2020新教材高中数学第十章复数10.3复数的三角形式及其运算练习新人教B版必修第四册
2020-2021学年新教材数学人教B版必修第四册课件：阶段复习课 第十章 复 数
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【答案速填】 ①a=c且b=d ②___a_2 __b_2 _ ③(a+c)+(b+d)i ④(a-c)+(b-d)i ⑤(ac-bd)+(ad+bc)i ⑥__ac_c2 __bd_d2 __bc_c2__da_d2_i_
易错案例警示
易错一 忽视复数的概念
【错因探究】(1)当得到z- =z 2bi时就认为是纯虚数,忽略了b可以为0的条件. (2)类比任何一个实数的平方大于等于0,于是认为可以推广到复数中. (3)认为两个实数之差大于0等价于前一个实数大于后一个实数可推广到复数中. (4)把等式的性质错误地推广到复数中. 【避错警示】实数没有方向,只有大小:即实数可以是0,正数大于0,负数小于0, 实数可以比较大小,复数具有向量的两个要素:即大小和方向,所以虚数不能比 较大小.如果忽视了实数和虚数的差异,就会出现错误.
易错三 忽视复数相等的充要条件
【案例3】已知x是实数,y是纯虚数,且满足(2x+1)+i=y+(y-1)i,求x与y的值.
【解析】依题意,设y=bi(b∈R,b≠0),代入关系式(2x+1)+i=y+(y-1)i,整理得
(2x+1)+i=-b+(b-1)i,
根据复数相等的充要条件,可得
2x 1 －b， 1 b－1，
i 1 2 3i
1－i
1 i2 019
1 i1 010
i i2 020
i1
1
008
i2
i i4505
－1 i4252
=i-1,所以 z=-1-i.
【错因探究】本题在复数的除法运算中,对分母实数化过程中容易出错,虚数单 位in,n∈N+的周期性也是易错点. 【避错警示】1.在复数的乘法和除法运算中,力争少口算,不跳步计算,这样可 以避免计算错误. 2.注意观察分析复数运算中分子分母的差异和联系,通过“技巧性变换”简化 计算.
2020新教材高中数学第十章复数10.1.1复数的概念练习新人教B版必修第四册
10.1.1复数的概念课后篇巩固提升1.复数i-3的虚部是()A.3B.-3C.1D.ii-3的虚部是1.故选C.2.若z=(m2+m-6)+(m-2)i为纯虚数,则实数m的值为()A.-2B.2C.3D.-3z=(m2+m-6)+(m-2)i为纯虚数,∴{m 2+m-6=0,m-2≠0,解得m=-3.故选D.3.(多选题)下列命题中,假命题是()A.若x,y∈C则x+y i=1+i的充要条件是x=y=1B.若a,b∈R且a>b,则a+i>b+iC.若x2+y2=0,则x=y=0D.若a∈R,则(a+1)i为纯虚数由于x,y∈C,∴x+y i不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,A是假命题.B由于两个虚数不能比较大小,∴B是假命题.C当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,∴C是假命题.D当a=-1时,a∈R,但(a+1)i=0不是纯虚数.∴D是假命题.4.复数4-3a-a2i与复数a2+4a i相等,则实数a的值为()A.1B.1或-4C.-4D.0或-4{4-3m =m 2,-m 2=4m .解得a=-4.故选C .5.以2i -√5的虚部为实部,以√5i -2的实部为虚部的新复数是( )A.2+iB.2-2iC.-√5+√5iD.√5+√5i2i -√5的虚部为实部,以√5i -2的实部为虚部的新复数是2-2i .故选B .6.复数z=a 2-b 2+(a+|a|)i(a ,b ∈R )为实数的充要条件是( )A.|a|=|b|B.a<0且a=-bC.a>0且a ≠bD.a ≤0z 为实数的充要条件是a+|a|=0,故a ≤0.7.若z=sin θ-35+i (cos m -45)是纯虚数,则tan(θ-π)的值为( )A.34 B.43C.-34D.-43z=sin θ-35+i (cos m -45)是纯虚数,∴sin θ-35=0且cos θ-45≠0,即sin θ=35且cos θ≠45,即cos θ=-45,则tan θ=35-45=-34,则tan(θ-π)=tan θ=-34,故选C.8.如果(m 2-1)+(m 2-2m )i >1,则实数m 的值为 .{m 2-2m =0,m 2-1>1,解得m=2.9.如果x-1+y i 与i -3x 为相等复数,x ,y 为实数,则x= ,y= .,{m -1=-3m ,m =1, ∴{m =14,m =1.110.下列命题中:①若a ∈R ,则a i 为纯虚数;②若a ,b ∈R ,且a>b ,则a+i >b+i;③两个虚数不能比较大小;④x+y i 的实部、虚部分别为x ,y.其中正确命题的序号是 .当a=0时,0i =0,故①不正确;②虚数不能比较大小,故②不正确;③正确;④x+y i 中未标注x ,y ∈R ,故若x ,y 为复数,则x+y i 的实部、虚部未必是x ,y.11.已知集合M={1,2,(a 2-3a-1)+(a 2-5a-6)i},N={-1,3},若M ∩N={3},则实数a= .M ∩N={3}知,3∈M ,即有(a 2-3a-1)+(a 2-5a-6)i =3, 所以{m 2-3m -1=3,m 2-5m -6=0,解得a=-1.112.当实数m 为何值时,复数z=m 2+m -6m +(m 2-2m )i 为(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?当{m 2-2m =0,m ≠0,即m=2时,复数z 是实数;(2)当m 2-2m ≠0,且m ≠0,即m ≠0且m ≠2时,复数z 是虚数;(3)当{m 2+m -6m =0,m 2-2m ≠0,即m=-3时,复数z 是纯虚数.。
新教材高中数学第10章复数的三角形式及其运算教案新人教B版必修第四册
新教材高中数学新人教B 版必修第四册：*10.3 复数的三角形式及其运算学 习 目 标核 心 素 养1.通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.1.借助复数的三角形式，培养数学抽象的核心素养.2.通过复数三角形式的运算，培养数学运算的核心素养.前面已经学习过了复数的两种表示．一是代数表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )；二是几何表示，复数z 既可以用复平面上的点Z (a ，b )表示，也可以用复平面上的向量OZ →来表示．现在需要学习复数的三角表示，即用复数z 的模和辐角来表示复数．思考：复数的三角形式在复数的运算中有怎样的作用？1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角主值一般地，如果非零复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )在复平面内对应点Z (a ，b )，且r 为向量OZ →的模，θ是以x 轴正半轴为始边、射线OZ 为终边的一个角，则r ＝|z |＝a 2＋b 2，根据任意角余弦、正弦的定义可知cos θ＝a r ，sin θ＝b r.因此a ＝r cos θ，b ＝r sin θ，如图所示，从而z ＝a ＋b i ＝(r cos θ)＋(r sin θ)i ＝r (cos θ＋isin θ)，上式的右边称为非零复数z ＝a ＋b i 的三角形式(对应地，a ＋b i 称为复数的代数形式)，其中的θ称为z 的辐角．显然，任何一个非零复数z 的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z 的辐角主值，记作arg z .2．复数三角形式的乘、除运算若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则 (1)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)×r 2(cos θ2＋isin θ2) ＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． (2)z 1z 2＝r 1cos θ1＋isin θ1r 2cos θ2＋isin θ2＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．(3)[r (cos θ＋isin θ)]n＝r n[cos(nθ)＋isin(nθ)].1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)复数的辐角是唯一的．( ) (2)z ＝cos θ－isin θ是复数的三角形式． ( ) (3)z ＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式． ( ) (4)复数z ＝cos π＋isin π的模是1，辐角的主值是π. ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．复数z ＝1＋i 的三角形式为z ＝________. 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 [r ＝2，cos θ＝12＝22，又因为1＋i 对应的点位于第一象限， 所以arg(1＋i)＝π4.所以z ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4.]3．复数6⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π2的代数形式为________．6i [6⎝⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π2＝6cos π2＋6isin π2＝6i.]4．计算：(1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝________；(2)6⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3÷4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝________.(1)24i (2)334＋34i [(1)6⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝24⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6 ＝24i.(2)6⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3÷4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝64⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π6＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π6＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝334＋34i.]复数的代数形式与三角形式的互化角度1 代数形式化为三角形式【例1】 把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)3＋i ； (2)2－2i.[解] (1)r ＝3＋1＝2，因为3＋i 对应的点在第一象限， 所以cos θ＝32，即θ＝π6， 所以3＋i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6.(2)r ＝2＋2＝2，cos θ＝22， 又因为2－2i 对应的点位于第四象限， 所以θ＝7π4.所以2－2i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4.复数的代数形式化为三角形式的步骤(1)先求复数的模． (2)决定辐角所在的象限． (3)根据象限求出辐角． (4)求出复数的三角形式．提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．角度2 三角形式化为代数形式【例2】 分别指出下列复数的模和辐角主值，并把这些复数表示成代数形式． (1)4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6；(2)32(cos 60°＋isin 60°)； (3)2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3－isin π3.[解] (1)复数4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6的模r ＝4，辐角主值为θ＝π6.4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝4cos π6＋4isin π6＝4×32＋4×12i ＝23＋2i. (2)32(cos 60°＋isin 60°)的模r ＝32，辐角主值为θ＝60°. 32(cos 60°＋isin 60°)＝32×12＋32×32i ＝34＋34i. (3)2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3－isin π3＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π.所以复数的模r ＝2，辐角主值为53π.2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π＝2cos 53π＋2isin 53π＝2×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32i.＝1－3i.复数的三角形式z ＝rcos θ＋isin θ必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i 跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例3.[跟进训练]1．下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式． (1)12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4－isin π4；(2)－12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3；(3)12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4＋icos 3π4；(4)cos 7π5＋isin 7π5.[解] 根据复数三角形式的定义可知，(1)、(2)、(3)不是，(4)是复数的三角形式． (1)原式＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4. (2)原式＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝12⎝⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3.(3)原式＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－3π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－3π4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4.复数三角形式的乘、除运算(1)8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π；(2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]； (3)4÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4.[解] (1)8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π＝32⎝⎛⎭⎪⎫cos 136π＋isin 136π＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝32⎝⎛⎭⎪⎫32＋12i ＝163＋16i.(2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)] ＝32[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)] ＝62(cos 75°＋isin 75°)＝62⎝ ⎛⎭⎪⎫6－24＋6＋24i ＝6－238＋6＋238i ＝3－34＋3＋34i. (3)4÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4＝4(cos 0＋isin 0)÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝22－22i.1．乘法法则：模相乘，辐角相加． 2．除法法则：模相除，辐角相减．3．复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角为n 倍．[跟进训练] 2．计算：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π32；(2)2(cos 75°＋isin 75°)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12i ；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3.[解] (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π32⎝⎭33＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.(2)12－12i ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22－22i ＝22⎝⎛⎭⎪⎫cos 74π＋isin 74π， 所以2(cos 75°＋isin 75°)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12i＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 512π＋isin 512π×⎣⎢⎡⎦⎥⎤22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 74π＋isin 74π＝2×22⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋74π＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋74π ＝cos 2612π＋isin 2612π＝cos π6＋isin π6＝32＋12i. (3)因为－12＋32i ＝cos 23π＋isin 23π，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 23π＋isin 23π÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－π3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝14＋34i.复数三角形式乘、除运算的几何意义【例4】 在复平面内，把复数3－3i 对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转3，求所得向量对应的复数．[解] 因为3－3i ＝23⎝⎛⎭⎪⎫32－12i⎝⎭66所以23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋π3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 136π＋isin 136π＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝3＋3i ，23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32π＋isin 32π＝－23i.故把复数3－3i 对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i ，按顺时针旋转π3得到的复数为－23i.两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量，，然后把向量绕点O 按逆时针方向旋转角θ2如果θ2＜0，就要把绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量，表示的复数就是积z 1z 2.[跟进训练]3．在复平面内，把与复数334＋34i 对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转π3，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数．(用代数形式表示)[解]334＋34i ＝32⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6，由题意得32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝32×2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π2＝3i ，即与所得向量对应的复数为3i.知识：(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍． (2)复数0的辐角是任意的．(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角主值，通常记作arg z ，且0≤arg z ＜2π. (4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等． 方法：两个复数三角形式乘法的法则可简记为：模相乘，辐角相加，并且可以作以下推广； (1)有限个复数相乘，结论亦成立．即z 1·z 2…z n ＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)…r n (cos θn ＋isin θn )＝r 1·r 2…r n [cos(θ1＋θ2＋…＋θn )＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn )]．(2)当z 1＝z 2＝…＝z n ＝z 时，即r 1＝r 2＝…＝r n ＝r ，θ1＝θ2＝…＝θn ＝θ，有z n＝[r (cosθ＋isin θ)]n ＝r n [cos(nθ)＋isin(nθ)]，这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n 倍．1．复数1－3i 的辐角主值是( ) A ．53π B ．23π C ．56π D ．π3A [因为1－3i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π，所以1－3i 的辐角主值为53π.]2．复数9(cos π＋isin π)的模是________． [答案] 93．复数－1＋3i 的辐角主值是________． 23π [将复数－1＋3i 化为三角形式：－1＋3i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 23π，即得－1＋3i 的辐角主值为23π.]4．(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)＝________. i [(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°) ＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°) ＝cos 90°＋isin 90° ＝i.]5．2(cos 300°＋isin 300°)÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 34π＋isin 34π＝________.－1＋32＋3－12i [2(cos 300°＋isin 300°)÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 34π＋isin 34π＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 34π＋isin 34π＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－34π＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－34π＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 1112π＋isin 1112π＝－1＋32＋3－12i.]。
人教B版高中数学必修第四册课后习题 第十章 复数 10.3 复数的三角形式及其运算
*10.3 复数的三角形式及其运算课后训练巩固提升1.“两个复数z1,z2的模与辐角分别相等”是“z1=z2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件z1,z2的模与辐角分别相等时,一定可以推出z1=z2,充分性成立;但当z1=z2时,不一定非要z1,z2的辐角相等,它们可以相差2π的整数倍,必要性不成立.故选A.2.已知复数z1=√2(cosπ12+isinπ12),z2=√3cos π6+isin π6,则z1z2的代数形式是( )A.√6(cosπ4+isinπ4)B.√6(cosπ12+isinπ12)C.√3−√3iD.√3+√3i解析:z 1z 2=√2×√3cos (π12+π6)+isinπ12+π6=√6(cos π4+isin π4)=√6(√22+√22i)=√3+√3i.故选D.3.设3+4i 的辐角主值为θ,则(3+4i)i 的辐角主值是( ) A .π2+θB .π2-θC.θ-π2D .3π2-θ解析:根据复数乘法的几何意义得,(3+4i)i 对应的向量是由复数3+4i 对应的向量绕原点O 沿逆时针方向旋转π2得到的,因为3+4i 的辐角主值为θ,所以θ∈0,π2,所以(3+4i)i 的辐角主值为θ+π2,故选A.4.设z 1=1-2i,z 2=1+i,z 3=-1+3i,则arg z 1+arg z 2+arg z 3=( ) A .π2B .3π2C .5π2D .7π2z 1×z 2×z 3=(1-2i)(1+i)(-1+3i)=(3-i)(-1+3i)=10i, ∴argz 1+argz 2+argz 3=π2+2kπ,k∈Z.∵argz 1∈(3π2,2π),argz 2∈(0,π2),argz 3∈π2,π,∴argz 1+argz 2+argz 3∈(2π,7π2),∴argz 1+argz 2+argz 3=5π2.5.(多选题)2÷√2(cos π5+isin π5)的三角形式是( )A.2√2(cos π5+isin π5)B .√2(cos9π5+isin9π5)C .√2[cos (-π5)+isin (-π5)] D .√2(cos 4π5+isin4π5)解析:原式=2(cos0+isin0)√2(cos π5+isin π5)=√2cos -π5+isin -π5=√2cos (2π-π5)+isin (2π-π5)=√2(cos 9π5+isin 9π5),故选BC.6.复数z=cos π6-isin π6的辐角主值为 ,虚部是 .-12解析:z=cos π6-isin π6=cos 2π-π6+isin 2π-π6=cos11π6+isin11π6.z 的虚部为-sin π6=-12.7.arg(3-i)+arg(2-i)= .解析:(3-i)(2-i)=5-5i=5√2cos (-π4)+isin (-π4),∵arg(3-i)∈(3π2,2π),arg(2-i)∈(3π2,2π),∴arg(3-i)+arg(2-i)∈(3π,4π). ∴arg(3-i)+arg(2-i)=-π4+4π=15π4.8.将复数z=1+itanθ1-itanθ(11π4<θ<3π)化为三角形式,并求其辐角主值.:z=1+itanθ1-itanθ=1+isinθcosθ1-i sinθcosθ=cosθ+isinθcosθ-isinθ=cosθ+isinθcos (-θ)+isin (-θ)=cos2θ+isin2θ.∵11π4<θ<3π,∴11π2<2θ<6π,∴3π2<2θ-4π<2π,∴argz=2θ-4π.9.设复数z 1=√3+i,复数z 2满足|z 2|=2,已知z 1z 22对应的点在虚轴的负半轴上,且arg z 2∈(0,π),求z 2的代数形式.z 1=2(cos π6+isin π6),设z 2=2(cosα+isinα),α∈(0,π), 所以z 1z 22=8[cos (2α+π6)+isin (2α+π6)].由题意知2α+π6=2kπ+3π2(k ∈Z), 所以α=kπ+2π3(k ∈Z),又α∈(0,π),所以α=2π3,所以z 2=2(cos 2π3+isin2π3)=-1+√3i.。
复数的三角形式及其运算课时作业课件新人教B版必修第四册
时间：45 分钟 一、选择题每小题5分，共40分 1．复数 1＋ 3i 的三角形式是( B ) A．cosπ3＋isin3π B．2cosπ3＋isinπ3 C．cosπ6＋isinπ6 D．2cosπ6＋isinπ6
2．已知复数 z1＝cos23π＋isin23π，z2＝cos161π＋isin161π，则2zz21的 辐角的主值是( B )
π A.6
B.5பைடு நூலகம்π
3 C.2π
D．－π2
3．若复数 z＝(a＋i)2 的辐角是32π，则实数 a 的值是( B )
A．1
B．－1
C．－ 2
D．－ 3
解析：∵z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg z＝32π， ∴a2－1＝0 ，∴a＝－1，本题选 B.
a<0
4.12(cos30°＋isin30°)×2(cos60°＋isin60°)×3(cos45°＋isin45°)
三、解答题写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，12、 13、15 题各 12 分，14 题 6 分，共 42 分
12．写出下列复数的三角形式： (1)ai(a∈R)；(2)tanθ＋i(2π<θ<π)； (3)－ 3(sinθ－icosθ)．
解：(1)ai＝a－caoscπ2o＋s32πis＋inπ2isina32≥π0a <0
A．2π－3θ
B．3θ－2π
C．3θ
D．3θ－π
解析：cocos2sθθ＋ －iissiinn2θθ＝cosco－s2θθ＋ ＋iissiinn2－θ θ ＝cos3θ＋isin3θ. ∵π<θ<54π，∴3π<3θ<145π， ∴π<3θ－2π<74π，故本题应选 B.
10.3复数的三角形式及其运算课件(人教B版)
rcos θ a
rsin θ
x
学习目标
新课讲授
概念生成
课堂总结
复数的三角情势
一般地，任何一个复数 z = a + bi (a，b∈R) 都可以表示成
复数的模
三角情势
z = a + bi = r (cos θ + isin θ)
r = |z| =
2 + 2
代数情势
辐角
cos θ =
sin θ =
又因为 (3 + i)(2 + i)(1 + i) = (5 + 5i)(1 + i) = 10i，而 arg(10i) = 2，
所以存在整数 k，使得 α + β + γ = 2 + 2kπ；
又由 α，β，γ 都是锐角，所以 k = 0，从而 α + β + γ = 2 .
x
学习目标
新课讲授
课堂总结
要点概括整合
代数情势
互化
表示情势
三角情势
复数的三角表达式
辐角、辐角主值
复数乘法运算的三角表示及其几何意义
复数三角情势的乘除法
复数除法运算的三角表示及其几何意义
即 1 (cos1 + sin1 ) ⋅ 2(cos 2 + sin 2) = ��1 2[(cos1 + 2) + sin(1 +
2)]
学习目标
新课讲授
课堂总结
问题 2：如何用文字语言来表述复数乘法的三角表示公式？
r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 ) r1r2 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
新高考 高中数学 必修四 课件+类型题10.3 复数的三角形式及其运算
显然，任何一个非零复数 z 的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差 2π的整数倍.
特别地，在［0，2π）内的辐角称为 z 的辐角主值，记作 arg z.
练：
1.写出复数z＝1+
i的三角形式.
1
3
解：方法1：因为|z|＝ 1 ( 3) ＝2，cos θ＝
3.写出下列复数的辐角主值
（1） 3 i
（2） ai
解：（1）因为r＝ ( 3) (1) ＝2，所以cos θ＝
2
2
又因为θ∈［0，2π），所以其辐角主值θ＝
1
3
sin θ＝
2
2
7
π.
6
（2）当a>0时，r＝a，cos θ＝0，sin θ＝-1，其辐角主值θ＝
3
；
2
当a＝0时，其辐角主值θ＝0；
求 r 得值，并写出 的任意一个值，探讨 r , 与 z 1+ 3i 的实部、虚部之间的关系.
答案：（1） Z (1,3)
（2） r 2,
,1 r cos , 3 r sin
3
一般地，如果非零复数 z a bi (a,b R ) 在复平面内对应点 Z (a, b) ，且 r 为向
二、复数的乘法的三角表示
例2、设z1＝r1（cos θ1+isin θ1），z2＝r2（cos θ2+isin θ2），试求出z1z2.
解：z1z2＝r1（cos θ1+isin θ1）×r2（cos θ2+isin θ2）
＝r1r2［（cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2）+i（sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2）］
新教材高中数学第十章复数.复数的三角形式及其运算练习新人教B版必修第四册
A.1+√3i
B.1-√3i
C.-1+√3i
D.-1-√3i
π
解析 4(cosπ+isinπ)÷[2 (cos
π
π
+ isin 3 )]=(
3
π
3
)
π
+ isin 3 )]
π
=2[cos (π- 3 ) + isin (π- 3 )]
=2(cos
2π
3√3
2
2
π
2
i
3√3
2
2
π
+ isin )×3(cos
2
π
π
2π
+ isin
π
+ isin )=(
6
3
D.- −
i
6
3
B. −
i
π
i
π
π
6
π
+ isin )
6
π
=3[cos ( 2 + 6 ) + isin ( 2 + 6 )]
=3(cos
3
=-2 +
3
3√3
2
故选 C.
i.
2π
3
)
)
)
答案 C
π
2
2
当 k=0 时,得 cos +isin =i.
7π
7π
6
6
当 k=1 时,得 cos
+isin
11π
11π
6
6
当 k=2 时,得 cos
2.复数-i 的一个立方根是 i,它的另外两个立方根是
高中数学第十章复数10.3复数的三角形式及其运算课时分层作业含解析B版第四册
课时分层作业（八) 复数的三角形式及其运算(建议用时：40分钟）一、选择题1．复数错误!－错误!i的三角形式是(）A．cos错误!＋isin错误!B．cos错误!＋isin错误!C．cos错误!－isin错误!D．cos错误!＋isin错误!A［错误!－错误!i＝cos错误!π＋isin错误!π＝cos错误!＋isin错误!＝cos错误!＋isin错误!.］2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为（）A．π4B．错误!或错误!C．2kπ＋错误!(k∈Z) D．kπ＋错误!(k∈Z) D[因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ，所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1，所以θ＝错误!＋kπ，(k∈Z)．］3．复数sin 4＋icos 4的辐角主值为()A．4 B．错误!－4 C．2π－4 D．错误!－4D[sin 4＋icos 4＝cos错误!＋isin错误!.]4．复数sin 50°－isin 140°的辐角主值是(）A．150°B．40°C．－40°D．320°D［sin 50°－isin 140°＝cos（270°＋50°)＋isin(180°＋140°)＝cos 320°＋isin 320°。
]5．如果θ∈错误!，那么复数（1＋i）（cos θ－isin θ）的三角形式是（)A．错误!错误!B．错误!错误!C．错误!错误!D．2错误!A［因为1＋i＝错误!错误!，cos θ－isin θ＝cos（2π－θ)＋isin(2π－θ），所以(1＋i）(cos θ－isin θ）＝错误!错误!＝错误!错误!。
］二、填空题6．已知z＝cos错误!＋isin错误!，则arg z2＝________.错误!π[因为arg z＝错误!,所以arg z2＝2arg z＝2×错误!＝错误!.］7．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转π2，所得到的向量对应的复数是________．1－i[(1＋i)错误!＝错误!错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＝1－i.］8．设复数z1＝1＋错误!i,z2＝错误!＋i，则错误!的辐角主值是________．错误!［由题知，z1＝2错误!,z2＝2错误!，所以z1z2的辐角的主值为错误!－错误!＝错误!。
第十章 10.3 第二课时 复数三角形式的乘除法2019(秋)数学 必修 第四册 人教B版(新教材)改题型
题型一 复数三角形式的乘法
【例 1】
(1)2cos
23π＋isin
2π
3
·3cos
π6＋isin
π6；
(2)3(cos 20°＋isin 20°)·[2(cos 50°＋isin 50°)][10(cos 80°＋isin 80°)]；
(3)(－1＋i)
3cos
74π＋isin
7π
4
.
解 (1)原式＝2×3cos23π＋π6＋isin23π＋π6＝6cos 56π＋isin 56π＝－3 3＋3i.
＝cos－n3π＋isin－n3π，由于 n∈N，∴n 最小值为 5. 答案 C
28
课前预习
课堂互动
@《创新设计》 核心素养
@《创新设计》
2.复数z＝(sin 25°＋icos 25°)3的三角形式是( )
A.cos 195°＋isin 195°
B.sin 75°＋icos 75°
C.cos 15°＋isin 15°
@《创新设计》
第二课时 复数三角形式的乘除法
课标要求
素养要求
1.掌握复数的三角形式的乘、除 从向量的角度理解复数的三角形
及乘方运算.
式的乘、除、乘方运算及几何意
2.掌握复数的代数形式与三角形 义，培养学生的逻辑推理素养，
式的运算特点.
提升数学运算素养.
1
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
教材知识探究
设复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1) ×r2(cos θ2＋isin θ2)＝___r_1_r_2[_c_o_s_(θ_1_＋__θ_2_)＋__i_s_in_(_θ_1_＋__θ_2)_]__，即由两个复数z1，z2的 三角形式可得z1z2的三角形式：z1的模乘以z2的模等于________z_1_z2_的__模_________， _z_1_的__辐__角__与__z_2的__辐__角__之__和__ 是z1z2的辐角.
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10.3复数的三角形式及其运算课后篇巩固提升基础巩固1.12(cos 30°+isin 30°)×2(cos 60°+isin 60°)×3(cos 45°+isin 45°)=()A.3√22+3√22i B.3√22−3√22iC.-3√22+3√22i D.-3√22−3√22i+isin30°)×2(cos60°+isin60°)×3(cos45°+isin45°)=12×2×3[cos(30°+60°+45°)+isin(30°+60°+45°)]=3(cos135°+isin135°)=3(-√22+√22i)=-3√22+3√22i.故选C.2.(cosπ2+isinπ2)×3(cosπ6+isinπ6)=()A.32+3√32i B.32−3√32iC.-32+3√32i D.-32−3√32icosπ2+isinπ2)×3(cosπ6+isinπ6)=3[cos(π2+π6)+isin(π2+π6)]=3(cos2π3+isin2π3)=-32+3√32i.故选C.3.4(cos π+isin π)÷[2(cosπ3+isinπ3)]=()A.1+√3iB.1-√3iC.-1+√3iD.-1-√3iπ+isinπ)÷[2(cosπ3+isinπ3)]=2[cos(π-π3)+isin(π-π3)]=2(cos2π3+isin2π3)=-1+√3i.故选C.4.2÷[2(cos 60°+isin 60°)]=()A.12+√32i B.12−√32iC.√32+12i D.√32−12i÷2[(cos60°+isin60°)]=2(cos0°+isin0°)÷[2(cos60°+isin60°)] =cos(0°-60°)+isin(0°-60°)=cos(-60°)+isin(-60°)=1 2−√32i.故选B.5.9(cos 3π+isin 3π)÷[3(cos 2π+isin 2π)]=()A.3B.-3C.√3iD.-√3iπ+isin3π)÷[3(cos2π+isin2π)] =3[cos(3π-2π)+isin(3π-2π)]=3(cosπ+isinπ)=-3.故选B.6.复数z=(sin 25°+icos 25°)3的三角形式是()A.cos 195°+isin 195°B.sin 75°+icos 75°C.cos 15°+isin 15°D.cos 75°+isin 75°(sin25°+icos25°)3=(cos65°+isin65°)3=cos195°+isin195°.故选A.7.复数z=(cos 40°+isin 40°)6的结果是()A.12+√32i B.12−√32iC.-12+√32i D.-12−√32i(cos40°+isin40°)6 =cos240°+isin240°=-12−√32i.故选D.8.2(cos 15°+isin 15°)×5(√32+12i)=.+isin15°)×5(√32+12i)=2(cos15°+isin15°)×5(cos30°+isin30°) =10[cos(15°+30°)+isin(15°+30°)]=10(cos45°+isin45°)=10(√22+√22i)=5√2+5√2i.√2+5√2i9.12(cos 60°-isin 240°)×6(cos 30°-isin 210°)=.-isin240°)×6(cos30°-isin210°)=12(cos60°+isin60°)×6(cos30°+isin30°)=3[cos(60°+30°)+isin(60°+30°)]=3(cos90°+isin90°)=3i.10.2(cos 210°+isin 210°)×5(-sin 30°+isin 60°)=.+isin210°)×5(-sin30°+isin60°)=10(cos210°+isin210°)×(cos120°+isin120°)=10[cos(210°+120°)+isin(210°+120°)]=10(cos330°+isin330°)=10(√32-12i)=5√3-5i.√3-5i11.在复平面内,把与复数-2+2i 对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转75°,求与所得向量对应的复数.(-2+2i)×(cos75°+isin75°)=2√2(cos135°+isin135°)×(cos75°+isin75°) =2√2[cos(135°+75°)+isin(135°+75°)] =2√2(cos210°+isin210°) =2√2(-√32-12i ) =-√6−√2i .能力提升1.复数2+i 和-3-i 的辐角主值分别是α,β,则tan(α+β)等于( ) A.√3 B.-√33C.-1D.12+i 和-3-i 的辐角主值分别是α,β,所以tan α=12,tan β=13,所以tan(α+β)=tan α+tan α1-tan αtan α=1.故选D .2.复数-i 的一个立方根是i,它的另外两个立方根是 ( )A.√32±12i B.-√32±12iC.±√32+12iD.±√32−12ii =cos 3π2+isin3π2∴-i 的立方根为cos3π2+2απ3+isin3π2+2απ3(其中,k=0,1,2).当k=0时,得cos π2+isin π2=i .当k=1时,得cos 7π6+isin7π6=-√32−12i .当k=2时,得cos 11π6+isin11π6=√32−12i .故选D .3.把复数z 1与z 2对应的向量αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别按逆时针方向旋转π4和5π3后,重合于向量αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且模相等,已知z 2=-1-√3i,则复数z 1的代数式和它的辐角主值分别是( ) A.-√2+√2i,3π4B.-√2−√2i,3π4C.-√2+√2i,π4 D.-√2−√2i,π4,z 1(cosπ4+isin π4)=z 2(cos5π3+isin5π3). 又z 2=-1-√3i =2(cos4π3+isin4π3),∴z 1=2(cos4π3+isin 4π3)(cos 5π3+isin 5π3)cos π4+isinπ4=2[cos (3π-π4)+isin (3π-π4)] =-√2+√2i, z 1的辐角主值为3π4.故选A .4.在复平面内,复数z=a+b i(a ∈R ,b ∈R )对应向量αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点),设|αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ,以射线Ox 为始边,OZ 为终边旋转的角为θ,则z=r (cos θ+isin θ),法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z 1=r 1(cos θ1+isin θ1),z 2=r 2(cos θ2+isin θ2),则z 1z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:z n =[r (cos θ+isin θ)]n =r n(cos n θ+isin n θ),则(-1+√3i)10=( ) A.1 024-104√3i B.-1 024+1 024√3i C.512-512√3iD.-512+512√3i:z n =[r (cos θ+isin θ)]n =r n (cos n θ+isin n θ),得(-1+√3i)10=210[cos (10×2π3)+isin (10×2π3)]=1024(cos20π3+isin20π3)=1024(-12+√32i ) =-512+512√3i .故选D .5.设复数z=cos 23π+isin 23π,则11-α+11-α2=( )A.0B.√33i C.12 D.32+11-α2=11-α+αααα-α2 =11-α+αα-α =11-cos 23π-isin 23π+cos 23π-isin 23π-2isin 23π=12sin 2π3-i·2sin π3cosπ3-cos (-23π)+isin (-23π)√3[cos (-π2)+isin (-π2)] =cos0+isin02sin π3[cos (-π6)+isin (-π6)]-1√3cos (-16π)+isin (-16π)]=√3cos π6+isinπ6-√32+12i )=√33i .故选B .6.设(√32+α2i )2008=f (x )+i g (x )[f (x ),g (x )均为实系数多项式],则f (x )的系数之和是( )A.-√32B.√32C.-12D.12x=1,则(√32+α2i )2008=f (x )+i g (x )⇒(cos π6+isin π6)2008=f (1)+i g (1)⇒(cos π6+isin π6)4=f (1)+i g (1)⇒cos2π3+isin2π3=f (1)+i g (1)=-12+√32i .故选C .7.6÷[3(cos 135°+isin 135°)]= .÷3[(cos135°+isin135°)]=6(cos0°+isin0°)÷[3(cos135°+isin135°)] =2[cos(0°-135°)+isin(0°-135°)]=4[cos(-135°)+isin(-135°)] =-2√2-2√2i .2√2-2√2i 8.已知复数z=cos2π3+isin2π3,则z 3+α2α2+α+2= .,有z 3+α2α2+α+2=1+z 2=-z=12−√32i .−√32i 9.复数z=16(cos 40°+isin 40°)的四次方根分别是 .16(cos40°+isin40°)的四次方根分别是√164(ααα40°+k·360°4+αααα40°+k·360°4)(k=0,1,2,3),当k=0时,2(cos10°+isin10°); 当k=1时,2(cos100°+isin100°); 当k=2时,2(cos190°+isin190°); 当k=3时,2(cos280°+isin280°).+isin 10°),2(cos 100°+isin 100°),2(cos 190°+isin 190°),2(cos 280°+isin 280°)10.设复数z 1=√3+i,复数z 2满足|z 2|=2,已知z 1·α22的对应点在虚轴的负半轴上,且arg z 2∈(0,π),求z 2的代数形式.z 1=2(cosπ6+isin π6),设z 2=2(cos α+isin α),α∈(0,π),所以z 1α22=8[cos (2α+π6)+isin (2α+π6)]. 由题设知2α+π6=2k π+3π2(k ∈Z ),所以α=k π+2π3(k ∈Z ).又α∈(0,π),所以α=2π3.所以z 2=2(cos 2π3+isin2π3)=-1+√3i .11.已知复数z=√32−12i,ω=√22+√22i,复数αα,z 2ω3在复平面上所对应的点分别为P ,Q.求证:△OPQ是等腰直角三角形(其中O 为原点). z=√32−12i =cos (-π6)+isin (-π6) ω=√22+√22i =cos π4+isin π4, ∴z ω=cos (-π6+π4)+isin (-π6+π4)=cos π12+isin π12,∴αα=cos (-π12)+isin (-π12).又z 2ω3=[cos (-π3)+isin (-π3)](cos3π4+isin 3π4) =cos 5π12+isin 5π12,因此OP ,OQ 的夹角为5π12−(-π12)=π2. ∵OP ⊥OQ ,又∵|OP|=|z|=1,|OQ|=|z 2|=1,∴|OP|=|OQ|,∴△OPQ 为等腰直角三角形.。