九年级数学下册24圆复习题(新版)[沪科版]
难点解析沪科版九年级数学下册第24章圆章节练习练习题(含详解)
沪科版九年级数学下册第24章圆章节练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（）A．平移B．翻折C．旋转D．以上三种都不对2、下列说法正确．．的个数有（）①方程210-+=的两个实数根的和等于1；x x②半圆是弧；③正八边形是中心对称图形；④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；1,2，则这个函数图象位于第二、四象限．⑤如果反比例函数的图象经过点()A．2个B．3个C．4个D．5个3、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．把△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB'C'，点B'恰好落在AC边上，则CC'＝（）A．10 B．C．D．4、往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽72cmAB=，则水的最大深度为（）A．36 cm B．27 cm C．24 cm D．15 cm5、等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个6、如图，△ABC外接于⊙O，∠A＝30°，BC＝3，则⊙O的半径长为（）A ．3BCD ．7、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．8、如图，AB 是O 的直径，O 的弦DC 的延长线与AB 的延长线相交于点P ，OD AC ⊥于点E ，15CAB ∠=︒，2OA =，则阴影部分的面积为（ ）A ．53πB ．56πC ．512πD ．524π 9、下列语句判断正确的是（ ）A ．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形B ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．等边三角形是中心对称图形，但不是轴对称图形D ．等边三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形10、在△ABC 中，CA CB =，点O 为AB 中点．以点C 为圆心，CO 长为半径作⊙C ，则⊙C 与AB 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、到点A 的距离等于8厘米的点的轨迹是__．2、在平面直角坐标系中，点()2,2C ，圆C 与x 轴相切于点A ，过A 作一条直线与圆交于A ，B 两点，AB 中点为M ，则OM 的最大值为______．3、如图，⊙O 的半径为5cm ，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则图中阴影部分的面积为 ___．4、如图，AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆O 上，10AB =，6AD =，C 是弧BD 上的一个动点，连接AC ，过D 点作DH AC ⊥于H ．连接BH ，则在点C 移动的过程中，线段BH 的最小值是______．5、如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，旋转角为()090αα︒<<︒．若1110∠=︒，则α的大小为________（度）．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，AB 为⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点M ，交⊙O 于点C ．若⊙O 的半径为10，OM ：MC ＝3：2，求AB 的长．2、在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的“近距离”，记为d (M ，N )，特别地，若图形M ，N 有公共点，规定d (M ，N )＝0．已知：如图，点A (2-，0)，B (0，．（1）如果⊙O 的半径为2，那么d (A ，⊙O )＝ ，d (B ，⊙O )＝ ．（2）如果⊙O 的半径为r ，且d （⊙O ，线段AB ）=0，求r 的取值范围；（3）如果C (m ，0)是x 轴上的动点，⊙C 的半径为1，使d （⊙C ，线段AB ）<1，直接写出m 的取值范围．3、如图，△ABC 内接于⊙O ，D 是⊙O 的直径AB 的延长线上一点，∠DCB ＝∠OAC ．过圆心O 作BC 的平行线交DC 的延长线于点E ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若CD ＝4，CE ＝6，求⊙O 的半径及tan∠OCB 的值．4、如图，抛物线223y ax ax a =--（a 为常数，0a <）与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ．（1）求a的值；（2）点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、CD、BP，当∠PBA＝∠CBD时，求m的值；（3）点K为坐标平面内一点，DK＝2，点M为线段BK的中点，连接AM，当AM最大时，求点K的坐标．5、如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为3，求BC的长．-参考答案-一、单选题1、C【详解】解：根据图形可知，这种图形的运动是旋转而得到的，故选：C．【点睛】本题考查了图形的旋转，熟记图形的旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转）是解题关键．2、B【分析】根据所学知识对五个命题进行判断即可．【详解】1、Δ=12−4×1=−3<0，故方程无实数根，故本命题错误；2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，半圆也是，故本命题正确；3、八边形绕中心旋转180°以后仍然与原图重合，故本命题正确；4、抛硬币无论抛多少，出现正反面朝上都是随机事件，故抛三枚硬币全部正面朝上也是随机事件，故本命题正确；k ,它的函数图像位于一三象限，故本命题错误5、反比例函数的图象经过点 (1,2) ，则0综上所述，正确个数为3故选B【点睛】本题考查一元二次函数判别式、弧的定义、中心对称图形判断、随机事件理解、反比例函数图像，掌握这些是本题关键．3、D【分析】首先运用勾股定理求出AC的长度，然后结合旋转的性质得到AB= AB'，BC= B'C'，从而求出B'C，即可在Rt△B'C'C中利用勾股定理求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴10AC=，由旋转性质可知，AB= AB'=6，BC= B'C'=8，∴B'C=10-6=4，在Rt△B'C'C中，CC'=故选：D．【点睛】本题考查勾股定理，以及旋转的性质，掌握旋转变化的基本性质，熟练运用勾股定理求解是解题关键．4、C【分析】连接OB，过点O作OC AB⊥于点D，交O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．【详解】解：连接OB，过点O作OC AB⊥于点D，交O于点C，如图所示：则136()2BD AB cm==，O的直径为78cm，39()∴==，OB OC cm在Rt OBD△中，15()OD cm，∴=-=-=，CD OC OD cm391524()即水的最大深度为24cm，故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5、A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．【详解】解：矩形，菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等边三角形、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；共2个既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：A．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．6、A【分析】分析：连接OA、OB，根据圆周角定理，易知∠AOB=60°；因此△ABO是等边三角形，即可求出⊙O的【详解】解：连接BO，并延长交⊙O于D，连结DC，∵∠A=30°，∴∠D=∠A=30°，∵BD为直径，∴∠BCD=90°，在Rt△BCD中，BC=3，∠D=30°，∴BD=2BC=6，∴OB=3．故选A．【点睛】本题考查了圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质，掌握圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质是解题的关键．7、A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．8、B【分析】由垂径定理可知，AE =CE ，则阴影部分的面积等于扇形AOD 的面积，求出75AOD ∠=︒，然后利用扇形面积公式，即可求出答案．【详解】解：根据题意，如图：∵AB 是O 的直径，OD 是半径，OD AC ⊥，∴AE =CE ，∴阴影CED 的面积等于AED 的面积，∴ΔCED AOE AOD S S S +=扇，∵90AEO ∠=︒，15CAB ∠=︒，∴901575AOE ∠=︒-︒=︒， ∴275253606AOD S ππ︒⨯⨯==︒扇； 故选：B【点睛】本题考查了求扇形的面积，垂径定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确利用扇形的面积公式进行计算．9、A【分析】根据等边三角形的对称性判断即可．【详解】∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴B ，C ，D 都不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的对称性，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键．10、B【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得CO AB ⊥，根据三角形切线的判定即可判断AB 是C 的切线，进而可得⊙C 与AB 的位置关系【详解】解：连接CO ,=，点O为AB中点．CA CB∴⊥CO ABCO为⊙C的半径，∴是C的切线，AB∴⊙C与AB的位置关系是相切故选B【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．二、填空题1、以点A为圆心，8厘米长为半径的圆【分析】由题意直接根据圆的定义进行分析即可解答．【详解】到点A的距离等于8厘米的点的轨迹是：以点A为圆心，2厘米长为半径的圆．故答案为：以点A为圆心，8厘米长为半径的圆．【点睛】本题主要考查了圆的定义，正确理解定义是关键，注意掌握圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合．21##【分析】如图所示，取D （-2，0），连接BD ，连接CD 与圆C 交于点B '，先求出A 点坐标，从而可证OM 是△ABD 的中位线，得到12OM BD =，则当BD 最小时，OM 也最小，即当B 运动到B '时，BD 有最小值B D '，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，取D （-2，0），连接BD ，连接CD 与圆C 交于点B '∵点C 的坐标为（2，2），圆C 与x 轴相切于点A ，∴点A 的坐标为（2，0），∴OA =OD =2，即O 是AD 的中点，又∵M 是AB 的中点，∴OM 是△ABD 的中位线， ∴12OM BD =，∴当BD 最小时，OM 也最小，∴当B 运动到B '时，BD 有最小值B D '，∵C （2，2），D （-2，0），∴CD ==∴=2B D CD CB ''-=，∴1OM =，1．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一点到圆上一点的距离得到最小值，两点距离公式，三角形中位线定理，把求出OM的最小值转换成求BD的最小值是解题的关键．3、25 6【分析】根据图形分析可得求阴影部分面积实为求扇形面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．【详解】如图，连接BO，OC，OA，由题意得：△BOC，△AOB都是等边三角形，∴∠AOB＝∠OBC＝60°，∴OA∥BC，∴OBC ABC S S =，2605253606BOC S S ππ⨯⨯∴===阴扇． 故答案为：256π． 【点睛】 本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是得出BOC S S =阴扇．43-##【分析】连接BD ，取AD 的中点E ，连接BE ，由题可知H 点在以E 为圆心，AE 为半径的圆上，当B 、H 、E 三点共线时，BH 最小；求出8BD =，在Rt BED 中，BE =3BH ，即为所求．【详解】解：连接BD ，取AD 的中点E ，连接BE ，DH AC ⊥，H ∴点在以E 为圆心，AE 为半径的圆上，当B 、H 、E 三点共线时，BH 最小， AB 是直径，90BDA ∴∠=︒，10AB =，6AD =，8BD ∴=，3DE =，在Rt BED中，BE=∴=-，BH BE EH33．【点睛】本题考查点的运动轨迹，勾股定理，解题的关键是能够根据点的运动情况，确定H点的运动轨迹．5、20【分析】先利用旋转的性质得到∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，再利用四边形内角和计算出∠BAD‘=70°，然后利用互余计算出∠DAD′，从而得到α的值．【详解】∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，∴∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，∵∠ABC=90°，∴∠BAD’=180°-∠1=180°-110°=70°，∴∠DAD′=90°-70°=20°，即α=20°．故答案为20．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．三、解答题AB=1、16【分析】连接OA，根据⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2可求出OM的长，由勾股定理求出AM的长，再由垂径定理求出AB的长即可．【详解】解：如图，连接OA．∵OM：MC＝3：2，OC＝10，∴OM＝331055OC=⨯=6．∵OC⊥AB，∴∠OMA＝90°，AB＝2AM．在Rt△AOM中，AO＝10，OM＝6，∴AM=8．∴AB＝2AM =16．【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．2、（1）0，2；（2r≤（3）42m-<<【分析】（1）根据新定义，即可求解；（2）过点O作OD⊥AB于点D，根据三角形的面积，可得DO=d（⊙O，线段AB）=0，可得当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，即可求解；（3）过点C作CN⊥AB于点N，利用锐角三角函数，可得∠OAB=60°，然后分三种情况：当点C在点A的右侧时，当点C与点A重合时，当点C在点A的左侧时，即可求解．【详解】解：（1）∵⊙O的半径为2，A(2-，0)，B(0，．∴2,OA OB==∴点A在⊙O上，点B在⊙O外，∴d（A，⊙O）＝0，∴d（B，⊙O）＝2；（2）过点O作OD⊥AB于点D，∵点A(2-，0)，B(0，．∴2,==，OA OB∴4AB=，∵1122OA OB AB OD ⋅=⋅ ，∴112422OD ⨯⨯=⨯⨯∴DO∵d （⊙O ，线段AB ）=0，∴当⊙O 的半径等于OD 时最小，当⊙O 的半径等于OB 时最大，∴r r ≤（3）如图，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，∵点A (2-，0)，B (0，．∴2,OA OB ==，∴tan OB OAB OA ∠=， ∴∠OAB =60°，∵C (m ，0)，当点C 在点A 的右侧时，2m >- ，∴()22AC m m =--=+ ，∴)sin 2CN AC OAB m =⋅∠=+ ， ∵d （⊙C ，线段AB ）<1，⊙C 的半径为1，∴)0211m <+<+ ，解得：22m -< ， 当点C 与点A 重合时，2m =- ，此时d （⊙C ，线段AB ）=0，当点C 在点A 的左侧时，2m <- ，∴2AC m =--11AC -< ，∴211m ---< ，解得：4m >- ，∴42m -<<-． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，点与直线的位置关系，理解新定义，熟练掌握点与圆的位置关系，点与直线的位置关系是解题的关键．3、（1）见解析（2）3，2【分析】（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出，∠OCA =∠DCB ，由圆周角定理可得∠ACB =90°，进而得到∠OCD =90°，即可得出结论；（2）根据平行线分线段成比例定理得到23BD CD OB CE ==，设BD =2x ，则OB =OC =3x ，OD =OB +BD =5x ，在Rt△OCD中，根据勾股定理求出x=1，即⊙O的半径为3，由平行线的性质得到∠OCB=∠EOC，在Rt△OCE中，可求得tan∠EOC=2，即tan∠OCB=2．（1）证明：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠DCB＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DCB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA+∠OCB＝90°，∴∠DCB+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）∵OE∥BC，∴BD CD OB CE=，∵CD=4，CE=6，∴4263 BDOB==，设BD=2x，则OB=OC=3x，OD=OB+BD=5x，∵OC⊥DC，∴△OCD 是直角三角形，在Rt △OCD 中，OC 2+CD 2=OD 2，∴（3x ）2+42=（5x ）2，解得，x =1，∴OC =3x =3，即⊙O 的半径为3，∵BC ∥OE ，∴∠OCB =∠EOC ，在Rt △OCE 中，tan ∠EOC =623EC OC ==， ∴tan∠OCB =tan∠EOC =2．【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、三角函数、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键． 4、（1）1-（2）43-（3）K 【分析】（1）先求得,A B ,C 点的坐标，进而根据OB OC =即可求得a 的值；（2）过点P 作PE x ⊥轴于点E ，证明BCD △是直角三角形，进而BCD BEP ∽，根据相似的性质列出比例式进而代入点P 的坐标解方程即可；（3）接BD ，取BD 的中点Q ，连接QM ,根据题意，点K 在以D 为圆心，2为半径的圆上，则M 在以Q 为圆心，1为半径的圆上运动，根据点与圆的距离求最值，进而求得AD 的解析式为2233y x =+，根据AM DK ∥,设直线DK 的解析式为23y x b =+，将点D 代入求得b ，进而设210(,)33K m m +，根据2DK =，进而根据勾股定理列出方程解方程求解即可．（1）223y ax ax a =--()()2(23)31a x x a x x =--=-+令0y =，解得121,3x x =-=令0x =，3y a =-抛物线223y ax ax a =--（a 为常数，0a <）与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，∴抛物线与x 轴的交点为(1,0),(3,0)A B -(0,3)C a -3OB ∴=OB OC =3OC ∴=(0,3)C ∴33a ∴-=解得1a =-（2）如图，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，2223(1)4y x x x =-++=--+(1,4)D ∴()()3,0,3,0B CCD BC BD ∴====22220,20CD BC BD ∴+==222CD BC BD ∴+=BCD ∴△是直角三角形，且90BCD ∠=︒PE AB ⊥90PEB PCD ∴∠=∠=︒ 又PBA CBD ∠=∠BCD BEP ∴∽CD BC PE BE∴=()P m n ,在抛物线2y x 2x 3=-++上，223n m m =-++∴223,3PE n m m BE m ∴=-=--=-=整理得()()3430m m +-= 解得124,33m m =-=（舍）()P m n ,在第三象限，0m ∴<43m ∴=- （3）如图，连接BD ，取BD 的中点Q ，连接QM ,QM ∴是BDK 的中位线112QM DK ∴== 根据题意点K 在以D 为圆心，2为半径的圆上，则M 在以Q 为圆心，1为半径的圆上运动，当,,A Q M 三点共线，且M 在AQ 的延长线上时，AM 最大，如图，(3,0),(1,4)B D1340(,)22Q ++∴即()2,2Q (1,0),(2,2)A Q -设直线AM 的解析式为y kx d =+，代入点(1,0),(2,2)A Q -，即022k d k d=-+⎧⎨=+⎩ 解得2323k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线AM 的解析式为2233y x =+ DK QM ∥设直线DK 的解析式为23y x b =+ (1,4)D243b ∴=+ 解得103b = 则DK 的解析式为21033y x =+ 设点210(,)33K m m +()0m >， (1,4)D ，2DK =()22221014233m m ⎛⎫∴-++-= ⎪⎝⎭解得12m m ==m ∴=21033m ∴+=21033+=K ∴ 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，点与圆的距离求最值问题，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线并熟练掌握以上知识是解题的关键．5、（1）见解析（2）94【分析】（1）连接OB ，由圆周角定理得出90ABC ∠=︒，得出90C BAC ∠+∠=︒，再由OA OB =，得出BAC OBA ∠=∠，证出90PBA OBA ∠+∠=︒，即可得出结论；（2）证明ABC PBO ∆∆∽，得出对应边成比例，即可求出BC 的长．（1）证明：连接OB ，如图所示：AC 是O 的直径，90ABC ∴∠=︒，90C BAC ∴∠+∠=︒，OA OB =，BAC OBA ∴∠=∠，PBA C ∠=∠，90PBA OBA ∴∠+∠=︒，即PB OB ⊥，PB ∴是O 的切线；（2）解：O 的半径为3，3OB ∴=，6AC =，//OP BC ，CBO BOP ∴∠=∠，OC OB =，C CBO ∴∠=∠，C BOP ∴∠=∠，又90ABC PBO ∠=∠=︒，ABC PBO ∴∆∆∽， ∴BC AC OB OP=， 即863BC =， 94BC ∴=． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握圆周角定理、切线的判定．。
沪科版九年级数学下册第24章 圆 复习题
第24章 圆类型之一 旋转的性质及其应用1．如图24－X －1，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A ′B ′C .若∠A ＝40°，∠B ′＝110°，则∠BCA ′的度数是( )图24－X －1A ．110°B ．80°C ．40°D ．30°2．如图24－X －2，在△OAB 中，OA ＝OB ，∠AOB ＝15°，在△OCD 中，OC ＝OD ，∠COD ＝45°，且点C 在边OA 上，连接CB ，将线段OB 绕点O 逆时针旋转一定角度得到线段OE ，使得DE ＝CB ，则∠BOE 的度数为( )图24－X －2A ．15°B ．15°或45°C ．45°D ．45°或60°3．如图24－X －3，△BAD 是由△BEC 在平面内绕点B 逆时针旋转60°得到的，且AB ⊥BC ，BE ＝CE ，连接DE .(1)求证：△BDE ≌△BCE ；(2)试判断四边形ABED 的形状，并说明理由．图24－X －3类型之二 垂径定理及其推论4．2021·泸州 如图24－X －4，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E .若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是( )图24－X －4 A.7 B ．2 7C ．6D ．85．如图24－X －5，⊙O 的直径CD ⊥弦AB ，若∠AOC ＝50°，则∠D 的度数为( )图24－X －5A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°6．在⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为AB 长度的一半，则弦AB 所对圆心角的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．2021·阜阳一模 如图24－X －6，⊙O 过点B ，C ，圆心O 在等腰直角三角形ABC 的内部，∠BAC ＝90°，OA ＝1，BC ＝6，则⊙O 的半径为( )图24－X －6A ．2 3 B.13C ．4D ．3 28．如图24－X －7，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC .若AB ＝8，CD ＝2，则CE 的长为________．图24－X －79．如图24－X －8，点C ，D 分别在扇形AOB 的半径OA ，OB 的延长线上，且OA ＝3，AC ＝2，CD ∥AB ，并与弧AB 相交于点M ，N .(1)求线段OD 的长；(2)若tan C ＝12，求弦MN 的长．图24－X －8类型之三 圆心角定理、圆周角定理及其推论10．如图24－X －9，经过原点O 的⊙P 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，C 是劣弧OB︵上一点，则∠ACB 的度数为( )A ．80°B ．90°C ．100°D ．无法确定图24－X －911．2021·广州 如图24－X －10，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB ，交⊙O 于点C ，连接OA ，OB ，BC ，若∠ABC ＝20°，则∠AOB 的度数是( )A ．40°B ．50°C ．70°D ．80°图24－X －1012．如图24－X －11所示，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，D 是AC ︵的中点，若∠BAC ＝30°，则∠C 的度数为________．图24－X －1113．如图24－X －12，点O 为BC ︵所在圆的圆心，∠BOC ＝112°，点D 在BA 的延长线上，AD ＝AC ，则∠D 的度数为________．图24－X －1214．如图24－X －13，A ，P ，B ，C 是圆上的四个点，∠APC ＝∠CPB ＝60°，AP ，CB 的延长线相交于点D .(1)求证：△ABC 是等边三角形；(2)若∠P AC ＝90°，AB ＝2 3，求PD 的长．图24－X －1315．如图24－X －14，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点．(1)求证：AB 平分∠OAC ；(2)延长OA 至点P 使得OA ＝AP ，连接PC ，若⊙O 的半径R ＝1，求PC 的长．图24－X －14类型之四 切线的性质与判定16．2021·日照 如图24－X －15所示，AB 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长交⊙O 于点C ，连接AC ，AB ＝10，∠P ＝30°，则AC 的长是( )图24－X －15A ．5 3B ．5 2C ．5 D.5217．如图24－X －16所示，圆形薄铁片与三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O ，三角尺的直角顶点C 落在直尺的10 cm 处，铁片与直尺的唯一公共点A 落在直尺的14 cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B .下列说法错误的是( )图24－X －16A ．圆形铁片的半径是4 cmB ．四边形AOBC 为正方形C ．弧AB 的长度为4π cmD ．扇形AOB 的面积是4π cm 218．如图24－X －17，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝15 cm ，点O 在中线CD 上，设OC ＝x cm ，当半径为3 cm 的⊙O 与△ABC 的边相切时，x ＝____________．图24－X －1719．如图24－X －18，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，AC ，PB 的延长线相交于点D .(1)若∠1＝20°，求∠APB 的度数；(2)当∠1为多少度时，OP ＝OD ？并说明理由．图24－X －1820．如图24－X －19，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，BD 为⊙O 的弦，且AB ∥CD .过点A 作⊙O 的切线，与DC 的延长线交于点E ，AD 与BC 相交于点F .(1)求证：四边形ABCE 是平行四边形；(2)若AE ＝6，CD ＝5，求OF 的长．图24－X －1921．2021·济宁如图24－X －20，已知⊙O 的直径AB ＝12，弦AC ＝10，D 是BC ︵的中点，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E .(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)求AE 的长．图24－X －2022．2021·蜀山区一模 如图24－X －21，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，CD 是⊙O 的切线，点D 在AB 的延长线上，作AE ⊥CD 于点E .(1)求证：AC 平分∠BAE ；(2)若AC ＝2CE ＝6，求⊙O 的半径；(3)请探索：线段AD ，BD ，CD 之间有何数量关系？并证明你的结论．图24－X －21类型之五 正多边形与圆的有关计算23．如图24－X －22，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若直线P A 与⊙O 相切于点A ，则∠P AB 的度数为( )图24－X －22A ．30°B ．35°C ．45°D ．60°24．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )图24－X －23 A.38 B.34 C.24 D.28类型之六 弧长及扇形面积26．如图24－X －24，在矩形ABCD 中，已知AB ＝4，BC ＝3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转2021次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是( )图24－X －24A ．2021πB ．3025.5πC ．3024πD ．3030π27．如图24－X－25①所示，小刚用一张半径为24 cm的扇形纸板做一个如图24－X－25②所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝处忽略不计)，如果做成的圆锥形小丑帽子的底面圆半径为10 cm，那么这张扇形纸板的面积是()图24－X－25A．120πcm2B．240πcm2C．260πcm2D．480πcm228．2021·瑶海区三模如图24－X－26，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE相切于点A，C，则劣弧AC的长度为________．图24－X－2629．如图24－X－27，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F.(1)求证：DF⊥AC；(2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．图24－X－2730．2021·枣庄如图24－X－28，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，与AC，AB分别交于点E，F.(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若BD＝2 3，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．图24－X－28教师详解详析1．B [解析] 根据旋转的性质可得∠A′＝∠A ，∠A ′CB ′＝∠ACB.∵∠A ＝40°，∴∠A ′＝40°.∵∠B ′＝110°，∴∠A ′CB ′＝180°－110°－40°＝30°，∴∠ACB ＝30°.∵将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A ′B ′C ，∴∠ACA ′＝50°，∴∠BCA ′＝30°＋50°＝80°.2．B [解析] 如图，当OE 在∠BOD 的内部时，若∠DOE ＝∠COB ＝15°，则由OD ＝OC ，∠DOE ＝∠COB ，OB ＝OE ，可得△ODE ≌△OCB ，故DE ＝CB ，此时∠BOE ＝45°－15°－15°＝15°；当OE′在∠BOD 的外部时，若∠DOE′＝∠COB ＝15°，则由OD ＝OC ，∠DOE ′＝∠COB ，OB ＝OE′，可得△ODE′≌△OCB ，故DE′＝CB ，此时∠BOE′＝45°－15°＋15°＝45°.3．解：(1)证明：∵△BAD 是由△BEC 绕点B 逆时针旋转60°得到的，∴DB ＝CB ，∠ABD ＝∠EBC ，∠ABE ＝60°.又∵AB ⊥BC ，∴∠ABC ＝90°，∴∠EBC ＝∠ABD ＝30°，∴∠DBE ＝90°－∠EBC －∠ABD ＝30°，∴∠DBE ＝∠EBC.在△BDE 和△BCE 中，⎩⎨⎧DB ＝CB ，∠DBE ＝∠EBC ，BE ＝BE ，∴△BDE ≌△BCE.(2)四边形ABED 是菱形．理由：由(1)得△BDE ≌△BCE.又∵△BAD 是由△BEC 旋转得到的，∴△BAD ≌△BEC ，∴AB ＝BE ，AD ＝DE ＝CE.又∵BE ＝CE ，∴AB ＝BE ＝DE ＝AD ，∴四边形ABED 是菱形．4．B [解析] 连接OC ，由题意，得OE ＝OA －AE ＝4－1＝3，根据勾股定理，得CE ＝OC 2－OE 2＝42－32＝7，∴CD ＝2CE ＝2 7.5．A [解析] 由垂径定理，得AC ︵＝BC ︵，∴∠D ＝12∠AOC ＝25°.故选A . 6．D [解析] 如图所示，连接BO ，AO ，∵圆心O 到弦AB 的距离为AB 长度的一半， ∴DO ＝DB ，DO ⊥AB ，∴∠BOC ＝∠OBD ＝45°.同理，∠A ＝∠AOC ＝45°，∴∠AOB ＝90°.7．B [解析] 连接AO 并延长，交BC 于点D ，连接OB ，∵AB ＝AC ，∴AD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝3. ∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AD ＝BD ＝3，∴OD ＝2，∴OB ＝OD 2＋BD 2＝13.8．2 13 [解析] 如图，连接BE ，设⊙O 的半径为R.如图，∵OD ⊥AB ，∴AC ＝BC ＝12AB ＝12×8＝4. 在Rt △AOC 中，OA ＝R ，OC ＝R －CD ＝R －2.∵OC 2＋AC 2＝OA 2，∴(R －2)2＋42＝R 2，解得R ＝5，∴OC ＝5－2＝3.∵O 为AE 的中点，C 为AB 的中点，∴OC 为△ABE 的中位线，∴BE ＝2OC ＝6.∵AE 为⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°.在Rt △BCE 中，CE ＝BC 2＋BE 2＝42＋62＝2 13.9．解： (1)∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA.∵AB ∥CD ，∴∠OAB ＝∠C ，∠OBA ＝∠D ，∴∠C ＝∠D ，∴OD ＝OC ＝OA ＋AC ＝3＋2＝5.(2)如图，过点O 作OE ⊥CD ，连接OM ，则ME ＝12MN. ∵tan C ＝12，即OE CE ＝12， ∴设OE ＝x ，则CE ＝2x.在Rt △OEC 中，OC 2＝OE 2＋CE 2，即52＝x 2＋(2x)2，解得x ＝5(负值舍去)．在Rt △OME 中，OM 2＝OE 2＋ME 2，即32＝(5)2＋ME 2，解得ME ＝2(负值舍去)． ∴MN ＝2ME ＝4.10．B [解析] 在⊙P 中，∵∠AOB 与∠ACB 是同弧所对的圆周角，∴∠AOB ＝∠ACB. ∵∠AOB ＝90°，∴∠ACB ＝90°.故选B .11．D [解析] ∵∠ABC ＝20°，∴∠AOC ＝40°.∵AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB ，∴∠AOC ＝∠BOC ＝40°，∴∠AOB ＝80°.12．30° [解析] 如图，连接BC.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠BAC ＝30°，∴∠B ＝60°.∵四边形ABCD 为圆内接四边形，∴∠D ＝120°.∵D 是AC ︵的中点，∴DA ＝DC ，∴∠DCA ＝∠DAC ＝(180°－120°)÷2＝30°.13．28° [解析] ∵∠BOC ＝112°，∴∠BAC ＝12∠BOC ＝56°.∵AD ＝AC ，∴∠ACD ＝∠D.∵∠BAC ＝∠ACD ＋∠D ，∴∠D ＝12∠BAC ＝28°.故答案为28°. 14．解：(1)证明：由题意可得∠CPB ＝∠BAC ，∠APC ＝∠ABC.∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，∴∠BAC ＝∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．(2)∵∠PAC ＝90°，∴PC 是圆的直径，∴∠PBC ＝90°，∴∠PBD ＝90°.∵△ABC 是等边三角形，∴AC ＝BC ＝AB ＝2 3.∵∠CPB ＝60°，∴PB ＝BC tan 60°＝2 3÷3＝2. ∵∠ACB ＝60°，∴∠DPB ＝60°，∴∠D ＝30°.在Rt △BDP 中，PD ＝2PB ＝4.15．解：(1)证明：如图，连接OC ，∵∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点，∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°.∵OA ＝OC ，∴△ACO 是等边三角形，∴OA ＝AC ，同理OB ＝BC ，∴OA ＝AC ＝BC ＝OB ，∴四边形AOBC 是菱形，∴AB 平分∠OAC.(2)由(1)知△ACO 是等边三角形，∴OA ＝AC ，∠OAC ＝∠AOC ＝60°.∵OA ＝AP ，∴AP ＝AC ，∴∠APC ＝∠ACP ，∴∠APC ＝12∠OAC ＝30°， ∴∠PCO ＝180°－∠APC －∠AOC ＝90°，∴△OPC 是直角三角形，∴PC ＝3OC ＝ 3.16．A [解析] ∵PA 是⊙O 的切线，∴∠BAP ＝90°.∵∠P ＝30°，∴∠AOP ＝60°，∴∠BOC ＝60°，∴∠ACP ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝30°＝∠P ，∴AP ＝AC. 在Rt △AOP 中，∠P ＝30°，OA ＝12AB ＝5，∴AP ＝5 3，∴AC ＝5 3. 17．C [解析] ∵圆形铁片与直尺和三角尺的直角边都有唯一的公共点，∴圆与直尺和三角尺的直角边均相切，∴OB ⊥BC ，OA ⊥AC.又∠BCA ＝90°，∴四边形AOBC 为矩形．又OA ＝OB ，∴四边形AOBC 为正方形，∴圆形铁片的半径等于正方形AOBC 的边长，为14－10＝4(cm )，因此选项A ，B 正确．扇形AOB 的面积为90×π×42360＝4π(cm 2)，因此选项D 正确．利用弧长公式可计算弧AB 的长为90×π×4180＝2π(cm )，故选项C 错误． 18．2 3或3 3或6 [解析] 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝15， ∴∠B ＝60°，AB ＝10 3.∵CD 为中线，∴CD ＝AD ＝BD ＝12AB ＝5 3， ∴∠BDC ＝∠BCD ＝∠B ＝60°，∠ACD ＝∠A ＝30°.①当⊙O 与AB 相切时，如图①，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，在Rt △ODE 中，∠BDC ＝60°，OE ＝3，∴OD ＝OE sin ∠BDC ＝332＝2 3， ∴x ＝OC ＝CD －OD ＝5 3－2 3＝3 3；②当⊙O 与BC 相切时，如图②，过点O 作OE ⊥BC 于点E ，在Rt △OCE 中，∠BCD ＝60°，OE ＝3， ∴OC ＝OE sin ∠BCD ＝332＝2 3， ∴x ＝OC ＝2 3；③当⊙O 与AC 相切时，如图③.过点O 作OE ⊥AC 于点E ，在Rt △OCE 中，∠ACD ＝30°，OE ＝3， ∴OC ＝OE sin ∠ACD ＝312＝6， ∴x ＝OC ＝6.故答案为2 3或3 3或6.19．解：(1)∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAO ＝90°，∴∠BAP ＝90°－∠1＝70°.又∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ＝PB ，∴∠BAP ＝∠ABP ＝70°，∴∠APB ＝180°－70°×2＝40°.(2)当∠1＝30°时，OP ＝OD.理由如下：当∠1＝30°时，由(1)知∠BAP ＝∠ABP ＝60°，∴∠APB ＝180°－60°×2＝60°.∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴∠OPB ＝12∠APB ＝30°. 又∵∠D ＝∠ABP －∠1＝60°－30°＝30°，∴∠OPB ＝∠D ，∴OP ＝OD.20．解：(1)证明：连接OA ，交BC 于点G ，延长AO 交⊙O 于点H ，连接HC. ∵AE 与⊙O 相切于点A ，∴HA ⊥AE ，∴∠CAE ＋∠CAH ＝90°.∵∠ACH ＝90°，∴∠AHC ＋∠CAH ＝90°，∴∠AHC ＝∠CAE.∵∠ABC ＝∠AHC ，∴∠ABC ＝∠CAE.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠ACB ＝∠CAE ，∴AE ∥BC.又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCE 是平行四边形．(2)由(1)知∠AHC ＝∠CAE.∵∠AHC ＝∠ADC ，∴∠ADC ＝∠CAE.又∵∠AEC ＝∠DEA ，∴△ADE ∽△CAE ，∴AE ∶CE ＝DE ∶AE ，即AE 2＝CE·(CE ＋CD)，∴62＝CE·(CE ＋5)，解得CE ＝4(负值舍去)．根据(1)得AB ＝AC ＝CE ＝4，BC ＝AE ＝6.∵OA ⊥AE ，∴OA ⊥BC ，∴BG ＝CG ＝3.在Rt △AGC 中，根据勾股定理，得AG ＝AC 2－CG 2＝7.设⊙O 的半径为r.由△AHC 是直角三角形，且CG 为斜边上的高，易推得△AGC ∽△CGH ，∴AG CG ＝CG GH，∴CG 2＝AG·GH ＝AG ·(2r －AG)， 即9＝2 7r －7，解得r ＝8 77， ∴OG ＝r －AG ＝77. ∵AE ∥BC ，∴FC ∶AE ＝CD ∶(CD ＋CE)，∴FC ＝AE·CD CD ＋CE ＝6×55＋4＝103， ∴FG ＝FC －CG ＝103－3＝13. 在Rt △OGF 中，根据勾股定理，得OF ＝FG 2＋OG 2＝⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫772＝4 721. 21．解：(1)证明：如图，连接OD ，∵D 是BC ︵的中点，∴BD ︵＝12BC ︵， ∴∠BOD ＝∠BAE ，∴OD ∥AE.又∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD.∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线．(2)如图，过点O 作OF ⊥AC 于点F ，∵AC ＝10，∴AF ＝CF ＝12AC ＝12×10＝5. ∵∠OFE ＝∠DEF ＝∠ODE ＝90°，∴四边形OFED 是矩形，∴FE ＝OD ＝12AB. ∵AB ＝12，∴FE ＝6，∴AE ＝AF ＋FE ＝5＋6＝11.22．解：(1)证明：连接OC ，∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD.∵AE ⊥CD ，∴OC ∥AE ，∴∠EAC ＝∠ACO.∵OA ＝OC ，∴∠CAO ＝∠ACO ，∴∠EAC ＝∠CAO ，即AC 平分∠BAE.(2)连接BC ，∵AE ⊥CE ，AC ＝2CE ＝6，∴sin ∠CAE ＝CE AC ＝12， ∴∠CAE ＝30°，∴∠CAB ＝∠CAE ＝30°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴cos ∠CAB ＝AC AB ＝32，∴AB ＝4 3， ∴⊙O 的半径是2 3.(3)CD 2＝BD·AD.证明：∵∠DCB ＋∠BCO ＝90°，∠ACO ＋∠BCO ＝90°，∴∠DCB ＝∠ACO ， ∴∠DCB ＝∠ACO ＝∠CAD.又∵∠D ＝∠D ，∴△BCD ∽△CAD ， ∴BD CD ＝CD AD，即CD 2＝BD·AD. 23．A24．D [解析] 通过解直角三角形，可求出正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3＝12，r 4＝22，r 6＝32，则r 32＋r 42＝r 62，所以该三角形是直角三角形，则S ＝12×12×22＝28.故选D . 25.5－1 [解析] 在⊙O 的内接正五边形ABCDE 中，设EG ＝x ，易知∠AEB ＝∠ABE ＝∠EAG ＝36°，∠BAG ＝∠AGB ＝72°，∴AB ＝BG ＝AE ＝2.∵∠AEG ＝∠AEB ，∠EAG ＝∠EBA ，∴△AEG ∽△BEA ，∴AE BE ＝EG EA， 即AE 2＝EG·BE ，∴22＝x(x ＋2)，解得x ＝－1＋5(负值舍去)，∴EG ＝5－1.26．D [解析] 旋转4次是一个循环，其中前三次点A 作旋转变换，第四次是绕点A 旋转，点A 不移动．每一个循环，点A 所转过的弧长之和是90π×4180＋90π×5180＋90π×3180＝90π×12180＝6π.因为2021＝4×504＋3，因此连续旋转2021次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是504×6π＋6π＝3030π.故选D .27．B [解析] 从题目所给的条件看，根据扇形面积公式求出扇形面积，只要知道扇形的弧长就可以，而弧长等于底面圆的周长，即2π×10＝20π，∴这张扇形纸板的面积是12×20π×24＝240π(cm 2)．28.45π [解析] 连接OA ，OC. ∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠E ＝∠D ＝108°.∵AE ，CD 与⊙O 相切，∴∠OAE ＝∠OCD ＝90°，∴∠AOC ＝(5－2)×180°－90°－108°－108°－90°＝144°，∴AC ︵的长为144×π×1180＝45π. 29．解：(1)证明：连接OD.∵OB ＝OD ，∴∠B ＝∠ODB.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠ODB ＝∠C ，∴OD ∥AC.∵DF 是⊙O 的切线，∴DF ⊥OD ，∴DF ⊥AC.(2)连接OE.∵DF ⊥AC ，∠CDF ＝22.5°，∴∠B ＝∠C ＝67.5°，∴∠A ＝45°.∵OA ＝OE ，∴∠AOE ＝90°.∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE ＝4π，S △AOE ＝8，∴S 阴影＝S 扇形AOE －S △AOE ＝4π－8.30．解：(1)BC 与⊙O 相切．理由：如图，连接OD.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD ＝∠CAD.又∵OD ＝OA ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∴∠CAD ＝∠ODA ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB ＝∠C ＝90°，即OD ⊥BC.又∵BC 过半径OD 的外端点D ，∴BC 与⊙O 相切．(2)设OF ＝OD ＝x ，则OB ＝OF ＋BF ＝x ＋2，根据勾股定理，得OB 2＝OD 2＋BD 2，即(x ＋2)2＝x 2＋12，解得x ＝2，即OD ＝OF ＝2，∴OB ＝2＋2＝4.∵在Rt △ODB 中，OD ＝12OB ， ∴∠B ＝30°，∴∠DOB ＝60°，∴S 扇形DOF ＝60π×22360＝2π3， ∴S 阴影＝S △ODB －S 扇形DOF ＝12×2×2 3－23π＝2 3－23π.。
(典型题)沪科版九年级下册数学第24章 圆含答案
沪科版九年级下册数学第24章圆含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′．ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E′D′．已知BC=4，则E′D′=（）A.2B.3C.4D.1.52、下列命题是假命题的是（）A.三角形的内心到这个三角形三边的距离相等B.有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形C.直角坐标系中，点（a，b）关于原点成中心对称的点的坐标为（-b，-a）D.有三个角是直角且一组邻边相等的四边形是正方形3、如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）A.80°B.90°C.100°D.105°4、在中，，，，M是的中点，以点C 为圆心，1为半径作，则（）A.点M在上B.点M在内C.点M在外D.点M 与的位置关系不能确定5、已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（）A.一定在⊙O的内部B.一定在⊙O的外部C.一定在⊙O上D.不能确定6、一个扇形的弧长为4π，半径长为4，则该扇形的面积为（）A.4πB.6πC.8πD.12π7、下列命题：①长度相等的弧是等弧②半圆既包括圆弧又包括直径③相等的圆心角所对的弦相等④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形其中正确的命题共有（）A.0个B.1个C.2个D.3个8、已知⊙O的直径为5，若PO=5，则点P与⊙O的位置关系是（）A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.无法判断9、如图，AB是⊙O的直径，TA切⊙O于点A，连结TB交⊙O于点C，∠BTA=40°，点M是圆上异于B，C的一个动点，则∠BMC的度数等于（）A.50°B.50°或130°C.40°D.40°或140°10、在平面直角坐标系中，把点P（﹣5，4）向右平移9个单位得到点P1，再将点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是（）A.（4，﹣4）B.（4，4）C.（﹣4，﹣4）D.（﹣4，4）11、如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）A.6πB.5πC.4πD.3π12、如图，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC的长为（）A. B.6 C. D.13、△ABC绕点A按顺时针方向旋转了60°得△AEF，则下列结论错误的是（）A.∠BAE=60°B.AC=AFC.EF=BCD.∠BAF=60°14、如图，螺丝母的截面是正六边形，则的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.75°15、若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（）A.12cm 2B.24cm 2C.12πcm 2D.24πcm 2二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，点A，B，C在⊙O上，∠OBC=18°，则∠A=________．17、如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为________．18、如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠B+∠E=222°，则∠CAD=________°．19、如图，将矩形纸片ABCD裁剪出扇形ABE和⊙O，其中⊙O与，BC，CD 都相切．若扇形ABE与⊙O恰好制作成一个圆锥，已知AB=8cm，则AD的长为________．20、一个正多边形的内角度数为，则这个正多边形的边数为________.21、在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立.依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P 在以DE为直径的半圆上运动，则的最小值为________.22、如图，CD是⊙O直径，AB是弦，若CD⊥AB，∠BCD=25°，则∠AOD=________°．23、如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-1.5，0)，B(0，2)，将△ABO顺着x轴的正半轴无滑动的滚动，第一次滚动到①的位置，点B的对应点记作B1；第二次滚动到②的位置，点B1的对应点记作B2；第三次滚动到③的位置，点B2的对应点记作B3；；依次进行下去，则点B2020的坐标为________.24、在⊙O中，已知=2，那么线段AB与2AC的大小关系是________ ．（从“＜”或“=”或“＞”中选择）25、如图，一个长为4，宽为3的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面l上，则木板上点A滚动所经过的路径长为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、已知：如图，在⊙O中，弦AB,CD交于点E，AD=CB．求证：AE=CE．27、阅读资料：我们把顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角，如图1∠ABC所示．同学们研究发现：P为圆上任意一点，当弦AC 经过圆心O时，且AB切⊙O于点A，此时弦切角∠CAB=∠P（图2）证明：∵AB切⊙O于点A，∴∠CAB=90°，又∵AC是直径，∴∠P=90°∴∠CAB=∠P问题拓展：若AC不经过圆心O（如图3），该结论：弦切角∠CAB=∠P还成立吗？请说明理由．知识运用：如图4，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F．求证：EF∥BC．28、如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4 ，BC=3 .求以直角边所在直线为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积.29、已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE=BF，AC与BD相等吗？为什么？30、如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE（点A对应点为D），线段AC交线段DE于点F，求∠EFC的度数．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、C3、B4、C5、B6、C7、B8、C9、D10、D11、A12、B13、D14、C15、D二、填空题(共10题，共计30分)17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、29、。
沪科版九年级数学下第24章圆24
24．2.3 圆的确定
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1．经过两点能作_无_无数数__个圆；经过不在同一直线上的三点只可以作 _一_一__个圆． 2．经过三角形三个顶点的圆叫做_三_三角角形形的的外外接接圆圆__，外接圆的圆心叫 做三角形的_外_外心心__，三角形的_外_外心心__到三角形的三个顶点距离相等． 3．用反证法证明的三个主要步骤是_反_反设设__、_推_推理理__、_结_结论论__．
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2．如图，点 A，B，C 在同一直线上，点 M 在 AC 外，经过图中的三个点 作圆，可以作__3__个．
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知识点 2：三角形的外接圆
3．三角形的外心是三角形
A．三个内角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点
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解：(1)如图，分别作出两边 BC，AC 的垂直平分线，交 点为 O.以 O 为圆心，OA 为半径作出⊙O，即为所求作的 花坛的位置． (2)∵∠BAC＝90°，AB＝8 m，AC＝6 m， ∴BC＝10 m．∴△ABC 外接圆的半径为 5 m. ∴小明家圆形花坛的面积为 25π m2.
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5．如图，一只猫观察到一个老鼠洞的三个洞口 A，B，C，这三个洞口不 在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三 个洞口？作出这个位置．
(基础题)沪科版九年级下册数学第24章 圆含答案
沪科版九年级下册数学第24章圆含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图所示，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数最大时，则∠ABP 的度数为（）A.15°B.30°C.60°D.90°2、如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知∠O=60°，则∠C=（）A.20°B.25°C.30°D.45°3、下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.4、圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是（）A.6πB.8πC.12πD.16π5、如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=2，∠C＝30 ，则⊙O的半径为（）A.1B.2C.3D.46、如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为（），若，则的大小是（）A. B. C. D.7、已知正方形MNKO和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK边与AB边重合，如图所示．按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使KN边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使NM边与CD边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点M在图中直角坐标系中的纵坐标可能是（）A.2.2B.-2.2C.2.3D.-2.38、如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE，②AE=BE，③OD=DE，④∠AEO=∠C，⑤弧AE=弧AEB，正确结论的个数是（）A.2B.3C.4D.59、如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）A.6B.2 +1C.9D.10、如图是由三把相同大小的扇子展开后组成的图形，若把每把扇子的展开图看着“基本图案”那么该图形是由“基本图案”（）A.平移一次形成的B.平移两次形成的C.以轴心为旋转中心，旋转120°后形成的D.以轴心为旋转中心，旋转120°、240°后形成的11、将六个全等的等边三角形沿中位线剪开，得到六个全等的等腰梯形，将六个等腰梯形按如图所示围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若小正六边形的面积为6，则圆的内接六边形的面积为（）A.24B.18C.12D.612、如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AO D的度数为90°，则∠B的度数是（）A.40°B.50°C.60°D.70°13、以半径为1的圆内接正三角形，正方形，正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A. B. C. D.14、如图所示，小红要制作一个母线长为8cm，底面圆周长是12πcm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则她所需纸板的面积是（）A.60πcm 2B.96πcm 2C.120πcm 2D.48πcm 215、下列图形中是中心对称图形，而不是轴对称图形的是（）A.等边三角形B.平行四边形C.矩形D.菱形二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在⊙O中，圆周角∠ACB＝150°，弦AB＝4，则扇形OAB的面积是________．17、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=56°，以BC为直径的⊙O交AB 于点D，E是⊙O上一点，且，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为________18、如图，BD是⊙O的切线，B为切点，连接DO与⊙O交于点C，AB为⊙O的直径，连接CA，若∠D=30°，⊙O的半径为4，则图中阴影部分的面积为________．19、如图，AB为半圆O的直径，以AO为直径作半圆M，C为OB的中点，D在半圆M上，且CD⊥MD，延长AD交半圆O于点E,且AB=4，则圆中阴影部分的面积为________.20、要在三角形广场ABC的三个角处各修一个半径为2m的扇形草坪，则三个扇形弧长的和为________21、如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧的长为________（保留π）22、如图，将等边△ABD沿BD中点旋转180°得到△BDC．现给出下列命题：①四边形ABCD是菱形；②四边形ABCD是中心对称图形；③四边形ABCD是轴对称图形；④AC＝BD．其中正确的是________（写上正确的序号）．23、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，以B为圆心，AB为半径画弧，恰好经过AC的中点D，则弧AD与线段AD围成的弓形面积是________.24、“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”．（1尺=10寸）则CD=________．25、如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝________.三、解答题(共5题，共计25分)26、已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，AB＝4，BC＝3，点E是劣弧上的一点，连接AE，DE．过点C作⊙O的切线交线段AE的延长线于点F，若∠CDE＝30°，求CF的长．27、现实生活中，你见过哪些图案用到了平移或旋转，请举两个例子说明．（不能使用本试卷中出现的例子）．28、如图，阴影部分是一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别是20cm，10cm，∠AOB＝120°，则这个广告标志的周长是多少？29、如图，AB为⊙O的弦，AB=8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=l ，求⊙O的半径.30、已知AB为⊙O的弦，C、D在AB上，且AC=CD=DB，求证：∠AOC=∠DOB．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C3、C4、B5、B6、A7、A8、B9、C10、D11、A12、C13、D14、D15、B二、填空题(共10题，共计30分)17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、28、29、30、。
沪科版九年级数学下册第24章 圆——圆的有关概念及性质中考题汇编(含答案)
沪科版九年级数学下册圆的有关概念及性质中考题汇编（含答案）一、 选择题1. (2019·宜昌)如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，当∠OBC ＝40°时，∠A 的度数是( )第1题A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°2. (2019·柳州)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，则图中与∠A 相等的角是( )第2题A. ∠BB. ∠CC. ∠DEBD. ∠D3. (2019·兰州)如图，四边形ABCD 内接于⊙O.若∠A ＝40°，则∠C 的度数为( )第3题A. 110°B. 120°C. 135°D. 140°4. (2019·吉林)如图，在⊙O 中，AB ︵所对的圆周角∠ACB ＝50°.若P 为AB ︵上一点，∠AOP ＝55°，则∠POB 的度数为( )第4题A. 30°B. 45°C. 55°D. 60° 5. (2019·葫芦岛)如图，在⊙O 中，∠BAC ＝15°，∠ADC ＝20°，则∠ABO 的度数为( )第5题A. 70°B. 55°C. 45°D. 35°6. (2019·赤峰)如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC 的度数为( )第6题A. 30°B. 40°C. 50°D. 60° 7. (2019·广元)如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD ⊥AC 于点D ，连接BD ，BC ，且AB ＝10，AC ＝8，则BD 的长为( )第7题A. 2 5B. 4C. 213D. 4.88. (2019·贵港)如图，AD 是⊙O 的直径，AB ︵＝CD ︵.若∠AOB ＝40°，则圆周角∠BPC 的度数是( )第8题A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°9. (2019·天水)如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连接AC ，AE.若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为( )第9题A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°10. (2019·聊城)如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是BC ︵上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE.如果∠A ＝70°，那么∠DOE 的度数为( )第10题A. 35°B. 38°C. 40°D. 42°11. (2019·德州)如图，O 为线段BC 的中点，点A ，C ，D 到点O 的距离相等．若∠ABC＝40°，则∠ADC 的度数是( )第11题A. 130°B. 140°C. 150°D. 160°12. (2019·陕西)如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF ＝EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF.若∠AOF ＝40°，则∠F 的度数是( )第12题A. 20°B. 35°C. 40°D. 55°13. (2019·眉山)如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠CAO ＝22.5°，OC ＝6，则CD 的长为( )第13题A. 6 2B. 32C. 6D. 1214. (2019·襄阳)如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB 相交于点P.下列结论错误的是( )第14题A. AP ＝2OPB. CD ＝2OPC. OB ⊥ACD. AC 平分OB15. (2019·黄冈)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB ︵)，点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ＝40 m ，C 是AB ︵的中点，D 是AB 的中点，且CD ＝10 m ，则这段弯路所在圆的半径为( )第15题A. 25 mB. 24 mC. 30 mD. 60 m16. (2019·镇江)如图，四边形ABCD 是半圆O 的内接四边形，AB 是直径，DC ︵＝CB ︵.若∠C ＝110°，则∠ABC 的度数为( )第16题A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°17. (2019·十堰)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB 交CB 的延长线于点E.若BA 平分∠DBE ，AD ＝5，CE ＝13，则AE 的长为( )第17题A. 3B. 32C. 4 3D. 2318. (2019·菏泽)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，且BC 平分∠ABD ，AD 分别与BC ，OC 相交于点E ，F ，则下列结论不一定成立的是( )第18题A. OC ∥BDB. AD ⊥OCC. △CEF ≌△BEDD. AF ＝FD19. (2019·威海)如图，⊙P 与x 轴交于点A(－5，0)，B(1，0)，与y 轴的正半轴交于点C. 若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为( )第19题A. 13＋ 3B. 22＋3C. 4 2D. 22＋220. (2019·梧州)如图，在半径为13的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是( )第20题A. 2 6B. 210C. 211D. 4321. (2019·台湾)A ，B ，C ，D 四点在⊙O 上的位置如图所示，其中AD ︵＝180°，且AB ︵＝BD ︵，BC ︵＝CD ︵.若在AB ︵上取一点P ，在BD ︵上取一点Q ，使得∠APQ ＝130°，则下列说法正确的是( )第21题A. 点Q 在BC ︵上，且BQ ︵＞QC ︵B. 点Q 在BC ︵上，且BQ ︵＜QC ︵C. 点Q 在CD ︵上，且CQ ︵＞QD ︵D. 点Q 在CD ︵上，且CQ ︵＜QD ︵二、 填空题22. (2019·鸡西)如图，在⊙O 中，半径OA 垂直于弦BC ，点D 在圆上，且∠ADC ＝30°，则∠AOB 的度数为________．第22题23. (2019·娄底)如图，C ，D 两点在以AB 为直径的圆上，AB ＝2，∠ACD ＝30°，则AD ＝________．第23题24. (2019·铜仁)如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠A ＝100°，则∠DCE 的度数为________．第24题25. (2019·常州)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，∠AOC ＝120°，则∠CDB ＝________．第25题26. (2019·随州)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，点C 在AMB ︵上．若∠OBA ＝50°，则∠C 的度数为________．第26题27. (2019·东营)如图，AC 是⊙O 的弦，AC ＝5，B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC ＝45°，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN 的最大值是________．第27题28. (2019·宜宾)如图，⊙O 有两条相交弦AC ，BD ，∠ACB ＝∠CDB ＝60°，AC ＝23，则⊙O 的面积是________．第28题29. (2019·湖州)已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是________．30. (2019·连云港)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，BC ＝6，∠BAC ＝30°，则⊙O 的半径为________．第30题31. (2019·台州)如图，AC 是圆内接四边形ABCD 的一条对角线，点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上，连接AE.若∠ABC ＝64°，则∠BAE 的度数为________．第31题32. (2019·安徽)如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，CD ⊥AB 于点D.若⊙O 的半径为2，则CD 的长为________．第32题33. (2019·凉山州)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，∠A ＝30°，CD ＝23，则⊙O 的半径是________．第33题34. (2019·盐城)如图，点A ，B ，C ，D ，E 在⊙O 上，且AB ︵为50°，则∠E ＋∠C ＝________．第34题35. (2019·衡阳)已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是________．36. (2019·株洲)如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且OC ⊥AB ，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足∠AEC ＝65°，连接AD ，则∠BAD ＝________°.第36题37. (2019·嘉兴)如图，在⊙O 中，弦AB ＝1，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为________．第37题38. (2019·泰州)如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 上，点A 在⊙O 内，且AP ＝3，过点A 作AP 的垂线交⊙O 于点B ，C.设PB ＝x ，PC ＝y ，则y 与x 之间的函数解析式为________．第38题39. (2019·绥化)半径为5的⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，AB ＝AC ，连接OB ，OC ，延长CO 交弦AB 于点D.若△OBD 是直角三角形，则弦BC 的长为________．40. (2019·德州)如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，AB ︵＝BF ︵，CE ＝1，AB＝6，则弦AF 的长度为________．第40题41. (2019·雅安)如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝21°，则∠A 的度数为________．第41题42. (2019·广元)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB 是⊙O 的直径，P 为⊙O 上的动点，且∠BPC ＝60°，⊙O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是________．第42题三、 解答题43. (2019·南京)如图，⊙O 的弦AB ，CD 的延长线相交于点P ，且AB ＝CD.求证：PA ＝PC.第43题44. (2019·自贡)如图，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB ＝CD ，连接AD ，BC.求证：(1) AD ︵＝BC ︵； (2) AE ＝CE.第44题45. (2019·包头)如图，在⊙O 中，B 是⊙O 上的一点，∠ABC ＝120°，弦AC ＝23，弦BM 平分∠ABC 交AC 于点D ，连接MA ，MC.(1) 求⊙O 的半径；(2) 求证：AB ＋BC ＝BM.第45题46. (2019·绵阳)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BD ︵的中点，CF 为⊙O 的弦，且CF ⊥AB ，垂足为E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF.(1) 求证：△BFG ≌△CDG ；(2) 若AD ＝BE ＝2，求BF 的长．第46题47. (2019·温州)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点E 在BC 边上，且CA ＝CE ，过A ，C ，E 三点的⊙O 交AB 于另一点F ，作直径AD ，连接DE 并延长交AB 于点G ，连接CD ，CF.(1) 求证：四边形DCFG 是平行四边形；(2) 当BE ＝4，CD ＝38AB 时，求⊙O 的直径．第47题参考答案一、 1. A 2. D 3. D 4. B 5. B 6. D 7. C 8. B 9. C 10. C 11. B 12. B 13. A 14. A 15. A 16. A 17. D 18. C 19. B 20. C 21. B二、 22. 60° 23. 1 24. 100° 25. 30° 26. 40° 27.52228. 4π 29. 30° 30. 6 31. 52° 32. 2 33. 2 34. 155° 35. 63 36. 20 37. 12 38. y ＝30x39. 53或52 40.48541. 69° 42. 6＋33 三、 43. 如图，连接AC.∵ AB ＝CD ，∴ AB ︵＝CD ︵.∴ AB ︵＋BD ︵＝BD ︵＋CD ︵，即AD ︵＝CB ︵.∴ ∠C ＝∠A.∴ PA ＝PC第43题44. (1) ∵ CD ＝AB ，∴ CD ︵＝AB ︵，即AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵ .∴ AD ︵＝BC ︵ (2) ∵ AD ︵＝BC ︵，∴ AD ＝BC.又∵ ∠ADE ＝∠CBE ，∠DAE ＝∠BCE ，∴ △ADE ≌△CBE.∴ AE ＝CE45. (1) 如图，连接OA ，OC ，过点O 作OH ⊥AC 于点H.∵ ∠ABC ＝120°，∴ ∠AMC ＝180°－∠ABC ＝60°.∴ ∠AOC ＝2∠AMC ＝120°.∴ ∠AOH ＝12∠AOC ＝60°，AH ＝12AC ＝3.∴ OA ＝AHsin ∠AOH ＝2.∴ ⊙O 的半径为2 (2) 如图，在BM 上截取BE ＝BC ，连接CE.∵∠ABC ＝120°，BM 平分∠ABC ，∴ ∠ABM ＝∠CBM ＝60°.∴ ∠ACM ＝∠ABM ＝60°.∵ ∠CBM ＝60°，BE ＝BC ，∴ △EBC 是等边三角形．∴ CE ＝CB ＝BE ，∠BCE ＝60°.∴ ∠BCD ＋∠DCE ＝60°.∵ ∠ACM ＝60°，∴ ∠ECM ＋∠DCE ＝60°.∴ ∠ECM ＝∠BCD.在△ACB 和△MCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACB ＝∠MCE ，CB ＝CE ，∠CAB ＝∠CME ，∴ △ACB ≌△MCE.∴ AB ＝ME.∵ ME ＋EB ＝BM ，∴ AB ＋11BC ＝BM第45题46. (1) ∵ C 是BD ︵的中点，∴ CD ︵＝BC ︵.∵ AB 是⊙O 的直径，且CF ⊥AB ，∴ BC ︵＝BF ︵.∴ CD ︵＝BF ︵.∴ CD ＝BF.在△BFG 和△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠CDG ，∠FGB ＝∠DGC ，BF ＝CD ，∴ △BFG ≌△CDG(2) 如图，过点C 作CH ⊥AD 交AD 的延长线于点H ，连接AC ，BC.∵ CD ︵＝BC ︵，∴ ∠HAC＝∠BAC ，CD ＝BC.∵ CE ⊥AB ，∴ CH ＝CE.∵ AC ＝AC ，∴ Rt △AHC ≌Rt △AEC.∴ AH ＝AE.∵ CH ＝CE ，CD ＝CB ，∴ Rt △CDH ≌Rt △CBE.∴ DH ＝BE ＝2.∴ AE ＝AH ＝AD ＋DH ＝2＋2＝4.∴ AB ＝AE ＋BE ＝4＋2＝6.∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB ＝∠CEB ＝90°.∵ ∠ABC ＝∠CBE ，∴ △ABC ∽△CBE.∴ AB CB ＝BC BE.∴ BC 2＝AB·BE ＝6×2＝12.∴ BC ＝23(负值舍去)．∵ BC ︵＝BF ︵，∴ BF ＝BC ＝23第46题47. (1) 如图，连接AE.∵ ∠BAC ＝90°，∴ CF 是⊙O 的直径．∵ CA ＝CE ，∴ CF ⊥AE.∵ AD 是⊙O 的直径，∴ ∠ACD ＝∠AED ＝90°，即DG ⊥AE.∴ CF ∥DG.∵ ∠ACD ＋∠BAC ＝180°，∴ AB ∥CD.∴ 四边形DCFG 是平行四边形 (2) ∵ CD ＝38AB ，∴ 可设CD ＝3x ，AB ＝8x.∵ 四边形DCFG 是平行四边形，∴ FG ＝CD ＝3x.∵ ∠AOF ＝∠COD ，∴ AF ＝CD ＝3x.∴ BG ＝AB －AF －FG ＝8x －3x －3x ＝2x.∵ GE ∥CF ，∴ BE EC ＝BG GF ＝23.∵ BE ＝4，∴ CA ＝CE ＝6.∴ BC ＝CE ＋BE ＝6＋4＝10.∴ AB ＝BC 2－AC 2＝102－62＝8.∴ 8＝8x ，解得x ＝1.∴ AF ＝3.在Rt △ACF 中，由勾股定理，得CF ＝AF 2＋AC 2＝32＋62＝3 5.∴ ⊙O 的直径为35第47题。
2025年沪科版九年级下册数学第24章专题6 求与圆有关的阴影部分面积的技巧
积的技巧
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专题
1．[2024·山西]如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇 形的一部分，图②是其几何示意图(阴影部分为花 窗)．通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA＝1 m， 点C，D分别为OA，OB
专题
∵OD＝OE，∴∠EDO＝∠DEO＝45°. ∴∠ODC＝45°.∴∠ODC＝∠DEO. ∵OA⊥OB，∴∠MON＝90°， ∴∠MON－∠DON＝∠DOE－∠DON， 即∠MOD＝∠NOE.
专题
∠MOD＝∠NOE， 在△ODM 与△OEN 中，OD＝OE，
∠ODM＝∠OEN，
∴△ODM≌△OEN(ASA).
(2)若
sin∠CFB＝
22，AB＝8，求图中阴影部分的面积．
【解】∵sin∠CFB＝ 22，∴∠CFB＝45°.
∵∠OCF＝90°，∴∠COF＝45°.
又∵∠CDO＝90°，OC＝12AB＝4，∴CD＝ 22OC＝2 2， ∠OCD＝45°＝∠COD. ∴OD＝CD＝2 2.
∴图中阴影部分的面积＝扇形 AOC 的面积－△COD 的面
的为中__π4点_－__，18_m则2花. 窗的面积
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专题
2．[2024·重庆九龙坡一模]如图，已知四边形 ABCD 内接于 ⊙O，连接 AC，BD.若△ACD 为等边三角形，AC＝4 3，
点 B，O，D 共线，则阴影部分的面积为___13_6_π___．
专题
【点拨】连接 OA，OC.设 AC 与 BD 交于点 M. 易知 BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°. ∵△ACD 是等边三角形.∴AD＝CD＝AC＝4 3，∠ADC＝60°.
沪科版九年级下册数学第24章 圆 含答案
沪科版九年级下册数学第24章圆含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则( )A.不能构成三角形B.这个三角形是等腰三角形C.这个三角形是直角三角形D.这个三角形是钝角三角形2、如图，在中，．小丽按照下列方法作图：①作的角平分线，交于点D；②作的垂直平分线，交于点E．根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（）A.点E是的外心B.点E是的内心C.点E在的平分线上 D.点E到边的距离相等3、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.4、如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（）A.15°B.25°C.30°D.50°5、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A. B. C. D.6、已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是( )A.4B.8C.10D.127、已知在平面直角坐标系中，圆P的圆心坐标为（4，5），半径为3个单位长度，把圆P沿水平方向向左平移d个单位长度后恰好与y轴相切，则d的值是（）A.1B.2C.2或8D.1或78、如图，将Rt△ABC（∠B=25°）绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A.65°B.80°C.105°D.115°9、如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，把矩形ABCD 绕AB所在直线旋转一周所得圆柱的侧面积为( )A.10πB.4πC.2πD.210、已知圆锥的底面半径为2，侧面积为8π，则该圆锥的侧面展开图的母线长为（）A.8B.C.2D.411、在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，圆心在原点O，则P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（）A.在⊙O上B.在⊙O内C.在⊙O外D.不能确定12、A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则( )A.可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上B.可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内C.可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外D.可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内13、如图图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.14、如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是A. 把△ABC向右平移6格，B. 把△ABC向右平移4格，再向上平移1格 C. 把△ABC绕着点A顺时针方向90º旋转，再右平移6格 D. 把△ABC绕着点A逆时针方向90º旋转，再右平移6格15、已知的半径为，点的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（）A.点在外B.点在上C.点在内D.不能确定二、填空题(共10题，共计30分)16、半径为6的扇形的面积为，则该扇形的圆心角为________；17、如图，P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y＝0相切时，点P的坐标为________．18、如图，在中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与相交于点F.若的长为，则图中阴影部分的面积为________.19、如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2,CD=1,则BE的长是________.20、如图，扇形圆心角为，半径为，点E，F分别为，中点，连接与相交于点G，则阴影部分面积为________；21、如图，点A，B，C是⊙O上的点，OA=AB，则∠C的度数为________ .22、如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为________．23、如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为________cm．24、如图，过正六边形的顶点D作一条直线于点D，分别延长交直线l于点，则________；若正六边形的面积为6，则的面积为________．25、如图，竖直放置的一个铝合金窗框由矩形和弧形两部分组成，AB=m，AD= 2m，弧CD所对的圆心角为∠COD=120°．现将窗框绕点B顺时针旋转横放在水平的地面上，这一过程中，窗框上的点到地面的最大高度为________m．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，AB＝4，BC＝3，点E是劣弧上的一点，连接AE，DE．过点C作⊙O的切线交线段AE的延长线于点F，若∠CDE＝30°，求CF的长．27、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知AB＝10，BC＝6，求⊙O的半径r.28、如图，在△ABC中，AB=BC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D、E、F．（1）求证：BE=CE；（2）若∠A=90°，AB=AC=2，求⊙O的半径．29、用数学的眼光观察问题，你会发现很多图形都能看成是动静结合，舒展自如的．下面所给的三排图形(如图)，都存在着某种联系．用线将存在联系的图形连接起来．30、在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下三种变换：①f（m，n）=（m，﹣n）；②g（m，n）=（﹣m，n）；③h（m，n）=（﹣m，﹣n）．（1）请你根据以上规定的变换，求f[g（﹣3，2）]的值；（2）请你以点（a，b）为例，探索以上三种变换之间的关系．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)2、A3、A4、B5、A6、D7、D8、D9、B10、D11、A12、D13、D14、D15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、29、。
沪科版九年级下册数学第24章 圆 含答案
沪科版九年级下册数学第24章圆含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，点A、B、C在⊙O上，∠OBC=18°，则∠A=（）A.18°B.36°C.72°D.144°2、在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是( )A.（－2，－3）B.（－3，－2）C.（－2，3）D.（－3，2）3、在平面直角坐标系xOy中，将点N（﹣1，﹣2）绕点O旋转180°，得到的对应点的坐标是（）A.（1，2）B.（﹣1，2）C.（﹣1，﹣2）D.（1，﹣2）4、如图，如果为的直径，弦，垂足为，那么下列结论中，错误的是（）A. B. C. D.5、如图，半圆的圆心为O，直径AB的长为12，C为半圆上一点，∠CAB=30°，的长是（）A.12πB.6πC.5πD.4π6、下列说法正确的是（）A.弦是直径B.平分弦的直径垂直弦C.优弧一定大于劣弧D.等弧所对的圆心角相等7、Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，以点C为圆心，5cm为半径的圆与直线AB的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.无法确定8、如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则桥拱半径OC的长是（）A.4mB.5mC.6mD.8m9、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则DE的长为（）A.2.2B.2.5C.2D.1.810、已知⊙O的面积为3π，则其内接正方形的边长为（）A.3B.C.D.= 11、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2 ，则S阴影（）A.πB.2πC.D. π12、一个钢管放在V形架内，如图是其截面图，测得P点与钢管的最短距离PB=25cm，最长距离PA=75cm．若钢管的厚度忽略不计，则劣弧的长为（）A. πcmB.50πcmC. πcmD.50 πcm13、如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（）A. B. π C. π D. π14、如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（）A. B.5 C. D.515、如图，四点在同一个圆上，下列判断正确的是（）A. B.当E为圆心时， C.若E是的中点时，则E一定是此圆的圆心 D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图是一个圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于________cm2.17、如图，是的直径，为上的点，若，则=________ .18、已知圆锥的底面半径为，高为，则它的侧面展开图的面积为=________.19、如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O，＝90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为________．20、如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC=________．21、如图，将等腰Rt△GAE绕点A顺时针旋转60°得到△DAB，其中∠GAE=∠DAB=90°，GE与AD交于点M，过点D作DC∥AB交AE于点C．已知AF平分∠GAM，EH⊥AE交DC于点H，连接FH交DM于点N，若AC=2 ，则MN的值为________．22、将一个圆分割成3个扇形，使它们的圆心角的度数比为2：3：4，则这三个扇形的圆心角最小为________。