填空题满分练(6)

填空题满分练(6)
1.已知全集U ＝R ，N ＝{x |x (x ＋3)<0}，M ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合是________. 答案 {x |－1≤x <0}
2.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)若复数z ＝1－i 2－i
，则z 的虚部为________. 答案 －15
解析 z ＝1－i 2－i ＝(1－i )(2＋i )(2－i )(2＋i )
＝3－i 5， 其虚部为－15
. 3.已知数列{a n }满足：对于∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12
，那么a 5＝________. 答案 132
解析 由于a n ·a m ＝a n ＋m (m ，n ∈N *)，且a 1＝12
. 令m ＝1，得12
a n ＝a n ＋1， 所以数列{a n }是公比为12，首项为12
的等比数列. 因此a 5＝a 1q 4＝⎝⎛⎭⎫125＝132.
4.如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为________. 答案 9
解析 这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为(0.004＋0.002)×50×30＝9.
5.已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P 为底边的等腰三角形，且60°<∠PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，12 解析 由题意可得PF 1＝F 1F 2＝2
c ，再由椭圆的定义可得PF 2＝2a －PF 1＝2a －2c .
设∠PF 1F 2＝θ，又60°<∠PF 1F 2<120°，
∴－12<cos θ＜12
. 在△PF 1F 2中，由余弦定理可得cos θ＝c 2－a 2＋2ac 2c 2
， 由－12＜cos θ＜12，可得e 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，12. 6.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≥0，x －y ≤0，
x －2y ＋2≥0，
则z ＝y x －3
的最小值是________. 答案 －2
解析 画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示(含边界)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋2＝0，
x －y ＝0，
解得A (2,2)， z ＝y x －3的几何意义为可行域内的点与定点P (3,0)的连线的斜率. ∵k P A ＝2－02－3＝－2，∴z ＝y x －3
的最小值是－2. 7.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 依次成等差数列，BC 边上的中线AD ＝7，AB ＝2，则S △ABC ＝________.
答案 3 3
解析 ∵A ，B ，C 成等差数列，∴B ＝60°，
在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ，即7＝4＋BD 2－2BD ，
∴BD ＝3或－1(舍去)，可得BC ＝6，
∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×2×6×32
＝3 3. 8.已知三棱锥P －ABC 内接于球O ，P A ＝PB ＝PC ＝2，当三棱锥P －ABC 的三个侧面的面积之和最大时，球O 的表面积为________.
答案 12π
解析 由于三条侧棱相等，根据三角形面积公式可知，当P A ，PB ，PC 两两垂直时，侧面积
之和最大.此时P A ，PB ，PC 可看成正方体一个顶点的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即4R 2＝3·22＝12，故球的表面积为4πR 2＝12π.
9.给出如图所示的流程图，若输入的x 的值为－5，则输出的y 值是________.
答案 0
解析 由流程图知，若输入的x 的值为－5，
⎝⎛⎭
⎫12－5＝25＝32>2， 程序继续运行x ＝－3，⎝⎛⎭⎫12－3＝23＝8>2，
程序继续运行x ＝－1，⎝⎛⎭⎫12－1＝2，
不满足⎝⎛⎭⎫12x >2，
∴执行y ＝log 2x 2＝log 21＝0.
10.若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0<ω<5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω
，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π8，0，则f (x )的最小正周期是________.
答案 π
解析 由f (x )＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫tan φ＝b a 图象的对称轴方程为x ＝π4ω可知，π4＋φ＝π2
＋k π，k ∈Z ，解得φ＝π4＋k π，k ∈Z ，即b a
＝tan φ＝1，所以a ＝b . 又f ′(x )＝aωcos ωx －bωsin ωx 的对称中心为⎝⎛⎭⎫π8，0，则f ′⎝⎛⎭⎫π8＝0，即aω⎝⎛⎭⎫cos ωπ8
－sin ωπ8＝0，所以ωπ8＝π4＋k π，k ∈Z ，解得ω＝2＋8k ，k ∈Z ，又因为0<ω<5，所以ω＝2，所以T ＝2πω＝π.
11.在正三角形ABC 内任取一点P ，则点P 到A ，B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为________.
答案 1－3π6
解析 满足条件的正三角形ABC 如图所示.
设边长为2，其中正三角形ABC 的面积S △ABC ＝34×4＝ 3.
满足到正三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的距离至少有一个小于等于1的平面区域如图中阴影部分所示，
其加起来是一个半径为1的半圆，
则S 阴影＝12
π， 则使取到的点到三个顶点A ，B ，C 的距离都大于1的概率P ＝1－3π6
. 12.已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0,1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是________.
答案 2＋1
解析 设点M 的坐标是(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴
x 2＋(y ＋2)2＝1，x 2＋(y ＋2)2＝1，则点M 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆.
∵A (0,1)，B (1,0)，
∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，
则|OA →＋OB →＋OM →|＝
(x ＋1)2＋(y ＋1)2，其几何意义表示圆x 2＋(y ＋2)2＝1上的点与点P (－1，－1)间的距离.
又点P (－1，－1)在圆C 的外部，
∴|OA →＋OB →＋OM →|max ＝|PC →|＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1.
13.已知P 为函数y ＝4x
的图象上任一点，过点P 作直线P A ，PB 分别与圆x 2＋y 2＝1相切于A ，B 两点，直线AB 交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，则△OMN 的面积为________. 答案 18
解析 不妨设点P 在第一象限，P ⎝⎛⎭⎫x 0，4x 0，则PO 2＝x 20＋16x 20
， P A 2＝PB 2＝PO 2－12＝x 20＋16x 20
－1， 故以P 为圆心， P A 为半径的圆的方程为()
x －x 02＋⎝⎛⎭⎫y －4x 02＝x 20＋16x 20－1， 联立x 2＋y 2＝1，
两圆方程作差可得直线AB 的方程为x 0x ＋4x 0
y －1＝0， 故M ⎝⎛⎭⎫1x 0
，0，N ⎝⎛⎭⎫0，x 04， 所以△OMN 的面积为12·1x 0·x 04＝18
. 14.函数y ＝f (x )的定义域为D ，若∀x ∈D ，∃a ∈[1,2]，使得f (x )≥ax 恒成立，则称函数y ＝f (x )具有性质P ，现有如下函数：
①f (x )＝e x －1；②f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭
⎫x －π4－1(x ≤0)； ③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
ln (1－x )，x <0，(x －1)3＋1，x ≥0. 则具有性质P 的函数f (x )为________.(填序号)
答案 ①②
解析 ①设φ(x )＝e x －1－x (x ∈R )，则φ′(x )＝e x －1－1.
当x >1时，φ′(x )>0；当x <1时，φ′(x )<0.
∴φ(x )min ＝φ(1)＝0，所以e x －1－x ≥0，e x －1≥x ，
故∃a ＝1，使f (x )≥ax 在R 上恒成立，①中函数f (x )具有性质P ；
②易知f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭
⎫x －π4－1＝sin 2x (x ≤0). 令φ(x )＝f (x )－2x ＝sin 2x －2x (x ≤0)，
则φ′(x )＝2cos 2x －2.
∴φ′(x )≤0，∴φ(x )在(－∞，0]上是减函数，
∴φ(x )min ＝φ(0)＝0，故f (x )≥2x 恒成立.
∴∃a ＝2，使得f (x )≥ax 在(－∞，0]上恒成立，
②中函数f (x )具有性质P ；
③作函数y ＝f (x )与直线y ＝ax 的图象，显然当y ＝ax 过点O (0,0)，A (1,1)，B (2,2)时，斜率a ＝1.
根据图象知，不存在a ∈[1,2]，使f (x )≥ax 恒成立.
因此③中函数f(x)不具有性质P.
综上可知，具有性质P的函数为①②.。