二次函数建模
数学建模—函数模型及其应用
(k为常数,k≠0);
(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);
(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
1 (),∈1 ,
了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
2020年5月1日
2020年5月15日
加油量(升)
12
48
加油时的累计里程(千米)
35 000
35 600
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为(
A.6升 B.8升
C.10升 D.12升
)
答案 B
解析 因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,
3
log 4 8 + = 1,
+ = 1,
解析依题意得
即 2
解得 a=2,b=-2.则
log 4 64 + = 4,
3 + = 4.
y=2log4x-2,当 y=8 时,即 2log4x-2=8,解得 x=1 024.
关键能力 学案突破
考点1
利用函数图像刻画实际问题
【例1】 (2020北京东城一模,10)
故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数S=35 600-35 000=600千米.
所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为
48
×100=8升,故选B.
600
3.(2020北京平谷二模,9)溶液酸碱度是通过pH计算的,pH的计算公式为
微专题 二次函数与实际问题(三)建模问题
微专题 二次函数与实际问题（三）建模问题
【方法技巧】根据题意找准关键点坐标，正确列出函数关系.
1.如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出（点
A 在y 轴上），足球的飞行高度y (单位：m)与飞行时间t (单位：s )之间满足函数关系y =at 2十5t +c ,已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间为多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x (单位:m)与飞行时间t (单位:s )之间具有函数关系x =10t ，已知球门
的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射人球门？
y (m)
A
t (s)
2．（2016丽水）如图1，地面BD 上两根等长立柱AB ，CD 之间悬挂一根近似成抛物线
2143105
y x x =-+的绳子．
图1x (米)A
图2N A x (米)
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离AB 为3米的位置处用一根立柱M N 撑起绳子（如图2），使左边抛
物线1F 的最低点距M N 为1米，离地面1.8米，求M N 的长；
（3）将立柱M N 的长度提升为3米，通过调整M N 的位置，使抛物线2F 对应函数的二次项
系数始终为14
，设M N 离AB 的距离为m ，抛物线2F 的顶点离地面距离为k ，当2 2.5k ≤≤时，求m 的取值范围．。
二次函数的应用与建模
二次函数的应用与建模二次函数是一种包含平方项的函数形式，常用形式为f(x) = ax^2 +bx + c。
在数学中，二次函数的图像通常为抛物线形状，具有许多重要的应用与建模价值。
一、抛物线的形状与性质抛物线是二次函数的图像，它的形状决定了二次函数的性质。
通过观察抛物线的顶点、开口方向以及对称轴等特征，可以得到以下结论：1. 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
顶点是抛物线的最高点或最低点，并且其横坐标为- b/2a。
2. 抛物线的开口方向由二次系数a的正负决定。
若a>0，则抛物线开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。
3. 抛物线的对称轴是与x轴垂直且通过顶点的直线。
对称轴的方程为x = -b/2a。
4. 如果a的绝对值越大，那么抛物线的开口越窄；如果a的绝对值越小，抛物线的开口越宽。
二、二次函数的应用1. 物体的抛体运动二次函数的抛物线形状与物体的抛体运动相关。
在不考虑空气阻力和其它外力的情况下，抛体的高度与时间的关系可以表示为h(t) = -gt^2 + vt + h0，其中g为重力加速度，v为初速度，h0为初始高度。
2. 表达曲线的拟合当一组数据点呈现出非线性的趋势时，可以使用二次函数进行拟合。
通过找到最佳的二次函数拟合曲线，我们可以更好地了解数据之间的关系，并进行预测和分析。
3. 经济与金融领域的建模二次函数在经济与金融领域中有广泛应用。
例如，成本函数、价格函数和收益函数等都可以使用二次函数进行建模，以便对市场行为进行预测和分析。
4. 自然科学中的应用二次函数也在自然科学中具有重要的应用价值。
例如，在生物学中，通过对种群数量与时间的关系进行建模，可以使用二次函数来描述种群的生长模式。
在物理学中，二次函数可以用来描述力学过程中的速度、加速度等物理量之间的关系。
三、二次函数的建模方法建立二次函数模型需要以下步骤：1. 确定问题要建模的变量和变量之间的关系。
2. 收集和整理相关的数据。
二次函数解析式的求法及数学建模之浅见
二次函数解析式的求法及数学建模之浅见一、二次函数解析式的求法解法一：由式子可得，可得方程两边都除以2即可得二次函数的解析式。
1。
已知直线与y轴交于A、 B两点，设其中一点为A，一点为B，函数y=kx+b的图像与x轴交于A、 B两点，由二次函数的关系式：y=kx+b得： x=k(k=0)则直线方程为y=kx+b或y=-kx+b(k=0) 2。
若点P(a,b)=(a,b)， (a,b)是点P在第一象限内的坐标，那么y=kx+b=(x^2+1)kx+b=(x^2+1)kx+2bx=(x^2+1)(b^2+3)+5b+8，b=-3(b=-3)解法三：由公式可得，利用y=kx+b可以直接求出y=k^2dx+b=k^2dx+b-3x-3x+6b-6b-3，当b=3时， x=1则k=-1(k=-1)二、数学建模浅见最近，我听了姜老师的讲座，真是受益匪浅。
姜老师介绍说，现代教育已经是信息教育了，信息教育就是培养学生用数学思想和方法分析问题、解决问题的能力，即培养学生用数学语言表达自己对问题的理解的能力。
这里包括四个方面的内容：分析问题的数学素养;建立数学模型的能力;运用数学工具进行推理的能力;收集和处理数据并进行统计分析的能力。
我觉得，数学建模就是在上述几个方面的基础上，将实际问题转化成数学问题，即将复杂问题简单化、抽象化，然后再将解决这类问题的数学模型（即数学结论）应用到新的问题中去。
我认为，数学建模可以有很多形式，如：对问题作出描述、给出一个解答、建立相关的数学模型等。
我也想发挥自己的想象力，提出几个问题，请大家帮忙解决： 1。
在坐车过程中你会观察到什么样的情况？ 2。
城市中大楼不断增多的原因是什么？3。
在网络游戏中，你怎样才能取胜？ 4。
有多少白痴竟然干过抢劫银行的勾当！ 5。
有多少人喜欢写科幻小说？。
浅谈二次函数建模方法
评注： 经过对 解析式 的分析 ， 画上 图 像 ，并通过 图像将生活与数学联系起来 ， 要知晓这样几个条件 ：１）排球运行 的最 （
方法二 ： 分析 解析式入 手 ， 从 探讨 图 本题是这类 题中最具代表性 的． 解决本题
在二次函数有关的实际问题 中，有些 大高度 即为 函数 的最大值 ；２ （ ）运动员扣
１ Ｏ２ Ｏ ｍ．
解得 ： —０３ ｚ ． ｔ ． １ ｔ 一１７
有 ：Ｏ－ ｔ ２ ． １ ｔ５ ＝ ． ２ ５
（ ）计算 距 离桥 两 端 主塔 分 别 为 ２
１ Ｏ 、０ Ｏ ｍ ５ ｍ处垂直钢 索的长 （ 精确到 ｍ） ． 分析 ： 本题看似 复杂 ， 只要仔细 理 但
像（ 如上 图 ） 可以看 出抛物线开 口向下 ， 当
ｘｌ ＝ ０时 ， 有最大值 １ ０ 即围成 矩形 的长 。， 是 １ ｍ时 ，围成矩 形 水面 面积最 大 ， ０ 是
函数模 型 ， 析解决实际 问题 的能力 ， 分 因 而往往 存在一个共 同的特征 ，就是 题 目 的 条件 并非传统地给 出 ，解题时总是 需 要我们通过 图像或解析式 的观 察 、 析 ， 分 学会联 系实际 ， 住 问题 中的数量关系 ， 抓 把 实际 问题转 化为 数学 问题来 解决 ， 这 个过程实际上也就是我们说的 “ 模”下 建 ．
垒
！ 垒
浅谈二次函数建模方法
翻安徽省枞阳县义津初级中学 汪东一
关键 词 ：二次 函数 形结合 二次 函数是反映现 实世界 中变量问 的关系和变化规律 的一种 常见的数 学模
型 ，也是近年来 中考考查的热点题型． 这 类题型侧重考查学生 应用数学知 识建立
建模方 法
数
寻 找等 量关 系的能 力． 有这样 ， 只 才能 建 立正确 的数学模型． 像 性质 ， 解决实际问题 ．
2021最新版二次函数的实际应用：建模问题
二次函数的实际应用：建模问题一、球类、跳水、喷泉问题这类问题对于解析式的确定通常采用顶点式：1. 球类问题分为篮球问题、足球问题及羽毛球问题。
篮球问题会考察“球是否入篮”，即看篮筐所在点是否在抛物线上；“足球是否进球门”即看球到达球门所在位置时纵坐标是比球门高还是低；羽毛球涉及过网越界问题，即计算在过网位置纵坐标比网高还是低，越界考察在界限位置纵坐标是正数还是负数。
2. 跳水问题考察的是动作是否在规定范围内规范，同样考察在指定位置的纵坐标与限定高度的大小比较。
3. 喷泉问题考察的比较多的是圆形水池的半径，需要计算抛物线与水池水平面的交点坐标。
1、如图，羽毛球运动员甲站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方23m 的 P 处发出，把球勘察点，其运行路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，其高度为617m ，离甲站立地点 O 的水平距离为 4m ，球网 BA 离 O 点的水平距离为 5m ，以 O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，乙站立地点 C 的坐标为（m ，0）①求出抛物线的解析式；（不写自变量的取值范围）②求排球落地点N 离球网的水平距离； ③乙原地起跳可接球的最大高度为49米，若乙因为接球高度不够而失球，求 m 的取值范围．2、某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点 O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面 332米，入水处距池边的距离为 4 米，运动员在距水面高度为 5 米以前，必须完成规定的翻腾动作， 并调整好入水姿势，否则就会出现失误． ①求这条抛物线的解析式．②在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是①中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 3.6 米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．3、如图所示，公园要建造圆形的喷水池，水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA ，O 恰在水面中心，OA=1.25m ，由柱子顶端 A 处喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在 OA 距离为 1m 处达到距水面最大高度 2.25m ． ①若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不能落到池外？②若水流喷出的抛物线形状与①相同，水池的半径为 3.5m ，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？4、一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，已知球在 A 处出手时离地面920m ，与篮筐中心C 的水平距离为 7m ，当球运行的水平距离是 4m 时，达到最大高度 4m （B 处），篮筐距地面 3m ，篮球运行的路线为抛物线（如图所示）．①建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；②判断此球能否投中？5、如图，小区中央公园要修建一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子 OA ，O 恰好在水面的中心，OA=1.25 米．由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计水流在离OA 距离为 1 米处达到距水面的最大高度 2.25 米．①建立适当的平面直角坐标系，使A 点的坐标为（0，1.25），水流的最高点的坐标为（1，2.25），求水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数关系式（不要求写取值范围）；②若不计其他因素，则水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？ ③若水流喷出的抛物线形状与①相同，水池半径为 3.5 米，要使水流不落到池外，此时水流距水面的最大高度就达到多少米？6、如图，足球上守门员在O 处开出一高球．球从离地面 1米的A 处飞出（A 在 y 轴上），把球看成点．其运行的高度y （单位：m ）与运行的水平距离 x （单位：m ）满足关系式h x a y +-=2)6(（1）①当此球开出后．飞行的最高点距离地面 4 米时．求y 与 x 满足的关系式．②在①的情况下，足球落地点 C 距守门员多少米？（取734≈）③如图所示，若在①的情况下，求落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．求：站在距离O 点 6 米的 B 处的球员甲要抢到第二个落点 D 处的球．他应再向前跑多少米？（取562≈）（2）球员乙升高为 1.75 米．在距 O 点 11 米的H 处．试图原地跃起用头拦截．守门员调整开球高度．若保证足球下落至 H 正上方时低于球员乙的身高．同时落地点在距 O 点 15 米之内．求 h 的取值范围．7、如图，一位篮球运动员甲在距篮球筐下 4 米处跳起投篮，球的运行线路为抛物线， 当球运行到水平距离为 2.5 米时达到最高高度为 3.5 米，然后准确地落入篮筐，已知篮圈中心到地面的高度为 3.05 米，该运动员的身高为 1.8 米．在这次投篮中，球在该运动员的头顶上方 0.25 米处出手，则当球出手时，该运动员离地面的高度为________米．运动员乙跳离地面时，最高能摸到 3.3 米运动员乙在运动员甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球？二、隧道、过桥问题隧道、过桥问题通常采用的是y=ax2+c 的形式，通常考察的是车或者船是否能够通过，考察的是车或者船的高度比车或者船边缘对应纵坐标的数值大小比较。
二次函数基础上的数学建模类(原卷版)
备战2020年中考数学压轴题之二次函数专题01 二次函数基础上的数学建模类【方法综述】此类问题以实际问题为背景，一般解答方法是先按照题目要求利用各种数学知识，构造二次函数的数学模型，再通过将临界点带入讨论或者通过考察二次函数最值讨论解决实际问题。
【典例示范】类型一临界点讨论例1：（2019河北石家庄毕业班教学质量检测）跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动,集体跳绳时,需要两人同频甩动绳子,当绳子甩到最高处时,其形状可近似看作抛物线,下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图,两人拿绳子的手之间的距离为4m,离地面的高度为1m,以小明的手所在位置为原点建立平面直角坐标系.(1)当身高为15m的小红站在绳子的正下方,且距小明拿绳子手的右侧1m处时,绳子刚好通过小红的头顶,求绳子所对应的抛物线的表达式;(2)若身高为1.65m的小丽也站在绳子的正下方.①当小丽在距小亮拿绳子手的左侧1.5m处时,绳子能碰到小丽的头吗?请说明理由；②设小丽与小亮拿绳子手之间的水平距离为dm,为保证绳子不碰到小丽的头顶,求d的取值范围.(参考数据: √10取3.16)针对训练1．（2017内蒙古鄂尔多斯市东胜区）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a(x−6)2+ℎ，已知球网与O点的水平距离为9m，高度为3m，球场的边界距O点的水平距离为14m.（1）当h=4时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当h=4时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围.2．（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y=k（x≥1）交于点A，且AB=1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向x滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M，A的水平距离是vt米．（1）求k，并用t表示h；（2）设v=5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．3．（2019盘锦双台子区）一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮筐。
二次函数在实际生活中的应用及建模应用
二次函数的建模一、利用二次函数解决面积最大问题1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
(1)设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米），根据题意，得：x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩⎨⎧- （2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值，即 当9)1(2182=-⨯-=-=a b x 时， 81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y又∵500,02500＜x＜＞x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值， 即当25)1(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)1(42504422max =-⨯-=-=a b ac y图（1）图解：（得：（2即水流距水平面的最大高度系.（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?4.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）A．2.76米B．6.76米解：设该抛物线的解析式为y=ax2，在正常水位下x=10，y=-4，代入解析式得-4=a×102 a=-1/25 所以此抛物线的解析式为：y=-x2/25因为桥下水面宽度不得小于18米，所以令x=9时可得：y=-81/25=-3.24此时水深6+4-3.24=6.76米即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过．故选B2、有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m．（1）在如图所示的直角坐标系中,求出该抛物线的解析式；（2）在正常水位的基础上,当水位上升h（m）时,桥下水面的宽度为d（m）,求出将d表示h的函数解析式.（3）设正常水位时桥下的水深为2m,为保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于18m,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行?(1)设该抛物线的解析式为y=ax2，在正常水位下x=10，y=-4，代入解析式得-4=a×102 a=-1/25 所以此抛物线的解析式为：y=-x2/25(2)设水面上升hm，水面与抛物线的交点为（d/2,h-4），带入抛物线得h-4=-d2/4×1/25 化简得：d=10√4-h(3)将d=18代入d=10√4-h得：h=0.76所求最大水深为：2+0.76=2.76(米)8.如图，是江夏广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）（3）为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）解：（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y=ax2，由题意知点A的坐标为（4，8）．所以8=a×42 a=1/2 ∴所求抛物线的函数解析式为：y=x2/2（2）找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，则点A、D关于OC对称．连接BD交OC于点P，则点P即为所求．（3）由题意知点B的横坐标为2，∵点B在抛物线上，∴点B的坐标为（2，2），又∵点A的坐标为（4，8），∴点D的坐标为（-4，8），设直线BD的函数解析式为y=kx+b，2k+b＝2..........①−4k+b＝8........②解得：k=-1，b=4．∴直线BD的函数解析式为y=-x+4，把x=0代入y=-x+4，得点P的坐标为（0，4），两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米．三、利用抛物线解决最大利润问题1、某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y＝－10x＋500.（1）设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分）（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分）（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量) （3分）（2）在（1）的条件下，设工艺厂试销该工艺品每天所得利润为P元；①当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P为8000元？②工艺厂自身发展要求试销单价不低于35元/件，同时，当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过55元，写出在此情况下每天获利P的取值范围．解：（1）如图所示是一次函数解析式，设一次函数解析式为：y=ax+b30a+b＝500.........①40a+b＝400.........②解得：a＝−10 b＝800∴函数解析式为：y=-10x+800（2）①由题意得出：P=yx=（-10x+800）（x-20）=8000，解得：x1=40，x2=60，∴当销售单价定为40元或60元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P为8000元；②∵P=yx=（-10x+800）（x-20）=-10x2+1000x-16000=-10（x-50）2+9000，∴当x=50时，P=9000元，当x=35时，P=6750元，∴P的取值范围是：6750≤P≤9000．3.某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：销售单价x（元/件）…55 60 70 75 …一周的销售量y…450 400 300 250 …（件）（1）直接写出y与x的函数关系式：y=-10x+1000（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请求出该商家最大捐款数额是多少元？解：（1）设y=kx+b，由题意得，55k+b＝450...........①60k+b＝400...........②解得：k＝−10 b＝1000则函数关系式为：y=-10x+1000；（2）由题意得，S=（x-40）y=（x-40）（-10x+1000）=-10x2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000，（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？解：：（1）当x=20时,y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300,300×（12﹣10）=300×2=600元, 即政府这个月为他承担的总差价为600元;（2）依题意得,w=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000 ∵a=﹣10＜0,∴当x=30时,w有最大值4000元．即当销售单价定为30元时,每月可获得最大利润4000元;（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000, 解得：x1=20,x2=40．∵a=﹣10＜0,抛物线开口向下,∴结合图象可知：当20≤x≤40时,w≥3000．又∵x≤25,∴当20≤x≤25时,w≥3000．设政府每个月为他承担的总差价为p元,∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．∵k=﹣20＜0．∴p随x的增大而减小,∴当x=25时,p有最小值500元．即销售单价定为25元时,政府每个月为他承担的总差价最少为500元．5．某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个. 设销售价为x元/个.（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为个（用含x的式子表示）；（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；（3）当x取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？解：（1）（220－10x）；物线的开侧，随的知，，最大时，该文具店每周解：（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系，设其解析式为，将（3000，100），（3200，96）代入得，解得：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017年中考数学专题复习二次函数建模实际问题、几何综合、数形结合一直以来是襄阳中考后三大轴题，其中实际问题从2015年开始以二次函数为模型创设实际问题。
它涉猎的知识和方法有整式运算、方程、不等式、一次函数二次函数图象性质及配方法、待定系数法等等。
要求同学们既要弄清题意，还要有过硬的计算能力，可谓一分难求。
〖基本问题设计〗1、构建二次函数关系式2、解一元二次方程3、求最值（顶点式的最值、非顶点式的最值）4、解二次不等式5、根据自变量的取值范围及一次函数的最大（小）值6、利用二次函数性质求参数范围〖题干呈现形式〗1、用表格或图象提供解答问题的信息2、函数要分段〖答题注意事项〗1、计算要准确2、格式、步骤要规范【数学练习】1、化简下列函数：①y=(0.25x+30-20)(120-2x) = －0.5x2+10x+1200②y=(－0.5x+48-20)(120-2x) =x2-116x+33602、求下列函数的最大值①当1≤x≤24时，y=－0.5x2+10x+1200 ；解：∵y=－0.5x2+10x+1200=－0.5(x-10)2+1250又∵y是x的二次函数且a＝－0.5＜0∴当x=10时，y最大=1250.②当25≤x≤48时，y=x2-116x+3360解：∵y=x2-116x+3360=(x-58)2-4又∵y是x的二次函数且a＝1＞0∴开口向上，且对称轴为直线x=58∵又25≤x≤48在对称轴x＝58左侧∴y随x增大而减小∴当x=25时，y最大=1085.3、根据二次函数的性质确定下列不等式的解集：－0.5x2+10x+1200≥1152解：解方程－0.5x2+10x+1200＝1152，得x1=－4，x2=24∴根据y=－0.5x2+10x+1200图象（如右图）得y=－0.5x2+10x+1200≥1152的解集是－4≤x≤24【例题】某超市以每千克20元购进一种水果，经调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（1）求日销售利润y(元)与x之间函数关系式，解：当1≤x≤24时，y=(0.25x+30-20)(120-2x)=－0.5x2+10x+1200当25≤x≤48时，y=(－0.5x+48-20)(120-2x)=x2-116x+3360综上可得：y＝()()⎩⎨⎧≤≤+-≤≤++-482533601162411200105.022xxxxxx（2）该超市第几天的销售利润为1152元？解：当1≤x≤24时，y=－0.5(x-10)2+1250＝1152，解之得x1=－4（舍），x2=24当25≤x≤48时，y=(x-58)2-4＝1152，解之得x1=24（舍），x2=94（舍）综上可得：该超市第24天的销售利润为1152元（3）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？解：当1≤x≤24时，y=－0.5x2+10x+1200=－0.5(x-10)2+1250∵y是x的二次函数且a＝－0.5＜0∴当x=10时，y最大=1250.当25≤x≤48时，y=x2-116x+3360=(x-58)2-4∵y是x的二次函数且a＝1＞0∴开口向上，且对称轴为直线x=58∵又25≤x≤48在对称轴x＝58左侧∴y随x增大而减小∴当x=25时，y最大=1085.综上可得:在第10天的销售利润最大，最大利润为1250元（4）若日销售利润不低于1152元，①求x的取值范围．②该超市至少需要多少元的进货款。
解：①∵当25≤x≤48时，最大利润为1085元＜1152元这种范围内所获得利润不能不低于1152元。
当1≤x≤24时，由y=－0.5x2+10x+1200＝1152得x1=－4，x2=24∴根据y=－0.5x2+10x+1200图象（如右图）Array得y=－0.5x2+10x+1200≥1152时x的范围是－4≤x≤24又∵1≤x≤24∴1≤x≤24故若日销售利润不低于1152元时， x的取值范围是1≤x≤24．②设超市的总进货款为P元，则当1≤x≤24时，P＝20（－2x+120）＝－40x+2400∵P是x一次函数，且k＝－40＜0∴P随x增大而减小∴当x＝24时P最小值是－40×24+2400＝1440故若日销售利润不低于1152元时，超市的至少需要1440元的进货款。
（5）在实际销售的前24天中，该公司决定每销售1kg的这种水果，就捐赠n元利润(n ＜9)给果农．公司通过销售记录发现，前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x (天)的增大而增大，请直接写出n的取值范围．解：当1≤x≤24，设扣除捐赠后的日销售利润为P元，则P=(0.25x+30-20-n)(120-2x)=-0.5x2+(2n+10)x+1200-120n，∵y是x二次函数，且a＝－0.5＜0∴开口向下，且对称轴为x=2n+10，∴要使在前24天y随x的增大而增大∴由二次函数的图像及性质知：2n+10≥24，解得n≥7.又∵n＜9,∴7≤n＜9.〖练习〗1、某商场经销一种商品，这种商品在第x（1≤x≤90）天的售价及与销售量与x之间关系如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）若该商品的日销售利润不低于4800元时，求该商场至少需要多少进货款2为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元，该公司可安排员工多少人？（利润=销售额﹣生产成本﹣员工工资﹣其它费用）（3）若该公司有80名员工，求月销售利润W（万元）与x之间的函数关系式（4）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？3某公司进行甲、乙两种产品加工，已知加式甲种产品每件需成本费30元，加工乙种产品每件需成本费20元。
经调研：甲种产品年销售量为y（万件）与销售单价为x（元/件）的函数关系式如下图所示；乙种产品年销售量稳定在10万件。
物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元。
（1）直接写出y与x之间的函数关系式。
价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？（年销售利润=年销售收入﹣生产成本）（3）第二年公司可重新对产品进行定价，在（2）的条件下，并要求甲种产品的销售单价x（元）在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m（元）的范围。
（总盈利=两年的年销售利润之和﹣投资成本）2解：（1）()()⎩⎨⎧+-≤≤+-=10060505.0604081.0xxxxy（2）设公司可安排员工a人，定价50元时，由5=（－0.1×50+8）（50－40）－15－0.25a，解之得a=40，所以公司可安排员工40人；（3）设公司月利润为W元当40≤x≤60时，W=（－0.1x+8）（x－40）－15－20=﹣0.1（x－60）2+5，则当x=60时，W的最大值为5万元；当60＜x＜100时，W=（－0.05x+5）（x－40）－15－0.25×80=－0.05（x－70）2+10，∴x=70时，W的最大值=10万元，∴要尽早还清贷款，只有当单价x=70元时，获得最大月利润10万元，设该公司n个月后还清贷款，则10n≥80，∴n≥8，∴n的最小值为8．答：该公司最早可在8个月后还清无息贷款3解：（1）y=()()⎩⎨⎧≤≤+-≤+-7050151.05045202.0xxxx（2）①当45≤x＜50时，W=（x－30）（20－0.2x）+10（90－x－20），=－0.2x2+16x+100，=－0.2（x－40）2+420，∵W是x的二次函数且a＝﹣0.2＜0，∴开口向下且对称轴为x＝40∴45≤x＜50在对称轴的右侧，W随x的增大而减小，∴当x=45时，W的最大值为－0.2（45－40）2+420=415万元；②当50≤x≤70时，W=（x－30）（－0.1x+15）+10（90－x－20），=－0.1x2+8x+250，=－0.1（x－40）2+410，∵W是x的二次函数且a＝﹣0.1＜0，∴开口向下且对称轴为x＝40∴50≤x≤56在对称轴的右侧，W随x的增大而减小，∴当x=50时，W有最大值为－0.1（50－40）2+410=400万元．综上所述，当x=45，W的最大值是415答：甲、乙两种产品定价均为45元时，第一年的年销售利润最大，最大年销售利润是415万元；（3）根据题意得，W=－0.1x2+8x+250+415－700=－0.1x2+8x－35，当W=85，则－0.1x2+8x﹣35=85，解得x1=20，x2=60．∵W是x的二次函数且a＝－0.1＜0∴开口向下∴根据二次函数的性质得当W≥85时，20≤x≤60又∵50≤x≤65，∴50≤x≤60，即50≤90﹣m≤60，解之得30≤m≤40．∴第二年乙种产品的销售单价m（元）的范围是30≤m≤40．二次函数建模复习专题【数学基础练习】1、化简下列函数：①y=(0.25x+30-20)(120-2x)=②y=(－0.5x+48-20)(120-2x)=2、求下列函数的最大值①当1≤x≤24时，y=－0.5x2+10x+1200 ；②当25≤x≤48时，y=x2-116x+33603、根据二次函数的性质确定下列不等式的解集：－0.5x2+10x+1200≥1152【讲练例题】某超市以每千克20元购进一种水果，经调研发现，这种水果在未来48天的销售单价（1）（2）该超市第几天的销售利润为1152元？（3）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（4）若日销售利润不低于1152元，①求x的取值范围．②该超市至少需要多少元的进货款。
（5）在实际销售的前24天中，该公司决定每销售1kg的这种水果，就捐赠n元利润(n＜9)给果农．公司通过销售记录发现，前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x (天)的增大而增大，请直接写出n的取值范围．〖课后练习〗1、某商场经销一种商品，这种商品在第x （1≤x ≤90）天的售价及与销售量与x 之间关系如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y 元（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）若该商品的日销售利润不低于4800元时，求该商场至少需要多少进货款2为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式；（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元，该公司可安排员工多少人？（利润=销售额﹣生产成本﹣员工工资﹣其它费用）（3）若该公司有80名员工，求月销售利润W （万元）与x 之间的函数关系式（4）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？3某公司进行甲、乙两种产品加工，已知加式甲种产品每件需成本费30元，加工乙种产品每件需成本费20元。