第10章 曲线积分与曲面积分 习题 10- (7)

dxdy ∂ ∂z x− y
a
a
y
x
图 10.50
= ∫∫ −2dydz − 2dzdx − 2dxdy
∑
(化为非组合曲面积分)
1
b 2(a + b) = −2∫∫ ( + 0 + 1)dxdy = − ∫∫ dxdy a a ∑ ∑
=−
2(a + b) 2(a + b) 2 ∫∫ dxdy = − a ⋅ πa = −2πa(a + b). a D
如图 10.55 所示, 取 ∑ 为平面 z = 0 上被 Γ 所围的部分, 取上侧, 则 Γ 是 ∑ 的正向边 界. 利用斯托克斯公式, 可得
3
∫ Γ ( x − z )dx+(x
= ∫∫
∑
3
+yz )dy − 3 xy 2 dz dxdy ∂ ∂z
z
2
dydz ∂ ∂x
dzdx ∂ ∂y
z = 2 − x2 + y 2
3 3 3
∑
z3
x3
y3 O
z = 2( x 2 + y 2 )
1
= ∫∫ 3 y 2 dydz + 3z 2 dzdx + 3x 2 dxdy
∑
y
x
图 10.54
= ∫∫ 3x 2 dxdy =
∑
Dxy
∫∫ 3x dxdy
2
= 3∫ cos 2θ dθ ∫ ρ 3dρ =
0 0
2π
1
3 π. 4
2. (1)
rot r ;
i
(2)
j
rot[ f (r ) r ].
k
解
(1)
rot r = ∫∫
∑
∂ ∂x x
i
∂ ∂y y
∂ = (0, 0,0) = 0. ∂z z
j k
(2)
rot[ f (r ) r ] = ∫∫
∑
∂ ∂x xf (r )
∂ ∂ . ∂y ∂z yf (r ) zf (r )
= ( zf ′(r ) 6.
(3)
解
A = ∇u, u = u ( x, y, z ) 具有二阶连续偏导数.
(1) 向量场 A 的旋度为
i j k ∂ ∂ ∂ = (0, 0, 0) = 0. ∂x ∂y ∂z P ( x) Q( y ) R( z )
rot A = ∫∫
∑
(2)
向量场 A 的旋度为
i j ∂ ∂ ∂x ∂y z + sin y −( z − x cos y ) k ∂ = (1,1,0) = i + j. ∂z 0
y z z x x y − yf ′(r ) , xf ′(r ) − zf ′(r ) , yf ′(r ) − xf ′(r ) ) = 0. r r r r r r
∑
利用斯托克斯公式把第二类曲面积分 ∫∫ rot A i dS 化为曲线积分, 并计算积
分值, 其中 A 与 ∑ 分别为
(1) (2)
向量场 A 穿沿闭曲线 Γ 的环流量为
z
( x − 2)2 + y 2 = R 2 y O 2
∫ Γ − ydx+xdy + cdz.
如图 10.56 所示, 取 ∑ 为平面 z = 0 上被 Γ 所围的 部分, 取上侧, 则 Γ 是 ∑ 的正向边界. 利用斯托克斯 公式, 可得
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z −y x c
第七节
斯托克斯公式
习题 10-7
环量与旋度
1. (1)
利用斯托克斯公式计算下列曲线积分:
∫ Γ (y − z )dx + (z − x)dy + (x − y)dz,
其 中 Γ 为 椭 圆 x2 + y 2 = a2 ,
x z + = 1 (a, b > 0), 从 z 轴的正向看去 Γ 是逆时针方向; a b (2)
∑
Dxy
∫∫ (2 y − 2 x + 3)dxdy
1 0
= ∫ dx ∫
0
1
3(1− x )
0
(2 y − 2 x + 3)dy = ∫ (15 x 2 − 33x + 18)dx =
13 . 2
3 上被 Γ 所围的部分, 取上侧, 则 Γ 2 是 ∑ 的正向边界. ∑ 的法向量为 n = (1,1,1), 利用斯托克斯公式, 可得 (3) 如图 10.52 所示, 取 ∑ 为平面 x + y + z =
x
1
Σ: x =1
Γ
∫ Γ 3 ydx − xzdy + yz
2
dz = ∫∫
∑
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z 3y
O
y
2
z
图 10.57
− xz
yz
2
= ∫∫ ( z 2 + x)dydz + (− z − 3)dxdy
∑
4
= ∫∫ ( z 2 + x)dydz = ∫∫ ( z 2 +1)dydz
2
∫ Γ 3 ydx − xzdy + yz
2
dz = ∫∫
∑
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z 3y
z ∑:z = 2
2
Γ
− xz
yz 2 O
= ∫∫ ( z 2 +x)dydz − ( z + 3)dxdy
∑
2 z = x2 + y 2 y
x
图 10.53
= ∫∫ −5dxdy = 5 ∫∫ dxdy = 20π.
∑
Dxy
(5) 如图 10.54 所示, 取 ∑ 为平面 z = 2 上被 Γ 所围的 部分, 取上侧, 则 Γ 是 ∑ 的正向边界. 利用斯托克斯公式, 可得 dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z
z
3 z = 3 − x2 − y2
∑:z = 2
2
Γ
∫ Γ z dx+x dy + y dz = ∫∫
去 Γ 是顺时针方向;
(5)
∫ Γ z dx+x dy + y dz,
3 3 3
其中 Γ 为圆周 z = 2( x 2 + y 2 ), z = 3 − x 2 − y 2 , 从 z 轴
的正向看去 Γ 是逆时针方向. 解
(1) 如图 10.50 所示, 取 ∑ 为平面
x z + =1上 a b
z
Γ
rot A = ∫∫
∑
(3)
向量场 A 的旋度为
i ∂ ∂x ux j ∂ ∂y uy k ∂ = (u zy − u yz , u xz − u zx , u yx − u xy ) = 0. ∂z uz
rot A = ∫∫
∑
4. 设 函 数 P( x, y, z ), Q ( x, y, z ), R( x, y, z ) 具 有 连 续 的 二 阶 偏 导 数 , A = P( x, y, z )i + Q ( x, y, z ) j + R( x, y, z )k , 证明 (1) div(rot A) = 0, 即旋度场一定是无源场; (2) rot (gradP) = 0, 即梯度场是无旋场.
5
(2)
gradP = ( Px , Py , Pz ),
i ∂ ∂x Px j ∂ ∂y Py k ∂ = ( Pzy − Pyz , Pxz − Pzx , Pyx − Pxy ) = 0. ∂z Pz
rot (gradP) = ∫∫
∑பைடு நூலகம்
5. (1)
设 r = xi + yj + zk , r = r , f 为可微函数, 求
∫ Γ xydx + yzdy + zxdz, ∫Γ ( y
2
其中 Γ 是以点 (1,0, 0), (0,3, 0), (0,0,3) 为顶点的三角
形的周界, 从 x 轴的正向看去 Γ 是顺时针方向;
(3)
− z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz , 其中 Γ 是用 x + y + z =
3 截立方 2
体 {( x, y, z ) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1} 的表面所得的截痕, 从 x 轴的正向看去 Γ 是逆 时针方向;
(4)
∫ Γ 3 ydx − xzdy + yz dz,
2
其中 Γ 为圆周 x 2 + y 2 = 2 z , z = 2, 从 z 轴的正向看
xy
(2) 如图 10.51 所示, 取 ∑ 为平面
x y z + + = 1 上被 Γ 所围的部分, 取下侧, 则 Γ 1 3 3
1 1 是 ∑ 的正向边界. ∑ 的法向量为 n = (−1, − , − ), 利用斯托克斯公式, 可得 3 3 z dydz dzdx dxdy 3 ∑ : 3x + 2 y + z = 1 ∂ ∂ ∂ ∫ Γ xydx + yzdy + zxdz = ∫∫ ∂x ∂y ∂z Γ ∑ O xy yz zx 3 y 1 x = ∫∫ − ydydz − zdzdx − xdxdy 图 10.51 ∑ = − ∫∫ (3 y + z + x)dxdy =
∑
= −4∫∫ ( x + y + z )dxdy = −4 ×