2018年秋人教版九年级数学上册习题课件：24.1.3 弧、弦、圆心角
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人教版数学九年级上册《24.1.3 弧、弦、圆心角》课件精品
圆心角 ∠AOB 所对的弦为 AB.
B
任意给圆心角，对应出现三个量：
O
A
弧
圆心角
弦
想一想：圆心角、弧、弦之间有什么关系？
二 圆心角、弧、弦之间的关系 合作探究 观察：1. 将圆绕圆心旋转 180° 后，得到的 图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
180° A
重合，
圆是中心对称图形
2. 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆 重合吗？
在同圆或等圆中
关系结构图
温馨提示：一条弦对 应两条弧，由弦相等 得到弧相等时需要区 分优弧和劣弧.
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所
对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件
“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
B D OCA
辨一辨 判断正误： (1) 等弦所对的弧相等.
（× ）
B
O·
D
C
（4）如果 AB = CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，那
么 OE 与 OF 相等吗？为什么？
解：OE = OF. 理由如下：
∵ OE⊥AB，OF⊥CD，
∴ AE 1 AB，CF 1 CD.
2
2
∵ AB = CD，∴ AE = CF.
∵ OA = OC，
A
E
B
Байду номын сангаасO·
D
F C
A
O·
B ∴∠AOE = 180° - 3×35° = 75°.
例2 如图，在☉O 中，AB =AC ，∠ACB = 60°，
求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC.
A
证明：∵ AB = AC ，
人教版九年级数学上册课件：24.1.3 弧、弦、圆心角
∴
弧、弦、圆心角与四边形的综合，B是☉O上的两点，
∠AOB=120°，C是 的中点，判断四边形 OACB的形状，并证明你的结论.
〔解析〕根据圆心角、弧、弦的关系推知△AOC和 △BOC都是等边三角形,然后由等边三角形的三条边 都相等的性质证得OA=OB=AC=BC,最后根据菱形的判定定理(四 条边相等的四边形是菱形)即可证得结论.
分别交AD，BC于点E，F，延长 BA交☉A于G，求证
证明:如图64所示,连接AF， ∵AB=AF，∴∠ABF=∠AFB.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠DAF=∠AFB,∠GAE=∠ABF.
∴∠GAE=∠EAF.∴
解:四边形OACB是菱形.证明如下:
∵C是 的中点，∴
，
∵∠AOB=120°，∴∠AOC=∠BOC=60°.
∵OA=OC=OB，∴△AOC和△BOC都是等边三角形.
∴OA=OB=AC=BC，
∴四边形OACB是菱形(四条边相等的四边形是菱形).
2.如图所示,以平行四边形ABCD 的顶点A为圆心，AB为半径作圆，
九年级数学·上
新课标 [人]
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
弧、弦、圆心角
利用弧、弦、圆心角之间的关系证明弧相等
如图(1)所示，已知AB为☉O的直径，M，N分
别为OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂
足分别为M，N.求证
.
〔解析〕连接OC,OD,由M,N分别是AO,BO的中点得到OM=ON,
.
【解题归纳】 在证明圆中弧相等时,常采用“连半径”“连接
弧端点”等方法,巧用圆心角、弧、弦之间的关系定理来解决问题.
1.如图所示，AB为☉O的弦，点C,D为弦AB上的
弧、弦、圆心角与四边形的综合，B是☉O上的两点，
∠AOB=120°，C是 的中点，判断四边形 OACB的形状，并证明你的结论.
〔解析〕根据圆心角、弧、弦的关系推知△AOC和 △BOC都是等边三角形,然后由等边三角形的三条边 都相等的性质证得OA=OB=AC=BC,最后根据菱形的判定定理(四 条边相等的四边形是菱形)即可证得结论.
分别交AD，BC于点E，F，延长 BA交☉A于G，求证
证明:如图64所示,连接AF， ∵AB=AF，∴∠ABF=∠AFB.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠DAF=∠AFB,∠GAE=∠ABF.
∴∠GAE=∠EAF.∴
解:四边形OACB是菱形.证明如下:
∵C是 的中点，∴
，
∵∠AOB=120°，∴∠AOC=∠BOC=60°.
∵OA=OC=OB，∴△AOC和△BOC都是等边三角形.
∴OA=OB=AC=BC，
∴四边形OACB是菱形(四条边相等的四边形是菱形).
2.如图所示,以平行四边形ABCD 的顶点A为圆心，AB为半径作圆，
九年级数学·上
新课标 [人]
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
弧、弦、圆心角
利用弧、弦、圆心角之间的关系证明弧相等
如图(1)所示，已知AB为☉O的直径，M，N分
别为OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂
足分别为M，N.求证
.
〔解析〕连接OC,OD,由M,N分别是AO,BO的中点得到OM=ON,
.
【解题归纳】 在证明圆中弧相等时,常采用“连半径”“连接
弧端点”等方法,巧用圆心角、弧、弦之间的关系定理来解决问题.
1.如图所示，AB为☉O的弦，点C,D为弦AB上的
人教版数学-九年级上册- 24.1.3弧、弦、圆心角 课件
分析：理解弧、弦、圆心角之间的关系，注意在同圆或 等圆中的条件是解答本题的关键.
解：说法(1)不正确，在同圆或等圆中，圆心角相等，则 所对的弧相等，而本题中不是同圆或等圆，所以 AB ≠ AB. 说法(2)也不正确，弦 AB 或 CD 所对的弧有两条，在同圆或 等圆中，相等的弦所对的弧相等，应为“同是优弧或同是劣 弧”，即 AB＝ AB或 ACB＝CAD.
二、教材预习 自学课本 P82～83，完成第 2～6 题．
2. 顶点在____圆__心____的角叫做圆心角． 3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_相__等 ___，所对 的弦___相__等_____．
4．如图 24-1-3-1，如果∠AOB＝ ∠A′OB′，那么 AB＝__A_B_， AB＝__A_′__B_′____.
证明：如图答 24-1-3-2 ，连接 OC，OD. ∵OA＝OB 且 OM＝12OA，ON＝12OB， ∴OM＝ON. ∵CM⊥AB，DN⊥AB，OC＝OD， ∴Rt△CMO≌Rt△DNO， ∴∠COM＝∠DON.
∴ AC ＝ BD. 图答 24-1-3-2
*5.如图 24-1-3-15，在⊙O 中，AB，CD 是两条弦，OE ⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 E，F.
C，D 是弧 BE 上的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE 是( C )
A．40°
B．60°
C．80°
D．120°
图 24-1-3-11
图 24-1-3-12
2．如图 24-1-3-12，AC 是⊙O 的直径，AB，CD 是⊙O 的 两 条 弦 ， 且 AB ∥ CD ， 若 ∠ BAC ＝ 52°， 则 ∠ AOD ＝ ___1_0_4_°____.
解：能，证明如下： ∵AD＝BC， ∴ AD＝ AD. ∴ AD＋ AC ＝ AD＋CA，即 AB＝ AB. ∴AB＝CD.
解：说法(1)不正确，在同圆或等圆中，圆心角相等，则 所对的弧相等，而本题中不是同圆或等圆，所以 AB ≠ AB. 说法(2)也不正确，弦 AB 或 CD 所对的弧有两条，在同圆或 等圆中，相等的弦所对的弧相等，应为“同是优弧或同是劣 弧”，即 AB＝ AB或 ACB＝CAD.
二、教材预习 自学课本 P82～83，完成第 2～6 题．
2. 顶点在____圆__心____的角叫做圆心角． 3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_相__等 ___，所对 的弦___相__等_____．
4．如图 24-1-3-1，如果∠AOB＝ ∠A′OB′，那么 AB＝__A_B_， AB＝__A_′__B_′____.
证明：如图答 24-1-3-2 ，连接 OC，OD. ∵OA＝OB 且 OM＝12OA，ON＝12OB， ∴OM＝ON. ∵CM⊥AB，DN⊥AB，OC＝OD， ∴Rt△CMO≌Rt△DNO， ∴∠COM＝∠DON.
∴ AC ＝ BD. 图答 24-1-3-2
*5.如图 24-1-3-15，在⊙O 中，AB，CD 是两条弦，OE ⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 E，F.
C，D 是弧 BE 上的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE 是( C )
A．40°
B．60°
C．80°
D．120°
图 24-1-3-11
图 24-1-3-12
2．如图 24-1-3-12，AC 是⊙O 的直径，AB，CD 是⊙O 的 两 条 弦 ， 且 AB ∥ CD ， 若 ∠ BAC ＝ 52°， 则 ∠ AOD ＝ ___1_0_4_°____.
解：能，证明如下： ∵AD＝BC， ∴ AD＝ AD. ∴ AD＋ AC ＝ AD＋CA，即 AB＝ AB. ∴AB＝CD.
(第6套)人教版九年级数学上册 24.1.3 弧、弦、圆心角精品教学课件
合作探究 达成目标
探究点一 弧、弦、圆心角之间的关系的推导
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能 发现哪些等量关系？为什么？
A′ B
A′ B
B′
B′
·
O
A
·
O
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然 ∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等， OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．
有一组量相等， 它们所对应的其
余各组量也相 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所等对．的
圆心角__相__等__，所对的弧____相__等___．
【针对训练】
C
(2)
O
A A′B B′AC NhomakorabeaD
B
O
C B
AD
O
探究点二 弧、弦、圆心角的关系的应用
【针对训练】
BOC
DOE 105° 75°
解;OE=OF,证明△OEA≌△OFC或△OEB≌△OFD
总结梳理 内化目标
正确理解和使用弧、弦、圆心角三者关系； 在同圆或等圆中， 圆心角相等， 所对的 弧相等， 所对的弦相等，三项“知一推 二”，即一项相等，其余二项相等.
解和使用弧、弦、圆心角三者关系：在同圆 或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等， ③所对的弦相等，三项“知一推二”，即一 项相等，二项相等．
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24.1 弧、弦、圆心角
•
第3课时
创设情景 明确目标
人教版九年级上册数学课件第24章24.1.3弧弦圆心角
精彩一题
(1) 求证：△BFG≌△CDG；
证明：如图，连接 BC. ∵C 是B︵D的中点，∴C︵D＝B︵C. ∵AB 是⊙O 的直径，且 CF⊥AB， ∴B︵C＝B︵F.
精彩一题
∴C︵D＝B︵F.
∴CD＝BF，B︵D＝C︵F.
∴BD＝CF.
在△BCD 和△CBF 中， CD＝BF， BD＝CF， BC＝CB，
大小关系是( )
A.A︵B＝2C︵D
B.A︵B＞2C︵D
C.A︵B＜2C︵D
D.不能确定
课堂导练 【点拨】作∠AOB 的平分线 OE 交⊙O 于点 E，则∠AOE ＝∠BOE. ∵∠AOB＝2∠COD， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠COD. ∴A︵E＝B︵E＝C︵D. ∴A︵B＝2C︵D. 【答案】A
∴∠BAF＝50°.
∴∠ABF＝∠AFB＝65°.
∵AB∥CD，∴∠ABF＋∠C＝180°.
∴∠C＝180°－∠ABF＝115°.
精彩一题
15．(2019·绵阳)如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 为B︵D的中点， CF 为⊙O 的弦，且 CF⊥AB，垂足为 E，连接 BD 交 CF 于点 G，连接 CD，AD，BF.
(1) 求证：G︵E＝E︵F；
课后训练
证明：连接 AF，则 AB＝AF， ∴∠ABF＝∠AFB. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠EAF＝∠AFB，∠GAE＝∠ABF. ∴∠GAE＝∠EAF. ∴G︵E＝E︵F.
课后训练
(2) 若B︵F的度数为 50°，求∠C 的度数． 解：∵B︵F的度数为 50°，
课堂导练
2．如图，下列各角是圆心角的是( B ) A．∠ABC B．∠AOB C．∠OAB D．径为5 cm，弦AB的长为5 cm，则弦AB所对 的圆心角∠AOB＝____6_0_°__.
(人教版)九年级数学上册习题课件：24.1.3 弧、弦、圆心角
24．1 圆的有关性质
24．1.3 弧、弦、圆心角
1．圆既是轴对称图形，又是_中__心__对称图形，_圆__心__就是它的对 称中心．
2．顶点在_圆__心__的角叫圆心角．
3．在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的___弧__相等，且所对的 弦也_相__等__．
4．在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦中，有一 组量是相等的，则它们所对应的其余各组量也分别_相__等__．
16．如图，MN 是⊙O 的直径，MN＝2，点 A 在⊙O 上，A︵N的 度数为 60°，点 B 为A︵N的中点，P 是直径 MN 上的一个动点，求 PA ＋PB 的最小值．
解：作点 B 关于 MN 的对称点 B′.因为圆是轴对称图形，所以点 B′在圆上．连接 AB′，与 MN 的交点为 P 点，此时 PA＋PB 最短， ABB′⌒所对的圆心角为 90°，连接 OB′，则∠AOB′＝90°，∴AB ′＝ AO2＋OB′2＝ 2，∴PA＋PB＝AB′＝ 2，即 PA＋PB 的最小 值为 2
14．如图，AB 是⊙O 的直径，A︵C＝C︵D，∠COD＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC∥BD.
解：(1)△AOC 是等边三角形．理由：∵A︵C＝C︵D，∴ ∠AOC＝∠COD＝60°.又∵OA＝OC，∴△AOC 是等边 三角形
(2)∵A︵C＝C︵D，∴∠AOC＝∠COD＝60°，∴∠BOD ＝ 180 ° － (∠AOC ＋ ∠ COD) ＝ 60 ° . ∵ OD ＝ OB ， ∴ △ ODB 为等边三角形，∴∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠COD ＝60°，∴OC∥BD
小关系为( C )
A.A︵B＞2C︵D
B.A︵B＜2C︵D
C.A︵B＝2C︵D
24．1.3 弧、弦、圆心角
1．圆既是轴对称图形，又是_中__心__对称图形，_圆__心__就是它的对 称中心．
2．顶点在_圆__心__的角叫圆心角．
3．在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的___弧__相等，且所对的 弦也_相__等__．
4．在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦中，有一 组量是相等的，则它们所对应的其余各组量也分别_相__等__．
16．如图，MN 是⊙O 的直径，MN＝2，点 A 在⊙O 上，A︵N的 度数为 60°，点 B 为A︵N的中点，P 是直径 MN 上的一个动点，求 PA ＋PB 的最小值．
解：作点 B 关于 MN 的对称点 B′.因为圆是轴对称图形，所以点 B′在圆上．连接 AB′，与 MN 的交点为 P 点，此时 PA＋PB 最短， ABB′⌒所对的圆心角为 90°，连接 OB′，则∠AOB′＝90°，∴AB ′＝ AO2＋OB′2＝ 2，∴PA＋PB＝AB′＝ 2，即 PA＋PB 的最小 值为 2
14．如图，AB 是⊙O 的直径，A︵C＝C︵D，∠COD＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC∥BD.
解：(1)△AOC 是等边三角形．理由：∵A︵C＝C︵D，∴ ∠AOC＝∠COD＝60°.又∵OA＝OC，∴△AOC 是等边 三角形
(2)∵A︵C＝C︵D，∴∠AOC＝∠COD＝60°，∴∠BOD ＝ 180 ° － (∠AOC ＋ ∠ COD) ＝ 60 ° . ∵ OD ＝ OB ， ∴ △ ODB 为等边三角形，∴∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠COD ＝60°，∴OC∥BD
小关系为( C )
A.A︵B＞2C︵D
B.A︵B＜2C︵D
C.A︵B＝2C︵D
人教版九年级数学上册24.1.3弧、弦、圆心角课件
解和使用弧、弦、圆心角三者关系：在同圆 或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等 ，③所对的弦相等，三项“知一推二”，即 一项相等，二项相等．
达标检测 反思目标
60°或300° 90°
12 2
40°
A
B
C
B
课后作业
• 上交作业：教科书第89页第2，3题 ．
• 课后作业：“学生用书”的“课后作业” 部分．
A
C
D
B
O
C B
AD
O
探究点二 弧、弦、圆心角的关系的应用
【针对训练】
BOC
DOE 105° 75°
解;OE=OF,证明△OEA≌△OFC或△OEB≌△OFD
总结梳理 内化目标
正确理解和使用弧、弦、圆心角三者关系； 在同圆或等圆中， 圆心角相等，所对的 弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二 ”，即一项相等，其余二项相等.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所条对弧的、两条弦中
圆心角__相__等_， 所对的弦____相__等__；
有一组量相等， 它们所对应的其
余各组量也相 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所等对．的
圆心角__相__等__，所对的弧____相__等___．
【针对训练】
C
(2)
O
A A′
B B′
• 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。下午1时16 分28秒下午1时16分13:16:2821.11.7
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
同样，还可以得到：
同圆或等圆中，
两个圆心角、两
达标检测 反思目标
60°或300° 90°
12 2
40°
A
B
C
B
课后作业
• 上交作业：教科书第89页第2，3题 ．
• 课后作业：“学生用书”的“课后作业” 部分．
A
C
D
B
O
C B
AD
O
探究点二 弧、弦、圆心角的关系的应用
【针对训练】
BOC
DOE 105° 75°
解;OE=OF,证明△OEA≌△OFC或△OEB≌△OFD
总结梳理 内化目标
正确理解和使用弧、弦、圆心角三者关系； 在同圆或等圆中， 圆心角相等，所对的 弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二 ”，即一项相等，其余二项相等.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所条对弧的、两条弦中
圆心角__相__等_， 所对的弦____相__等__；
有一组量相等， 它们所对应的其
余各组量也相 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所等对．的
圆心角__相__等__，所对的弧____相__等___．
【针对训练】
C
(2)
O
A A′
B B′
• 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。下午1时16 分28秒下午1时16分13:16:2821.11.7
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
同样，还可以得到：
同圆或等圆中，
两个圆心角、两