九年级数学上册第六章反比例函数知识点归纳(新版)北师大版

九年级数学上册：
第六章 反比例函数
知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x
k y =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：
⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；
⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分；
⑷反比例函数有三种表达式： ①x
k y =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠），
③k y x =⋅（定值）（0k ≠）； ⑸函数x k y =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。

（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x k y =
，就不是反比例函数了，由于反比例函数x
k y =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x
k y =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数
中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点：
①列表时选取的数值宜对称选取；
②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；
③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；
④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点4反比例函数的性质
☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表： 反比例函数
x k y =（0k ≠） k 的
符号
0k > 0k <
图像
性质 ①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠
②当0k >时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y ①x 的取值范围是0x ≠，y
的取值范围是0y ≠ ②当0k <时，函数图像的
两个分支分别在第二、第
四象限，在每个象限内，
随x 的增大而减小。

y 随x 的增大而增大。

注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k
的符号。

如x
k y =
在第一、第三象限，则可知0k >。

☆反比例函数x k y =（0k ≠）中比例系数k 的绝对值k 的几何意义。

如图所示，过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 分别为垂足，
则OEPF S PE PF y x xy 矩形=⋅=⋅==k
☆ 反比例函数x k y =（0k ≠）中，k 越大，双曲线x
k y =
越远离坐标原点；k 越小，双曲线x k y =越靠近坐标原点。

☆ 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=－x 。