2014高考数学培优补弱5

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广东省广州市2014届高三数学冲刺查漏补缺试题_文_新人教A版

广东省广州市2014届高三5月高考冲刺阶段（查缺补漏）数学文说明：1．本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编写，共24题． 2．本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用，希望在5月31日之前完成．3．本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上相互配套，互为补充．四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法．1．在ABC ∆中，C =A +2π，sinA （1）求sinC 的值；（2）若BC =6，求ABC ∆的面积．2．已知函数f (x )＝3sin (ωx ＋φ)(ω>0，02πϕ<<)的最小正周期为π，且其图象经过点(,0)3π.（1）求函数f (x )的解析式；（2）若函数g (x )＝()212x f π+，α，β∈),0(π，且g (α)＝1，g (β)＝324，求g (α－β)的值．3．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3Acos x ，A2cos 2x ) (A >0)，函数f (x )＝m·n 的最大值为6．（1）求A 的值；（2）将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡245,0π上的值域．4．如图，某测量人员为了测量珠江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，他在珠江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝15°，∠BCE ＝105°，∠CEB ＝45°，CD ＝CE ＝100m ．（1）求△CDE 的面积；（2）求A ，B 之间的距离．5．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（1）从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a ，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b ，求关于x 的一元二次方程x 2+2ax +b 2=0有实根的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ．若以（m ，n ）作为点P 的坐标，求点P 落在区域0,50x y x y -≥⎧⎨+-<⎩内的概率．6．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其质量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得质量数据的茎叶图如图所示.（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品质量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的质量较稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的质量之差不超过2克的概率.乙甲7431129852041011127．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率；（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成22⨯列联表，并判断是否有90％的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.8．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠?（参考公式：1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx ybay bx x nx ==-==--∑∑.）9．如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，4===CA BC PB ，E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =. （1）求证：BE ⊥平面PAC ；（2）求证：//CM 平面BEF ；（3）求三棱锥ABE F -的体积.10．如图，已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高都是2，AB =4. （1）求证：PQ ⊥平面ABCD ；（2）求点P 到平面QAD 的距离.11．等腰梯形PDCB 中，DC ∥PB ，PB =3DC =3，PD =2，DA ⊥PB ，垂足为A ，将△P AD 沿AD 折起，使得P A ⊥AB ，得到四棱锥P -ABCD ．（1）求证：平面P AD ⊥平面PCD ；（2）点M 在棱PB 上，平面AMC 把四棱锥P -ABCD 分成两个几何体，当这两个几何体的体积之比ABC M ACD PM V V --=45时，求证：PD //平面AMC ．QBCPAD12．如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为正三角形，侧面11AAC C 是正方形，E 是1A B 的中点，F 是棱1CC 上的点．（1）当E ABF V -=11AAC C 的边长；（2）当1A F FB +最小时，求证：1AE A FB ⊥平面.13．数列}{},{n n b a 满足：*112,2,2()n n n n a a a n b a n n +==+=-+∈N . （1）求数列}{n b 的通项公式；（2）设数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为A n 、B n ，问是否存在实数λ，使得}{nB A nn λ+为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.14．设数列{}n a 满足12a =,248a a +=，且对任意*n ∈N ，函数1212()()cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅-⋅满足()02f π'=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若122nn n a b a =+（）,求数列{}n b 的前n 项和n S .15．根据如图所示的程序框图，将输出的x 、y 值依次分别记为122008,,,,,n x x x x ；122008,,,,,n y y y y ．（1）求数列}{n x 的通项公式n x ；（2）求y 1和y 2，写出y n +1与y n 的关系式，并推导求出数列{y n }的一个通项公式y n ；（3）求*1122(,2008)n n n z x y x y x y n n =+++∈≤N ．16．已知函数a R x a x f x ,(21)(∈+=为常数），P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)是函数y =f (x )图象上的两点.当线段P 1P 2的中点P 的横坐标为21时，P 的纵坐标恒为41.（1）求y =f (x )的解析式；（2）若数列{a n }的通项公式为*00()(,1,2,,)n na f n n n n =∈=N ，求数列{a n }的前n 0和0n S .17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，12F F 、分别为椭圆C 的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M 为椭圆上任意一点，以M 为圆心，1MF 为半径作圆M ，当圆M 与直线 l 2a x c=：有公共点时，求△12MF F 面积的最大值．18．如图，已知(),0F c 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点，圆()222:F x c y a -+=与x 轴交于,D E 两点，其中E 是椭圆C 的左焦点．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设圆F 与y 轴的正半轴的交点为B ，点A 是点D 关于y 轴的对称点，试判断直线AB 与圆F 的位置关系；（3）设直线BF 与圆F 交于另一点G ，若BGD ∆的面积为C 的标准方程．图（6）y xBOEFD19．已知动圆 C 过定点M (0,2)，且在 x 轴上截得弦长为 4.设该动圆圆心的轨迹为曲线 E . （1）求曲线 E 的方程；（2）点 A 为直线 l ：x －y －2 = 0 上任意一点，过 A 作曲线 C 的切线，切点分别为 P 、Q ，求△APQ 面积的最小值及此时点 A 的坐标．20．如图所示，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆E 上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O ，且0=⋅BC AC ，|BC |＝2|AC |．（1）求椭圆E 的方程；（2）在椭圆E 上是否存点Q ，使得222|QB||QA|-=？若存在，有几个（不必求出Q 点的坐标），若不存在，请说明理由．（3）过椭圆E 上异于其顶点的任一点P ，作2243O :x y +=的两条切线，切点分别为M 、N ，若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m 、n ，求证：22113m n +为定值．21．已知函数32()3f x ax bx x =+-()a b ∈R 、在点(1,(1))f 处的切线方程为20y +=．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若对于区间[2,2]-上任意两个自变量的值1x ，2x 都有12()()f x f x c -≤，求实数c 的最小值；（3）若过点(2,)M m (2)m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．22．已知函数()ln f x ax x =-，ln ()xg x x=，它们的定义域都是(0,]e ．（2.718e ≈）（1）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（2）当1a =时，求证：17()()27f mg n >+对一切,(0,]m n e ∈恒成立；（3）是否存在实数a ，使得()f x 的最小值是3？如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由．23．已知函数2()ln ,f x ax bx x =+-,a b ∈R ．（1）设0a ≥,求()f x 的单调区间；（2）设0a >，且对于任意0x >,()(1)f x f ≥.试比较ln a 与2b -的大小．24．已知函数()ln f x x =，()g x x '=且(2)2g =．（1）设函数()()()F x ag x f x =-（其中0a >），若()F x 没有零点，求实数a 的取值范围；（2）若0p q >>，总有[()()]()()m g p g q pf p qf q ->-成立，求实数m 的取值范围．2014年广州市高考备考冲刺阶段数学学科(文科)训练材料参考答案1．（1）因为在ABC ∆中，C =A +2π，所以A为锐角，且cos A ===．所以sinC =sin (A +2π)=（2）由正弦定理得sin sin BC AB A C =，所以sin sin BC CAB A===因为在ABC ∆中，C =A +2π，所以C为钝角，且cos C ===．因为在ABC ∆中，()B A C π=-+，所以1sin sin()sin cos cos sin (3B AC A C A C =+=+==．所以ABC ∆的面积为111sin 223ABC S AB BC B ∆=⨯⨯=⨯=2．（1）因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0，所以2πω＝π，解得ω＝2.所以f (x )＝3sin (2x ＋φ)．因为函数f (x )的图象经过点(,0)3π，所以3sin (2)3πϕ⨯+＝0，得23πϕ+＝kπ，k ∈Z ，即φ＝kπ－23π，k ∈Z . 由02πϕ<<，得φ＝π3.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin (2)3x π+.（2）依题意有g (x )＝3sin [2()]2123x ππ⨯++＝)2sin(3π+x =3cos x . 由g (α)＝3cos α＝1，得cos α＝13，由g (β)＝3cos β＝324，得cos β＝24.因为α，β∈),0(π，所以sin α＝223，sin β＝144.所以g (α－β)＝3cos (α－β)＝3(cos αcos β＋sin αsin β)＝3×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯4143224231＝2＋474.3．（1）f (x )＝m·n ＝3Asin xcos x ＋A2cos 2x ＝A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 212sin 23＝Asin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx . 因为f (x )的最大值为6，且A >0，所以A ＝6. （2）由（1）知f (x )＝6sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx . 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+6122ππx ＝6sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象；再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+34πx 的图象．因此g (x )＝6sin ⎪⎭⎫⎝⎛+34πx ．因为x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡245,0π，所以4x ＋π3∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡67,3ππ，≤-21sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+34πx 1≤，所以3-≤g (x )6≤．所以g (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡245,0π上的值域为[－3,6]． 4．（1）在△CDE 中，∠DCE ＝360°－90°－15°－105°＝150°．所以△CDE 的面积为S △CDE ＝12CD ⨯CE ⨯sin 150°＝12⨯100⨯100⨯sin 30°＝2500(m 2)．（2）连结AB ．在Rt △ACD 中，AC ＝CD tan ∠ADC ＝100⨯tan 60°＝1003(m )．在△BCE 中，∠CBE ＝180°－∠BCE －∠CEB ＝180°－105°－45°＝30°．由正弦定理得BC sin ∠CEB ＝CEsin ∠CBE ，所以0sin 100sin 45sin sin 30CE CEB BC CBE ∠==∠＝1002(m )．在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ，又cos ∠ACB ＝cos 15°＝cos (60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45° ＝12×22＋32×22＝6＋24，所以AB 2＝(1003)2＋(1002)2－2⨯1003⨯1002⨯6＋24＝10000(2－3)．所以AB ＝1002－3(m )，所以A ，B 之间的距离为1002－ 3 m ．5．（1）所有基本事件（a ，b ）有：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），共12种.因为关于x 的一元二次方程x 2+2ax +b 2=0有实根，所以△=4a 2-4b 2≥0，即a 2≥b 2．记“关于x 的一元二次方程x 2+2ax +b 2=0有实根的概率”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有：（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4,3），共6种．所以P (A )=61122=为所求．（2）所有基本事件（m ，n ）有：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16种．记“点P 落在区域0,50x y x y -≥⎧⎨+-<⎩内”为事件B ，则事件B 包含的基本事件有：（1,1），（2,1），（2，2），（3,1），共4种．所以P (B )=41164=为所求． 6．（1）由茎叶图可知，甲车间样品的质量分别是107,111,111,113,114,122，乙车间样品的质量分别是108,109,110,112,115,124.()11071111111131141221136x =+++++=甲， ()11081091101121151241136x =+++++=乙.()()()()()()222222211071131111131111131131131141131221136S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦甲21=， ()()()()()()222222211081131091131101131121131151131241136S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦乙883=.因为x x =乙甲，22S S <乙甲，所以甲车间的产品的质量较稳定. （2）从乙车间6件样品中随机抽取两件，所有的基本事件有：(108,109),(108,110)(108,112),(108,115),(108,124)，(109,110),(109,112),(109,115),(109,124)，(110,112)， (110,115),(110,124)，(112,115),(112,124)，(115,124)，共15种.设事件A 表示“所抽取的两件样品的质量之差不超过2克”，则事件A 包含的基本事件有：(108,109),(108,110)，(109,110)，(110,112)，共4种.所以()415P A =为所求. 7．（1）由已知得，样本中有“25周岁以上组”工人60名，“25周岁以下组”工人40名. 在样本中日平均生产件数不足60件的工人中， “25周岁以上组”工人有600.053⨯=（人），记为A 1，A 2，A 3； “25周岁以下组”工人有400.052⨯=（人），记为B 1，B 2. 从中随机抽取2名工人，所有可能的结果有：（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 2，A 3），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（B 1，B 2），共10种. 其中至少有1名“25周岁以下组”工人的结果有：（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（B 1，B 2），共7种.所以所求的概率为710. （2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中， “25周岁以上组”中的生产能手有600.2515⨯=（人），“25周岁以下组”中的生产能手有400.37515⨯=（人）. 据此可得22⨯假设0H ：生产能手与工人所在的年龄组没有关系. 将22⨯列联表中的数据代入公式，计算得222()()()()(100(15251545)251.79604030701)4n ad bc K a b c d a c b d ⨯-==+++⨯-⨯=≈+⨯⨯⨯.当0H 成立时，2( 2.706)0.100P K ≥≈.因为1.79 2.706<，所以没有90％的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”. 8．（1）设“选取的2组数据恰好是不相邻2天数据”为事件A ，所有基本事件（m ，n ）（其中m ，n 为12月份的日期数）有：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），共有10种．事件A 包括的基本事件有：（1,3），（1,4），（1,5），（2,4），（2,5），（3,5），共有6种．所以53106)(==A P 为所求．（2）由数据，求得11131225302612,2733x y ++++====．由公式，求得ˆˆˆ2.5,3ba y bx ==-=-．所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.53yx =-．（3）当x =10时，ˆ 2.510322,222312y=⨯-=-=<．同理，当x =8时，ˆ 2.58317,171612y=⨯-=-=<．所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的．9．（1）∵⊥PB 底面ABC ，且⊂AC 底面ABC ，∴AC PB ⊥.由90BCA ∠=，可得CB AC ⊥.又PB CB B = ，∴AC ⊥平面PBC .又⊂BE 平面PBC ，∴AC BE ⊥.BC PB = ，E 为PC 中点，∴BE PC ⊥.又PC ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PC AC C = ，∴BE ⊥平面PAC . （2）取AF 的中点G ，AB 的中点M ，连接,,CG CM GM .∵E 为PC 中点，2FA FP =，∴//EF CG .∵CG ⊄平面,BEF EF ⊂平面BEF ，∴//CG 平面BEF . 同理可证//GM 平面BEF .又CG GM G = ，∴平面//CMG 平面BEF . 又CD ⊂平面CDG ，∴//CD 平面BEF . （3）由（1）知BE ⊥平面PAC ，所以BE 是三棱锥B AEF -的高.由已知可得22=BE ，238213131=⋅⨯==∆∆PC AC S S PAC AEF . ∴三棱锥ABE F -的体积为93231=⋅==∆--BE S V V AEF AEF B ABE F .10．（1）取AD 的中点M ，连结PM ，QM .因为P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥，所以AD ⊥PM ，AD ⊥QM ，从而AD ⊥平面PQM . 又⊂PQ 平面PQM ，所以PQ ⊥AD .同理PQ ⊥AB .又AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， AD AB A = ，所以PQ ⊥平面ABCD . （2）连结OM ，则PQ AB OM 21221===. 所以∠PMQ ＝90°，即PM ⊥MQ .由（1）知AD ⊥PM ，所以PM ⊥平面QAD . 所以PM 的长是点P 到平面QAD 的距离.在Rt △PMO 中，22222222=+=+=OM PO PM .QBCPADOM所以点P 到平面QAD 的距离为22.11．（1）因为在等腰梯形PDCB 中，DA ⊥PB ，所以在四棱锥P －ABCD 中，DA ⊥AB ，DA ⊥P A ，又P A ⊥AB ，且DC ∥AB ，所以DC ⊥P A ，DC ⊥DA ，又DA ⊂ 平面P AD ，P A ⊂平面P AD ，P A ∩DA = A ，所以DC ⊥平面P AD ．又DC ⊂平面PCD ，所以平面P AD ⊥平面PCD ．（2）因为DA ⊥P A ，P A ⊥AB ，,,DA AB A DA AB ABCD =⊂ 平面，所以P A ⊥平面ABCD ，又P A ⊂ 平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面ABCD ．过M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，则MN ⊥平面ABCD ．在原等腰梯形PDCB 中，DC ∥PB ，PB = 3DC = 3，PDDA ⊥PB ， ∴P A = 1，AB = 2，1AD =．设MN = h ，则1133M ABC ABC V S h h -∆=⋅=，1132P ABCD ABCD V S PA -∆=⋅=． ∴123PM ACD P ABCD M ABC hV V V ---=-=-．∵ABC M ACD PM V V --=45，∴152343h h -=，解得23h =．在△P AB 中，23BM MN BP PA ==，∴21,33BM BP MP BP ==．在梯形ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ，连结OM ．易知△AOB ∽△DOC ，∴12DO DC OB AB ==．故DO PMOB MB=，所以在平面PBD 中，有PD ∥MO ．又PD ⊄平面AMC ，MO ⊂平面AMC ，所以PD ∥平面AMC ． 12．（1）设正方形AA 1C 1C 的边长为x ，由于E 是1A B 的中点，△EAB 的面积为定值．1CC ∥平面1AA B ，∴点F 到平面EAB 的距离为定值，ABDCOPMN即点C 到平面1AA B 的距离为定值．又E ABF F ABE V V --=，且13F ABE ABE V S h -∆=⋅即1132223x x x ⋅⋅⋅⋅=，38,2x x ∴==，所以正方形11AAC C 的边长为2．（2）将侧面11B BCC 展开到侧面11ACC A 得到矩形11A ABB ．连结B A 1交C C 1于点F ，此时点F 使得BF F A +1最小.此时FC 平行且等于A A 1的一半，F ∴为C C 1的中点. 取AB 中点O ，连接OE ,EF ，OC ，OEFC ∴为平行四边形，△ABC 为正三角形，∴OC AB ⊥. 又1AA ⊥平面ABC ，1OC AA ∴⊥.因为1AB AA A = ，OC ∴⊥平面1A AB .AE ⊂ 平面1A AB ，OC AE ∴⊥. 又EF ∥OC ，AE EF ∴⊥.由于E 是1A B 的中点，所以1AE A B ⊥.又1A B ⊂平面1A FB ，EF ⊂平面1A FB ，1A B EF E = ，所以1AE A FB ⊥平面. 13．（1）由2,2-+=+-=n b a n a b n n n n 得.∵,21n a a n n +=+∴n n n n b b n b n b 21,22]2)1([211=-+=-++++即. ∴}{n b 是首项为21,3111公比为=+=+a b n 是等比数列.所以1)21(3-=n n b .（2）∵,2-+=n b a n n ∴2)3(-+=n n B A n n .又),211(6211)211(3n n n B -=--=∴n n n B n B A n n n 2)3()1(-++=+λλnn n )211)(1(623-++-=λ. 所以当且仅当}{,1nB A nn λλ+-=时为等差数列.14．（1）因为1212()()cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅-⋅，所以1212sin cos n n n n n f x a a a a x a x ++++'=-+-⋅-⋅（）.所以121()02n n n n f a a a a π+++'=-+-=.所以122n n n a a a ++=+，{}n a ∴是等差数列.因为12a =，248a a +=，所以34a =，1d =，2-111n a n n ∴=+⋅=+（）.（2）因为111122121222n n n a n nb a n n +=+=++=++（）（）（），所以111221221212n n n n S -++=+-（）（）211313122n n n n n n =++-=++-（）. 15．（1）由框图，知数列2,1}{11+==+n n n x x x x 中，， ∴*12(1)21(,2008)n x n n n n =+-=-∈≤N ．（2）由框图，y 1=2，y 2=8，知数列{y n }中，y n +1=3y n +2． ∴)1(311+=++n n y y ，∴1113,1 3.1n n y y y ++=+=+∴数列{y n +1}是以3为首项，3为公比的等比数列． ∴n y +1=3·3n －1=3n ，∴n y =3n －1（*,2008n n ∈≤N ）．（3）z n =n n y x y x y x +++ 2211=1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2n －1）（3n －1） =1×3+3×32+…+（2n －1）·3n －[1+3+…+（2n －1）] 记S n =1×3+3×32+…+（2n －1）·3n ，① 则3S n =1×32+3×33+…+（2n －1）×3n +1 ② ①－②，得－2S n =3+2·32+2·33+…+2·3n －（2n －1）·3n +1 =2（3+32+…+3n ）－3－（2n －1）·3n +1=2×13·)12(331)31(3+-----n n n =113·)12(63++---n n n 63·)1(21--=+n n∴.33·)1(1+-=+n n n S 又1+3+…+（2n －1）=n 2， ∴12*(1)33(,2008)n n z n n n n +=-⋅+-∈≤N .16．（1）由)(x f y =的图象上得,21,212121+=+=x x a y a y 两式相加得21212121+++=x x a a ，化简得421=+xx a 恒成立.,4,121=∴=+a x x ∴.241)(+=x x f （2）),1,,3,2,1(2120000-==-+n k n k n n k 000000()()11,()(),242k n k f f k n k n n f f n n -+-∴=+=由已知条件得即 00000001231()()()()(),n n n S f f f f f n n n n n -∴=+++++ 000000000012321()()()()()(),:n n n nS f f f f f f n n n n n n --∴=++++++ 两式相加得000000000000000112222112[()()][()()][()()][()()]2()n n n n n n S f f f f f f f f f n n n n n n n n n ----=+++++++++ 0111112(1)(1)2,22226f n =++++=-+⋅ 121300-=∴n S n .17．（1）因为22c =，且12c a =，所以1,2,c a b ==== 所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）设点M 的坐标为()00,x y ，则2200143x y +=．因为()11,0F -，24a c=，所以直线l 的方程为4x =．由于圆M 与l 由公共点，所以M 到l 的距离04x -小于或等于圆的半径R ．因为()22221001R MF x y ==++，所以()()22200041x x y -≤++，即20010150y x +-≥．又因为2200314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以233101504x x -+-≥，解得0423x ≤≤．当043x =时，0y =()12max122MF FS =⨯=． 18．（1）∵圆F 过椭圆C 的左焦点，把（—c ,0）代入圆F 的方程，得224c a =，所以椭圆C 的离心率12c e a ==．（2）在方程()222x c y a -+=中，y xBOAEFD令22220x y a c b ==-=得，可知点B 为椭圆的上顶点．由（1）知12c a =，得2,a c b ===，所以()0B .在圆F 的方程中，令0y =，可得点D 的坐标为()3,0c ，则点()3,0A c -．于是可得直线AB的斜率AB k ==，而直线FB的斜率FB k ==1AB FD k k ⋅=- ，∴直线AB 与圆F 相切．（3）DF 是BDG ∆的中线，22BDG BFD S S DF OB c ∆∆∴==⋅==22c ∴=，从而得28a =，26b =，∴椭圆C 的标准方程为22186x y +=． 19．（1）设动圆圆心坐标为 C (x ,y )，根据题意得 x 2 + (y －2) 2 = y 2 + 4化简得 x 2 = 4y ，所以曲线 E 的方程为x 2 = 4y ．（2）设直线 PQ 的方程为 y = kx + b由 ⎩⎨⎧ x 2= 4yy = kx + b 消去 y 得 x 2－4kx －4b = 0 设 P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2)，则 x 1 + x 2 = 4k ，x 1x 2 = －4b ，且△ = 16k 2 + 16b ．以点 P 为切点的切线的斜率为y’ | x =x 1 = 12 x 1，其切线方程为 y －y 1 = 12 x 1 (x －x 1)，即 y = 12 x 1x －14 x 12 ⇒ x 12－2x 1x + 4y = 0．由切线过 A (x 0,y 0) 得 x 12－2x 1x 0 + 4y 0 = 0，同理 x 22－2x 2x 0 + 4y 0 = 0．∴x 1、x 2 是方程 x 2－2x 0 x + 4y 0 = 0的两个解． ∴x 1 + x 2 = 2x 0，x 1x 2 = 4y 0．所以 ⎩⎨⎧ x 0 =x 1 + x 22= 2k y 0 = x 1x 24 = －b所以 A (2k ,－b ) ．由 A (x 0,y 0) 在直线 x －y －2 = 0 上，则 2k + b －2 = 0，即 b = 2－2k ．代入 △ = 16k 2 + 16b = 16k 2 + 32－32k = 16 (k －1) 2 + 16 > 0． ∴| PQ | = 1 + k 2 | x 1－x 2 | = 4 1 + k 2 k 2 + b ．A (2k ,－b ) 到直线 PQ 的距离为 d = | 2k 2 + 2b |k 2 + 1，∴S △APQ = 12| PQ | d = 4 | k 2 + b | k 2 + b = 4 (k 2+ b ) 32= 4 (k 2－2k + 2) 32 = 4 [(k －1) 2+ 1] 32 ．∴当 k = 1 时，S △APQ 最小，其最小值为 4，此时点 A 的坐标为 (2,0) ．20．（1）依题意知，椭圆的长半轴长2a =，则A (2，0) ．设椭圆E 的方程为14222=+by x ．由椭圆的对称性知|OC |＝|OB |，又∵0=⋅BC ，|BC |＝2|AC |． ∴AC ⊥BC ，|OC |＝|AC | ∴△AOC 为等腰直角三角形．∴点C 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(－1，－1) ．将C 的坐标(1，1)代入椭圆方程得342=b ，∴所求的椭圆E 的方程为143422=+y x ．（2）设在椭圆E 上存在点Q ，使得222|QB||QA|-=，设00Q(x ,y )，则()()()2222220000001126222|QB ||QA|x y x y x y .-=+++---=+-=即00320x y +-=，--------①又∵点Q 在椭圆E 上，∴2200340x y +-=，-----②由①式得0023y x =-代入②式并整理得：2007920x x -+=，-----③∵方程③的根判别式8156250∆=-=>，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q 存在，且有两个．（3）设点11P(x ,y )，由M 、N 是O 的切点知，OM MP,ON NP ⊥⊥,∴O 、M 、P 、N 四点在同一圆上，且圆的直径为OP ,则圆心为1122x y(,)，其方程为22221111224x y x y (x )(y )+-+-=，即22110x y x x y y +--=-----④即点M 、N 满足方程④，又点M 、N 都在O 上，∴M 、N 坐标也满足方程2243O :x y +=----⑤ ⑤-④得直线MN 的方程为1143x x y y +=．令0y ,=得143m x =，令0x =得143n y =，∴114433x ,y m n==．又点P 在椭圆E 上，∴22443433()()m n +=，即2211334m n +=为定值． 21．（1）2()323f x ax bx '=+-．根据题意，得(1)2(1)0f f =-⎧⎨'=⎩，即323230a b a b +-=-⎧⎨+-=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩．所以3()3f x x x =-．（2）令()0f x '=，即2330x -=．得1x =-或1x =．因为(1)2f -=，(1)2f =-，所以当[2,2]x ∈-时，max ()2f x =，min ()2f x =-．对于区间[2,2]-上任意两个自变量的值1x ，2x ，都有12max min ()()()()4f x f x f x f x -≤-=，所以4c ≥，所以c 的最小值为4．（3）因为点(2,)M m (2)m ≠不在曲线()y f x =上，所以可设切点为00(,)x y ．则30003y x x =-．因为200()33f x x '=-，所以切线的斜率为2033x -，则曲线()y f x =在00(,)x y 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-，即2300(33)2y x x x =--．又切线过点(2,)M m ，所以2300(33)22m x x =-⨯-，即32002660x x m -++=．因为过点(2,)M m (2)m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，所以关于0x 的方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解．所以函数32()266g x x x m =-++有三个不同的零点．则2()612g x x x '=-．令()0g x '=，则0x =或2x =．则(0)0(2)0g g >⎧⎨<⎩，即6020m m +>⎧⎨-+<⎩，解得62m -<<．22．（1）当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x x x-'=-=．因为()f x 定义域是(0,]e ，当1x =时()0f x '=，当(0,1)x ∈时()0f x '<，当(1,]x e ∈ 时()0f x '>，所以当1x =时，()f x 有最小值(1)1f =．（2）由（1）知，在1a =且(0,]x e ∈时，有()1f m ≥．又因为(0,]x e ∈，21ln ()0xg x x-'=≥，所以()g x 在区间(0,]e 上为增函数， 1110()() 2.727g x g e e ≤=<=，所以当(0,]n e ∈时，171017()1272727g n +<+=．因为()1f m ≥，所以17()()27f mg n >+对一切,(0,]m n e ∈恒成立．（3）假设存在实数a ，使得()f x 的最小值是3，11()ax f x a x x-'=-=．当1a e≤时，因为(0,]x e ∈，所以1ax ≤，()0f x '≤，所以()f x 在(0,]e 上为减函数．所以当x e =时()f x 取最小值()13f e ae =-=，此时4a e=，矛盾，故舍去．当1a e >时，令'()0f x <，得10x a <<；令'()0f x >，得1x e a<≤．所以()f x 在1(0,]a 上为减函数，在1(,]e a 上为增函数．所以当1x a =时，()f x 取最小值11()1ln 3f a a=-=，此时2a e =．所以假设成立，所以存在2a e =，使得()f x 的最小值是3．23．（1）由2()ln ,(0,)f x ax bx x x =+-∈+∞得221()ax bx f x x+-'=．①当0a =，1()bx f x x-'=．（ⅰ）若0b ≤，因为0x >，所以()0f x '<恒成立，所以函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞．（ⅱ）若0b >，当10x b<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．当1x b>时， ()0f x '>，函数()f x 单调递增．所以函数()f x 单调递减区间是1(0,)b ，单调递增区间是1(,)b+∞．②当0a >时，令()0f x '=，得2210ax bx +-=．由280b a ∆=+>得14b x a -=，24b x a-=．显然10x <，20x >．当20x x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当2x x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增．所以函数()f x 单调递减区间是，单调递增区间是)+∞.综上所述，当0a =，0b ≤时，函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞；当0a =，0b >时，函数()f x 单调递减区间是1(0,)b ，单调递增区间是1(,)b+∞；当0a >时，函数()f x 单调递减区间是(0,4b a -，单调递增区间是()4b a-+∞．（2）由题意，函数()f x 在处取得最小值，由（1）知4b a -是()f x 的唯一极小值点，所以14b a-+=，整理得21a b +=即12b a =-.ln (2)ln 2ln 24a b a b a a --=+=+-．令()ln 24g x x x =+-，则14()x g x x-'=．令()0g x '=，得14x =．当104x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当14x >时，()0g x '<，()g x 单调递减．所以当14x =时，()g x 最大．所以11()()1ln 1ln 4044g x g ≤===-<．所以()0g a <，所以ln 240a a +-<，即ln (2)a b <-． 24．（1）由()g x x '=，可设21()2g x x c =+，又由(2)2g =，解得0c =，所以21()2g x x =.所以2()ln 2a F x x x =-，211'()(ax a F x ax x x x x x -=-==．因为0a >，()F x 的定义域为(0,)+∞，所以当时x >()0F x '>，0x <<时，()0F x '<．所以()F x 在是减函数，在)+∞上是增函数．易知0x +→时，()F x →+∞；x →+∞时，()F x →+∞．因为()F x 没有零点，所以()F x 在(0,)+∞上的最小值是11ln 022F a =+>，解得1a e >．所以a 的取值范围为1(,)e+∞．（2）原问题即0p q >>时，()()()()mg p pf p mg q qf q ->-恒成立．令2()()()ln 2m h x mg x xf x x x x =-=-，则()h x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以'()ln 10h x mx x =--≥在(0,)+∞上恒成立，即ln 1x m x+≥在(0,)+∞上恒成立．令ln 1()x G x x +=，则2ln '()xG x x=-，所以当(0,1)x ∈时，()0G x '>；(1,),()0x G x '∈+∞<．所以()G x 的最大值为(1)1G =，所以m 的取值范围为[1,)+∞．。

高考数学培优课外补充方法

高考数学培优课外补充方法说实话高考数学培优课外补充方法这事，我一开始也是瞎摸索。

我就想啊，学校里学的那些虽然很基础很重要，但是要想在高考数学里拿到高分，肯定得有点别的手段。

我试过好多辅导书，就那种号称专门针对高考数学培优的。

一开始我就盲目地做题，根本不看那些题的类型和思路。

就像没头的苍蝇乱撞呗，结果花费了大量时间，效果却不怎么样。

后来我明白了，得先对这些辅导书进行分类。

有些是专门提高难题解答能力的，像那种竞赛题改编的类型；有些是着重基础知识点的深化拓展的。

这就好比做饭，你得先知道自己缺啥食材，才能有针对性地去买菜和做菜。

我还试过跟着一些网上的公开课学习。

但这里面的水也挺深的。

有的公开课老师讲得特别快，噼里啪啦就讲过去了，我都来不及反应。

我才意识到选公开课也得挑选适合自己节奏的。

有一次我找了个慢条斯理讲题的老师，每个步骤都解释得很详细。

就像爬山，他不是一下子拉着你冲到山顶，而是带着你一步一个脚印地走上去，把每个风景处都让你看清楚，这样你对那道题甚至那一个类型的题就理解得透彻多了。

另外，组建或者加入学习小组也挺有用的。

大家一起讨论题目，这时候思路就会开阔很多。

比如说有一道立体几何的培优题，我想了好久都找不到解题的好方法。

在小组讨论里，有个同学就提出了一个从侧面入手建立坐标系的想法，这是我之前都没有想过的。

这就像是你在一个暗房里找东西，你一个人可能只能看到眼前的一小块地方，但大家一起找就能照亮整个屋子。

还有哦，整理错题集是个老生常谈但真的超级重要的方法。

我以前只是把错题抄下来订正就完事儿了。

但后来发现这根本没用。

你得把错题背后的错因找出来，是知识点没掌握扎实还是解题思路入了歧途。

如果把知识点比喻成一颗颗珍珠，那思路就是串起珍珠的线，这两样哪样出问题都不行。

比如我在做数列题的时候，经常忘记一些特殊数列的求和公式，这就是知识点的漏洞，我就在错题本上把相关的知识点重点标注，下次复习的时候就专门攻克这块。

在课外补充学习的时候，不要贪多。

2014年高考数学(文)二轮配套教案：高考题型冲刺练 12+4分项练训练5

训练5 经典小题强化练内容：概率、统计一、选择题1．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则log 2x y ＝1的概率为( )A.16B.536C.112D.12答案 C解析由log 2x y ＝1⇒2x ＝y ，x ∈{1,2,3,4,5,6}，y ∈{1,2,3,4,5,6}，∴x ＝1，y ＝2或x ＝2，y ＝4或x ＝3，y ＝6，共3种情况，∴P ＝36×6＝112.2．为了调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法：(1)在该校中随机抽取100名学生，并编号1,2,3， (100)(2)在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；(3)请下列两类学生举手：(ⅰ)摸到白球且号数为偶数的学生，(ⅱ)摸到红球且不喜欢数学课的学生．如果总共有26名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是( )A ．88%B ．90%C ．92%D ．94%答案 B解析摸到白球且号数为偶数的学生应有50×25＝20(人)，则摸到红球且不喜欢数学课的学生有6人，而在100名学生中，摸到红球的学生应有100×35＝60(人)，这说明不喜欢数学课的学生占10%.3．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )A ．1180B ．1288C ．1360D ．1480答案 C解析当“时”的两位数字的和小于9时，则“分”的那两位数字的和要求超过14，这是不可能的．所以只有“时”的和为9(即“09”或“18”)，“分”的和为14(“59”)；或者“时”的和为10(即“19”)，“分”的和为13(“49”或“58”)．共计有4种情况．因为一天24小时共有24×60分钟，所以概率P ＝424×60＝1360.故应选C.4． (2013·辽宁)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60答案 B解析由频率分布直方图知，低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.∴该班学生人数n ＝150.3＝50.5．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )A.35B.310C.12D.625答案 B解析设3个白球分别为a 1，a 2，a 3,2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310. 6．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和x B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )A.x A >x B ，s A >s BB.x A <x B ，s A >s BC.x A >x B ，s A <s BD.x A <x B ，s A <s B 答案 B解析 A 中的数据都不大于B 中的数据，所以x A <x B ，但A 中的数据比B 中的数据波动幅度大，所以s A >s B .7．若集合A ＝{a |a ≤100，a ＝3k ，k ∈N *}，集合B ＝{b |b ≤100，b ＝2k ，k ∈N *}，在A ∪B中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在A ∩B 中的概率为________．答案 1667解析易知A ＝{3,6,9，…，99}，B ＝{2,4,6，…，100}，则A ∩B ＝{6,12,18，…，96}，其中有元素16个． A ∪B 中元素共有33＋50－16＝67(个)，∴所求概率为1667.8．为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图(如图)，已知从左到右各长方形高的比为2∶3∶5∶6∶3∶1，则该班学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数是( )A ．32B ．27C ．24D ．33答案 D解析 80～100之间两个长方形高占总体的比例为 5＋62＋3＋5＋6＋3＋1＝1120，即为频数之比，∴x 60＝1120，∴x ＝33. 9．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )A ．90B ．75C ．60D ．45 答案 A解析产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，设样本容量为n ，则36n ＝0.300，所以n ＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.10．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为( )A.13B.14C.16D.112答案 C解析复数(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i 为实数，则n 2－m 2＝0⇒m ＝n ，而投掷两颗骰子得到点数相同的情况只有6种，所以所求概率为66×6＝16.11．一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是( )A.23 B.14C.25D.15答案 C解析先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为25.12．将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m ，n ，则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是( )A.12B.56C.34D.23答案 B解析 y ＝23mx 3－nx ＋1，y ′＝2mx 2－n .令y ′＝0得x ＝± n2m，∴x 1＝－ n 2m ，x 2＝ n 2m 是y ＝23mx 3－nx ＋1的两个极值点．∴函数在⎣⎡⎭⎫n 2m ，＋∞上为增函数，若满足在[1，＋∞)上为增函数，则 n2m≤1，即n ≤2m . ∴P ＝3036＝56.二、填空题13．如图是某赛季CBA 广东东莞银行队甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙比赛得分的中位数之和是________．答案 58解析中位数是将数据按由大到小或由小到大的顺序排列起来，最中间的一个数或中间两个数的平均数．甲比赛得分的中位数为34，乙比赛得分的中位数为24，故其和为58. 14．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m ，n ，设a ＝(m ，n )，则满足|a |<5的概率为________．答案 1336解析 ∵|a |<5，∴m 2＋n 2<25，当n ＝1时，m ＝1,2,3,4；当n ＝2时，m ＝1,2,3,4；当n ＝3时，m ＝1,2,3；当n ＝4时，m ＝1,2，共13种，∴P ＝136×6＝1336.15．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设集合P ＝{－1,1,2,3,4,5}，Q ＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，则函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数的概率为________．答案 49解析分别从集合P 和Q 中任取一个数作为a 和b ，则有：(－1，－2)，(－1，－1)，…，(－1,4)；(1，－2)，(1，－1)，…，(1,4)；…；(5，－2)，(5，－1)，…，(5,4)，共36种取法．由于函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba，要使y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，必有a >0且2ba ≤1，即a >0且2b ≤a .若a ＝1，则b ＝－2，－1；若a ＝2，则b ＝－2，－1,1；若a ＝3，则b ＝－2，－1,1；若a ＝4，则b ＝－2，－1,1,2；若a ＝5，则b ＝－2，－1,1,2.故满足题意的事件包含的基本事件的个数为2＋3＋3＋4＋4＝16.因此所求概率为1636＝49.16．如图在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点．在A 、P 、M 、C 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F .设G 为满足向量OG →＝OE →＋OF →的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外(不含边界)的概率为________．答案 34解析基本事件的总数是4×4＝16，在OG →＝OE →＋OF →中，当OG →＝OP →＋OQ →，OG →＝OP →＋ON →，OG →＝ON →＋OM →，OG →＝OM →＋OQ →时，点G 分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G 在平行四边形的边界上，而其余情况的点G 都在平行四边形外，故所求的概率是1－416＝34.。

高考数学培优专题5：函数与方程

高考数学培优---专题5函数与方程一、真题特点分析：1. 方程2223450x xy y x -+-+=的整数解的组数为________．2.已知函数()()e 1x f x a x b =+-+在区间[]1,3上存在零点，则22a b +的最小值为（）A ．e 2B ．eC ．2e 2D ．2e3已知方程2sin 1x x -=，则下列判断：（1）方程没有正数解；（2）方程有数多个解；（3）方程有一个正数解；（4）方程的实根小于1．其中错误的判断有_______________二、知识要点拓展一．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有关公式1.一元二次方程的根：x =2.根与系数的关系：12b x x a +=-，12cx x a=（韦达定理）3.判别式：24b ac ∆=-．二．函数不等式恒成立、能成立、恰成立问题 1.函数不等式的恒成立问题：（1）不等式()f x m ≥在集合D 上恒成立⇔在集合D 上min ()f x m ≥．（2）不等式()f x n ≤在集合D 上恒成立⇔在集合D 上max ()f x n ≤．2.函数不等式的能成立问题：（1）在集合D 上存在实数x 使不等式()f x m ≥成立⇔在集合D 上max ()f x m ≥．（2）在集合D 上存在实数x 使不等式()f x n ≤成立⇔在集合D 上min ()f x n ≤． 3.函数不等式的恰成立问题：不等式在集合D 上恰成立⇔该不等式的解集为D ．三．几个常见的函数方程1.正比例函数()f x cx =,具有性质：()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.2.指数函数()x f x a =,具有性质：()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.3.对数函数()log a f x x =,具有性质：()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.方程的根与函数的零点：1.对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数叫做函数()y f x =的零点．2.方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点3.零点存在定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<，那么在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使()0f c =。

(完整版)高考数学培优补弱6

bn 的各项为正,其前 n 项和为Tn ，且T3 15 ，又 a1 b1, a2 b2 , a3 b3 成等比数列，求Tn
本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识,以及推理能力与运算能力.满分 12 分.
解:(Ⅰ)由 an1 2Sn 1 可得 an 2Sn1 1n 2 ，两式相减得 an1 an 2an , an1 3an n 2
解得 d1 2, d2 10
-2-
(完整版)2014 高考数学培优补弱 6
∵等差数列bn 的各项为正，∴ d 0 ∴ d 2
∴ Tn
3n
nn 1
2
2
n2
2n
1。设等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都为整数，前 n 项和为 Sn。（Ⅰ）若 a11=0，S14=98，求数列｛an｝的通项公式；（Ⅱ)若 a1≥6，a11＞0,S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式 2．(上海卷)设数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且对任意正整数 n ，an Sn 4096 。（1)求数列{an}的通项公式？
2k 1
当 k 2 ≤4，得 k2－8k+4≤0， 2k 1
4－2 3 ≤k≤4+2 3 ,又 k≥2，
∴当 k=2，3，4，5，6,7 时,原不等式成立。
4 ． [ 例 ] ，已知数列 an 中 , Sn 是其前 n 项和，并且 Sn1 4an 2(n 1, 2, ), a1 1 ， ⑴ 设数列
又 a2 2S1 1 3 ∴ a2 3a1 故an 是首项为1，公比为 3 得等比数列 ∴ an 3n1
（Ⅱ）设bn 的公比为 d 由T3 15 得，可得 b1 b2 b3 15 ，可得 b2 5

2014高考数学查缺补漏集中营排列、组合、二项式定理与概率

2014高考数学查缺补漏集中营：排列、组合、二项式定理与概率一、选择题(每小题5分，共25分)1．某同学忘记了自己的QQ 号，但记得QQ 号是由一个2，一个5，两个8组成的四位数，于是用这四个数随意排成一个四位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ 号最多尝试次数为( )．A ．6B ．12C ．18D ．242．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( )．A ．10B ．－10C ．40D ．－403．如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )．A ．64B ．72 C.84 D ．964．如图，已知函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，若随机向圆O ：x 2＋y 2＝π2内投入一米粒，则该米粒落在区域M 内的概率是( )．A.4π2B.4π3C.2π2 D.2π3 5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是( )． A.18125 B.36125 C.44125D.81125二、填空题(每小题5分，共15分)6．学校要安排4名学生在周六、周日参加社会实践活动，每天至少1人，则学生甲被安排在周六的不同排法的种数为________(用数字作答)．7．若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为________． 8．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)已知(1＋2x )n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的56.求展开式中所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和．10．(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n ＜m ＋2的概率．11．(12分)某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； (3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．参考答案1．B [C 24A 22＝6×2＝12.]2．D [因为二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 5·25－r ×(－1)r x10－3r，当r ＝3时，含有x ，其系数为C 35·22×(－1)3＝－40.]3．C [将四种颜色编号为①②③④，A 有4种涂法，设涂①，B 有3种涂法，设涂②.下面分三类：若C 涂①，则D 可涂②③④，共3种涂法；若C 涂③，则D 可涂②④，共2种涂法；若C 涂④，则D 可涂②③，共2种涂法．于是不同的涂法种数为4×3×(3＋2＋2)＝84.]4．C [S M ＝2⎠⎛0πsin x d x ＝2，S O ＝π·π2＝π3，所以该米粒落在区域M 内的概率是S M S O ＝2π3＝2π2.]5．B [从5个球中随机取出一个球放回，连续取3次的所有取法有5×5×5＝125种，有两次取红球的所有取法有3A 12·A 23＝36种．所以概率为36125.]6．解析本题考查排列组合知识，由题意知：A 13·A 22＋1＝7.答案 77．解析令x ＝0得，a 0＝1.令x ＝1，则(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝64，∴m ＋1＝±2， ∴m ＝1或－3. 答案 1或－38．解析根据条件求出基本事件的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解．因为每人都从三个项目中选择两个，有(C 23)3种选法，其中“有且仅有两人选择的项目完全相同”的基本事件有C 23C 13C 12个，故所求概率为C 23C 13C 12C 233＝23.答案 239．解根据题意，设该项为第r ＋1项，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r n 2r ＝2C r －1n 2r －1，C r n 2r ＝56C r ＋1n 2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧C r n ＝C r －1n ，C r n ＝53C r ＋1n ，亦即⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2r －1，n ！rn －r ＝53×n ！r ＋1n －r －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，n ＝7.令x ＝1得展开式中所有项的系数和为(1＋2)7＝37＝2 187. 所有项的二项式系数和为27＝128.10．解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．因此所求事件的概率P ＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n)有：(1,1)，(1,2)，(1, 3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316.故满足条件n ＜m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316.11．解 (1)由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人．(2)记A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则P(A)＝C 14C 16C 210＝815.(3)A i 表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i 名男工人，i ＝0,1,2. B j 表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j 名男工人，j ＝0,1,2. B 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人． A i 与B j 独立，i ，j ＝0,1,2，且B ＝A 0·B 2＋A 1·B 1＋A 2·B 0. 故P(B)＝P(A 0·B 2＋A 1·B 1＋A 2·B 0)＝P(A 0)·P(B 2)＋P(A 1)·P(B 1)＋P(A 2)·P(B 0)＝C 24C 210·C 24C 210＋C 14C 16C 210·C 16C 14C 210＋C 26C 210·C 26C 210＝3175.。

山东省2014年高考仿真模拟冲刺卷数学理5 Word版含答案

绝密★启用前试卷类型：A山东省2014年高考仿真模拟冲刺卷（五）理科数学满分150分考试用时120分钟参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）; 如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：).,,2,1,0()1()(n k p p C k P k n k knn =-=-第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中选择一个符合题目要求的选项） 1．已知条件2:340p x x --≤；条件22:690q x x m -+-≤若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（）A ．[]1,1-B ．[]4,4-C ．(][),44,-∞-+∞D ．(][),11,-∞-+∞2．已知11xyi i=-+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则x yi +的共轭复数为（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -3．等差数列{}n a 中，10590,8S a ==，则4a =（）A ．16B ．12C ．8D ．6 4．函数21()ln 2f x x x =-的大致图像是（）AB C D5．某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种类为（）A ．600B ．520C ．720D ．3606．已知函数()f x 是R 上的偶函数，若对于0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当[0,2)x ∈时，)1(log )(2+=x x f ，则)2012()2011(f f +-的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．27．将函数πcos()3y x =-的图象上各点的横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）A ．π9x =B ．π2x =C ．πx =D ．π8x = 8．已知α∈R ，则“2a <”是“|2|||x x a -+>恒成立”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．函数2()31,[1,2]f x x x x =--∈-，任取一点0[1,2]x ∈-，使0()1f x ≥的概率是（） A ．23B ．59 C ．14D ．4910．函数()f x 的定义域为A ,若存在非零实数t ，使得对于任意()x C C A ∈⊆有,x t A +∈且()()f x t f x +≤，则称()f x 为C 上的t 度低调函数．已知定义域为[)0+∞，的函数()=3f x mx --，且()f x 为[)0+∞，上的6度低调函数，那么实数m 的取值范围是（） A ．(][),01,-∞+∞B ．[)+∞1，C ．(],0-∞D ．[]0,1第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）11．已知圆2210240x y x +-+=的圆心是双曲线2221(0)9x y a a -=>的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为．12．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中主视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为．13．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为3π，那么3a b+ 等于．14．已知O 是坐标原点，点(1,0)A ，若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩上的一个动点，则||OA OM +的最小值是．15．关于函数()x x x f 2cos 2sin -=有下列命题：①函数()x f y =的周期为π；②直线4π=x 是()x f y=的一条对称轴；③点⎪⎭⎫⎝⎛0,8π是()x f y =的图象的一个对称中心； ④将()x f y =的图象向左平移4π个单位，可得到x y 2sin 2=的图象. 其中真命题的序号是_________________.（把你认为真命题的序号都写上）三、解答题（本大题共6小题，共75分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. （Ⅰ）求,a c 的值; （Ⅱ）求sin()A B -的值.17．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，AE ABC ⊥面，DB ∥AE ，且1A C A B B C A E ====，2BD =，F 为CD 中点。

高三补差五

高三文科五1．复数2(2)i z i-=i 为虚数单位，则=||z ( ) A.25 B. 41 C.6 D.52．已知集合A B 、均为全集{1,2,3,4}U =的子集，且(){4}U A B = ð,{1,2}B =,则U A B = ð( )A.{}3B. {}4C. {}3,4D.∅3．已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()21,f x x x=+ ,则()1f -= ( ) A.2- B. 0 C. 1 D. 24．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是A. B. 83 C. 81),3 D.8,85．函数()f x =的定义域为( ) A.(30]-， B.(31]-， C.(,3)(3,0]-∞-- D. (,3)(3,1]-∞--6．执行右边的程序框图，若第一次输入的a 的值为1.2-，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次、第二次输出的a 的值分别为( )A.0.20.2，B.0.20.8，C.0.80.2，D. 0.80.8，7．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，b =，则c =( )A. 2 D. 18．给定两个命题q p ,，p q ⌝是的必要而不充分条件，则p q ⌝是的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9．函数x x x y sin cos +=的图象大致为( )10．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示： 8779401091x则7个剩余分数的方差为( )A.1169B.367C. 36D. 7 11．过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为__________.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,)OA t =- ，(2,2)OB = ，若90o ABO ∠=，则实数t 的值为_____.13．某小组共有A B C D E 、、、、五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:千克/米2）如下表所示：(Ⅰ)从该小组身高低于的同学中任选人，求选到的人身高都在以下的概率(Ⅱ)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[)18.5,23.9中的概率.14．设函数2()sin cos (0)2f x x x x ωωωω=->，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π， (Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值. 15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,122+=n n a a .(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈ ，求{}n b 的前n 项和n T .参考答案1．C【解析】()()()223443,1i i i z i i --⨯-===-- 5.z ==【考点定位】本题考查复数的基本概念和运算，通过分母实数化思想来考查运算能力,要注意2i 在运算中多次出现，符号确定容易出错.2．A【解析】{}1,2,3A B = ,因为{}1,2B =，所以A 中必有元素3，{}3.U A C B =【考点定位】本题考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力.对于{}1,2,3A B = ，{}1,2B =这两个条件，可以判断集合A 中的元素有三种情形，而指出A 中必有元素3，简化了运算，使结果判断更容易.3．D【解析】()()11 2.f f -=-=-【考点定位】本题考查函数的奇偶性的应用，考查运算求解能力和转化思想. 根据()()f x f x -=-直接运算()()11 2.f f -=-=-而若求()f x 在(),0-∞上的解析式再求()1f -便“多余”了.4．B【解析】由正视图可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为=1422S ⎛=⨯⨯= ⎝侧21822.33V =⨯⨯= 【考点定位】本题考查三视图的应用，考查空间想象能力和运算能力. 因求体积的影响，可能会把求侧面积误认为全面积而选C. 此外棱锥体积运算时不要漏乘1.35．A 【解析】由题意得12030x x ⎧-≥⎨+>⎩，所以30.x -<≤ 【考点定位】本题考查函数的定义域的求法，考查数形结合思想和运算能力. 根据函数解析式确定函数的定义域，往往涉及到被开放数非负、分母不能为零，真数为正等多种特殊情形，然后通过交集运算确定.6．C【解析】两次运行结果如下：第一次 1.2 1.210.210.8;-→-+→-+→第二次1.2 1.210.20.2.→-→→【考点定位】本题考查程序框图的运行途径，考查读图能力和运算能力. 本题不同于以往所见试题，两次运行程序输出结果.针对类似问题可根据框图中的关键“部位”进行数据罗列，从而确定正确的输出结果.7．B【解析】1,sin sin sin 22sin cos A B A A A===cos 2A =,所以22212c c =+-，整理得2320,c c -+=求得1c =或 2.c = 若1c =，则三角形为等腰三角形，0030,60A C B ===不满足内角和定理，排除.【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.当求出cos A =要及时判断出0030,60A B ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.8．A【解析】由q p ⇒⌝且p q ⌝≠>可得p q ⇒⌝且q p ⌝≠>，所以p 是q ⌝的充分不必要条件.【考点定位】本题考查充分必要条件的判断，通过等价命题的转化化难为易，也渗透了转化思想的考查. 本题依据原命题的逆否命题进行判断较为简单，也可以依据题目条件构造一个满足“p ⌝是q 的必要而不充分条件”的简单例子，进行转化比较，从而确定答案.9．D【解析】函数cos sin y x x x =+在x π=时为负，排除A,由奇函数的性质可排除B ，再比较C,D ，不难发现在x 取接近于0的正值时0,y >排除C.【考点定位】本题考查函数的奇偶性、函数的单调性、函数的值域等函数的重要性质，考查了函数图象的识别能力.本题可根据函数的性质对比图象进行逐一验证，若通过求导方法来研究该函数的图象和性质后再做准确判断，增加了运算负担.10．B【解析】由图可知去掉的两个数是87,99，所以879029129490917x +⨯+⨯+++=⨯，4.x =()()()()222221368791909129191294912.77s ⎡⎤=-+-⨯+-⨯+-⨯=⎣⎦ 【考点定位】本题考查茎叶图的识别、方差运算能统计知识，考查数据处理能力和运算能力. 确定被去掉的数据是解题的关键，本题给出的数据中99最大，即便是9.x =处理方差运算时要对方差概念牢固掌握，避免与标准差混淆误选D.11．【解析】最短弦为过点()3,1与圆心连线的垂线与圆相交而成，d ===【考点定位】本题考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力. 圆的半径、弦心距、半弦构成的直角三角形在解决直线和圆问题常常用到，本题只需要简单判断最短弦的位置就能轻松解答,有时候可能会出现点到直线的距离公式来求弦心距的长度.12．5【解析】()3,2AB OB OA t =-=- ,0,OB AB ⋅= 所以()()2,23,20, 5.t t ⋅-==【考点定位】本题考查平面向量的加减坐标运算和数量积坐标运算，考查转化思想和运算能力. 本题通过0OB AB ⋅= 进行运算极易想到，但求AB 时往往出现坐标的“倒减”，虽然不影响运算的结果，被填空题型所掩盖，但在解答题中就会被发现.13．(Ⅰ) 12 (Ⅱ) 310【解析】（I ）可得到满足条件的基本事件有()()()()()(),,,,,,,,,,,A B A C A D B C B D C D 6种情形，目标事件只有()()(),,,,,A B A C B C 3种，所以选到的2人都在78.1以下的概率为.2163==P (II)把研究学生的人数扩大到5人，基本事件个数增加到10，并且要通过身高和体重两方面的限制确定目标事件()()(),,,,,C D C E D E ,因此选到的2人的身高都在70.1以上且体重指标都在[)18.5,23.9中的概率为.1031=P 【考点定位】本题考查古典概型的运算，通过对基本事件和目标事件的罗列考查数据处理能力和运算能力. 判断为古典概型后，根据题意罗列可能的结果组成的基本事件是关键.由于本题的两个问题研究的对象发生变化，在寻找基本事件和目标事件时要做到不重不漏.14．(Ⅰ) 1ω= (Ⅱ，1-. 【解析】 ()21cos 21sin cos sin 22212sin 2sin 2.223x f x x x x x x x x ωωωωωπωωω-=-=-⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π，又0ω>，所以24, 1.24ππωω=⨯= （II ）由（I ）知()sin 23f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，当32x ππ≤≤时，582333x πππ≤-≤，所以sin 21,3x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭因此()1f x -≤≤ 故()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值分别为2，1-. 【考点定位】.本题考查三角函数的图象和性质，通过三角恒等变换考查转化思想和运算能力.第一问先逆用倍角公式化为()sin y A x ωϕ=+的形式，再利用图象研究周期关系，从而确定.ω第二问在限制条件下求值域，需要通过不等式的基本性质先求出23x π-的取值范围再进行求解.()2sin cos f x x x x ωωω=-式子结构复杂，利用倍角公式简化时要避免符号出错导致式子结构不能形成()sin y A x ωϕ=+这一标准形式，从而使运算陷入困境.15．(Ⅰ)*21,.n a n n N =-∈ (Ⅱ) 233.2n n n T +=- 【解析】(I) 设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由244S S =,122+=n n a a 得()()11114684212211a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩，解得11, 2.a d ==因此*21,.n a n n N =-∈(Ⅱ) 由*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈ 可得当1n =时，1112b a =，当2n ≥时，111111,222n n n n n b a -⎛⎫=---= ⎪⎝⎭ 所以*1,.2n n n b n N a =∈*121,.22n n n n n b a n N -=⨯=∈ 又2313521 (2222)n n n T -=++++， 234111352321 (222222)n n n n n T +--=+++++两式相减得234111112222213121...,2222222222n n n n n n n T +-+--⎛⎫=+++++-=-- ⎪⎝⎭ 所以233.2n n n T +=- 【考点定位】本题考查等差数列的通项公式、错位相减求和方法，考查方程思想、转化思想和运算能力、推理论证能力.根据已知条件列出关于首项和公差的方程组，从而确该数列的通项公式，这一问相对简单，第二问通过递推关系得到数列{}n b 的通项公式后再按照错位相减方法转化为等比数列的求和运算进行解决.本题第二问的条件12121...12n n n b b b a a a +++=-因其结构复杂在使用上形成障碍，如果表示为数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 的形式，则不难想到利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≤⎩这一熟悉结构来处理.。

2014年考前查缺补漏题(理科)

0.05 0.01 P( K 2 k ) k 3.841 6.635 2 n(ad bc) K2 ，其中 n a b c d .） (a b)(c d )(a c)(b d )
9．如图，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为菱形，且 BAD 60 ， A E 为 BB1 延长线上的一点， 1 A AB ，

B
C
A
O

F
O
A

B
D D 13．设 an 是公差不为零的等差数列，满足： Sn 为其前 n 项和， a22 a32 a42 a52 , S7 7 ．图2 图1
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（1）求数列 an 的通项公式；（2）求数列 an 的及前 n 项和 Tn ；（3）试求所有的正整数 m ，使得
（1）分别求第三，四，五组的频率；（2）该校决定在笔试成绩较高的第 3，4，5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试． ①已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率； ②学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官 D 的面试，设第四组中有名学生被考官 D 面试，求的分布列和数学期望．
2014 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料（理科）
说明： 1．本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编写，共 26 题． 2．本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用，希望在 5 月 31 日之前完成． 3．本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上相互配套，互为补充．四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法．因此，希望同学们在 5 月 31 日至 6 月 6 日之间，安排一段时间，对这四套试题进行一次全面的回顾总结，同时，将高中数学课本中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍．希望同学们保持良好的心态，在高考中稳定发挥，考取理想的成绩！

【创优导学案】2014届高考数学总复习第五章平面向量 5-4课后巩固提升(含解析)新人教A版

【创优导学案】2014届高考数学总复习第五章平面向量 5-4课后巩固提升（含解析）新人教A 版(对应学生用书P 313 解析为教师用书独有)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18 B.24 C ．60D.90解析 C 由⎩⎪⎨⎪⎧a 3a 7＝a 24，S 8＝32，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d a 1＋6d ＝ a 1＋3d 2，8a 1＋8×72d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝60.2．数列12＋3，13＋4，14＋5，…，1n ＋1＋n ＋2的前n 项和为 ( ) A.n ＋1－1 B.n ＋2－ 2 C.n ＋3－ 2 D.12n ＋3解析 B ∵a n ＝1n ＋1＋n ＋2＝n ＋2－n ＋1 n ＋2 － n ＋1＝n ＋2－n ＋1，∴S n ＝3－2＋4－3＋5－4＋…＋n ＋2－n ＋1＝n ＋2－ 2.3．(2011·安徽高考)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15 B.12 C ．－12D.－15解析 A 设b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15.4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n－12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于A ．13B.10C ．9 D.6解析 D ∵a n ＝1－12n ，∴S n ＝n －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝32164，∴n ＝6.5．(2013·扬州模拟)设数列{x n }满足log a x n ＋1＝1＋log a x n (a >0且a ≠1，n ∈N *)，且x 1＋x 2＋…＋x 100＝100，则x 101＋x 102＋…＋x 200的值为( )A ．100a B.101a 2C ．101a 100D.100a 100解析 D 由log a x n ＋1＝1＋log a x n 得log a x n ＋1＝log a (ax n )，∴x n ＋1＝ax n .∴x n ＋1x n＝a ， ∴数列{x n }是公比为a 的等比数列．设b 1＝x 1＋x 2＋…＋x 100，b 2＝x 101＋x 102＋…＋x 200＝a 100(x 1＋x 2＋…＋x 100)，即在数列{x n }中每隔100项的和构成新数列{b n }，则数列{b n }为等比数列，公比q ＝a 100.∴b 2＝b 1·q ＝100·a 100，即x 101＋x 102＋…＋x 200＝100a 100.6．数列12·5，15·8，18·11，…，13n －1 · 3n ＋2 ，…的前n 项和为 ( )A.n3n ＋2B.n6n ＋4 C.3n6n ＋4D.n ＋1n ＋2解析 B 由a n ＝1 3n －1 3n ＋2 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2知，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＋15－18＋…＋13n －1－13n ＋2 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝n6n ＋4. 二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，且S 9＝18，S n ＝240.若a n －4＝30(n >4)，则n ＝________.解析 ∵S 9＝a 1＋a 92×9＝9a 5＝18，∴a 5＝2.∵S n ＝a 1＋a n2·n ＝a 5＋a n －42·n ＝2＋302·n ＝240，∴n ＝15.【答案】 158．1＋(1＋2)＋(1＋2＋22)＋…＋(1＋2＋22＋…＋210)的值是________．解析设a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－12－1＝2n －1.∴S 11＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(211－1)＝2＋22＋…＋211－11＝2 211－1 2－1－11＝212－13.【答案】 212－139．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，那么数列{b n }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和S n 为________．解析由已知条件可得数列{a n }的通项为a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2.∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n n ＋1 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.S n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝4nn ＋1. 【答案】4nn ＋1三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)已知数列{a n }的前4项是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和S n .解析数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋2n－1， ∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(3＋2－1)＋(6＋22－1)＋(9＋23－1)＋…＋(3n ＋2n－1)＝(3＋6＋9＋…＋3n )＋(2＋22＋23＋ (2))－n＝3n ＋n n －12×3＋2 1－2n1－2－n＝3n ＋3n n －1 2＋2n ＋1－2－n＝2n ＋1＋32n 2＋n2－2. 11．(12分)设数列{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d .∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1.∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)． ∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为－2，公差为12的等差数列．∴T n ＝14n 2－94n .12．(16分)(2013·南阳模拟)已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a na n ＋1(n ＝1,2，…)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n . 解析 (1)∵a n ＋1＝2a n a n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋12a n ＝12＋12a n， ∴1a n ＋1－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1，又a 1＝23，∴1a 1－1＝12≠0，∴1a n －1≠0，∴1a n ＋1－11a n－1＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知1a n －1＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.即1a n ＝12n ＋1，∴n a n ＝n2n ＋n . 设T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，① 则12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1.②①－②得12T n ＝12＋12＋12＋…＋12－n 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，∴T n ＝2－12n －1－n 2n ＝2－2＋n2n .又∵1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n ＝2－2＋n 2n ＋n n ＋1 2＝n 2＋n ＋42－n ＋22n .。

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2014高考数学培优补弱5一、小题（共10题）1、函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) （Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2) 2. 在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数（）A ．3B ．2C ．1D ．03．对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（）A.f （0）＋f （2）<2f （1）B. f （0）＋f （2）≤2f （1）C. f （0）＋f （2）≥2f （1）D. f （0）＋f （2）>2f （1）4.设20,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处切处的倾斜角的取值范围为[0,]4π，则P 到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围（）A ．1[0,]a B ．1[0,]2a C ． [0,||]2b aD ． 1[0,||]2b a - 5．与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是（）A ．032=+-y xB ．032=--y xC ．012=+-y xD ．012=--y x6．设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，()0,g x ≠，当0<x 时，()()()()0,f x g x f x g x ''->且(3)0,f -=则不等式()/()0f x g x <的解集是（）A ．),3()0,3(+∞⋃-B ．)3,0()0,3(⋃-C ．),3()3,(+∞⋃--∞D ．)3,0()3,(⋃--∞7．函数f(x)=x(x －1)(x －2)·…·(x －100)在0x =处的导数值为（） A.0 B.2100 C.200 .100！8．过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为（）（A ）220x y ++= （B ）330x y -+= （C ）10x y ++= （D ）10x y -+= 小题答案：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DDBBDDDD9．设函数()()()()f x x a x b x c =---，（a 、b 、c 是两两不等的常数），则='+'+')()()(c f c b f b a f a ．010.解析：曲线xy 1=和2x y =在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x －1，它们与x 轴所围成的三角形的面积是43. 二．解答题1.已知抛物线C 1：y=x 2+2x 和C ：y=－x 2+a ，如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，称l 是C 1和C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.（Ⅰ）a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；（Ⅱ）若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.解：本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力，满分12分（Ⅰ）解：函数y=x 2+2x 的导数y ′=2x+2,曲线C 1在点P （x 1,x 21+2x 1）的切线方程是：y －(x 21+2x 1)=(2x 1+2)(x －x 1),即 y=(2x 1+2)x －x 21 ①函数y=－x 2+a 的导数y ′=－2x, 曲线C 2 在点Q （x 2,－x 22+a ）的切线方程是即y －(－x 22+a)=－2x 2(x －x 2). y=－2x 2x+x 22+a . ②如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程，{1222121x x x x a +=--=+∴消去x 2得方程 2x 21+2x 2+1+a=0.若判别式△=4－4×2（1+a ）=0时，即a=－21时解得x 1=－21，此时点P 与Q 重合. 即当a=－21时C 1和C 2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为 y=x －41. （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.当a<－21时C 1和C 2有两条公切线设一条公切线上切点为：P （x 1,y 1）, Q （x 2 , y 2 ）. 其中P 在C 1上，Q 在C 2上，则有x 1+x 2=－1,y 1+y 2=x 21+2x 1+(－x 22+a)= x 21+2x 1－(x 1+1)2+a=－1+a . 线段PQ 的中点为).21,21(a +--同理，另一条公切线段P ′Q ′的中点也是).21,21(a+-- 所以公切线段PQ 和P ′Q ′互相平分.2．已知f(x)=x 2+ax+b, g(x)=x 2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且()()f x g x ''=，f(5)=30,则求g(4)。

解：()()c a c x x g a x x f =∴+='=+=',22∵f(2x+1)=4g(x) ∴d b a c a 41,424=++=+ ∴d b c a 43,2=+== 又 f(5)=30=25+10+b ∴b=-5 d=21-∴g(x)=x 2+2x 21- ∴g(4)=247 3．已知向量i =（1，0），j =（0，1），函数)0()(23≠++=a c bx ax x f 的图象在y 轴上的截距为1，在x =2处切线的方向向量为bj i c a 12)(--，并且函数当1=x 时取得极值。

（1）求)(x f 的解析式；（2）求)(x f 的单调递增区间；（3）求)(x f 的极值。

'2'2'(1)(0)1,1,()32(1)04,()461126(2)1f c f x ax bx f a f x x x bb f a ==∴=+⎧==⎧⎪∴=-+⎨⎨-=-=⎩⎪-⎩解:由得由得'2'(2)()12120,()(1,)(,0)(3)(0,1)()0()0(0)1()1(1)1f x x x f x f x f x x f f x x f =->+∞-∞<∴====-由得单调递增区间为和在上,在处取得极大值在处取得极小值4.(全国卷Ⅱ)设a 为实数,函数.)(23a x x x x f +--= (Ⅰ)求)(x f 的极值. (Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点. 解：(I)'()f x =32x －2x －1 若'()f x =0，则x ==－13，x =1 当x 变化时，'()f x ，()f x 变化情况如下表：x(－∞，－13) －13(－13，1) 1 (1，+∞)'()f x +0 －0 +()f x极大值极小值∴()f x 的极大值是15()327f a -=+，极小值是(1)1f a =- (II)函数322()(1)(1)1f x x x x a x x a =--+=-++-，由此可知，取足够大的正数时，有()f x >0，取足够小的负数时有()f x <0，所以曲线y =()f x 与x 轴至少有一个交点结合()f x 的单调性可知：当()f x 的极大值527a +<0，即5(,)27a ∈-∞-时，它的极小值也小于0，因此曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。

当()f x 的极小值a －1>0即a ∈(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点，它在(－∞，－13)上。

∴当5(,)27a ∈-∞-∪(1，+∞)时，曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点。

6．（湖南卷）设0≠t ，点P （t ，0）是函数c bx x g ax x x f +=+=23)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线.；（Ⅰ）用t 表示a ，b ，c ；（Ⅱ）若函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，求t 的取值范围. 解：（I ）因为函数)(x f ，)(x g 的图象都过点（t ，0），所以0)(=t f ，即03=+at t .因为,0≠t 所以2t a -=. .,0,0)(2ab c c bt t g ==+=所以即又因为)(x f ，)(x g 在点（t ，0）处有相同的切线，所以).()(t g t f '=' 而.23,2)(,3)(22bt a t bx x g a x x f =+='+='所以将2t a -=代入上式得.t b = 因此.3t ab c -==故2t a -=，t b =，.3t c -=（II ）解法一))(3(23,)()(223223t x t x t tx x y t tx x t x x g x f y -+=--='+--=-=.当0))(3(<-+='t x t x y 时，函数)()(x g x f y -=单调递减. 由0<'y ，若t x t t <<->3,0则；若.3,0t x t t -<<<则由题意，函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，则).3,()3,1(),3()3,1(tt t t -⊂--⊂-或所以.39.333≥-≤≥-≥t t tt 或即或又当39<<-t 时，函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减. 所以t 的取值范围为).,3[]9,(+∞⋃--∞解法二：))(3(23,)()(223223t x t x t tx x y t tx x t x x g x f y -+=--='+--=-=因为函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，且))(3(t x t x y -+='是（－1，3）上的抛物线，所以⎩⎨⎧≤'≤'=-=.0|,0|31x x y y 即⎩⎨⎧≤-+≤--+-.0)3)(9(.0)1)(3(t t t t 解得.39≥-≤t t 或所以t 的取值范围为).,3[]9,(+∞⋃--∞7.（安徽卷）设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。

（Ⅰ）求b 、c 的值。

（Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。