2019-2020学年云南省昆明一中教育集团高二下学期期末数学试卷(理科) (解析版)

2019-2020学年高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|1＜2x＜8}，若A∩B＝{1}，则集合B可以是（）A．{0，1}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{1，2，3}2．设复数z满足（1+i）z＝2，则复平面内表示z的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设a＝（），b＝log，c＝（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a4．在（﹣x）4的展开式中，二次项的系数为（）A．﹣6B．﹣4C．4D．65．已知正项等比数列{a n}中，a3＝，若a1+a2+a3＝7，则数列的前十项和S10＝（）A．511B．512C．1023D．10246．函数f（x）＝x2sin|x|的部分图象大致为（）A．B．C．D．7．现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取2种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙至少有1种被选取的概率为（）A．B．C．D．8．已知单位向量，满足||＝|+|，则（+）•＝（）A．B．1C．D．09．如图所示的程序框图，是为计算S＝1﹣+﹣+…+﹣，则在空白判断框中应填入的是（）A．i＜50？B．i≤51？C．i＞50？D．i≥51？10．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l：y＝（x﹣）与抛物线C在第一象限的交点为M，若|MF|＝2，则抛物线C的方程为（）A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x11．设函数f（x）＝的最大值为M，最小值为m，则（M+m+1）2020的值是（）A．0B．1C．22019D．2202012．已知函数f（x）＝xe x﹣lnx﹣x，若存在x0∈（0，+∞），使f（x0）≤a，则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[e﹣1，+∞）C．[2，+∞）D．[e，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y＝x2+lnx+1在点（1，2）处的切线方程为．14．若变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是．15．在等腰△ABC中，∠ABC＝，若点C在以A，B为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为．16．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C：（x2+y2）3＝4x2y2被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）．给出下列四个结论：①曲线C与直线y＝ax（a≠0）交于不同于原点O的A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1+x2+y1+y2＝0；②存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）；③存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）；④曲线C上至少有一个点M，使得点M到两坐标轴的距离之积大于．其中，正确结论的序号是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．某地六月份30天的日最高气温的统计表如下：t≤22℃22℃＜t≤28℃28℃＜t≤32℃t＞32℃日最高气温t（单位：℃）天数711Y Z 由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.8．（1）求Y、Z的值；（2）把日最高气温高于32℃称为本地区的“高温天气”，已知该地区某种商品在六月份“高温天气”有2天“旺销”，“非高温天气”有6天“不旺销”，根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与该商品“旺销”有关？说明理由．高温天气非高温天气合计旺销不旺销合计附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.0010 k 3.841 6.63510.828 18．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，b＝2，4+c2﹣a2＝﹣2c．（1）求A的值；（2）从①a＝2sin B，②B ＝两个条件中选一个作为已知条件，求sin C的值．19．设数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a n+2n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2（a1•a2…a n），求数列{}的前n项和S n．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，AA1＝2，BC＝2，D，E分别是BC，CC1的中点．（1）证明：BD1⊥平面ADE；（2）若AB＝2，求平面AB1C1与平面ADE所成二面角的正弦值．21．已知点N（1，0）和直线x＝2，设动点M（x，y）到直线x＝2的距离为d，且|MN|＝d．（1）求点M的轨迹E的方程；（2）已知P（﹣2，0），若直线l：y＝k（x+1）与曲线E交于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为C，证明：P，B，C三点共线．22．已知函数（x）＝lnx+﹣1．（1）若f（x）≥0，求实数a的取值范围；（2）设a n＝，数列{a n}的前n项和为S n，证明：S n＜ln（n+1）．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|1＜2x＜8}，若A∩B＝{1}，则集合B可以是（）A．{0，1}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{1，2，3}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|0＜x＜3}，A∩B＝{1}，∴B可以为{0，1}．故选：A．2．设复数z满足（1+i）z＝2，则复平面内表示z的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则即可得出．解：∵（1+i）z＝2，∴，则复平面内表示z的点位于第四象限．故选：D．3．设a＝（），b＝log，c＝（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】可以得出，，然后即可得出a，b，c 的大小关系．解：∵，，，∴b＜a＜c．故选：C．4．在（﹣x）4的展开式中，二次项的系数为（）A．﹣6B．﹣4C．4D．6【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得二次项的系数．解：的展开式中的二次项为，故选：B．5．已知正项等比数列{a n}中，a3＝，若a1+a2+a3＝7，则数列的前十项和S10＝（）A．511B．512C．1023D．1024【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．解：设等比数列{a n}的公比为q，由a2•a3＝a4得，所以a1＝1，又因为a1+a2+a3＝7，得1+q+q2＝7，所以q＝2，，故选：C．6．函数f（x）＝x2sin|x|的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除A，C，又由函数的解析式可得当x＝π时，f（x）＝0，排除D，即可得答案．解：根据题意，f（x）＝x2sin|x|，其定义域为R，有f（﹣x）＝（﹣x）2sin|﹣x|＝x2sin|x|＝f（x），则函数f（x）＝x2sin|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A，C，当x＝π时，f（x）＝0，排除D，故选：B．7．现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取2种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙至少有1种被选取的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝＝10，其中甲、乙至少有1种被选取包含的基本事件个数m＝＝7，由此能求出甲、乙至少有1种被选取的概率．解：现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，某学校要从中随机选取2种作为教师“停课不停学”的教学工具，基本事件总数n＝＝10，其中甲、乙至少有1种被选取包含的基本事件个数m＝＝7，∴甲、乙至少有1种被选取的概率．故选：C．8．已知单位向量，满足||＝|+|，则（+）•＝（）A．B．1C．D．0【分析】对条件式两边平方计算，再计算（+）•．解：∵是单位向量，∴＝＝1，∵||＝||，∴+2+＝1，故＝﹣，∴（+）•＝+＝﹣＝0．故选：D．9．如图所示的程序框图，是为计算S＝1﹣+﹣+…+﹣，则在空白判断框中应填入的是（）A．i＜50？B．i≤51？C．i＞50？D．i≥51？【分析】模拟程序的运行，根据输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容．解：模拟程序的运行，可得S＝N﹣T中的，，则空白判断框应填i＜50？．故选：A．10．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l：y＝（x﹣）与抛物线C在第一象限的交点为M，若|MF|＝2，则抛物线C的方程为（）A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x【分析】设抛物线C的准线为l'，作MH⊥l'于H，由抛物线定义可得|MH|＝|MF|＝2，直线l焦点F且倾斜角为60°，推出△MHF为正三角形，∠HFO＝60°，所以p＝2cos60°，进而计算出答案．解：设抛物线C的准线为l'，作MH⊥l'于H，由已知得：|MH|＝2，直线l：过焦点F且倾斜角为60°，所以∠HMF＝60°，所以△MHF为正三角形，所以|HF|＝2，∠HFO＝60°，所以p＝2cos60°＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x．故选：C．11．设函数f（x）＝的最大值为M，最小值为m，则（M+m+1）2020的值是（）A．0B．1C．22019D．22020【分析】化简函数f（x）＝g（x）﹣1，由g（x）的奇偶性即可求解．解：，设，则g（x）为奇函数，所以g（x）max+g（x）min＝0，则M+m＝﹣2，所以（M+m+1）2020＝1故选：B．12．已知函数f（x）＝xe x﹣lnx﹣x，若存在x0∈（0，+∞），使f（x0）≤a，则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[e﹣1，+∞）C．[2，+∞）D．[e，+∞）【分析】求导得f'（x）＝e x﹣xe x﹣﹣1＝（x+1）（e x﹣），定义域为（0，+∞），令f'（x）＝0，则e x＝，设，x1∈（0，1），于是有＝1，即lnx1+x1＝0．易推出f（x）在（0，+∞）上的单调性，然后求出f（x）的最小值即可得解．解：∵f（x）＝xe x﹣lnx﹣x（x＞0），∴f'（x）＝e x﹣xe x﹣﹣1＝（x+1）（e x﹣），令f'（x）＝0，则e x＝，设，x1∈（0，1），∴＝1，即lnx1+x1＝0，当x∈（0，x1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（x1，+∞）时，f'（x）＞0，f （x）单调递增．∴f（x）min＝f（x1）＝﹣（lnx1+x1）＝1+0＝1，∴a≥1．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y＝x2+lnx+1在点（1，2）处的切线方程为y＝3x﹣1．【分析】先对原函数求导，再令x＝1解出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程．解：曲线f（x）＝x2+lnx+1，可得f′（x）＝2x+，f′（1）＝2+1＝3，所以k＝3，切线方程为：y﹣2＝3（x﹣1），即y＝3x﹣1．故答案为：y＝3x﹣1．14．若变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是4．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：满足约束条件的可行域如图所示，目标函数z＝x+2y对应直线，当z最大时，纵截距最大，∴直线过点A（0，2）时，纵截距最大，此时z max＝4．故答案为：4．15．在等腰△ABC中，∠ABC＝，若点C在以A，B为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为．【分析】设AB＝BC＝2，取AB的中点为O，由余弦定理可得AC，通过双曲线的定义，求解离心率即可．解：设AB＝BC＝2，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，在三角形OBC中，cos B＝﹣，AC＝＝2 ，所以2﹣2＝2a，2c＝2，所以双曲线的离心率为：＝＝．故答案为：．16．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C：（x2+y2）3＝4x2y2被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）．给出下列四个结论：①曲线C与直线y＝ax（a≠0）交于不同于原点O的A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1+x2+y1+y2＝0；②存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）；③存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）；④曲线C上至少有一个点M，使得点M到两坐标轴的距离之积大于．其中，正确结论的序号是①③．【分析】利用图形的对称性结合函数的对称性判断①，基本不等式判断②③④，推出结果即可．解：曲线关于原点O对称，直线y＝ax（a≠0）关于原点对称，所以x1+x2＝y1+y2＝0，所以①正确；由，所以（x2+y2）3≤（x2+y2）2，即：x2+y2≤1，当取等号，此时，点在曲线上，而|PO|＝1，所以②错误，③正确，因为，所以④错误，综上所述，①③正确．故答案为：①③．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．某地六月份30天的日最高气温的统计表如下：t≤22℃22℃＜t≤28℃28℃＜t≤32℃t＞32℃日最高气温t（单位：℃）天数711Y Z 由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.8．（1）求Y、Z的值；（2）把日最高气温高于32℃称为本地区的“高温天气”，已知该地区某种商品在六月份“高温天气”有2天“旺销”，“非高温天气”有6天“不旺销”，根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与该商品“旺销”有关？说明理由．高温天气非高温天气合计旺销不旺销合计附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.0010 k 3.841 6.63510.828 【分析】（1）由已知求得日最高气温高于32o C的频率，计算Z和Y的值；（2）根据题意填写列联表，计算K2，对照附表得出结论．解：（1）由已知，得日最高气温高于32o C的频率为1﹣0.8＝0.2，所以Z＝30×0.2＝6，Y＝30﹣（7+11+6）＝6；（2）根据题意填写列联表如下；高温天气非高温天气合计旺销21820不旺销4610合计62430计算K2＝＝3.75，因为3.75＜3.841，所以没有95%的把握认为本地区的“高温天气”与该商品“旺销”有关．18．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，b＝2，4+c2﹣a2＝﹣2c．（1）求A的值；（2）从①a＝2sin B，②B＝两个条件中选一个作为已知条件，求sin C的值．【分析】（1）由已知利用余弦定理可求cos A的值，结合范围0＜A＜π，可求A的值．（2）选择①作为已知条件，由正弦定理可求sin B的值，结合，得B为锐角，可求，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sin C的值；选择②作为已知条件，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sin C的值．解：（1）由b＝2，4+c2﹣a2＝﹣2c，得：，又因为0＜A＜π，所以．………（2）选择①作为已知条件．在△ABC中，由，以及正弦定理，得，解得，由，得B为锐角，所以，因为在△ABC中，A+B+C＝π，所以，所以．………选择②作为已知条件，因为在△ABC中，A+B+C＝π，所以，所以．………19．设数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a n+2n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2（a1•a2…a n），求数列{}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式中的叠加法求出数列的通项公式．（2）直接利用（1）的结论，首先求出数列{}的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．解：（1）因为a n＝[（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）]+a1（n≥2），所以（n≥2），当n＝1时，a1＝2，所以数列{a n}的通项公式为．（2）因为，所以，所以，＝＝．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，AA1＝2，BC＝2，D，E分别是BC，CC1的中点．（1）证明：BD1⊥平面ADE；（2）若AB＝2，求平面AB1C1与平面ADE所成二面角的正弦值．【分析】（1）推导出Rt△B1BD∽Rt△DCE，B1D⊥DE，AD⊥BC，从而AD⊥平面BCC1B1，AD⊥B1D，由此能证明B1D⊥平面ADE．（2）以点A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AB1C1与平面ADE所成二面角的正弦值．解：（1）证明：由已知得：，所以Rt△B1BD∽Rt△DCE，所以∠BB1D＝∠CDE，所以，所以B1D⊥DE，又因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC，所以AD⊥平面BCC1B1，所以AD⊥B1D，而AD∩DE＝D，所以B1D⊥平面ADE．（2）解：AB2+AC2＝BC2，所以AB⊥AC，以点A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，所以B1（2，0，2），C1（0，2，2），D（1，1，0），则，，设为平面AB1C1的一个法向量，则，得，平面ADE的法向量为，所以，所以，所以，平面AB1C1与平面ADE所成二面角的正弦值为．21．已知点N（1，0）和直线x＝2，设动点M（x，y）到直线x＝2的距离为d，且|MN|＝d．（1）求点M的轨迹E的方程；（2）已知P（﹣2，0），若直线l：y＝k（x+1）与曲线E交于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为C，证明：P，B，C三点共线．【分析】（1）由已知，，整理即可得到动点M的轨迹E的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1，﹣y1），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，写出A与B横坐标的和与积，再由直线方程的两点式写出BC的方程，取y＝0求得x值，即可证明P，B，C三点共线．解：（1）由已知，，∴，化简得动点M的轨迹E的方程：；证明：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1，﹣y1），由，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，此时△＞0，∴，，由直线BC的方程：，得：，令y＝0，则＝＝＝＝，∴直线BC过点P（﹣2，0），即P，B，C三点共线．22．已知函数（x）＝lnx+﹣1．（1）若f（x）≥0，求实数a的取值范围；（2）设a n＝，数列{a n}的前n项和为S n，证明：S n＜ln（n+1）．【分析】（1）已知条件化为a≥x（1﹣lnx），令g（x）＝x（1﹣lnx），则g'（x）＝﹣lnx，通过导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的最值推出结果．（2）化简，求出函数的导数判断函数的单调性，推出，利用放缩法转化求解证明：S n＜ln（n+1）．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），由（x＞0）得a≥x（1﹣lnx），令g（x）＝x（1﹣lnx），则g'（x）＝﹣lnx，由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，所以g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）max＝g（1）＝1，所以a≥1，所以a的取值范围为[1，+∞）．（2）证明：由（1）得a＝1时，，而f（1）＝0，（x＞1），所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）＝0（x＞1），即（x＞1）．令，则，所以，所以，，…，，所以，而，所以，即S n＜ln（n+1）．。