因式分解专题训练 讲解 经典中考例题(二)
中考数学“因式分解”典例及巩固训练
中考数学“因式分解”典例及巩固训练（1）一、典型例题例1、（2017•广东省）分解因式：a 2+a = ．解：答案为a (a+1)例2、（2019•黄冈市）分解因式3x 2﹣27y 2＝ ． 解：原式＝3（x 2﹣9y 2）＝3（x +3y ）（x ﹣3y ），故答案为：3（x +3y ）（x ﹣3y ）例3、因式分解：221222x xy y ++. 解：22221122(44)22x xy y x xy y ++=++21(2)2x y =+．二、巩固训练1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．x 2+2x ﹣1=(x ﹣1)2B ．(a +b )(a ﹣b )=a 2﹣b 2C ．x 2+4x +4=(x +2)2D ．ax 2﹣a =a (x 2﹣1)2．下列多项式可以用平方差公式分解因式的是( )A ．224x y +B ．224x y -+C ．224x y --D ．324x y -3. 下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为( )①21025x x -+：②2441a a +-；③221x x --；④214m m -+-；⑤42144x x -+ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．如果代数式2425x kx ++能够分解成2(25)x -的形式，那么k 的值是( )A ．10B ．20-C ．10±D ．20±5. 分解因式：（1）a 2b ﹣abc = ．（2）3a (x ﹣y )﹣5b (y ﹣x )= ．6．分解因式：4a 2﹣4a +1= ．7．分解因式：2a 2﹣4a +2= ．8．（2017•广州市）分解因式：xy 2﹣9x = ．9.分解因式：x 6﹣x 2y 4= ．10．（2018•黄冈市）因式分解：x 3﹣9x = ．11．（2018•葫芦岛市）分解因式：2a 3﹣8a = ．12．因式分解： （1）2218x -； （2）224129a ab b -+； （3）3221218x x x -+；13．（2019·河池市）分解因式：2(1)2(5)x x -+-．14．分解因式：4224816x x y y -+．15.分解因式：（1）22()+x y x y -- ； （2）22()()a x y b x y ---； （3）229()()m n m n +--.★★★★1.阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式22(41)(47)9x x x x -+-++进行因式分解的过程． 解：设24x x y -=原式(1)(7)9y y =+++（第一步）2816y y =++（第二步）2(4)y =+（第三步）22(44)x x =-+（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；A ．提取公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；（3）请你用换元法对多项式22(2)(22)1x x x x ++++进行因式分解．2．【阅读材料】对于二次三项式222a ab b ++可以直接分解为2()a b +的形式，但对于二次三项式2228a ab b +-，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式2228a ab b +-中先加上一项2b ，使其成为完全平方式，再减去2b 这项，（这里也可把28b -拆成2b +与29b -的和），使整个式子的值不变．于是有：2228a ab b +-222228a ab b b b =+-+-2222(2)8a ab b b b =++--22()9a b b =+-[()3][()3]a b b a b b =+++-(4)(2)a b a b =+-我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆)项法．【应用材料】（1）上式中添（拆)项后先把完全平方式组合在一起，然后用 法实现分解因式．（2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式：①268m m ++；②4224a a b b ++★★★★★1．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的A 类、C 类正方形卡片和B 类长方形卡片．用若干张A 类、B 类、C 类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：2223(2)()a ab b a b a b ++=++．（1）如图3，用1张A 类正方形卡片、4张B 类长方形卡片、3张C 类正方形卡片，可以拼出以下长方形，根据它的面积来解释的因式分解为 ；（2）若解释因式分解2234()(3)a ab b a b a b ++=++，需取A 类、B 类、C 类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形；（3）若取A 类、B 类、C 类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面题1图积为22++，则m的值为，将此多项式分解因式5a mab b为．巩固训练参考答案1．C2．B3. B4．B5. （1） ab (a ﹣c) ． （2）(3a+5b )(x ﹣y ) ．6．（2a ﹣1）2．7．2(a ﹣1)2．8．x (y +3)(y ﹣3)．9. x 2(x 2+y 2)(x +y )(x ﹣y ) ．10．x (x +3)(x ﹣3)．11．2a (a +2)(a -2)．12．解：（1）；（2）；（3）原式．13．解：原式．14．解：原式．15.解：（1）原式=；（2）原式；（3）原式．★★★★1.解：（1）故选：；2218x -22(9)x =-2(3)(3)x x =+-224129a ab b -+22(2)12(3)a ab b =-+2(23)a b =-222(69)2(3)x x x x x =-+=-221210x x x =-++-29x =-(3)(3)x x =+-22(4)x y =-22(2)(2)(2)x y x y x y =+-+22())(x y x y ---)[2(1])(x y x y =---)(22(1)x y x y =---22()()x y a b =--()()()x y a b a b =-+-22[3()]()m n m n =+--(33)(33)m n m n m n m n =++-+-+4(2)(2)m n m n =++C（2），设，原式，，，，；故答案为：；（3）设，原式，，，，．2．解：（1）上式中添（拆项后先把完全平方式组合在一起，然后用公式法实现分解因式． 故答案为：公式；（2）①；②．22(41)(47)9x x x x -+-++24x x y -=(1)(7)9y y =+++2816y y =++2(4)y =+22(44)x x =-+4(2)x =-4(2)x -22x x y +=(2)1y y =++221y y =++2(1)y =+22(21)x x =++4(1)x =+)268m m ++2691m m =++-22(3)1m =+-(31)(31)m m =+++-(4)(2)m m =++4224a a b b ++4224222a a b b a b =++-2222()()a b ab =+-2222()()a b ab a b ab =+++-★★★★★1．解：（1）由图可得，，故答案为：；（2）如右图所示；（3）由题意可得，，，故答案为：6，．2243()(3)a ab b a b a b ++=++2243()(3)a ab b a b a b ++=++6m =2256(5)()a ab b a b a b ++=++(5)()a b a b ++中考数学“因式分解”典例及巩固训练（2）一、典型例题例1、因式分解：222a ab b ac bc ++++．解：原式22(2)()a ab b ac bc =++++2()()a b c a b =+++()()a b a b c =+++例2、用十字相乘法进行因式分解：232x x ++.解：原式(1)(2)x x =++．例3、在实数范围内进行分解因式：35x x -．解：原式2(5)x x =-(x x x =+-．二、巩固训练1．用分组分解法进行因式分解：（1）2221x y xy +--； （2）3223x x y xy y +--．2．（2017•百色市）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x 2﹣x ﹣3的方法．（1）二次项系数2=1×2；（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×(﹣3)，验算：“交叉相乘之和”； 题2图1×3+2×(﹣1)=1 1×(﹣1)+2×3=5 1×(﹣3)+2×1=﹣1 1×1+2×(﹣3)=﹣5（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×(﹣3)+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1． 即：(x +1)(2x ﹣3)=2x 2﹣3x +2x ﹣3=2x 2﹣x ﹣3，则2x 2﹣x ﹣3=(x +1)(2x ﹣3)．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x 2+5x ﹣12= ．3.用十字相乘法分解因式：（1）x 2+2x ﹣3= ．（2）x 2﹣4x +3= ．（3）22x x +-= .（4）2215a a --= .（5）4x 2+12x ﹣7= ．4．选择恰当的方法进行分解因式：（1）26x x --； （2）2363a a -+； （3）226a ab b --；（4）29(2)(2)a x y y x -+-； （5）2222a b a b --+；（6）34x x -；5．分解因式：（1）22430y y --； （2）224414a b b +--.6．在实数范围内将下列各式分解因式：（1）22363ax axy ay -+； （2）35x x -．7．在实数范围内分解因式：（1）9a 44b - 4； （2）x 22- 3+；（3）x 5﹣4x .★★★★1．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：223x x +-，解：原式22113x x =++--2(21)4x x =++-2(1)4x =+-(12)(12)x x =+++- (3)(1)x x =+-上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式： （1）243x x -+； （2）24127x x +-．2．在实数范围内分解因式221x x --．3．因式分解是数学解题的一种重要工具，掌握不同因式分解的方法对数学解题有着重要的意义．我们常见的因式分解方法有：提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等．在此，介绍一种方法叫“试根法”例：32331x x x -+-，当1x =时，整式的值为0，所以，多项式有因式(1)x -，设322331(1)(1)x x x x x ax -+-=-++，展开后可得2a =-，所以3223331(1)(21)(1)x x x x x x x -+-=--+=-根据上述引例，请你分解因式：（1）2231x x -+； （2）32331x x x +++．★★★★★1．请看下面的问题：把44x +分解因式．分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和222()2x +的形式，要使用公式就必须添一项24x ，随即将此项24x 减去，即可得：4422222222224444(2)4(2)(2)(22)(22)x x x x x x x x x x x x +=++-=+-=+-=++-+人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”. 请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式因式分解． （1）444x y +；（2）2222x ax b ab ---． 2．【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式2ax bx c ++进行因式分解呢？我们已经知道，2211221212211212122112()()()a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ++=+++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++．我们发现，二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c ，如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到1221a c a c +，如果1221a c a c +的值正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解为1122()()a x c a x c ++，其中1a ，1c 位于图的上一行，2a ，2c 位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子26x x --分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即111=⨯，把常数项6-也分解为两个因数的积，即62(3)-=⨯-；然后把1，1，2，3-按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1(3)121⨯-+⨯=-，恰好等于一次项的系数1-，于是26x x --就可以分解为(2)(3)x x +-．题2图请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法” 分解因式：26x x +-= (3)(2)x x +- ．【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：（1）2257x x +- ；（2）22672x xy y -+= ． 【探究与拓展】对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图④，将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk乘积作为第三列，如果mq np b +=，pk qj e +=，mk nj d +=，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py j nx qy k =++++，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：（1）分解因式2235294x xy y x y +-++-= ．（2）若关于x ，y 的二元二次式22718524x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．（3）已知x ，y 为整数，且满足2232231x xy y x y ++++=-，请写出一组符合题意的x ，y 的值．巩固训练参考答案1．解：（1）．解：（2）原式． 2．(x +3)(3x ﹣4)． 3.（1）(x +3)(x -1) ． （2）(x ﹣1)(x ﹣3) ． （3） . （4） . （5）(2x +7)(2x ﹣1) ．4．解：（1）原式． （2）原式； （3）原式； （4）原式．（5）原式． （6）原式； 5．.解：（1）原式 ；（2）原式．6．解：（1）原式；2221x y xy +--2()1x y =--(1)(1)x y x y =-+--3223222()()()()()()x x y xy y x x y y x y x y x y =+-+=+-+=+-(2)(1)x x +-(5)(3)a a -+(2)(3)x x =+-23(21)a a =-+23(1)a =-(3)(2)a b a b =-+29(2)(2)a x y x y =---2(2)(91)x y a =--(2)(31)(31)x y a a =-+-()()2()()(2)a b a b a b a b a b =+---=-+-2(4)(2)(2)x x x x x =-=+-22(215)y y =--2(5)(3)y y =-+224(144)a b b =--+224(12)a b =--(221)(221)a b a b =+--+223(2)a x xy y =-+23()a x y =-（2）原式，．7．解：（1）原式； （2）原式．（3）原式=★★★★1．解：（1）（2）2．解：．3.解：（1）当时，整式的值为0，所以，多项式有因式， 于是； （2）当时，整式的值为0，多项式中有因式，2(5)x x =-(x x x =222222(32)(32)(32)a b a b a b =+-=++2(x =2(2)(x x x x +243x x -+24443x x =-+-+2(2)1x =--(21)(21)x x =-+--(1)(3)x x =--24127x x +-2412997x x =++--2(23)16x =+-(234)(234)x x =+++-(27)(21)x x =+-221x x --22111x x =-+--2(1)2x =--(11x x =---1x =(1)x -2231(1)(21)x x x x -+=--1x =-∴32331x x x +++(1)x +于是可设，，， ，，．★★★★★1．解：（1）原式； （2）原式． 2．解：【阅读与思考】分解因式：； 故答案为：； 【理解与应用】（1）； （2）；故答案为：（1）；（2）； 【探究与拓展】（1）分解因式； 故答案为：（2）∵关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积， 存在其中，，；而，，或，故的值为43或；（3），为整数，且满足，可以是，（答案不唯一）．32232331(1)()(1)()x x x x x mx n x m x n m x n +++=+++=++++-13m ∴+=3n m +=2m ∴=1n =3223331(1)(21)(1)x x x x x x x ∴+++=+++=+442222222222222444(2)4(22)(22)x y x y x y x y x y x y xy x y xy =++-=+-=+++-22222222()()()(2)x ax a a b ab x a a b x b x a b =-+---=--+=+--26(3)(2)x x x x +-=+-(3)(2)x x +-2257(1)(27)x x x x +-=-+22672(1)(27)x xy y x x -+=-+(1)(27)x x -+(1)(27)x x -+2235294(21)(34)x xy y x y x y x y +-++-=+--+(21)(34)x y x y +--+x y 22718524x xy y x my +--+-∴111⨯=9(2)18⨯-=-(8)324-⨯=-71(2)19=⨯-+⨯51(8)13-=⨯-+⨯271643m ∴=+=72678m =--=-m 78-x y 2232231x xy y x y ++++=-1x =-0y =。
初三数学因式分解法练习题解析
初三数学因式分解法练习题解析因式分解是初中数学中一个重要的概念和技巧，它在解决数学问题时具有重要作用。
本文将对初三数学因式分解法的练习题进行解析，旨在帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
题目一：将多项式4x^2+12x因式分解。
解析：首先，我们可以看到这个多项式4x^2+12x中存在一个公因式4x，将其提取出来，得到4x(x+3)。
这就是多项式的因式分解形式。
题目二：将多项式x^2-9因式分解。
解析：根据平方差公式，可以将x^2-9写为(x+3)(x-3)。
这样就完成了多项式的因式分解。
题目三：将多项式2x^2+6x-16因式分解。
解析：对于这种三项式，我们可以通过分解法或配方法进行因式分解。
首先，我们可以尝试用分解法进行因式分解。
观察该多项式的各项系数，可以发现它们都是2的倍数，所以我们可以将2提取出来，得到2(x^2+3x-8)。
接下来，我们需要找到一个括号里的两个数，它们相乘得到-8，相加得到3。
经过尝试，我们可以得到(x-1)(x+8)，所以最终的因式分解形式是2(x-1)(x+8)。
题目四：将多项式3x^2+5x-2因式分解。
解析：对于这种三项式，我们可以选择使用配方法进行因式分解。
首先，我们可以找到多项式的首项系数3，然后找到多项式的最后一项系数-2，它们的乘积是-6。
接下来，我们需要找到两个数，它们相乘得到-6，相加得到5。
经过尝试，我们可以得到3x^2+6x-x-2，进一步简化得到3x(x+2)-(x+2)。
观察可知，括号里的部分是相同的，所以我们可以将其提取出来，得到(x+2)(3x-1)。
因此，最终的因式分解形式是(x+2)(3x-1)。
题目五：将多项式x^3-125因式分解。
解析：这是一个立方差分的形式，根据立方差分公式可知，x^3-125可以写为(x-5)(x^2+5x+25)。
因此，最终的因式分解形式是(x-5)(x^2+5x+25)。
通过以上题目的解析，我们可以发现因式分解在解决数学问题中起着重要的作用。
人教版八年级因式分解经典例题详解
初中因式分解的（例题详解）一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．二、运用公式法.运用公式法，即用))((,)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-写出结果．三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22例4、分解因式：2222c b ab a -+-练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abcc b a 3333-++四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
2020年中考数学微测试系列专题02整式与分解因式含解析北师大版
专题02 整式与分解因式学校：___________姓名：___________班级：___________一、选择题：（共4个小题）1．【2015宜宾】把代数式3231212x x x -+分解因式，结果正确的是（ ）A．23(44)x x x -+ B．23(4)x x - C．3(2)(2)x x x +- D．23(2)x x -【答案】D ．【解析】试题分析：原式=23(44)x x x -+=23(2)x x -，故选D．【考点定位】提公因式法与公式法的综合运用．2．【2015开县五校联考九上半期】下列计算正确的是（ ）A ．32622a a a =÷B ．412122-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x xC ．()66332x x x =+ D ．()11+-=--a a [ 【答案】D ．【解析】【考点定位】1．同底数幂的除法；2．合并同类项；3．去括号与添括号；4．完全平方公式．3．【2015枣庄】如图，边长为a ，b 的矩形的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为（）A．140 B．70 C．35 D．24【答案】B ．【解析】试题分析：根据题意得：a +b =14÷2=7，ab =10，∴22a b ab +=ab （a +b ）=10×7=70；故选B．【考点定位】因式分解的应用．4．【2015日照】观察下列各式及其展开式： 222()2a b a ab b +=++；33223()33a b a a b ab b +=+++；4432234()464a b a a b a b ab b +=++++；554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++；…请你猜想10()a b +的展开式第三项的系数是（ ）A．36 B．45 C．55 D．66【答案】B ．【解析】第6个式子系数分别为：1，6，15，20，15，6，1；第7个式子系数分别为：1，7，21，35，35，21，7，1；第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1； 第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则10()a b +的展开式第三项的系数为45．故选B．【考点定位】1．完全平方公式；2．规律型；3．综合题．二、填空题：（共4个小题）5．【2015巴中】分解因式：2242a a -+= ． 【答案】22(1)a -．【解析】试题分析：原式=22(21)a a -+=22(1)a -．故答案为：22(1)a -．【考点定位】提公因式法与公式法的综合运用．6．【2015大庆】若若52=n a，162=n b ，则()n ab = ． 【答案】45±．【解析】试题分析：∵52=n a ，162=n b ，∴2280n n a b ⋅=，∴2()80n ab =，∴()n ab =45±，故答案为：45±．【考点定位】幂的乘方与积的乘方．7．【2015内江】已知实数a ，b 满足：211a a +=，211b b+=，则2015a b -|= ． 【答案】1．【解析】【考点定位】1．因式分解的应用；2．零指数幂；3．条件求值；4．综合题；5．压轴题．8．【2015雅安】若1m ，2m ，…，2015m 是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若122015...m m m +++=1525，222122015(1)(1)...(1)1510m m m -+-++-=，则1m ，2m ，…，2015m 中为2的个数是 ．【答案】510．【解析】【考点定位】1．规律型：数字的变化类；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．三、解答题：（共2个小题）9．【2015内江】填空：()()a b a b -+=； 22()()a b a ab b -++= ；3223()()a b a a b ab b -+++= ．（2）猜想：1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++= （其中n 为正整数，且2n ≥）．（3）利用（2）猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+．【答案】（1） 22a b -，33a b -，44a b -；（2） n n a b -；（3）342．【解析】试题分析：（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；（2）根据（1）的规律可得结果；（3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果．试题解析：（1）()()a b a b -+=22a b -； 3223()()a b a a b ab b -+++=33a b -；3223()()a b a a b ab b -+++=44a b -；故答案为：22a b -，33a b -，44a b -；【考点定位】1．平方差公式；2．规律型；3．阅读型；4．综合题．10．【2015重庆市】如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x （1≤x ≤4，x 为自然数），十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式．【答案】（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一），能；（2）y =2x （1≤x ≤4，x 为自然数）．【解析】试题分析：（1）根据“和谐数”的定义（把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同）写出四个“和谐数”，设任意四位“和谐数”形式为：abcd ，根据和谐数的定义得到a =d ，b =c ，则100010010100010010100111011111111abcd a b c d a b b a a b +++++++====9110a b +为正整数，易证得任意四位“和谐数”都可以被11整除；（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：zyx ，则10110zyx xyx x y ==+，故10110991122911111111zyx x y x y x y x y x y +++--===++为正整数．故y =2x （1≤x ≤4，x 为自然数）．试题解析：（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一）， 任意一个四位“和谐数”都能被11整除，理由如下：设任意四位“和谐数”形式为：abcd ，则满足：最高位到个位排列：d ，c ，b ，a ，个位到最高位排列：a ，b ，c ，d ．由题意，可得两组数据相同，则：a =d ，b =c ，则100010010100010010100111011111111abcd a b c d a b b a a b +++++++====9110a b +为正整数． ∴四位“和谐数”能被11整数，又∵a ，b ，c ，d 为任意自然数，∴任意四位“和谐数”都可以被11整除；【考点定位】1．因式分解的应用；2．规律型：数字的变化类；3．新定义；4．综合题；5．压轴题．。
初中因式分解经典题型(含详细答案)
初中因式分解经典题型精选第一组：基础题1、a²b+2ab+b2、2a²-4a+23、16-8（m-n）+（m-n）²4、a²（p-q）-p+q5、a（ab+bc+ac）-abc【答案】1、a²b+2ab+b=b（a²+2a+1）=b（a+1）²2、2a²-4a+2=2（a²-2a+1）=2（a-1）²3、16-8（m-n）+（m-n）²然后运用完全平方公式=4²-2*4*（m-n）+（m-n）²=[4-(m-n)] ²=(4-m+n) ²4、a²（p-q）-p+q=a²（p-q）-（p-q）=（p-q）（a²-1）=（p-q）（a+1）（a-1）5、a（ab+bc+ac）-abc=a[（ab+bc+ac）-bc]=a（ab+bc+ac-bc）bc与-bc 抵消=a（ab+ac）提取公因式a=a²（b+c）第二组：提升题6、（x-y-1）²-（y- x-1）²7、a3b-ab38、b4-14b²+19、x4+x²+2ax+1﹣a²10、a5+a+1【答案】6、（x-y-1）²-（y- x-1）²用平方差公式=[（x-y-1）+（y-x-1）][（x-y-1）-（y-x-1）]去括号，合并同类项=（-2）（2x-2y）提取2= -4（x-y）7、a3b-ab3提取公因式ab=ab（a²-b²）用平方差公式=ab（a+b）（a-b）8、b4-14b²+1将-14b²拆分为：+2b²-16b²=b4+2b²-16b²+1将-16b²移到最后=b4+2b²+1-16b²将前三项结合在一起=（b4+2b²+1）-16b²=（ b²+1）²-（4b）²用平方差公式=[（ b²+1）+4b][（ b²+1）-4b] =（ b²+4b+1）（ b²-4b+1）9、x4+x²+2ax+1﹣a²将+x²拆分为：+2x²- x²=x4+2x²- x² +2ax+1﹣a²将x4、+2x²、+1结合，将-x²、+2ax、﹣a²结合=（x4+2x²+1）+（-x²+2ax﹣a²）提取-1=（ x²+1）² -（x²-2ax+a²）=（ x²+1）²-（ x-a）²用平方差公式=[（x²+1）+（x-a）][（x²+1）-（x-a）]=（x²+x-a+1）（x²-x+a+1）10、a5+a+1在式子中添加：-a²+a²=a5 - a²+ a²+a+1将前两项结合，后面三项结合=（a5-a²）+（a²+a+1）提取公因式a²=a²（a3-1）+（a²+a+1）用立方差公式=a²（a-1）（a²+a+1）+（a²+a+1）提取公因式（a²+a+1）=（a²+a+1）[a²（a-1）+1]=（a²+a+1）(a3-a²+1)第三组：进阶题11、x4-2y4-2x3y+xy312、（ac-bd）²+（bc+ad）²13、x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y）14、x²－4ax＋8ab－4b²15、xy² +4xz -xz²-4x【答案】11、x4-2y4-2x3y+xy3x4与xy3结合，-2y4与-2x3y结合=（x4+xy3）+（-2y4-2x3y）x-2y，=x（x3+y3）-2y（x3+y3）提取公因式（x3+y3）=（x3+y3）（x-2y）=（x+y）（x2-xy+y2）（x-2y）12、（ac-bd）²+（bc+ad）²去括号展开= a²c² - 2abcd + b²d²+b²c² +2abcd + a²d²- 2abcd与+2abcd 抵消=a²c² + b²d² +b²c² + a²d²a²c²与b²c²结合，b²d²与a²d²结合=（a²c²+b²c²）+（ b²d²+a²d²）c²， d ²，=c²（a²+b²）+d²（a²+b²）提取公因式（a²+b²）=（a²+b²）（c²+d²）13、x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y）=x²（y-z）+y²z -y²x +z²x -z²yy²z与-z²y结合，z²x 与-y²x=x²（y-z）+（y²z -z²y）+（z²x-y²x）提取公因式zy提取公因式=x²（y-z）+ zy（y-z）+x（z²-y²）提取公因式（y-z），=（y-z）（x²+zy）+x（z+y）（z-y）y-z），后一项 +x则变为 -x =（y-z）[（x²+zy）-x（z+y）]=（y-z）（x²+zy-xz-xy）14、x²－4ax＋8ab－4b²²与－4b²结合，－4ax与＋8ab结合=（x²－4b²）+（－4ax＋8ab）-4a=（x+2b）（x-2b）-4a（x-2b）x-2b），=（x-2b）[（x+2b）-4a]=（x-2b）（x+2b-4a）15、xy² +4xz -xz²-4xx，=x（y²+4z -z²-4）=x[y²+(4z -z²-4)]-1，=x[y²-(z²-4z+4)]用完全平方公式进行分解，=x[y²-（z-2）²]=x[y+（z-2））][y-（z-2）]=x（y+z-2）（y-z+2）第四组：经典题16、a6（a²-b²）+b6（b²-a²）17、4m3-31m+1518、a3+5a²+3a-919、x4（1- y）²+2x²（y²-1）+（1+ y）²20、2x4 -x3-6x²- x+ 2【答案】16、a6（a²-b²）+b6（b²-a²）-1=a6（a²-b²）-b6（a²-b²）提取公因式（a²-b²）=（a²-b²）（a6-b6）=（a²-b²）（a²-b²）（a4+a²b²+b4）=（a²-b²）²（a4+a²b²+b4）=（a+b）²（a-b）²（a4+a²b²+b4）17、4m3-31m+15-31m拆分为：-m-30m=4m3-m-30m+15=（4m3-m）+（-30m+15）m-15=m（4m²-1）-15（2m-1）=m（2m+1）（2m-1）-15（2m-1）（2m-1），=（2m-1）[m（2m+1）-15]=（2m-1）（2m²+m-15）=（2m-1）（2m-5）（m+3）18、a3+5a²+3a-93a拆分为：-6a+9a =a3+5a²-6a+9a-9=（a3+5a²-6a）+（9a-9）a9=a（a²+5a-6）+9（a-1）=a（a+6）（a-1）+9（a-1）提取公因式（a-1）=（a-1）[a（a+6）+9]=（a-1）（a²+6a+9）=（a-1）（a+3）²19、x4（1- y）²+2x²（y²-1）+（1+ y）²-1=x4（1- y）² - 2x²（1-y²）+（1+ y）²=[x²(1-y)]² -2x²（1-y）（1+y）+（1+ y）²=（x²-yx²-1- y）²20、2x4 -x3-6x²- x+ 2-x拆分为：3x-4x =2x4 -x3-6x²+3x-4x+ 2=（2x4 -x3）+（-6x²+3x）+（-4x+ 2）=（2x-1）（x3-3x-2）第五组：精选题21、a3+2a2+3a+222、x4-6x²+123、x3+3x+424、2a2b2+2a2c2+2b2c2+a4+b4+c425、a3-3a-226、2x3+3x2-127、a2+3ab+2b2+2a+b-3【答案】21、a3+2a2+3a+23a拆分为：a+2a =a3+2a2+a+2a+2=（a3+2a2+a）+（2a+2）=a（a2+2a+1）+2（a+1）=a（a+1）2+2（a+1）a+1）=（a+1）[a（a+1）+2]=（a+1）（a2+a+2）22、x4-6x²+1-6x2拆分为：-2x2-4x2 =x4-2x²-4x²+1-4x2移到最后=x4-2x²+1-4x²=（x4-2x²+1）-4x²=（x2-1）2-（2x）2=[（x2-1）+2x][（x2-1）-2x] =（x2+2x-1）（x2-2x-1）23、x3+3x+44拆分为：3+1=x3+3x+3+1x3与1结合，3x与3结合=（x3+1） + （3x+3）3=（x+1）（x2-x+1）+3（x+1）x+1）=（x+1）[（x2-x+1）+3]=（x+1）(x2-x+4)24、2a2b2+2a2c2+2b2c2+a4+b4+c4=（a4+b4+2a2b2）+（2a2c2+2b2c2）+c4 =（a2+b2）2+2c2（a2+b2）+c4=[（a2+b2）+c2]2=(a2+b2+c2）225、a3-3a-2-3a拆分为：-a-2a=a3-a-2a-2=（a3-a）+（-2a-2）=a（a2-1）-2（a+1）=a（a+1）（a-1）-2（a+1）a+1）=（a+1）[a（a-1）-2]=（a+1）（a2-a-2）=（a+1）（a+1）（a-2）=（a+1）2（a-2）26、2x3+3x2-13x2拆分为：2x2+x2 =2x3+2x2+x2-1=（2x3+2x2）+（x2-1）=2x2（x+1）+（x+1）（x-1）x+1）=（x+1）[2x2+（x-1）]=（x+1）（2x2+x-1）=（x+1）（2x-1）（x+1）=（x+1）2（2x-1）27、a2+3ab+2b2+2a+b-3=(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3 =(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3 =[(a+b)-1][(a+2b)+3] =(a+b-1)(a+2b+3)十字叉乘法故：x2+6x+5=（x+1）（x+5）故：2x2+5x+2=（2x+1）（x+2）故：4x2+5x-3=（2x-1）（2x+3）黄勇权2019-7-14。
中考数学考点总动员系列 专题04 因式分解(含解析)
考点四:因式分解聚焦考点☆温习理解1、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2、因式分解的常用方法（1）提公因式法：)(c b a ac ab +=+ （2）运用公式法：))((22b a b a b a -+=- 222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-（3）分组分解法：))(()()(d c b a d c b d c a bd bc ad ac ++=+++=+++ （4）十字相乘法：))(()(2q a p a pq a q p a ++=+++ 3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；（4）注意因式分解中的范围，如x 4-4=（x 2+2）（x 2-2）在实数范围内分解因式，继续进行分解：x 4-4=（x 2+2）（x 2-2）=（x2+2）（）题目不作说明，表明是在有理数范围内因式分解.（5）分解要彻底。
作为结果的代数式的最后运算必须是乘法；要分解到每个因式都不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，并且同类项合并完毕，若有重因式应写成幂的形式．这些统称分解彻底．名师点睛☆典例分类 考点典例一、提取公因式【例1】（2017湖南怀化第11题）因式分解：2m m -= ． 【答案】m （m ﹣1） 【解析】试题解析：m 2﹣m=m （m ﹣1） 考点：因式分解﹣提公因式法．【点睛】将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此，直接提取公因式m 即可. 【举一反三】1. （2017江苏盐城第8题）分解因式a 2b-a 的结果为 【答案】a （ab-1） 【解析】试题解析：a 2b -a=a （ab-1） 考点：提公因式法．2.（2017山东省滨州市无棣县初中学生学业水平模拟）分解因式a 2b -b 3结果正确的是（ ） A. b （a +b ）（a -b ） B. b （a -b ）2C. b （a 2-b 2） D. b （a +b ）2【答案】A ． 【解析】试题分析：原式=b(22a b )=b(a +b)(a-b).故选A. 考点：因式分解. 考点典例二、公式法【例2】（2017甘肃庆阳第11题）分解因式：x 2-2x+1= ． 【答案】（x-1）2． 【解析】试题解析：x 2-2x+1=（x-1）2． 考点：因式分解-运用公式法．【点睛】根据所给多项式可以看出是两个数的平方差，因此利用平方差公式进行分解即可. 【举一反三】1．（2017届福建省南平大洋中学中考模拟）把多项式分解因式，正确的结果是（ ） A. 4a 2+4a+1=（2a+1）2B. a 2﹣4b 2=（a ﹣4b ）（a+b ） C. a 2﹣2a ﹣1=（a ﹣1）2D. （a ﹣b ）（a+b ）=a 2﹣b 2【答案】A ．考点：分解因式.2.已知3a b +=，1a b -=-，则22a b -的值为 ． 【答案】 -3 【解析】试题分析： 先将代数式根据平方差公式分解为：22a b -=()()a b a b +- ，再分别代入3a b +=，1a b -=-，得到原式=3×（﹣1）=﹣3. 考点： 因式分解；整体代入思想3. （2017新疆建设兵团第10题）分解因式：x 2﹣1= ． 【答案】（x+1）（x ﹣1）． 【解析】试题解析：x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1）． 考点：因式分解﹣运用公式法．考点典例三、提取公因式与公式法综合运用【例3】（2017贵州安顺第11题）分解因式：x 3﹣9x= ． 【答案】x （x+3）（x ﹣3） 【解析】试题解析：原式=x （x 2﹣9） =x （x+3）（x ﹣3）考点：提公因式法与公式法的综合运用．【点睛】首先提取公因式2，剩下的因式又是两个数的平方差，进而利用平方差公式进行分解即可． 【举一反三】1．（2017贵州黔东南州第13题）在实数范围内因式分解：x 5﹣4x= ．【答案】x （x 2+2）（（x 【解析】试题解析：原式=x （x 4﹣22）， =x （x 2+2）（x 2﹣2）=x （x 2+2）（（x ， 考点：实数范围内分解因式．2. （2017江苏无锡第12题）分解因式：3a 2﹣6a+3= ． 【答案】3（a ﹣1）2． 【解析】试题解析：原式=3（a 2﹣2a+1）=3（a ﹣1）2． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．2.（2017山东省高密市学业水平测试）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式（x-2）的是（ ） A. x 2-4 B. x 3-4x 2-12x C. x 2-2x D. (x-3)2+2(x-3)+1 【答案】B ．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 考点典例四、分解因式的应用【例5】若a b 1-=，则代数式22a b 2b --的值为 ． 【答案】1. 【解析】试题分析：∵a b 1-=，∴()()()22a b 2b a b a b 2b a b 12b a b 1--=+--=+⋅-=-=.【点睛】利用因式分解可以求代数式的值，先将代数式a 2-b 2-2b 进行因式分解含有（a-b ）的因式，再进行整体代入即可求出答案. 【举一反三】1（2017重庆市兼善中学八年级上学期联考）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =， 9y =时，则各个因式的值为()0x y -=， ()18x y +=， ()22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取20x =， 10y =时，用上述方法产生的密码不可能．．．是（ ） A. 201030 B. 201010 C. 301020 D. 203010 【答案】B ．考点：因式分解的应用.2.如图边长为a 、b 的矩形的周长为14，面积为10，则a ²b+ab ²的值为 A.140 B.70 C.35 D.24【答案】 【解析】试题分析：由题意可得a+b=7,ab=10,所以22()a b ab ab a b +=+=7×10=70.故选B.考点：分解因式；求代数式的值3. （2017贵州安顺第14题）已知x 2y+xy 2的值为 ．【答案】【解析】试题解析：∵xy=，∴x 2y+xy 2=xy （x+y ）考点：因式分解的应用． 课时作业☆能力提升 一．选择题1. （2017湖南常德第5题）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ） A ．a （m +n ）=am +an B ．2222()()a b c a b a b c --=-+-C ．21055(21)x x x x -=-D ．2166(4)(4)6x x x x x -++=+-+ 【答案】C ． 【解析】试题分析：A ．该变形为去括号，故A 不是因式分解；B ．该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B 不是因式分解； D ．该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D 不是因式分解； 故选C ．考点：因式分解的意义．2.( 2017广东省九年级初中学业考试) 分解因式（2x+3）2﹣x 2的结果是（ ） A. 3（x 2+4x+3） B. 3（x 2+2x+3） C. （3x+3）（x+3） D. 3（x+1）（x+3） 【答案】D. 【解析】试题分析：（2x +3）2﹣x 2=（2x +3﹣x ）（2x +3+x ）=（x +3）（3x +3） =3（x +3）（x +1）． 故选D ． 考点：因式分解.3.下面的多项式在实数范围内能因式分解的是( )A ．x 2+y 2B ．x 2﹣y C ．x 2+x+1 D ．x 2﹣2x+1 【答案】D ．考点：实数范围内因式分解．4.（2017重庆市兼善中学八年级上学期第二次联考）从左到右，属于因式分解的是（ ） A. ()()2111x x x +-=- B. ()22111x x x x -+=-+C.()()22a b a b a b -=+- D.()()mx my nx ny m x y n x y +++=+++【答案】C. 【解析】试题分析：A 选项：是整式的乘法，故A 错误；B 选项：没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B 错误．C 选项：把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C 正确；D 选项：没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D 错误； 故选C. 考点：因式分解5.下列因式分解正确的是( )A ．()()22x 22x 1x 1=-+-B ．()22x 2x 1x 1+-=-C ．()22x 1x 1+=+ D ．()2x x 2x x 12+=-+- 【答案】A ．考点：1.因式分解和因式分解的意义；2.完全平方公式. 二．填空题6. （2017郴州第11题）把多项式2312x -因式分解的结果是 ． 【答案】3（x ﹣2）（x+2）． 【解析】试题分析：先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可,即3x 2﹣12=3（x 2﹣4）=3（x ﹣2）（x+2）． 考点：因式分解.7.（2017湖南株洲第12题）分解因式：m 3﹣mn 2= ． 【答案】m （m+n ）（m ﹣n ）． 【解析】试题分析：m 3﹣mn 2， =m （m 2﹣n 2）， =m （m+n ）（m ﹣n ）．考点：提公因式法与公式法的综合运用.8．（2017陕西西安市西北工业大学附属中学）分解因式： 34m n mn -= ．【答案】mn （m+2）（m-2）． 【解析】试题分析：原式=mn （m 2-4）=mn （m+2）（m-2）． 考点：因式分解.9.（2017天津市河东区五十四中中考模拟）分解因式：x 2-6x 2y+9x 2y 2=____________. 【答案】x 2(3y-1)2【解析】试题分析：原式= x 2-6x 2y+9x 2y 2=x 2（1-6y+9y 2）=x 2（3y-1）2． 故答案是：x 2（3y-1）2． 考点：分解因式.10. （2017湖北咸宁第11题） 分解因式：=+-2422a a ． 【答案】2（a ﹣1）2．试题分析：先提取2，再利用完全平方公式分解即可，即原式=2（a 2﹣2a+1）=2（a ﹣1）2． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．11.（2017辽宁省盘锦市年中考三模）分解因式：（a+5）（a ﹣5）+7（a+1）=___________. 【答案】（a ﹣2）（a+9） 【解析】试题分析：原式=a 2-25+7a+7= a 2+7a-18=（a ﹣2）（a+9） 考点：因式分解．12.分解因式：22(2a 1)a +-= ． 【答案】()()3a 1a 1++. 【解析】试题分析：()()()()()222a 1a 2a 1a 2a 1a 3a 1a 1+-=⎡++⎤⎡+-⎤=++⎣⎦⎣⎦. 考点：应用公式法因式分解.13. （2017广西百色第18题）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式223x x --的方法. （1）二次项系数212=⨯；（2）常数项 3131(3)-=-⨯=⨯-验算：“交叉相乘之和”；132(1)1⨯+⨯-= 1(1)235⨯-+⨯= 1(3)211⨯-+⨯=- 112(3)5⨯+⨯-=-（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1(3)211⨯-+⨯=-，等于一次项系数-1，即22(1)(23)232323x x x x x x x +-=-+-=--，则223(1)(23)x x x x --=+-.像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式：23512x x +-= ．【答案】（x+3）（3x ﹣4）． 【解析】试题分析：3x 2+5x ﹣12=（x+3）（3x ﹣4）． 考点：因式分解﹣十字相乘法．14.分解因式：322x x x -+=． 【答案】2(1)x x -． 【解析】试题分析：322x x x -+=2(21)x x x -+=2(1)x x -．故答案为：2(1)x x -．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 15.分解因式：()2x x 38--= . 【答案】()()2x 4x 1-+. 【解析】试题分析：()()()()222x x 382x 6x 82x 3x 42x 4x 1--=--=--=-+. 考点：提公因式法和十字相乘法因式分解.16分解因式：2a 2b ﹣8b= ，计算：8x 6÷4x 2= ． 【答案】2b （a+2）（a ﹣2）；2x 4． 【解析】试题分析：2a 2b ﹣8b=2b （a+2）（a ﹣2）；8x 6÷4x 2=2x 4． 考点：提公因式法与公式法的综合运用；整式的除法．17.已知实数a ，b 满足ab=3，a ﹣b=2，则a 2b ﹣ab 2的值是 ． 【答案】6．考点：1.求代数式的值；2. 提公因式法因式分解；3.整体思想的应用．11。
专题02 分解因式(解析版)
专题02 分解因式【知识点梳理】知识点1：十字相乘法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++. 要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号；（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即21a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即21c c c =，把2121c c a a ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.知识点2：提取公因式法与分组分解法1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2.符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++3.提公因式的步骤：（1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式） 公因式原多项式另一个因式= 4.注意事项：因式分解一定要彻底知识点3：关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.【题型归纳目录】知识点1：十字相乘法例1．分解因式：3223x x x --=______．【答案】(1)(3)x x x +-##()()31x x x -+【解析】【分析】先提取公因式，再用十字相乘法分解因式即可；【详解】解：原式=()()()22331x x x x x x --=-+， 故答案为：()()31x x x -+；【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式：对于形如x 2+px +q 的二次三项式，若能找到两数a 、b ，使a •b =q 且a +b =p ，那么x 2+px +q = x 2+（a +b ）x +a •b =（x +a ）（x +b ）．例2．请阅读下列材料，并完成相应的任务：（1）探究发现；小明计算下面几个题目①()2x +()4x -；②()4x -()1x +；③()4y +()2y -；④()5y -()3y -后发现，形如()()x p x q ++的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律：()()x p x q ++=()()()x ++．（2）面积说明：上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算()()x p x q ++发现这个规律是正确的，小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右面图形说明他发现的规律．（3）逆用规律：学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面因式分解的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：2710x x -+．（4）拓展提升现有足够多的正方形和矩形卡片（如图），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重复，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2223a ab b ++并利用你所拼的图形面积对2223a ab b ++进行因式分解．【答案】（1）2x p q pq +，，；（2）()()2()x p x q x p q x pq ++=+++（3）()()2710=25x x x x -+--；（4）()()22232a ab b a b a b ++=++，画图见解析【解析】【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则进行运算，总结即可；（2）利用面积的两种计算方法可证明公式()()2()x p x q x p q x pq ++=+++；（3）分别确定公式当中的,p q ，再利用公式计算即可；（4）由2223a ab b ++可得此长方形是有2张1号卡片、3张2号卡片和1张3号卡片拼成的矩形，再画出拼图，从而可得答案．【详解】解：（1）()()x p x q ++=2()x p q x pq +++，故答案为：2x p q pq +，，；（2）长方形的面积为：()(),x p x q ++长方形的面积等于四个小长方形的面积之和为：2()x p q x pq +++，所以()()x p x q ++=2()x p q x pq +++．（3）按照小明发现的规律：2710x x -+()()()()22525x x =+-+-+-⨯-⎡⎤⎣⎦()()25x x =--（4）由2223a ab b ++可得此长方形是有2张1号卡片、3张2号卡片和1张3号卡片拼成的矩形，所以拼图如下：∴()()22232a ab b a b a b ++=++．【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式，因式分解，利用图形面积证明多项式乘以多项式的运算法则以及因式分解，熟练构建长方形证明多项式的乘法与因式分解是解本题的关键．例3．阅读下面材料，并回答相应的问题：通过学习，我们了解了因式分解的两种基本方法：提公因式法，公式法．下面我们将探索因式分解的其它方法．(1)请运用多项式乘以多项式的法则填空：(2)(3)++=x x __________，(2)(3)x x +-=____________，(2)(3)x x -+=__________，(2)(3)--=x x __________．从特殊到一般，探索规律进行推导，过程如下：()()x p x q ++=________________．2 ()( )x x =++(2)因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用（1）中的规律，我们可以得到一种因式分解的新方法：_________________（用字母等式表示）．利用这种方法，请将下列各式因式分解：243x x ++=__________，245x x +-=___________，2252x x -+=__________，232x x --=___________．【答案】(1)222256,6,6,56x x x x x x x x ++--+--+；2,,x qx px pq p q qp ++++(2)2()()()x p q x pq x p x q +++=++，(1)(3),(5)(1),(21)(2),(32)(1)x x x x x x x x +++---+-【解析】【分析】（1）运用多项式乘以多项式运算法则进行计算即可得到结果；（2）运用（1）中的规律进行相反方向变形可得结果．(1)222(2)(3)2323(23)2356x x x x x x x x x ++=+++⨯=+++⨯=++222(2)(3)232(3)(23)2(3)6x x x x x x x x x +-=+-+⨯-=+-+⨯-=--222(2)(3)23(2)3(23)(2)36x x x x x x x x x -+=-++-⨯=+-++-⨯=+-22(2)(3)223(2)(3)[(2)(3)](2)(3)56x x x x x x x x x --=--+-⨯-=+-+-+-⨯-=-+∴22()()()x p x q x px qx pq x p q x pq ++=+++=+++故答案为：222256,6,6,56x x x x x x x x ++--+--+，2,,x qx px pq p q qp ++++(2)2()()()x p q x pq x p x q +++=++2243(13)13(1)(3)x x x x x x ++=+++⨯=++2245(15)(1)5(1)(5)x x x x x x +-=+-++-⨯=-+222252232x x x x x x +=-+-+-(2)(1)(2)x x x x =-+--=(2)(1)x x x -+-=(2)(21)x x --；22232222x x x x x x --=-+--=2(1)(1)(2)x x x x -+-+=(1)(22)x x x -++=(1)(32)x x -+故答案为：2()()()x p q x pq x p x q +++=++，()(13)x x ++，(1)(5)x x -+，(2)(21)x x --，(1)(32)x x -+【点睛】此题考查了因式分解的方法-分组分解法和十字相乘法、公式法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键． 例4．阅读理解：阅读下列材料：已知二次三项式22x x a ++有一个因式是()2x +，求另一个因式以及a 的值．解：设另一个因式是()2x b +，根据题意，得()()2222x x a x x b ++=++，展开，得()222242x x a x b x b ++=+++，所以412b a b +=⎧⎨=⎩，解得63a b =-⎧⎨=-⎩， 所以，另一个因式是()23x -，a 的值是-6．请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式2310x x m ++有一个因式是()4x +，求另一个因式以及m 的值．【答案】另一个因式是()32x -，m 的值是-8．【解析】【分析】根据题意得到2310(4)(3)x x m x x b ++=++，再展开得到223103(12)4x x m x b x b ++=+++，据此列方程组12104b b m +=⎧⎨=⎩，解此方程组即可解答． 【详解】解：设另一个因式是()3x b +，根据题意，得2310(4)(3)x x m x x b ++=++，展开，得223103(12)4x x m x b x b ++=+++，所以12104b b m+=⎧⎨=⎩， 解得28b m =-⎧⎨=-⎩， 所以，另一个因式是()32x -，m 的值是-8．【点睛】本题考查多项式的因式分解，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．例5．阅读下列材料：材料1：将一个形如2x px q ++的二次三项式分解因式时，如果能满足q mn =，且p m n =+，则可以把2x px q ++分解因式成()()++x m x n ．例如：①256(2)(3)x x x x ++=++；②256(6)(1)x x x x --=-+． 材料2：因式分解：24()4()1x y x y ++++．解：将“x y +”看成一个整体，令x y m +=，则原式22441(21)m m m =++=+．再将“m ”还原，得原式2(221)x y =++．上述解题用到了整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题．(1)根据材料1，分解因式：2712x x -+．(2)结合材料1和材料2，完成下面小题：①分解因式：2()4()3x y x y -+-+；②分解因式：()2(2)223x x x x ++--． 【答案】(1)(3)(4)x x --(2)①(1)(3)x y x y -+-+；②2(1)(1)(3)x x x +-+【解析】【分析】（1）将x 2-7x +12写成x 2+（-3-4）x +（-3）×（-4），根据材料1的方法可得（x -3）（x -4）即可； （2）①令x -y =A ，原式可变为A 2+4A +3，再利用十字相乘法分解因式即可；②令B =x （x +2）=x 2+2x ，原式可变为B （B -2）-3，即B 2-2B -3，利用十字相乘法可分解为（B -3）（B +1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．(1)解：原式2(34)(3)(4)(3)(4)x x x x +--+-⨯-=--；(2)解：①令A =x -y ，则原式=A 2+4A +3=（A +1）（A +3），所以（x -y ）2+4（x -y ）+3=（x -y +1）（x -y +3）；②令B =x （x +2）=x 2+2x ，则原式=B （B -2）-3=B 2-2B -3，=（B +1）（B -3），∴原式=（x 2+2x +1）（x 2+2x -3）=（x +1）2（x -1）（x +3）．【点睛】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．知识点2：提取公因式法与分组分解法例6．按要求完成下列各题：(1)分解因式：22a b ab b -+；(2)计算：2244()ab b ab ab -⋅-÷．【答案】(1)2(1)b a -；(2)3ab -．【解析】【分析】（1）先提取公因式b ，再将剩余的项利用完全平方公式分解因式即可；（2）按照整式的运算法则计算即可．(1)解：由题意可知：22a b ab b -+()2=21b a a -+()21b a =-． (2)解：由题意可知：2244()ab b ab ab -⋅-÷244=4ab b a b ab -⋅÷254=4ab a b ab -÷=4ab ab -=3ab -．【点睛】本题考查利用提公因式和完全平方公式分解因式，积的乘方，同底数幂的除法，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法和整式的运算法则．例7．已知a =，b 22a b ab -的值．【答案】【解析】【分析】先因式分解，再整体代入求值即可．【详解】∵a =，b =∴4ab ==，a b -=∴22(a b ab ab a b -=-【点睛】本题考查二次根式的化简求值，先因式分解后整体代入是解题的关键．例8．因式分解：(1)11824n n x x +-；(2)4224-1881x x y y +【答案】(1)()634n x x -(2)()()2233x y x y +-【解析】（1）提公因式分解因式即可；（2）先用完全平方公式因式分解，再用平方差公式分解因式即可．(1)解：18xn +1−24xn=6xn ·3x −6xn ·4= 6xn (3x −4)；(2)x 4-18x 2y 2+81y 4=(x 2−9y 2)2=(x +3y )2(x −3y )2．【点睛】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握多项式的因式分解的方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、分组分解法、十字相乘法，并根据多项式的特征灵活选取不同的方法，还要注意一定要分解彻底．例9．已知a =b =22a b ab -的值．【答案】【解析】【分析】先利用提公因式法把22a b ab -进行因式分解，再代入计算即可．【详解】解：∵()22a b ab ab a b -=-，又a =b =∴a b =-=1ab ==，∴()221a b ab ab a b -=-=⨯【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，因式分解，代数式求值，掌握二次根式的混合运算，因式分解，代数式求值，注意灵活应用．例10．（1）因式分解：()()211x x x +-+．（2）先化简，再求值：22169124x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪+-⎝⎭，其中3x =． 【答案】（1）1x +；（2）23x x -+，16【解析】（1）直接提公因式即可；（2）先算括号内的部分，将除法变乘法，最后约分化简后代入求值即可．【详解】（1）原式=()()11x x x ++-=x +1；（2）原式=212(3)22(2)(2)x x x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪+++-⎝⎭ 23(2)(2)2(3)x x x x x ++-=⋅++ 23x x -=+， 当3x =时，原式=3233-+ 16=． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值及因式分解的方法，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及因式分解的方法．例11．（1）计算：2(2)(2)(3)a a a +-++；（2）因式分解：264x xy -．【答案】（1）6a ＋13；（2）2x （3x －2y ）【解析】【分析】（1）分别运用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可完成；（2）用提公因式法即可分解因式．【详解】（1）原式＝4－a 2＋a 2＋6a ＋9＝6a ＋13；（2）原式＝2x （3x －2y ）．【点睛】本题考查了运用乘法公式进行整式的乘法及因式分解，熟练掌握两个乘法公式：平方差公式及完全平方公式、提公因式法是解题的关键．例12．解方程组：222290216x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩． 【答案】31x y =-⎧⎨=⎩，31x y =⎧⎨=-⎩，62x y =-⎧⎨=-⎩， 62x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】 通过因式分解化简原方程组可以得到四个方程组，分别解四个方程组即可．【详解】解：∵22393x x x y y y ，()()()2222161644x xy y x y x y x y -+-=--=-+-- ∴原方程组可以化为：3040x y x y +=⎧⎨-+=⎩，3040x y x y +=⎧⎨--=⎩，3040x y x y -=⎧⎨-+=⎩，3040x y x y -=⎧⎨--=⎩解这些方程组可得：31x y =-⎧⎨=⎩，31x y =⎧⎨=-⎩，62x y =-⎧⎨=-⎩， 62x y =⎧⎨=⎩ ∴原方程组的解为：31x y =-⎧⎨=⎩，31x y =⎧⎨=-⎩，62x y =-⎧⎨=-⎩， 62x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了解方程组，解题的关键是通过因式分解的方法对方程组进行降次，通过降次转化为我们所学习过的二元一次方程组进行求解．知识点3：关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解例13．观察猜想：如图，大长方形是由四个小长方形拼成的(1)请根据此图填空：()22x p q x pq x px qx pq +++=+++=（___________）（___________）.说理验证：事实上，我们也可以用如下方法进行变形：()()()222x p q x pq x px qx pq x px qx pq +++=+++=+++=___________=（___________）（___________） 于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解.尝试运用：例题：把232x x ++分解因式.解：()()()2232212121x x x x x x ++=+++⨯=++.(2)请利用上述方法将下面多项式因式分解：2712x x -+；【答案】(1)x p +，x q +；()()x p x x p q +++，x p +，x q +(2)()()34x x --【解析】【分析】（1）根据三个小长方形的面积与一个正方形的面积之和等于大长方形的面积列出等式即可；也可先根据分组分解法进行因式分解，两者得出的结果一致．（2）根据题干的结论：()2x p q x pq +++=()()x p x q ++，将一个二次三项式分解因式，从而求出结果．(1)解：()2x p q x pq +++2x px qx pq =+++=()()x p x q ++ ；()2x p q x pq +++=2x px qx pq +++=()()2x px qx pq +++=()()x p x x p q +++=()()x p x q ++；故答案为：x +p ，x +q ；（x +p ）x +（x +p ）q ，x +p ，x +q(2)解：2712x x -+()()()()23434x x ⎡⎤=+-+-+-⨯-⎣⎦()()34x x ⎡⎤⎡⎤=+-+-⎣⎦⎣⎦()()34x x =--．【点睛】本题考查了利用几何图形的面积方法和分组分解法进行二次三项式的因式分解，掌握利用几何图形的面积的不同求法进行因式分解是解题的关键．例14．分解因式：(1)323812a b ab c +；(2)22921x a a ---【答案】(1)224(23)ab a bc +(2)()()3131x a x a ++--【解析】【分析】(1)利用提取公因式法，即可分解因式；(2)首先进行分组，再利用完全平方公式和平方差公式，即可分解因式．(1)解：323812a b ab c +=224(23)ab a bc +(2)解：22921x a a ---()22921x a a =-++()()2231x a =-+ ()()3131x a x a =++--【点睛】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差和完全平方公式是解题关键． 例15．教科书中这样写道：“我们把多项式222a ab b -+及222a ab b -+叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式：223x x +-．原式=222223(21)4(1)2(12)(12)(3)(1)x x x x x x x x x +-=++-=+-=+++-=+-例如．求代数式2241x x +-的最小值．原式=222412(211)2(1)3x x x x x +-=++-=+-，可知当1x =-时，2241x x +-有最小值，最小值是3-．(1)分解因式：223a a --=________；(2)试说明：x 、y 取任何实数时，多项式22426x y x y +-++的值总为正数；(3)当m ，n 为何值时，多项式222241m mn n n -+-+有最小值，并求出这个最小值．【答案】(1)()()31a a -+(2)见解析(3)当2m n ==时，多项式222241m mn n n -+-+有最小值3-【解析】【分析】（1）仿样例对含字母的项进行配方化成完全平方式，运用平方差公式进行分解因式；（2）先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式，利用非负数的性质进行解答；（3）用配方法将多项式222241m mn n n -+-+转化()()2223m n n -+--，然后利用非负数的性质进一步得最小值．(1)解：223a a --22113a a =-+-- ()214a =-- ()()31a a =-+；故答案为：()()31a a -+(2)解：22426x y x y +-++2244211x x y y =-+++++()()22211x y =-+++，∵()()222010x y -≥+≥，，∴224261x y x y +-++≥，∴原式的值总为正数；(3)解：222241m mn n n -+-+2222443m mn n n n =-++-+- ()()2223m n n =-+--当0-=m n ，20n -=即2m n ==时，原式取最小值-3．∴当2m n ==时，多项式222241m mn n n -+-+有最小值3-．【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题的关键是要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值．例16．阅读材料：若m 2﹣2mn +2n 2﹣8n +16＝0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn +2n 2﹣8n +16＝0，∴（m 2﹣2mn +n 2）+（n 2﹣8n +16）＝0（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2＝0，∴（m ﹣n ）2＝0且（n ﹣4）2＝0，∴ m ＝n ＝4．根据你的观察，探究下面的问题：(1)a 2﹣2a +1+b 2＝0，则a ＝______，b ＝______；(2)已知x 2+2y 2﹣2xy +4y +4＝0，求xy 的值；(3)已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2a 2+b 2﹣4a ﹣10b +27＝0，求△ABC 的周长．【答案】(1)1，0(2)xy ＝14(3)△ABC 的周长为11【解析】【分析】（1）利用因式分解将已知等式进行变形，得到：22(1)0a b -+=，结合非负数的性质求得a 、b 的值； （2）将2222440x y xy y +-++=变形为22()(2)0x y y -++=，再根据非负数的性质求出2x =-，2y =-，代入y x ，计算即可；（3）利用因式分解把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可．(1)解：22102a b a ++-=，22(1)0a b ∴-+=2(1)0a -，20b ，10a ∴-=，0b =，1a ，0b =，故答案为：1，0；(2)解：2222440x y xy y +-++=，22()(2)0x y y ∴-++=，2()0x y ∴-=，2(2)0y +=，2x ∴=-，2y =-，21(2)4y x -∴=-=； (3)解：∵2a 2+b 2﹣4a ﹣10b +27＝0，∴2a 2﹣4a +2+b 2﹣10b +25＝0，∴2（a ﹣1）2+（b ﹣5）2＝0，则a ﹣1＝0，b ﹣5＝0，解得，a ＝1，b ＝5，∵5-1＜c ＜5+1，即4＜c ＜6，且c 是正整数∴c =5即三角形三边分别为1、5、5，∴△ABC 的周长为1+5+5＝11．【点睛】本题考查的是因式分解的应用和三角形三边关系，非负性、灵活运用完全平方公式、解题的关键是因式分解为两个非负数的和．【过关测试】一、单选题1．把多项式3x x -+因式分解，正确的结果是（ ）A ．2(1)x x -+B ．2(1)x x --C ．2(1)x x -+D ．(1)(1)x x x +-【答案】D【解析】【分析】首先提取公因式x ，然后利用平方差公式即可分解．【详解】解：-x +x 3=-x （1-x 2）=-x （1+x ）（1-x ）=x （x +1）（x -1）．故选：D ．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．2．下列命题中，假命题的个数是（ ）①()323626ab a b =；②分解因式：21(1)(1)x x x -+=-+--3；④如果方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根，则实数1a <；⑤在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则这组数据的中位数是5．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】【分析】①()323628=ab a b ，②分解因式： ()()2111x x x -+=-++程2210ax x ++=有两个不相等的实数根， 那么Δ=4-4a >0，a <1，且a ≠0，⑤把7，5，3，5，10，从小到大排列：3，5，5，7，10，中位数为5．【详解】①()323626ab a b =， ∵()323628=ab a b ， 故此命题是假命题；②分解因式：21(1)(1)x x x -+=-+--，∵()()2111x x x -+=-++，故此命题是假命题；3，∵故此命题是假命题；④如果方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根，则实数1a <，∵方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根，∴Δ=4-4a >0，a <1，且a ≠0，故此命题是假命题；⑤在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则这组数据的中位数是5， ∵五个数从小到大排列为：3，5，5，7，10，∴中位数为：5．故此命题是真命题．故假命题有4个．故选D ．【点睛】本题考查了积的乘方，分解因式，算术平方根，一元二次方程根的判定，中位数，熟练掌握积乘方的法则，用平方差公式分解因式，算术平方根的定义，一元二次方程的定义与根的判别式，中位数的定义及求法，是解决此题的关键．3．下列因式分解正确的是（ ）A ．22()()-=+-a b ab a a b a bB ．22(21)(21)(21)--=+--+a b a b a bC ．3222()-+=-a ab ab a a bD ．2222244(2)-+=-a b a b a a b【答案】B【解析】【分析】对各选项进行因式分解后进行判断即可．【详解】解：A 中()22()()a b ab ab a b a a b a b -=-≠+-，错误，故不符合题意；B 中22(21)(21)(21)--=+--+a b a b a b ，正确，故符合题意；C 中()32222()22a ab ab a a b b a a b -+=-+≠-，错误，故不符合题意； D 中()2222222()4422a b a b a a b a b -+=-≠-，错误，故不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了因式分解．解题的关键在于对因式分解方法的熟练掌握与灵活运用．4．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过点M (−2，c )．若自变量x 取−4，−52，1，3时，对应的函数值分别为y 1，y 2，y 3，y 4，则下列说法一定正确的是（ ）A ．若34341y y y y +>+，则12121y y y y +>+B ．若41411y y y y +>+，则23231y y y y +>+C ．若12121y y y y +<+，则34341y y y y +<+D ．若13131y y y y +<+，则24241y y y y +<+【答案】D【解析】【分析】先求得该图象的对称轴为x =-2b a=-1，不妨设a >0，根据各点横坐标与对称轴的距离大小得到y 4> y 1> y 3> y 2，再对条件分解因式，即可判断．【详解】解：∵二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过点M (−2，c )，∴4a -2b +c =c ，即b =2a ，二次函数的解析式为y =ax 2+2ax +c ，∴该图象的对称轴为x =-2b a=-1， 不妨设a >0，∵()()()()531411112-->--->-->---， ∴y 4> y 1> y 3> y 2，A 、若34341y y y y +>+，即3434344431(1)(1)(1)(1)0y y y y y y y y y +--=---=-->，则1212122211(1)(1)(1)(1)y y y y y y y y y +--=---=--不一定大于0，故该选项不符合题意；B 、若41411y y y y +>+，同理得：41(1)(1)0y y -->，则23(1)(1)y y --不一定大于0，故该选项不符合题意；C 、若12121y y y y +<+，同理得：21(1)(1)0y y --<，则34(1)(1)y y --不一定小于0，故该选项不符合题意；D 、若13131y y y y +<+，同理得：31(1)(1)0y y --<，则24(1)(1)y y --一定小于0，故该选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，因式分解的应用，利用二次函数图象上点的坐标特征，求出y 4> y 1> y 3> y 2是解题的关键．5．因式分解：2x 3﹣8x ＝（ ）A ．x （2x 2﹣8）B ．2（x 3﹣4x ）C ．2x （x +2）（x ﹣2）D ．2x （x 2﹣4）【答案】C【解析】【分析】先提公因式2x ，再利用平方差公式继续分解即可解答．【详解】解：2x 3﹣8x＝2x （x 2﹣4）＝2x （x +2）（x ﹣2），故选：C ．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 6．已知多项式236x kx ++能分解为两个整系数一次式的乘积，则k 的值有（ ）个．A ．10B ．8C ．5D ．4【答案】A【解析】【分析】 设236x kx ++能分解成()()x p x q ++，根据整式的乘法化简，得到,36p q k pq +==，根据,p q 为整数求解即可．【详解】设236x kx ++=()()x p x q ++()2x p q x pq =+++，则,36p q k pq +==1234612346,,,,,,,3618129,63618129,6p p p p p p p p p p q q q q q q q q q q ======-=-=-=-=-⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨======-=-=-=-=-⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩ 37,20,15,13,12,37,20,15,13,12,k p q ∴=+=-----共10个故选A【点睛】本题考查了因式分解，整式的乘法，掌握之间的关系是解题的关键．7．如果2x -是多项式24x x k -+的一个因式，则k 的值为（ ）A ．-4B ．4C ．5D ．8【答案】B【解析】【分析】设24x x k -+=()()2-+x x a ，然后利用多项式乘法法则计算，得到的式子与24x x k -+的对应项的系数相同，据此即可求得a ，k 的值．【详解】解：设24x x k -+=()()2-+x x a =()()222x a x a +-++-， 则242a a k -+=-⎧⎨-=⎩， 解得：24a k =-⎧⎨=⎩． 故选：B ．【点睛】本题考查因式分解与整式乘法的关系，根据2x -是多项式24x x k -+的一个因式，设24x x k -+=()()2-+x x a 是解题的关键．8．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a ﹣b ，x ﹣1，3，x 2+1，a ，x +1分别对应下列六个字：你，爱，邓，数，学，州，现将3a （x 2﹣1）﹣3b （x 2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A ．你爱数学B ．你爱学C ．爱邓州D ．邓州爱你【答案】D【解析】【分析】把所给的式子运用提公因式和平方差公式进行因式分解，查看对应的字即可得出答案．【详解】解：223(1)3(1)a x ﹣﹣b x ﹣ =()()231x a b -- =3(x +1)(x −1)(a −b )，∵a ﹣b ，x ﹣1，3，x 2+1，a ，x +1分别对应下列六个字：你，爱，邓，数，学，州，∴结果呈现的密码信息可能是：邓州爱你，故选：D ．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法和套用平方差公式．9．已知a ﹣b ＝2，则a 2﹣b 2﹣4b 的值为（ ）A ．5B ．4C ．2D ．1【答案】B【解析】【分析】先根据平方差公式分解，再整体代入，并整理，然后整体代入求出答案．【详解】∵a -b =2，∴224()()4224222()224a b b a b a b b a b b a b a b --=+--=+-=-=-=⨯=．故选：B.【点睛】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．二、填空题10．若实数m ，n 满足2222890m n m n mn ++++=，则()2m n -的值为_________．【答案】12【解析】【分析】首先将8mn 变形为26mn mn +，然后分组，分别把222m n mn ++和2269m n mn ++因式分解，进一步利用非负数的性质得出m n +和mn 的值，然后再将()2m n -变形为()24m n mn +-，最后将m n +和mn 的值代入计算即可．【详解】解：∵2222890m n m n mn ++++=，∴22222690m n m n mn mn +++++=，∴()()22222690m mn n m n mn +++++=， ∴()()2230m n mn +++=，∴0m n +=，3=-mn ，∴()2m n -222m mn n =-+2224m mn n mn =++-()24m n mn =+- ()2043=-⨯-12=．故答案为：12．【点睛】本题考查利用完全平方公式进行因式分解，非负数的性质，代数式求值等知识，运用了整体代入的思想方法．利用完全平方公式将代数式变形是解决本题的关键．11．已知关于x 的多项式x 2+kx ﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k 的值为 _____．【答案】2±【解析】【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k 就等于那两个整数之和．【详解】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，∴k ＝﹣3+1＝﹣2或k ＝﹣1+3＝2，∴整数k 的值为：±2，故答案为：±2．【点睛】本题考查因式分解—十字相乘法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．12．若关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式：2x bx c ++=______．【答案】（x +3）（x -2）【解析】【分析】先根据根与系数的关系确定b 、c 的值，然后再运用十字相乘法因式分解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为2和﹣3∴-b =2+（-3），c =2×（-3）∴b =1，c =-6∴26x x +-=（x +3）（x -2）．故答案是（x +3）（x -2）．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、十字相乘法因式分解等知识点，根据根与系数的关系确定b 、c 的值是解答本题的关键．13．已知x ＝2，x+y ＝3，则x 2y+xy 2＝_____．【答案】6y【解析】【分析】原式提取公因式，把各自的值代入计算即可求出值．【详解】解：∵x ＝2，x+y ＝3，∴原式＝xy （x+y ）＝6y ，故答案为：6y【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握计算法则是解题关键.14．分解因式：324x xy -=__________．【答案】(2)(2)x x y x y +-【解析】【分析】先提公因式x ，再利用平方差公式分解因式．【详解】解：2223(4)(2)(2)4x xy x x y x x y x y =---=+故答案为：(2)(2)x x y x y +-．【点睛】本题考查分解因式，涉及提公因式、平方差公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．15．已知6a b +=，2ab =．（1）则2222a b ab +=______．（2）()2a b -=______．【答案】 24 28【解析】【分析】根据提公因式进行因式分解及完全平方公式变形．然后整体代入即可求解．【详解】解：（1）∵6a b +=，2ab =．∴22222()22624a b ab ab a b +=+=⨯⨯=， ()222()464228a b a b ab -=+-=-⨯=，故答案为：（1）24；（2）28；【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解，熟记公式结构以及公式的变形对解题比较有用．16．分解因式：2(1)(2)(2)xy x y xy x y --+---的结果为___________________________．【答案】()()2211x y --【解析】【分析】首先将x +y 与xy 看作一个整体，去括号，再利用完全平方公式分解因式得出结果即可．【详解】解：（xy −1）2−（x ＋y −2xy ）（2−x −y ）＝（xy −1）2＋（x ＋y −2）（x ＋y −2xy ）＝（x ＋y ）2−2xy （x ＋y ）−2（x ＋y ）＋4xy ＋（xy ）2−2xy ＋1＝[（x ＋y ）2−2xy （x ＋y ）＋（xy ）2]−2（x ＋y −xy ）＋1＝（x ＋y −xy ）2−2（x ＋y −xy ）＋1＝[（x ＋y −xy ）−1]2＝（−xy ＋x ＋y −1）2＝[−x （y −1）＋（y −1）]2＝[（y −1）（1−x ）]2＝（x −1）2（y −1）2故答案为：22(1)(1)x y --． 【点睛】此题主要考查了因式分解，正确去括号进而利用完全平方公式分解因式是解题关键．17．分解因式：2421x x +-=________．【答案】(7)(3)x x +-##(3)(7)x x -+【解析】【分析】将原多项式分组变形，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【详解】解：2421x x +-=2(44)25x x ++-=22(2)5x +-=(25)(25)x x +++-=(7)(3)x x +-，故答案为：(7)(3)x x +-．【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，灵活运用因式分解的方法是解答的关键． 18．若220x x +-=，则3222020x x x +-+=_________．【答案】2022【解析】【分析】根据220x x +-=，得22x x +=，然后局部运用因式分解的方法达到降次的目的，整体代入求解即可．【详解】∵220x x +-=∴22x x +=∴3222020x x x +-+3222020x x x x =++-+()222020x x x x x =++-+222020x x x =+-+ 22020x x =++22020=+2022=故填“2022”．【点睛】本题主要考查了因式分解，善于运用因式分解的方法达到降次的目的，渗透整体代入的思想是解决本题的关键．19．在实数范围内分解因式：251x x -+=___________．【答案】x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】由2510x x -+=时，解得x =【详解】解：当2510x x -+=时， 1,5,1a b c ==-=，()2245411210b ac ∴∆=-=--⨯⨯=＞，x ∴==251x x x x ⎛ ∴-+=⎝⎭⎝⎭，故答案为：x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式的知识，当无法用十字相乘法分解时可以使用求根公式法进行分解．三、解答题20．因式分解(1)3222a a b ab -+(2)()()224m n m n +--(3)2215x x --(4)22144a b ab --+【答案】(1)()2a a b -(2)()()33m n m n ++(3)()()35x x +-(4)()()1212a b a b +--+【解析】【分析】（1）先提公因式a ，再根据完全平方公式因式分解即可；（2）直接根据平方差公式因式分解即可；（3）根据完全平方公式和平方差公式因式分解即可；（4）先分组，再根据完全平方公式和平方差公式因式分解即可；(1)解：原式＝()222a a ab b -+()2a ab =-(2)解：原式＝()()()()22m n m n m n m n ++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()33m n m n =++(3)解：原式＝()22116x x -+-()2214x =--()()1414x x =-+-- ()()35x x =+-(4)解：原式＝()22144a ab b --+()2212a b =-- ()()1212a b a b =+--+【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解是的方法是解题的关键．21．已知23x a ab =-，222y a ab b =--+．(1)化简3x y -；(2)当a 和b 221b b ---时，求3x y -的值．【答案】(1)2246a b -(2)10【解析】【分析】（1）用a ，b 表示出代数式3x y -，化简即可；（2）根据已知式子求出a ，b ，代入（1）的结果即可；(1)∵23x a ab =-，222y a ab b =--+，∴()2223332x y a ab a ab b -=----+， 2223336a ab a ab b =-++-，2246a b =-；(2)221b b ---，()210b+=，∴2010ab-=⎧⎨+=⎩，∴2a=，1b=-，∴()2222346426110x y a b-=-=⨯-⨯-=；【点睛】本题主要考查了整式化简求值，准确利用二次根式非负性求解是解题的关键．22．已知：2a b+=-，1ab=，求下列多项式的值．(1)2222a ab b-+-(2)224444a b ab a b+--【答案】(1)2-(2)0【解析】【分析】（1）按照完全平方公式计算，化成含有a+b，ab，的式子，再代入计算即可；（2）先提取公因式分解因式，化成含有a+b，ab，的式子，再代入计算即可．【详解】解：（1）2222a ab b-+-22242a ab b ab=++--242a b ab=+--（）原式224122=--⨯-=-（）（2）224444a b ab a b+--224444a b ab a b=+-+（）（）44ab a b a b=+-+（）（）41a b ab=+-（）（）将2a b+=-，1ab=，代入，原式()()42110=⨯-⨯-=【点睛】本题考查了整式的运算，完全平方公式，以及因式分解，解题的关键是利用提取公因式，或者完全平方公式进行变形，化成化成含有a+b，ab，的式子，再代入计算．23．对于任意一个三位数p，若个位上数字等于百位上的数字与十位上的数字之和，则称这个三位数p为“桃园数”．例如：112p=，因为112+=，所以112是“桃园数”；253p=，因为253+≠，所以253不是“桃园数”；(1)判断459，615是否是“桃园数”？说明理由；(2)对于“桃园数”p ，去掉个位上的数字得到的两位数记为m ，去掉百位上的数字后将十位与个位的数字交换得到的两位数记为n ，若m n +能被24整除，求所有的p ．【答案】(1)459是“桃园数”， 615不是“桃园数”(2)P 的值为314、336、358、628【解析】【分析】（1）根据“桃园数”定义判断即可；（2）设“桃园数”p 的百位上的数字是a ，十位上的数字是b ，表示出p 、m 、n 判断即可．(1)因为459+=，所以459是“桃园数”；因为615+≠，所以615不是“桃园数”；(2)设“桃园数”p 的百位上的数字是a ，十位上的数字是b ，则个位上的数字是()a b +，∴10010()10111p a b a b a b =+++=+10m a b =+10()1011n a b b a b =++=+∴10101120124(53)m n a b a b a b a b +=+++=+=+∵m n +能被24整除，∴53a b +是6的倍数∴a 、b 同是偶数或同是奇数，且a 是3的倍数∵a 、b 、a +b 分别在百位、十位、个位上∴190919a b a b ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤+≤⎩∴3a =或6或9当3a =时，531535662a b b b +++==，此时b 的值可以是1、3、5 对应的P 的值为314、336、358；当6a =时，533035662a b b b ++==+，此时b 的值可以是2 对应的P 的值为628；当9a =时，5345315662a b b b +++==，由于19a b ≤+≤，此时b 不存在 综上，P 的值为314、336、358、628．【点睛】本题考查新定义运算，理解“桃园数”的定义并正确的设未知数表示各个数是解题的关键．24．（1）分解因式：3a 2﹣6a +3；（2）解方程：x 2﹣4x +2＝0．【答案】（1） 3(a -1)2；（2）12x x ==【解析】【分析】（1）先提公因数3，然后利用完全平方公式分解因式；（2）利用配方法得到（x -2）2=2，然后利用直接开平方法解方程即可．【详解】解：（1）3a 2﹣6a +3=3（a 2-2a +1）=3（a -1）2；（2）x 2-4x +2=0，x 2-4x =-2，x 2-4x +4=2（x -2）2=2，x -所以x 1，x 2=2【点睛】本题考查了解一元二次方程及因式分解方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．25．把下列各式因式分解：(1)228x -；(2)2(2)8(2)16a a +-++．【答案】(1)2(2)(2)x x +-；(2)2(2)a -．【解析】【分析】（1）根据提公因式法和平方差公式分解因式即可；（2）将(2)a +看成一个整体，利用完全平方公式分解因式即可．(1)解：228x -，＝22(4)x -，＝2(2)(2)x x +-；(2)。
2020中考数学精选例题解析：因式分解
（2） a 2ba 1a 1 （三、二分组后再提取公因式）
（3） x y 3x y 1（三、二、一分组后再用十字相乘法）
【例 4】在实数范围内分解因式：
（1） x 4 4 ；
（2） 2x 2 3x 1
答案：（1） x2 2 x 2 x 2
7
。
6、 m 、 n 满足 m 2 n 4 0 ，分解因式 x2 y 2 mxy n
＝
。
二、选择题：
1、把多项式 ab 1 a b 因式分解的结果是（ ）
A、 a 1b 1 B、 a 1b 1 C、 a 1b 1 D、 a 1b 1
2、如果二次三项式 x2 ax 1可分解为 x 2x b ，则 a b 的值为（ ）
二、选择题：DADD 三、解答题
1、（1） 2xn1x 13x 4 ；
（2） x 1x 2x 4x 1
（3） a b 12 ；
（4） x2 5x 5 2
（5） 1 ab a b1 ab a b
2、 3 2
3、5050
4、13
23
33
43
n3
nn 1 2
2
5、不正确，③，等式两边除以了可能为零的数，等腰或直角三角形。
2234
8 9 10 10
11 ＝
20
（2）计算： 20022 20012 20002 19992 19982 22 12
3
分析：分解后，便有规可循，再求 1 到 2002 的和。
解：原式＝ 2002 20012002 2001 2000 19992000 1999 2 12 1
（1） x 2 3xy 10 y 2
因式分解经典题及解析
2013组卷1．在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解x2+2x﹣3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法：x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣①=（x+1）2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣②=…解决下列问题：（1）填空：在上述材料中，运用了_________ 的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；（2）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x﹣3；（3）请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5．2．请看下面的问题：把x4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．（1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________ ．A、提取公因式B．平方差公式C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底_________ ．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________ ．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．4．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解．5．利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．6．已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为（3x﹣2），试求m的值并将多项式因式分解．7．已知多项式（a2+ka+25）﹣b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．请给定一个k值并写出因式分解的过程．8．先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0，我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：解：2x2+8x+10=2（x2+4x+5）（提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式）=2（x2+4x+22﹣22+5）=2[（x+2）2+1]（将二次多项式配方）=2（x+2）2+2 （去掉中括号）因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么2（x+2）2+2的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0，并且，当x=﹣2时，原式有最小值2．请仿照上例，说明代数式﹣2x2﹣8x﹣10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什么．9．老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1；丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式．10．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）（x﹣9），而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解．11．观察李强同学把多项式（x2+6x+10）（x2+6x+8）+1分解因式的过程：解：设x2+6x=y，则原式=（y+10）（y+8）+1=y2+18y+81=（y+9）2=（x2+6x+9）2（1）回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：_________ ．（2）仿照上题解法，分解因式：（x2+4x+1）（x2+4x﹣3）+4．12．（1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：多项式含有字母m和n，系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）．（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]①=（1+x）2（1+x）②=（1+x）3③①上述分解因式的方法是_________ ，由②到③这一步的根据是_________ ；②若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2006，结果是_________ ；③分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．13．阅读下面的材料并完成填空：因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b两数满足a﹒b=a+b=p，则有x2+px+q=（x+a）（x+b）．如分解因式x2+5x+6．解：因为2×3=6，2+3=5，所以x2+5x+6=（x+2）（x+3）．再如分解因式x2﹣5x﹣6．解：因为﹣6×1=﹣6，﹣6+1=﹣5，所以x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看．因式分解：（1）x2+7x+12；（2）x2﹣7x+12；（3）x2+4x﹣12；（4）x2﹣x﹣12．答案1．请看下面的问题：把x4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．（1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．2．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C ．A、提取公因式B．平方差公式C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底不彻底．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（x﹣2）4．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．3．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解．4．利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．5．已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为（3x﹣2），试求m的值并将多项式因式分解．x=时多项式的值为×6．已知多项式（a2+ka+25）﹣b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．请给定一个k值并写出因式分解的过程．7．先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0，我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：解：2x2+8x+10=2（x2+4x+5）（提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式）=2（x2+4x+22﹣22+5）=2[（x+2）2+1]（将二次多项式配方）=2（x+2）2+2 （去掉中括号）因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么2（x+2）2+2的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0，并且，当x=﹣2时，原式有最小值2．请仿照上例，说明代数式﹣2x2﹣8x﹣10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什么．8．老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1；丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式．9．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）（x﹣9），而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解．10．观察李强同学把多项式（x2+6x+10）（x2+6x+8）+1分解因式的过程：解：设x2+6x=y，则原式=（y+10）（y+8）+1=y2+18y+81=（y+9）2=（x2+6x+9）2（1）回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：（x+3）4．（2）仿照上题解法，分解因式：（x2+4x+1）（x2+4x﹣3）+4．11．（1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：多项式含有字母m和n，系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）．（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]①=（1+x）2（1+x）②=（1+x）3③①上述分解因式的方法是提公因式法分解因式，由②到③这一步的根据是同底数幂的乘法法则；②若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2006，结果是（1+x）2007；③分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．12．阅读下面的材料并完成填空：因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b两数满足a﹒b=a+b=p，则有x2+px+q=（x+a）（x+b）．如分解因式x2+5x+6．解：因为2×3=6，2+3=5，所以x2+5x+6=（x+2）（x+3）．再如分解因式x2﹣5x﹣6．解：因为﹣6×1=﹣6，﹣6+1=﹣5，所以x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看．因式分解：（1）x2+7x+12；（2）x2﹣7x+12；（3）x2+4x﹣12；（4）x2﹣x﹣12．。
新初中数学因式分解真题汇编及解析(2)
新初中数学因式分解真题汇编及解析(2)一、选择题1．已知a ，b ，c 满足3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（ ）． A ．0B ．3C ．6D ．9【答案】D【解析】【分析】将等式变形可得2224+=-a b c ，2224+=-b c a ，2224+=-a c b ，然后代入分式中，利用平方差公式和整体代入法求值即可．【详解】解：∵2224a b c ++=∴2224+=-a b c ，2224+=-b c a ，2224+=-a c b∵3a b c ++= ∴222222222+++++---a b b c c a c a b=222444222---++---c a b c a b=()()()()()()222222222-+-+-+++---c c a a b b c ab=222+++++c a b=()6+++c a b=6＋3=9故选D ．【点睛】 此题考查的是分式的化简求值题和平方差公式，掌握分式的基本性质和平方差公式是解决此题的关键．2．下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是( )A ．2ab(a-b)=2a 2b-2ab 2B ．x 2+1=x(x+1x )C ．x 2-4x+3=(x-2)2-1D ．a 2-b 2=(a+b)(a-b)【答案】D【解析】【分析】把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式).分解因式与整式乘法为相反变形.【详解】解：A.不是因式分解，而是整式的运算B.不是因式分解，等式左边的x 是取任意实数，而等式右边的x ≠0C.不是因式分解，原式＝(x －3)(x －1)D.是因式分解.故选D.故答案为：D.【点睛】因式分解没有普遍适用的法则，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、配方法、待定系数法、拆项法等方法.3．下列运算结果正确的是( )A ．321x x -=B ．32x x x ÷=C ．326x x x ⋅=D ．222()x y x y +=+【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘除法法则、公式法分解因式逐项进行计算即可得.【详解】A 、3x ﹣2x ＝x ，故A 选项错误；B 、x 3÷x 2＝x ，正确；C 、x 3•x 2＝x 5，故C 选项错误；D 、x 2+2xy+y 2＝(x+y)2，故D 选项错误，故选B.【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂乘除、公式法分解因式，熟练掌握相关的运算法则以及完全平方公式的结构特征是解题的关键.4．把代数式2x 2﹣18分解因式，结果正确的是（ ）A ．2（x 2﹣9）B ．2（x ﹣3）2C ．2（x +3）（x ﹣3）D ．2（x +9）（x ﹣9）【答案】C【解析】试题分析：首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．解：2x 2﹣18=2（x 2﹣9）=2（x+3）（x ﹣3）．故选C ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．5．将多项式x 2+2xy+y 2﹣2x ﹣2y+1分解因式，正确的是（ ）A．（x+y）2B．（x+y﹣1）2C．（x+y+1）2D．（x﹣y﹣1）2【答案】B【解析】【分析】此式是6项式，所以采用分组分解法．【详解】解：x2+2xy+y2﹣2x﹣2y+1=（x2+2xy+y2）﹣（2x+2y）+1=（x+y）2﹣2（x+y）+1=（x+y﹣1）2．故选：B6．如图，矩形的长、宽分别为a、b，周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为()A．60 B．30 C．15 D．16【答案】B【解析】【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出a+b，ab，进而利用提取公因式法分解因式得出答案．【详解】∵边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积6，∴2（a+b）=10，ab=6，则a+b=5，故ab2+a2b=ab（b+a）=6×5=30．故选：B．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键．7．已知a﹣b=2，则a2﹣b2﹣4b的值为()A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】【分析】原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】∵a﹣b=2，∴原式=(a +b )(a ﹣b )﹣4b =2(a +b )﹣4b =2a +2b ﹣4b =2(a ﹣b )=4．故选：B ．【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．8．把代数式322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．(3)(3)x x y x y +-B ．223(2)x x xy y -+C ．2(3)x x y -D ．23()x x y -【答案】D【解析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．解答：解：322363x x y xy -+，=3x （x 2-2xy+y 2），=3x （x-y ）2．故选D ．9．将2x 2a -6xab +2x 分解因式，下面是四位同学分解的结果：①2x （xa -3ab ）， ②2xa （x -3b +1）， ③2x （xa -3ab +1）， ④2x （-xa +3ab -1）． 其中，正确的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】C【解析】【分析】直接找出公因式进而提取得出答案．【详解】2x 2a-6xab+2x=2x （xa-3ab+1）．故选：C ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．10．下列因式分解正确的是（ ）A ．x 2﹣y 2=（x ﹣y ）2B ．a 2+a+1=（a+1）2C ．xy ﹣x=x （y ﹣1）D ．2x+y=2（x+y ）【答案】C【解析】【分析】【详解】解：A 、x 2﹣y 2=（x+y ）（x ﹣y ），故此选项错误；B 、a 2+a+1无法因式分解，故此选项错误；C 、xy ﹣x=x （y ﹣1），故此选项正确；D 、2x+y 无法因式分解，故此选项错误．故选C ．【点睛】本题考查因式分解．11．若a b +=1ab =，则33a b ab -的值为（ ）A ．±B ．C ．±D ．【答案】C【解析】【分析】将原式进行变形，3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-，然后利用完全平方公式的变形22()()4a b a b ab -=+-求得a-b 的值，从而求解． 【详解】解：∵3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-∴33)a b b ab a =--又∵22()()4a b a b ab -=+-∴22()414a b -=-⨯=∴2a b -=±∴33(2)a b ab =±=±-故选：C ．【点睛】本题考查因式分解及完全平方公式的灵活应用，掌握公式结构灵活变形是解题关键．12．下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）A ．22a b -+B ．22249x y m -C ．22x y --D ．421625m n -【答案】C【解析】A 选项-a 2+b 2=b 2-a 2=（b+a ）（b-a ）；B 选项49x 2y 2-m 2=（7xy+m ）（7xy-m ）；C 选项-x 2-y 2是两数的平方和，不能进行分解因式；D 选项16m 4-25n 2=(4m)2-(5n)2=（4m+5n ）（4m-5n ），故选C ．【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，解题的关键是要熟记平方差公式的特征.13．不论x ,y 为任何实数，22428x y x y +--+ 的值总是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【答案】A【解析】x²+y²－4x-2y+8=(x²－4x+4)+(y²-2y+1)+3=(x-2)2+(y-1)2+3≥3，不论x,y 为任何实数,x²+y²－4x-2y+8的值总是大于等于3，故选A.【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是要明确要判断一个算式是正数时总是将其整理成一个完全平方公式加正数的形式．14．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．（a +3）（a -3）=a 2-9B ．x 2+x -5=（x -2）（x +3）+1C ．a 2b +ab 2=ab （a +b ）D ．x 2+1=x （x +1x） 【答案】C【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】A 、是整式的乘法，故A 错误；B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 错误；C 、因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 正确；D 、因式中含有分式，故D 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．15．下列因式分解正确的是( )A ．()2211x x +=+B ．()22211x x x +-=- C ．()()22x 22x 1x 1=-+- D ．()2212x x x x -+=-+ 【答案】C【解析】【分析】依据因式分解的定义以及提公因式法和公式法，即可得到正确结论．【详解】解：D 选项中，多项式x 2-x+2在实数范围内不能因式分解；选项B ，A 中的等式不成立；选项C 中，2x 2-2=2（x 2-1）=2（x+1）（x-1），正确．故选C ．【点睛】本题考查因式分解，解决问题的关键是掌握提公因式法和公式法的方法．16．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．8x 2 y 3＝2x 2⋅4 y 3B ．（ x +1）（ x ﹣1）＝x 2﹣1C ．3x ﹣3y ﹣1＝3（ x ﹣y ）﹣1D ．x 2﹣8x +16＝（ x ﹣4）2【答案】D【解析】【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解.【详解】①是单项式的变形，不是因式分解；②是多项式乘以多项式的形式，不是因式分解；③左侧是多项式加减，右侧也是多项式加减，不是因式分解；④符合因式分解的定义，结果是整式的积，因此D 正确；故选D ．【点睛】本题考查因式分解的定义．正确理解因式分解的结果是“整式的积”的形式，是解题的关键．17．已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且满足222244a c b c a b -=-，则ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】移项并分解因式，然后解方程求出a 、b 、c 的关系，再确定出△ABC 的形状即可得解．【详解】移项得，a 2c 2−b 2c 2−a 4＋b 4＝0，c 2（a 2−b 2）−（a 2＋b 2）（a 2−b 2）＝0，（a 2−b 2）（c 2−a 2−b 2）＝0，所以，a 2−b 2＝0或c 2−a 2−b 2＝0，即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，因此，△ABC 等腰三角形或直角三角形．故选B ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a 、b 、c 的关系式是解题的关键．18．已知a ﹣b=1，则a 3﹣a 2b+b 2﹣2ab 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】先将前两项提公因式，然后把a ﹣b =1代入，化简后再与后两项结合进行分解因式，最后再代入计算．【详解】a 3﹣a 2b +b 2﹣2ab =a 2（a ﹣b ）+b 2﹣2ab =a 2+b 2﹣2ab =（a ﹣b ）2=1．故选C ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，四项不能整体分解，关键是利用所给式子的值，将前两项先分解化简后，再与后两项结合．19．下列不是多项式32633x x x +-的因式的是（ ）A ．1x -B ．21x -C ．xD ．3+3x【答案】A【解析】【分析】将多项式32633x x x +-分解因式，即可得出答案.【详解】解：∵32633x x x +-=23(21)3(21)(1)x x x x x x +-=-+又∵3+3x =3（x+1）∴21x -，x ，3+3x 都是32633x x x +-的因式，1x -不是32633x x x +-的因式. 故选：A【点睛】此题主要考查了提公因式法与十字相乘法的综合运用，熟练应用十字相乘法分解因式是解题关键．20．多项式2mx m -与多项式221x x -+的公因式是（ ）A ．1x -B ．1x +C ．21x -D ．()21x - 【答案】A【解析】试题分析：把多项式分别进行因式分解，多项式2mx m -=m （x+1）（x-1），多项式221x-，因此可以求得它们的公因式为（x-1）．-+=()21x x故选A考点：因式分解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二讲因式分解(二)
1．双十字相乘法
分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．
例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，
可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为
即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以
原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十
字相乘图合并在一起，可得到下图：
它表示的是下面三个关系式：
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；
(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；
(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．
用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等
于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
例1 分解因式：(1)x
2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；
(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．
解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．
(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．
(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．
原式=(y+1)(x+y-2)．
(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．
说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．
2．求根法
我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用
f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，
当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)
f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．
若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．
定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．
根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．
定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．
我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．
例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．
分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．
解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．
原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x2-2x+2)．
解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，
所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．
说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约
数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4
的约数逐个代入多项式进行验证．
例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．
分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±
为：
所以，原式有因式9x2-3x-2．
解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2
=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)
说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式
可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．
总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．
3．待定系数法
待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．
在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．
例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．
分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，
若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．
解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
比较两边对应项的系数，则有
解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．
说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．
例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．
分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．
解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，
所以有
由bd=7，先考虑b=1，d=7有
所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．
说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．
本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．
练习二
1．用双十字相乘法分解因式：
(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．
2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．
3．用待定系数法分解因式：
(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．。