高三数学综合训练题(题)5

2008届高三数学适应训练
1．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个
几何体的体积是___________cm 3．
2．对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图可知这批样本中电子元件的寿命在300~500小时的数量是________个．
3．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A (－1，3)的直线l 相切，则直线l 的方程是______________________．
4．已知P 为抛物线x 2＝14
y 上的点，点P 到x 轴的距离比它到y 轴的距离大3，则点P 的坐标是____________．
5．如图，点A 是椭圆 x 2a 2 ＋ y 2
b 2 ＝1(a ＞b ＞0)
过A 作斜率为1的直线交椭圆于另一点P ，点B 在y 轴上，且BP ∥x 轴，
AB →·AP →＝
9，若B 点坐标为
（0，1），则椭圆方程是
__________ ．
6．已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m 2－3m ≤0，x ∈R ，m ∈R }．
（1）若A ∩B ＝[2，4]，求实数m 的值；
（2）设全集为R ，若A ⊂∁R B ，求实数m 的取值范围．
7．在锐角△ABC 中，sin A ＝35，tan(A －B )＝－
12
．求tan B 及cos C 的值．
8．A ，B ，C 是直线l 上的三点，P 是直线l 外一点，已知AB ＝BC ＝a ，∠APB ＝90︒，∠BPC
＝45︒ ，∠PBA ＝θ．求：（1）tan θ 的值 ；（2）P A →·PC →．
P A B C
主视图 左视图 （第1题图） 寿命（h ） （第2题图）
9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos B cos C ＝－ b 2a ＋c
． （1）求角B 的度数；（2）若b ＝19，a ＋c ＝5，求a 和c 的值．
10．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为CC 1的中点．
求证：（1）AC 1∥平面BDE ；（2）A 1
E ⊥平面BDE ．
11．如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA ⊥平面ABCD ，PB ＝AB ＝2MA ．
求证：（1）平面AMD ∥平面BPC ；（2）平面PMD ⊥平面PBD ．
12．已知点A (－3，1)在椭圆 x 2a 2 ＋ y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左准线上．过A 点、斜率为－ 52
的光线，经直线y ＝－2反射后经过椭圆的左焦点F ．
（1）求椭圆的方程；
（2）点P 是直线y ＝－2上的一个动点，求以AP 为直径且经过点F 的圆的方程．
13．已知B 2，B 1分别是中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 的上、下顶点，F 是C 的右焦
点，FB 1＝2，F 到C 的左准线的距离是733
． （1）求椭圆C 的方程；
（2）点P 是C 上与B 1，B 2不重合的动点，直线B 1P ，B 2P 与x 轴分别交于点M ，N ．
求证：→OM ·→ON 是定值．
14．如图，F 是中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 的右焦点，直线l ：x ＝4是椭圆C 的右准线，F 到直线l 的距离等于3（1）求椭圆C 的方程； （2）点P 是椭圆C 上动点，PM ⊥l ，垂足为Ｍ．是否存在
点P ，使得△FPM 为等腰三角形？若存在，求出点P
的坐标；若不存在，说明理由．
15．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3700 x ＋45x 2－10x 3(单
位：万元)，成本函数为C (x )＝460x ＋5000（单位：万元）．在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．
（1）求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；
（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
（3）求边际利润函数MP (x )的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么? E
B C D A 1 B 1 C 1 D 1 （第10题图） A B
C D P
M （第11题图）
16．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查投入广告费
t （百万元），可增加销售额约为－t 2＋5t （百万元）（0≤t ≤5）．
（1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司
由此获得的收益最大？
（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术
改造费x （百万元），可增加的销售额约为－13
x 3＋x 2＋3x （百万元）．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？（注：收益＝销售额－投放）．
17．要设计一容积为V 的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单
位面积造价是下底面的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积的造价的一半，问储油罐的下部圆柱的底面半径R 为何值时造价最低？
18．已知函数f (x )＝x 3－3ax (a ∈R )．
（1）如果a ＝l ，求f (x )的极小值；
（2）如果a ≥l ，g (x )＝|f (x )|，x ∈[－l ，1]，求g (x )的最大值F (a )的解析式．
19．设函数f (x )＝2ln x －x 2．
（1）求函数f (x )的单调递增区间；
（2）设a ∈R ，讨论关于x 的方程f (x )＋2x 2－5x －a ＝0的解的个数．
20．已知函数f (x )＝1＋x ＋1－x ．
（1）求函数f (x )的值域；
（2）设F (x )＝m 1－x 2＋f (x )，记F (x )的最大值为g (m )，求g (m )的表达式．
21．定义：若数列{A n }满足A n ＋1＝A n 2，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，
a 1＝2，且a n ＋1＝2a n 2＋2 a n ，其中n 为正整数．
（1）设b n ＝2a n ＋1，证明：数列{b n }是“平方递推数列”，且数列{lg b n }为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”{b n }的前n 项之积为T n ，
即T n ＝（2a 1＋1）（2a 2＋1）…（2a n ＋1），求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式；
（3）记c n ＝log 2a n ＋1T n ，求数列{c n }的前n 项之和S n ，并求使S n ＞2008的n 的最小值．
22．已知数列{a n }的前n 项为和S n ，点（n ，S n n ）在直线y ＝12 x ＋112
上．数列{b n }满足 b n +2－2b n +1＋b n ＝0（n ∈N *），且b 3＝11，前9项和为153．
（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；
（2）设c n ＝ 3(2a n ―11)(2b n ―1)
，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞k 57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值；
（3）设n ∈N *，f （n ）＝ ⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数．
问是否存在m ∈N *，使得f （m ＋15）＝5f （m ）成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
23．已知数列{a n }满足：a 1＝a ，a n +1＝⎩⎨⎧a n ―3，(a n ＞3，n ∈N *)，4－a n ，(a n ≤3，n ∈N *)．
（1）若a ＝202，求数列{a n }的前30项和S 30的值；
（2）求证：对任意的实数a ，总存在正整数m ，使得当n ＞m （n ∈N *）时，a n +4＝a n 成立．。