解读解二元一次方程组中的数学思想方法
高中数学课堂教学优秀案例分析 ——解二元一次方程组的方法与应用
高中数学课堂教学优秀案例分析——解二元一次方程组的方法与应用解二元一次方程组的方法与应用在高中数学课堂中，解二元一次方程组是一个重要的内容，掌握解题方法和应用技巧对学生的数学能力提升具有重要作用。
本文将分析一个优秀的高中数学课堂教学案例，探讨解二元一次方程组的方法与应用。
教学目标：1. 理解二元一次方程组的概念和解的几何意义；2. 掌握解二元一次方程组的代入消元和加减消元法；3. 运用所学知识解决实际问题。
教学案例分析：一、导入：教师通过提问，引导学生回顾一元一次方程的求解方法，并通过图示“两直线相交于一点”引入二元一次方程组的概念。
通过这种方式，激发学生的学习兴趣，为后续的学习做好铺垫。
二、解法讲解：1. 代入消元法：教师以一个简单的例子展示代入消元法的基本思想和步骤。
通过将其中一个方程表达式代入到另一个方程中，消去其中一个变量，然后求解得到另一个变量的值。
通过具体的示例，教师让学生理解代入消元法的原理和应用。
2. 加减消元法：教师以另一个例子讲解加减消元法的基本思想和步骤。
通过对方程组进行适当的加减运算，使得其中一个变量的系数相等或相反，从而相消掉。
最后利用解得的变量值回代到方程中，求解另一个变量。
通过实际的例子，让学生掌握加减消元法的原理和应用。
三、技巧总结：在讲解完解法后，教师总结出代入消元法和加减消元法的应用场景和注意事项。
比如，对于系数较小的方程组可以选择代入消元法，而对于系数较大的方程组则可以选择加减消元法。
此外，要特别注意方程组的形式和变量系数的选择，以便简化计算过程。
四、应用实例：为了提高学生对解二元一次方程组应用的理解和能力，教师给出一些实际问题，如两人一起搬砖完成工作、商品打折优惠等，要求学生利用所学知识建立方程组，并求解出变量的解释。
通过解决实际问题，让学生感受到解二元一次方程组的实际应用价值，培养他们解决问题的能力。
五、拓展应用：为了拓展学生的思维，教师设计了一些更复杂的问题，如三元一次方程组的求解和应用。
人教版七年级数学下册8.2 消元——代入法解二元一次方程组(课件20张PPT 教案)
例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装 （500g）和小瓶装（250g）两种产品的销 售数量（按瓶计算）的比为2:5.某厂每天生产 这种消毒液 22.5吨，这些消毒液应该分装大、 小瓶两种产品各多少瓶？
问题中的条件 大瓶数：小瓶数=2:5 大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液=总生 产量
解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶. ① 5 x 2 y 由题意得 ② 500 x 250 y 22500000
x y 3 的解是（ 2x 4
x 5
D ）
x 3 A. y 0
x 1 B. y 2
x 2 C. y 2 D. y1
作业布置
１. 必做题：97页1.（2）（4）2.（3）（4 ２. 选做题：98页7.8
“即使能力有限，也要全力以赴，即使输了， 也要比从前更强，我一直都在与自己比，我要 把最美好的自己，留在这终于相逢的决赛赛 场。”
再见
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46．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！ 47．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践． 48．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星． 49．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价． 50．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 51．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子． 52．为成功找方法，不为失败找借口． 53．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。 54．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！ 55．不一定要做最大的，但要做最好的． 56．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！ 57．成功是动词，不是名词！ 28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。 59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。 60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也； 立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。——《孝经》 61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。——荀子《劝学篇》 62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！ 63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！ 64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。 65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。 66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。 67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。 68、找不到路不是没有路，路在脚下。 69、幸福源自积德，福报来自行善。 70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。 71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。 72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。 73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。 74、今天学习不努力，明天努力找工作。 75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。 76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。 77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。 78、技艺创造价值，本领改变命运。 79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。 80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。 81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！ 82、校兴我荣，校衰我耻。 83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。 84、不想当老板的学生不是好学生。 85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。 86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。 87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。 88、知技并重，德行为先。 89、生活的理想，就是为了理想的生活。 —— 张闻天 90、贫不足羞，可羞是贫而无志。 —— 吕坤
解二元一次方程组中蕴含的五种数学思想方法
探索篇•方法展示领悟数学的思想方法，学生在解二元一次方程组问题时就能得心应手、如鱼得水。
下面就让我们一起领悟数学思想方法在解二元一次方程组中应用的五种类型。
类型一换元的思想换元法是解方程组常用的一种方法，即对结构比较复杂的方程组，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），从而得出新的方程组的解题方法，换元法能使复杂的问题简单化。
例1.解方程组。
x+y2+x-y3=64（x+y）-5（x-y）=2{这题可以先把方程组化简后，组成新的方程组，再用适当的方法进行求解。
这是学生通常用的方法。
如果把（x+y）换成a，（x-y）换成b，重新组成新的方程组来求解的方法就是换元法，换元法的实质就是等量代换。
类型二整体结合的思想整体结合的思想就是将解决的问题看成一个整体，从问题的整体性质出发，突出对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，从而化难为易、化繁为简，起到巧解问题的目的。
例2.阅读材料，然后解方程组。
材料：解方程组x-y-1=0①4（x-y）-y=5②{由①得x-y=1③，把③代入②，得4-y=5，解得y=-1。
把y=-1代入③，得x=0。
这种方法称为“整体代入法”。
你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：2x-3y-2=0①2x-3y+57+2y=9②{例3.若x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，求x+y+z的值。
分析：解：x+2y+3z=10①，4x+3y+2z=15②，①+②得5x+5y+5z= 25∴x+y+z=5小结：1.本题主要考查了求代数式的值，解题关键是得到已知与待求式之间的联系。
2.观察题目，可发现两式相同项的字母之间存在一定的联系，试着将已知两个等式相加，你有什么发现？3.根据上述方法可得5x+5y+5z=25，接下来利用等式性质，给等式两边同时除以5即可得到x+y+z的值。
例谈解二元一次方程组中的数学思想方法
例谈解二元一次方程组中的数学思想方法成晓明解二元一次方程组的基本思想是消元，求解的主要方法是代入消元法和加减消元法.但是对于一些比较特殊的方程组，仅有这些方法是不够的，下面结合一些典型的例题进行分析，向同学们介绍几种解二元一次方程组常用的思想方法.一、转化思想例1解方程组5x+y=6，①3x-2y=1.②【解析】观察方程组中x、y的系数的特点，可以将方程①变形为y=6-5x③，然后将③代入②，消去y，得到关于x的一元一次方程，先求出x，进而再求出y的值.或者将方程①×2+②消去y，然后得到关于x的一元一次方程求解.例2解方程组7x-11y=7，①17x-13y=-7.②【解析】观察方程组中x、y的系数，既不简单，也不存在倍数关系，用代入消元法和加减消元法数据都相对复杂，再次观察系数，发现①+②可得24x-24y=0，化简得x=y③，再利用代入消元法求解就非常简单了.说明：转化思想就是将复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题进行求解，这是学习新知识、研究新问题的常用的基本方法.解二元一次方程组实际上就是通过“消元”（代入消元、加减消元）的手段化“二元”为“一元”.二、整体思想例3解方程组3x-2（x+2y）=3，①11x+4（x+2y）=45.②【解析】方程①和②中都含有（x+2y），可以将（x+2y）看作一个整体，①×2+②，从而消去（x+2y），达到消去y的目的.例4解方程组3x+2y-2=0，①■-2x=-3.②【解析】方程①和②中都含有（3x+2y），可以将（3x+2y）看作一个整体，把方程①变形为3x+2y=2③，然后将方程③代入方程②，从而消去（3x+2y），达到消去y的目的.说明：解数学题时，我们往往习惯于从问题的局部出发，将问题分解成若干个小问题，然后逐一解决.然而这种思考方法常常导致解题过程繁杂，运算量大.这时可将注意力和着眼点放在其问题的整体上，突出对问题整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，找出整体与局部的有机联系，从整体上把握并解决问题，这就是整体思想.三、数形结合思想例5如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个长方形，求其中每一个小长方形的面积.【解析】图形中隐含着长和宽的两个关系：一是每块小长方形地砖的长是宽的3倍，二是长与宽的和为60厘米，由此可以设未知数并列方程求出地砖的长和宽，进而求出每一个小长方形的面积.例6小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的矩形，如图（1）所示.小红看见了，说：“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图（2）那样的正方形.咳！怎么中间还留下了一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形！你能求出小长方形的长和宽吗？【解析】本题中有两个未知量：长方形的长与宽，而小明和小红的两个拼图恰好给出了两个等量关系：图1中得到：长×3=宽×5，图2中得到：宽×2-长=2，由此可以设未知数并列方程求出长方形的长和宽，说明：数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化.几何问题代数化.上面所举的两例都是巧妙地运用拼图，建立起小长方形的长与宽的关系，将数与形有机结合起来，突破了用语言描述数量关系的常规，突出了数形结合思想的应用.四、类比思想例7已知方程组2x-3y=1，3x+5y=12.9的解是x=2.3，y=1.2.请你用较简便的方法解方程组2（a-1）-3（b+2）=1，3（a-1）+5（b+2）=12.9.【解析】如果将方程组2（a-1）-3（b+2）=1，3（a-1）+5（b+2）=12.9中的（a-1）、（b+2）看做是一个整体，那么a-1=x，b+2=y，因为方程组2x-3y=1，3x+5y=12.9的解是x=2.3，y=1.2.所以a-1=2.3，b+2=1.2.这样就可以求出方程组的解了.说明：在平时的数学学习中，经常发现在数学中有一些相类似的概念，可以利用类比法进行学习，类比思想其实就是知识的迁移，就是一类问题的解决方法对另一类问题的影响，在学习的过程中，我们应当注意迁移意识的培养.例8有同学在解方程组22x+27y=4，7x+9y=3时，采用了如下的解法：原方程组化为x+3（7x+9y）=4，①7x+9y=3.②将②代入①得x+3×3=4，所以x=-5，把x=-5代入②求得y=■，所以原方程组的解为x=-5，y=■.请你用这种方法解方程组3x+5y=2，①11x+20y=6.②【解析】方程②可以变形为4（3x+5y）-x=6③，然后把方程①代入方程③，这样就可以达到消去y的目的.说明：数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想.类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使知识的记忆变得自然和顺畅，从而可以激发起学习的创造力.五、换元思想例9解方程组4（x+y）-5（x-y）=2，■+■=6.【解析】设x+y=m，x-y=n，则原方程组可变形为关于m、n的方程组4m-5n=2，■+■=6.方程组形式较为简单，可以先求出m、n，再求出x、y.说明：换元法通过用一个字母表示一个整体的方法进行变量的替换，将问题进行转化，从而起到化繁为简、化难为易的目的.。
解二元一次方程组的思想方法
解二元一次方程组中的数学思想方法一、转化的思想方法解方程组中的消元，其实质就是将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。
例1. 解方程组解：得，，得。
把代入①，得。
方程组解为上述解法实质通过运用等式性质、加减消元法把方程组转化为一元一次方程。
本例也可以用代入消元法。
也是转化为一元一次方程来求解。
例2. （十一届“五羊杯”数学竞赛）解方程组剖析：上述方程不是二元一次方程组，但仔细观察可知，将方程①及②两边同取倒数可得则变为关于、的二元一次方程组。
解：得，则。
把代入③得，所以。
二、整体思想方法例3. 解方程组剖析：方程①及②中均含有。
可用整体思想解。
由①得代入②而求出y。
解：由①得，③把③代入②得解得把代入①得，所以例4. 解方程组剖析：上述方程中两个未知数系数的轮换形式，可作整体相加，整体相减而解出。
解：①+②得，即③得，即④③+④得，得，所以例5. 解方程组剖析：若先去括号，去分母等变形显得十分烦琐，观察上述方程中特点将（）、（）作整体且（）系数相同，整体相减消元。
解：得：，把代入①得，所以三、换元的数学思想方法例6. 解方程组剖析：方程组以连比形式给出，与中只有一个未知数，可设，则，从而求出k，而求出x、y。
解：令则把①、②代入③得，所以。
所以例7. 解方程组剖析：方程①中未知数系数为小数，方程②中需化简才能化为标准形式，方程①中常数为0，可将①化为连比形式。
解：由①得。
令，则。
把它们代入②得，得，所以例8. 解方程组剖析：方程②为乘积形式且未知数分别在方程左右两边，很容易变形为。
解：由②得令，则把它们代入①得，解得，所以例9. 解方程组剖析：方程①中常数项为0，移项很容易变为乘积形式，令其为k，可避免繁琐化简。
解：由①得令=k，则有。
把它们代入②得，解得，所以例10. 解方程组剖析：本题若化简为其标准形式再解，计算量大且容易出错。
可设来求解。
解：设，原方程化为解得。
浅谈二元一次方程组中的数学思想
2 x 3 y 2 0 例 4： 解方程组 2x 3 y 5 2y 9 7
① ②
解析：方程①及②中均含有 2x 3y 。所以可用整体思想解。由① 得 2x 3y 2 代入②而求出 y。 解：由①得 2x 3y 2 ， 把③代入②得 2 5 2y 9
四、方程思想 二元一次方程组中的方程思想其实质就是充分利用题目中的已 知条件和隐含的条件以及数量关系，找出合适的等量关系，从而列出
方程组，然后解出方程组，进而使问题得到解决.
例 6：某纸品加工厂为了制作如图所示的甲、乙两种无盖的长方体小 盒，利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方 形的边长相等,现有 150 张正方形硬纸片和 300 张长方形硬纸片全部 用于制作这两种小盒，可以做出甲、乙两种小盒各多少个？
x 3 y 2 ① y x ②
解析：解方程组的基本思路就是消元，其实质就是将二元一次方 程组转化为一元一次方程来求解，本题可以用代入消元法来求解。 解：把②式代入①式，得： x 3x 2 即： x 1 把 x 1 代入②式，得 y 1 所以，方程组解为
x 1 y 1
浅谈二元一次方程组中的数学思想 毕节市体育运动学校 熊成荣 数学思想是数学基础知识、基本技能和方法的本质体现，是形成 数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识和技能的灵魂.解 决二元一次方程组问题往往会用初中书数学中一些重要的数学思想， 本文立足教材， 通过部分典型例题说明了解二元一次方程组中蕴含的 几种重要的数学思想。 关键词：数学思想 一、 转化的思想 转化思想，其实质是把复杂问题转化为简单的问题，把陌生问题 转化为熟悉的问题，把不可能求解问题转化成已学过的问题。解方程 组的基本思路就是消元， 其实质就是将二元一次方程组转化为一元一 次方程来求解。 例 1. 解方程组
3.3.5 数学思想在解二元一次方程组中应用的六种类型
将x＝－1代入③，得y＝2.
所以原方程组的解为
x 1,
y
2.
类型 3 方程思想
4．已知(5x－2y－3)2＋|2x－3y＋1|＝0，求x＋y的值．
解：因为(5x－2y－3)2＋|2x－3y＋1|＝0，
所以
5x 2 x
2 3
y y
3 1
0, 0.
解得
x
y
1, 1.
所以x＋y＝2.
5．若3x2m＋5n＋9＋4y4m－2n－7＝2是二元一次方程，求 (n＋1)m＋2 015的值．
的解．
解方程组
4x 3 xy y Nhomakorabea5, 9
得
x y
2, 3.
x 2,
ax by 1,
把
y
3.
代入方程组3ax 4by 18
得
2a 6a
3b 1, 12b 18,
解得
a b
1, 1.
x y
7, 4.
2．若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，求x＋y＋z 的值．
解：因为x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15， 所以x＋2y＋3z＋4x＋3y＋2z ＝5x＋5y＋5z＝5(x＋y＋z)＝25. 所以x＋y＋z＝5.
类型 2 化繁为简思想
3．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：
x 0,
y
1.
这种方法被称为“整体代入法”．请用这样的方法解
2x 3 y 2 0,
方程组：
2x
3 7
y
5
2
y
9.
解：
2x 3 y 2 0,
2
x
3 7
y
5
二元一次方程组中的数学思想方法
即３ 辆大车与 ５辆小车一次可 以运货 ２ ． ４５
吨．
例 ４有 大小两种货车 ， 辆大 车与 ３辆小 ２ 车一次可 以运货 １． ， ５ ５吨 ５辆大车与 ６ 辆小 车
一
数学恩想方法往往很隐蔽 ，很 难从教材的
字里 行间 中直接获取 ． 这就要 求我们在学 习数 次可 以运货 ３ 吨 ， 辆大车与 ５辆小车一 次 ５ ３ 学 知识 的过 程 中去 挖掘 、 去提炼 、 去感悟其 中 可 以运货多少吨？
维普资讯
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湖北省应城 市教 学研 究室 喻俊鹏
二元一 次方程组 是初 中代数 中的重 要 内 运用 整体 思想方法 ， 可得到简捷的解法．
容 ． 中蕴 含着 丰富 的数学 思想方 法 ． 习时 其 学
・ ． ．
原方程组的解为 ｛＝一３ ｙ ，
：ห้องสมุดไป่ตู้
７ ．
例 ３某 班 同学 参加运 土劳动 ，女 同学除 法． 因此 ． 们应将 注意 力和着 眼点 多放 在 问 我 全部分配去抬土 ， 两人抬一筐 ， 题 的整 体上 ． 在用代 入法 解方 程组 时 ， 就是 把 去一名请假外 ， 名跟女 同学一起抬 土外 ， 其余全 含有 ∽ 的代数 式作 为一 个整 体代 入 另一 个 男 同学除去 ３
ｆ ＋３ － １． ｙ ５５，
ｌ ＋６ ＝３ ． ５ ｙ ５
②
由于要求 的是 ３辆 大车 与 ５辆小 车一 次 可 以运货 多少吨， 就是要求 ３ ＋５ 也 ｘ ｙ的值． 为 此， 可采用整体 思想方法解答本题． ①× ， １ ＋２ ｙ ０ ． ． ③ ７得 １＝１ ８ ５ ③ 一② 。 得 ＋１ｙ ３５ ． ５ ＝７ ．
专题07 二元一次方程组(归纳与讲解)(原卷版)
专题07 二元一次方程组【专题目录】技巧1：二元一次方程组的五种特殊解法技巧2：二元一次方程组中六种类型数学思想的应用 技巧3：二元一次方程(组)的解的五种常见应用 【题型】一、二元一次方程组的有关概念 【题型】二、用代入法解二元一次方程组 【题型】三、用加减法解二元一次方程组 【题型】四、用整体消元法解二元一次方程组 【题型】五、同解方程组 【题型】六、列二元一次方程组 【考纲要求】1、了解二元一次方程的概念，能把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，能举例说明二元一次方程及其中的已知数和未知数；2、理解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。
【考点总结】一、二元一次方程组(1)概念：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．(2)一般形式：⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2(a 1，a 2，b 1，b 2均不为零)．(3)二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．【注意】1.解二元一次方程组的步骤（1）代入消元法① 变：将其一个方程化为y=ax+b或者为x=ay+b的形式① 代：将y=ax+b或者为x=ay+b代入另一个方程① 解：解消元后的一元一次方程① 求：将求得的未知数值代入y=ax+b或x=ay+b，求另一个未知数的值① 答:写出答案（2）加减消元法① 化：将原方程组化成有一个未知数的系数相等(互为相反数)的形式,① 加减：将变形后的方程组通过加减消去一个未知数① 解：解消元后的一元一次方程① 求：将求得的知数的值代入方程组中任意一个方程求另一个未知数的值2.解二元一次方程组的方法选择（1）当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；（2）当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；（3）方程组中同一个知数的数相同或互为相反数时，选用加减消无法（4）当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法 【技巧归纳】技巧1：二元一次方程组的五种特殊解法 【类型】一、引入参数法解二元一次方程组 1．用代入法解方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x 5＋y 6＝0，①3（x －y ）－4（3y ＋x ）＝85.①【类型】二、特殊消元法解二元一次方程组 题型1：方程组中两未知数系数之差的绝对值相等2．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2 015x ＋2 016y ＝2 017，①2 016x ＋2 017y ＝2 018.①题型2：方程组中两未知数系数之和的绝对值相等3．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧13x ＋14y ＝40，①14x ＋13y ＝41.②【类型】三、利用换元法解二元一次方程组 4．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3（x ＋y ）＋4（x －y ）＝20，x ＋y 4－x －y 2＝0.【类型】四、同解交换法解二元一次方程组5．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，3x －y ＝5与方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝16，4x －7y ＝1的解相同，求(a －b)2 018的值． 【类型】五、运用主元法解二元一次方程组6．已知⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －3z ＝0，x －3y －z ＝0(x ，y ，z 均不为0)，求xy ＋2yzx 2＋y 2－z 2的值．技巧2：二元一次方程组中六种类型数学思想的应用 【类型】一、整体思想 1．先阅读，然后解方程组．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，①4（x －y ）－y ＝5②时，由①，得x －y ＝1，③然后再将③代入②，得4×1－y ＝5，解得y ＝－1，从而进一步求得x ＝0.所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.这种方法被称为“整体代入法”．请用这样的方法解下面的方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －2＝0，2x －3y ＋57＋2y ＝9. 2．若x ＋2y ＋3z ＝10，4x ＋3y ＋2z ＝15，求x ＋y ＋z 的值． 【类型】二、化繁为简思想3．阅读下面解方程组的方法，然后解决问题：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧19x ＋18y ＝17，①17x ＋16y ＝15②时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的．解：①－②，得2x ＋2y ＝2，所以x ＋y ＝1.③ ③×16，得16x ＋16y ＝16，④②－④，得x ＝－1，将x ＝－1代入③，得y ＝2.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.请用上述方法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2 018x ＋2 017y ＝2 016，2 016x ＋2 015y ＝2 014.【类型】三、方程思想4．已知(5x －2y －3)2＋|2x －3y ＋1|＝0，求x ＋y 的值． 5．若3x 2m＋5n ＋9＋4y 4m－2n －7＝2是二元一次方程，求(n ＋1)m＋2 018的值．【类型】四、换元思想6．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y 2＋x －y 3＝6，4（x ＋y ）－5（x －y ）＝2.【类型】五、数形结合思想7．如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，从图中信息可知，买5束鲜花和5个礼盒共需多少元？【类型】六、分类组合思想8．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝5，ax ＋by ＝－1与⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝9，3ax －4by ＝18有公共解，求a ，b 的值．技巧3：二元一次方程(组)的解的五种常见应用 【类型】一、已知方程(组)的解求字母的值1．若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝m ，x ＋my ＝n 的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，则|m －n|的值为( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．22．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝2是关于x ，y 的二元一次方程2ax －by ＝2的两组解，求a ，b 的值．【类型】二、已知二元一次方程组与二元一次方程同解求字母的值3．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3m ，x －y ＝9m 的解也是方程3x ＋2y ＝17的解，求m 的值．【类型】三、已知二元一次方程组的解满足某一关系求字母的值4．已知m ，n 互为相反数，关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝60，3x －y ＝8的解也互为相反数，求m ，n 的值．【类型】四、已知两个二元一次方程组共解求字母的值5．关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝－6，ax －by ＝－4与⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝16，bx ＋ay ＝－8有相同的解，求(2a ＋b)2 018的值．【类型】五、已知二元一次方程组的误解求字母的值6．在解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2ax ＋y ＝5，2x －by ＝13时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，得解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝－2；乙看错了方程组中的b ，得解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－7.(1)甲把a 错看成了什么？乙把b 错看成了什么？ (2)求出原方程组的正解． 【题型讲解】【题型】一、二元一次方程组的有关概念例1、若21a b =⎧⎨=⎩是二元一次方程组3522ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解，则x ＋2y 的算术平方根为（ ）A ．3B ．3，－3CD【题型】二、用代入法解二元一次方程组例2、二元一次方程组224x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是()A．2xy=⎧⎨=⎩B．2xy=⎧⎨=⎩C．31xy=⎧⎨=-⎩D．11xy=⎧⎨=⎩【题型】三、用加减法解二元一次方程组例3、由方程组+=43x my m⎧⎨-=⎩可得出x与y之间的关系是()．A．x＋y＝1B．x＋y＝－1C．x＋y＝7D．x＋y＝－7【题型】四、用整体消元法解二元一次方程组例4、若方程组237351m nm n-=⎧⎨+=⎩的解是21mn=⎧⎨=-⎩，则方程组()()()()2132731521x yx y⎧+--=⎪⎨++-=⎪⎩的解是（）A．11xy=⎧⎨=⎩B．11xy=⎧⎨=-⎩C．31xy=⎧⎨=⎩D．33xy=⎧⎨=-⎩【题型】五、同解方程组例5、已知关于x①y的方程组2342x yax by-=⎧⎨+=⎩，与3564x ybx ay-=⎧⎨+=-⎩，有相同的解，则a①b的值为① ①A．21ab=-⎧⎨=⎩B．12ab=⎧⎨=-⎩C．12ab=⎧⎨=⎩D．12ab=-⎧⎨=-⎩【题型】六、列二元一次方程组例6、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（）A．2392xyxy⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B．2392xyxy⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩C．2392xyxy⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩D．2392xyxy⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩二元一次方程组（达标训练）一、单选题1．（2022·广东·深圳外国语学校模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，某地准备购买一些松树和柏树绿化荒山，已知购买2棵松树和3棵柏树需要120元，购买2棵松树比1棵柏树多20元，设每棵松树x 元，每棵柏树y 元，则列出的方程组正确的是（ ）A ．23120220x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．23120220x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．23120220x y y x +=⎧⎨-=⎩D ．32120220x y x y +=⎧⎨+=⎩2．（2022·天津河北·一模）方程组282x y x y+=⎧⎨=⎩的解是( )A ．21x y =⎧⎨=⎩B ．42x y =⎧⎨=⎩C ．12x y =⎧⎨=⎩D ．24x y =⎧⎨=⎩3．（2022·天津红桥·三模）方程组21230x y y x +=-⎧⎨+=⎩的解是（ ）．A ．11x y =-⎧⎨=⎩B ．12x y =-⎧⎨=-⎩C ．23x y =-⎧⎨=⎩D ．23x y =⎧⎨=-⎩4．（2022·上海杨浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（ ） A ．1xy =B ．210x -=C ．1x y -=D ．11x y+= 5．（2022·山东威海·一模）已知关于x ，y 的二元一次方程组231ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩，则2a b-的值是（ ） A ．2- B ．2C ．3D ．3-二、填空题6．（2022·湖南娄底·二模）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果一托为5尺，那么索长与竿子长之和为______尺．7．（2022·江苏无锡·二模）已知方程组26221x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x y +的值为______．三、解答题8．（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组()1045x y x y y --=⎧⎪⎨--=⎪⎩①②时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：由①得x ﹣y ＝1①将①代入①得：4×1﹣y ＝5，即y ＝﹣1把y＝﹣1代入①得x＝0，①方程组的解为1 xy=⎧⎨=-⎩请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程232235297x yx yy-=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩．二元一次方程组（提升测评）一、单选题1．（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3a则a、b的值分别是（）A．2和1B．1和2C．2和2D．1和12．（2022·福建·平潭翰英中学一模）已知12xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组{mx−ny=8nx+my=1的解，则43m n+的立方根为（）A．±1BC．±D．1-3．（2022··二模）我们知道二元一次方程组233345x yx y-=⎧⎨-=⎩的解是31xy=⎧⎨=⎩．现给出另一个二元一次方程组2(21)3(31)33(21)4(31)5x yx y+--=⎧⎨+--=⎩，它的解是（）A．123xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩B．123xy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩C．123xy=⎧⎪⎨=⎪⎩D．123xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩4．（2022·福建宁德·二模）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐2人，则9需要步行：若每辆车都坐3人，则两辆车是空的，问：车与人各多少？设有x辆车，y人，根据题意，列方程组是（）A．2932y xy x=+⎧⎨=-⎩B．293(2)y xy x=+⎧⎨=-⎩C．2932y xy x=-⎧⎨=-⎩D．()2932y xy x=-⎧⎨=-⎩5．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如果关于x，y的方程组436626x yx my-=⎧⎨+=⎩的解是整数，那么整数m的值为（）A ．4，4-，5-，13B ．4，4-，5-，13-C ．4，4-，5，13D ．4-，5，5-，13二、填空题6．（2022·江苏南通·二模）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，原文：今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？注释：（娟）纺织品的统称；（人得）每人分得；（匹）量词，用于纺织品等，（盈）：剩下．若设贼有x 人，库绢有y 匹，则可列方程组为______．三、解答题7．（2022·广东·华南师大附中三模）解下列方程组： (1)1223334m nm n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩；(2)6234()5()2x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩； (3)0.10.3 1.3123x y x y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩； (4)23433x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩． 8．（2022·浙江温州·二模）为促进学生体育活动，学校计划采购一批球类器材，当每班购进5个排球和6个篮球时花费360元；购进10个排球和2个篮球时花费270元． (1)求排球和篮球的单价．(2)为扩充器材室储备，现还需购买120个排球和篮球，其中排球的数量不少于篮球数量的23，如何购买总费用最少．(3)经调查，为满足不同学生的需要，学校准备新增购进进价为每个60元的足球，篮球和排球的仍按需购进，进价不变，排球是篮球的4倍，共花费9000元，则学校至少可以购进多少个球类器材？。
解二元一次方程组与数学思想同行
的解是 n 1 请你用合理的方法求关于x、y的二元
一次方程组(2) 3(x y) a(x y) 16 的解
2(x y) b(x y) 15
类型之三 方程思想 1．已知 3xab y3 与 2xy3ab 是同类项，求a，b的值．
2、若3x2m5n9 4y4m2n7 2是二元一次方程,求 (n 1)m2016 的值．
解二元一次方程组与数学 思想同行
薛忠强 郑州市第七十三中学
学习目标
• 1. 学生学会熟练解二元一次方程组 • 2.通过练习不同类型的二元一次方程组，能够总结一些数学思想
方法 • 3体会数学思想方法对解题的指导作用
类型之一 整体思想 1．若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15， 求x＋y＋z的值．
2．已知方程组
6x 2x
8y 33 y6
求x＋y的值．
类型之二 换元思想 1．解方程组：
2(x
3
y)
x
4
y
7 4
3(x y) 2(x y) 3
2、如果关于m，n的二元一次方程组(Ⅰ)
m 7
3m an 16 2m bn 15
小结：解二元一次方程组常用的思想
• 一、整体思想 • 二、换元思想 • 三、方程思想 • 四、数形结合思想 • 五、函数思想
作业：
• 教材课本113页 习题5.3
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解读解二元一次方程组中的数学思想方法
蔡志武阮正法
新《课程标准》突出强调：在教学中应引导学生在学习概念的基础上，掌握数学规律包括法则、性质、定理、数学思想方法。
由此可见，在初中数学中，应加强对学生数学思想方法教学。
下面举例说说解方程组的一些数学方法。
一、转化的思想方法
解方程组中的消元，其实质就是将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。
转化是最基本的思想方法。
其实质是把复杂问题简单化，陌生问题熟悉化。
不可能求解问题转变成已学的能解决的问题。
例1. 解方程组
解：得，
，得。
把代入①，得。
方程组解为
上述解法实质通过运用等式性质、加减消元法把方程组转化为一元一次方程。
本例也可以用代入消元法。
也是转化为一元一次方程来求解。
例2. （十一届“五羊杯”数学竞赛）解方程组
剖析：上述方程不是二元一次方程组，但仔细观察可知，将方程①及②两边同取倒数可得
则变为关于、的二元一次方程组。
解：得
，则。
把代入③得，所以。
二、整体思想方法
例3. 解方程组
剖析：方程①及②中均含有。
可用整体思想解。
由①得代入②而求出y。
解：由①得，③
把③代入②得
解得
把代入①得，
所以
例4. 解方程组
剖析：上述方程中两个未知数系数的轮换形式，可作整体相加，整体相减而解出。
解：①+②得，
即③
得，
即④
③+④得，得，
所以
例5. 解方程组
剖析：若先去括号，去分母等变形显得十分烦琐，观察上述方程中特点将（）、（）作整体且（）系数相同，整体相减消元。
解：得：，
把代入①得，
所以
三、换元的数学思想方法
例6. 解方程组
剖析：方程组以连比形式给出，与中只有一个未知数，可设
，则，从而求出k，而求出x、y。
解：令
则
把①、②代入③得，
所以。
所以
例7. 解方程组
剖析：方程①中未知数系数为小数，方程②中需化简才能化为标准形式，方程①中常数为0，可将①化为连比形式。
解：由①得。
令，
则。
把它们代入②得
，
得，
所以
例8. 解方程组
剖析：方程②为乘积形式且未知数分别在方程左右两边，很容易变形为。
解：由②得
令，则
把它们代入①得
，
解得，所以
例9. 解方程组
剖析：方程①中常数项为0，移项很容易变为乘积形式，令其为k，可避免繁琐化简。
解：由①得
令=k，则有。
把它们代入②得
，
解得，
所以
例10. 解方程组
剖析：本题若化简为其标准形式再解，计算量大且容易出错。
可设
来求解。
解：设，原方程化为
解得
因此可以看出数学思想方法是解题灵魂是将数学知识转变为数学能力桥梁。
望同学们在今后学习中重视数学思想方法学习。
练习：解下列方程组：
1.
2.
3.
4.
5.
6.。