2017年河北省普通高等学校对口招生考试数学试卷及答案
2017年省普通高等学校对口招生考试数 学说明：一、本试卷共6页，包括三道大题37道小题，共120分。
其中第一道大题（15个小题）为选择题二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
在答题卡上与题号相对应的答题区域答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效。
不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记。
三、做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案。
四、考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1.设集合{|||2}A x x =<，集合{2,0,1}B =-，则AB =（ ）A ．{|02}x x ≤<B ．{|22}x x -<<C ．{|22}x x -≤<D ．{|21}x x -≤< 2.设a b >，c d <，则（ ）A ．22ac bc > B ．a c b d +<+ C ．ln()ln()a c b d -<- D ．a d b c +>+ 3.“AB B =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.设奇函数()f x 在[1,4]上为增函数，且最大值为6，那么()f x 在[4,1]--上为（ ） A ．增函数，且最小值为6- B ．增函数，且最大值为6 C ．减函数，且最小值为6- D ．减函数，且最大值为65.在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则△ABC 的形状为（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 6.已知向量(2,)a x =-，(,1)b y =-，(4,2)c =-，，且a b ⊥，b ∥c ，则（ ）A ．4,2x y ==-B ．4,2x y ==C ．4,2x y =-=-D ．4,2x y =-= 7.设α为第三象限角，则点(cos ,tan )P αα在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8.设{}n a 为等差数列，3a ，14a 是方程2230x x --=的两个根，则前16项的和16S 为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．209.若函数2log a y x =在(0,)+∞为增函数，且函数4xa y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，则a 的取值围是（ ）A ．(0,2)B ．(2,4)C ．(0,4)D ．(4,)+∞10.设函数()f x 是一次函数，3(1)2(2)2f f -=，2(1)(0)2f f -+=-，则()f x 等于（ ）A ．86x -+B ．86x -C ． 86x +D ．86x -- 11.直线21y x =+与圆22240x y x y +-+=的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交且过圆心C ．相离D ．相交且不过圆心 12.设方程224kx y +=表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞ 13.二项式2017(34)x -的展开式中，各项系数的和为（ ）A ．1-B ．1C ．20172D ．2017714.从4种花卉中任选3种，分别种在不同形状的3个花盆中，不同的种植方法有（ ）A ．81种B ．64种C ．24种D ．4种15.设直线1l ∥平面α，直线2l ⊥平面α，则下列说确的是（ ）A ．1l ∥2lB ．12l l ⊥C ．12l l ⊥且异面D ．12l l ⊥且相交二、填空题（本大题有15个小题，每小题２分，共30分。
）16.已知函数1,(,0]()2,(0,)xx x f x x -⎧+∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩，则[]{}(1)ff f -= .17.已知函数3log (2)y x =+的定义域是 .18.计算：002201712log cos 43πC +++= . 19.如果不等式20x ax b ++<的解集为(1,4)，则3log ()b a -= .20.已知1cos 2α=，sin 2β=-，(0,)2πα∈，3(,2)2ππβ∈，则sin()αβ+= .21.在等比数列{}n a 中，如果2182a a =，那么13519a a a a = .22.已知向量(1,2)a =，1(1,)2b =-，则32a b -= .23.已知sin()πα+=，且32ππα<<，则α= . 24.已知(2,3)A ，(4,1)B -，则线段AB 的垂直平分线的方程为 . 25.若221()()ππkx -+=，则k 的最小值为 .26.已知抛物线顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，点(2,)A k 在抛物线上，且点A 到焦点的距离为5，则该抛物线的方程为 . 27.设函数21()5x f x a-=+，若(2)13f =，则(1)f -= .28.将等腰直角三角形ABC 沿斜边AB 上的高CD 折成直二面角后，边CA 与CB 的夹角为 . 29.取一个正方形及其外接圆，在圆随机取一点，该点取自正方形的概率为 .30.已知二面角l αβ--的度数为70︒，点M 是二面角l αβ--的一点，过M 作MA α⊥于A ，MB β⊥于B ，则AMB ∠= （填度数）.三、解答题（本大题共7个小题，共45分。
要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）31.（5分）已知集合2{|520}A x kx x =++=，若A ≠∅，且N k ∈，求k 的所有值组成的集合.32.（7分）某物业管理公司有75套公寓对外出租，经市场调查发现，每套公寓租价为2500元时，可以全部租出. 租价每上涨100元，就会少租出一套公寓，问每套公寓租价为多少元时，租金总收入最大？最大收入为多少元？33.（6分）记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知22S =，36S =-. 求： （1）数列{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n a 的前10项的和10S . 34.（6分）已知函数23sin 2y x x =+，R x ∈. 求：（1）函数的值域；（2）函数的最小正周期；（3）函数取得最大值时x 的集合.35.（6分）为加强精准扶贫工作，某地市委计划从8名处级干部（包括甲、乙、丙三位同志）中选派4名同志去4个贫困村工作，每村一人. 问：（1）甲、乙必须去，但丙不去的不同选派方案有多少种？（2）甲必须去，但乙和丙都不去的不同选派方案有多少种？ （3）甲、乙、丙都不去的不同选派方案有多少种？36.（7分）如图已知90CDP PAB ∠=∠=︒， AB ∥CD . （1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；P（2）若二面角P DC A --为60︒，4PD =，7PB =， 求PB 与面ABCD 所成的角的正弦值.37.（8分）已知椭圆2214x y m+=与抛物线24y x =有共同的焦点2F ， 过椭圆的左焦点1F 作倾斜角为4π的直线，与椭圆相交于M 、N 两点. 求： （1）直线MN 的方程和椭圆的方程； （2）△OMN 的面积.2017省普通高考学校对口招生考试 数学试题参考答案 一、选择题1、C2、D3、C4、A5、B6、D7、B8、C9、B 10、D 11、A 12、B 13、A 14、C 15、B 二、填空题16、12 17、(2,1)(3,)--+∞ 18、12- 19、2 2021、32 22、 23、76π24、210x y --= 25、2- 26、212y x = 27、418 28、60︒ （或3π） 29、2π30、110︒三、解答题31、解：（1）当0k =时，2{|520}{}5A x x =+==-≠∅（2）当0k ≠时，欲使A ≠∅，须使方程2520kx x ++=有两个相等的实根或两个不等的实根，即2580k ∆=-≥，解得258k ≤. 又N k ∈，且0k ≠，故1k =，2，3.综上所述，k 的取值集合为{0,1,2,3}. 32、解法一：设每套公寓租价为x 元，总收入为y 元. 则依题意得2500(75)100x y x -=-21100100x x =-+21(5000)250000100x =--+ 显然当5000x =时y 最大，y 的最大值为250000.答：当每套公寓租价为5000元时收入最大，最大收入为250000元. 解法二：设每套公寓租价为x 元，总收入为y 元. 则依题意得2500(75)100x y x -=-21100100x x =-+ 当1005000122()100b x a =-=-=⨯-时，y 最大，22max4100250000144()100ac b y a --===⨯-答：当每套公寓租价为5000元时收入最大，最大收入为250000元.解法三：设每套公寓租价上涨了x 个100元，则每套租价为(2500100)x +元，共租出(75)x -套. 依题意得，租金总收入为(2500100)(75)y x x =+- 2100500187500x x =-++ 2100(25)250000x =--+.当25x =时，y 最大，最大值为250000.答：当每套公寓租价为5000元时收入最大，最大收入为250000元.33、解：（1）设{}n a 的公比为q ，由条件得21231(1)2(1)6S a q S a q q =+=⎧⎨=++=-⎩ 解之得122q a =-⎧⎨=-⎩.故该数列的通项公式为1112(2)(2)n n nn a a q --==--=-.（2）前10项的和为1010110(1)2[1(2)]682(1)1(2)a q S q ----===---.34、解：23sin 2y x x =+13(cos 22)22x x =+cos 2cos sin 2)66ππx x =+)6πx =+（1）函数的值域为[-. （2）函数的最小正周期为22ππT ==. （3）当22()62πππZ x k k +=+∈时，即()6ππZ x k k =+∈时，函数取得最大值， 此时x 的取值集合为,6ππZ x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭35、解：（1）甲、乙必须去，但丙不去的选派方案的种数为 2454240C P = （2）甲去，乙、丙不去的选派方案的种数为 3454240C P = （3）甲、乙、丙都不去的选派方案的种数为 4454240C P =36、（1）证明：∵90CDP PAB ∠=∠=︒ ∴CD PD ⊥，AB PA ⊥. 又∵CD ∥AB ，∴CD PA ⊥. ∴CD ⊥平面PAD .而CD ⊆平面ABCD ∴平面PAD ⊥平面ABCD .（2）解：由（1）知：CD ⊥平面PAD ∴CD AD ⊥，CD PD ⊥. ∴PDA ∠是二面角P CD A --的平面角，即60PDA ∠=︒. 在平面PAD 作PE AD ⊥于E ，因平面PAD ⊥平面ABCD ∴PE ⊥平面ABCD .连结BE ，PBE ∠即为PB 与平面ABCD 所成的角.在直角三角形PED 中，sin 60PE PD =︒4== 在直角三角形PBE 中，7PB =，sin 7PE PBE PB ∠==. 37、解：（1）依题意得抛物线24y x =的焦点为2(1,0)F ，所以椭圆的左焦点为1(1,0)F -，直线MN 的斜率tan14πk ==，故直线MN 的方程为1y x =+，即10x y -+=. 由题意知椭圆焦点在x 轴，且1c =，所以413m =-=，因此椭圆的标准方程为22143x y +=. （2）解法一：由（1）知直线MN 的方程为10x y -+=，点(0,0)O 到直线MN 的距离为2d ==设M 、N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y由221143y x x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得，114737x y ⎧--=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，224737x y ⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩247MN ==，∴112422727OMN S MN d ∆=⋅=⨯⨯= 解法二：由（1）知直线MN 的方程为10x y -+=，点(0,0)O 到直线MN 的距离为2d ==设M 、N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y由221143y xx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得27880x x+-=，由韦达定理得1287x x+=-，1287x x⋅=-因此22212121288288()()4()4()7749x x x x x x-=+-⋅=---=故由弦长公式可得247MN===∴112422727OMNS MN d∆=⋅=⨯⨯=解法三：设M、N的坐标分别为11(,)x y，22(,)x y由221143y xx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得，114737xy⎧--=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，224737xy⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩所以1211||2OMNS y y∆=⨯⨯-=.。
2017年河北省普通高等学校对口招生考试理论-A卷
2017年河北省普通高等学校对口招生考试理论-A卷2017年河北省普通高等学校对口招生考试财经专业理论试卷（A卷）注意事项：（1）本试卷包括两部分内容。
第一部分为客观题，答案用2B铅笔填涂在答题卡上；第二部分为业务分析及综合题，答案用钢笔或圆珠笔写在答题纸上。
不按规定要求填写答案不得分。
（2）本次考试分为【A】、【B】两种类型试卷，本试卷为【A】类型试卷。
学生在答题前必须在答题卡试卷类型选项处用2B铅笔将“【A】”涂黑，未涂黑的考生将没有成绩。
第一部分客观题一、单项选择题（本题包括72个小题，每小题1分，共72分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求，把正确答案填涂在答题卡上。
）1．下列会计要素中，不能单独确认、计量的是（）。
A．资产 B．负债 C．利润 D．收入2．某企业为一般纳税人，月初负债余额500万元，所有者权益余额800万元，本月发生以下业务：（1）购入固定资产200万元，进项税额34万元，款项尚未支付；（2）用银行存款偿还上月应付账款300万元；（3）接受投资者投资100万元。
则该企业月末资产的余额是（）A．1 500万元 B．1 200万元 C．1 334万元 D．1 300万元3．关于企业对外提供会计信息的表述，正确的是（）。
A．任一特定日期的现金流量 B．任一特定日期的经营成果C．某一会计期间的财务状况 D．某一会计期间的经营成果4．检查账户登记的金额是否正确，常用的方法是（）。
A．总账明细账平行登记 B．编制试算平衡表 C．财产清查 D．借贷记账法5．下列选项中，不能反映账户对应关系的是（）。
A．收款凭证 B．付款凭证 C．转账凭证 D．科目汇总表6．某企业销售商品一批，开出增值税专用发票，注明价款2 000元，增值税340元，已预收2 000元货款。
该业务会引起（）。
A．收入增加2 000元，预收账款减少2 000元B．收入增加2 340元，预收账款减少2 340元C．收入增加2 340元，预收账款减少2 000元D．收入增加2 000元，应收账款增加2 340元7．预付账款账户的期初余额在贷方，期末余额在借方，则表明（）。
河北单招模拟试题及答案卷四数学
河北单招模拟试题及答案卷四数学2017年河北省单招模拟试题及答案卷四（数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.计算1-i / (1+i) + 2 / (1-i)的结果。
A。
i B。
-i C。
-1 D。
12.设函数f(x) = sinx - 1 / 2(x∈R)，则f(x)是什么类型的函数？A。
最小正周期为π的奇函数 B。
最小正周期为π的偶函数 C。
最小正周期为2π的奇函数 D。
最小正周期为2π的偶函数3.下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的必要不充分条件的是什么？4.设ξ~B(n,p)，E(ξ) = 3，D(ξ) = 9，则n和p的值为多少？A。
n=12，p=13/4 B。
n=12，p=1/4 C。
n=24，p=13/4 D。
n=24，p=1/45.已知{an}是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，则该数列前10项和S10等于多少？A。
64 B。
100 C。
110 D。
1206.下列函数图像中，正确的是哪个？A。
y=x+a B。
y=x^2 C。
y=log1/x D。
y=x+1/x7.过点A(0,3)，被圆(x-1)^2+y^2=4截得的弦长为23的直线方程是什么？A。
y=-x+3/3 B。
x=1/3或y=-x+3 C。
x=3/2或y=x-3 D。
x=5/38.如图，已知AB=a，AC=b，BD=3DC，用a,b表示AD，则AD=？A。
a+(a^2+9b^2)^1/2/3 B。
a+b C。
a+3b D。
a+(a^2+4b^2)^1/2/49.椭圆C1: (x^2/4)+(y^2/9)=1，左准线为l，左、右焦点分别为F1，F2，抛物线C2: x^2=2y的准线为l，焦点是F2，C1与C2的一个交点为P，则|PF2|的值等于多少？A。
8/3 B。
4/3 C。
4 D。
810.三棱柱ABC-A1B1C1的侧面C1CBB1⊥底面A1B1C1，且A1C与底面成45°角，AB=BC=2，∠C1A1B1=90，则该棱柱体积的最小值为多少？A。
2017年高考真题(全国Ⅲ卷)数学理科含解析
2017年普通高等学校招生统一考试全国卷Ⅲ理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={}22x y y x│，则A B=(,)(,)1│，B={}x y x y+=中元素的个数为A．3 B．2 C．1D．0【答案】B【解析】【考点】交集运算；集合中的表示方法。
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件。
集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。
2．设复数z 满足(1+i)z=2i ，则∣z ∣= A ．12 BCD ．2【答案】C 【解析】【考点】 复数的模；复数的运算法则 【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，注意运算性质有： (1)1212z zz z ±=± ；(2) 1212z z z z ⨯=⨯；(3)22z z z z⋅== ；(4)121212z z z z z z -≤±≤+ ；(5)1212z zz z =⨯ ；(6)1121z z z z =。
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】动性大，选项D说法正确；故选D。
【考点】折线图【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图，频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，他们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律。
2017年河北省普通高等学校对口招生考试数学试卷
2017年河北省普通高等学校对口招生考试数 学说明：一、本试卷共6页，包括三道大题37道小题，共120分。
其中第一道大题（15个小题）为选择题二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效。
不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记。
三、做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案。
四、考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1.设集合{|||2}A x x =<，集合{2,0,1}B =-，则A B =（ ）A ．{|02}x x ≤<B ．{|22}x x -<<C ．{|22}x x -≤<D ．{|21}x x -≤<2.设a b >，c d <，则（ ）A ．22ac bc >B ．a c b d +<+C ．ln()ln()a c b d -<-D ．a d b c +<+3.“A B B =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.设奇函数()f x 在[1,4]上为增函数，且最大值为6，那么()f x 在[4,1]--上为（ ）A ．增函数，且最小值为6-B ．增函数，且最大值为6C ．减函数，且最小值为6-D ．减函数，且最大值为65.在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则△ABC 的形状为（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6.已知向量(2,)a x =-，(,1)b y =-，(4,2)c =-，，且a b ⊥，b ∥c ，则（ ）A ．4,2x y ==-B ．4,2x y ==7.设α为第三象限角，则点(cos ,tan )P αα在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8.设{}n a 为等差数列，3a ，14a 是方程2230x x --=的两个根，则前16项的和16S 为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．20 9.若函数2log a y x =在(0,)+∞内为增函数，且函数4xa y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,2) B ．(2,4)C ．(0,4)D ．(4,)+∞10.设函数()f x 是一次函数，3(1)2(2)2f f -=，2(1)(0)2f f -+=-，则()f x 等于（ ）A ．86x -+B ．86x -C ． 86x +D ．86x --11.直线21y x =+与圆22240x y x y +-+=的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交且过圆心C ．相离D ．相交且不过圆心12.设方程224kx y +=表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞13.二项式2017(34)x -的展开式中，各项系数的和为（ ）A ．1-B ．1C ．20172D ．2017714.从4种花卉中任选3种，分别种在不同形状的3个花盆中，不同的种植方法有（ ）A ．81种B ．64种C ．24种D ．4种15.设直线1l ∥平面α，直线2l ⊥平面α，则下列说法正确的是（ ）A ．1l ∥2lB ．12l l ⊥C ．12l l ⊥且异面D ．12l l ⊥且相交二、填空题（本大题有15个小题，每小题２分，共30分。
2017年河北省全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B={x|x＜}B．A∩B=∅C．A∪B={x|x＜}D．A∪B=R2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．0B．1C．2D．3 8．（5分）函数y=的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+211．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC ﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（）A．B．C．D．12．（5分）设A，B是椭圆C：+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．（0，]∪[4，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省2018年对口升学高考数学试题含答案
2018年河北省普通高等学校对口招生考试数学试题一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分） 1、设集合M={0,1,2,3,4}，N={xl0<x ≤3},则N M ⋂＝( ) Ａ ｛１,２｝ Ｂ｛０,１,２｝ Ｃ ｛１,２,３｝ Ｄ｛０,１,２,３｝２、若a,b,c 为实数，且a>b,则( )A a -c>b -cB a 2>b 2C ac>bcD ac 2>bc 23、2>x 是x>2的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4、下列函数中，既是奇函数又是减函数的是( )A x y 31=B 22x y =C 3x y -=D xy 1=5、函数)42sin(π-=x y 的图像可以有函数x y 2sin =的图像如何得到( )A 向左平移4π个单位B 向右平移4π个单位C 向左平移8π个单位D 向右平移8π个单位6、已知),,3(),2,1(m b a =-=a -=+m=( )A -23B23 C 6 D -67、下列函数中，周期为π的偶函数是( )A x y sin =B x y 2sin =C x y sin =D 2cos x y =8、在等差数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3=12, a 2+a 3+a 4=18,则a 3+a 4+a 5=( )A 22B 24C 26D 309、记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若S 2=10，S 4=40，则S 6=( )A 50B 70C 90D 13010、下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A x y =与2x y =B x y =与33x y =C x y =与2x y =D 2x y =与33x y = 11、过圆2522=+y x 上一点（3,4）的切线方程为( )A 3x+4y -25=0B 3x+4y+25=0C 3x -4y -25=0D 3x -4y+25=012、某体育兴趣小组共有4名同学，如果随机分为两组进行对抗赛，每组两名队员，分配方案共有( )Ａ ２种 Ｂ ３种 Ｃ ６种 Ｄ １２种13、设（２x -1）2018=a 0+a 1x+a 2x 2+……….+a 2018x 2018,则a 0+a 1+a 2+ …….+a 2018=( )A 0B 1C -1D 22018-114、已知平面上三点A （1，-2），B （3,0），C （4,3），则点B 关于AC 中点是对称点的坐标是( )A （1,4）B （5,6）C （-1，-4）D （2,1）15、下列命题中正确的是( ) （1）平行于同一直线的两条直线平行 （2）平行于同一平面的两条直线平行 （3）平行于同一直线的两个平面平行 （4）平行于同一平面的两个平面平行Ａ （１）（２） Ｂ（１）（３） Ｃ （１）（４） Ｄ（２）（４） 二、填空题（共１５小题。
河北省普通高等学校对口招生考试数学试卷及答案
2017年河北省普通高等学校对口招生考试数学说明：一、本试卷共6页;包括三道大题37道小题;共120分..其中第一道大题15个小题为选择题二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”;按照“注意事项”的规定答题..在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题;写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效..不得用规定以外的笔和纸答题;不得在答题卡上做任何标记..三、做选择题时;如需改动;请用橡皮将原选涂答案擦干净;再选涂其他答案..四、考试结束后;将本试卷与答题卡一并交回..一、选择题本大题共15小题;每小题3分;共45分..在每小题所给出的四个选项中;只有一个符合题目要求1.设集合{|||2}=<;集合{2,0,1}B=-;则A B=A x xA．{|02}-<<x xx x≤<B．{|22}C．{|22}-≤<x xx x-≤<D．{|21}2.设a b<;则>;c dA．22ac bc>B．a c b d+<+C．ln()ln()-<-D．a d b ca cb d+>+3.“A B B⊆”的=”是“A BA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.设奇函数()--上为f x在[1,4]上为增函数;且最大值为6;那么()f x在[4,1]A．增函数;且最小值为6-B．增函数;且最大值为6C ．减函数;且最小值为6-D ．减函数;且最大值为6 5.在△ABC 中;若cos cos a B b A =;则△ABC 的形状为A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6.已知向量(2,)a x =-;(,1)b y =-;(4,2)c =-;;且a b ⊥;b ∥c ;则A ．4,2x y ==-B ．4,2x y ==C ．4,2x y =-=-D ．4,2x y =-= 7.设α为第三象限角;则点(cos ,tan )P αα在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8.设{}n a 为等差数列;3a ;14a 是方程2230x x --=的两个根;则前16项的和16S 为A ．8B ．12C ．16D ．209.若函数2log a y x =在(0,)+∞内为增函数;且函数4xa y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数;则a 的取值范围是A ．(0,2)B ．(2,4)C ．(0,4)D ．(4,)+∞10.设函数()f x 是一次函数;3(1)2(2)2f f -=;2(1)(0)2f f -+=-;则()f x 等于A ．86x -+B ．86x -C ．86x +D ．86x --11.直线21y x =+与圆22240x y x y +-+=的位置关系是A ．相切B ．相交且过圆心C ．相离D ．相交且不过圆心12.设方程224kx y +=表示焦点在x 轴上的椭圆;则k 的取值范围是A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞13.二项式2017(34)x -的展开式中;各项系数的和为A ．1-B ．1C ．20172D ．2017714.从4种花卉中任选3种;分别种在不同形状的3个花盆中;不同的种植方法有A ．81种B ．64种C ．24种D ．4种15.设直线1l ∥平面α;直线2l ⊥平面α;则下列说法正确的是A ．1l ∥2lB ．12l l ⊥C ．12l l ⊥且异面D ．12l l ⊥且相交二、填空题本大题有15个小题;每小题２分;共30分..16.已知函数1,(,0]()2,(0,)xx x f x x -⎧+∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩;则[]{}(1)f f f -=.17.已知函数3log (2)y x =+的定义域是.18.计算：002201712log cos43πC +++=. 19.如果不等式20x ax b ++<的解集为(1,4);则3log ()b a -=.20.已知1cos 2α=;sin β=;(0,)2πα∈;3(,2)2ππβ∈;则sin()αβ+=. 21.在等比数列{}n a 中;如果2182a a =;那么13519a a a a =.22.已知向量(1,2)a =;1(1,)2b =-;则32a b -=.23.已知sin()ln πα+=且32ππα<<;则α=. 24.已知(2,3)A ;(4,1)B -;则线段AB 的垂直平分线的方程为. 25.若221()()ππk x -+=;则k 的最小值为.26.已知抛物线顶点在坐标原点;对称轴为x 轴;点(2,)A k 在抛物线上;且点A 到焦点的距离为5;则该抛物线的方程为.27.设函数21()5x f x a -=+;若(2)13f =;则(1)f -=.28.将等腰直角三角形ABC 沿斜边AB 上的高CD 折成直二面角后;边CA 与CB 的夹角为.29.取一个正方形及其外接圆;在圆内随机取一点;该点取自正方形内的概率为. 30.已知二面角l αβ--的度数为70︒;点M 是二面角l αβ--内的一点;过M 作MA α⊥于A ;MB β⊥于B ;则AMB ∠=填度数.三、解答题本大题共7个小题;共45分..要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤31.5分已知集合2{|520}A x kx x =++=;若A ≠∅;且N k ∈;求k 的所有值组成的集合. 32.7分某物业管理公司有75套公寓对外出租;经市场调查发现;每套公寓租价为2500元时;可以全部租出.租价每上涨100元;就会少租出一套公寓;问每套公寓租价为多少元时;租金总收入最大 最大收入为多少元33.6分记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ;已知22S =;36S =-.求： 1数列{}n a 的通项公式n a ； 2数列{}n a 的前10项的和10S .34.6分已知函数23sin 2y x x =+;R x ∈.求： 1函数的值域； 2函数的最小正周期； 3函数取得最大值时x 的集合.35.6分为加强精准扶贫工作;某地市委计划从8名处级干部包括甲、乙、丙三位同志中选派4名同志去4个贫困村工作;每村一人.问： 1甲、乙必须去;但丙不去的不同选派方案有多少种 2甲必须去;但乙和丙都不去的不同选派方案有多少种 3甲、乙、丙都不去的不同选派方案有多少种 36.7分如图已知90CDP PAB ∠=∠=︒;AB ∥CD .1求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；2若二面角P DC A --为60︒;4PD =;7PB =; 求PB 与面ABCD 所成的角的正弦值.37.8分已知椭圆2214x y m+=与抛物线24y x =有共同的焦点2F ;过椭圆的左焦点1F 作倾斜角为4π的直线;与椭圆相交于M 、N 两点.求： 1直线MN 的方程和椭圆的方程； 2△OMN 的面积.2017河北省普通高考学校对口招生考试 数学试题参考答案 一、选择题1、C2、D3、C4、A5、B6、D7、B8、C9、B10、D 11、A12、B13、A14、C15、B 二、填空题16、1217、(2,1)(3,)--+∞18、12-19、220、421、3222、、76π24、210x y --=25、2- 26、212y x =27、41828、60︒或3π29、2π30、110︒三、解答题31、解：1当0k =时;2{|520}{}5A x x =+==-≠∅2当0k ≠时;欲使A ≠∅;须使方程2520kx x ++=有两个相等的实根或两个不等的实根;即2580k ∆=-≥;解得258k ≤. 又N k ∈;且0k ≠;故1k =;2;3. 综上所述;k 的取值集合为{0,1,2,3}.32、解法一：设每套公寓租价为x 元;总收入为y 元. 则依题意得2500(75)100x y x -=-显然当5000x =时y 最大;y 的最大值为250000.答：当每套公寓租价为5000元时收入最大;最大收入为250000元. 解法二：设每套公寓租价为x 元;总收入为y 元. 则依题意得2500(75)100x y x -=- 当1005000122()100b x a =-=-=⨯-时;y 最大;答：当每套公寓租价为5000元时收入最大;最大收入为250000元. 解法三：设每套公寓租价上涨了x 个100元;则每套租价为(2500100)x +元;共租出(75)x -套. 依题意得;租金总收入为2100(25)250000x =--+.当25x =时;y 最大;最大值为250000.答：当每套公寓租价为5000元时收入最大;最大收入为250000元. 33、解：1设{}n a 的公比为q ;由条件得21231(1)2(1)6S a q S a q q =+=⎧⎨=++=-⎩解之得122q a =-⎧⎨=-⎩. 故该数列的通项公式为1112(2)(2)n n n n a a q --==--=-. 2前10项的和为1010110(1)2[1(2)]682(1)1(2)a q S q ----===---.34、解：23sin 2y x x =+1函数的值域为[-. 2函数的最小正周期为22ππT ==. 3当22()62πππZ x k k +=+∈时;即()6ππZ x k k =+∈时;函数取得最大值; 此时x 的取值集合为,6ππZ x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭35、解：1甲、乙必须去;但丙不去的选派方案的种数为2454240C P = 2甲去;乙、丙不去的选派方案的种数为3454240C P = 3甲、乙、丙都不去的选派方案的种数为4454240C P = 36、1证明：∵90CDP PAB ∠=∠=︒∴CD PD ⊥;AB PA ⊥. 又∵CD ∥AB ;∴CD PA ⊥. ∴CD ⊥平面PAD .而CD ⊆平面ABCD ∴平面PAD ⊥平面ABCD .2解：由1知：CD ⊥平面PAD ∴CD AD ⊥;CD PD ⊥. ∴PDA ∠是二面角P CD A --的平面角;即60PDA ∠=︒. 在平面PAD 内作PE AD ⊥于E ;因平面PAD ⊥平面ABCD ∴PE ⊥平面ABCD .连结BE ;PBE ∠即为PB 与平面ABCD 所成的角.在直角三角形PED 中;sin 60PE PD =︒4==在直角三角形PBE 中;7PB =;sin PE PBE PB ∠==. 37、解：1依题意得抛物线24y x =的焦点为2(1,0)F ;所以椭圆的左焦点为1(1,0)F -;直线MN 的斜率tan 14πk ==;故直线MN 的方程为1y x =+;即10x y -+=.由题意知椭圆焦点在x 轴;且1c =;所以413m =-=;因此椭圆的标准方程为22143x y +=.2解法一：由1知直线MN的方程为10x y-+=;点(0,0)O到直线MN的距离为d==设M、N的坐标分别为11(,)x y;22(,)x y由221143y xx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得;1147xy⎧--=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩;2247xy⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩247MN==;∴112422727OMNS MN d∆=⋅=⨯⨯=解法二：由1知直线MN的方程为10x y-+=;点(0,0)O到直线MN的距离为d==设M、N的坐标分别为11(,)x y;22(,)x y由221143y xx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得27880x x+-=;由韦达定理得1287x x+=-;1287x x⋅=-因此22212121288288()()4()4()7749x x x x x x-=+-⋅=---=故由弦长公式可得247MN===∴1124227OMNS MN d∆=⋅=⨯=解法三：设M、N的坐标分别为11(,)x y;22(,)x y由221143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得;1137x y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩;2237x y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩所以1211||27OMN S y y ∆=⨯⨯-=.。
2017年河北省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅰ)
2017年河北省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}，则（）A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}D.A∩B=⌀2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A.1 4B.π8C.12D.π43.设有下面四个命题p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=z2；p4：若复数z∈R，则z∈R．其中的真命题为（）A.p1，p3B.p1，p4C.p2，p3D.p2，p44.记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A.1B.2C.4D.85.函数f(x)在(−∞, +∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x−2)≤1的x的取值范围是（）A.[−2, 2]B.[−1, 1]C.[0, 4]D.[1, 3]6.(1+1x2)(1+x)6展开式中x2的系数为（）A.15B.20C.30D.357.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A.10B.12C.14D.168.如图程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A.A >1000和n =n +1B.A >1000和n =n +2C.A ≤1000和n =n +1D.A ≤1000和n =n +29.已知曲线C 1:y =cosx ，C 2:y =sin(2x +2π3)，则下面结论正确的是（ ）A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210.已知F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A.16B.14C.12D.1011.设x 、y 、z 为正数，且2x =3y =5z ，则（ ） A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2x D.3y <2x <5z12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N:N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A.440 B.330 C.220 D.110 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a →，b →的夹角为60∘，且|a →|=2，|b →|=1，则|a →+2b →|等于________．14.设x ，y 满足约束条件{x +2y ≤12x +y ≥−1x −y ≤0，则z =3x −2y 的最小值为________．15.已知双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60∘，则C 的离心率为________．16.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sinA．(1)求sinBsinC ；(2)若6cosBcosC =1，a =3，求△ABC 的周长．18.如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB // CD ，且∠BAP =∠CDP =90∘．(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90∘，求二面角A−PB−C的余弦值．19.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ, σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ−3σ, μ+3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ−3σ, μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(I)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(II)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得x=116∑x i16i=1=9.97，s=√116∑(16i=1x i−x)2=√116(∑x i216i=1−16x2)≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数x作为μ的估计值^μ，用样本标准差s作为σ的估计值^σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−3σ<Z<μ+3σ)=0.9974，0.997416≈0.9592，√0.008≈0.09．20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，四点P1(1, 1)，P2(0, 1)，P3(−1, √32)，P4(1, √32)中恰有三点在椭圆C上．(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为−1，证明：l过定点．21.已知函数f(x)=ae2x+(a−2)e x−x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a 的取值范围． [选修4-4，坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =sinθ，（θ为参数），直线l 的参数方程为 {x =a +4t y =1−t，（t 为参数）．(1)若a =−1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为√17，求a ． [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)=−x 2+ax +4，g(x)=|x +1|+|x −1|． (1)当a =1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[−1, 1]，求a 的取值范围． 答案1. 【答案】A【解析】先分别求出集合A 和B ，再求出A ∩B 和A ∪B ，由此能求出结果． 【解答】解：∵集合A ={x|x <1}， B ={x|3x <1}={x|x <0}，∴A ∩B ={x|x <0}，故A 正确，D 错误； A ∪B ={x|x <1}，故B 和C 都错误． 故选：A ． 2. 【答案】B【解析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S =π2， 则对应概率P =π24=π8，故选：B 3. 【答案】B【解析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案． 【解答】解：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ，故命题p 1为真命题； p 2：复数z =i 满足z 2=−1∈R ，则z ∉R ，故命题p 2为假命题；p 3：若复数z 1=i ，z 2=2i 满足z 1z 2∈R ，但z 1≠z 2，故命题p 3为假命题； p 4：若复数z ∈R ，则z =z ∈R ，故命题p 4为真命题． 故选：B ． 4. 【答案】C【解析】利用等差数列通项公式及前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n }的公差．【解答】解：∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 4+a 5=24，S 6=48， ∴{a 1+3d +a 1+4d =246a 1+6×52d =48， 解得a 1=−2，d =4， ∴{a n }的公差为4． 故选：C ． 5. 【答案】D【解析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式−1≤f(x −2)≤1化为−1≤x −2≤1，解得答案．【解答】解：∵函数f(x)为奇函数． 若f(1)=−1，则f(−1)=1，又∵函数f(x)在(−∞, +∞)单调递减，−1≤f(x −2)≤1， ∴f(1)≤f(x −2)≤f(−1)， ∴−1≤x −2≤1， 解得：x ∈[1, 3]， 故选：D 6. 【答案】C【解析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可． 【解答】解：(1+1x 2)(1+x)6展开式中：若(1+1x )=(1+x −2)提供常数项1，则(1+x)6提供含有x 2的项，可得展开式中x 2的系数： 若(1+1x 2)提供x −2项，则(1+x)6提供含有x 4的项，可得展开式中x 2的系数：由(1+x)6通项公式可得C 6r x r ． 可知r =2时，可得展开式中x 2的系数为C 62=15．可知r =4时，可得展开式中x 2的系数为C 64=15．(1+1x 2)(1+x)6展开式中x 2的系数为：15+15=30．故选C ． 7. 【答案】B【解析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可 【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S 梯形=12×2×(2+4)=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12， 故选：B 8. 【答案】D【解析】通过要求A >1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A >1000”，进而通过偶数的特征确定n =n +2． 【解答】解：因为要求A >1000时输出，且框图中在“否”时输出， 所以“”内不能输入“A >1000”，又要求n 为偶数，且n 的初始值为0， 所以“”中n 依次加2可保证其为偶数， 所以D 选项满足要求， 故选：D ． 9. 【答案】D【解析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y =cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y =cos2(x +π12)=cos(2x +π6)=sin(2x +2π3)的图象，即曲线C 2，故选：D ． 10. 【答案】A【解析】方法一：根据题意可判断当A 与D ，B ，E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．方法二：设出两直线的倾斜角，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案 【解答】解：如图，l 1⊥l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点， 直线l 2与C 交于D 、E 两点， 要使|AB|+|DE|最小，则A 与D ，B ，E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1， 又直线l 2过点(1, 0)，则直线l 2的方程为y =x −1，联立方程组{y 2=4xy =x −1，则y 2−4y −4=0，∴y 1+y 2=4，y 1y 2=−4，∴|DE|=√1+1k 2⋅|y 1−y 2|=√2×√32=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l 1的倾斜角为θ，则l 2的倾斜角为 π2+θ， 根据焦点弦长公式可得|AB|=2psin 2θ=4sin 2θ |DE|=2p sin 2(π2−θ)=2p 2=42∴|AB|+|DE|=4sin 2θ+4cos 2θ=4sin 2θcos 2θ=16sin 22θ， ∵0<sin 22θ≤1，∴当θ=45∘时，|AB|+|DE|的最小，最小为16， 故选：A11. 【答案】D【解析】x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1．lgk >0．可得x =lgk lg2，y =lgklg3，z =lgklg5．可得3y =lg √33，2x =lg √2，5z =lg 55．根据√33=√96>√86=√2，√2=√3210>√2510=√55．即可得出大小关系．另解：x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1．lgk >0．可得x =lgklg2，y =lgklg3，z =lgklg5．2x 3y=23×lg3lg2=lg9lg8>1，可得2x >3y ，同理可得5z >2x ． 【解答】解：x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1．lgk >0． 则x =lgk lg2，y =lgk lg3，z =lgklg5． ∴3y =lg √33，2x =lg √2，5z =lg √55． ∵√33=√96>√86=√2，√2=√3210>√2510=√55．∴lg √33>lg √2>lg √55>0． ∴3y <2x <5z ．另解：x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1．lgk >0．则x =lgk lg2，y =lgk lg3，z =lgklg5．∴2x3y =23×lg3lg2=lg9lg8>1，可得2x >3y ， 5z2x=52×lg2lg5=lg25lg52>1．可得5z >2x ． 综上可得：5z >2x >3y ．解法三：对k 取特殊值，也可以比较出大小关系． 故选：D ． 12. 【答案】A【解析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n }的通项公式及前n 项和，可知当N 为n(n+1)2时(n ∈N +)，数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和，即为2n −n −2，容易得到N >100时，n ≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n 项和S n =2n+1−2−n ，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将−2−n 消去即可，分别分别即可求得N 的值．【解答】解：设该数列为{a n }，设b n =a (n−1)n 2+1+...+a n(n+1)2=2n−1，(n ∈N +)，则∑b in i=1=∑a i n(n+1)2i=1，由题意可设数列{a n }的前N 项和为S N ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n =21−1+22−1+...+2n −1=2n −n −2， 可知当N 为n(n+1)2时(n ∈N +)，数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和，即为2n −n −2，容易得到N >100时，n ≥14， A 项，由29×302=435，440=435+5，可知S 440=T 29+b 5=230−29−2+25−1=230，故A 项符合题意． B 项，仿上可知25×262=325，可知S 330=T 25+b 5=226−25−2+25−1=226+4，显然不为2的整数幂，故B 项不符合题意．C 项，仿上可知20×212=210，可知S 220=T 20+b 10=221−20−2+210−1=221+210−23，显然不为2的整数幂，故C 项不符合题意． D 项，仿上可知14×152=105，可知S 110=T 14+b 5=215−14−2+25−1=215+15，显然不为2的整数幂，故D 项不符合题意． 故选A ．方法二：由题意可知：20⏟第一项，20,21第二项，20,21,22第项，…20,21,22,…,2n−1第n 项， 根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：21−1，22−1，23−1，…，2n −1， 每项含有的项数为：1，2，3，…，n ， 总共的项数为N =1+2+3+...+n =(1+n)n 2，所有项数的和为S n :21−1+22−1+23−1+...+2n −1=(21+22+23+...+2n )−n =2(1−2n )1−2−n =2n+1−2−n ，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将−2−n 消去即可， 则①1+2+(−2−n)=0，解得：n =1，总共有(1+1)×12+2=3，不满足N >100， ②1+2+4+(−2−n)=0，解得：n =5，总共有(1+5)×52+3=18，不满足N >100，③1+2+4+8+(−2−n)=0，解得：n =13，总共有(1+13)×132+4=95，不满足N >100，④1+2+4+8+16+(−2−n)=0，解得：n =29，总共有(1+29)×292+5=440，满足N >100，∴该款软件的激活码440． 故选A ．13. 【答案】2√3【解析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：∵向量a →，b →的夹角为60∘，且|a →|=2，|b →|=1，∴(a →+2b →)2=a →2+4a →⋅b →+4b →2=22+4×2×1×cos60∘+4×12 =12，∴|a →+2b →|=2√3．故答案为：2√3． 14. 【答案】−5【解析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案． 【解答】解：由x ，y 满足约束条件{x +2y ≤12x +y ≥−1x −y ≤0作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A ， 联立{x +2y =12x +y =−1，解得A(−1, 1)．∴z =3x −2y 的最小值为−3×1−2×1=−5． 故答案为：−5． 15. 【答案】2√33【解析】利用已知条件，转化求解A 到渐近线的距离，推出a ，c 的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右顶点为A(a, 0)，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点． 若∠MAN =60∘，可得A 到渐近线bx +ay =0的距离为：bcos30∘=√32b ，可得：√a 2+b2=√32b ，即a c=√32，可得离心率为：e =2√33． 故答案为：2√33． 16. 【答案】4√15cm 3【解析】由题，连接OD ，交BC 于点G ，由题意得OD ⊥BC ，OG =√36BC ，设OG =x ，则BC =2√3x ，DG =5−x ，三棱锥的高ℎ=√25−10x ，求出S △ABC =3√3x 2，V =13S △ABC ×ℎ=√3⋅√25x 4−10x 3，令f(x)=25x 4−10x 5，x ∈(0, 52)，f′(x)=100x 3−50x 4，f(x)≤f(2)=80，由此能求出体积最大值．【解答】解：由题意，连接OD ，交BC 于点G ，由题意得OD ⊥BC ，OG =√36BC ，即OG 的长度与BC 的长度成正比，设OG =x ，则BC =2√3x ，DG =5−x ，三棱锥的高ℎ=√DG 2−OG 2=√25−10x +x 2−x 2=√25−10x ， S △ABC =12×√32×(2√3x)2=3√3x 2，则V =13S △ABC ×ℎ=√3x 2×√25−10x =√3⋅√25x 4−10x 5， 令f(x)=25x 4−10x 5，x ∈(0, 52)，f′(x)=100x 3−50x 4， 令f′(x)≥0，即x 4−2x 3≤0，解得x ≤2， 则f(x)≤f(2)=80，∴V ≤√3×√80=4√15cm 3，∴体积最大值为4√15cm 3． 故答案为：4√15cm 3．17. 【答案】解：(1)由三角形的面积公式可得S △ABC =12acsinB =a 23sinA ，∴3csinBsinA =2a ，由正弦定理可得3sinCsinBsinA =2sinA ， ∵sinA ≠0，∴sinBsinC =23；; (2)∵6cosBcosC =1， ∴cosBcosC =16，∴cosBcosC −sinBsinC =16−23=−12， ∴cos(B +C)=−12， ∴cosA =12， ∵0<A <π， ∴A =π3，∵asinA =bsinB =csinC =2R =√32=2√3，∴sinBsinC =b2R ⋅c2R =(2√3)2=bc12=23，∴bc =8，∵a 2=b 2+c 2−2bccosA ， ∴b 2+c 2−bc =9，∴(b +c)2=9+3cb =9+24=33， ∴b +c =√33∴周长a +b +c =3+√33．【解析】(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，; (2)根据两角余弦公式可得cosA =12，即可求出A =π3，再根据正弦定理可得bc =8，根据余弦定理即可求出b +c ，问题得以解决．【解答】解：(1)由三角形的面积公式可得S△ABC=12acsinB=a23sinA，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=23；; (2)∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=16，∴cosBcosC−sinBsinC=16−23=−12，∴cos(B+C)=−12，∴cosA=12，∵0<A<π，∴A=π3，∵asinA =bsinB=csinC=2R=√32=2√3，∴sinBsinC=b2R ⋅c2R=(23)2=bc12=23，∴bc=8，∵a2=b2+c2−2bccosA，∴b2+c2−bc=9，∴(b+c)2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=√33∴周长a+b+c=3+√33．18. 【答案】(1)证明：∵∠BAP=∠CDP=90∘，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB // CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；; (2)解：∵AB // CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由(1)知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90∘，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=2√2a．取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO 、OE ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则：D(−√2a,0,0)，B(√2a,2a,0)，P(0, 0, √2a)，C(−√2a,2a,0)． PD →=(−√2a,0,−√2a)，PB →=(√2a,2a,−√2a)，BC →=(−2√2a,0,0)． 设平面PBC 的一个法向量为n →=(x,y,z)，由{n →⋅BC →=0，得{√2ax +2ay −√2az =0−2√2ax =0，取y =1，得n →=(0,1,√2)．∵AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ， 又PD ⊥PA ，PA ∩AB =A ，∴PD ⊥平面PAB ，则PD →为平面PAB 的一个法向量，PD →=(−√2a,0,−√2a)．∴cos <PD →,n →>=|PD →||n →|=2a×√3=−√33．由图可知，二面角A −PB −C 为钝角， ∴二面角A −PB −C 的余弦值为−√33．【解析】(1)由已知可得PA ⊥AB ，PD ⊥CD ，再由AB // CD ，得AB ⊥PD ，利用线面垂直的判定可得AB ⊥平面PAD ，进一步得到平面PAB ⊥平面PAD ；; (2)由已知可得四边形ABCD 为平行四边形，由(1)知AB ⊥平面PAD ，得到AB ⊥AD ，则四边形ABCD 为矩形，设PA =AB =2a ，则AD =2√2a ．取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO 、OE ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的一个法向量，再证明PD ⊥平面PAB ，得PD →为平面PAB 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A −PB −C 的余弦值．【解答】(1)证明：∵∠BAP =∠CDP =90∘，∴PA ⊥AB ，PD ⊥CD ，∵AB // CD ，∴AB ⊥PD ，又∵PA ∩PD =P ，且PA ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ；; (2)解：∵AB // CD ，AB =CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形， 由(1)知AB ⊥平面PAD ，∴AB ⊥AD ，则四边形ABCD 为矩形，在△APD 中，由PA =PD ，∠APD =90∘，可得△PAD 为等腰直角三角形， 设PA =AB =2a ，则AD =2√2a ．取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO 、OE ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则：D(−√2a,0,0)，B(√2a,2a,0)，P(0, 0, √2a)，C(−√2a,2a,0)．PD →=(−√2a,0,−√2a)，PB →=(√2a,2a,−√2a)，BC →=(−2√2a,0,0)． 设平面PBC 的一个法向量为n →=(x,y,z)，由{n →⋅BC →=0，得{√2ax +2ay −√2az =0−2√2ax =0，取y =1，得n →=(0,1,√2)．∵AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ， 又PD ⊥PA ，PA ∩AB =A ，∴PD ⊥平面PAB ，则PD →为平面PAB 的一个法向量，PD →=(−√2a,0,−√2a)．∴cos <PD →,n →>=|PD →||n →|=2a×3=−√33．由图可知，二面角A −PB −C 为钝角， ∴二面角A −PB −C 的余弦值为−√33．19. 【答案】解：(1)由题可知尺寸落在(μ−3σ, μ+3σ)之内的概率为0.9974， 则落在(μ−3σ, μ+3σ)之外的概率为1−0.9974=0.0026，因为P(X =0)=C 160×(1−0.9974)0×0.997416≈0.9592， 所以P(X ≥1)=1−P(X =0)=0.0408， 又因为X ∼B(16, 0.0026)，所以E(X)=16×0.0026=0.0416；; (2)(I)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．(II)由x =9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为^μ=9.97，σ的估计值为^σ=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为115(16×9.97−9.22)=10.02，因此μ的估计值为10.02． ∑x i 216i=1=16×0.2122+16×9.972≈1591.134， 剔除(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为115(1591.134−9.222−15×10.022)≈0.008， 因此σ的估计值为√0.008≈0.09．【解析】(1)通过P(X =0)可求出P(X ≥1)=1−P(X =0)=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；; (2)(I)由(1)及知落在(μ−3σ, μ+3σ)之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；(II)通过样本平均数x 、样本标准差s 估计^μ、^σ可知(^μ−3^σ,^μ+3^σ)=(9.334, 10.606)，进而需剔除(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．【解答】解：(1)由题可知尺寸落在(μ−3σ, μ+3σ)之内的概率为0.9974， 则落在(μ−3σ, μ+3σ)之外的概率为1−0.9974=0.0026，因为P(X =0)=C 160×(1−0.9974)0×0.997416≈0.9592， 所以P(X ≥1)=1−P(X =0)=0.0408， 又因为X ∼B(16, 0.0026)，所以E(X)=16×0.0026=0.0416；; (2)(I)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．(II)由x =9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为^μ=9.97，σ的估计值为^σ=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为115(16×9.97−9.22)=10.02，因此μ的估计值为10.02． ∑x i 216i=1=16×0.2122+16×9.972≈1591.134， 剔除(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为115(1591.134−9.222−15×10.022)≈0.008， 因此σ的估计值为√0.008≈0.09．20. 【答案】解：(1)根据椭圆的对称性，P 3(−1, √32)，P 4(1, √32)两点必在椭圆C 上，又P 4的横坐标为1，∴椭圆必不过P 1(1, 1)， ∴P 2(0, 1)，P 3(−1, √32)，P 4(1, √32)三点在椭圆C 上．把P 2(0, 1)，P 3(−1, √32)代入椭圆C ，得：{1b 2=11a 2+34b2=1，解得a 2=4，b 2=1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．证明：; (2)①当斜率不存在时，设l:x =m ，A(m, y A )，B(m, −y A )， ∵直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为−1， ∴k P 2A +k P 2B =y A −1m+−y A −1m=−2m=−1，解得m =2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设l:y =kx +b ，(b ≠1)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立{y =kx +b x 2+4y 2−4=0，整理，得(1+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−4=0， x 1+x 2=−8kb1+4k 2，x 1x 2=4b 2−41+4k 2， 则k P 2A +k P 2B =y 1−1x 1+y 2−1x 2=x 2(kx 1+b)−x 2+x 1(kx 2+b)−x 1x 1x 2=8kb 2−8k−8kb 2+8kb1+4k 24b 2−41+4k 2=8k(b−1)4(b+1)(b−1)=−1，又b ≠1，∴b =−2k −1，此时△=−64k ，存在k ，使得△>0成立， ∴直线l 的方程为y =kx −2k −1， 当x =2时，y =−1， ∴l 过定点(2, −1)．【解析】(1)根据椭圆的对称性，得到P 2(0, 1)，P 3(−1, √32)，P 4(1, √32)三点在椭圆C 上．把P 2(0, 1)，P 3(−1, √32)代入椭圆C ，求出a 2=4，b 2=1，由此能求出椭圆C 的方程．; (2)当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l:y =kx +b ，(b ≠1)，联立{y =kx +b x 2+4y 2−4=0，得(1+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l 过定点(2, −1)．【解答】解：(1)根据椭圆的对称性，P 3(−1, √32)，P 4(1, √32)两点必在椭圆C 上，又P 4的横坐标为1，∴椭圆必不过P 1(1, 1)， ∴P 2(0, 1)，P 3(−1, √32)，P 4(1, √32)三点在椭圆C 上．把P 2(0, 1)，P 3(−1, √32)代入椭圆C ，得：{1b 2=11a 2+34b 2=1，解得a 2=4，b 2=1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．证明：; (2)①当斜率不存在时，设l:x =m ，A(m, y A )，B(m, −y A )， ∵直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为−1， ∴k P 2A +k P 2B =y A −1m+−y A −1m=−2m=−1，解得m =2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设l:y =kx +b ，(b ≠1)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立{y =kx +b x 2+4y 2−4=0，整理，得(1+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−4=0， x 1+x 2=−8kb 1+4k 2，x 1x 2=4b 2−41+4k 2，则k P 2A +k P 2B =y 1−1x 1+y 2−1x 2=x 2(kx 1+b)−x 2+x 1(kx 2+b)−x 1x 1x 2=8kb 2−8k−8kb 2+8kb1+4k 24b 2−41+4k 2=8k(b−1)4(b+1)(b−1)=−1，又b ≠1，∴b =−2k −1，此时△=−64k ，存在k ，使得△>0成立， ∴直线l 的方程为y =kx −2k −1， 当x =2时，y =−1， ∴l 过定点(2, −1)．21. 【答案】解：(1)由f(x)=ae 2x +(a −2)e x −x ，求导f′(x)=2ae 2x +(a −2)e x −1， 当a =0时，f′(x)=−2e x −1<0， ∴当x ∈R ，f(x)单调递减，当a >0时，f′(x)=(2e x +1)(ae x −1)=2a(e x +12)(e x −1a )， 令f′(x)=0，解得：x =ln 1a ， 当f′(x)>0，解得：x >ln 1a ， 当f′(x)<0，解得：x <ln 1a ，∴x ∈(−∞, ln 1a )时，f(x)单调递减，x ∈(ln 1a , +∞)单调递增； 当a <0时，f′(x)=2a(e x +12)(e x −1a )<0，恒成立， ∴当x ∈R ，f(x)单调递减，综上可知：当a ≤0时，f(x)在R 单调减函数，当a >0时，f(x)在(−∞, ln 1a )是减函数，在(ln 1a , +∞)是增函数；; (2)①若a ≤0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，当a >0时，f(x)=ae 2x +(a −2)e x −x ， 当x →−∞时，e 2x →0，e x →0， ∴当x →−∞时，f(x)→+∞，当x →∞，e 2x →+∞，且远远大于e x 和x ， ∴当x →∞，f(x)→+∞，∴函数有两个零点，f(x)的最小值小于0即可， 由f(x)在(−∞, ln 1a )是减函数，在(ln 1a , +∞)是增函数， ∴f(x)min =f(ln 1a )=a ×(1a 2)+(a −2)×1a −ln 1a <0， ∴1−1a −ln 1a <0，即ln 1a +1a −1>0， 设t =1a ，则g(t)=lnt +t −1，(t >0)， 求导g′(t)=1t +1，由g(1)=0， ∴t =1a >1，解得：0<a <1，∴a 的取值范围(0, 1)．方法二：(1)由f(x)=ae 2x +(a −2)e x −x ，求导f′(x)=2ae 2x +(a −2)e x −1， 当a =0时，f′(x)=2e x −1<0， ∴当x ∈R ，f(x)单调递减，当a >0时，f′(x)=(2e x +1)(ae x −1)=2a(e x +12)(e x −1a )， 令f′(x)=0，解得：x =−lna ， 当f′(x)>0，解得：x >−lna ， 当f′(x)<0，解得：x <−lna ，∴x ∈(−∞, −lna)时，f(x)单调递减，x ∈(−lna, +∞)单调递增； 当a <0时，f′(x)=2a(e x +12)(e x −1a )<0，恒成立，∴当x ∈R ，f(x)单调递减，综上可知：当a ≤0时，f(x)在R 单调减函数，当a >0时，f(x)在(−∞, −lna)是减函数，在(−lna, +∞)是增函数； (2)①若a ≤0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，②当a >0时，由(1)可知：当x =−lna 时，f(x)取得最小值，f(x)min =f(−lna)=1−1a −ln 1a， 当a =1，时，f(−lna)=0，故f(x)只有一个零点， 当a ∈(1, +∞)时，由1−1a −ln 1a >0，即f(−lna)>0， 故f(x)没有零点，当a ∈(0, 1)时，1−1a −ln 1a <0，f(−lna)<0， 由f(−2)=ae −4+(a −2)e −2+2>−2e −2+2>0， 故f(x)在(−∞, −lna)有一个零点，假设存在正整数n 0，满足n 0>ln(3a −1)，则f(n 0)=e n 0(ae n 0+a −2)−n 0>e n 0−n 0>2n 0−n 0>0， 由ln(3a −1)>−lna ，因此在(−lna, +∞)有一个零点． ∴a 的取值范围(0, 1)．【解析】(1)求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f(x)单调性；; (2)由(1)可知：当a >0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f(x)最小值，由f(x)min <0，g(a)=alna +a −1，a >0，求导，由g(a)min =g(e −2)=e −2lne −2+e −2−1=−1e 2−1，g(1)=0，即可求得a 的取值范围．(1)求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f(x)单调性；(2)分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a 的取值范围．【解答】解：(1)由f(x)=ae 2x +(a −2)e x −x ，求导f′(x)=2ae 2x +(a −2)e x −1， 当a =0时，f′(x)=−2e x −1<0， ∴当x ∈R ，f(x)单调递减，当a >0时，f′(x)=(2e x +1)(ae x −1)=2a(e x +12)(e x −1a )， 令f′(x)=0，解得：x =ln 1a ， 当f′(x)>0，解得：x >ln 1a ， 当f′(x)<0，解得：x <ln 1a ，∴x ∈(−∞, ln 1a )时，f(x)单调递减，x ∈(ln 1a , +∞)单调递增； 当a <0时，f′(x)=2a(e x +12)(e x −1a )<0，恒成立， ∴当x ∈R ，f(x)单调递减，综上可知：当a ≤0时，f(x)在R 单调减函数，当a >0时，f(x)在(−∞, ln 1a )是减函数，在(ln 1a , +∞)是增函数；; (2)①若a ≤0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，当a >0时，f(x)=ae 2x +(a −2)e x −x ， 当x →−∞时，e 2x →0，e x →0， ∴当x →−∞时，f(x)→+∞，当x →∞，e 2x →+∞，且远远大于e x 和x ， ∴当x →∞，f(x)→+∞，∴函数有两个零点，f(x)的最小值小于0即可， 由f(x)在(−∞, ln 1a )是减函数，在(ln 1a , +∞)是增函数， ∴f(x)min =f(ln 1a )=a ×(1a 2)+(a −2)×1a −ln 1a <0， ∴1−1a −ln 1a <0，即ln 1a +1a −1>0， 设t =1a ，则g(t)=lnt +t −1，(t >0)，求导g′(t)=1t +1，由g(1)=0， ∴t =1a >1，解得：0<a <1，∴a 的取值范围(0, 1)．方法二：(1)由f(x)=ae 2x +(a −2)e x −x ，求导f′(x)=2ae 2x +(a −2)e x −1， 当a =0时，f′(x)=2e x −1<0， ∴当x ∈R ，f(x)单调递减，当a >0时，f′(x)=(2e x +1)(ae x −1)=2a(e x +12)(e x −1a )， 令f′(x)=0，解得：x =−lna ， 当f′(x)>0，解得：x >−lna ， 当f′(x)<0，解得：x <−lna ，∴x ∈(−∞, −lna)时，f(x)单调递减，x ∈(−lna, +∞)单调递增； 当a <0时，f′(x)=2a(e x +12)(e x −1a )<0，恒成立，∴当x ∈R ，f(x)单调递减，综上可知：当a ≤0时，f(x)在R 单调减函数，当a >0时，f(x)在(−∞, −lna)是减函数，在(−lna, +∞)是增函数； (2)①若a ≤0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，②当a >0时，由(1)可知：当x =−lna 时，f(x)取得最小值，f(x)min =f(−lna)=1−1a−ln 1a ， 当a =1，时，f(−lna)=0，故f(x)只有一个零点， 当a ∈(1, +∞)时，由1−1a −ln 1a >0，即f(−lna)>0， 故f(x)没有零点，当a ∈(0, 1)时，1−1a −ln 1a <0，f(−lna)<0， 由f(−2)=ae −4+(a −2)e −2+2>−2e −2+2>0， 故f(x)在(−∞, −lna)有一个零点，假设存在正整数n 0，满足n 0>ln(3a −1)，则f(n 0)=e n 0(ae n 0+a −2)−n 0>e n 0−n 0>2n 0−n 0>0， 由ln(3a −1)>−lna ，因此在(−lna, +∞)有一个零点． ∴a 的取值范围(0, 1)．22. 【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =sinθ（θ为参数），化为标准方程是：x 29+y 2=1；a =−1时，直线l 的参数方程化为一般方程是：x +4y −3=0； 联立方程{x 29+y 2=1x +4y −3=0，解得{x =3y =0或{x =−2125y =2425， 所以椭圆C 和直线l 的交点为(3, 0)和(−2125, 2425)．; (2)l 的参数方程{x =a +4t y =1−t （t 为参数）化为一般方程是：x +4y −a −4=0，椭圆C 上的任一点P 可以表示成P(3cosθ, sinθ)，θ∈[0, 2π)， 所以点P 到直线l 的距离d 为： d =√17=√17，φ满足tanφ=34，且的d 的最大值为√17．①当−a −4≤0时，即a ≥−4时，|5sin(θ+4)−a −4|≤|−5−a −4|=5+a +4=17 解得a =8≥−4，符合题意． ②当−a −4>0时，即a <−4时|5sin(θ+4)−a −4|≤|5−a −4|=5−a −4=1−a =17 解得a =−16<−4，符合题意．【解析】(1)将曲线C 的参数方程化为标准方程，直线l 的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；; (2)曲线C 上的点可以表示成P(3cosθ, sinθ)，θ∈[0, 2π)，运用点到直线距离公式可以表示出P 到直线l 的距离，再结合距离最大值为√17进行分析，可以求出a 的值．【解答】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =sinθ（θ为参数），化为标准方程是：x 29+y 2=1；a =−1时，直线l 的参数方程化为一般方程是：x +4y −3=0；联立方程{x 29+y 2=1x +4y −3=0，解得{x =3y =0或{x =−2125y =2425， 所以椭圆C 和直线l 的交点为(3, 0)和(−2125, 2425)．; (2)l 的参数方程{x =a +4t y =1−t （t 为参数）化为一般方程是：x +4y −a −4=0，椭圆C 上的任一点P 可以表示成P(3cosθ, sinθ)，θ∈[0, 2π)， 所以点P 到直线l 的距离d 为： d =√17=√17，φ满足tanφ=34，且的d 的最大值为√17．①当−a −4≤0时，即a ≥−4时，|5sin(θ+4)−a −4|≤|−5−a −4|=5+a +4=17 解得a =8≥−4，符合题意． ②当−a −4>0时，即a <−4时|5sin(θ+4)−a −4|≤|5−a −4|=5−a −4=1−a =17 解得a =−16<−4，符合题意．23. 【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=−x 2+x +4，是开口向下，对称轴为x =12的二次函数，g(x)=|x +1|+|x −1|={2x,x >12,−1≤x ≤1−2x,x <−1，当x ∈(1, +∞)时，令−x 2+x +4=2x ，解得x =√17−12，g(x)在(1, +∞)上单调递增，f(x)在(1, +∞)上单调递减，∴此时f(x)≥g(x)的解集为(1, √17−12]；当x ∈[−1, 1]时，g(x)=2，f(x)≥f(−1)=2．当x ∈(−∞, −1)时，g(x)单调递减，f(x)单调递增，且g(−1)=f(−1)=2． 综上所述，f(x)≥g(x)的解集为[−1, √17−12]；; (2)依题意得：−x 2+ax +4≥2在[−1, 1]恒成立，即x 2−ax −2≤0在[−1, 1]恒成立，则只需{12−a ⋅1−2≤0(−1)2−a(−1)−2≤0，解得−1≤a ≤1，故a 的取值范围是[−1, 1]．【解析】(1)当a =1时，f(x)=−x 2+x +4，g(x)=|x +1|+|x −1|={2x,x >12,−1≤x ≤1−2x,x <−1，分x >1、x ∈[−1, 1]、x ∈(−∞, −1)三类讨论，结合g(x)与f(x)的单调性质即可求得f(x)≥g(x)的解集为[−1, √17−12]；; (2)依题意得：−x 2+ax +4≥2在[−1, 1]恒成立⇔x 2−ax −2≤0在[−1, 1]恒成立，只需{12−a ⋅1−2≤0(−1)2−a(−1)−2≤0，解之即可得a 的取值范围．【解答】解：(1)当a =1时，f(x)=−x 2+x +4，是开口向下，对称轴为x =12的二次函数，g(x)=|x +1|+|x −1|={2x,x >12,−1≤x ≤1−2x,x <−1，当x ∈(1, +∞)时，令−x 2+x +4=2x ，解得x =√17−12，g(x)在(1, +∞)上单调递增，f(x)在(1, +∞)上单调递减，∴此时f(x)≥g(x)的解集为(1, √17−12]；当x ∈[−1, 1]时，g(x)=2，f(x)≥f(−1)=2．当x ∈(−∞, −1)时，g(x)单调递减，f(x)单调递增，且g(−1)=f(−1)=2． 综上所述，f(x)≥g(x)的解集为[−1, √17−12]；; (2)依题意得：−x 2+ax +4≥2在[−1, 1]恒成立，即x 2−ax −2≤0在[−1, 1]恒成立，则只需{12−a ⋅1−2≤0(−1)2−a(−1)−2≤0，解得−1≤a ≤1，故a 的取值范围是[−1, 1]．。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学(含答案)
2017年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则( )A.A∩B={x|x<32}B.A∩B=⌀C.A∪B={x|x<32}D.A∪B=R2.为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A.x1,x2,…,x n的平均数B.x1,x2,…,x n的标准差C.x1,x2,…,x n的最大值D.x1,x2,…,x n的中位数3.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)4.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π45.已知F是双曲线C:x2-y 23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )A.13B.12C.23D.326.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )7.设x,y满足约束条件{x+3y≤3,x-y≥1,y≥0,则z=x+y的最大值为( )A.0B.1C.2D.38.函数y=sin2x1-cosx的部分图象大致为( )9.已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( )A. f(x)在(0,2)单调递增B. f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称10.下面程序框图是为了求出满足3n-2n>1 000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A>1 000和n=n+1B.A>1 000和n=n+2C.A≤1 000和n=n+1D.A≤1 000和n=n+211.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( )A.π12B.π6C.π4D.π312.设A,B是椭圆C:x 23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,√3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,√3]∪[4,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m= .14.曲线y=x2+1x在点(1,2)处的切线方程为.15.已知α∈(0,π2),tan α=2,则cos(α-π4)= .16.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)记S n为等比数列{a n}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;,求该四棱锥的侧面积.(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为8319.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04抽取次序9 10 11 12 13 14 15 16零件尺寸10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x =116∑i=116x i =9.97,s=√116∑i=116(x i -x )2=√116(∑i=116x i 2-16x 2)≈0.212,√∑i=116(i -8.5)2≈18.439,∑i=116(x i -x )(i-8.5)=-2.78,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i=1,2, (16)(1)求(x i ,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小);(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(x -3s,x +3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (i)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?(ii)在(x -3s,x +3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01) 附:样本(x i ,y i )(i=1,2,…,n)的相关系数r=∑i=1n(x i -x )(y i -y )√∑i=1n (x i -x )√∑i=1n(y i -y ).√0.008≈0.09.20.(12分)设A,B 为曲线C:y=x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM⊥BM,求直线AB 的方程.21.(12分)已知函数f(x)=e x(e x-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =3cosθ,y =sinθ(θ为参数),直线l 的参数方程为{x =a +4t ,y =1-t(t 为参数). (1)若a=-1,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l 距离的最大值为√17,求a.23.[选修4—5:不等式选讲](10分)已知函数f(x)=-x 2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.A 本题考查集合的运算.由3-2x>0得x<32,则B={x |x <32},所以A∩B={x |x <32},故选A.2.B 本题考查样本的数字特征.统计问题中,体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差.故选B.3.C 本题考查复数的运算和纯虚数的定义. A.i(1+i)2=i×2i=-2; B.i 2(1-i)=-(1-i)=-1+i; C.(1+i)2=2i;D.i(1+i)=-1+i,故选C. 4.B 本题考查几何概型.设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为π2,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P=π22×2=π8,故选B.5.D 本题考查双曲线的几何性质. 易知F(2,0),不妨取P 点在x 轴上方,如图.∵PF⊥x 轴,∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3), ∴|AP|=1,AP⊥PF, ∴S △APF =12×3×1=32.故选D.6.A 本题考查线面平行的判定.B 选项中,AB ∥MQ,且AB ⊄平面MNQ,MQ ⊂平面MNQ,则AB ∥平面MNQ;C 选项中,AB ∥MQ,且AB ⊄平面MNQ,MQ ⊂平面MNQ,则AB ∥平面MNQ;D 选项中,AB ∥NQ,且AB ⊄平面MNQ,NQ ⊂平面MNQ,则AB ∥平面MNQ.故选A.7.D 本题考查简单的线性规划问题. 作出约束条件表示的可行域如图:平移直线x+y=0,可得目标函数z=x+y 在A(3,0)处取得最大值,z max =3,故选D.8.C 本题考查函数图象的识辨.易知y=sin2x1-cosx 为奇函数,图象关于原点对称,故排除B 选项;sin 2≈sin 120°=√32,cos 1≈cos 60°=12,则f(1)=sin21-cos1=√3,故排除A 选项; f(π)=sin2π1-cos π=0,故排除D 选项,故选C.9.C 本题考查函数的图象与性质.函数f(x)=ln x+ln(2-x)=ln[x(2-x)],其中0<x<2,则函数f(x)由f(t)=ln t,t(x)=x(2-x)复合而成,由复合函数的单调性可知,x ∈(0,1)时, f(x)单调递增,x ∈(1,2)时, f(x)单调递减,则A 、B 选项错误;t(x)的图象关于直线x=1对称,即t(x)=t(2-x),则f(x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=1对称,故C 选项正确,D 选项错误.故选C. 10.D 本题考查程序框图问题.本题求解的是满足3n-2n>1 000的最小偶数n,判断循环结构为当型循环结构,即满足条件要执行循环体,不满足条件应输出结果,所以判断语句应为A≤1 000,另外,所求为满足不等式的偶数解,因此中语句应为n=n+2,故选D.11.B 本题考查正弦定理和两角和的正弦公式.在△ABC 中,sin B=sin(A+C),则sin B+sin A(sin C-cos C) =sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,∴cos Asin C+sin Asin C=0,∵sin C≠0,∴cos A+sin A=0,即tan A=-1,即A=34π. 由a sinA =c sinC 得√22=√2sinC ,∴sin C=12,又0<C<π4,∴C=π6,故选B.12.A 本题考查圆锥曲线的几何性质.当0<m<3时,椭圆C 的长轴在x 轴上,如图(1),A(-√3,0),B(√3,0),M(0,1).图(1)当点M 运动到短轴的端点时,∠AMB 取最大值,此时∠AMB≥120°,则|MO|≤1,即0<m≤1; 当m>3时,椭圆C 的长轴在y 轴上,如图(2),A(0,√m ),B(0,-√m ),M(√3,0)图(2)当点M 运动到短轴的端点时,∠AMB 取最大值,此时∠AMB≥120°,则|OA|≥3,即√m ≥3,即m≥9.综上,m ∈(0,1]∪[9,+∞),故选A.二、填空题 13.答案 7解析 本题考查向量数量积的坐标运算. ∵a=(-1,2),b=(m,1),∴a+b=(m -1,3),又(a+b)⊥a, ∴(a+b)·a=-(m-1)+6=0,解得m=7. 14.答案 x-y+1=0解析 本题考查导数的几何意义.∵y=x 2+1x,∴y'=2x -1x2,∴y'|x=1=2-1=1,∴所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.15.答案3√1010解析 因为α∈(0,π2),且tan α=sinαcosα=2,所以sin α=2cos α,又sin 2α+cos 2α=1,所以sin α=2√55,cos α=√55,则cos (α-π4)=cos αcos π4+sin αsin π4=√55×√22+2√55×√22=3√1010.16.答案 36π解析 由题意作出图形,如图.设球O 的半径为R,由题意知SB⊥BC,SA⊥AC,又SB=BC,SA=AC,则SB=BC=SA=AC=√2R.连接OA,OB,则OA⊥SC,OB⊥SC,因为平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,所以OA⊥平面SCB,所以OA⊥OB,则AB=√2R,所以△ABC 是边长为√2R 的等边三角形,设△ABC 的中心为O 1,连接OO 1,CO 1. 则OO 1⊥平面ABC,CO 1=23×√32×√2R=√63R,则OO 1=√R 2-(√63R)2=√33R,则V S-ABC =2V O-ABC =2×13×√34(√2R)2×√33R=13R 3=9, 所以R=3.所以球O 的表面积S=4πR 2=36π.三、解答题17.解析 本题考查等差、等比数列. (1)设{a n }的公比为q,由题设可得{a 1(1+q )=2,a 1(1+q +q 2)=-6.解得q=-2,a 1=-2.故{a n }的通项公式为a n =(-2)n . (2)由(1)可得S n =a 1(1-q n )1-q=-23+(-1)n·2n+13.由于S n+2+S n+1=-43+(-1)n·2n+3-2n+23=2[-23+(-1)n·2n+13]=2S n ,故S n+1,S n ,S n+2成等差数列.18.解析 本题考查立体几何中面面垂直的证明和几何体侧面积的计算. (1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°, 得AB⊥AP,CD⊥PD. 由于AB∥CD,故AB⊥PD, 从而AB⊥平面PAD. 又AB ⊂平面PAB, 所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD 内作PE⊥AD,垂足为E.由(1)知,AB⊥平面PAD, 故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD. 设AB=x,则由已知可得AD=√2x,PE=√22x. 故四棱锥P-ABCD 的体积V P-ABCD =13AB·AD·PE=13x 3.由题设得13x 3=83,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=2√2,PB=PC=2√2.可得四棱锥P-ABCD 的侧面积为12PA·PD+12PA·AB+12PD·DC+12BC 2sin 60°=6+2√3.19.解析 本题考查统计问题中的相关系数及样本数据的均值与方差. (1)由样本数据得(x i ,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为r=∑i=116(x i -x )(i -8.5)√∑i=1(x i -x )2√∑i=1(i -8.5)2=0.212×√16×18.439≈-0.18.由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)(i)由于x =9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x -3s,x +3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查.(ii)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10.02, 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.∑i=116x i 2=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为115×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为√0.008≈0.09.20.解析 本题考查直线与抛物线的位置关系. (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1≠x 2,y 1=x 124,y 2=x 224,x 1+x 2=4, 于是直线AB 的斜率k=y 1-y2x 1-x 2=x 1+x 24=1.(2)由y=x 24,得y'=x2,设M(x3,y3),由题设知x32=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=x 24得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2√m+1.从而|AB|=√2|x1-x2|=4√2(m+1).由题设知|AB|=2|MN|,即4√2(m+1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.21.解析本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值.(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=2e2x-ae x-a2=(2e x+a)(e x-a).①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)单调递增.②若a>0,则由f '(x)=0得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0.故f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增.③若a<0,则由f '(x)=0得x=ln(-a2).当x∈(-∞,ln(-a2))时,f '(x)<0;当x∈(ln(-a2),+∞)时, f '(x)>0.故f(x)在(-∞,ln(-a2))单调递减,在(ln(-a2),+∞)单调递增.(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.②若a>0,则由(1)得,当x=ln a时, f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a,从而当且仅当-a 2ln a≥0,即a≤1时, f(x)≥0.③若a<0,则由(1)得,当x=ln (-a 2)时, f(x)取得最小值,最小值为f (ln (-a2))=a 2[34-ln (-a2)].从而当且仅当a 2[34-ln (-a2)]≥0, 即a≥-2e 34时, f(x)≥0. 综上,a 的取值范围是[-2e 34,1].22.解析 本题考查极坐标与参数方程的应用. (1)曲线C 的普通方程为x 29+y 2=1.当a=-1时,直线l 的普通方程为x+4y-3=0. 由{x +4y -3=0,x 29+y 2=1解得{x =3,y =0或{x =-2125,y =2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0),(-2125,2425).(2)直线l 的普通方程为x+4y-a-4=0,故C 上的点(3cos θ,sin θ)到l 的距离为d=√17.当a≥-4时,d 的最大值为√17,由题设得√17=√17,所以a=8;当a<-4时,d 的最大值为√17,由题设得17=√17,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.23.解析 本题考查含绝对值不等式的求解问题.(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<x≤-1+√17.2所以f(x)≥g(x)的解集为}.{x|-1≤x≤-1+√172(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].。
2016年河北省普通高等学校对口招生考试数学试题高考真题(含答案)
2016年河北省普通高等学校对口招生考试数 学一.选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．设集合M ={1,2,3,4,5}，N ={x |2650x x -+<2}，则M ∩N =（ ） A ．{1，2，3} B ．{2，3，4} C ．{ 3，4，5} D ．{ 2，4，5} 2．设a ＜b ，那么下列各不等式恒成立的是（ ）A ．22a b <B ．ac < bcC ．2log ()0b a ->>0D ．22a b < 3．“a =b ”是“lg a =lgb ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列函数是奇函数且在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内是单调递增的是（ ）A ．cos()y x π=+ B ．sin()y x π=- C ．sin()2y x π=-D ．y =sin 2x5．将函数3sin()6y x π=+的图像向右平移14个周期后，所得的图像对应的函数是（ ）A ．3sin()4y x π=+B ．3sin()4y x π=-C ．3sin()3y x π=+D ．3sin()3y x π=-6．设(1,)a x =-，(1,2)b =，且//a b ，则23a b -= （ ） A ．（5，10） B ．（-5，-10） C ．（10，5） D ．（-10，-5） 7．下列函数中，周期为π的奇函数是 （ ）A ．y =cosxsinxB ．22cos sin y x x =-C ．y =1-cosxD ．y =sin 2x -cos 2x 8．已知等差数列{n a }中，已知384,11a a ==，则10s =（ ） A ．70 B ．75 C ．80 D ．859．等比数列{n a }中，若27364a a a a +=，则此数列的前8项之积为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．3210．下列四组函数中表示同一函数的是（ ）A ．y x =与y x =B ．y =2lnx 与2ln y x =C ．y =sinx 与3cos()2y x π=+ D ．cos(2)y x π=-与sin()y x π=- 11．等轴双曲线的离心率为（ ） A512- B 512+ C 2 D ．1 12.某地生态园有4个出入口，若某游客从任一出入口进入，并且从另外3个出入口之一走出，进出方案种数为（ ） A ．4 B ．7 C ．10 D ．12 13.已知1532()x x-的第k 项为常数项，则k 为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．914．点M （3，4）关于x 轴对称点的坐标为（ ）A ．（-3，4）B ．（3，-4）C ．（3，4）D ．（-3，-4）15．已知点P 是△ABC 所在平面外一点，若PA =PB =PC ，则点P 在平面ABC 内的射影O 是△ABC 的 （ ）A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心二.填空题：（本大题共15小题，每小题2分，共30分）16．已知]23,(,0()2,(0,)x x x f x x ⎧+∈-∞=⎨-∈+∞⎩则f [f (1)]=____________．17．函数21lg()2y x x x =-+-的定义域是__________________． 18．计算：120153220161log 16cos ()27C π-++-+=____________．19．若13log 1x >，则 x 的取值范围是_________________．20．设()sin 1f x a x =+，若()212f π=，则()12f π-=_________．21．等差数列{a n }中，已知公差为3，且a 1+a 3+a 5=12，则S 6=_________． 22．设向量a =(,1)x x +,b =(1,2)，且a b ⊥，则x =______．23.3sin()log 322πα-=,0απ<<则α=_________．24．过直线3x +y +8=0与2x +y +5=0的交点，且与直线x -y +1=0垂直的直线方程为_________．25．若1311ln ,,a b e c e e===，则由a ，b ，c 由小到大的顺序是__________．26．点M (3，λ)关于点N (μ，4)的对称点为M (5，7)，则λ=____，μ=____． 27．设直线l ∥平面α，直线b ⊥平面α，则直线l 与直线b 所成角是___________． 28．若△ABC 中，90C ∠=,3,4AC BC ==，则AB BC ⋅=___________． 29．已知正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成直二面角，则 ∠FBD =__________．30．从数字1，2，3，4，5中任选3个数字组成一个无重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为 _____________．三.解答题：（本大题共7小题，共45分．）31．（5分）已知集合已知集合{}2|610A x x mx =+-=，{}2|350B x x x n =++=且{1}A B =-，求A B 。