代数方程和微分方程的计算机求解
微分方程计算机代数系中的应用
江西师范大学硕士学位论文计算机代数系统在微分方程研究中的应用姓名：曾广洪申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：刘华祥20050401盐兰垫盛塾壅垫壅堕茎查堡堡墨±箜墨旦，ｇｉ：ｔ鞴ｐ工ｏｔ３ｄ‘【ｅｑｎ】ｔｆｘｔｔ），ｙ（ｔ’，ｚ（ｔ，】，ｔｔ０．．６００ｒ¨ｘ（Ｏ，互．２，ｙ《Ｏ）＃．２，ｚｆＯ，＝－３】ｊ，￥ｔｅｐｓｉｚｅ＝．０５，ｌｉｎｅｃｏｌｏｕｒ＝ｓｌｎ（ｔ＋ｐｉ／２））：＞９２：－ｔｔｘｔＰｌｏ七３ｄ（【１／（ａｌｐｈａ＋２），１／（ａｌｐｈａ＋２），Ｉ／（ａｌｐｈａ＋２），”一Ｐ”】，ｃｏｌｏｒ－ｒｅｄ，ｆｏⅡｔ－ＩＣＯＵＲＩＥＲ，ＢＯＬＤ，３０ｌ’：＞ｄｉｓｐｌａｙ（ｇｌ，９２，ｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎ＝【－２７，６０】，ｖｉｅｗ＝ｆｏ．２．．ｏ＋５，ｏ．２．．ｏ．５，ｏ．２．－Ｏ．５１）；圉６＿１更进～步，还可用以下语句给出动画图形，根据曲线随时间变化的趋势易验证系统在奇点Ｐ的邻域内有不稳定的周期解（因纸张不能呈现动画，故具体图形略去、．＞ｓｏｌ：。
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卜２７，６０】，ｖｉｅｗ＝【Ｏ．２．．０．５，０．２．．０．５，０．２．．０．ｓ¨；２４计算机代数系统在微分方程研究中的应用作者：曾广洪学位授予单位：江西师范大学本文链接：/Thesis_Y712281.aspx。
控制系统仿真_薛定宇第三章 科学运算问题的MATLAB求解
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微分方程求解的步骤
将微分方程变换成标准型 用MATLAB描述微分方程
M-函数 入口：function dx=funmane(t,x) 匿名函数 >> f=@(t,x)[...]
求解
验证：odeset()函数
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数值解
ห้องสมุดไป่ตู้
解析解
解析解
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演示：自编 funm() 求矩阵的任意函数
求
结果：左上角元素
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3.1 线性代数问题求解小结
线性代数很多问题可以用MATLAB语句直 接求解，和数学表示差不多一样直观 很多方法可以同时得出解析解和数值解
本节主要介绍和这门课程相关的问题 线性代数问题的MATLAB求解 代数方程求解、微分方程求解 最优化问题的求解 Laplace 变换与 z 变换问题的求解
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进一步学习这方面内容建议阅读
薛定宇、陈阳泉《高等应用数学问题的 MATLAB求解》（第二版），清华大学出 版社，2008。英文版：Solving Applied Mathematical Problems with MATLAB，CRC Press，2008 遇到某个MATLAB问题找不到合适的工具 箱，试在下面网址搜索
matlab求解最简单的一阶偏微分方程
matlab求解最简单的一阶偏微分方程一、引言在科学和工程领域，偏微分方程是非常重要的数学工具，用于描述各种现象和过程。
而MATLAB作为一种强大的数值计算软件，可以用来求解各种复杂的偏微分方程。
本文将以MATLAB求解最简单的一阶偏微分方程为主题，探讨其基本原理、数值求解方法以及具体实现过程。
二、一阶偏微分方程的基本原理一阶偏微分方程是指只含有一个未知函数的偏导数的微分方程。
最简单的一阶偏微分方程可以写成如下形式：\[ \frac{\partial u}{\partial t} = F(x, t, u, \frac{\partial u}{\partial x}) \]其中，\(u(x, t)\) 是未知函数，\(F(x, t, u, \frac{\partial u}{\partial x})\) 是给定的函数。
一阶偏微分方程可以描述很多实际问题，比如热传导、扩散等。
在MATLAB中，我们可以使用数值方法求解这类方程。
三、数值求解方法1. 有限差分法有限差分法是一种常用的数值求解偏微分方程的方法。
其基本思想是用离散的方式来逼近偏导数，然后将偏微分方程转化为代数方程组。
在MATLAB中，我们可以使用内置的求解器来求解离散化后的代数方程组。
2. 特征线法特征线法是另一种常用的数值求解方法，它利用特征线方程的特点来求解偏微分方程。
这种方法在求解一维情况下的偏微分方程时特别有效，可以提高求解的效率和精度。
四、MATLAB求解过程在MATLAB中，我们可以使用`pdepe`函数来求解一阶偏微分方程。
该函数可以针对特定的方程和边界条件，利用有限差分法进行离散化求解。
下面给出一个具体的例子来说明如何使用MATLAB求解最简单的一阶偏微分方程。
假设我们要求解如下的一维热传导方程：\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]其中，\(\alpha\) 是热传导系数。
线性代数与计算机的关系
线性代数与计算机的关系线性代数与计算机的关系————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：浅谈线性代数与计算机的关系线性代数是计算机专业的一门重要基础课程,同时又作为各高等院校和工科类专业的数学基础课程，它具有很强大的应用性和实用性。
线性代数是数学的一个分支，它主要处理线性关系问题，它的研究对象是向量、向量空间、线性变换和有限维的线性方程组，向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛应用于抽象代数和泛函分析中；用过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数的理论已经被泛化为算子理论。
由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
自计算机产生以来，随着计算机的不断发展和进步，计算机语言也在进步，但是很多软件或编程的编写都离不开计算机算法，这时一种好的计算方法就会成为一个软件或编程的亮点。
以前，在计算机的计算算法中，对于一些复杂的计算总是要花很多步骤来完成，既麻烦又容易出错，并很浪费时间（比如在计算机上用算法求鸡兔同笼的问题，如果是用一般算法来求的话，我们会发现很吃力，但是引用的线性代数的矩阵理论就简单的多了），所以在计算效率方面提不上去的话，就会限制计算机的发展和进步。
而线性代数的引入就改变了这个问题，使得计算机的发展更加迅猛，到了今天计算机得到广泛应用的时候，计算机数据结构、算法、计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、经济学、网络技术、虚拟现实等技术无不是以线性代数为理论基础并组成其计算机算法中极其重要的一部分。
线性代数在计算机领域的应用与计算机的计算性能是成正比例的，同时，这一性能会随着计算机硬件的不断创新和发展而得到极大的提升。
线性代数的计算机应用在全球有很多的应用，例如Wassily Leontief教授把美国经济用500个变量的500个线性方程组描述,而后又把系统简化为42个变量的42个线性方程。
第8章 代数方程和常微分方程求解
8.2 常微分方程求解
求解微分方程必须事先对自变量的某些值规定出 函数或是导数的值。 若在自变量为零的点上，给出初始条件，称为初 值问题，最普遍的自变量是“时间”。例如，弹 性系统的自由振动，若以时间为零来限定位移和 速度，这是一个初值问题。 若在自变量为非零的点上，给出边界条件，称为 边值问题，最普遍的自变量是“位移”。例如， 描述梁弯曲变形的微分方程，边界条件总是规定 在梁的两端。
当 x 0 2 和 y 0 0 条件下的特解。 在此问题中，两个微分方程的MATLAB表达式为： e1：Dx+2*x-Dy=10*cos(t) e2：Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t) 初值条件表达式为： C1：x(0)=2 C2：y(0)=0
8.1 代数方程求解
8.1.1 代数方程图解法
符号绘图函数fplot()和ezplot()也可以用于图解 法求代数方程的根，它适用于求解维数较少的一 维方程或二维方程组。 对于一维方程图解，其解就是函数曲线与x轴交点 所对应的变量数值。如果有多个交点，则表示该 方程有多个解；如果没有交点，则表示该方程没 有解。 例如，在例5-3使用符号绘图函数绘制代数方程的 图形（图5-3左图）中可见，函数在区间[-5,5]内 与x轴有3个交点，因此该代数方程该区间内有3个 实根。
M文件运行结果： 采用矩阵左除或矩阵求逆求出线性方程组的解： xx (zx)= 1.0000 2.0000 3.0000 -1.0000 计算残量： r = 1.0e-014 * 0.0888 0.2220 -0.4441 0.1776 计算残量的模： R = 5.3475e-015
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一个重要分支，它描述了多变量函数的偏导数之间的关系。
这些方程在自然科学、工程应用和社会科学等领域都发挥着重要作用。
解决偏微分方程是一个复杂而有挑战性的过程，需要运用多种数学方法和工具来求解。
在本文中，我将为您介绍几种常见的偏微分方程的解法，并提供一些示例以帮助您更好地理解。
以下是本文的主要内容：1. 一阶线性偏微分方程的解法1.1 分离变量法1.2 特征线方法2. 二阶线性偏微分方程的解法2.1 分离变量法2.2 特征值法2.3 Green函数法3. 非线性偏微分方程的解法3.1 平移法3.2 线性叠加法3.3 变换法4. 数值方法解偏微分方程4.1 有限差分法4.2 有限元法4.3 谱方法5. 偏微分方程的应用领域5.1 热传导方程5.2 波动方程5.3 扩散方程在解一阶线性偏微分方程时，我们可以使用分离变量法或特征线方法。
分离变量法的基本思路是将方程中的变量分离，然后通过积分的方式求解每个分离后的常微分方程，最后再将结果合并。
特征线方法则是将方程中的变量替换为新的变量，使得方程中的导数项消失，从而简化求解过程。
对于二阶线性偏微分方程，分离变量法、特征值法和Green函数法是常用的解法。
分离变量法的核心思想与一阶线性偏微分方程相似，将方程中的变量分离并得到常微分方程，然后进行求解。
特征值法则利用特征值和特征函数的性质来求解方程，适用于带有齐次边界条件的问题。
Green函数法则通过引入Green函数来求解方程，其特点是适用于非齐次边界条件的情况。
非线性偏微分方程的解法则更加复杂，常用的方法有平移法、线性叠加法和变换法。
这些方法需要根据具体问题的特点选择合适的变换和求解技巧，具有一定的灵活性和创造性。
除了上述解析解法，数值方法也是解偏微分方程的重要手段。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
微分方程的经典解法
01
02
03
非线性变量代换法
变量代换法的应用
变量代换法在解决各种实际问题中有着广泛的应用，如物理、工程、经济等领域。
通过选择适当的代换变量，可以简化复杂的微分方程，从而更方便地求解。
变量代换法是解决微分方程的一种重要技巧，尤其在处理非标准形式的微分方程时非常有效。
01
高阶非线性微分方程的解法通常包括迭代法、摄动法和数值方法等。
02
迭代法是通过不断迭代方程的解来逼近真实解，常用的方法有牛顿迭代法和欧拉迭代法等。
03
摄动法是将非线性微分方程转化为摄动方程，然后通过小参数展开求解。
04
数值方法是通过离散化微分方程，然后使用计算机求解离散化后的方程组。
高阶微分方程在物理、工程、经济等领域有广泛应用，如振动分析、控制系统、信号处理等。
04
积分因子法
积分因子法是一种求解微分方程的方法，通过引入一个积分因子来消除方程中的导数项，从而将微分方程转化为代数方程进行求解。
积分因子法适用于可分离变量、线性、部分线性以及某些非线性微分方程。
积分因子法的关键是找到一个函数，使得该函数与微分方程的每一项相乘后，能够消去方程中的导数项。
方法概述
高阶线性微分方程的一般形式为$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + cdots + a_0(x)y(x) = 0$。
变量分离法是将方程转化为多个一阶微分方程，然后分别求解。
幂级数法是通过将解表示为幂级数的形式，然后代入初始条件求解系数。
高阶非线性微分方程的解法
02
通过引入新变量 (u = ax + by)，可以将原方程转化为 (y^{prime} = frac{1}{a} f(u))。
微分方程式的建立与求解
通过建立微分方程式描述物体在重力作用下的运动规律，如速度、加速度与时 间的关系。
02
微分方程的求解方法
分离变量法
总结词
通过将微分方程转化为代数方程，简 化求解过程。
详细描述
分离变量法适用于具有两个变量的微 分方程，通过分离变量，将微分方程 转化为代数方程，然后求解代数方程 得到微分方程的解。
05
微分方程的稳定性分析
线性微分方程的稳定性分析
线性微分方程的稳定性分析主要基于其 特征值和特征向量。如果所有特征值都 位于复平面的左半部分，则系统是稳定 的；否则，系统是不稳定的。
线性微分方程的解可以通过求解其特征值和 特征向量得到，也可以通过积分得到。
线性微分方程的解具有叠加性，即 如果两个解都是稳定的，那么它们 的线性组合也是稳定的。
振动分析
在研究物体的振动时，通过建立位移、速度和加 速度的微分方程来分析振动的规律和特性。
3
热传导方程
在研究热量在物体中的传递时，通过建立温度关 于时间和空间的微分方程来模拟热传导过程。
在经济中的应用
供需关系
01
在分析商品市场的供需关系时，通过建立需求和供给函数的微
分方程来预测价格变动。
经济增长模型
非线性微分方程的稳定性分析
非线性微分方程的稳定性分析比线性微分方程更为复杂，需要考虑更多的因素，如非线性项的性质、 初始条件等。
非线性微分方程的解可以通过数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）得到，也可以通过解析方法（如 分离变量法、幂级数展开等）得到。
非线性微分方程的解具有不可叠加性，即如果两个解都是稳定的，那么它们的线性组合不一定是稳定的。
微分方程式的建立与 求解
目 录
《数学实验》课程教学大纲
3．线性方程组 的求解
4.随机数的生产和模拟
5．实验实例：循环比赛的名次和按年龄分组的种最优化问题实验
重点：学会一些常用函数的调用格式并学会自己动手编写函数
3. 《高等应用数学问题的MATLAB求解》.薛定宇,陈阳泉著.清华大学出版社,2004
4. 《MATLAB数学实验》.胡良剑,孙晓君编著.高等教育出版社，2006.6
执笔人：邓化宇
审核人：
院（系）负责人：
《数学实验》课程教学大纲
MathematicalExperiment
适用：本科四年制信息与计算科学专业(40学时左右)
一、课程的目的及任务
开设《数学实验》课的目的是在两周的时间里为学生介绍如何使用计算机的语言和方法去处理一些经典的数学问题，并提供一些实例以启发学生自己动手练习。进一步的提高要靠学生的兴趣和努力。
教学要点：
1．一元非线性方程数值求解
2．非线性方程组数值求解
3．方程符号求解
4．一元函数和多元函数无约束优化求解
5．线性规划
6．实验实例：购房贷款的利率和最短路问题
第五章 微分方程问题的计算机求解
重点：学会一些常用函数的调用格式并学会自己动手编写函数
教学要点：
1．常系数微分方程的计算机求解析解
2．微分方程问题的数值解法
二、课程的特点、要求及本课程与其它课程的联系
数学是科学技术人才科学素质的的重要组成部分，随着高科技与与计算技术的发展和普及，数学的重要性日益突出。“高技术本质上是一种数学技术”这一观点已越来越多地为人们所认同。学习计算机使用和开发是启迪学生创新意识和创新思维、锻炼创新能力、培养高层次人才的一条重要途径；也是激发学习欲望、培养主动探索、努力进取学风和团结协作精神的有力措施。
实验报告—代数方程与微分方程求解
实 验 报 告 四代数方程求解1、【示例】以下命令可求出方程 (x +1)e –x +e x sin x =0在0附近的一个根：>>y=sym('(x+1)*exp(-x)+exp(x)*sin(x)'); % 用sym 命令定义符号表达式>>x=solve(y,'x') % 用准解析方法求出方程最接近0的一个根x =-0.86508244315736795185621568221837或可用以下命令求解该方程以指定点为初始搜索点的数值解：>> y=inline('(x+1)*exp(-x)+exp(x)*sin(x) ', 'x'); % 用数值方法求解时，方程要用inline 命令定义 >> x=fsolve(y,0) % 用数值方法从初始点1开始搜索方程的近似解 x = -0.8651注：准解析命令solve 只能求出方程最接近0的一个实数根，而数值解法fsolve 可以通过初始搜索点的变化，得到不同的解（如果方程有多个实数解）。
【要求】仿照示例，用准解析方法求出30.5sin(42)4cos(2)0.5t t e t e t --++=的一个根；再用数值方法分别求该方程在-0.6和3附近的两个根。
y=sym('exp(-3*t)*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t)*cos(2*t)-0.5');t=solve(y,'t')t =0.67374570500134756702960220427474y=inline('exp(-3*t).*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t).*cos(2*t)-0.5','t');t=fsolve(y,0.6)t =0.6737y=inline('exp(-3*t).*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t).*cos(2*t)-0.5','t');t=fsolve(y,3)t =2.59372、【示例】以下命令可求解非线性方程组339820x y x x y ⎧+-=⎨+-=⎩>> eq1=sym('x^3+y^3-x-98'); % 定义第一个方程表达式>> eq2=sym('x+y-2'); % 定义第二个方程表达式>> [x,y]=solve(eq1,eq2) % 解方程组（用准解析方法）x =13/12+1/12*2329^(1/2)13/12-1/12*2329^(1/2)y =11/12-1/12*2329^(1/2)11/12+1/12*2329^(1/2)或可用以下命令求解上述方程组以指定点为初始搜索点的数值解：>> f=inline('[x(1) ^3+x(2) ^3-x(1)-98; x(1)+x(2)-2]', 'x'); % 用inline 命令定义方程组>> x=fsolve(f,[1;1]) % 用数值方法从初始点(1,1)开始搜索方程组的一个近似解 x =-2.93834.9383【要求】仿照示例，求解（1）方程35323=+-x x x 和方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+=++1430122yz z x x x 35323=+-x x x（1）y=sym('x^3-3.*x^2+5*x');x=solve(y,'x')x =1.1.+1.4142135623730950488016887242097*i1.-1.4142135623730950488016887242097*i（2）y=inline('x^3-3.*x^2+5*x-3 ', 'x');x=fsolve(y,0)x =1.0000⎪⎩⎪⎨⎧-==+=++1430122yz z x x x（1）eq1=sym('x^2+2*x+1');eq2=sym('x+3*z-4');eq3=sym('y*z+1');[x,y,z]=solve(eq1,eq2,eq3)x =-1y =-3/5z =5/3（2）f=inline('[x(1)^2+2*x(1)+1; x(1)+3*x(3)-4;x(2)*x(3)+1]', 'x');x=fsolve(f,[1;1;1])x = -0.9979-0.60031.6660（2）方程组x 2+y =0, e x +sin y =0在[-5,5]内的所有根。
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MATLAB语言与应用
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【例7-8】
>> y0=lambertw(xx); plot(xx, y0)
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【例7-9】
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本章内容简介
函数名 solve（） fsolve（） optimset（） dsolve（） ode45（） odeset（）
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【例7-15】
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附加参数的微分方程求解
【例7-16】
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7.2.1.2 微分方程的解析解方法
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【例7-11】
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7.2.2 微分方程问题的 数值解法
微分方程问题算法概述 一阶微分方程组的数值解 微分方程转换
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7.2.2.1 微分方程问题算法概 述
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7.1.1.2 二元方程的图解法
【例7-2】
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7.1.2 多项式型方程的准解析解法
【例7-3】
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【例7-4】
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7.1.1 代数方程的图解法
7.1.1.1 一元方程的图解法
【例7-1】
t=3.5203; vpa(exp(-3*t)*sin(4*t+2)+…
4*exp(-0.5*t)*cos(2*t)-0.5)
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7.2.2.3 微分方程转换
单个高阶常微分方程处理方法
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【例7-5】
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【例7-6】
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【例7-7】
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7.1.3 一般非线性方程数值解
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【例7-10】
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7.2 微分方程的求解
常系数线性微分方程的解析解方法 微分方程问题的数值解法
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7.2.1 常系数线性微分方程 的解析解方法
线性常系数微分方程解析解的数学描述
微分方程的解析解方法
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7.2.1.1 线性常系数微分方程 解析解的数学描述
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2019年7月29Байду номын сангаас10时16分
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【例7-17】
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高阶常微分方程组的变换方法
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【例7-18】
2019年7月29日10时16分
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7.2.2.2 一阶微分方程组的数值解
26
处理系数后方程的解：
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2019年7月29日10时16分
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【例7-12】
2019年7月29日10时16分
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7.2.1.3 特殊非线性微分方程的解析解
【例7-13】
2019年7月29日10时16分
四阶五级Runge-Kutta-Felhberg算法
2019年7月29日10时16分
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求解函数
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2019年7月29日10时16分
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【例7-14】
第7章 代数方程和微分方程的 计算机求解
现代设计与分析研究所
王雷
2019年7月29日10时16分
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主要内容
代数方程的求解 微分方程的求解
2019年7月29日10时16分
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7.1 代数方程的求解
代数方程的图解法 多项式型方程的准解析解法 一般非线性方程数值解