判断不成立，执行，；判断不成立，执行，；判断成立，输出.算法结束所以该算法的功能是计算数列的前10项和故选：A.【点睛】本题考查了程序框图中的循环结构，循环次数较多时，一般写出前几次循环找出规律.7.如图是函数图像的一部分，对不同的，若，有，则（）A. 在上是减函数B. 在上是减函数C. 在上是增函数D. 在上是增函数【答案】C【解析】试题分析：根据题意可知，，从而有，结合题中条件，可知，，结合的范围，求得，所以，结合函数的性质，可知C是正确的，故选C．考点：根据图像求函数解析式，正弦函数的性质．8.如图所示，直线为双曲线：的一条渐近线，，是双曲线的左、右焦点，关于直线的对称点为，且是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】设焦点关于渐近线的对称点为，则，又点在圆上，，故选C.9.已知定义在上的偶函数（其中为自然对数的底数），记，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由偶函数求出，然后分析出函数在上单调递增，判断出以，且都属于，然后可比较大小.【详解】解：由定义在上的偶函数，可得即，解得所以当时，单调递增，单调递减，所以在上单调递增因为，，所以，且都属于所以，即故选：A.【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的综合运用，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题.10.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，，，若，则（）A. 72B. 71C. 66D. 65【答案】B【解析】【分析】先分析出奇数2019为第1010个奇数，按照蛇形排列，第1行到第行末共有个奇数，试值可以分析出第1010个奇数位于第45行，从右到左第20列，从而得出答案.【详解】解：奇数2019为第1010个奇数,按照蛇形排列，第1行到第行末共有个奇数，则第1行到第44行末共有990个奇数，第1行到第45行末共有1035个奇数，则2019位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2019位于第45行，从右到左第20列，则故选B.【点睛】本题考查了等差数列的前n项和，数与式中的归纳推理，属于中等题.11.已知为抛物线：的焦点，为其准线与轴的交点，过的直线交抛物线于两点，为线段的中点，且，则（）A. 6B.C. 8D. 9【答案】A【解析】【分析】设直线，联立抛物线方程得韦达定理，求出点坐标，由列方程解出，然后可求出.【详解】解：根据题意可知直线的斜率是存在的，抛物线的焦点坐标是，设直线，将直线与抛物线方程联立，化简得，得，所以，又，根据，得，解得，所以，故选A.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线焦点弦的性质，属于中档题.12.已知函数,若存在,使得关于的方程有解,其中为自然对数的底数则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由题得，令，，利用导数性质能求出实数的取值范围．详解：由，得，得，即，令，，则，显然是函数的唯一零点，易得，∴，即.故选D.点睛：本题考查实数的取值范围的求法解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．，属中档题，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，向量的夹角是，，则等于________.【答案】2【解析】试题分析:由题意，得，向量a，c 的夹角，则由，得，则；故填2．考点：1.平面向量的数量积；2.平面向量的模．14.设满足约束条件，则的最小值为_________.【答案】【解析】【分析】先画出约束条件所代表的平面区域，再画出目标函数并平移目标函数确定最优解的位置，求出最优解代入目标函数求出最值即可.【详解】解：先画出约束条件所代表的平面区域，如图中阴影然后画出目标函数如图中过原点虚线所示平移目标函数，在点处取得最小值由，解得所以目标函数最小值为故答案为：.【点睛】本题考查了简单线性规划问题，平移目标函数时由目标函数中前系数小于0，故向上移越移越小.15.若的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为，则直线与曲线所围成的封闭区域面积为．【答案】【解析】试题分析：的展开式中各项的系数之和为81，的展开式的通项公式为：令，解得∴展开式中常数项为∴直线与曲线围成的封闭区域面积为：．故答案为：．考点：二项式定理，定积分16.已知点均在表面积为的球面上,其中平面,,则三棱锥的体积的最大值为__________．【答案】【解析】分析：先求出球的半径，再求出三棱锥的体积的表达式，最后求函数的最大值.详解：设球的半径为R,所以设AB=x,则，由余弦定理得设底面△ABC的外接圆的半径为r,则所以PA=.所以三棱锥的体积=.当且仅当x=时取等.故答案为：点睛：（1）本题主要考查球的体积和几何体的外接球问题，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2)三元基本不等式：，当且仅当a=b=c>0时取等.(3)函数的思想是高中数学的重要思想，一般是先求出函数的表达式，再求函数的定义域，再求函数的最值.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在中，三边所对应的角分别是.已知成等比数列.（1）若，求角的值；（2）若外接圆的面积为，求面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）化简，可得，由成等比数列，用正弦定理进行边角转化为，又，可解出，从而求出角；（2）由外接圆的面积可求出外接圆半径，且，得，，再由余弦定理可求出的范围，得的范围，从而求出的范围.【详解】解：（1），又∵成等比数列，得，由正弦定理有，∵，∴，得，即，由知，不是最大边，∴.（2）∵外接圆的面积为，∴的外接圆的半径，由余弦定理，得，又，∴，当且仅当时取等号，又∵为的内角，∴，由正弦定理，得.∴的面积，∵，∴，∴.【点睛】本题考查了三角函数式的化简，正余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积的最值问题，属于中档题.18.如图1，直角梯形中，中，，分别为边和上的点，且，.将四边形沿折起成如图2的位置，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）。
湖南省长郡中学2019届高三下学期第一次模拟考试理科综合试题(含答案)
.&甲所在的跳台高度为!!E#8?
*&甲所在的跳台高度为!#E8$?
+&甲%乙所在的两跳台高度相同
5&甲所在的跳台高度比乙的跳台低!$?
5&核 Q 的动能为+RQN)Q!)P)CQ)9Q)C&)&""#
!0##$!!年7月$)嫦娥二号*成 功 进 入 了 环 绕 )日 地 拉 格 朗 日 点 *的 轨 道$我 国
成为世界上第三个造访该点的国家#如图所示$该拉格朗日点位于太阳和
地球连线的延长线 上$一 飞 行 器 处 于 该 点$在 几 乎 不 消 耗 燃 料 的 情 况 下 与
又可溶于 ,D-) 溶液$且 . 与 *的物质的量之比为'J!时恰 好完全反应$则 . 一定是碳酸钾 *&若 .是!J!型的离子化合物$.与过量的*溶液反应才有 5生成$将 +燃烧的产物依次 通过装浓硫酸的洗气瓶和装碱石灰的干燥管$两者的质量均有增加$则 *一定是硫酸铝 +&若 . 为可溶性强碱$*为正盐$5不溶于稀硝酸$则 +能使湿润的蓝色石蕊试纸变红 5&若 . 和 *都是盐$. 难溶于水$*易溶于水$. 和 *可以部分反应但难以完全反应$5 不 溶于稀硝酸$+为无色%无味的气体$则 *可能为硫酸氢钠 !!&右图为一种双液环流可充电电池的放电过程示意图$下 列说法正确的是 .&D电极为该电池的负极 *&用该电池电解饱 和食盐 水$每 生 成 ##E(B 氯气$有 #?@/)9 通过质子交换膜进入左室 +&充电时$右室区域溶液的K) 增大 5&充电时$阳极发生的电极反应为& L-#9 9)#-CHC $$$L-#9 9#)9 !#&化合物丙属于桥环化合物$是一种医药中间体$可以通过以下反应制得&
湖南长沙2019长郡中学高三理科数学模拟试题卷(理数含答案和解析)
,&计算数列 &#(*! '的前!$项和 .&计算数列 &#(*!'的前!$项和
-&计算数列 &#(*! '的前%项和 /&计算数列 &#(*!'#34;)"405!##+" %# 的部分图象如图所示$对不同的#!$##
) ,$$+-$若-!#! ")-!##"$有-!#!+##")槡'$则
'&回答第卷时$将答案写在答题卡上$写在本试卷上无效# (&考试结束后$将本试卷和答题卡一并交回#
第卷
一选择题本大题共小题每小题分共分!在每小题给出的四个选项中只有一
项是符合题目要求的!
!!已知集合 ")&###$$'$%)&####*(#+'%$'$若 "&%)%$则实数$ 的取值范围是
,&$(2(+
-&2($(+
.&+(2($
/&+($(2
数学 !理科"试题 !长郡版" 第# !页 !共"页"
!$!已知从!开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表$第一行为!$第二
行为'$"$第三行为3$%$!!$第四行为!'$!"$!3$!%$如图所示$在宝塔
形数表中位于第*行$第3 列 的 数 记 为$*$3$比 如$'$#)%$$($#)!"$$"$(
)#'$若$*$3)#$!%$则*+3)
,&3#
湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第一次适应性考试(一模)数学(理)试题含详解
2019年4月长郡中学2019届第一次适应性考试数学(理科)试题第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。
【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。
2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。
【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。
3.美国总统伽菲尔德利用如图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知，，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【分析】根据勾股定理，求得CE、DE的长，再求得等腰直角三角形CED的内切圆半径，根据几何概型概率求法求得点在△CDE内部的概率即可。
【详解】由勾股定理可得CE=ED=5因为CE⊥ED，所以等腰直角三角形CED的内切圆半径所以等腰直角三角形CED的内切圆面积为直角梯形的面积为所以从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为所以选C【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，直角三角形内切圆半径及面积求法，属于基础题。
4.已知为锐角，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】因为，再根据同角三角函数关系及正弦的和角公式，展开即可求值。
【详解】因为为锐角因为所以大于90°由同角三角函数关系，可得所以=所以选D【点睛】本题考查了三角函数式的变形，和角公式的应用，注意判断的符号，属于中档题。
【全国百强校首发】湖南省长郡中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学(理)答案
数学 ! 理科 " 参考答案
一# 选择题 题!号 答!案 " , # & , ' ( . ) / * . + . % / " $ " " / " # ,
解析% 奇数# 按照蛇形排列& 第"行到第"行末共有" " $ ! $ " %为第" $ " $个奇数! 0 # 00 " 1 !$
B 8
8*! B" 1 # $ =
# $ & +
' $ " & & #
) $ & " )
+ $ " & #
" & & & " * ( 0 ' $ = 0 ) $ = 0 + $ = 1 ! " #分 + & # " ) & # # $ 解析% ! " 点 +! " 关于直线&1 & 在直线&1 # $ ! " ! .& $ ( 对称的点! $ ! ." & (! #上 & #&# # #& # # & 解得.1 又 ; 1槡 8! .1 $ ! # # ! .1 :0 ; 解得: 1 # 1 ; ! . # # # ( 8椭圆 * 的方程为( 0& 1 ! '分 " ' # ! " 设 )! & ! " ! " & # ( +)( ' (0 # '7 $ $& $" & &1 令(1 & 解得&1 & " $ # '& 8 6! $ # ' ! ! " & ' (0 # &1 # # # # 联立 # 化为( ! " ! " # ' 0 " ( 0 + ' (0 + ' ! ' 1 $ '7 $ ! # & (0 # ' &1
湖南省长沙市长郡中学2019届高三数学下学期第一次适应性考试(一模)试题理(含参考答案)
2019届高三数学下学期第一次适应性考试（一模）试题 理本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分满分.150分，时量120分钟.第I 卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设,a R i ∈为虚数单位.若复数()21z a a i =-++是纯虚数，则复数32a ii--在复面上对应的点的坐标为 A. 18,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 74,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 47,55⎛⎫-⎪⎝⎭D. 74,55⎛⎫-⎪⎝⎭ 2.已知集合(){}(){}2222log 34,3200A x y x x B x x mx m m ==--=-+<>，B A ⊆若，则实数m 的取值范围为A. ()4+∞，B. [)4+∞，C. ()2+∞，D. [)2+∞，3.美国总统伽菲尔德利用右图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知3,4a b ==，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在△CDE 的内切圆内部的概率为A.(50349π- B.449πC.(25349π- D.249π 4. 已知()31sin 2,cos ,,43αββαβ+==为锐角，则()sin αβ+的值为A.12B.312-C.12D.312+ 5.执行如图所示的程序框图，若输入0,0,1x y n ===，则输出的,x y 的值满足A. 2xy =B. 19y x -=C. 169xy =D. 109y x -=6.已知命题p ：数列{}n a 的通项公式为2n a an bn c =++(,,a b c 为实数，n N *∈)，且()201720182019,,0k k ka a ak +++>恒为等差数列；命题q ：数列{}n b 的通项公式为()11,n bn aq q n N -*=>∈时，数列{}n b 为递增数列.若p q ∨为真，则实数a 的取值范围为A. (),0-∞B. [)0,+∞C. ()0,+∞D. (],0-∞7.已知函数()2,24x x f x x -+≤⎧=<≤，则定积分()412f x dx ⎰的值为 A. 948π+ B. 144π+ C. 12π+ D. 324π+8.函数()()t an 0,02fx x πωϕϕω⎛⎫=+<<>⎪⎝⎭某相邻两支图象与坐标轴分别变于点2,0,,063A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则方程()[]cos 2,0,3f x x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所有解的和为A.56πB.2π C.512π D.4π 9.已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面M ，N 上取三点A ，B ，P ，其中P 为侧面M 的对角线上一点(与对角线端点小重合)，A ，B 为侧面N 的一条对角线的两个端点.若以线段AB 为直径的圆过点P ，则m 的最小值为A.B.C.4D.210.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，抛物线225y x =与双曲线C 交于纵坐标为1的点M ，直线1F M 与抛物线的准线交于N ，若112955F N F M =，则双曲线的方程为A.22145x y -= B.221169x y -= C.22154x y -= D.221916x y -= 11.小明站在点O 观察练车场上匀速行驶的小车P 的运动情况，小车从点A 出发的运动轨如图所示.设小明从点A 开始随动点P 变化的视角为AOP θ=∠，练车时间为t ，则函数()f t θ=的图象大致为12.定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知,αβ为函数()2f x x px q =++的两个零点，若存在整数n 满足1n n αβ<<<+，则()(){}min ,1f n f n +的值 A.一定大于12B.一定小于14C.一定等于14D.一定小于14第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，点F 是CD 的中点，记,,,BE a AC b a b ==用表示AB ，则AB =_________.14.太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外云观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组()()22222241111x y x x y x y ⎧+≤⎪⎪≤+-≤⎨⎪++≥⎪⎩或来表示，设(),x y 是阴影中任意一点，则2z x y =+的最大值为___________. 15.已知()()()()()()222222111222:220,:110,C x y r r C x y r r -+-=>+++=>12C C 与相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则12r r 为_________.16.在各项均为正数的等比数列{}3148,n a a a a -=中，当取最小值时，则数列{}2n na 的前n项和为_________.三、解答题(共70分。
湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第一次适应性考试(一模)数学(理)试题 含答案
长郡中学2019届第一次适应性考试数学(理科)试题本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分满分.150分，时量120分钟.第I 卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设,a R i ∈为虚数单位.若复数()21z a a i =-++是纯虚数，则复数32a ii--在复面上对应的点的坐标为 A. 18,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 74,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 47,55⎛⎫-⎪⎝⎭D. 74,55⎛⎫-⎪⎝⎭2.已知集合(){}(){}2222log 34,3200A x y x x B x x mx m m ==--=-+<>，B A ⊆若，则实数m 的取值范围为A. ()4+∞，B. [)4+∞，C. ()2+∞，D. [)2+∞，3.美国总统伽菲尔德利用右图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知3,4a b ==，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在△CDE 的内切圆内部的概率为A.(5032249π- B.449πC.(2532249π- D.249π 4. 已知()31sin 2,cos ,,43αββαβ+==为锐角，则()sin αβ+的值为 3722-3214-3722+3214+5.执行如图所示的程序框图，若输入0,0,1x y n ===，则输出的,x y 的值满足A. 2xy =B. 19y x -=C. 169xy =D. 109y x -=6.已知命题p ：数列{}n a 的通项公式为2n a a n b n c =++(,,a b c 为实数，n N *∈)，且()201720182019,,0k k k a aak +++>恒为等差数列；命题q ：数列{}n b 的通项公式为()11,n bn aq q n N -*=>∈时，数列{}n b 为递增数列.若p q ∨为真，则实数a 的取值范围为 A. (),0-∞B. [)0,+∞C. ()0,+∞D. (],0-∞7.已知函数()()22,213,24x x f x x x -+≤⎧⎪=⎨--<≤⎪⎩，则定积分()412f x dx ⎰的值为 A. 948π+ B. 144π+ C. 12π+ D. 324π+8.函数()()t a n 0,02fx x πωϕϕω⎛⎫=+<<> ⎪⎝⎭某相邻两支图象与坐标轴分别变于点2,0,,063A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则方程()[]cos 2,0,3f x x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所有解的和为A.56πB.2π C.512π D.4π 9.已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面M ，N 上取三点A ，B ，P ，其中P 为侧面M 的对角线上一点(与对角线端点小重合)，A ，B 为侧面N 的一条对角线的两个端点.若以线段AB为直径的圆过点P ，则m 的最小值为A. 43B. 3C.4D.210.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，抛物线225y x =与双曲线C 交于纵坐标为1的点M ，直线1F M 与抛物线的准线交于N ，若112955F N F M =，则双曲线的方程为A.22145x y -= B.221169x y -= C. 22154x y -= D.221916x y -= 11.小明站在点O 观察练车场上匀速行驶的小车P 的运动情况，小车从点A 出发的运动轨如图所示.设小明从点A 开始随动点P 变化的视角为AOP θ=∠，练车时间为t ，则函数()f t θ=的图象大致为12.定义{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知,αβ为函数()2f x x px q =++的两个零点，若存在整数n满足1n n αβ<<<+，则()(){}min ,1f n f n +的值 A.一定大于12B.一定小于14C.一定等于14D.一定小于14第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，点F 是CD 的中点，记,,,BE a AC b a b ==用表示AB ，则AB =_________.14.太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外云观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组()()22222241111x y x x y x y ⎧+≤⎪⎪≤+-≤⎨⎪++≥⎪⎩或来表示，设(),x y 是阴影中任意一点，则2z x y =+的最大值为___________.15.已知()()()()()()222222111222:220,:110,C x y r r C x y r r -+-=>+++=>12C C 与相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则12r r 为_________.16.在各项均为正数的等比数列{}3148,n a a a a -=中，当取最小值时，则数列{}2n na 的前n 项和为_________.三、解答题(共70分。
2019年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷(理科)
2019年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设a∈R，i为虚数单位．若复数z=a-2+（a+1）i是纯虚数，则复数应的点的坐标为（）2.已知集合，若B⊆A，则实数m的取值范围为（）A. （4，+∞）B. [4，+∞）C. （2，+∞）D. [2，+∞）3.美国总统伽菲尔德利用图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”．现已知a=3，b=4，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在△CDE的内切圆内部的概率为（）4.已知为锐角，则sin（α+β）的值为（）B.5.执行如图所示的程序框图，若输入x=0，y=0，n=1，则输出的x，y的值满足（）D. xy=26.已知命题p：数列{a n}a，b，c为实数，n∈N*），且a2017+k，a2018+k，a2019+k（k＞0）恒为等差数列；命题q：数列{b n}的通项公式为bn=aq n-1（q＞1，n∈N*）时，数列{b n}为递增数列．若p∨q为真，则实数a的取值范围为（）A. （-∞，0）B. [0，+∞）C. （0，+∞）D. （-∞，0]7.）8.函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于点，则方程）A. C.9.已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面M，N上取三点A，B，P，其中P为侧面M的对角线上一点（与对角线端点小重合），A，B为侧面N的一条对角线的两个端点．若以线段AB为直径的圆过点P，则m的最小值为（）C. 4D. 210.F1，F2与双曲线C交于纵坐标为1的点M，直线F1M与抛物线的准线交于N，若）A.11.某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点A开始随动点P变化的视角为θ=∠AOP，练车时间为t，则函数θ=f（t）的图象大致为（）12.α，β为函数f（x）=x2+px+q的两个零点，若存在整数n满足n＜α＜β＜n+1，则min{f（n），f（n+1）}的值（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，点F是CD．14.太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可示，设（x，y）是阴影中任意一点，则z=2x+y的最大值为______．15.已知⊙C1与⊙C2相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则r1r2为______．16.在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3-a1=8，当a4取最小值时，则数列n项和为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a=3c．（Ⅰ）若tan B=2tan C，求B；（Ⅱ）若△ABC△ABC的周长．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD=λBC，AD∥BC，∠BCD=90°，M为线段PB上一点．（ⅠPB上是否存在点M，使得AM∥平面PCD？若存在，请确定M点的位置；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）己知PA=2，AD=1，若异面直线PA与CD成90°角，二而角B-PC-D的余弦CD的长．19.随着经济的发展，个人收入的提高．自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：（）假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于元，记表示总收入，y表示应纳的税，试写出调整前后y关于x的函数表达式；（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：①先从收入在，）及，）的人群中按分层抽样抽取人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用a表示抽到作为宣讲员的收人在[3000，5000）元的人数，b表示抽到作为宣讲员的收入在[5000，7000）元的人数，随机变量Z=|a-b|，求Z的分布列与数学期望；②小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收人比调整前增加了多少？20.F1（-1，0），F2（1，0）且椭圆上存在一点M，满足（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知A，B分别是椭圆C的左、右顶点，过F2的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，是否存在一条定直线l，使点T恒在直线l上？21.（Ⅰ）求函数f（x）的极值点个数；（Ⅱ）若22.曲线C1x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2：ρ=2a cosθ（a＞0）关于C1对称．（Ⅰ）求C1极坐标方程，C2直角坐标方程；（Ⅱ）将C2向左平移4C3；C3与两坐标轴交于A、B两点，P为C3上任一点，求△ABP的面积的最大值．已知f（x）=|x|+|2x-1|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＞4；（Ⅱ）对任意正数a、b x的取值集合M．2019年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（理科）答案和解析【答案】1. D2. B3. C4. D5. B6. B7. A8. A9. B10. C11. D12. B13.14. 1+16. S n=（8n-4）•3n+417. （本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵2a=3c，由正弦定理可得：2sin A=3sin C，可得：sin A C，…1分由tan B=2tan C，可得：sin B cos C=2sin C cos B，两边同时加sin C cos B，可得：sin（B+C）=3sin C cos B，可得：sin（B+C）=sin A C=3sin C cos B，…3分由C∈（0，π），可得：sin C≠0，可求cos B4分由B∈（0，π），可得：B5分（Ⅱ）由tan A，可得：cos A sin A可得S△ABC，解得：bc，…9分又由2a=3c，a2=b2+c2-2bc cos A，2=b2+c2-4，联立bc=42c2-4，…10分化简整理可得：5c4+16c2-488=0，解得：c b a11分可得△ABC的周长为a+b+c12分18. 解：（Ⅰ）则在线段PB上是存在点M，且PM使得AM∥平面PCD．理由如下：如图取CN AN，MN．可得AD∥CN，AD=CN，∴四边形ADCN为平行四边形，∴AN∥CD，∵M，N分别为PB，CN的三等分点，∴MN∥PC．∴面AMN∥面PCD，∴AM∥平面PCD．（Ⅱ）如图，过A作AN∥DC交BC与N，设CD=a．则A（0，0，0），N（a，0，0），P（0，0，2），D（0，1，0）．C（a，1，0）设面PDC，设面PNC|cos|=a=2．∴CD的长为2．19. 解：（1）调整前y关于x的解析式为y调整后y关于x的解析式为y；（2）①由频率分布表可知，从收入在[3000，5000）及[5000，7000）的人群中抽取7人，其中在[3000，5000）元的人数为3人，在[5000，7000）元的人数为4人，再从这7人中选4人，所以Z的取值可能为0，2，4；则P（Z=0）=P（a=2，b=2）P（Z=2）=P（a=1，b=3）+P（a=3，b=1）P（Z=4）=P（a=0，b=4）所以Z的分布列为，数学期望为E（Z）=0×+2×+4×②由于小李的工资、薪金等税前收入为7500元，按调整前起征点应纳个税为1500×3%+2500×10%=295（元）；按调整后起征点应纳个税为2500×3%=75（元），比较两个纳税方案可知，按照调整后起征点应纳个税少交295-75=220（元），即个人的实际收入增加了220元，所以小李的实际收人比调整前增加了220元．20. 解：（Ⅰ）设|F1M|=x，则△MF1F2故2a=|MF1|+|MF2|=4，∴a=2，得b2=a2-c2=3，因此，椭圆C（Ⅱ）如下图所示，已知A（-2，0）、B（2，0），设T（x，y）、P（x1，y1）、Q（x2，y2），由k TA=k PA由k TB=k QB，可得，②设直线PQ的方程为x=my+1，代入椭圆C的方程并整理得（3m2+4）y2+6my-9=0，△＞0恒成立，=得x=4，故点T在定直线x=4上．21. 解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，故只需考虑x∈（0，+∞）上的极值点的个数，f′（x）令h（x）=（x2-1）h′（x）故x∈（0h′（x）＜0，h（x）递减，x∈+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，故h（h（0）=0，取x，h＞0，+∞）上存在唯一的x0使得h（x0）=0，故f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，又f（x）是奇函数，故f（x）在（-∞，-x0）递增，在（-x0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，故f（x）的极值点共2个；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）在区间（0f（x）＜0恒成立，故x∈（02-x+ln（x）＜0，2+ln（x x，又令x（0得a n+∴a1+a2+…+a n…22. 解：（Ⅰ）C1t得，x-y=4，x-y=4，ρcosθ-ρsinθ=4，即ρsinθ-ρcosθ+4=0所以C1∵曲线C2：ρ=2a cosθ（a＞0）所以ρ2=2aρcosθ，即x2+y2=2ax，即（x-a）2+y2=a2（a＞0）∴圆心坐标是（a，0），半径是a，又曲线C2：ρ=2a cosθ（a＞0）关于C1对称所以圆心在曲线C1上，所以a=4，故C2：（x-4）2+y2=162（Ⅱ）将C2向左平移4个单位长度，得到新曲线的方程是x2+y2=a2，换得到C3C3又C3与两坐标轴交于A、B两点，不妨令A（4，（0，2），P为C3可得l AB则P AB d=d∴△ABP的面积的最大值为23. 解：（Ⅰ）f（x）＞4即为|x|+|2x-1|＞4，当x x+2x-1＞4，解得x当0＜x x+1-2x＞4，解得x∈∅；当x≤0时，-x+1-2x＞4，解得x＜-1，综上可得，f（x）＞4的解集为{x|x＜-1或x；（Ⅱ）对任意正数a、b可得f（x的最小值，+ab，当a=b=2时取得等号，即有f（x）＜3，即为|x|+|2x-1|＜3，当x x+2x-1＜3x当0＜x x+1-2x＜3，解得0＜x当x≤0时，-x+1-2x＜3，解得x≤0．综上可得，M={x x．【解析】1. 解：∵复数z=a-2+（a+1）i是纯虚数，a=2．=∴复数在复面上对应的点的坐标为（故选：D．由已知求得a本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2. 解：解一元二次不等式x2-3x-4＞0得：x＜-1或x＞4，即A=（-∞，-1）∪（4，+∞），解一元二次不等式x2-3mx+2m2＜0（m＞0）得m＜x＜2m，即B=（m，2m），又B⊆A，解得m≥4，故选：B．由二次不等式的解法得：A=（-∞，-1）∪（4，+∞），B=（m，2m），本题考查了集合的包含关系及二次不等式的解法，属简单题3. 解：由图可知：S梯形直角三角形CDE的内切圆半径为S圆=π（）2设“该点也在△CDE的内切圆内部”为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A）故选：C．由梯形的面积分式得：S梯形由直角三角形内切圆的面积得：S圆=π（2由几何概型中的面积型求概率可得：P（A）=本题考查了梯形的面积分式，直角三角形内切圆的面积及几何概型中的面积型，属中档题．4. 解：∵β是锐角，∴又，∴β2β＜π∵α是锐角，∴0＜αα+2β∵sin（α+2β）=＜α+2β＜π，∴cos（α+2β）＜0，且cos（α+2β）则sin（α+β）=sin（α+2β-β）=sin（α+2β）cosβ-cos（α+2β）sinβ×（×故选：D．根据同角的三角函数关系结合两角和差的正弦公式进行求解即可．本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用同角的三角函数关系以及两角和差的正弦公式，结合拆角技巧是解决本题的关键．5. 解：由题意，模拟程序的运行，可得x=0，y=0，n=1执行循环体，x y不满足条件x+y≥，执行循环体，n=2，x y不满足条件x+y n=3，x，y=不满足条件x+y n=4，x，y不满足条件x+y n=5，x，y…不满足条件x+y n=8，x，y此时，满足条件x+y x的值为2，y可得此时x，y的值满足xy故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6. 解：若a2017+k，a2018+k，a2019+k（k＞0）恒为等差数列，2a2018+k=a2018+k+a2019+k（k＞0），即2[a（2018+k）2+b（2018+k）+c]=a（2017+k）2+b（2017+k）+c+a（2019+k）2+b（2019+k）+c，整理得-2a=0，即a=0．即p：a=0，若数列{b n}的通项公式为bn=aq n-1（q＞1，n∈N*）时，则a＞0，即q：a＞0，若p∨q为真，则p，q至少有一个为真命题，即{0}∪（0，+∞）=[0，+∞），故选：B．分别求出命题p，q为真命题的等价条件，结合p∨q为真，则p，q至少有一个为真命题进行求解即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．7. -x+2）dx，（-x+2）dx=（2+2x=（4+4）-×）表示以（3，0）为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，故故-x+2）dx故选：A．根据定积分的计算法则和用定积分的几何意义计算定积分，本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．8. 解：∵∴函数的周期Tω=2，此时f（x）=tan（2x+φ），又f=tan（2×）=tan）=0，+φ=kπ，即φ=kπ∵0＜|φ|∴当k=0时，φ=则f（x）=tan（2x∵f（x）与y=cos（2x∴f（x）与y=cos（2x）的交点关于同一个对称中心对称，由2x kπ，k∈Z，得x+k∈Z，∵x∈[0，π]，∴当k=0时，x即两个好的对称中心为0），由图象知两个函数只有两个交点，∴x1+x2故选：A．根据条件求出ω 和φ的值，结合同角的正切函数和余弦函数有相同的对称中心，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，求出正切函数的解析式，以及利用同角的正切函数和余弦函数有相同的对称中心是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．9. 解：根据长方体的三视图知，该长方体的底面是边长为2的正方形，且高为m，如由题意知，AB为圆O的直径，则AB的最小值为2OP=4，此时△ABC为直角三角形，m故选：B．根据长方体的三视图知该长方体的底面是正方形，高为m，画出图形结合图形求出AB的最小值为4，利用直角三角形求出m的最小值．本题考查了几何体的三视图与长方体的结构特征应用问题，是基础题．10. C交于纵坐标为1的点M，可得M1），抛物线的准线方程为x N的横坐标为设F1（-c，0可得c c），解得c=3，可得焦点为（-3，0），（3，0），由双曲线的定义可得2a=|MF1|-|MF2可得a b，．故选：C．求得M的坐标和抛物线的准线方程，可得N的横坐标，由向量的共线坐标表示解方程可得c，再由双曲线的定义可得a，进而得到b，可得双曲线的方程．本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查准线方程和向量共线的坐标表示、双曲线的定义，考查化简运算能力，属于中档题．11. 解：根据小车从点A出发的运动轨迹可得，视角θ=∠AOP的值先是匀速增大，然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，故选：D．题干错误：θ=∠AOP（＞0），应该去掉括号．根据视角θ=∠AOP的值的变化趋势，可得函数图象的单调性特征，从而选出符合条件的选项．本题主要考查利用函数的单调性判断函数的图象特征，属于基础题．12. 解：由题意可知，f（n）＞0，f（n+1）＞0，由根与系数的关系可得：-p=α+β，q=αβ，当f（n）=f（n+1）时，有n2+pn+q=（n+1）2+p（n+1）+q，即-p=2n+1，所以α+β=-p=2n+1，所以n因为f（n）=n2+pn+q=n2-（2n+1）n+q=-n2-n+q=-n（n+1）+qα+β-1）（α+β+1）则min{f（n），f（n+1）}故选：B．由根与系数的关系可得：-p=α+β，q=αβ，由“取小函数”的特征得：当f（n）=f（n+1）时，有n2+pn+q=（n+1）2+p（n+1）+q，即-p=2n+1，所以α+β=-p=2n+1，所以n因为f（n）=n2+pn+q=n2-（2n+1）n+q=-n2-n+q=-n（n+1）+qα+β-1）（α+β+1）min{f（n），f（n+1）}，得解本题考查了方程根与系数的关系及对取小函数的理解，属中档题故答案为：．由平面向量的线性运算得：本题考查了平面向量的线性运算，属简单题．14. 解：由题意可知：z=2x+y与x2+（y-1）2=1相切时，切点在上方时取得最大值，如图：，解得zz=2x+y的最大值为：故答案为：平移直线z=2x+y，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值．本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力．15. 解：设两圆的公切线为y=7x+t，即7x-y+t=0，已知圆心C1（2，2），C2（-1，-1），设C1，C2到公切线的距离为d1，d2，可得d1=r1d2=r2由于公切线在两圆的同侧，r1+r2C1C2即|t+3|=15，可得t=12或-18，当t=12时，r1r2当t=-18时，r1r2=综上可得r1r2．设两圆的公切线为y=7x+t，求得两圆的圆心，由直线和圆相切的条件：d=r，两圆相切的条件，可得t=12或-18，计算可得所求值．本题考查直线和圆的位置关系，主要是相切的条件：d=r，考查化简运算能力，属于中档题．16. 解：各项均为正数的等比数列{a n}中，首项为a1，公比设为q（q＞0），由a3-a1=8q＞0且q≠1），，可得f′（q）=0＜q f′（q）＞0，f（q）递增；当q f′（q）＜0，f（q）递减，可得q f（q）取得极大值，且为最大值，则na n2=n•（-4n-1）2=16n•3n-1，n项和为S n=16（1•30+2•31+…+n•3n-1），3S n=16（1•3+2•32+…+n•3n），两式相减可得-2S n=16（1+3+…+3n-1-n•3n）=16n•3n），化简可得S n=（8n-4）•3n+4．故答案为：S n=（8n-4）•3n+4．设等比数列的公比为q（q＞0且q≠1），运用等比数列的通项公式和导数，判断单调性和极值、最值，可得公比q，再由数列的错位相减法求和，即可得到所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，化简整理的运算能力，属于中档题．17. （Ⅰ）由正弦定理可得sin A C，利用三角函数恒等变换的应用可求C=3sin C cos B，由sin C≠0，可求cos B B∈（0，π），可得B．（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式可求cos A，sin A的值，根据三角形面积公式可求bc c的值，求得a，b即可得解三角形的周长．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18. （ⅠPB上是存在点M，且PM AM∥平面PCD．（Ⅱ）如图，过A作AN∥DC交BC与N，以A为原点，AN所在直线为x轴建立空间直角坐标系，设CD=a．求得面PDC PNCa=2．本题主要考查空间二面角求解和线面平行判定，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．19. （1）用分段函数分别写出调整前和调整后y关于x的关系式即可；（2）①根据分层抽样原理求出的7人知以及随机变了Z的取值可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值；②计算小李按调整前起征点和调整后起征点应纳个税数，比较即可得出结论．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，也考查了分段函数的应用问题，是中档题．20. （Ⅰ）先利用余弦定理求出|MF1|，利用定义求出a的值，再由c的值，从而可得出b的值，进而求出椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点T（x，y）、P（x1，y1）、Q（x2，y2），分别由P、A、T三点共线和点Q、B、T三点共线并结合斜率相等得出两个等式，并将两个等式相除，设直线PQ的方程为x=my+1，将该直线方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，代入等式通过化简计算得出x=4，从而得出点T恒在直线x=4上．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的定义、点差法以及韦达定理法在椭圆综合中的应用，考查计算能力，属于中等题．21. （Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值点的个数即可；（Ⅱ2+ln（x x，令x（0n=1，2，…，累加即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．22. （Ⅰ）C1的参数方程消去参数即可得到普通方程，再由公式转化为极坐标方程即可得到答案，同理由公式得到C2直角坐标方程；（Ⅱ）由题意，根据所给的变换方式得到C3的方程，将其化为标准方程，根据题意得出A、B的坐标，计算出直线AB的方程，然后设出点P的坐标，表示出点P到直线AB 的距离，即可求出△ABP的面积的最大值．本题考查了参数方程，普通方程、极坐标方程的互化，以及利用参数方程解决圆锥曲线中的综合问题，难度较大，本题极好的体现了参数方程在求圆锥曲线的最值问题的妙用，将最值问题转化为三角函数的最值，极大的降低了此类综合题的解答难度．23. （Ⅰ）运用绝对值的意义，对x讨论，解不等式求并集，即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得f（x的最小值，运用基本不等式可得最小值，解绝对值不等式可得集合M．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．23.。