2013高考数学(文)一轮复习课件：函数的单调性与最值
2023届高考数学一轮复习讲义：第7讲 函数的单调性与最值
第7讲函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是或，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 (1)∀x ∈I ，都有 ； (2)∃x 0∈I ，使得(1)∀x ∈I ，都有 ； (2)∃x 0∈I ，使得结论M 为最大值M 为最小值➢考点1 函数的单调性[名师点睛]确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性． 1．（2022·全国·高三专题练习）函数2()23f x x x -- ） A ．(,1]-∞B ．[3,)+∞C ．(,1]-∞-D ．[1,)+∞2．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性.[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数222x x y -++=的单调递增区间是（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-， 2．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（ ）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,2-D ．()2,6-3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（ ） A ．递增区间是(0,)+∞ B ．递减区间是(,1)-∞- C ．递增区间是(,1)-∞-D ．递增区间是(1,1)-4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()()12log g x f x =的单调递增区间为（ ）A ．(],3-∞-，[]0,3B ．[]3,0-，[)3,+∞C ．(),5-∞-，[)0,1D ．(]1,0-，()5,+∞5．（2022·广西柳州·三模）下列函数在(),0∞-上是单调递增函数的是（ ） A ．tan y x =B ．()ln y x =-C ．12xy =D ．1y x=-6．（2022·全国·高三专题练习）函数y =|-x 2+2x +1|的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是_________．7．（2022·全国·高三专题练习）函数216y x x =-+_____． 8．（2022·福建·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =________. ①定义域为R ；②值域为(,1)-∞；③对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，均有()()12120f x f x x x ->-.9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）1x=+lg 4xx -．判断并证明函数f （x ）的单调性；10．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为实数集R 的函数()11222xx f x +-=+．判断函数f （x ）在R 上的单调性，并用定义证明．➢考点2 函数单调性的应用1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()()e e 2x xx f x --=，则21log3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，342b f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，432c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的大小关系为（ ）A ．b ac << B ．a b c << C ．c a b << D ．a c b <<2．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()1e ,111,1x x f x x x x-⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则()f x 的最大值为______．3．（2022·河北唐山·二模）已知函数()f x ()()21f x f x >-，则x 的取值范围是（ ） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()ax f x x a-=-在(2,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞ B ．(1,1)-C ．(-∞，1)(1-⋃，2]D ．(-∞，1)(1-⋃，2)[举一反三]1．（2022·辽宁朝阳·高三开学考试）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x ->-，记(2)(3)(1),,23f f a f b c -===，则（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<2．（2022·重庆·模拟预测）设函数()()()32200x xx f x x x -⎧-+>⎪=⎨-≤⎪⎩，若ln 2a =，0.23b =，0.3log 2c =，则（ ）A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f a f c >>C ．()()()f a f c f b >>D ．()()()f c f a f b >>3．（2022·全国·高三专题练习）函数()41f x x x =++在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为（ ） A ．153,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]3,4C ．153,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．154,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()1y f x =-是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(),1-∞-单调递减，()00f =，则()()210f x f x +<的解集为（ ）A ．()(),20,-∞-⋃+∞B ．()2,0-C ．312,,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．（2022·河北·模拟预测）设函数()()212,1,2,1,x x f x x x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩则不等式()()340f f x +->的解集为（ ） A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C ．()7,7-D ．()(),77,-∞-⋃+∞6．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（ ） A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,17．（2022·全国·高三专题练习）函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，则m 的取值范围是（ ）A ．[)3,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],5-∞D ．(],3-∞-8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2313,11,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．11,,63⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数()21x af x x -=+在区间()b +∞，上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A ．2a >-B ．1b >-C ．1b ≥-D ．2a <-10．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a 的范围是_______.11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )m ≠1)在区间(0，1]上是减函数，则实数m 的取值范围是________．12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足：①(0)0f =；②在[13]，上是减函数；③(1)(1)f x f x +=-.请写出一个满足以上条件的()f x =___________.13．（2022·全国·高三专题练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______.14．（2022·全国·高三专题练习）若函数2()4f x x ax =-+在[]1.3内不单调，则实数a 的取值范围是__________．15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =是定义在R 的递减函数，若对于任意(0x ∈，1]不等式2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+恒成立，求实数m 的取值范围.16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x x .（1）若1a ，求函数的定义域；（2）是否存在实数a，使得函数()f x在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围第7讲函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 (1)∀x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1)∀x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值➢考点1 函数的单调性[名师点睛]确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性． 1．（2022·全国·高三专题练习）函数2()23f x x x -- ） A ．(,1]-∞ B ．[3,)+∞ C ．(,1]-∞-D ．[1,)+∞【答案】B 【解析】由题意，可得2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥， 所以函数2()23f x x x =--(][),13,-∞-⋃+∞，二次函数223y x x =--的对称轴为1x =，且在(][),13,-∞-⋃+∞上的单调递增区间为[3,)+∞，根据复合函数的单调性，可知函数2()23f x x x =--[3,)+∞.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性. 【解】任取1x 、2(11)x ∈-，，且12x x <，(11)1()(1)11a x f x a x x -+==+--，则：21121212()11()()(1)(1)11(1)(1)a x x f x f x a a x x x x --=+-+=----，当0a >时，12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，函数()f x 在(11)-，上单调递减； 当0a <时，12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，函数()f x 在(11)-，上单调递增. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数y = ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-， 【答案】C 【解析】令220x x -++≥，解得12x -≤≤， 令22t x x =-++，则y =∵函数22t x x =-++在区间112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，y =内递增，∴根据复合函数的单调性可知，函数y =112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（ ） A ．(),2-∞ B ．()2,+∞ C ．()2,2- D ．()2,6-【答案】C 【解析】 令13log y u=，2412u x x =-++．由24120u x x =-++>，得26x -<<．因为函数13log y u=是关于u 的递减函数，且()2,2x ∈-时，2412u x x =-++为增函数，所以()213log 412y x x =-++为减函数，所以函数()213log 412y x x =-++的单调减区间是()2,2-．故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（ ） A ．递增区间是(0,)+∞ B ．递减区间是(,1)-∞- C ．递增区间是(,1)-∞- D ．递增区间是(1,1)-【答案】D 【解析】因为函数222,0()22,0x x x f x x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨+<⎩，作出函数()f x 的图象，如图所示：由图可知，递增区间是(1,1)-，递减区间是(,1)-∞-和()1,+∞． 故选：D ．4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()()12log g x f x =的单调递增区间为（ ）A ．(],3-∞-，[]0,3B ．[]3,0-，[)3,+∞C ．(),5-∞-，[)0,1D ．(]1,0-，()5,+∞【答案】C 【解析】因为12log y x=在()0,∞+上为减函数，所以只要求()y f x =的单调递减区间，且()0f x >.由图可知，使得函数()y f x =单调递减且满足()0f x >的x 的取值范围是()[),50,1-∞-.因此，函数()()12log g x f x =的单调递增区间为(),5-∞-、[)0,1.故选：C.5．（2022·广西柳州·三模）下列函数在(),0∞-上是单调递增函数的是（ ） A ．tan y x = B ．()ln y x =-C ．12xy =D ．1y x=-【答案】D 【解析】选项A. 函数tan y x =在(),0∞-上只有单调增区间，但不是一直单调递增，故不满足； 选项B. 由复合函数的单调性可知函数()ln y x =-在(),0∞-上单调递减，故不满足；选项C. 函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭在(),0∞-上单调递减，故不满足；选项D. 函数1y x=-在(),0∞-上单调递增，故满足，故选：D6．（2022·全国·高三专题练习）函数y =|-x 2+2x +1|的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是_________．【答案】 (12,1)-，(12,)++∞ (,12)-∞-，(1,12)【解析】作出函数y =|-x 2+2x +1|的图像，如图所示，观察图像得，函数y =|-x 2+2x +1|在(12,1)-和(12,)++∞上单调递增，在(,12)-∞和(1,12)上单调递减，所以原函数的单调增区间是(1，(1)+∞，单调递减区间是(,1-∞，(1,12).故答案为：(1-，(1)++∞；(,1-∞，(1,12)7．（2022·全国·高三专题练习）函数1y =_____． 【答案】[3,6] 【解析】226060x x x x -+≥⇒-≤，解得06x ≤≤，令()()22639x x x x μ=-+=--+，对称轴为3x =，所以函数()x μ在(),3-∞为单调递增；在[)3,+∞上单调递减.所以函数1y =[3,6]. 故答案为：[3,6]8．（2022·福建·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =________. ①定义域为R ；②值域为(,1)-∞；③对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，均有()()12120f x f x x x ->-.【答案】1()12xf x =-（答案不唯一） 【解析】 1()12x f x =-，定义域为R ；102x>，1()112x f x =-<，值域为(,1)-∞； 是增函数，满足对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，均有()()12120f x f x x x ->-.故答案为：1()12xf x =-（答案不唯一）. 9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）1x=+lg 4xx -．判断并证明函数f （x ）的单调性；【解】由题意，040x x x ≠⎧⎪-⎨>⎪⎩，解得04x <<故f （x ）的定义域为（0，4） 令441x u x x -==-，lg y u =，由于41u x=-在（0，4）单调递减，lg y u =在(0,)+∞单调递增，因此4lgxy x-=在（0，4）单调递减，又1y x =在（0，4）单调递减，故f （x ）1x =+4lgx x -在（0，4）上单调递减，证明如下： 设0＜x 1＜x 2＜4，则： ()()()()121221121122122144411lg lg lg 4x x x x x x f x f x x x x x x x x x -----=+--=+-， ∵0＜x 1＜x 2＜4，∴x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＞0，4﹣x 1＞4﹣x 2＞0，12214114x xx x --＞，＞， ∴()()()()1212211221214401lg 044x x x x x x x x x x x x -----＞，＞，＞， ∴f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在（0，4）上单调递减11．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为实数集R 的函数()11222xx f x +-=+．判断函数f （x ）在R 上的单调性，并用定义证明．【解】由题意11211()22212x x x f x +-==-+++， 令1112,2xu y u =+=-+，由于12x u =+在R 上单调递增，112y u=-+在(0,)+∞单调递减，由复合函数单调性可知f （x ）在R 上为减函数. 证明：设∀x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，所以f （x 1）﹣f （x 2）()()211212112212121212x x x x x x -=-=++++，由于x 1＜x 2，y ＝2x 在R 上单增 所以21220x x -＞，且2x ＞0 所以f （x 1）＞f （x 2）， 所以f （x ）在R 上单调递减．➢考点2 函数单调性的应用1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()()e e 2x xx f x --=，则21log3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，342b f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，432c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】A【解析】()f x 的定义域为R ， 因为()()()e e ee ()22x xxx x x f x f x ------===，所以()f x 为偶函数，所以()()2221log log 3log 33a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，443322c f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0x >时，()()()ee e e 2xx x xx f x ---++'=，因为0x >，所以e1,0e 1xx -><<，所以e e 0x x -->，(e e )0x x x -+>，所以()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为2x y =在R 上单调递增，且340143-<<<，所以43013402222-<<<<，即433402122-<<<<，因为2log y x =在(0,)+∞上为增函数，且234<<，所以222log 2log 3log 4<<，即21log 32<<，所以4334202log 32-<<<，所以()433422log 32f f f -⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b a c <<，故选：A2．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()1e ,111,1x x f x x x x-⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则()f x 的最大值为______．【答案】1 【解析】解：(],1x ∈-∞时，()1x f x e -=单调递增，()()1111f x f e -==≤；()1,x ∈+∞时，()1+1f x x x=-单调递减，()11+111f x <-=.所以()f x 的最大值为1． 故答案为：1．3．（2022·河北唐山·二模）已知函数()f x ()()21f x f x >-，则x 的取值范围是（ ） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】解：()f x 定义域为R ， 又()()-=-f x f x ，所以()f x 是奇函数，当0x =时，()00f =，当0x >时，()=f x ()f x 在()0,∞+上递增， 所以()f x 在定义域R 上递增，又()()21f x f x >-，所以21x x >-，解得13x >，故选：C4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()ax f x x a-=-在(2,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞ B ．(1,1)-C ．(-∞，1)(1-⋃，2]D ．(-∞，1)(1-⋃，2)【答案】C 【解析】解：根据题意，函数221()11()ax a x a a a f x a x a x a x a--+--===+---， 若()f x 在区间(2,)+∞上单调递减，必有2102a a ⎧->⎨⎩，解可得：1a <-或12a <，即a 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，2]， 故选：C ． [举一反三]1．（2022·辽宁朝阳·高三开学考试）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x ->-，记(2)(3)(1),,23f f a f b c -===，则（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】B 【解析】依题意，12,(0,)x x ∀∈+∞，12x x ≠，122112121212()()()()00f x f x x f x x f x x x x x x x -->⇔>--， 于是得函数()f x x 在(0,)+∞上单调递增，而函数()f x 是R 上的偶函数，即(2)(2)22f f b -==，显然有(1)(2)(3)123f f f <<，因此得：a b c <<， 所以a b c <<. 故选：B2．（2022·重庆·模拟预测）设函数()()()32200x xx f x x x -⎧-+>⎪=⎨-≤⎪⎩，若ln 2a =，0.23b =，0.3log 2c =，则（ ）A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f a f c >>C ．()()()f a f c f b >>D ．()()()f c f a f b >>【答案】D 【解析】解：因为()()()32200x x x f x x x -⎧-+>⎪=⎨-≤⎪⎩，又2x y =在()0,∞+上单调递增，2x y -=在()0,∞+上单调递减，则()22xx g x -=-+在()0,∞+上单调递减且()002002g -+==，又()3h x x =-在(),0∞-上单调递减且()3000h =-=，所以()f x 在R 上单调递减，又因为0.20331>=，即1b >，0ln1ln 2lne 1=<<=，即01a <<，0.30.3log 2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，所以()()()f b f a f c <<； 故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）函数()41f x x x =++在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为（ ） A ．153,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]3,4C ．153,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．154,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】设1x t ，1x t =-，1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()41g t t t =+-，根据双勾函数性质：函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]2,3上单调递增，()()max 1151015max ,3max ,2232g t g g ⎧⎫⎛⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，()()min 23g t g ==，故函数值域为153,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C.4．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()1y f x =-是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(),1-∞-单调递减，()00f =，则()()210f x f x +<的解集为（ ）A ．()(),20,-∞-⋃+∞B ．()2,0-C ．312,,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为函数()1y f x =-是定义在R 上的偶函数，所以()y f x =的图象关于直线1x =-对称.因为()f x 在(),1-∞-上单调递减，所以在()1,-+∞上单调递增. 因为()00f =，所以()()200f f -==.所以当()(),20,x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x >；当()2,0x ∈-时，()0f x <．由()()210f x f x +<，得20,2210.x x x ⎧-⎨-<+<⎩或或20,212210.x x x -<<⎧⎨+-+⎩或解得312,,022x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C5．（2022·河北·模拟预测）设函数()()212,1,2,1,x x f x x x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩则不等式()()340f f x +->的解集为（ ） A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C ．()7,7- D ．()(),77,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】解：因为()()212,12,1x x f x x x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩，所以()36f =-，()()233126f -=-++=，则()()340f f x +->，即()()()4363f x f f ->-==-，()f x 的函数图象如下所示：由函数图象可知当3x >-时()6f x <且()f x 在(),3∞--上单调递减，所以()()43f x f ->-等价于43x -<-，即1x <，解得11x -<<，即()1,1x ∈-； 故选：A6．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（ ） A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,1【答案】B 【解析】因为分段函数()f x 在R 上的单调函数，由于22y x ax =-开口向上，故在1≥x 上单调递增，故分段函数()f x 在在R 上的单调递增，所以要满足：0212112a aa a>⎧⎪-⎪-≤⎨⎪-≤-⎪⎩，解得：203a <≤ 故选：B7．（2022·全国·高三专题练习）函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，则m 的取值范围是（ ）A ．[)3,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],5-∞D ．(],3-∞-【答案】D 【解析】解：函数2()2(1)3f x x m x =-+-+的图像的对称轴为2(1)12m x m -=-=--， 因为函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，所以14m -≥，解得3m ≤-， 所以m 的取值范围为(],3-∞-， 故选：D8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2313,11,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,63⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．11,,63⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭【答案】B 【解析】由题意可知，()313y a x a =-+在(),1-∞上为减函数，则310a -<， 函数21y x =-+在[)1,+∞上为减函数，且有()3130a a -+≥，所以，310610a a -<⎧⎨-≥⎩，解得1163a ≤<.综上所述，实数a 的取值范围是11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数()21x af x x -=+在区间()b +∞，上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A ．2a >- B ．1b >- C ．1b ≥- D ．2a <-【答案】AC 【解析】 ()22211x a a f x x x -+==-++， ()f x 在区间()b +∞，上单调递增，20a ∴+>，2a >-∴，由()f x 在区间()1+∞-，上单调递增， 1b.故选：AC10．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a 的范围是_______. 【答案】(2,4]- 【解析】 函数5()3x f x x a +=-+，定义域为(,3)(3,)x a a ∈-∞-⋃-+∞，又322()133x a a a f x x a x a -++++==+-+-+，因为函数5()3x f x x a +=-+在(1,)+∞上是减函数，所以只需23a y x a +=-+在(1,)+∞上是减函数，因此2031a a +>⎧⎨-≤⎩，解得24a -<≤.故答案为：24a -<≤11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )m ≠1)在区间(0，1]上是减函数，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(－∞，0)∪(1，4] 【解析】由题意可得4－mx ≥0，x ∈(0，1]恒成立，所以m ≤4()xmin ＝4．当0<m ≤4时，4－mx 单调递减，所以m －1>0，解得1<m ≤4； 当m <0时，4－mx 单调递增，所以m －1<0，解得m <1，所以m <0． 故实数m 的取值范围是(－∞，0)∪(1，4]． 故答案为： (－∞，0)∪(1，4].12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足：①(0)0f =；②在[13]，上是减函数；③(1)(1)f x f x +=-.请写出一个满足以上条件的()f x =___________. 【答案】22x x -+ 【解析】由(1)(1)f x f x +=-可得()f x 关于1x =对称，所以开口向下，对称轴为1x =，且过原点的二次函数满足题目中的三个条件， 故答案为：22x x -+13．（2022·全国·高三专题练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______.【答案】1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】由题意得：-2-12-21-22-11-2m m m m <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，解得12-<m <23.故答案为：1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，14．（2022·全国·高三专题练习）若函数2()4f x x ax =-+在[]1.3内不单调，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】13(,)22【解析】解：由题意得2()4f x x ax =-+的对称轴为2x a =，因为函数()f x 在[]1.3内不单调，所以123a <<，得1322a <<．故答案为：13(,)22．15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =是定义在R 的递减函数，若对于任意(0x ∈，1]不等式2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+恒成立，求实数m 的取值范围.【解】因为函数()y f x =是定义在R 的递减函数，所以2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+对(0x ∈，1]恒成立2231112mx mx x mx x m ⎧-<+-⇔⎨+-<+⎩在(0x ∈，1]恒成立.整理，当(0x ∈，1]时，2222(1)1mx x m x x ⎧<-⎨-<+⎩恒成立， （1）当1x =，2102m <⎧⎨<⎩，所以12m <；（2）当(0,1)x ∈时，222211x m xx m x ⎧-<⎪⎪⎨+⎪>⎪-⎩恒成立，1,2xy y x ==-都在(0,1)x ∈上为减函数22122x x y x x -∴==-在(0,1)x ∈上为减函数， ∴22122x x ->，222x m x-∴<恒成立⇔12m ≤. 结合当1x =时，12m <①又2222212(1)(1)21,01(1)(1)x x x x x x y y x x x +--+--'===<-++，当(0,1)x ∈ 故211x y x +=-在(0,1)x ∈上是减函数，∴2111x x +<--.211x m x +∴>-恒成立1m ⇔≥-② ∴①、②两式求交集1[1,)2m ∈-由（1）（2）可知当[1m ∈-，1)2时，对任意(0x ∈，1]时，2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+恒成立.16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x x . （1）若1a =，求函数的定义域；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围. 【解】（1）()f x x ，∴|1|10x +-≥，解得(,2][0,)x ∈-∞-+∞； 所以函数的定义域为(,2][0,)x ∈-∞-+∞.（2）当x a ≥-，211()24f x x x ⎫===-+⎪⎭，在1[,)4+∞递减，此时需满足14a -≥，即14a -≤时，函数()f x 在[,)a -+∞上递减；当x a <-，()f x x x ，在(,2]a -∞-上递减， ∵104a ≤-<，∴20a a ->->，即当14a -≤时，函数()f x 在(,)a -∞-上递减；综上，当14a -≤时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减.所以a 的取值范围是1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦。
【新高考】高三数学一轮复习知识点专题3-2 导数与函数的单调性、极值与最值
专题3.2 导数与函数的单调性、极值与最值（精讲）【考情分析】1.了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；4.会用导数求函数的极大值、极小值；5.会求闭区间上函数的最大值、最小值。
【重点知识梳理】知识点一函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点二函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点三函数的极值与导数形如山峰形如山谷知识点四函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【特别提醒】1.函数f (x )在区间(a ，b )上递增，则f ′(x )≥0，“f ′(x )>0在(a ，b )上成立”是“f (x )在(a ，b )上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【典型题分析】高频考点一求函数的单调区间例1.【2019·天津卷】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数，求()f x 的单调区间。
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第三章 一元函数的导数及其应用第3节 导数与函数的极值、最值
)
B.0
D.-15或6
解析:(1)由函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,得f′(x)=3x2+2ax+b.
又函数f(x)在x=1处有极小值10,
′() = , + + = ,
所以
即
+
+
+
= ,
() = ,
= ,
=
-,
解得
或
= - = .
当a>0时,令f′(x)=0,所以ex=a,x=ln a,
x
f′(x)
f(x)
(-∞,ln a)
↘
ln a
0
极小值
(ln a,+∞)
+
↗
f(x)在x=ln a处取得极小值f(ln a)=a-aln a-1,无极大值.
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求导数f′(x).
,则 f′(x)=
- + -(-)
√
B.-1是函数y=f(x)的极小值点
C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增
√
D.-2是函数y=f(x)的极大值点
解析:根据导函数的图象可知,
当x∈(-∞,-3)时,f′(x)<0,当x∈(-3,1)时,f′(x)≥0,
所以函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,
(k∈Z)内单调递减.
又 f(2kπ- )=-
则[f(x)]min=-
高考数学一轮复习 第十一节 第二课时 导数与函数极值、最值课件 理 新人教A版
得 f′(1)＝0，即 1－a＝0，解得 a＝e. e
思考：对函数求导后参数a对导数值正负有什么
影响？
(2)f′(x)＝1－eax， ①当 a≤0 时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数， 所以函数 f(x)无极值． ②当 a>0 时，令 f′(x)＝0，得 ex＝a，即 x＝ln a. x∈(－∞，ln a)，f′(x)<0；x∈(ln a，＋∞)，f′(x)>0， 所以 f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调 递增，
在[1a, 2]上是减函数．又 f(2)－f(1)＝ln 2－a，∴当12<a<ln 2
时，最小值是 f(1)＝－a； 当 ln 2≤a<1 时，最小值为 f(2)＝ln 2－2a. 综上可知， 当 0<a<ln 2 时，函数 f(x)的最小值是－a； 当 a≥ln 2 时，函数 f(x)的最小值是 ln 2－2a.
②当 a>0 时，令 f′(x)＝x1－a＝0，可得 x＝1a， 当 0<x<a1时，f′(x)＝1－xax>0； 当 x>1a时，f′(x)＝1－xax<0， 故函数 f(x)的单调递增区间为0，1a， 单调递减区间为1a，+ ∞.
提示：讨论极值在区间[1, 2]内、外确定最值！
解：由 f′(x)＝1－ax＝x－x a，x>0 知： (1)当 a≤0 时，f′(x)>0，函数 f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数 f(x)无极值； (2)当 a>0 时，由 f′(x)＝0，解得 x＝a. 又当 x∈(0，a)时，f′(x)<0； 当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， 从而函数 f(x)在 x＝a 处取得极小值，且极小值为 f(a)＝a－aln a， 无极大值．
高考数学复习考点知识专题讲解课件16---导数与函数的单调性
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新高考 大一轮复习 · 数学 题型三 函数单调性的应用 命题点 1 比较大小或解不等式 例 2 (1)已知定义在 R 上的函数 f(x)，g(x)满足：对任意 x∈R，都有 f(x)＞0，g(x) ＞0，且 f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0.若 a，b∈R＋且 a≠b，则有( ) A．fa＋2 bga＋2 b＞f( ab)g( ab) B．fa＋2 bga＋2 b＜f( ab)g( ab)
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②当 a＞2 时，令 f′(x)＝0，
得 x＝a－
2a2－4或 x＝a＋
a2－4 2.
当 x∈0，a－ 2a2－4∪a＋ 2a2－4，＋∞时，f′(x)＜0；
当 x∈a－
2a2－4，a＋
2a2－4时，f′(x)＞0.
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所以
f(x)
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新高考 大一轮复习 · 数学 2．函数的极值与导数
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3.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a) 为函数的最小值， f(b)为函数的最大值； 若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b) 为函数的最小值．
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高考数学一轮总复习课件：导数的应用(二) ——极值与最值
(2)(2020·河北冀州中学摸底)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x ＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是 __(_－_1_，__0)_．
【解析】 若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝ －1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a>0，当 x∈(－1，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数 f(x)在x＝a处取得极小值；若－1<a<0，当x∈(－1，a)时，f′ (x)>0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝a处取得极 大值；若a<－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，－1)时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．综上所述，a∈(－1， 0)．
第3课时 导数的应用(二) ——极值与最值
[复习要求] 1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和 充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数 不超过三次).3.会求闭区间上的最大值、最小值(其中多项式函 数不超过三次)．
课前自助餐
函数的极值 (1)设函数 f(x)在点 x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点， 都有 f(x)___<___f(x0)，那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值＝f(x0)；如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)__>____f(x0)， 那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值＝f(x0)．极大值与 极小值统称为极值．
第三高考数学一轮复习 函数的单调性与最值教案
城东蜊市阳光实验学校第三中学高考数学一轮复习函数的单调性与最值教案①利用函数的单调性．②定义法：先求定义域，再利用单调性定义．③图象法：假设f(x)是以图象形式给出的，或者者者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．④导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间． 5.函数的最值 设函数y ＝f(x)的定义域为I ，假设存在实数M 满足：(1)对于任意的x ∈I ，都有．(2)存在x0∈I ，使得.那么，我们称M 是函数y ＝f(x)的．最值与函数的值域有何关系？【提示】函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在。
(1) 求一个函数的最值时，应首先考虑函数的定义域．(2)函数的最值是函数值域中的一个取值，是自变量x 取了某个值时的对应值，故函数获得最值时，一定有相应的x 的值．前提自测 1．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，那么 (D) 2．假设函数y ＝ax 与y ＝－x b在(0，＋∞)上都是减函数，那么y ＝ax2＋bx 在(0，＋∞)上是 (B) A ．增函数 B ．减函数C ．先增后减 D ．先减后增. 3．函数()f x =223x ax -+在区间(],2-∞上是单调函数,那么实数的取值范围是a≥2.4．设x1，x2为y ＝f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题： ①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0； ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0；其中能推出函数y ＝f(x)为增函数的命题为__①_③_____5.函数2()23f x x x =-+在[]0,m 上有最大值3,最小值2,那么正数m 的取值范围1≤m≤2.6.证明函数x x x f 3)(3+=在),(+∞-∞上是增函数 自主﹒﹒探究 例1答案：a ＞0:f(x)为减函数。
a ＜0:f(x)为增函数。
高三数学第一轮复习课件(ppt)目录
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目录 CONTENTS
第二章
2.1 函数及其表示 2.2 函数的单调性与最值 2.3 函数的奇偶性与周期性 2.4 一次函数、二次函数 2.5 指数与指数函数 2.6 对数与对数函数 2.7 幂函数 2.8 函数的图象及其变换 2.9 函数与方程
函数
2.10 函数模型及其应用
第一讲：三角函数
S ABC=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2ah，可得sinA=√15/8，sinC=√15/4。
∴cosA=7/8,cosC=1/4，
∴cos（A-C）=7/8 x 1/4 + √15/8 x √15/4
=11/16 c=2
A
b=2
h=√15/2
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B
C 1/2 a
1/2
C、﹙1，＋∞﹚
D、[1，＋∞﹚
解析：由于3x＞0，所以3x+1＞1，所以f（x）＞0，集合表示为（0，＋∞），答案为A
2、已知函数y=2x＋1的值域为（5,7），则对应的自变量x的范围为（
）
A、[2,3）
B、[2,3]
C、(2,3)
D、（2,3]
解析：根据题意：5＜2x+1＜7,解得2＜x＜3，用集合表示为（2,3），答案为C
A [1,2]
解析：解二元一次不等式x2 +2x-8≤0，可得-4≤x≤2，所以M为[-4,2]; 解不等式3x-2≥2x-1,可得x≥1,所以N为[1,＋∞﹚。此时我们可以应用数轴马 上解决问题：
-4 0 1 2
如图所示，阴影部分即为所求。答案：A 启示：掌握好数轴工具，在集合、函数问题（ B
B、﹙－∞，5]
）
D、[5，＋∞﹚
高考一轮复习---函数的单调性与最值知识点与题型
高考一轮复习---函数的单调性与最值知识点与题型一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征：一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论：(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)是减函数；(3)函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)是增函数；(4)函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反；(6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反； (7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．三、考点解析考点一 确定函数的单调性(区间))例、(1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．(2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．跟踪训练1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－x D ．f (x )＝ln(x ＋1) 2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2)3．判断函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，＋∞)上的单调性． 考点二 求函数的值域(最值))例、(1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－a x ＋b (a >0)在]2,21[上的值域为]2,21[，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．注： (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．跟踪训练1．函数f (x )＝x 2＋4x的值域为________． 2．若x ∈]32,6[ππ-，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________．3．已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小例、偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式例、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，2] C ．[2,6] D ．[2，＋∞)[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)例、已知函数f (x )＝x －a x ＋a 2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．跟踪训练1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝)21(-f ，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是课后作业一1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)4．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．125．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－ax －5，x ≤1，a x，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－2] C ．[－3，－2] D ．(－∞，0)7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________． 9．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________. 10．若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 11．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在]2,21[上的值域是]2,21[，求a 的值．12．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．课后作业二1．若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝2mx＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m的取值范围是()A．(－∞，0)∪(0,1] B．(－1,0)∪(0,1] C．(0，＋∞) D．(0,1] 2．已知函数f(x)＝ln x＋x，若f(a2－a)>f(a＋3)，则正数a的取值范围是________．3．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数;(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.。
【步步高】高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)2.2函数的单调性与最值文档专练 文
§2.2 函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 2．结论M 为最大值1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D ，且(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( √ )(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数． ( × )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)． ( × ) (5)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．( × ) (6)函数y ＝1－x 21＋x 2的最大值为1.( √ ) 2．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．先递增再递减答案 C解析 作出函数y ＝x 2－6x ＋10的图象(图略)， 根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增．3．(2013·安徽)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 本题利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断． 当a ＝0时，f (x )＝|(ax －1)x |＝|x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；当a >0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增只需a ≤0.即“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．4．函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]的最大值和最小值分别是________________________________________________________________________．答案 43，1解析 f (x )＝2x x ＋1＝2(x ＋1)－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min ＝f (1)＝1.5．函数y ＝log 21(2x 2－3x ＋1)的单调减区间为________．答案 (1，＋∞)解析 由2x 2－3x ＋1>0，得函数的定义域为(－∞，12)∪(1，＋∞)．令t ＝2x 2－3x ＋1，则y ＝log 21t ，∵t ＝2x 2－3x ＋1＝2(x －34)2－18，∴t ＝2x 2－3x ＋1的单调增区间为(1，＋∞)．又y ＝log 21t 在(1，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝log 21(2x 2－3x ＋1)的单调减区间为(1，＋∞).题型一 函数单调性的判断例1 讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性．思维启迪 可根据定义，先设－1<x 1<x 2<1，然后作差、变形、定号、判断． 解 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数f (x )在(－1,1)上为减函数．思维升华 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤：(1)已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数；(2)求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．(1)证明 设x 1，x 2是任意两个正数，且0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．(2)解 令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数． 由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 题型二 利用函数的单调性求参数例2 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－14 B ．a ≥－14C ．－14≤a <0D ．－14≤a ≤0(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．思维启迪 利用函数的单调性求参数或参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．答案 (1)D (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得0>a ≥－14.综合上述得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0a >1(2－a )×1＋1≤a， 解得32≤a <2，∴a 的取值范围是[32，2)．思维升华 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(1)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3 (2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x >1)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)答案 (1)C (2)B 解析 (1)y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －(a ＋2)，由函数在(－1，＋∞)上单调递增，有⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0a ＋2≤－1，解得a ≤－3. (2)因为f (x )是R 上的单调递增函数，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2.解得4≤a <8，故选B.题型三 函数的单调性和最值例3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．思维启迪 抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f (x )为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(3)用函数的单调性即可求最值． (1)解 令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)解 ∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得， f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.思维升华 (1)抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f (x 1)f (x 2)与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等；(2)利用函数单调性可以求函数最值，若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最小值是f (a )，最大值是f (b )．(1)如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x－1)，那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为( )A ．2B ．3C ．4D ．－1(2)函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________.答案 (1)C (2)6解析 (1)根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称．又函数f (x )在[12，＋∞)上单调递增，故f (x )在(－∞，12]上单调递减，则函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4. (2)易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. ∴a ＋b ＝6.函数单调性的应用典例：(12分)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.思维启迪(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点．要构造出f(M)<f(N)的形式．规范解答(1)证明设x1，x2∈R，且x1<x2，∴x2－x1>0，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1. [2分]f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[4分]∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数．[6分](2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，[8分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[10分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2)．[12分]解函数不等式问题的一般步骤：第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：解不等式或不等式组确定解集；第五步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1.构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式．解决此类问题的易错点：忽视M、N的取值范围，即忽视f(x)所在的单调区间的约束.方法与技巧1．利用定义判断或证明函数的单调性 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，那么 ①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 函数的单调性是对某个区间而言的． 2．求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导数的性质． 3．复合函数的单调性对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数． 简称：同增异减． 失误与防范函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示.A 组 专项基础训练一、选择题1．函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案 A解析 由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数．A 中，f (x )＝1x满足要求；B 中，f (x )＝(x －1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C 中，f (x )＝e x 是增函数；D 中，f (x )＝ln(x ＋1)是增函数．2．若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案 D解析 ∵f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1,2]上是减函数， ∴a ≤1.①又g (x )＝(a ＋1)1－x 在[1,2]上是减函数．∴a ＋1>1，∴a >0.② 由①、②知，0<a ≤1.3．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0，34)B ．(0，34]C ．[0，34)D ．[0，34]答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数，当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0－4(a －3)4a ≥3，得0<a ≤34，综上a 的取值范围是0≤a ≤34.4．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (1x)>f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 D解析 依题意得1x <1，即x －1x >0，所以x 的取值范围是x >1或x <0.5．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12答案 C解析 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 二、填空题6．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是__________．答案 ⎣⎡⎭⎫32，4解析 函数f (x )的定义域是(－1,4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254的减区间为⎣⎡⎭⎫32，4，∵e>1，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎭⎫32，4.7．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是__________．答案 [1，＋∞)解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a，∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0－2a ≤－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1>0a ≥1⇒a ≥1. 8．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是______________． 答案 (－1,0)∪(0,1)解析 由f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎪⎪⎪⎪1x >1， ∴1x >1或1x <－1，∴0<x <1或－1<x <0. 三、解答题9．函数f (x )＝x 2－4x －4在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式； (2)求g (t )的最小值．解 (1)f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8. 当t >2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， ∴g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4；当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8； 当t ＋1<2，即t <1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数， ∴g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7.从而g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －7 (t <1)，－8 (1≤t ≤2)，t 2－4t －4 (t >2).(2)g (t )的图象如图所示，由图象易知g (t )的最小值为－8.10．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，求函数的最大值和最小值．解 设x 1，x 2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－(－2x 2＋1)＝－2(x 2＋1－x 1－1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝－2(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1). 由0≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在区间[0,2]上是增函数．因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23. B 组 专项能力提升1．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(1，＋∞)上一定( ) A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案 D 解析 由题意知a <1，∴g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x－2a ， 当a <0时，g (x )在(1，＋∞)上是增函数，当a >0时，g (x )在[a ，＋∞)上是增函数，故在(1，＋∞)上为增函数，∴g (x )在(1，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析 ∵f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a (x ≥a )，e －x ＋a (x <a )， ∴f (x )在[a ，＋∞)上为增函数，则[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.3．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案 1解析 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2. 当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数；当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.4．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0， a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)， a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立， ∴g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数． ∴f (x )＝lg(x ＋a x－2)在[2，＋∞)上是增函数． ∴f (x )＝lg(x ＋a x－2)在[2，＋∞)上的最小值为 f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． ∴a >3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－(x －32)2＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2.∴a >2.5．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．(1)证明 任取x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1. 综上所述知a的取值范围是(0,1]．。