北师大版九年级上册数学课时跟踪训练：第六章 反比例函数

课时跟踪训练：第六章反比例函数一．选择题1．下列各式中x，y均不为0，x和y成反比例关系的是（）A．y＝6x B．C．x+y＝53 D．2．若点（﹣2，﹣6）在反比例函数y＝上，则k的值是（）A．3 B．﹣3 C．12 D．﹣123．对于双曲线，x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围为（）A．k＜2 B．k≤2 C．k＞2 D．k≥24．已知反比例函数y＝的图象上有三点A（4，y1），B（2．y2），c（，y3）则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2 5．函数y＝（k≠0）的图象如图所示，那么函数y＝kx﹣k的图象大致是（）A．B．C．D．6．如图，在平面直角坐标系中，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，点B 在点C的右侧，顶点A和AB的中点D在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上．若△ABC的面积为12，则k的值为（）A．24 B．12 C．6D．67．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，坐标原点O是AB的中点，AC交y轴于点D，∠CAB＝30°，△AOD的面积是1．若直角顶点C在反比例函数y ＝（x＞0）的图象上，则k的值是（）A．1 B．C．D．28．如图，已知第一象限的点A在反比例函数y＝上，过点A作AB⊥AO交x轴于点B，∠AOB＝30°，将△AOB绕点O逆时针旋转120°，点B的对应点B恰好落在反比例函数y＝上，则k的值为（）A．﹣4B．﹣C．﹣2D．﹣9．对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（）A．y随x的增大而增大B．它的图象在第二、四象限C．当k＝2时，它的图象经过点（5，﹣1）D．它的图象关于原点对称10．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3BO，OB在x轴上，OA在y轴上，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转至△RtA'OB'，其中点B'落在反比例函数y＝﹣的图象上，OA'交反比例函数y＝的图象于点C，且A′C＝，则k的值为（）A．6 B．C．12 D．二．填空题11．在平面直角坐标系中，将反比例函数y＝的图象沿着x轴折叠，得到的图象的函数表达式是．12．点A（m，2），B（n，）在反比例函数y＝﹣的图象上，则m n（用“＜”或“＞”填空）．13．如图，一次函数y1＝ax+b和反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，则使y1＞y2成立的x取值范围是．14．如图，在平面直角坐标系中，第二象限内的点P是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，点B为AO的中点若△PAB的面积为3，则k的值为．15．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，则菱形的面积为．16．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD 的面积为2，则k的值为．三．解答题17．已知一次函数y1＝3x﹣3的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3），B（﹣1，b）．（1）求a，b的值和反比例函数的表达式．（2）设点P（h，y1），Q（h，y2）分别是两函数图象上的点．①试直接写出当y1＞y2时h的取值范围；②若y2﹣y1＝3，试求h的值．18．已知y＝|2x+4|+kx，当x＝1时，y＝5．（1）求这个函数的表达式（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数y＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|2x+4|+kx≥的解集．19．如图所示，双曲线y1＝（x＞0，k＞0）与直线y2＝kx+b（k≠0）（b为常数）交于A（2，4），B（a，2）两点．（1）双曲线y1＝（x＞0，k＞0）的表达式为；（2）根据图象观察，当y2＜y1时，x的取值范围是；（3）△AOB的面积为．20．心理学家研究发现，一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分．（1）写出线段AB和双曲线CD的函数关系式（不要求指出自变量取值范围）：线段AB：y1＝；双曲线CD：y2＝；（2）开始上课后第5分钟时的注意力水平为y1，第30分钟时的注意力水平为y2，则y1、y2的大小关系是；（3）在一节课中，学生大约最长可以连续保持分钟（精确到1分钟），使得注意力维持在32以上．21．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“湘一等腰三角形”，右图为点P，Q的“湘一等腰三角形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，2），求点A，B的湘一等腰三角形”顶角的度数；（2）若点C的坐标为（0，﹣），点D在直线y＝2上，且C，D的“湘一等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；（3）已知⊙O的半径为2，点N在双曲线y＝﹣上．若在⊙O上存在一点M，使得点M，N的“湘一等腰三角形”为直角三角形，求出点N的横坐标x N的取值范围．22．已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点B的坐标为（10，8），已知直线AC与双曲线y＝（m≠0）在第一象限内有一交点Q（5，n）．（1）求直线AC和双曲线的解析式；（2）若动点P从A点出发，沿折线AO→OC的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止．求△OPQ的面积S与的运动时间t秒的函数关系式，并求当t取何值时S＝10．参考答案一．选择题1．解：根据反比例函数的定义可知x＝是反比例函数，故选：B．2．解：把点（﹣2，﹣6）代入y＝得k＝﹣2×（﹣6）＝12．故选：C．3．解：∵双曲线，x＞0时，y随x的增大而增大，∴k﹣2＜0∴k＜2，故选：A．4．解：把A（4，y1），B（2．y2），c（，y3）分别代入y＝得y1＝＝，y2＝＝1，y3＝＝4，所以y1＜y2＜y3．故选：C．5．解：∵反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，∴k＜0，﹣k＞0．∵k＜0，∴函数y＝kx﹣k的图象过二、四象限．又∵﹣k＞0，∴函数y＝kx﹣k的图象与y轴相交于正半轴，∴一次函数y＝kx﹣k的图象过一、二、四象限．故选：B．6．解：过D作DE⊥BC于E，连接AO，OD，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝∠DBE，∴△BDE∽△BAC，∴＝（），∵点D是AB的中点，△ABC的面积为12，∴S△BDE＝3，∵点A，点D在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，∴S△AOC＝S△DEO＝，∵S△BDO＝S△ABO，∴3+＝（+12），解得：k＝12，故选：B．7．解：连接OC，作CE⊥OB于E，∵OC是Rt△ABC斜边AB上的中点，∴OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC＝30°，∴∠OCB＝90°﹣30°＝60°∵∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣30°＝60°，∴△COB是等边三角形，∴OE＝BE，∴S△OCE＝S△COB，∵OA＝OB，∴S△COB＝S△ACB，∴S△OCE＝S△ACB，∴设OA＝OB＝m，则AB＝2m，∵Rt△ABC中，AB是斜边，∠BAC＝30°，∴BC＝AB＝＝m，在Rt△AOD中，∠BAC＝30°，∴OD＝OA＝m，∴＝＝，∵∠OAD＝∠CAB，∠AOD＝∠ACB＝90°，∴△OAD∽△CAB，∴＝（）2＝3，∴S△CAB＝3S△OAD＝3，∴S△COE＝，∵直角顶点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴|k|＝S△COE＝，∵图象在第一象限，∴k＝，故选：B．8．解：作AD⊥OB于D，B′E⊥y轴于E，∵∠BOB′＝120°，∴∠B′OE＝120°﹣90°＝30°，∵∠AOB＝30°，AB⊥AO，AD⊥OB，∴tan∠AOB＝＝＝，∴OD＝AD，OA＝AB，∴设A（a，a），（a＞0），∵点A在反比例函数y＝上，∴•a＝，∴a＝1，∴A（，1），∴OA＝＝2，∵＝，∴AB＝，在△B′OE和△BOA中∴△B′OE≌△BOA（AAS），∴B′E＝AB＝，OE＝OA＝2，∴B′（﹣，2），∵点B恰好落在反比例函数y＝上，∴k＝﹣×2＝﹣，故选：B．9．解：A、反比例函数y＝，因为﹣k2﹣1＜0，根据反比例函数的性质它的图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误．B、反比例函数y＝，因为﹣k2﹣1＜0，根据反比例函数的性质它的图象分布在第二、四象限，故本选项正确；C、当k＝2时，y＝﹣，把点（5，﹣1）代入反比例函数y＝中成立，故本选项正确；D、反比例函数y＝中﹣k2﹣1＜0根据反比例函数的性质它的图象分布在第一、三象限，是关于原点对称，故本选项正确；故选：A．10．解：作CM⊥x轴于点M，作B′N⊥x轴于点N，由题意知OB＝OB′，OA＝OA′，∠BOB′＝∠AOC＝∠OCM．又∵∠ONB′＝∠OMC，∴△OB′N∽△COM，∵AO＝3BO，且A′C＝，∴OC＝2OB′，∴CM＝2ON，OM＝2B′N，∵ON•B′N＝3，∴CM•OM＝4ON•B′N＝12，即k＝12．故选：C．二．填空题（共6小题）11．解：∵反比例函数y＝的图象位于一三象限，∴将反比例函数y＝的图象沿着x轴折叠后得到的图象位于二四象限，∴得到的图象的函数表达式是y＝﹣，故答案为：y＝﹣．12．解：∵点A（m，2），B（n，）在反比例函数y＝﹣的图象上，∵﹣3＜0，∴y随x的增大而增大．∵2＞，∴m＞n．故答案为：＞．13．解：观察函数图象可发现：当x＜﹣2或0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴使y1＞y2成立的x取值范围是x＜﹣2或0＜x＜4．故答案为：x＜﹣2或0＜x＜4．14．解：连接OP．∵点B为AO的中点，△PAB的面积为3S△OAP＝2S△PAB＝2×3＝6，又∵，∴，∴|k|＝12，∵k＜0，∴k＝﹣12，故答案为﹣12．15．解：如图，连接AC交OB于D．∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB．∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴△AOD的面积＝×3＝，∴菱形OABC的面积＝4×△AOD的面积＝6．故答案为6．16．解：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，∵A，B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2，∴A（，4），B（，2），∴AE＝2，BE＝k﹣k＝k，∵菱形ABCD的面积为2，∴BC×AE＝2，即BC＝，∴AB＝BC＝，在Rt△AEB中，BE＝＝＝1，∴k＝1，∴k＝4．故答案为4．三．解答题（共6小题）17．解：（1）∵一次函数y1＝3x﹣3的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3），B（﹣1，b），∴3＝3a﹣3，b＝﹣3﹣3，∴a＝2，b＝﹣6，∴A（2，3），B（﹣1，﹣6），把A（2，3）代入反比例函数，则3＝，∴m＝6，∴反比例函数的表达式是y2＝；（2）①点P（h，y1），Q（h，y2）分别是两函数图象上的点．当y1＞y2时h的取值范围是h＞2或﹣1＜h＜0；②点P（h，y1），Q（h，y2）分别是两函数图象上的点，∴y1＝3h﹣3，y2＝，∵y2﹣y1＝3，∴﹣（3h﹣3）＝3，整理得3h2＝6，∴h＝．18．解：（1）∵在函数y＝|2x+4|+kx中，当x＝1时，y＝5，∴6+k＝5，解得k＝﹣1，∴这个函数的表达式是y＝|2x+4|﹣x；（2）∵y＝|2x+4|﹣x，∴y＝，∴该函数的图象如图所示：由图象可知：当x＞﹣2时，y随x的增大而增大；当x＜﹣2时y随x的增大而减小；（3）由函数图象可得，不等式|2x+4|+kx≥的解集是x≥1或x＜0．19．解（1 ）∵双曲线y1＝（x＞0，k＞0）经过A（2，4），∴k＝2×4＝8，∴双曲线的解析式为y1＝，故答案为y1＝．（2）∵双曲线y1＝（x＞0，k＞0）经过B（a，2）点，∴2＝，解得a＝4，∴B（4，2），根据图象观察，当y2＜y1时，x的取值范围是0＜x＜2或x＞4，故答案为0＜x＜2或x＞4．（3）设直线AB的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6，∴直线AB与x轴的交点C（6，0），∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝×6×4﹣＝6．故答案为6．20．解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1＝k1x+20，把B（10，40）代入得，k1＝2，∴AB解析式为：y1＝2x+20（0≤x≤10）．设C、D所在双曲线的解析式为y2＝，把C（25，40）代入得，k2＝1000，∴曲线CD的解析式为：y2＝（x≥25）；（2）当x1＝5时，y1＝2×5+20＝30，当x2＝30时，y2＝，∴y1、y2的大小关系是y1＜y2；（3）令y1＝32，∴32＝2x+20，∴x1＝6，令y2＝32，∴32＝，∴x2≈31，∵31﹣6＝25，∴学生大约最长可以连续保持25分钟（精确到1分钟），使得注意力维持在32以上．故答案为：2x+20；；y1＜y2；25．21．解：（1）如图1中，∵B的坐标为（0，2），点A的坐标为（﹣2，0），∴点A，B的“湘一等腰三角形”△ABC的当C（2，0）或（﹣4，2），∵tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝∠BCO＝30°，∴∠ABC＝∠BAC′＝120°，故答案为120．（2）如图2中，设直线y＝2交y轴于F（0，2），∵C（0，﹣），∴CF＝3，∵且C，D的“湘一等腰三角形”为等边三角形，∴∠CDF＝∠CD′F＝60°，∴DF＝FD′＝3•tan30°＝3，∴D（3，2），D′（﹣3，2），∴直线CD的解析式为y＝x﹣或y＝﹣x﹣．（3）如图3中，∵点M、N的“湘一等腰三角形”为直角三角形，∴直线MN与x轴的夹角为45°，可以假设直线MN的解析式为y＝﹣x+b，当直线与⊙O相切于点M时，易知b＝±4，∴直线MN的解析式为y＝﹣x+4或y＝﹣x﹣4，由，解得或，∴N（﹣1，5），N′（5，﹣1），由解得或，∴N1（﹣5，1），N2（1，﹣5），观察图象可知满足条件的点N的横坐标的取值范围为：﹣5≤x N≤﹣1或1≤x N≤5．22．解：设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），过A（10，0）、C（0，8），，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+8，又∵Q（5，n）在直线AC上，∴n＝﹣×5+8＝4，又∵双曲线y＝过Q（5，4），∴m＝5×4＝20，∴双曲线的解析式为：y＝；②当0≤t≤5时，OP＝10﹣2t，过Q作QD⊥OA，垂足为D，如图1，∵Q（5，4），∴QD＝4，∴S＝（10﹣2t）×4＝20﹣4t，当S＝10时，20﹣4t＝10解得t＝2.5，当5＜t≤9时，OP＝2t﹣10，过Q作QE⊥OC，垂足为E，如图2 ∵Q（5，4），∴QE＝5，∴S＝（2t﹣10）×5＝5t﹣25，当S＝10时，5t﹣25＝10，解得t＝7，综上，S＝，当t＝5秒时，△OPQ的面积不存在，∴当t＝2.5秒或t＝7秒时，S＝10．。